专题 4.4 数据的离散程度【知识梳理+题型精析+中考链接】- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题 4.4 数据的离散程度【知识梳理+题型精析+中考链接】 目录 一.学习目标重难点 1 学习目标 1 重点难点 1 二.知识梳理与解读 1 【知识点一】方差的概念 1 【知识点二】标准差 2 【知识点三】方差的计算与应用 2 【知识点四】分组的合理性 3 三、题型精析【夯实基础】 4 【题型1】方差的概念与计算 4 【题型2】标准差的计算与意义 6 【题型3】方差的应用——比较数据稳定性 7 四、题型精析（综合提升） 9 【题型1】方差与平均数的综合应用 9 【题型2】分组的合理性 11 【题型3】方差在实际问题中的综合应用 16 五、中考链接 20 一.学习目标重难点 学习目标 1. 理解方差、标准差的概念，掌握方差和标准差的计算公式。 2. 能计算一组数据的方差和标准差，并能用方差（标准差）比较两组数据的离散程度。 3. 理解方差的实际意义，能运用方差解决实际问题中的稳定性比较。 4. 了解分组的合理性，理解组内离差平方和最小的分组原则。 重点难点 重点：方差的概念、计算及应用。 难点：方差意义的理解；利用组内离差平方和进行合理分组。 二.知识梳理与解读 【知识点一】方差的概念 在实际问题中，仅有平均数不能全面反映数据的特征。例如，甲、乙两名射击运动员的平均成绩相同，但成绩的稳定性可能不同。为了刻画数据的波动大小，我们引入方差的概念。 1. 离差平方和 将一组数据中各数据与平均数的差的平方和称为离差平方和（sum of squares of deviation）。 设的平均数为，则这组数据的离差平方和为： 【要点提示】离差平方和反映的是一组数据与其平均数之间的总的偏差程度。但若两组数据的个数不同，不能直接用离差平方和比较离散程度。 2. 方差的定义 为了比较数据个数不同的两组数据的离散程度，在统计中，一般采用离散平方和的平均数代替这组数据的总偏差。即用一组数据与它们的平均数的差的平方的平均数来描述这组数据的离散程度，并把它叫作这组数据的方差（variance）。 【要点提示】方差实际上反映了各个数据与平均数之间的平均偏差程度。方差是刻画数据离散程度的常用统计量。一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大；方差越小，说明数据越集中、越稳定。 【知识点二】标准差 方差能较为精确地反映一组数据相对于平均数的平均偏差，是一个被广泛用来描述数据离散程度的量。在统计中，也常用方差的算术平方根，即标准差，来描述一组数据的离散程度。 【要点提示】标准差与方差的关系：标准差是方差的算术平方根。标准差的单位与原数据单位一致，在实际问题中更直观。方差和标准差都可以用来刻画数据的离散程度，二者结论一致。 【知识点三】方差的计算与应用 1. 方差的计算步骤 （1）求平均数：； （2）求各数据与平均数的差：； （3）求差的平方：； （4）求平方的平均数：。 【要点提示】计算方差时，先求平均数是关键。当数据较大时，可以先将每个数据同时减去一个适当的常数，简化计算。 2. 方差的应用 方差在实际生活中应用广泛，常用于比较两组数据的稳定性。例如： （1）比较运动员成绩的稳定性，选拔参赛选手； （2）比较机床加工零件的精度，评估产品质量； （3）比较气温变化的稳定性，分析气候特征； （4）比较农作物长势的整齐度，评估品种优劣。 【要点提示】用方差比较稳定性时，前提是两组数据的平均数相同或相近。若平均数差异较大，应结合平均数综合分析。方差越小，数据越稳定。 【知识点四】分组的合理性 1. 问题引入 在解决问题时，为了更好地描述数据的分布特征，我们常对数据进行分组。例如，研究鸢尾花的花瓣花萼数据时可以发现，同品种花的数据分布比较集中，异品种花的数据分布比较分散。那么，数据如何分组更合理？分组的标准是什么？ 2. 组内离差平方和 一般地，有，如果把这些数据分为两组，前为第一组，后个数据为第二组。记为第一组的平均数，为第二组的平均数。 第一组的离差平方和： 第二组的离差平方和： 以上两式之和称为组内离差平方和。 3. 分组合理性的判断标准 研究表明，当达到最小时，分组最合理。即“组内离差平方和最小”作为数据的分组标准。 【要点提示】分组时，应先将数据从小到大排序，然后依次尝试在不同位置分割，计算每种分法的组内离差平方和，取最小值对应的分法。对于n个数据分为两组，共有（n−1）种分法（按排序后连续分割）。 三、题型精析【夯实基础】 【题型1】方差的概念与计算 【例题1】（26-27八年级下·全国·课后作业）根据方差比较两组跳绳成绩的离散程度． 甲、乙两组同学的跳绳成绩（单位：次/min）如下： 甲组 182 194 143 185 156 乙组 199 148 242 170 141 【答案】甲组跳绳成绩的方差为，乙组跳绳成绩的方差为；甲组成绩的离散程度小于乙组 【分析】先计算两组数据的平均数，再代入方差公式求方差，比较方差大小即可判断离散程度． 解： 甲组数据的平均数 ， 甲组的方差： ； 乙组数据的平均数， 乙组的方差； ∵ ∴甲组跳绳成绩的离散程度更小． 【变式1】（25-26八年级下·内蒙古赤峰·期末）在某项数据分析过程中，需要计算数据的方差，在如下这个计算方差的式子中，数据和分别表示（     ） A．该组数据的方差和个数 B．该组数据的个数和方差 C．该组数据的平均数和个数 D．该组数据的个数和平均数 【答案】D 【分析】利用方差公式的定义求解即可． 解：方差公式为，其中是数据个数，是数据平均数， 对比题中式子： 对应，即数据个数； 对应，即数据平均数． 【变式2】（26-27九年级上·广东惠州·开学考试）已知一组数据的方差是5，则数据的方差是_________． 【答案】 【分析】一组数据每个数据同时加上同一个常数，数据波动程度不变，方差不变，结合原数据方差即可得结果． 解：设原数据的平均数为， ∵ 原数据的方差， 设新数据的平均数为， 可得， 新数据的方差， 将代入上式， 得． 【变式3】（26-27八年级下·全国·课后作业）甲、乙、丙三组数据的折线图如图所示，根据图形比较各组数据方差的大小． 【答案】三组方差的大小关系为 【分析】方差反映数据的波动大小，波动越大方差越大，观察折线图比较三组数据的波动程度即可得到方差大小关系 ． 解：观察折线图可得 丙组数据的波动最大， 甲组数据的波动次之， 乙组数据的波动最小， ∵数据波动越大，方差越大， ∴可得． 【解题归纳】计算方差的“四步走”：①求平均数；②求各数据与平均数的差；③求差的平方；④求平方的平均数。注意方差的单位是原数据单位的平方。 【题型2】标准差的计算与意义 【例题2】（25-26八年级下·浙江·期中）某校开展暑假读数学课外书活动，开学后802班小明同学在自己班进行调查，统计了全班40位同学暑假所读数学课外书的本数，得到下表： 本数（本） 0 1 2 3 4 人数（人） 1 9 21 7 2 0 （1）全班同学暑假读数学课外书本数的众数是 ，中位数是 ； （2）求全班同学暑假读数学课外书本数的标准差． 【答案】（1）2；2；（2） 【分析】本题主要考查了求众数、中位数、标准差： （1）根据众数、中位数的定义解答，即可求解； （2）根据标准差的计算公式计算，即可求解． （1）解：根据题意得：所读数学课外书的本数为2本的人数最多， ∴全班同学暑假读数学课外书本数的众数是2； ∵全班40位同学， ∴由表格可知，按从小到大排列后中间第20和21位同学的本数都是2， ∴中位数也是2． 故答案为：2；2． （2）解：平均数为， 全班同学暑假读数学课外书本数的标准差为 ． 【变式1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知一组数据的方差是，则这组数据的标准差是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方差和标准差，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键．根据标准差是方差的算术平方根即可求解． 解：∵数据的方差是， ∴这组数据的标准差是； 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知一个样本，0，2，x，3，平均数为2，则这个样本的方差是______，标准差是______． 【答案】 6 【分析】本题考查了平均数，方差及标准差，熟练掌握平均数，方差及标准差的计算方法是解答本题的关键先由平均数公式求得的值，再由方差公式求解出方差，开方后即可得出标准差． 解：：∵平均数， ∴， ∴， ∴方差， ∴标准差为． 故答案为：，． 【变式3】（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段检测）有一组数据：3，a，4，6，7，它们的平均数是5，求这组数据的标准差． 【答案】 【分析】本题考查了根据平均数求数据，方差和标准差，掌握标准差公式是解题关键．先根据平均数是5得出，再求出方差，最后计算标准差即可． 解：这组数据的平均数是5， ， 解得． 这组数据为3，5，4，6，7． 这组数据的标准差是． 【解题归纳】标准差是方差的算术平方根。求标准差时，先求方差，再开平方。标准差的单位与原数据一致，在实际问题中更便于理解和比较。 【题型3】方差的应用——比较数据稳定性 【例题3】（26-27八年级下·全国·课后作业）甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩（单位：环）如表所示． 甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10 乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9 哪名射击运动员的发挥更稳定？ 【答案】甲的射击成绩方差为，乙的射击成绩方差为，乙射击运动员的发挥更稳定 【分析】计算甲乙两人射击成绩的方差，比较方差大小，方差越小则发挥越稳定． 解： 计算甲、乙的平均成绩： （环） ， （环） 计算两人成绩的方差： ∵ ∴乙射击运动员的发挥更稳定 答：乙射击运动员的发挥更稳定． 【变式1】（26-27九年级上·云南曲靖·开学考试）甲、乙、丙三名射击运动员参加训练测试，已知他们几次测试成绩的平均数相同，方差如下：，，，则成绩最稳定的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．不确定 【答案】A 解：∵三人测试成绩的平均数相同，，，， ∴， ∴ 甲的成绩最稳定． 【变式2】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）表中数据为甲、乙两名同学在本学期数学次成绩的平均数和方差，在这两名学生中，成绩较稳定的是________． 项目 甲 乙 平均数 方差 【答案】乙 解：方差越小，数据波动越小，成绩越稳定， 已知甲的方差为，乙的方差为， ，乙的方差更小， 乙的成绩更稳定． 【变式3】（26-27八年级下·全国·课后作业）甲、乙两名运动员进行罚球线上投篮测试．每人投篮10组，每组投篮10次，两名运动员投篮10组命中的次数如下表所示． 甲 8 6 9 6 8 10 7 7 10 9 乙 7 8 9 8 9 8 8 10 6 7 哪名运动员的投篮更稳定？ 【答案】乙运动员的投篮更稳定 【分析】计算两组投篮命中数据的方差，比较方差大小即可判断投篮稳定性． 解：，， ∴， ∵ ∴ 乙运动员的投篮更稳定． 【解题归纳】比较两组数据的稳定性时，若平均数相同或相近，直接比较方差：方差越小越稳定。若平均数差异较大，需结合平均数综合判断。本题源自课本引入问题，是方差应用的典型题型。 四、题型精析（综合提升） 【题型1】离差平方和及其应用 【例题1】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）某阅读小组4名同学本月阅读数量（单位：册）如下：3，5，8，8．求这4名同学本月阅读数量的离差平方和． 【答案】 【分析】先计算这组数据的平均数，再计算每个数据与平均数差的平方和得到离差平方和． 解：4名同学本月阅读数量的平均数， 则4名同学本月阅读数量的离差平方和为． 【变式1】（26-27九年级上·福建福州·开学考试）某校八年级共有200名学生，平均年龄为14岁，年龄的方差为3，则该校八年级200名学生年龄的离差平方和为（     ） A．0 B．3 C．42 D．600 【答案】D 解：设200名学生年龄的离差平方和为， 数据个数，方差， ∵ ， ∴ ． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）体育老师打算在甲、乙、丙、丁四名同学里挑选一人，代表班级参加学校跳绳比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是每分钟180个，离差平方和分别是，，，，你认为_______同学的成绩最稳定． 【答案】乙 【分析】比较离差平方和的大小即可判断成绩的稳定性． 解：∵四名同学平均成绩相同，测试次数均为3次，方差公式为，其中为测试次数， ∴相同，方差大小与离差平方和的大小一致． ∵，，，， ∴， ∴乙的方差最小， ∴乙的成绩最稳定． 【变式3】（26-27八年级下·全国·课后作业）先任意写一组数据（如2，3，5，6，9），计算其离差平方和；然后往数据中任意添加一个数据（如4或5），再计算其离差平方和．添加数据前后这组数据的离差平方和有什么变化？当添加什么数时，离差平方和不会变大？ 【答案】选取原数据为2，3，5，6，9，其离差平方和为30，往数据中添加数据4后，其离差平方和为，比原来大，当添加的数据等于原数据的平均数时，离差平方和不会变大 【分析】先算出原数据的平均数与离差平方和，再分别添加不同数据重新计算，对比结果，归纳变化规律． 解：选取原数据为2，3，5，6，9， 这组数据的平均数：， 离差平方和：， 添加数据4后，则数据为2，3，4，5，6，9， 这组数据的平均数：， 离差平方和：， ∵， ∴添加数据后这组数据的离差平方和变大， 添加数据5后，则数据为2，3，5，5，6，9， 这组数据的平均数：， 离差平方和：， ∵， ∴添加数据后这组数据的离差平方和不变， 综上所述：当添加的数据与原组数据的平均数不等时，添加数据后离差平方和变大，当添加的数据与原组数据的平均数相等时，添加数据后离差平方和不会变大． 【点拨】新增数据等于原数据平均数时，离差平方和不变，添加其他数，离差平方和变大，注意区分离差平方和与方差． 【题型2】分组的合理性 【例题2】（26-27八年级下·全国·课后作业）把表中10个城市的平均高温按组间离差平方和最大进行分组，应该如何分？结果和按组内离差平方和最小分组一致吗？ 10个城市某月的每日最高温度的平均数（简称平均高温）如表所示． 城市 北京 石家庄 呼和浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明 平均高温/℃ 3 3 10 21 22 12 9 17 【答案】第一组：哈尔滨、呼和浩特、北京、石家庄，对应平均高温为、、、；第二组：贵阳、上海、成都、昆明、广州、海口，对应平均高温为、、、、、；结果一致 【分析】 先将平均高温数据从小到大排序，默认分为两组时，枚举连续分割点的组间离差平方和找到最大值对应的分组；利用总离差平方和与组间、组内离差平方和的恒等关系判断两种分组结果一致． 解： 首先将10个城市的平均高温从小到大排序： （哈尔滨）、（呼和浩特）、（北京）、（石家庄）、（贵阳）、（上海）、（成都）、（昆明）、（广州）、（海口）， 计算总平均数， 默认分为两组时，有序数据的最优分组为连续分割，即在前个数据与第个数据之间分割（）， 设前个数据的和为，平均数为，后个数据的平均数为， 当时，， ∴， ∴组间离差平方和； 当时，， ∴， ∴组间离差平方和； 当时，， ∴， ∴组间离差平方和； 当时，， ∴， ∴组间离差平方和； 当时，， ∴， ∴组间离差平方和； 当时，， ∴， ∴组间离差平方和； 当时，， ∴， ∴组间离差平方和； 当时，， ∴， ∴组间离差平方和； 当时，， ∴， ∴组间离差平方和； 综上所述，可知 当时，组间离差平方和取得最大值，即前4个城市为第一组，后6个城市为第二组时，组间离差平方和最大； ∵ 总离差平方和组间离差平方和组内离差平方和， ∴当总离差平方和一定时，若组间离差平方和最大，则组内离差平方和最小， ∴按组间离差平方和最大进行分组与按组内离差平方和最小分组一致． 【变式1】（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）为研究某小区居民每月用水量（单位：吨），收集到户居民的用水量数据如下：，，，，，，，，，，，．将这户居民用水量分成两组，使同组用水量接近，不同组用水量差异较大，现有以下四种分组方法，最恰当的分组是（     ） 分组方案 第一组数据 第二组数据 组内离差平方和 A ，，， ，，，，，，， B ，，，， ，，，，，， C ，，，，， ，，，，， D ，，，，，， ，，，， A．方案A B．方案B C．方案C D．方案D 【答案】C 【分析】组内离差平方和越小，代表同组数据差异越小，只需比较四种分组的组内离差平方和，找出最小值对应的分组即可． 解：， 方案C的组内离差平方和最小，分组最恰当． 【变式2】（25-26八年级下·浙江台州·期末）某校游泳队有5名同学准备参加50米自由泳比赛，为了让队员更有效地进行赛前训练，教练计划将他们按50米自由泳最好成绩（单位：秒）的高低分成两组，下表给出了4种分组情况及组内离差平方和，则这5名同学的最合理的分组序号是___________． 序号 第1组 第2组 组内离差平方和 ① 32.5 33.2，34.0，36.5，36.8 9.67 ② 32.5，33.2 34.0，36.5，36.8 4.97 ③ 32.5，33.2，34.0 36.5，36.8 1.17 ④ 32.5，33.2，34.0，36.5 36.8 9.13 【答案】③ 【分析】按成绩高低分组时，组内离差平方和越小，说明组内成绩越接近，分组越合理，对比各组给出的离差平方和即可得到结果． 解：首先将5名同学的成绩从小到大排序得：， 对比四个分组的组内离差平方和可得：， 分组③的组内离差平方和最小，组内成绩最接近，因此最合理的分组是③． 【变式3】（25-26八年级下·陕西安康·期末）为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞赛，共有20道题．竞赛结束后，学校随机抽取了20名同学的答卷，他们答对的题数（单位：道）统计如下：2，4，6，7，8，9，10，10，10，11，12，13，13，14，15，15，16，17，18，20． 分组方式 分组情况 组内离差平方和 方式一 甲组2人，乙组3人 m 方式二 Ⅰ组3人，Ⅱ组2人 （1）这20名同学答对题数的众数为_________道，中位数为_________道； （2）这20名同学中答对题数最少的5名同学打算一起分组学习航天知识，若按照答对的题数将他们分为2人组和3人组，现有以下两种分组方式，根据组内离差平方和最小的原则，应该采用哪种分组方式？ 【答案】（1）10，；（2）应该采用方式一分组 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据离差平方和的定义求出方式一的组内离差平方和，比较即可得到结论． （1）解：∵答对10道的人数最多， ∴这20名同学答对题数的众数为10道； 把这20名同学答对题数按照从小到大的顺序排列，第10个数为11，第11个数为12， ∴这20名同学答对题数的中位数为； （2）解：方式一中甲组的平均数为（道），                 乙组的平均数为（道），                   甲组的离差平方和为，                   乙组的离差平方和为，                   方式一的组内离差平方和， ， 根据组内离差平方和最小的原则，应该采用方式一分组． 【解题归纳】分组合理性问题的解题步骤：①将数据从小到大排序；②列举所有可能的连续分法（n个数据分两组有n−1种）；③分别计算每种分法的组内离差平方和；④取最小值对应的分法。注意：分组应按排序后的连续数据分割，不能随意组合。 【题型3】方差在实际问题中的综合应用 【例题3】（26-27九年级上·河南开封·阶段检测）“校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，某区相关部门对“校园餐”的满意度进行问卷调查．现分别从该区初中、高中各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分（单位：分，满分：10分）情况如下： 抽取的学生打分情况统计表 平均数 中位数 众数 方差 初中 8 8 8 高中 8 a b 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：_________，__________． （2）从抽取的学生打分情况折线统计图可知，_________（选填“”“”或“”）． （3）根据以上统计量分析，对“校园餐”的总体满意度更高的是初中学生还是高中学生？请说明理由． 【答案】（1）；9；（2）；（3）对“校园餐”总体满意度更高的是初中学生，理由如下： 初中打分的方差更小，说明初中学生的满意度更稳定，打分差异更小；初中打分的最低分高于高中，没有过低分，整体满意度更均衡． 【分析】（1）从折线图获取高中10名学生的打分并将其从小到大排列即可求解； （2）观察折线统计图即可判断； （3）根据相关统计量进行判断即可． （1）解：由折线图可得高中10名学生的打分从小到大排列为：， ∴中位数为：；众数：； （2）解：从折线图可以直观看出，高中打分的折线起伏更大，数据更分散；初中打分的折线更平缓，数据更集中． ∴； （3）略 【变式1】（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）已知一组数据、、、、的平均数为5，方差为8，则数据、、、、的平均数和方差分别为（    ） A．20、13 B．7、16 C．7、32 D．7、29 【答案】C 解：设原数据的平均数为，方差为，新数据的平均数为，方差为， 由题意得，． 新数据的平均数为 ， ∵， ∴， 同理，……，， ∴新数据的方差为 ． 【变式2】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）有甲、乙、丙三组数据，每组数据中有6个正整数，各组中数的排列分布折线图如上图所示，乙组中6个数的平均数为_________，各组数据方差从小到大依次为_________．（填写“甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲”中的一个） 【答案】 6 乙丙甲 【分析】根据折线图得出每组的数据，然后计算出每组的平均数，再根据平均数计算出每组的方差，最后比较大小即可． 解：∵每组数据中有6个正整数， ∴结合折线图可知，甲组数据为：，，，，，； 乙组数据为：，，，，，； 丙组数据为：，，，，，； ∴甲组数据的平均数为：； 乙组数据的平均数为：； 丙组数据的平均数为：； ∴甲组数据的方差为：； 乙组数据的方差为：； 丙组数据的方差为：； ∵， ∴各组数据方差从小到大依次为乙丙甲． 【变式3】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同条件下进行8轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图1，将A，B两名选手8轮射击成绩绘制成对应的统计图和统计表． 选手 平均数 方差 A 8.5环 1.75 B ① 0.75 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 10 B 8 8 9 10 10 【数据分析】 （1）小华利用平均数和方差进行分析．表格中①处应填 环．由表格中的数据可以看出 （填“A”或“B”）选手的发挥更稳定． （2）小殷利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．表中一部分数据被污染了，请你帮她计算出A选手8轮射击成绩的四分位数： ， ， ． 【作出决策】 （3）根据小华和小殷选择的统计量进行分析，两名选手中应选拔 参加青少年射击比赛．（填“A”或“B”） 【答案】（1）9，B；（2）；（3）B 【分析】（1）根据折线统计图中的数据求选手B的平均成绩；比较两个选手的方差，来确定选手的射击成绩的稳定性； （2）根据四分位数的意义，结合折线统计图中的数据求解； （3）通过分析比较两选手的射击成绩的方差、四分位数、平均数，综合后作出决策． （1）解：∵选手B的平均成绩：， ∴①处应填9环． ∵选手A的方差为，选手B的方差为，， ∴B的发挥更稳定． （2）解：将A选手的成绩排序：6，7，8，9，9，9，，， 数据个数为偶数，取第4和第5个数据的平均值． 第4个数据为9，第5个数据为9， 因此环． 方法一：下四分位数（）是前半部分数据（前4个∶6，7，8，9）的中位数， 取第2和第3个数据的平均值∶环． 上四分位数（）是后半部分数据（后4个∶9，9，，）的中位数， 取第6和第7个数据的平均值∶环． 方法二：∵， ∴下四分位数（）是第2和第3个数据的平均数，即环． ∵， ∴上四分位数（）是第6和第7个数据的平均数，即环． 因此，A选手的四分位数填写如下∶环，环，环． （3）解：小华的分析显示B选手方差更小，更稳定． 小殷的分析显示B选手成绩分布更集中（四分位数范围小），且平均数更高（B为9环，A为环）． 综合来看，B选手成绩更优且更稳定，因此应选拔B参加青少年射击比赛． 【解题归纳】本题中两组数据的平均数和方差都相同，说明两人的整体水平和稳定性相当。实际决策时，若统计量相同，还需结合其他因素（如最好成绩、心理素质、近期趋势等）综合判断。这提醒我们：方差是重要参考，但不是唯一标准。 五、中考链接 一、单选题 1．（2026·四川广元·中考真题）四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数及方差如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数（个） 185 188 188 186 方差 18.5 15.4 12.6 32.2 根据10次测试成绩，从这四名同学中选择一人参加比赛，应选（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】根据平均数和方差的意义解题，平均数越大代表平均成绩越好，方差越小代表成绩波动越小，发挥越稳定，先选出平均成绩更高的同学，再从中选出方差最小的即可 解：∵乙和丙的平均数最大，为，大于甲的和丁的， 因此只需从乙和丙中选择， 又∵乙的方差为，丙的方差为，， ∴丙满足成绩好且发挥稳定的要求 2．（2026·黑龙江绥化·中考真题）某校为了了解学生使用电子产品的情况，随机抽查了某班A，B两组学生一周使用电子产品的时间（单位：小时），数据如下表所示： A组 6 7 8 8 8 9 10 B组 4 7 9 9 9 11 14 下列说法正确的是（     ） A．两组数据的众数相等 B．A组数据的平均数大于B组数据的平均数 C．A组数据的方差小于B组数据的方差 D．A组数据的中位数大于B组数据的中位数 【答案】C 【分析】分别计算两组数据的众数、平均数、中位数、方差，再逐一判断选项即可． 解：整理得A组数据为，共7个；B组数据为，共7个， A、 A组的众数为8，B组的众数为9，两组众数不相等，∴A错误； B 、， ， ∵，∴A组平均数小于B组平均数，B错误； D 、两组均有7个数据，中位数为排序后第4个数据，A组中位数为，B组中位数为， ∵，∴A组中位数小于B组中位数，D错误； C、 ， ， ∵，∴A组数据的方差小于B组数据的方差，C正确． 二、填空题 3．（2026·江苏淮安·中考真题）为优选水稻品种，农科所分析了甲、乙两种水稻的单穗质量（单位：），计算出样本方差分别为，，由此可推断__________种水稻的质量更稳定．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【分析】方差反映数据的波动程度，方差越小，数据波动越小，质量越稳定，只需比较两种水稻样本方差的大小即可判断． 解：∵方差越大，数据波动越大，方差越小，数据波动越小，稳定性越好， 又∵，， ∴乙种水稻的质量更稳定． 4．（2026·江苏常州·中考真题）小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是，方差是．若第10次投掷标枪的落点恰好在线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查方差，熟练掌握方差的意义是解题的关键．根据方差的意义即可得到答案． 解：设这组数据为前9个数分别为， 由题意可知，， ； 根据方差越小越稳定，即前九次波动较大， ， 故答案为：． 三、解答题 5．（2026·江苏宿迁·中考真题）某家电销售商店1～5周销售甲、乙两种品牌空调的数量如图所示（单位：台） （1）分别求该商店这段时间内甲、乙两种品牌空调周销售量的平均数和方差；（方差） （2）请根据计算结果及统计图，对该商店今后采购这两种品牌空调的意向提出建议，并说明理由． 【答案】（1），；，；（2）建议如下：甲、乙两种品牌空调周销售量的平均数相同，乙品牌空调周销售量的方差较小，说明乙品牌空调周销售量比较稳定，可选择采购乙品牌的空调；从折线图来看，甲品牌空调的周销售量呈上升趋势，进货时也可多进甲品牌空调（只要叙述有道理就给分） 【分析】（1）根据平均数和方差的定义求解即可． （2）可以根据方差回答，也可以根据销售趋势回答． （1）解：， ． ， ． （2）略； 6．（2026·江苏常州·中考真题）为了解～某路口行人信号灯设置是否合理，数学兴趣小组在这个时段随机调查了该路口5个信号灯周期内行人等红灯的时间，记录数据并整理成下图（每个点都对应一个行人等红灯的时间）． 回答下列问题． （1）本次调查采用的是__________．（填“全面调查”或“抽样调查”） （2）下列说法中正确的是__________．（填所有正确说法的序号） ①东西向行人等红灯的时间的众数是； ②南北向行人等红灯的时间的中位数超过； ③南北向行人等红灯的时间的极差比东西向大． （3）根据本次调查，对～该路口的行人信号灯设置提出一条合理建议． 【答案】（1）抽样调查；（2）①②；（3）答案不唯一，如：适当缩短东西向行人信号灯红灯的时间． 【分析】（1）根据全面调查和抽样调查的定义判断即可； （2）根据统计图对各选项的说法分别进行判断即可； （3）结合（2）中的分析提出建议，答案不唯一，合理即可． （1）解：抽样调查 （2）解：由统计图可知，东西向行人等红灯的时间中，出现了4次，出现的次数最多，因此众数是，故①正确； 南北向行人等红灯的时间中，排在中间的时间在之间，即中位数超过，故②正确； 由统计图可知，南北向行人等红灯的时间的极差明显比东西向小，故③错误． （3）略 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.4 数据的离散程度【知识梳理+题型精析+中考链接】 目录 一.学习目标重难点 1 学习目标 1 重点难点 1 二.知识梳理与解读 1 【知识点一】方差的概念 1 【知识点二】标准差 2 【知识点三】方差的计算与应用 2 【知识点四】分组的合理性 3 三、题型精析【夯实基础】 4 【题型1】方差的概念与计算 4 【题型2】标准差的计算与意义 4 【题型3】方差的应用——比较数据稳定性 5 四、题型精析（综合提升） 6 【题型1】离差平方和及其应用 6 【题型2】分组的合理性 6 【题型3】方差在实际问题中的综合应用 8 五、中考链接 10 一.学习目标重难点 学习目标 1. 理解方差、标准差的概念，掌握方差和标准差的计算公式。 2. 能计算一组数据的方差和标准差，并能用方差（标准差）比较两组数据的离散程度。 3. 理解方差的实际意义，能运用方差解决实际问题中的稳定性比较。 4. 了解分组的合理性，理解组内离差平方和最小的分组原则。 重点难点 重点：方差的概念、计算及应用。 难点：方差意义的理解；利用组内离差平方和进行合理分组。 二.知识梳理与解读 【知识点一】方差的概念 在实际问题中，仅有平均数不能全面反映数据的特征。例如，甲、乙两名射击运动员的平均成绩相同，但成绩的稳定性可能不同。为了刻画数据的波动大小，我们引入方差的概念。 1. 离差平方和 将一组数据中各数据与平均数的差的平方和称为离差平方和（sum of squares of deviation）。 设的平均数为，则这组数据的离差平方和为： 【要点提示】离差平方和反映的是一组数据与其平均数之间的总的偏差程度。但若两组数据的个数不同，不能直接用离差平方和比较离散程度。 2. 方差的定义 为了比较数据个数不同的两组数据的离散程度，在统计中，一般采用离散平方和的平均数代替这组数据的总偏差。即用一组数据与它们的平均数的差的平方的平均数来描述这组数据的离散程度，并把它叫作这组数据的方差（variance）。 【要点提示】方差实际上反映了各个数据与平均数之间的平均偏差程度。方差是刻画数据离散程度的常用统计量。一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大；方差越小，说明数据越集中、越稳定。 【知识点二】标准差 方差能较为精确地反映一组数据相对于平均数的平均偏差，是一个被广泛用来描述数据离散程度的量。在统计中，也常用方差的算术平方根，即标准差，来描述一组数据的离散程度。 【要点提示】标准差与方差的关系：标准差是方差的算术平方根。标准差的单位与原数据单位一致，在实际问题中更直观。方差和标准差都可以用来刻画数据的离散程度，二者结论一致。 【知识点三】方差的计算与应用 1. 方差的计算步骤 （1）求平均数：； （2）求各数据与平均数的差：； （3）求差的平方：； （4）求平方的平均数：。 【要点提示】计算方差时，先求平均数是关键。当数据较大时，可以先将每个数据同时减去一个适当的常数，简化计算。 2. 方差的应用 方差在实际生活中应用广泛，常用于比较两组数据的稳定性。例如： （1）比较运动员成绩的稳定性，选拔参赛选手； （2）比较机床加工零件的精度，评估产品质量； （3）比较气温变化的稳定性，分析气候特征； （4）比较农作物长势的整齐度，评估品种优劣。 【要点提示】用方差比较稳定性时，前提是两组数据的平均数相同或相近。若平均数差异较大，应结合平均数综合分析。方差越小，数据越稳定。 【知识点四】分组的合理性 1. 问题引入 在解决问题时，为了更好地描述数据的分布特征，我们常对数据进行分组。例如，研究鸢尾花的花瓣花萼数据时可以发现，同品种花的数据分布比较集中，异品种花的数据分布比较分散。那么，数据如何分组更合理？分组的标准是什么？ 2. 组内离差平方和 一般地，有，如果把这些数据分为两组，前为第一组，后个数据为第二组。记为第一组的平均数，为第二组的平均数。 第一组的离差平方和： 第二组的离差平方和： 以上两式之和称为组内离差平方和。 3. 分组合理性的判断标准 研究表明，当达到最小时，分组最合理。即“组内离差平方和最小”作为数据的分组标准。 【要点提示】分组时，应先将数据从小到大排序，然后依次尝试在不同位置分割，计算每种分法的组内离差平方和，取最小值对应的分法。对于n个数据分为两组，共有（n−1）种分法（按排序后连续分割）。 三、题型精析【夯实基础】 【题型1】方差的概念与计算 【例题1】（26-27八年级下·全国·课后作业）根据方差比较两组跳绳成绩的离散程度． 甲、乙两组同学的跳绳成绩（单位：次/min）如下： 甲组 182 194 143 185 156 乙组 199 148 242 170 141 【变式1】（25-26八年级下·内蒙古赤峰·期末）在某项数据分析过程中，需要计算数据的方差，在如下这个计算方差的式子中，数据和分别表示（     ） A．该组数据的方差和个数 B．该组数据的个数和方差 C．该组数据的平均数和个数 D．该组数据的个数和平均数 【变式2】（26-27九年级上·广东惠州·开学考试）已知一组数据的方差是5，则数据的方差是_________． 【变式3】（26-27八年级下·全国·课后作业）甲、乙、丙三组数据的折线图如图所示，根据图形比较各组数据方差的大小． 【解题归纳】计算方差的“四步走”：①求平均数；②求各数据与平均数的差；③求差的平方；④求平方的平均数。注意方差的单位是原数据单位的平方。 【题型2】标准差的计算与意义 【例题2】（25-26八年级下·浙江·期中）某校开展暑假读数学课外书活动，开学后802班小明同学在自己班进行调查，统计了全班40位同学暑假所读数学课外书的本数，得到下表： 本数（本） 0 1 2 3 4 人数（人） 1 9 21 7 2 0 （1）全班同学暑假读数学课外书本数的众数是 ，中位数是 ； （2）求全班同学暑假读数学课外书本数的标准差． 【变式1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知一组数据的方差是，则这组数据的标准差是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知一个样本，0，2，x，3，平均数为2，则这个样本的方差是______，标准差是______． 【变式3】（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段检测）有一组数据：3，a，4，6，7，它们的平均数是5，求这组数据的标准差． 【解题归纳】标准差是方差的算术平方根。求标准差时，先求方差，再开平方。标准差的单位与原数据一致，在实际问题中更便于理解和比较。 【题型3】方差的应用——比较数据稳定性 【例题3】（26-27八年级下·全国·课后作业）甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩（单位：环）如表所示． 甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10 乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9 哪名射击运动员的发挥更稳定？ 【变式1】（26-27九年级上·云南曲靖·开学考试）甲、乙、丙三名射击运动员参加训练测试，已知他们几次测试成绩的平均数相同，方差如下：，，，则成绩最稳定的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．不确定 【变式2】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）表中数据为甲、乙两名同学在本学期数学次成绩的平均数和方差，在这两名学生中，成绩较稳定的是________． 项目 甲 乙 平均数 方差 【变式3】（26-27八年级下·全国·课后作业）甲、乙两名运动员进行罚球线上投篮测试．每人投篮10组，每组投篮10次，两名运动员投篮10组命中的次数如下表所示． 甲 8 6 9 6 8 10 7 7 10 9 乙 7 8 9 8 9 8 8 10 6 7 哪名运动员的投篮更稳定？ 【解题归纳】比较两组数据的稳定性时，若平均数相同或相近，直接比较方差：方差越小越稳定。若平均数差异较大，需结合平均数综合判断。本题源自课本引入问题，是方差应用的典型题型。 四、题型精析（综合提升） 【题型1】离差平方和及其应用 【例题1】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）某阅读小组4名同学本月阅读数量（单位：册）如下：3，5，8，8．求这4名同学本月阅读数量的离差平方和． 【变式1】（26-27九年级上·福建福州·开学考试）某校八年级共有200名学生，平均年龄为14岁，年龄的方差为3，则该校八年级200名学生年龄的离差平方和为（     ） A．0 B．3 C．42 D．600 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）体育老师打算在甲、乙、丙、丁四名同学里挑选一人，代表班级参加学校跳绳比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是每分钟180个，离差平方和分别是，，，，你认为_______同学的成绩最稳定． 【变式3】（26-27八年级下·全国·课后作业）先任意写一组数据（如2，3，5，6，9），计算其离差平方和；然后往数据中任意添加一个数据（如4或5），再计算其离差平方和．添加数据前后这组数据的离差平方和有什么变化？当添加什么数时，离差平方和不会变大？ 【题型2】分组的合理性 【例题2】（26-27八年级下·全国·课后作业）把表中10个城市的平均高温按组间离差平方和最大进行分组，应该如何分？结果和按组内离差平方和最小分组一致吗？ 10个城市某月的每日最高温度的平均数（简称平均高温）如表所示． 城市 北京 石家庄 呼和浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明 平均高温/℃ 3 3 10 21 22 12 9 17 【变式1】（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）为研究某小区居民每月用水量（单位：吨），收集到户居民的用水量数据如下：，，，，，，，，，，，．将这户居民用水量分成两组，使同组用水量接近，不同组用水量差异较大，现有以下四种分组方法，最恰当的分组是（     ） 分组方案 第一组数据 第二组数据 组内离差平方和 A ，，， ，，，，，，， B ，，，， ，，，，，， C ，，，，， ，，，，， D ，，，，，， ，，，， A．方案A B．方案B C．方案C D．方案D 【变式2】（25-26八年级下·浙江台州·期末）某校游泳队有5名同学准备参加50米自由泳比赛，为了让队员更有效地进行赛前训练，教练计划将他们按50米自由泳最好成绩（单位：秒）的高低分成两组，下表给出了4种分组情况及组内离差平方和，则这5名同学的最合理的分组序号是___________． 序号 第1组 第2组 组内离差平方和 ① 32.5 33.2，34.0，36.5，36.8 9.67 ② 32.5，33.2 34.0，36.5，36.8 4.97 ③ 32.5，33.2，34.0 36.5，36.8 1.17 ④ 32.5，33.2，34.0，36.5 36.8 9.13 【变式3】（25-26八年级下·陕西安康·期末）为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞赛，共有20道题．竞赛结束后，学校随机抽取了20名同学的答卷，他们答对的题数（单位：道）统计如下：2，4，6，7，8，9，10，10，10，11，12，13，13，14，15，15，16，17，18，20． 分组方式 分组情况 组内离差平方和 方式一 甲组2人，乙组3人 m 方式二 Ⅰ组3人，Ⅱ组2人 （1）这20名同学答对题数的众数为_________道，中位数为_________道； （2）这20名同学中答对题数最少的5名同学打算一起分组学习航天知识，若按照答对的题数将他们分为2人组和3人组，现有以下两种分组方式，根据组内离差平方和最小的原则，应该采用哪种分组方式？ 【解题归纳】分组合理性问题的解题步骤：①将数据从小到大排序；②列举所有可能的连续分法（n个数据分两组有n−1种）；③分别计算每种分法的组内离差平方和；④取最小值对应的分法。注意：分组应按排序后的连续数据分割，不能随意组合。 【题型3】方差在实际问题中的综合应用 【例题3】（26-27九年级上·河南开封·阶段检测）“校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，某区相关部门对“校园餐”的满意度进行问卷调查．现分别从该区初中、高中各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分（单位：分，满分：10分）情况如下： 抽取的学生打分情况统计表 平均数 中位数 众数 方差 初中 8 8 8 高中 8 a b 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：_________，__________． （2）从抽取的学生打分情况折线统计图可知，_________（选填“”“”或“”）． （3）根据以上统计量分析，对“校园餐”的总体满意度更高的是初中学生还是高中学生？请说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）已知一组数据、、、、的平均数为5，方差为8，则数据、、、、的平均数和方差分别为（    ） A．20、13 B．7、16 C．7、32 D．7、29 【变式2】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）有甲、乙、丙三组数据，每组数据中有6个正整数，各组中数的排列分布折线图如上图所示，乙组中6个数的平均数为_________，各组数据方差从小到大依次为_________．（填写“甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲”中的一个） 【变式3】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同条件下进行8轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图1，将A，B两名选手8轮射击成绩绘制成对应的统计图和统计表． 选手 平均数 方差 A 8.5环 1.75 B ① 0.75 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 10 B 8 8 9 10 10 【数据分析】 （1）小华利用平均数和方差进行分析．表格中①处应填 环．由表格中的数据可以看出 （填“A”或“B”）选手的发挥更稳定． （2）小殷利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．表中一部分数据被污染了，请你帮她计算出A选手8轮射击成绩的四分位数： ， ， ． 【作出决策】 （3）根据小华和小殷选择的统计量进行分析，两名选手中应选拔 参加青少年射击比赛．（填“A”或“B”） 【解题归纳】本题中两组数据的平均数和方差都相同，说明两人的整体水平和稳定性相当。实际决策时，若统计量相同，还需结合其他因素（如最好成绩、心理素质、近期趋势等）综合判断。这提醒我们：方差是重要参考，但不是唯一标准。 五、中考链接 一、单选题 1．（2026·四川广元·中考真题）四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数及方差如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数（个） 185 188 188 186 方差 18.5 15.4 12.6 32.2 根据10次测试成绩，从这四名同学中选择一人参加比赛，应选（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（2026·黑龙江绥化·中考真题）某校为了了解学生使用电子产品的情况，随机抽查了某班A，B两组学生一周使用电子产品的时间（单位：小时），数据如下表所示： A组 6 7 8 8 8 9 10 B组 4 7 9 9 9 11 14 下列说法正确的是（     ） A．两组数据的众数相等 B．A组数据的平均数大于B组数据的平均数 C．A组数据的方差小于B组数据的方差 D．A组数据的中位数大于B组数据的中位数 二、填空题 3．（2026·江苏淮安·中考真题）为优选水稻品种，农科所分析了甲、乙两种水稻的单穗质量（单位：），计算出样本方差分别为，，由此可推断__________种水稻的质量更稳定．（填“甲”或“乙”） 4．（2026·江苏常州·中考真题）小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是，方差是．若第10次投掷标枪的落点恰好在线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则________（填“”、“”或“”）． 三、解答题 5．（2026·江苏宿迁·中考真题）某家电销售商店1～5周销售甲、乙两种品牌空调的数量如图所示（单位：台） （1）分别求该商店这段时间内甲、乙两种品牌空调周销售量的平均数和方差；（方差） （2）请根据计算结果及统计图，对该商店今后采购这两种品牌空调的意向提出建议，并说明理由． 6．（2026·江苏常州·中考真题）为了解～某路口行人信号灯设置是否合理，数学兴趣小组在这个时段随机调查了该路口5个信号灯周期内行人等红灯的时间，记录数据并整理成下图（每个点都对应一个行人等红灯的时间）． 回答下列问题． （1）本次调查采用的是__________．（填“全面调查”或“抽样调查”） （2）下列说法中正确的是__________．（填所有正确说法的序号） ①东西向行人等红灯的时间的众数是； ②南北向行人等红灯的时间的中位数超过； ③南北向行人等红灯的时间的极差比东西向大． （3）根据本次调查，对～该路口的行人信号灯设置提出一条合理建议． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $