第1讲 一元二次方程及其解法 培优讲义(知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

第1讲 一元二次方程及其解法 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年 苏科版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 · 课程内容总览 🎯 课程目标 · 精准把握学习方向 理解一元二次方程的概念，能识别一元二次方程 掌握一元二次方程的一般形式及各项系数 理解方程的根的概念，会用根代入求参数 掌握直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法解一元二次方程 能根据方程特点选择合适的解法 📚 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1.一元二次方程的概念 定义：只含一个未知数，未知数最高次数为2的整式方程 一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项 判断关键：整式方程、一元、二次（a≠0） 化为一般形式后才能确定各项系数 概念辨析例题：概念辨析：ax²+bx+c=0一定是一元二次方程吗？ 解析：当a=0时，方程变为bx+c=0，是一元一次方程。所以必须强调a≠0。 ☆ 2.一元二次方程的根 使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解（根） 已知根代入方程可求待定系数 一元二次方程最多有两个实数根 若x=a是根，则将x=a代入方程等式成立 概念辨析例题：概念辨析：x=1是x²+mx-3=0的根，求m 解析：代入x=1：1+m-3=0，解得m=2。 ☆ 3.直接开平方法 适用于x²=p（p≥0）或(x+m)²=n（n≥0）型方程 x²=p → x=±√p (x+m)²=n → x=-m±√n n<0时无实数根 概念辨析例题：概念辨析：解方程(x-1)²=16 解析：x-1=±4，x=1±4，即x=5或x=-3。 ☆ 4.因式分解法 原理：若ab=0，则a=0或b=0 将方程一边化为0，另一边分解为两个一次因式乘积 常用方法：提公因式、平方差、完全平方、十字相乘 步骤：右化零→左分解→各求解 概念辨析例题：概念辨析：解方程x²=x 解析：移项x²-x=0，提公因式x(x-1)=0，x=0或x=1。注意不能两边同除x丢根。 ☆ 5.配方法与公式法 配方法：二次项系数化为1→移常数项→两边加一次项系数一半的平方→开方 求根公式：x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)（b²-4ac≥0时） 公式法是通法，适用于所有一元二次方程 选择方法：先看能否直接开方或因式分解，不行再配方或公式 概念辨析例题：概念辨析：用配方法解x²-4x-7=0 解析：x²-4x=7，x²-4x+4=11，(x-2)²=11，x=2±√11。 📋 知识总结表 方法 适用方程类型 关键步骤 直接开平方法 x²=p或(x+m)²=n 两边开平方 因式分解法 一边可分解为乘积 右化零左分解 配方法 所有方程 加一次项系数一半的平方 公式法 所有方程 代入求根公式 一般形式 ax²+bx+c=0 a≠0 方程的根 代入法求参数 根代入等式成立 【考点1】一元二次方程的概念（第1-5题） 判断三要素：整式方程、一元、二次 注意a≠0的条件 先化为一般形式再判断 1．（2022秋•新市区校级期中）下列是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x﹣2＝（x﹣1）x C．x（x+2）＝x（x﹣2） D． 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，对选项进行判断即可． 【解答】解：A．当a＝0时ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，不符合题意； B．x﹣2＝（x﹣1）x是一元二次方程，符合题意； C．x（x+2）＝x（x﹣2）整理后不含二次项，不符合题意； D．，分母中含有未知数，是分式方程，不符合题意 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解本题的关键． 2．（2026春•海淀区校级期中）下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．（x﹣1）（x+2）＝x2 D．3x2﹣2x﹣1＝0 【分析】根据一元二次方程的定义解答即可． 【解答】解：A、是分式方程，不是整式方程，不符合题意； B、ax2+bx+c＝0未说明a≠0，当a＝0时方程不是二次方程，不符合题意； C、展开左边得（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2，原方程化为x2+x﹣2＝x2，整理得x﹣2＝0，是一元一次方程，不符合题意； D、3x2﹣2x﹣1＝0满足一元二次方程的所有条件，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 3．（2026春•沂源县期末）下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x26；③x2＝0；④x＝3x2；⑤（x+1）（x﹣1）＝x2+4x．其中一元二次方程的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：①ax2+bx+c＝0，当a＝0时，不是一元二次方程； ②x26，不是整式方程，即不是一元二次方程； ③x2＝0，是一元二次方程； ④x＝3x2，是一元二次方程； ⑤（x+1）（x﹣1）＝x2+4x，整理得4x＝﹣1，不是一元二次方程； 其中一元二次方程的个数是2个， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0），特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 4．（2025秋•河北校级期中）已知是关于x的一元二次方程，则m的值为 　﹣1　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义得出关于m的等式及不等式，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， m2+1＝2，且m﹣1≠0， 解得m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解题的关键． 5．（2025秋•仪征市期末）把一元二次方程x2﹣x＝2化成一般形式为：x2﹣x﹣2＝0（答案不唯一）　 ． 【分析】根据一元二次方程的一般形式，即可解答． 【解答】解：把一元二次方程x2﹣x＝2化成一般形式为：x2﹣x﹣2＝0， 故答案为：x2﹣x﹣2＝0（答案不唯一）． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 【考点2】一元二次方程的根（第6-9题） 已知根代入方程求参数 利用根的定义求代数式的值 整体代入简化计算 6．（2025•田家庵区校级自主招生）已知a、b、c是非零实数，关于x的一元二次方程4ax2+4bx+c＝0，4bx2+4cx+a＝0，4cx2+4ax+b＝0有公共解，则代数式的值为　2或﹣1　 ． 【分析】设公共解为t，代入三个方程后相加得到关于a+b+c和t的关系，分两种情况讨论，分别代入代数式计算其值即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程4ax2+4bx+c＝0，4bx2+4cx+a＝0，4cx2+4ax+b＝0有公共解， ∴可设公共解为t， 则，，， 三式相加得， 即， ∵， ∴a+b+c＝0或， 当a+b+c＝0时，即c＝﹣a﹣b时， 原式 ＝2； 当时，分别代入三个方程可得a﹣2b+c＝0，a+b﹣2c＝0， 联立两式解得a＝b＝c， 此时； 综上所述，代数式的值为2或﹣1， 故答案为：2或﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，分式的加减法，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 7．（2026•吴忠校级模拟）已知关于x的方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为　2　 ． 【分析】根据题意可得：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0中得：1+m﹣3＝0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0中得：1+m﹣3＝0， 解得：m＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 8．（2026•建邺区一模）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2023，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b+c＝0的根为 x＝2021　 ． 【分析】结合已知条件得到x+2＝2023，求得x即可． 【解答】解：a（x+2）2+bx+2b+c＝0整理得a（x+2）2+b（x+2）+c＝0， ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2023， ∴关于x的方程a（x+2）2+b（x+2）+c＝0，其中一根为x+2＝2023， 解得x＝2021． 故答案为：x＝2021． 【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，根据题意得到x+2＝2023是解题的难点． 9．（2025秋•海淀区校级月考）已知a是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，求代数式2a（2a﹣3）+1的值． 【分析】一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把x＝a代入原方程可求出a（2a﹣3）＝1，据此利用整体代入法求解即可． 【解答】解：由条件可知2a2﹣3a﹣1＝0， ∴2a2﹣3a＝1， ∴a（2a﹣3）＝1， ∴2a（2a﹣3）+1＝2×1+1＝3． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，熟练掌握以上知识点是关键． 【考点3】直接开平方法（第10-14题） 识别x²=p和(x+m)²=n型 注意±号不要遗漏 n<0时无实数根 10．（2026•象州县二模）已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（2x+m+2）2+b＝0的解为x1＝0，　 ． 【分析】将所求方程变形后，利用整体换元思想，结合已知原方程的解得到关于x的一次方程，即可求解． 【解答】解：由条件可知a[（2x+2）+m]2+b＝0， ∵a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1， ∴2x+2＝2或2x+2＝﹣1， 解得x1＝0，． 故答案为：x1＝0，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 11．对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，等式右侧为通常的混合运算．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝　4或﹣3　 ． 【分析】根据新运算法则列出方程[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24，然后解方程即可． 【解答】解：∵（m+2）◎（m﹣3）＝24， ∴[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24， ∴（2m﹣1）2﹣25＝24， ∴（2m﹣1）2＝49， ∴2m﹣1＝±7， ∴m1＝4，m2＝﹣3， 故答案为：4或﹣3． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，实数的运算，理解新运算法则是解题的关键． 12．（2026春•西湖区校级期中）关于x的一元二次方程ax2＝b的两个根分别是m+1与2m﹣4，则　　 ． 【分析】根据题意，得出m+1与2m﹣4互为相反数，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程ax2＝b的两个根分别是m+1与2m﹣4， 所以m+1+2m﹣4＝0， 解得m＝1， 即该方程的两个根为±2． 因为方程可化为x2， 所以（±2）2＝4， 则． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，能根据题意得出m+1与2m﹣4互为相反数是解题的关键． 13．（2025秋•秦淮区期末）解方程3（x+1）2﹣18＝0． 【分析】先把方程变形为（x+1）2＝6，再把方程两边开方得到x+1＝±，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：3（x+1）2﹣18＝0， （x+1）2＝6， x+1＝±， 所以x1＝﹣1，x2＝﹣1． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 14．（2025春•船营区校级期末）解方程：3（x﹣1）2﹣12＝0 【分析】方程变形为（x﹣1）2＝4，然后用直接开平方法求解即可． 【解答】解：∵3（x﹣1）2﹣12＝0 ∴3（x﹣1）2＝12， 则（x﹣1）2＝4， ∴x﹣1＝±2， 解得x1＝3，x2＝﹣1． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解答本题的关键． 【考点4】因式分解法（第15-26题） 右化零左分解 提公因式法：有公因式先提 不能两边同除含未知数的式子 15．（2023秋•灌云县校级月考）若x＝4和是（2x+m）（x﹣4）＝0的解，则m的值为（　　） A．﹣5 B．5 C． D．无法确定 【分析】由（2x+m）（x﹣4）＝0知2x+m＝0或x﹣4＝0，据此得x或x＝4，结合x＝4和是（2x+m）（x﹣4）＝0的解可得关于m的方程，解之可得答案． 【解答】解：∵（2x+m）（x﹣4）＝0， ∴2x+m＝0或x﹣4＝0， 解得x或x＝4， 又∵x＝4和是（2x+m）（x﹣4）＝0的解， ∴， ∴m＝5， 故选：B． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解． 16．（2026•山东）若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣m）＝0的一个根是10，则另一个根是　2　 ． 【分析】由（x﹣2）（x﹣m）＝0，可得出x＝2或x＝m，进而可得出方程另一个根是2． 【解答】解：∵（x﹣2）（x﹣m）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣m＝0， ∴x＝2或x＝m， ∴方程另一个根是2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用因式分解法求出方程的两个根是解题的关键． 17．（2023秋•沙坪坝区校级期末）如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第 　②　 步开始出错．（填序号） 解方程：2x2+8x＝﹣4﹣x 解：2x（x+4）＝﹣（x+4）…① 2x＝﹣1…② x③ 【分析】根据解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答． 【解答】解：如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第②步开始出错，错误的原因是等式的两边同时除以（x+4），而x+4可能为0， 故答案为：②． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键． 18．（2025秋•肇源县月考）一个等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣11x+30＝0的两根，则该等腰三角形的周长是　16或17　 ． 【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝5，x2＝6，再利用三角形三边的关系得到答案． 【解答】解：x2﹣11x+30＝0， （x﹣5）（x﹣6）＝0， x﹣5＝0或x﹣6＝0， x1＝5，x2＝6， ∴等腰三角形的两边长分别为5或6， ①等腰三角形的腰为5，则底边为6时， ∴等腰三角形的周长为5+5+6＝16， ②等腰三角形的腰为6，则底边为5， ∴等腰三角形的周长为6+6+5＝17， ∴该等腰三角形的周长是16或17， 故答案为：16或17． 【点评】本题考查了解一元二次方程，三角形三边的关系，等腰三角形的定义等知识，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 19．（2026•毕节市模拟）一元二次方程x2＝2x的解为 x1＝0，x2＝2　 ． 【分析】利用因式分解法求解即可． 【解答】解：移项得x2﹣2x＝0，即x（x﹣2）＝0， 解得x＝0或x＝2． 故答案为：x1＝0，x2＝2． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 20．（2025秋•新化县期中）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为a※b＝3（a+b）﹣5ab．根据这个规则，方程x※（x+1）＝﹣1的解是 x1＝1，x2　 ． 【分析】先阅读题目，根据新运算得出3（x+x+1）﹣5x（x+1）＝﹣1，即可求出方程的解． 【解答】解：由题意得， x※（x+1）＝﹣1可转化为：3（x+x+1）﹣5x（x+1）＝﹣1， 整理得：5x2﹣x﹣4＝0， （x﹣1）（5x+4）＝0， ∴x﹣1＝0，5x+4＝0， ∴x1＝1，x2． 故答案为：x1＝1，x2． 【点评】此题考查新定义，以及解一元二次方程，解题的关键是根据题意列方程． 21．（2026•连云港）解方程x（x﹣1）＝8x﹣8． 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：x（x﹣1）＝8x﹣8， 整理得：x（x﹣1）﹣8（x﹣1）＝0， 因式分解得：（x﹣8）（x﹣1）＝0， 则x﹣8＝0或x﹣1＝0， 解得：x1＝8，x2＝1． 【点评】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 22．（2025秋•碑林区校级月考）解方程： （1）； （2）x（2x﹣1）＝x2+12． 【分析】（1）通分化简，两边同时乘以（x+2）（x﹣2），化简求值即可，注意x≠2且x≠﹣2； （2）化成标准形式，因式分解求解即可． 【解答】解：（1）， ， ， 两边同时乘以（x+2）（x﹣2）得， 2（x+2）＝8， 即x+2＝4， 解得x＝2， 当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0，不合题意， 所以方程无解． （2）x（2x﹣1）＝x2+12， 2x2﹣x＝x2+12， x2﹣x﹣12＝0， 即（x﹣4）（x+3）＝0， x﹣4＝0或x+3＝0， 解得x1＝4，x2＝﹣3． 【点评】本题重点考查分式方程与一元二次方程的解法，掌握分式方程的增根检验和一元二次方程的因式分解或配方技巧是解题的关键． 23．（2026•建华区二模）解方程：5x2﹣7x﹣6＝0． 【分析】根据因式分解法解方程即可． 【解答】解：原方程因式分解可得（x﹣2）（5x+3）＝0， ∴x﹣2＝0或5x+3＝0， 解得x1＝2，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 24．（2026春•西湖区校级期中）解下列方程： （1）x（x+2）＝（x+2）； （2）2x2﹣3x+1＝0． 【分析】（1）根据因式分解法求解即可； （2）根据因式分解法求解即可． 【解答】解：（1）x（x+2）＝（x+2）， ∴x（x+2）﹣（x+2）＝0， ∴（x+2）（x﹣1）＝0， ∴x+2＝0或x﹣1＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝1； （2）2x2﹣3x+1＝0， （2x﹣1）（x﹣1）＝0， ∴x1＝1，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解． 25．（2026•镜湖区校级一模）解方程：x2﹣8x+12＝0． 【分析】直接运用因式分解法求解即可． 【解答】解：原方程因式分解可得： （x﹣2）（x﹣6）＝0， x﹣2＝0 或 x﹣6＝0， ∴x1＝2，x2＝6． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法一元二次方程成为解题的关键． 【考点5】配方法（第27-33题） 二次项系数化为1 两边加一次项系数一半的平方 配方后写成完全平方形式 26．（2025秋•东西湖区期末）用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0时，配方结果正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝10 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣6）2＝10 D．（x﹣1）2＝1 【分析】将x2﹣6x﹣1＝0变形即可得出答案． 【解答】解：移项得x2﹣6x＝1， 配方得x2﹣6x+9＝1+9， （x﹣3）2＝10， 故选：A． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 27．（2025秋•万荣县期末）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝5 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝3 【分析】根据x2﹣4x+1＝0，配方得（x﹣2）2＝3进行作答即可． 【解答】解：原方程移项配方得：x2﹣4x+4＝﹣1+4， （x﹣2）2＝3， 故选：C． 【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 28．（2026春•鲤城区校级期末）若关于x的方程x2﹣6x+a＝0可以配方成（x+b）2＝7，那么（a+b）2026＝　1　 ． 【分析】利用配方法把方程x2﹣6x+a＝0化为（x+b）2＝7的形式，进而求出a、b，代入计算即可． 【解答】解：由题意，∵x2﹣6x+a＝0， ∴x2﹣6x+9＝﹣a+9， ∴（x﹣3）2＝﹣a+9， ∵关于x的方程x2﹣6x+a＝0可以配方成（x+b）2＝7， ∴b＝﹣3，﹣a+9＝7， ∴a＝2， ∴（a+b）2026＝（2﹣3）2026＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． 29．（2026•碑林区校级模拟）解一元二次方程：x2﹣2x＝3． 【分析】利用配方法求解即可． 【解答】解：由题意得，x2﹣2x+1＝3+1， （x﹣1）2＝4， x﹣1＝±2， x1＝3，x2＝﹣1． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的配方法是解题的关键． 30．（2024•阿克苏地区模拟）下面是小聪同学用配方法解方程2x2+4x﹣1＝0的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题． 解：移项，得2x2+4x＝1，① 二次项系数化为1，得，② 配方，得，，③ 由此可得，④ ，⑤ 整个解答过程是否正确？若不正确，从第 　③　 步开始出现错误，错误的原因是 　右边没有加上1　 .用这种方法解方程2x2﹣4x﹣3＝0． 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即判断． 【解答】解：解答过程不正确，从第③步开始出现错误，错误原因是右边没有加上1， 移项，得2x2+4x＝1， 二次项系数化为1，得， 配方，得1，即（x+1）2， 由此可得x+1＝±， x1＝﹣1，x2＝﹣1． ∵2x2﹣4x﹣3＝0， ∴2x2﹣4x＝3， 则x2﹣2x， ∴x2﹣2x+11，即（x﹣1）2， ∴x﹣1＝±， ∴x1＝1，x2＝1． 故答案为：③，右边没有加上1． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解． 31．（2025秋•奉贤区期末）用配方法解方程：． 【分析】移项后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：原方程移项得， 整理得，， ， ， ， 解得，． 【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【考点6】公式法（第34-41题） 先化一般形式确定a、b、c 计算判别式b²-4ac 代入求根公式求解 32．（2025秋•云南期中）如图，是佳佳用配方法解方程2x2+8x﹣6＝0时的过程，她在解答过程中开始出错的步骤为（　　） 2x2+8x﹣6＝0 解：x2+4x﹣3＝0，① x2+4x+22﹣3＝0，② （x+2）2＝3，③ ，．④ A．① B．② C．③ D．④ 【分析】佳佳在配方法过程中，步骤②添加平方数时未保持方程平衡，导致错误． 【解答】解：2x2+8x﹣6＝0， x2+4x﹣3＝0， x2+4x＝3， x2+4x+4＝3+4， 即（x+2）2＝7， 但步骤②加4未调整右边，破坏方程平衡， ∴错误从步骤②开始． 故选：B． 【点评】本题考查了利用配方法解一元二次方程，正确进行计算是解题关键． 33．（2026春•张店区校级月考）利用公式法解得一元二次方程3x2﹣11x﹣1＝0的两个根为a，b，且a＞b，则a的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】依据题意，利用公式法即可求解． 【解答】解：由题意得，a＝3，b＝﹣11，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣11）2﹣4×3×（﹣1）＝133＞0， ∴， ∵方程3x2﹣11x﹣1＝0的两个根为a，b，且a＞b， ∴a的值为， 故选：D． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键． 34．（2025秋•周口月考）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{2，5}＝5，按照这个规定，方程Max{1，4x}＝x2﹣5的解为x＝　5或　 ． 【分析】分类讨论x的范围，利用题中的新定义，列出方程，解方程即可． 【解答】解：当4x＞1，即时， 原方程即为x2﹣5＝4x， 整理得：x2﹣4x﹣5＝0， 因式分解得：（x﹣5）（x+1）＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣1（舍去）， 此时x＝5； 当4x＜1，即时， 原方程即为：x2﹣5＝1， 整理得：x2＝6， 解得：，（舍去）， 此时； 综上，原方程的解为x＝5或， 故答案为：5或． 【点评】本题考查解一元二次方程，实数的运算，实数的大小比较，方程的解，理解题意并进行正确的分类讨论是解题的关键． 35．（2026春•同步）一元二次方程M：ax2+bx+c＝0；N：cx2+bx+a＝0，其中ac≠0，a≠c，若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根为x＝1或x＝﹣1　 ． 【分析】根据方程M、N有相同的根，可得出ax2+bx+c＝cx2+bx+a，再结合ac≠0，a≠c，即可得出x2＝1，求出x的值． 【解答】解：∵方程M和方程N有一个相同的根， ∴ax2+bx+c＝cx2+bx+a，即（a﹣c）x2＝a﹣c． ∵ac≠0，a≠c， ∴x2＝1， 解得：x＝±1． ∴这个相等的根为x＝1或x＝﹣1． 故答案为：x＝1或x＝﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，本题属于基础题，难度不大． 36．（2026春•成武县期末）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 　3x2+9x+1＝0　 ． 【分析】根据解一元二次方程﹣公式法，即可解答． 【解答】解：由题意得：a＝3，b＝9，c＝1， ∴该一元二次方程是3x2+9x+1＝0， 故答案为：3x2+9x+1＝0． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程﹣公式法是解题的关键． 37．（2026•台山市一模）解方程：3x（x﹣5）＝10﹣2x． 【分析】用公式法求解一元二次方程即可． 【解答】解：原方程整理得：3x2﹣13x﹣10＝0， a＝3，b＝﹣13，c＝﹣10， Δ＝b2﹣4ac＝289＞0， ， ． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 38．（2025秋•西安校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2+（b+c）x+2（b﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣2是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【分析】（1）将x＝﹣2代入方程，通过化简得到a＝c，从而判断△ABC为等腰三角形； （2）利用等边三角形性质a＝b＝c，代入方程化简后求解一元二次方程． 【解答】解：（1）由条件可得a×（﹣2）2+（b+c）×（﹣2）+2（b﹣c）＝0， 即4a﹣2（b+c）+2（b﹣c）＝0， 化简得4a﹣2b﹣2c+2b﹣2c＝0， ∴4a﹣4c＝0， ∴a＝c， ∴△ABC是等腰三角形； （2）由条件可知a＝b＝c， 于是方程变为ax2+（a+a）x+2（a﹣a）＝0， 即ax2+2ax＝0， ∵a＞0， ∴两边除以a得x2+2x＝0， 即x（x+2）＝0， ∴x1＝0，x2＝﹣2． 【点评】本题考查了一元二次方程的解、等腰三角形的判定、等边三角形的性质，解一元二次方程．熟练掌握以上知识点是关键． 39．（2025春•霍邱县月考）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（b﹣c）＝0，其中，a，b，c分别是△ABC的三边长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，求证：△ABC是等腰三角形； （2）如果△ABC是等边三角形，解该一元二次方程． 【分析】（1）把x＝﹣1代入方程得（a+c）x2+2bx+（b﹣c）＝0，整理得a＝b，从而可判断三角形的形状； （2）利用等边三角形的性质得a＝b＝c，方程化为x2+x＝0，然后利用因式分解法解方程． 【解答】（1）证明：把x＝﹣1代入方程得： a+c﹣2b+b﹣c＝0，整理，得a＝b， ∴△ABC是等腰三角形． （2）解：∵△ABC为等边三角形， ∴a＝b＝c． ∴方程（a+c）x2+2bx+（b﹣c）＝0可化为x2+x＝0． 解得x1＝0，x2＝﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，等腰三角形、等边三角形，解题的关键是掌握一元二次方程的解是能使式子成立的未知数的值． 💯 课后巩固 ❤复习建议 判断一元二次方程三要素：整式、一元、a≠0 已知根就代入方程，可求待定系数 四种解法选择顺序：直接开方→因式分解→配方→公式 因式分解法注意：右化零，不能两边同除含未知数的式子 配方法关键：两边加一次项系数一半的平方 【作业 1】（2025秋•渠县期末）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．（x﹣1）（x+2）＝1 D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【解答】解：A、原方程不是整式方程，不符合题意； B、当a＝0时，ax2+by+c＝0不是一元二次方程，不符合题意； C、（x﹣1）（x+2）＝1，即x2+x﹣3＝0是一元二次方程，符合题意； D、3x2﹣2xy﹣5y2＝0不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一元二次方程应注意的5个方面：一是化简后、二是一个未知数、三是未知数的最高次数为2、四是二次项系数不等于0、五是整式方程． 【作业 2】（2026春•鹿城区期中）把一元二次方程（x+2）（x﹣2）＝4x化成一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣4x﹣4＝0 B．x2﹣4x+4＝0 C．x2+4x﹣4＝0 D．x2+4x+4＝0 【分析】先利用乘法公式展开，然后移项得到一元二次方程的一般式． 【解答】解：去括号得x2﹣4＝4x， 移项得一般式为：x2﹣4x﹣4＝0． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 【作业 3】（2024秋•普宁市期末）解这个方程x（2x+3）﹣3（2x+3）＝0最简单的方法是（　　） A．公式法 B．因式分解法 C．配方法 D．直接开平方法 【分析】结合方程特点即可得出答案． 【解答】解：解这个方程x（2x+3）﹣3（2x+3）＝0最简单的方法是因式分解法， 故选：B． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 【作业 4】（2025秋•贵阳校级月考）若（m+1）x2﹣5x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围为m≠﹣1　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零进行求解即可． 【解答】解：根据题意得二次项系数m+1≠0， 解得m≠﹣1； 故答案为 m≠﹣1． 【点评】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【作业 5】（2025春•拱墅区校级月考）若x＝1是方程x2+2x﹣m＝0的一个根，则m的值是　3　 ． 【分析】把解代入方程，得关于m的一元一次方程，求解即可． 【解答】解：把x＝1代入方程x2+2x﹣m＝0中，得1+2﹣m＝0． ∴m＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了方程的解，掌握方程解的意义是解决本题的关键． 【作业 6】（2026春•达川区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣4kx﹣（k2+1）＝0．设该方程的两个根为x1，x2，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝0，求k的值是k＝0或k＝4　 ． 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）表示出两根之和与两根之积，再将已知条件展开变形，代入求解k的值． 【解答】解：已知一元二次方程x2﹣4kx﹣（k2+1）＝0，两根x1，x2， 根据韦达定理，得： x1+x2＝4k， x1x2＝﹣（k2+1）， （x1﹣1）（x2﹣1）＝0， x1x2﹣（x1+x2）+1＝0， 将韦达定理结果代入上式： ﹣（k2+1）﹣4k+1＝0， ﹣k2﹣4k＝0， k2+4k＝0， k（k+4）＝0， 解得k＝0或k＝4． 故答案为：k＝0或k＝4． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，熟练掌握韦达定理公式及代数式变形是解题的关键． 【作业 7】（2026•红花岗区模拟）一元二次方程7x2﹣28＝0的解为x1＝﹣2，x2＝2　 ． 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以7，最后把方程两边同时开平方即可得到答案． 【解答】解：移项可得：7x2＝28， ∴x2＝4， 直接开平方可得： x1＝﹣2，x2＝2， 故答案为：x1＝﹣2，x2＝2． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，正确进行计算是解题关键． 【作业 8】（2023秋•碧江区 校级期中）按照指定方法解下列方程： （1）（2x﹣1）2＝9（用直接开平方法）； （2）2x2﹣9x+8＝0（用配方法）； （3）x2﹣2x﹣4＝0（用求根公式法）； （4）7x（5x+2）＝6（5x+2）（用因式分解法）． 【分析】（1）根据平方根的意义得2x﹣1＝±3，然后分别解方程2x﹣1＝3和2x﹣1＝﹣3即可得出原方程的解； （2）首先移项得2x2﹣9x＝﹣8，再将二次线系数化为1得：x2x＝﹣4，配方可得（x）2，然后利用直接开平方法即可得出原方程得解； （3）首先求出判别式Δ＝（﹣2）2﹣4×1×﹣（4）＝20＞0，然后代入求根公式即可得出原方程的解； （4）首先移项得7x（5x+2）﹣6（5x+2）＝0，在提取公因式得（5x+2）（7x﹣6）＝0，然后再解5x+2＝0和7x﹣6＝0即可得出原方程的解． 【解答】解：（1）根据平方根的意义得：2x﹣1＝±3， 由2x﹣1＝3解得：x＝2， 由2x﹣1＝﹣3解得：x＝﹣1， ∴原方程得解为：x1＝2，x2＝﹣1， （2）移项，得：2x2﹣9x＝﹣8， 二次线系数化为1，得：x2x＝﹣4， 配方，得：x2x+（）2＝﹣4+（）2， 即：（x）2， ∴x±， ∴x， ∴原方程的解为：x1，x2； （3）判别式Δ＝（﹣2）2﹣4×1×﹣（4）＝20＞0， ∴x， ∴原方程的解为：x1，x2； （4）移项，得：7x（5x+2）﹣6（5x+2）＝0， 提取公因式，得：（5x+2）（7x﹣6）＝0， ∴5x+2＝0或7x﹣6＝0， 由5x+2＝0解得：x， 由7x﹣6＝0解得：x； ∴原方程的解为：x1，x2． 【点评】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的四种解法是解答此题的关键． 【作业 9】（2026•滨城区校级开学）解方程．其中（1）、（2）小题按指定方法解，（3）、（4）小题选择适当的方法解． （1）x2+8x﹣2＝0（配方法）； （2）2x2﹣3x﹣4＝0（公式法）； （3）4（x﹣1）2＝（x+2）2； （4）（x﹣5）2+4x＝20． 【分析】（1）根据配方法解方程的基本步骤求解即可； （2）利用公式法解方程的基本步骤求解即可； （3）利用直接开平方法，求解即可； （4）利用因式分解法求解即可． 【解答】解：（1）x2+8x﹣2＝0， x2+8x＝2 x2+8x+42＝2+16，即（x+4）2＝18． ， 解得，； （2）2x2﹣3x﹣4＝0， ∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣4，b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣4）＝41， ∴， 解得，； （3）4（x﹣1）2＝（x+2）2， （2x﹣2）2＝（x+2）2 2x﹣2＝x+2或2x﹣2＝﹣x﹣2， 解得x1＝0，x2＝4； （4）（x﹣5）2+4x＝20， （x﹣5）2+4x﹣20＝0， （x﹣5）2+4（x﹣5）＝0， （x﹣5）（x﹣1）＝0， x﹣5＝0或x﹣1＝0， 解得x1＝1，x2＝5． 【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法，配方法及公式法是解题的关键． 【作业 10】（2026•市南区校级开学）解方程： （1）（x+1）2﹣4＝0（直接开平方法）； （2）x2﹣2x﹣8＝0（配方法）； （3）2x2﹣3x﹣1＝0（公式法）； （4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）（因式分解法）． 【分析】（1）根据直接开平方法解方程即可； （2）根据配方法解方程即可； （3）根据公式法解方程即可； （4）根据因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）原方程移项可得： （x+1）2＝4， ∴x+1＝±2， 解得x1＝1，x2＝﹣3； （2）原方程移项可得： x2﹣2x＝8， x2﹣2x+1＝8+1， ∴（x﹣1）2＝9， ∴x﹣1＝±3， 解得x1＝4，x2＝﹣2； （3）∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1， ∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0， ∴， 解得； （4）原方程移项可得： 3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0， （x﹣2）[3（x﹣2）﹣x]＝0， 整理得（x﹣2）（2x﹣6）＝0，即x﹣2＝0或2x﹣6＝0， 解得x1＝2，x2＝3． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 【作业 11】（2026秋•同步）用适当的方法解下列方程： （1）（x+1）2＝9； （2）x2﹣4x＝6； （3）2x2﹣3x﹣1＝0； （4）（x﹣1）2＝（2x+1）2． 【分析】（1）根据直接开平方法进行求解方程即可； （2）根据配方法进行求解方程即可； （2）根据公式法进行求解方程即可； （4）根据因式分解法进行求解方程即可． 【解答】解：（1）（x+1）2＝9， ∴x+1＝±3， ∴x1＝2，x2＝﹣4； （2）x2﹣4x＝6， x2﹣4x+4＝10， （x﹣2）2＝10， ∴x﹣2＝±， ∴x1＝2，x2＝2； （3）2x2﹣3x﹣1＝0， 整理a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0， ∴x， ∴x1，x2； （4）（x﹣1）2＝（2x+1）2， （x﹣1）2﹣（2x+1）2＝0， [（x﹣1）+（2x+1）][（x﹣1）﹣（2x+1）]＝0， 3x（﹣x﹣2）＝0， ∴3x＝0或﹣x﹣2＝0， ∴x1＝0，x2＝﹣2． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 【作业 12】（2026春•沙坪坝区校级期中）解方程： （1）x2﹣2x﹣1＝0； （2）． 【分析】（1）利用配方法解答即可； （2）先通过去分母化为整式方程，然后解整式方程，最后对计算结果进行检验，即可解答． 【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1＝0， x2﹣2x+1＝2， （x﹣1）2＝2， ， 解得：，； （2）原式去分母得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3， 解得：x＝1， 检验：当x＝1时，（x﹣1）（x+2）＝0， ∴原方程无解． 【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，解分式方程，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 13】（2025秋•莱芜区期末）解方程：2x2+3x﹣1＝0． 【分析】根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝9﹣（﹣8）＝17＞0， ∴， 即，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是关键． 【作业 14】（2025春•舒城县期末）请阅读下列材料：已知一个关于x的方程x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，∴x2﹣4x﹣1＝0．故b＝﹣4、c＝﹣1． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知一个关于x的方程2x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． （2）已知，求代数式x2﹣2x+7的值； （3）已知，求代数式3x3+6x2+2025的值． 【分析】（1）先表示出（x﹣2）2＝3，再展开，得到2x2﹣8x+2＝0，即可得到结果； （2）先表示出（x﹣1）2＝2，再展开x2﹣2x＝1，即可得到结果； （3）先表示出（2x+1）2＝5，再展开x2+x＝1，代入求值即可． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴（x﹣2）2＝3， ∴x2﹣4x+4＝3，即2x2﹣8x+2＝0． ∴b＝﹣8，c＝2； （2）∵， ∴， ∴（x﹣1）2＝2， ∴x2﹣2x＝1， ∴x2﹣2x+7＝8． （3）∵， ∴， ∴（2x+1）2＝5， ∴x2+x＝1， ∴3x3+6x2+2025＝3x2+3x+2025＝2028． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，二次根式的乘法，代数式求值，熟练掌握相关定义准确计算为解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 一元二次方程及其解法 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年 苏科版九年级数学上册 📌 思维导图 · 课程内容总览 🎯 课程目标 · 精准把握学习方向 理解一元二次方程的概念，能识别一元二次方程 掌握一元二次方程的一般形式及各项系数 理解方程的根的概念，会用根代入求参数 掌握直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法解一元二次方程 能根据方程特点选择合适的解法 📚 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1.一元二次方程的概念 定义：只含一个未知数，未知数最高次数为2的整式方程 一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项 判断关键：整式方程、一元、二次（a≠0） 化为一般形式后才能确定各项系数 概念辨析例题：概念辨析：ax²+bx+c=0一定是一元二次方程吗？ 解析：当a=0时，方程变为bx+c=0，是一元一次方程。所以必须强调a≠0。 ☆ 2.一元二次方程的根 使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解（根） 已知根代入方程可求待定系数 一元二次方程最多有两个实数根 若x=a是根，则将x=a代入方程等式成立 概念辨析例题：概念辨析：x=1是x²+mx-3=0的根，求m 解析：代入x=1：1+m-3=0，解得m=2。 ☆ 3.直接开平方法 适用于x²=p（p≥0）或(x+m)²=n（n≥0）型方程 x²=p → x=±√p (x+m)²=n → x=-m±√n n<0时无实数根 概念辨析例题：概念辨析：解方程(x-1)²=16 解析：x-1=±4，x=1±4，即x=5或x=-3。 ☆ 4.因式分解法 原理：若ab=0，则a=0或b=0 将方程一边化为0，另一边分解为两个一次因式乘积 常用方法：提公因式、平方差、完全平方、十字相乘 步骤：右化零→左分解→各求解 概念辨析例题：概念辨析：解方程x²=x 解析：移项x²-x=0，提公因式x(x-1)=0，x=0或x=1。注意不能两边同除x丢根。 ☆ 5.配方法与公式法 配方法：二次项系数化为1→移常数项→两边加一次项系数一半的平方→开方 求根公式：x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)（b²-4ac≥0时） 公式法是通法，适用于所有一元二次方程 选择方法：先看能否直接开方或因式分解，不行再配方或公式 概念辨析例题：概念辨析：用配方法解x²-4x-7=0 解析：x²-4x=7，x²-4x+4=11，(x-2)²=11，x=2±√11。 📋 知识总结表 方法 适用方程类型 关键步骤 直接开平方法 x²=p或(x+m)²=n 两边开平方 因式分解法 一边可分解为乘积 右化零左分解 配方法 所有方程 加一次项系数一半的平方 公式法 所有方程 代入求根公式 一般形式 ax²+bx+c=0 a≠0 方程的根 代入法求参数 根代入等式成立 ⚠️ 核心考点 · 典型例题精讲 【考点1】一元二次方程的概念（第1-5题） 判断三要素：整式方程、一元、二次 注意a≠0的条件 先化为一般形式再判断 1．（2022秋•新市区校级期中）下列是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x﹣2＝（x﹣1）x C．x（x+2）＝x（x﹣2） D． 2．（2026春•海淀区校级期中）下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．（x﹣1）（x+2）＝x2 D．3x2﹣2x﹣1＝0 3．（2026春•沂源县期末）下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x26；③x2＝0；④x＝3x2；⑤（x+1）（x﹣1）＝x2+4x．其中一元二次方程的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2025秋•河北校级期中）已知是关于x的一元二次方程，则m的值为 _______ ． 5．（2025秋•仪征市期末）把一元二次方程x2﹣x＝2化成一般形式为：____________________ ． 【考点2】一元二次方程的根（第6-9题） 已知根代入方程求参数 利用根的定义求代数式的值 整体代入简化计算 6．（2025•田家庵区校级自主招生）已知a、b、c是非零实数，关于x的一元二次方程4ax2+4bx+c＝0，4bx2+4cx+a＝0，4cx2+4ax+b＝0有公共解，则代数式的值为_________ ． 7．（2026•吴忠校级模拟）已知关于x的方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为_____ ． 8．（2026•建邺区一模）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一根为x＝2023，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b+c＝0的根为 ___________ ． 9．（2025秋•海淀区校级月考）已知a是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，求代数式2a（2a﹣3）+1的值． 【考点3】直接开平方法（第10-14题） 识别x²=p和(x+m)²=n型 注意±号不要遗漏 n<0时无实数根 10．（2026•象州县二模）已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（2x+m+2）2+b＝0的解为____________________ ． 11．对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，等式右侧为通常的混合运算．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝_________ ． 12．（2026春•西湖区校级期中）关于x的一元二次方程ax2＝b的两个根分别是m+1与2m﹣4，则__________________ ． 13．（2025秋•秦淮区期末）解方程3（x+1）2﹣18＝0． 14．（2025春•船营区校级期末）解方程：3（x﹣1）2﹣12＝0 【考点4】因式分解法（第15-26题） 右化零左分解 提公因式法：有公因式先提 不能两边同除含未知数的式子 15．（2023秋•灌云县校级月考）若x＝4和是（2x+m）（x﹣4）＝0的解，则m的值为（　　） A．﹣5 B．5 C． D．无法确定 16．（2026•山东）若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣m）＝0的一个根是10，则另一个根是_____ ． 17．（2023秋•沙坪坝区校级期末）如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第 _____ 步开始出错．（填序号） 解方程：2x2+8x＝﹣4﹣x 解：2x（x+4）＝﹣（x+4）…① 2x＝﹣1…② x③ 18．（2025秋•肇源县月考）一个等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣11x+30＝0的两根，则该等腰三角形的周长是__________ ． 19．（2026•毕节市模拟）一元二次方程x2＝2x的解为 ______________ ． 20．（2025秋•新化县期中）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为a※b＝3（a+b）﹣5ab．根据这个规则，方程x※（x+1）＝﹣1的解是 ____________________ ． 21．（2026•连云港）解方程x（x﹣1）＝8x﹣8． 22．（2025秋•碑林区校级月考）解方程： （1）； （2）x（2x﹣1）＝x2+12． 23．（2026•建华区二模）解方程：5x2﹣7x﹣6＝0． 24．（2026春•西湖区校级期中）解下列方程： （1）x（x+2）＝（x+2）； （2）2x2﹣3x+1＝0． 25．（2026•镜湖区校级一模）解方程：x2﹣8x+12＝0． 【考点5】配方法（第27-33题） 二次项系数化为1 两边加一次项系数一半的平方 配方后写成完全平方形式 26．（2025秋•东西湖区期末）用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0时，配方结果正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝10 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣6）2＝10 D．（x﹣1）2＝1 27．（2025秋•万荣县期末）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝5 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝3 28．（2026春•鲤城区校级期末）若关于x的方程x2﹣6x+a＝0可以配方成（x+b）2＝7，那么（a+b）2026＝_____ ． 29．（2026•碑林区校级模拟）解一元二次方程：x2﹣2x＝3． 30．（2024•阿克苏地区模拟）下面是小聪同学用配方法解方程2x2+4x﹣1＝0的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题． 解：移项，得2x2+4x＝1，① 二次项系数化为1，得，② 配方，得，，③ 由此可得，④ ，⑤ 整个解答过程是否正确？若不正确，从第 _____ 步开始出现错误，错误的原因是 ____________ .用这种方法解方程2x2﹣4x﹣3＝0． 31．（2025秋•奉贤区期末）用配方法解方程：． 【考点6】公式法（第34-41题） 先化一般形式确定a、b、c 计算判别式b²-4ac 代入求根公式求解 32．（2025秋•云南期中）如图，是佳佳用配方法解方程2x2+8x﹣6＝0时的过程，她在解答过程中开始出错的步骤为（　　） 2x2+8x﹣6＝0 解：x2+4x﹣3＝0，① x2+4x+22﹣3＝0，② （x+2）2＝3，③ ，．④ A．① B．② C．③ D．④ 33．（2026春•张店区校级月考）利用公式法解得一元二次方程3x2﹣11x﹣1＝0的两个根为a，b，且a＞b，则a的值为（　　） A． B． C． D． 34．（2025秋•周口月考）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{2，5}＝5，按照这个规定，方程Max{1，4x}＝x2﹣5的解为x＝__________________ ． 35．（2026春•同步）一元二次方程M：ax2+bx+c＝0；N：cx2+bx+a＝0，其中ac≠0，a≠c，若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根为_____________ ． 36．（2026春•成武县期末）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 _______________ ． 37．（2026•台山市一模）解方程：3x（x﹣5）＝10﹣2x． 38．（2025秋•西安校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2+（b+c）x+2（b﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣2是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 39．（2025春•霍邱县月考）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（b﹣c）＝0，其中，a，b，c分别是△ABC的三边长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，求证：△ABC是等腰三角形； （2）如果△ABC是等边三角形，解该一元二次方程． 💯 课后巩固 【作业 1】（2025秋•渠县期末）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．（x﹣1）（x+2）＝1 D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0 【作业 2】（2026春•鹿城区期中）把一元二次方程（x+2）（x﹣2）＝4x化成一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣4x﹣4＝0 B．x2﹣4x+4＝0 C．x2+4x﹣4＝0 D．x2+4x+4＝0 【作业 3】（2024秋•普宁市期末）解这个方程x（2x+3）﹣3（2x+3）＝0最简单的方法是（　　） A．公式法 B．因式分解法 C．配方法 D．直接开平方法 【作业 4】（2025秋•贵阳校级月考）若（m+1）x2﹣5x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围为_________ ． 【作业 5】（2025春•拱墅区校级月考）若x＝1是方程x2+2x﹣m＝0的一个根，则m的值是_____ ． 【作业 6】（2026春•达川区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣4kx﹣（k2+1）＝0．设该方程的两个根为x1，x2，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝0，求k的值是____________ ． 【作业 7】（2026•红花岗区模拟）一元二次方程7x2﹣28＝0的解为_______________ ． 【作业 8】（2023秋•碧江区 校级期中）按照指定方法解下列方程： （1）（2x﹣1）2＝9（用直接开平方法）； （2）2x2﹣9x+8＝0（用配方法）； （3）x2﹣2x﹣4＝0（用求根公式法）； （4）7x（5x+2）＝6（5x+2）（用因式分解法）． 【作业 9】（2026•滨城区校级开学）解方程．其中（1）、（2）小题按指定方法解，（3）、（4）小题选择适当的方法解． （1）x2+8x﹣2＝0（配方法）； （2）2x2﹣3x﹣4＝0（公式法）； （3）4（x﹣1）2＝（x+2）2； （4）（x﹣5）2+4x＝20． 【作业 10】（2026•市南区校级开学）解方程： （1）（x+1）2﹣4＝0（直接开平方法）； （2）x2﹣2x﹣8＝0（配方法）； （3）2x2﹣3x﹣1＝0（公式法）； （4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）（因式分解法）． 【作业 11】（2026秋•同步）用适当的方法解下列方程： （1）（x+1）2＝9； （2）x2﹣4x＝6； （3）2x2﹣3x﹣1＝0； （4）（x﹣1）2＝（2x+1）2． 【作业 12】（2026春•沙坪坝区校级期中）解方程： （1）x2﹣2x﹣1＝0； （2）． 【作业 13】（2025秋•莱芜区期末）解方程：2x2+3x﹣1＝0． 【作业 14】（2025春•舒城县期末）请阅读下列材料：已知一个关于x的方程x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，∴x2﹣4x﹣1＝0．故b＝﹣4、c＝﹣1． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知一个关于x的方程2x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． （2）已知，求代数式x2﹣2x+7的值； （3）已知，求代数式3x3+6x2+2025的值． ❤复习建议 判断一元二次方程三要素：整式、一元、a≠0 已知根就代入方程，可求待定系数 四种解法选择顺序：直接开方→因式分解→配方→公式 因式分解法注意：右化零，不能两边同除含未知数的式子 配方法关键：两边加一次项系数一半的平方 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $