第13讲·等可能条件下的概率·尖子生学案 ·2026--2027学年苏科版九年级数学上册

第13讲·等可能条件下的概率·尖子生学案 （考点突破+分层训练）·2026年苏科版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 能判断一次试验的结果是否等可能，并准确数出等可能结果的总数 · 会运用概率公式 P(A)=m/n 求简单随机事件的概率 · 会用长度比、面积比求几何概率，理解概率的几何度量含义 · 会用列表法和树状图法求两步及两步以上试验的概率 · 会利用概率知识判断游戏是否公平，并能设计公平的游戏规则 · 能综合统计图表与概率解决实际决策问题 📚 知识梳理 ☆ 1.随机事件与等可能性 必然事件、不可能事件与随机事件的判断依据是「结果能否预先确定」 等可能试验：每个结果出现的可能性相同（均匀硬币、骰子、洗匀的牌） 概率意义：表示随机事件发生可能性大小的数，记作 P(A) 概率范围：0 ≤ P(A) ≤ 1；P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0 频率与概率：大量重复试验中，事件发生的频率稳定在概率附近 概念辨析例题：下列事件是随机事件的是（　　） 答案：明天太阳从西边升起（等选表述以选项为准） 解析：随机事件是「可能发生也可能不发生」的事件。判断时抓住两点：一是结果不能预先确定，二是有发生的可能性。必然事件与不可能事件都不属于随机事件。 ☆ 2.概率公式 P(A)=m/n 公式：P(A) = 事件 A 包含的结果数 m ÷ 所有等可能结果总数 n 使用前提：所有结果必须等可能，否则不能直接用公式 分子分母要同口径：m 与 n 都按「基本等可能结果」计数 求概率步骤：判等可能 → 数总数 n → 数目标数 m → 计算 m/n 常见模型：摸球、掷骰子、抽牌、转盘、取卡片等 概念辨析例题：一个袋子中装有 3 个红球和 2 个白球（除颜色外无差别），随机摸出 1 个球，摸到红球的概率是（　　） 答案：3/5 解析：5 个球除颜色外相同，每个球被摸到等可能，n=5；红球 3 个，m=3，故 P = 3/5。摸球模型注意「每次摸到每个球的机会相同」是使用公式的前提。 ☆ 3.几何概率 几何概率：结果落在某区域的可能性与该区域的度量（长度/面积）成正比 面积型公式：P = 目标区域面积 ÷ 全部区域面积（转盘、飞镖、图形内取点） 长度型公式：P = 目标线段长度 ÷ 全部线段长度（数轴、线段上取点） 关键：把「等可能」转化为「等度量」，阴影与整体用同一单位计算 转盘类要看清是否等分：等分用扇形数比，不等分用面积比 概念辨析例题：在 1 米长的线段上随机取一点，该点落在左端 0.3 米内的概率是（　　） 答案：0.3（或 3/10） 解析：线段上取点处处等可能，落在左端 0.3 米内的线段长度为 0.3，全部长度为 1，故 P = 0.3 ÷ 1 = 0.3。长度型几何概率直接作长度比。 ☆ 4.列表法与树状图法 两步试验常用列表法：横列第一步、纵列第二步，每个交叉格对应一种等可能结果 列表法要点：行列结果写全，格子数即等可能结果总数，不重不漏 树状图法：从起点逐层分叉，适合两步及三步试验，直观展示全部结果 有顺序问题：有序对 (a,b) 与 (b,a) 是两种结果；「同时取」可转化为有先后取 放回与不放回：放回总数不变，不放回第二次可选结果少一个，必须区分 概念辨析例题：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，恰好一枚正面朝上的概率是（　　） 答案：1/2 解析：列表：（正,正）（正,反）（反,正）（反,反）共 4 种等可能结果；恰好一枚正面有（正,反）（反,正）2 种，P = 2/4 = 1/2。「同时抛」仍按有序处理，才能保证 4 种结果等可能。 ☆ 5.游戏的公平性与统计决策 游戏公平的标准：双方获胜概率相等（P甲 = P乙） 判断公平性：分别求双方获胜概率再比较，不能只看规则表面 设计公平规则：修改规则使双方概率相等，或调整分值使期望相同 统计与概率综合：结合条形图、扇形图、表格数据先求数量再求概率 决策依据：选择概率较大（或期望收益较高）的方案 概念辨析例题：一个不透明袋子中装有 2 个红球和 1 个白球，甲、乙轮流摸球（摸后放回），摸到红球甲得 1 分，摸到白球乙得 2 分，这个游戏是否公平？ 答案：不公平（甲得分期望低） 解析：P(红)=2/3，P(白)=1/3。甲每轮期望得分 = 2/3×1 = 2/3；乙每轮期望得分 = 1/3×2 = 2/3，恰好相等，故游戏公平。判断公平性要算期望而非仅看概率，本例两者期望相同所以公平。 📋 知识总结表 模型 等可能结果 概率 关键点 摸球 球的总数 n m/n（m 为目标球数） 每个球机会相同 掷骰子 6 个面 目标面数/6 质地均匀 转盘 扇形面积 目标面积/总面积 等分用扇形数比 几何取点 区域度量 目标度量/全度量 长度或面积比 列表法 格子总数 目标格子数/总格数 两步试验不重不漏 树状图 末梢总数 目标路径数/总路径数 三步试验逐层分叉 ⚠️ 核心考点 【考点1】概率公式与等可能性（第1-14题） · 先判「等可能」再用 P(A)=m/n，非等可能不能套公式 · 数 n 与 m 同口径，按基本等可能结果逐个枚举 · 概率范围 0 到 1，必然 1、不可能 0 · 「可能性大小」比较：分母相同看分子，分母不同先通分 1． 【答案】B 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查简单随机事件的概率，根据事件的概率等于所求事件数与总情况数之比即可求解． 【详解】解：由题可知：，中奇数有共3个， 抽到卡片上的数是奇数的概率为， 故选：B． 2． 【答案】C 【知识点】判断实验所得结果是否是等可能的 【分析】本题主要考查了等可能性事件， 等可能性事件需每个结果概率相等，再逐项判断即可． 【详解】解：∵交通信号灯红、绿、黄灯时间通常不相等， ∴概率不相等，A不是等可能性事件； ∵图钉结构不对称，钉尖朝上和朝下概率不相等， ∴B不是等可能性事件； ∵随机抽签方式选择A、B、C，每个被选中的概率均为， ∴C是等可能性事件； ∵直角三角形三边长度可能不相等，出现在各边上的概率不相等， ∴D不是等可能性事件． 故选：C． 3． 【答案】C 【知识点】判断事件发生的可能性的大小、判断几个事件概率的大小关系 【分析】此题考查了事件的可能性，比较各事件包含的可能结果数，数量越多可能性越大． 【详解】投掷一枚均匀骰子共有6种等可能结果． ①点数为6：仅1种结果，概率为； ②点数不大于4：包括1、2、3、4，共4种结果，概率为； ③点数为奇数：包括1、3、5，共3种结果，概率为． 可能性由大到小为． 故选：C． 4． 【答案】C 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，直接用写有“雨水”的邮票数除以邮票的总数即可得到答案． 【详解】解；∵一共有四张邮票，其中写有“雨水”的邮票有一张，且每张邮票被抽到的概率相同， ∴从中随机抽取一张恰好抽到“雨水”概率是， 故选：C． 5． 【答案】D 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查概率公式，掌握概率公式是解题的关键． 因为硬币有两面，故每一面出现的概率都是，由此即可得到答案． 【详解】解：∵硬币有两面， ∴每一面出现的概率都会是， 故第101次出现正面的概率为． 故选：D． 6． 【答案】D 【知识点】判断实验所得结果是否是等可能的 【分析】替代物需要满足和原抛硬币试验一致，即能产生两种概率相等的结果，据此判断各选项即可． 【详解】原抛硬币试验中，有正面向上、反面向上两种等可能结果，每种结果发生的概率为，替代物需满足两种结果发生概率相等． 选项A，均匀正方体骰子，点数为奇数、偶数的结果各3种，概率均为，可分别对应硬币正反，能用作替代物； 选项B，两张不同扑克，任意抽取一张，抽到每张的概率均为，可对应硬币正反，能用作替代物； 选项C，两张不同卡片，任意抽取一张，抽到每张的概率均为，可对应硬币正反，能用作替代物； 选项D，抛掷图钉时，钉尖朝上与钉帽朝上的概率不相等，不满足两种结果等可能的要求，因此不能作为替代物． 7． 【答案】D 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了概率公式．根据概率公式直接得出答案即可． 【详解】解：二十四个节气中选一个节气，抽到的节气在夏季的有六个， 则抽到的节气在夏季的概率为， 故选：D． 8． 【答案】B 【知识点】概率的意义理解 【分析】此题考查了概率的意义以及概率公式，明确概率的意义以及概率的计算方法是解答的关键． 直接利用概率的意义分析得出答案． 【详解】解：∵概率是频率（多个）的波动稳定值，在大量重复实验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件的概率， 抛六面体骰子次的结果不是概率， 抛六面体骰子有种情况， 点朝上的概率为， 故选：B． 9． 【答案】C 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．抛掷一枚硬币1次有2种等可能的结果，利用概率公式计算即可得． 【详解】解：∵抛掷一枚硬币1次有2种等可能的结果，即正面朝上和反面朝上， ∴抛掷一枚硬币1次，正面朝上的概率是． 故选：C． 10． 【答案】D 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】根据概率公式解答即可． 本题考查概率的求法；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【详解】 解：当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，则有等可能四种结果， ①两次都向左移动，则“”落在E处； ②先向左再向右，则“”回到格子A； ③先向右再向左，则“”回到格子A； ④两次都向右移动，则“”落在C处； 所以当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是 故选：D． 11． 【答案】D 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查了概率公式的知识，掌握概率公式是解题的关键．用选中女生数除以选中学生数即可解答． 【详解】解：∵结果有 30 名同学举手，其中男生 10 名，女生 20 名， ∴老师在举手的同学中随机选择一名同学回答问题， 恰好选中女生的概率是． 故选：D． 12． 【答案】C 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了求概率问题，解题的关键是根据题意计算出彼得彩票店的，加百列彩票店，分别所有的情况数，求出概率进行比较即可． 【详解】解：彼得彩票店的，情况数有120种，有且只有一种情况中奖， 故中奖的概率为：， 加百列彩票店，情况数有120种，有且只有一种情况中奖， 故中奖的概率为：， ，一样大， 故选：C． 13． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查简单的概率计算，先得到所有字母个数，再得到字母e的个数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：拼音“shuxue”的六个字母中，字母e有1个， ∴从拼音“shuxue”的六个字母中随机抽取一个字母，抽中字母e的概率为， 故答案为：． 14． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查概率公式，解题的关键是掌握利用概率的定义求事件概率的方法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率．根据概率公式求解即可． 【详解】解：由题意可知：编号为1~7号台球中偶数球的个数为3个， ∴摸出的球编号为偶数的概率， 故答案为：． 【考点2】几何概率与列表树状图法（第15-40题） · 几何概率：长度比、面积比，目标与整体同单位 · 列表法适合两步，行列写全、格子计数不重不漏 · 树状图适合两步及三步，逐层分叉数路径 · 放回与不放回先分清，有序对按顺序计数 15． 【答案】B 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了树状图法以及概率公式，正确的画出树状图是解此题的关键．画树状图，共有6种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：由电路图可知，当同时闭合开关和， 和时，灯泡能发光， 画树状图如下：    共有6种等可能结果，其中灯泡能发光的有4种， ∴灯泡能发光的概率为， 故选：B． 16． 【答案】B 【知识点】几何概率 【分析】根据几何概率的定义，指针落在空白区域的概率等于空白区域圆心角与周角度数的比值，即可求解． 【详解】解：空白区域的圆心角为，周角为， 故指针落在空白区域的概率为． 17． 【答案】A 【知识点】几何概率 【分析】此题考查了几何概率，利用指针落在阴影区域内的概率是：，分别求出概率比较即可． 【详解】解：A、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：； B、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：； C、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：； D、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：， ， 指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是：． 故选：A． 18． 【答案】B 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查树状图或列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共12种等可能的结果，其中能使灯泡发光的情况有4种， ∴， 故选B． 19． 【答案】D 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中这两张卡片上的数恰好互为相反数的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中这两张卡片上的数恰好互为相反数的结果有2种， ∴这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是． 20． 【答案】B 【知识点】几何概率 【分析】本题考查几何概率的应用，设围成的正方形的边长为a，算出6号板的面积与整体正方形的面积比即可知道答案． 【详解】解：设围成的正方形的边长为a， 则正方形的对角线长为， 五号板的直角边为， ∴六号板的一边为，另一边为：， ∴六号板的面积为， 正方形的面积为：， ∴停在1号板区域的概率是； 故选：B ． 21． 【答案】A 【知识点】列表法或树状图法求概率、概率的其他应用 【分析】本题考查树状图法与列表法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与经过两次传球后，球回到甲、乙、丙、丁手中的情况，再利用概率公式即可求得答案．解题的关键是掌握知识点：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：画树状图得：    ∵共有种等可能的结果，经过次传球后，球回到甲手中的有种情况，回到乙手中的有种情况，回到丙手中的有种情况，回到丁手中的有种情况， ∴经过次传球后，球回到甲手中的概率是， 球回到乙手中的概率是， 球回到丙手中的概率是， 球回到丁手中的概率是， ∵， ∴第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是甲． 故选：A． 22． 【答案】B 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了利用树状图法或列表法求概率，画出树状图，然后即可求解． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果数，其中恰有一人直行，另一人右拐的结果数为2， 所以恰好有一人直行，另一人右拐的概率为： ． 23． 【答案】C 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查的是利用画树状图与列表的方法求解随机事件的概率，根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小． 【详解】解：画树状图如图： 共有20种等可能的结果，而摸到的2个球颜色不相同的情况有12种，所以其概率为． 故选：C 24． 【答案】 【知识点】列举法求概率 【分析】本题考查列举法求概率，列举所有可能结果是解题的关键． 列举出所有的可能性，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，共有、、、、、这种等可能的结果，其中恰好从入口进入且从出口驶出的结果有种； ∴． 故答案为：． 25． 【答案】 【知识点】几何概率 【分析】本题主要考查了几何概率，掌握击中黑色小正方形的概率等于黑色小正方形与正方形总面积之比是解题的关键． 直接用涂有黑色的小正方形个数除以小正方形的总个数即可解答． 【详解】解：∵大正方形等分为25个小正方形，其中涂有黑色的小正方形有9个，且每个小正方形被击中的概率相同， ∴任意投掷飞镖1次，击中黑色区域的概率是． 故答案为：． 26． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了利用树状图或列表法求概率，根据题意列出树状图，得到总的情况数，再找出平局的局数，利用概率公式，即可解题． 【详解】解：画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中两人随机同时出手一次，平局的结果数为3， 所以两人随机同时出手一次，平局的概率， 故答案为：． 27． 【答案】 【知识点】几何概率 【分析】本题考查了几何概率．设正方形的边长为a，则圆的直径为，求出正方形的面积为，圆的面积为，然后用正方形的面积除以圆的面积即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为a，则圆的直径为， ∴正方形的面积为，圆的面积为， ∴飞镖恰好投中在正方形区域内的概率是． 故答案为：． 28． 【答案】 【知识点】几何概率 【分析】本题考查了几何概率．连接、、，则交点为M，设正六边形的边长为a，每个小三角形底边上的高为h，则的长为，利用正六边形的面积公式及割补法分别计算出正六边形的面积及阴影部分的面积，在利用几何概率计算公式即可求解，计算求解即可解题的关键在于正确表示阴影部分、正六边形的面积． 【详解】解：∵正六边形，如图，连接、、，则交点为M， 设正六边形的边长为a，每个小三角形底边上的高为h， 则的长为， ∴正六边形的面积为，， ∴这个点取在阴影部分的概率是， 故答案为：． 29． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了利用树状图法或列表法求概率，熟练掌握相关方法是解题关键．先画出树状图，则可得同时转动两个转盘一次共有6种等可能的结果，其中，配成紫色的结果有1种，再利用概率公式计算即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，同时转动两个转盘一次共有6种等可能的结果，其中，配成紫色的结果有1种， 则配成紫色的概率为， 故答案为：． 30． 【答案】/0.4 【知识点】列举法求概率、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查了等可能事件和等可能事件概率，注重卡片的取法和组成三角形卡片的可能及其组成三角形卡片的取法是解本题的关键．首先考虑取到的三张卡片是否有相同的，分类思考：若三张卡片都不同的取法；若含有相同的卡片的取法．再考虑能租成三角的情况，只有，，，这四种组合可以组成三角形，但组合中有重复的卡片，注意取卡片的可能． 【详解】解：若取出的3张卡片上的数字互不相同，有种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有种取法．所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有种取法． 要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：，，，， 由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有种． 因此，所求概率为． 故选：． 31． 【答案】15 【知识点】几何概率 【分析】本题考查了几何概型中的面积型，由几何概型中的面积型概率的求法，设黑色部分的面积为S，则由题意可得，然后求解即可． 【详解】解：设黑色部分的面积为S，则由题意可得： ， 解得， 故答案为：15． 32． 【答案】 【知识点】几何概率、由频率估计概率 【分析】本题考查了频率估计概率的实际应用，掌握用频率的集中趋势来估计概率是解题的关键．先求出点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.75左右，再用这个结果乘以大正方形的面积即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 33． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、用勾股定理解三角形、几何概率、根据正方形的性质求面积 【分析】本题考查了正方形的性质及几何概率，关键是表示出大正方形的边长，从而表示出两个阴影正方形的边长，最后表示出面积． 设正方形的边长为a，根据题意可得是等腰直角三角形，从而得到，再证得和都是等腰直角三角形，，从而得到，然后根据概率公式计算，即可． 【详解】解：设正方形的边长为a， ∵四边形为正方形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴小鸟不落在花圃上的概率为． 故答案为： 34． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了简单事件的概率，树状图或列表法求较复杂事件的概率；掌握概率公式是解题的关键； （1）所有等可能的情况有4种，取到白球的情况有2种，由概率公式即可求解； （2）画出树状图，一共有12种等可能得情况，两次摸到的球颜色相同的有2种，由概率公式即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：画出树状图如下： ∴一共有12种等可能得情况，两次摸到的球颜色相同的有2种， ∴． 答：两次摸到的球颜色相同的概率为． 35． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查概率综合，涉及一步概率问题及两步概率问题的解法、简单概率公式等，熟练掌握一步概率问题及两步概率问题的解法是解决问题的关键． （1）由一步概率问题的求解方法，直接利用简单概率公式求解即可得到答案； （2）由两步概率问题的求解方法，画出树状图得到全部等可能的结果，利用概率公式代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：题中有腾冲热海风景区、固东银杏村、火山地热国家地质公园、北海湿地4种， 若小昆从这四个腾冲打卡风景名胜景点中，随机选择1个去旅游，则选中火山地热国家地质公园的概率为， 故答案为：； （2）解：画出树状图如下： 由图可知，共有16种等可能的结果，他们选中不同景点的结果数为12， ∴他们选中不同景点的概率为． 36． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由概念公式可得答案； （2）画树状图得出所有等可能的结果数和恰好选择思想政治和地理的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：考生从物理、历史2门科目中自主选择1门， 选择历史的概率是； 故答案为：； （2）解：记思想政治、地理、化学、生物分别为①，②，③，④，画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选择思想政治和地理有：①②，②①，共2种， 恰好选择思想政治和地理的概率为． 37． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查列表法或画树状图的方法求概率，以及概率公式，解题的关键在于根据题意列出表格． （1）根据概率公式计算即可求解； （2）先列表，根据表格中的情况数，找出箭头所指的两个数字的和为偶数的情况数，再结合概率公式求解，即可解题． 【详解】（1）解：转动转盘1，转出的数字为5的概率是． 故答案为：． （2）列表如下． 由表格知，所有可能出现的结果有12种，且每一种结果出现的可能性相等． 转出的两个数字的和为偶数的结果有5种，分别为，，，，， ∴转出的两个数字的和为偶数的概率为 38． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了简单的概率计算、利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键． （1）从这4张书签中随机抽取1张共有4种等可能的结果，再利用概率公式计算即可得； （2）先画出树状图，则可得从这4张书签中随机抽取2张的所有等可能的结果，再找出随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】（1）解：∵从这4张书签中随机抽取1张共有4种等可能的结果， ∴从中随机抽取1张，抽到“中庸”书签的概率是， 故答案为：． （2）解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，从这4张书签中随机抽取2张共有12种等可能的结果，其中，随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的结果有2种， 则随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率为， 答：随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率为． 39． 【答案】小林选择“红梅阁”与“文笔塔”游玩的概率是 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】此题考查了列举法求事件的概率，根据题意列表表示所有等可能的结果数及所求事件数，利用公式求出概率即可． 【详解】解：记“红梅阁”为A，“文笔塔”为B，“屠一道根艺藏珍馆”为C，则列表如下（列表或画树状图均可）： A B C A （A，B） （A，C） B （B，A） （B，C） C （C，A） （C，B） 一共6种等可能的结果，其中选择A、B的有2种． ∴P（小林选择“红梅阁”与“文笔塔”游玩）． 答：小林选择“红梅阁”与“文笔塔”游玩的概率是． 40． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： A B C D A B C D 由表可知，共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有8种， ∴灯泡发光的概率为． 【考点3】概率的综合应用（第41-54题） · 已知概率求数量：设未知数，由 m/n = 已知概率列方程 · 游戏公平：分别求双方概率或期望，相等才公平 · 统计图表先读数：条形、扇形、表格数据转成数量再求概率 · 决策问题选概率大或期望高的方案 41． 【答案】 【知识点】已知概率求数量 【分析】本题主要考查概率公式，用红球的个数处于红球的概率求出球的总个数，继而可得答案． 【详解】解：由题意知，袋中球的总个数为（个）， 则白球的个数为（个）， 故答案为：． 42． 【答案】16 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、已知概率求数量 【分析】根据概率公式列出关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】解：摸到红球的概率为，总球数为个，红球共个， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意． 43． 【答案】8 【知识点】根据概率公式计算概率、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了随机事件概率的计算，分式方程的运用，理解取得白球的概率与不是白球的概率相同的含义列式，掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：红球个，白球个，黑球个， ∴取出白球的概率为，取出的不是白球的概率为， ∵取得白球的概率与不是白球的概率相同， ∴， ∴， 当时，原分式方程有意义， ∴与的和是， 故答案为： ． 44． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】利用概率公式直接求解即可．本题主要考查概率公式：概率所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键． 【详解】解：不透明袋子中装有6个球，其中有1个粉色球和5个蓝色球， 从袋子中随机取出1个球，则它是蓝色球的概率为． 故答案为：． 45． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了简单事件的概率计算．利用简单事件的概率计算公式即可得． 【详解】解：在“success”中，任选一个字母的所有可能的结果共有7种，它们每一种出现的可能性都相等，其中，选取的字母为“s”的结果共有3种， 则所求的概率为， 故答案为：． 46． 【答案】0.25 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】根据频率的计算公式：“频率”进行计算即可．此题主要考查了频数与频率，熟练掌握概率计算公式是关键． 【详解】解：在整数20240424中，一共8个数字，“0”出现了2次，数字“0”出现的频率是：． 故答案为：0.25． 47． 【答案】10 【知识点】已知概率求数量 【分析】本题考查了概率公式的应用．由概率=所求情况数与总情况数之比，根据随机摸出一个球是黑球的概率等于可得方程，继而求得答案． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：10． 48． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再找出点数为奇数的结果数，最后根据古典概型概率公式计算概率． 【详解】解：投掷一枚质地均匀的正方体骰子，所有等可能的结果有6种，分别为1，2，3，4，5，6．其中点数向上为奇数的结果有3种，分别为1，3，5． ∴． 49． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率、等腰三角形的定义 【分析】除了点A、点B以外，共有23个点，找出能与点A，点B构成等腰三角形的点C的个数，从而得出不能与点A，点B构成等腰三角形的点C的个数，然后由概率的定义可求出答案即可． 【详解】解：如图，一共有23个符合条件的点，其中能与点A，点B构成等腰三角形的点C有9个，则不能与点A，点B构成等腰三角形的点C有个， 所以构成的不是等腰三角形的概率是． 50． 【答案】25 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】大量反复试验下频率的稳定值即为概率，根据统计图得到频率的稳定值，进而得到摸到白球的概率，再根据概率公式估计白球的数量即可． 【详解】解：由统计图可知，随着试验次数的增加，摸到白球的频率逐步稳定在附近， ∴摸到白球的概率约为， ∴估计盒子里白球有个． 51． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】观察图2确定总区域数和“图书”区域数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：由图2可知，该“东南西北”玩具展开后共有8个面积相等的区域，即所有等可能的结果数为8 其中写有“图书”的区域有2个，即获得奖励“图书”的结果数为2 根据概率公式，转动一次获得奖励“图书”的概率为． 52． 【答案】120 【知识点】概率的其他应用、已知概率求数量 【分析】本题主要考查了概率的应用，根据概率的意义正确列出算式是解题的关键． 由题意可知标上记号豆子的概率为，然后再用标记豆子的数量除以概率即可解答． 【详解】解：由题意可知：瓶子中被标记豆子的概率为， 所以瓶子中豆子的总数为粒． 故答案为：120． 53． 【答案】6 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、已知概率求数量 【分析】本题考查了概率公式和解分式方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据概率公式列方程计算即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 故答案为：6． 54． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率、由反比例函数值求自变量 【分析】本题主要考查概率公式的知识，解答本题关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比，首先找出在双曲线上点的个数，然后根据概率公式求出答案． 【详解】解：∵五个点、、、、中，在双曲线上的点有，一共1个， ∴五点任取一点，在双曲线上的概率是， 故答案为：． 💯 课后巩固 复习建议 · 先判等可能再用 P(A)=m/n，非等可能不能直接套公式 · 几何概率看度量：长度比、面积比，目标与整体同单位 · 两步列表、多步树状图，有序对按顺序、放回不放回要分清 · 频率稳定于概率，大量重复试验中频率可作为概率的估计 · 游戏公平看概率相等或期望相等，不只看规则表面 【作业1】 【答案】12 【知识点】列举随机实验的所有可能结果 【分析】本题考查列举法所有等可能情况，把三个吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”分别标记为，共有六种站法，再利用插空法即可求解，掌握例举法是解题的关键． 【详解】解：把三个吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”分别标记为， 则将三个吉祥物进行排列，有： ，，，，，， 共种站法， 再将甲乙进行插空，因为甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则有： ，， ，，， 共有种不同的站法， 故答案为：12． 【作业2】 【答案】 【知识点】概率在转盘抽奖中的应用 【分析】转盘被平均分成9等份，共有9种等可能结果，小于7的数字有6个，利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵转盘被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字， ∴共有9种等可能的结果， ∵小于7的数字有1，2，3，4，5，6，共6个， ∴小明转出的数字小于7的概率为． 【作业3】 【答案】(1)， (2) 【知识点】列表法或树状图法求概率、条形统计图和扇形统计图信息关联、求扇形统计图的圆心角 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图、条形统计图的知识． （1）首先由条形图与扇形图可求得；由打篮球的人数有人，占的百分比为，可得总人数；计算出喜欢乒乓球的人数，然后补全条形统计图； （2）首先根据题意画出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与抽到一男一女学生的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）解：，，（人），（人）； 补全图形如图所示； 故答案为，． （2）解：列表如下： ∵所有可能出现的结果共种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中一男一女的情况有6种． ∴P（抽到一男一女）． 【作业4】 【答案】(1) 解：相等； 因为抛掷一枚均匀的骰子（各面上的点数分别为点）1次，落地后朝上的点数可能是1、2、3、4、5、6， 所以“朝上的点数是1”与“朝上的点数是6”这两个事件发生的可能性都是； 故这两个事件发生的可能性大小相等； (2)朝上的点数不小于3发生的可能性大 【知识点】根据概率公式计算概率、判断事件发生的可能性的大小 【分析】此题考查可能性大小的比较； （1）根据题意得出落地后朝上的点数可能是1、2、3、4、5、6，再根据概率公式即可得出答案； （2）先求出朝上的点数小于3的概率和朝上的点数不小于3的概率，再进行比较即可． 熟练掌握概率公式的计算是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）因为朝上的点数小于3的数有1，2，发生可能性是， 朝上的点数不小于3的数有3，4，5，6，发生可能性是， 所以“朝上的点数小于3”与“朝上的点数不小于3”这两个事件发生可能性大小不相等，朝上的点数不小于3发生的可能性大． 【作业5】 【答案】公平 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】本题考查树状图法求概率，利用概率解决游戏公平性，根据题意，画出树状图，求出两人获胜的概率，进行判断即可． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 共6种等可能的结果，其中榕榕获胜的情况有3种，爸爸获胜的情况有3种； ∴（榕榕获胜）（爸爸获胜）． ∴这个游戏是公平的． 【作业6】 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了概率公式求概率、列表法或树状图法求概率， （1）根据概率公式是直接计算即可； （2）根据题意，画出树状图，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：总共2个抽屉， 张雨的钥匙放在右边抽屉中的概率是； （2）解：根据题意，可画出如下树状图： 共4种等可能出现的情况，其中左边这个抽屉是李季的，李季的钥匙放在自己抽屉中的情况有2种， 李季的钥匙放在自己抽屉中的概率是． 【作业7】 【答案】(1)12种 (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了列表法或画树状图求概率． （1）根据题意列表或画出树状图确定表示可能选到讲解节日的结果总数即可； （2）根据（1）确定所有可能结果数和讲解“泼水节”和“目瑙纵歌节”的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：方法一：列表如下：     第1个 第2个 (B,A) (C,A) (D,A) (A,B) (C,B) (D,B) (A,C) (B,C) (D,C) (A,D) (B,D) (C,D) 由上表可知，小明所有可能选到讲解节日的结果为：，，，，，，，，，，，， 它们出现的可能性相等，一共有种． 答：小明所有可能选到讲解节日的结果共有种． 方法二： ∴由上图可知，小明所有可能选到讲解节日的结果为：，，，，，，，，，，，， 它们出现的可能性相等，一共有12种. 答：小明所有可能选到讲解节日的结果共有12种． （2）由（1）可知，所有可能出现的结果共有12种，并且它们的可能性相等， 其中选到解“泼水节”和“目瑙纵歌节”的结果有2种，分别为，． ∴小明选到讲解“泼水节”和“目瑙纵歌节”的概率为． 答：小明选到讲解“泼水节”和“目瑙纵歌节”的概率为． 【作业8】 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】（1）根据概率公式计算即可； （2）先求出一年中干燥月份小于7个月的年数和，再根据概率公式计算即可； （3）先求出一年中干燥月份大于9个月的年数和，再根据概率公式计算即可； 【详解】（1）解：一年中恰有5个月是干燥月份的年数是9， 故一年中恰有5个月是干燥月份的概率为． （2）解：一年中干燥月份小于7个月，即干燥月份数为3、4、5、6，对应年数和为 ， 一年中干燥月份小于7个月的概率为． （3）解：一年中干燥月份大于9个月，即干燥月份数为10、，对应年数和为， 故一年中干燥月份大于9个月的概率为． 【作业9】 【答案】两人选择相同景点的概率为 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】记博物馆、戏马台、回龙窝分别为，根据题意画树状图，根据树状图，共有9种结果，其中两人选择相同景点的有3种结果，代入概率公式计算即可得答案． 【详解】解：记博物馆、戏马台、回龙窝分别为，根据题意画树状图如下： 根据树状图，共有9种结果，其中两人选择相同景点的有3种结果， ∴两人选择相同景点的概率为 【作业10】 【答案】(1) (2) 这个游戏规则对双方不公平， 理由：由（1）树状图得， 所有等可能的结果共9种，其中两数之和为奇数的情况有4种，两数之和为偶数的情况有5种， ，， ， 这个游戏规则对双方不公平． 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】（1）首先根据题意画树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果与两数和为6的情况，再利用概率公式求解即可； （2）分别求出和为奇数、和为偶数的概率，即可得出游戏的公平性． 【详解】（1）解：画树状图如下： 所有等可能的结果共9种，其中两数之和为6的情况有3种， ， 答：两数和为6的概率为； （2）略 【作业11】 【答案】(1) (2) 不公平，理由： 如图，将盘4等分，这样才是指向每个区域的可能性均等，用列表法表示所有等可能出现的结果如下： 这样指向每个区域的可能性相同 列表得 AB 1 2 2 2 3 4 5 5 5 4 5 6 6 6 5 6 7 7 7 共有12种等可能结果，其中指针指向的两个区域的数字之和大于5，即甲获胜的有7种， ∴， 所以游戏不公平． 【知识点】游戏的公平性、几何概率 【分析】本题考查了概率的定义，概率的统计方式，概率的计算公式，掌握概率的定义是解题的关键． （1）先求出盘的数字3扇形区域的圆心角，再利用概率公式即可解答； （2）先用列表法求出所有可能的结果及甲、乙获胜的概率即可解答． 【详解】（1）解：转盘被分成面积相等的三个扇形，盘中数字3所对扇形区域的圆心角为， 盘中数字3所对扇形区域占整体的， ∴转动转盘B，指向的数字为3的概率是， 故答案为：； （2）略 【作业12】 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】利用画树状图法求解即可． 本题考查了画树状图法求概率，熟练掌握画树状图是解题的关键． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 一共有12种等可能性，其数字之和为偶数的有6种等可能性， 故翻到的两个数字之和为偶数的概率为． 【作业13】 【答案】(1)， 补全条形图如图： (2)600名 (3) 【知识点】列表法或树状图法求概率、条形统计图和扇形统计图信息关联、由样本所占百分比估计总体的数量、求扇形统计图的圆心角 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，列表法求概率，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用的人数除以所占的比例求出调查总人数，进而求出的人数，用360度乘以的人数所占的比例求出圆心角的度数，根据的人数，补全条形图即可； （2）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （3）列表法求概率即可． 【详解】（1）解：调查总人数为（人）； ∴表示的扇形对应的圆心角的度数为； 的人数为：（人）； （2）解：（名）； 答：估计该校最喜欢用C种方式进行沟通的学生有600名； （3）解：由题意，列表如下： A C D A A，A A，C A，D C C，A C，C C，D D D，A D，C D，D 共9种等可能的结果，其中甲、乙两名学生恰好选中同一种沟通方式的结果有3种； ∴恰好选中同一种沟通方式的概率． 【作业14】 【答案】(1)； (2)． 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查的是根据概率公式求概率，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图求概率即可求解． 【详解】（1）解：∵共有4个小组，每个小组被甲选中的可能性相同， ∴甲选择“趣挖番薯”小组的概率是； 故答案为：； （2）解：画树状图如下，    共有16种等可能结果，其中甲、乙两人选择同一个小组，有4种， ∴甲、乙两人选择同一个小组的概率． 【作业15】 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】（1）解：慕梓睿将酚酞随机滴入一种样本溶液中，结果样本溶液变红色的概率是， 故答案为：； （2）解：列表如下： A B C D A B C D ∴共有12种可能结果，其中两种样本溶液恰好都变红色的有2种， ∴两种样本溶液恰好都变红色的概率为． 【作业16】 【答案】任务一：不要争着去抽签，因为谁先踢的概率相等．任务二： 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】本题考查了概率的应用，抽签的公平性；用列举法求事件的概率，熟练掌握相关知识为解题关键 （1）根据点球决胜的规则里，先踢和后踢从概率角度来看，获胜的机会是均等的，抽签只是确定先后顺序，并不会直接影响最终的胜负概率，所以不需要争着抽签； （2）设进球为1，未进为0，第四轮的甲、乙比分情况为：，，，，所以四轮过后的甲、乙比分情况为：，， ，，再得出第五轮的比赛得分可能，共12种比分可能，按比赛的规则，乙有7种获胜的可能性，结合两种上述情况即可得到结果． 【详解】解：任务一、甲、乙两队不需要争着去抽签， 原因：点球决胜的规则里，先踢和后踢从概率角度来看，获胜的机会是均等的，抽签只是确定先后顺序，并不会直接影响最终的胜负概率，所以不需要争着抽签． 任务二：设进球为1，未进球为0，则第四轮进球情况用列表分析为： 乙 甲 0 1 1 0 所以四轮过后的甲、乙比分情况为：，，，， 第五轮过后的比分情况用列表分析为： 第四轮过后甲乙的比分 第五轮甲乙比分 由表中比分情况，按比赛的规则可知，乙有7种获胜的可能性， 结合四轮过后的甲、乙的比分情况可得乙胜的概率为. 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲·等可能条件下的概率·尖子生学案 （考点突破+分层训练）·2026年苏科版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 能判断一次试验的结果是否等可能，并准确数出等可能结果的总数 · 会运用概率公式 P(A)=m/n 求简单随机事件的概率 · 会用长度比、面积比求几何概率，理解概率的几何度量含义 · 会用列表法和树状图法求两步及两步以上试验的概率 · 会利用概率知识判断游戏是否公平，并能设计公平的游戏规则 · 能综合统计图表与概率解决实际决策问题 📚 知识梳理 ☆ 1.随机事件与等可能性 必然事件、不可能事件与随机事件的判断依据是「结果能否预先确定」 等可能试验：每个结果出现的可能性相同（均匀硬币、骰子、洗匀的牌） 概率意义：表示随机事件发生可能性大小的数，记作 P(A) 概率范围：0 ≤ P(A) ≤ 1；P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0 频率与概率：大量重复试验中，事件发生的频率稳定在概率附近 概念辨析例题：下列事件是随机事件的是（　　） 答案：明天太阳从西边升起（等选表述以选项为准） 解析：随机事件是「可能发生也可能不发生」的事件。判断时抓住两点：一是结果不能预先确定，二是有发生的可能性。必然事件与不可能事件都不属于随机事件。 ☆ 2.概率公式 P(A)=m/n 公式：P(A) = 事件 A 包含的结果数 m ÷ 所有等可能结果总数 n 使用前提：所有结果必须等可能，否则不能直接用公式 分子分母要同口径：m 与 n 都按「基本等可能结果」计数 求概率步骤：判等可能 → 数总数 n → 数目标数 m → 计算 m/n 常见模型：摸球、掷骰子、抽牌、转盘、取卡片等 概念辨析例题：一个袋子中装有 3 个红球和 2 个白球（除颜色外无差别），随机摸出 1 个球，摸到红球的概率是（　　） 答案：3/5 解析：5 个球除颜色外相同，每个球被摸到等可能，n=5；红球 3 个，m=3，故 P = 3/5。摸球模型注意「每次摸到每个球的机会相同」是使用公式的前提。 ☆ 3.几何概率 几何概率：结果落在某区域的可能性与该区域的度量（长度/面积）成正比 面积型公式：P = 目标区域面积 ÷ 全部区域面积（转盘、飞镖、图形内取点） 长度型公式：P = 目标线段长度 ÷ 全部线段长度（数轴、线段上取点） 关键：把「等可能」转化为「等度量」，阴影与整体用同一单位计算 转盘类要看清是否等分：等分用扇形数比，不等分用面积比 概念辨析例题：在 1 米长的线段上随机取一点，该点落在左端 0.3 米内的概率是（　　） 答案：0.3（或 3/10） 解析：线段上取点处处等可能，落在左端 0.3 米内的线段长度为 0.3，全部长度为 1，故 P = 0.3 ÷ 1 = 0.3。长度型几何概率直接作长度比。 ☆ 4.列表法与树状图法 两步试验常用列表法：横列第一步、纵列第二步，每个交叉格对应一种等可能结果 列表法要点：行列结果写全，格子数即等可能结果总数，不重不漏 树状图法：从起点逐层分叉，适合两步及三步试验，直观展示全部结果 有顺序问题：有序对 (a,b) 与 (b,a) 是两种结果；「同时取」可转化为有先后取 放回与不放回：放回总数不变，不放回第二次可选结果少一个，必须区分 概念辨析例题：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，恰好一枚正面朝上的概率是（　　） 答案：1/2 解析：列表：（正,正）（正,反）（反,正）（反,反）共 4 种等可能结果；恰好一枚正面有（正,反）（反,正）2 种，P = 2/4 = 1/2。「同时抛」仍按有序处理，才能保证 4 种结果等可能。 ☆ 5.游戏的公平性与统计决策 游戏公平的标准：双方获胜概率相等（P甲 = P乙） 判断公平性：分别求双方获胜概率再比较，不能只看规则表面 设计公平规则：修改规则使双方概率相等，或调整分值使期望相同 统计与概率综合：结合条形图、扇形图、表格数据先求数量再求概率 决策依据：选择概率较大（或期望收益较高）的方案 概念辨析例题：一个不透明袋子中装有 2 个红球和 1 个白球，甲、乙轮流摸球（摸后放回），摸到红球甲得 1 分，摸到白球乙得 2 分，这个游戏是否公平？ 答案：不公平（甲得分期望低） 解析：P(红)=2/3，P(白)=1/3。甲每轮期望得分 = 2/3×1 = 2/3；乙每轮期望得分 = 1/3×2 = 2/3，恰好相等，故游戏公平。判断公平性要算期望而非仅看概率，本例两者期望相同所以公平。 📋 知识总结表 模型 等可能结果 概率 关键点 摸球 球的总数 n m/n（m 为目标球数） 每个球机会相同 掷骰子 6 个面 目标面数/6 质地均匀 转盘 扇形面积 目标面积/总面积 等分用扇形数比 几何取点 区域度量 目标度量/全度量 长度或面积比 列表法 格子总数 目标格子数/总格数 两步试验不重不漏 树状图 末梢总数 目标路径数/总路径数 三步试验逐层分叉 ⚠️ 核心考点 【考点1】概率公式与等可能性（第1-14题） · 先判「等可能」再用 P(A)=m/n，非等可能不能套公式 · 数 n 与 m 同口径，按基本等可能结果逐个枚举 · 概率范围 0 到 1，必然 1、不可能 0 · 「可能性大小」比较：分母相同看分子，分母不同先通分 1．（21-22九年级上·陕西咸阳·期中）在6张相同的卡片上分别写有数，将卡片的背面朝上并洗匀，从中抽取一张，抽到的数是奇数的概率（   ） A． B． C． D．1 2．（25-26九年级上·山东德州·期中）下列随机事件属于“等可能性事件”的是（   ） A．交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C．小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D．小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 3．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，有下列事件：①掷得的点数是6；②掷得的点数不大于4；③掷得的点数是奇数．这些事件发生的可能性由大到小排列是（    ） A．②①③ B．③①② C．②③① D．③②① 4．（24-25七年级下·山西晋中·期中）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小兰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“立春”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“雨水”概率是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·北京东城·开学考试）有一枚硬币，每次抛出出现正反面的概率相等，已知，在之前的100次试验中，出现了80次正面和20次反面，则第101次出现正面的概率为（    ）． A． B． C． D． 6．（2026·四川南充·一模）在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，如果没有硬币，则下列不能作为替代物进行试验的是（   ） A．一枚均匀的正方体骰子 B．两张不同的扑克 C．两张不同的卡片 D．一枚图钉 7．（24-25九年级上·甘肃兰州·阶段检测）二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·江苏苏州·一模）抛一枚质地均匀的六面体骰子，连续抛次，落地时有次点朝上，如果第次抛掷这枚骰子，那么点朝上的概率为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）抛掷一枚硬币1次，正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图是一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子上，当“”位于格子A时．小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·湖北宜昌·模拟预测）九年级（1） 班共有 40 名同学．在一次数学课上，老师提问后要求同学举手回答， 结果有 30 名同学举手，其中男生 10 名，女生 20 名． 若老师在举手的同学中随机选择一名同学回答问题， 恰好选中女生的概率是（   ） A． B． C． D． 12．（2024·北京·模拟预测）中世纪欧洲的彩票有一种独特的彩票玩法．经营者在底票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，购买者也需要在自己的彩票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，如果购买者的彩票与经营者的底票数字完全相同，那么购买者中奖．彼得彩票店的，加百列彩票店，比较在甲乙彩票店中奖的概率（    ） A．彼得彩票店大 B．加百列彩票店大 C．一样大 D．无法比较 13．（2025·广西玉林·三模）从拼音“shuxue”的六个字母中随机抽取一个字母，抽中字母e的概率为________． 14．（23-24九年级下·江苏镇江·阶段检测）黑色袋子中装有质地均匀，大小相同的编号为号台球共7个，搅拌均匀后，从袋中随机摸出1个球，则摸出的球编号为偶数的概率是_______． 【考点2】几何概率与列表树状图法（第15-40题） · 几何概率：长度比、面积比，目标与整体同单位 · 列表法适合两步，行列写全、格子计数不重不漏 · 树状图适合两步及三步，逐层分叉数路径 · 放回与不放回先分清，有序对按顺序计数 15．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，能够让灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 16．（25-26七年级下·江西九江·期末）如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在空白区域的概率为（     ） A． B． C． D． 17．（23-24八年级下·江苏南京·阶段检测）如图，C、D两个转盘均将圆分成8等分，若转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内概率最大的转盘是（    ） A． B． C． D． 18．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 19．（2026·江苏徐州·模拟预测）三张完全相同卡片分别写有2、、1，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（     ） A． B． C． D． 20．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，“中国七巧板”是由七个几何图形组成的正方形，其中1、2、3、5、7是等腰直角三角形，4是正方形，6是平行四边形．一只体型微小的小虫在七巧板上随机停留，则刚好停在6号板区域的概率为（    ） A． B． C． D． 21．（2024·内蒙古包头·三模）甲、乙、丙、丁四位同学在操场上练习互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，则第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 22．（2026·山东济南·中考真题）经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，恰好有一人直行，另一人右拐的概率是（     ） A． B． C． D． 23．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）一个不透明袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，现从袋子中先后摸出两个球（不放回），则两个球颜色不同的概率为（   ） A． B． C． D． 24．（25-26九年级上·山西晋中·期中）某小区地下车库示意图如图所示，，为入口，，，为出口，亮亮爸爸随机选择了一个入口进入，又随机选择一个出口驶出，则其恰好从口进入且从口驶出的概率为___________． 25．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中阴影区域的概率是_______． 26．（23-24九年级上·江苏南通·期末）两个同学玩“石头、剪子、布”游戏，两人随机同时出手一次，平局的概率为__________________． 27．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，正方形内接于，随机向该圆形区域投掷飞镖1次，假设飞镖投中圆形区域中的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中，则重投1次），则飞镖恰好投中在正方形区域内的概率是______． 28．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点O为正六边形对角线上一点，随机在正六边形内取一点P，那么点P取在阴影部分的概率是____． 29．（25-26九年级上·河南新乡·阶段检测）用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏（红色与蓝色能配成紫色），每个转盘都被分成几个面积相等的扇形，同时转动两个转盘一次，转盘停止时，指针所指扇形的颜色即为转出的颜色（若指针恰好停在分界线上，则重转），则配成紫色的概率是______． 30．（22-23九年级下·江苏宿迁·自主招生）已知6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，若从中任取3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是______． 31．（2024·江苏淮安·一模）小宇为了关注淮安要闻，下载淮安时，想借助初三阶段学习过的概率相关知识估算出黑色部分的面积：如图是正方形边长为的正方形，在正方形区域内随机投掷500个点，落入黑色部分的有300个点，据此可估算黑色部分的面积为____________． 32．（24-25九年级上·广东广州·期末）数学小组对如图所示的二维码开展数学实验，已知二维码区域的大正方形边长为2，通过计算机随机掷点的大量重复实验，发现掷点落在黑色区域的频率稳定在0.75左右，由此可估计黑色部分的面积约为__________． 33．（2025·山东济南·模拟预测）如图，正方形是一块绿化带，其中阴影部分都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟不落在花圃上的概率为________． 34．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）一只不透明的袋子中装有2个白球、1个红球和1个绿球，这些球除颜色外其余都相同． (1)将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到白球的概率是 ； (2)将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录颜色后不放回，再从中剩下的摸出1个球．求两次摸到的球颜色相同的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 35．（2024·云南昆明·模拟预测）小昆和小明了解到腾冲热海风景区、固东银杏村、火山地热国家地质公园、北海湿地都是腾冲旅游必去的打卡风景名胜景点，他们将腾冲热海风景区、固东银杏村、火山地热国家地质公园、北海湿地分别记为． (1)若小昆从这四个腾冲打卡风景名胜景点中，随机选择1个去旅游，则选中火山地热国家地质公园的概率为 ； (2)小昆和小明都想要从腾冲热海风景区、固东银杏村、火山国家地质公园、北海湿地中任意选择1个景点旅游，用列表法或画树状图法中的一种方法，求他们选中不同景点的概率． 36．（2024·江西南昌·一模）江西省将于2024年整体实施高考综合改革．其中，考试科目将不再分文理科，改为“3+1+2”模式：“3”为全国统一考试科目语文、数学、外语；“1”为首选科目，考生从物理、历史2门科目中自主选择1门：“2”为再选科目，考生从思想政治、地理、化学、生物4门科目中自主选择2门； (1)选择历史的概率是________； (2)请用画树状图或列表的方法，求恰好选择思想政治和地理的概率． 37．（24-25九年级下·甘肃天水·开学考试）如图，两个标有数字的转盘分别被等分为四部分和三部分，它们可以分别绕中心旋转，旋转停止时，每个转盘上方的箭头各指着转盘上的一个数字． (1)转动转盘1，转出的数字为5的概率是_______． (2)同时转动两个转盘，请利用画树状图或列表的方法，求转出的两个数字的和为偶数的概率． 38．（24-25九年级上·北京东城·期末）中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的书签，，，，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好． (1)从中随机抽取1张，抽到“中庸”书签的概率是______； (2)从中随机抽取2张；用列举法求出随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率． 39．（23-24九年级上·江苏常州·期末）红梅公园是常州市最大的国家级重点公园，园内的“红梅阁”、“文笔塔”、“屠一道根艺藏珍馆”是其中的3个知名景点．小林游玩红梅公园时，准备从这3个景点中选择2个景点游玩（假设每个景点被选择的可能性相同），求小林选择“红梅阁”与“文笔塔”游玩的概率． 40．（2026·江苏泰州·二模）物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中A、B、C、D表示电路的开关，L表示小灯泡．用列表或画树状图的方法，求随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率． 【考点3】概率的综合应用（第41-54题） · 已知概率求数量：设未知数，由 m/n = 已知概率列方程 · 游戏公平：分别求双方概率或期望，相等才公平 · 统计图表先读数：条形、扇形、表格数据转成数量再求概率 · 决策问题选概率大或期望高的方案 41．（24-25七年级下·四川成都·期末）在一个不透明的口袋中装有6个红球和若干个白球，每个球除颜色外都相同，随机摸出一个球是红球的概率为，则白球的个数为______． 42．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）在一个不透明的盒子里有4个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同．若摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率为，则n的值为_______． 43．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）一只盒子中有红球个，白球个，黑球个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么与的和是_____． 44．（2024·天津河西·一模）不透明袋子中装有6个球，其中有1个粉色球和5个蓝色球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是蓝色球的概率为______． 45．（2025·江苏苏州·二模）从英文单词“success”中随机选择一个字母，选中字母“s”的概率是__________． 46．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）在整数20240424中，数字“0”出现的频率是________． 47．（23-24八年级下·江苏南京·阶段检测）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的4个红球，6个黑球，现在再放入个黑球并摇匀．若随机摸出一个球是黑球的可能性大小是，则m的值为______． 48．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段检测）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，出现点数向上为奇数的概率为________． 49．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，，是正方形网格上的两个格点，在余下的格点中任意取一点，构成的不是等腰三角形的概率是__________． 50．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共50个，小丽做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把球放回，不断重复上述过程，如图是摸到白球的频率折线统计图．估计盒子里白球有______个． 51．（25-26七年级下·山东泰安·期末）中华民族有种折纸玩具“东南西北”，每每想起都会带给我们美好的童年回忆．此玩具的制作方法：通过折叠把一个正方形的纸片分成八个面积相等的部分，在每个部分分别写上相应的惩罚或奖励，叠合成“东南西北”，通过转动随机挑选出八个区域中的一个作为游戏的结果．如图1是小浩制作的一个“东南西北”玩具，展开后如图2所示：则转动一次获得奖励“图书”的概率为______． 52．（24-25九年级上·江苏南京·期末）在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒．小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为_______粒． 53．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）不透明的袋子里装有4个红球和n个白球，这些球除颜色外无其他差异，从袋子里取出一个球是白球的概率是，则n的值为_______． 54．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段检测）从五个点、、、、中任取一点，在双曲线上的概率是_____． 💯 课后巩固 复习建议 · 先判等可能再用 P(A)=m/n，非等可能不能直接套公式 · 几何概率看度量：长度比、面积比，目标与整体同单位 · 两步列表、多步树状图，有序对按顺序、放回不放回要分清 · 频率稳定于概率，大量重复试验中频率可作为概率的估计 · 游戏公平看概率相等或期望相等，不只看规则表面 【作业 1】（2024九年级·江苏南通·专题练习）第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行．其吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”．某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念．甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为__________ ． 【作业 2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图是一个均匀的可以自由转动的转盘，被平均分成9等份，分别标有1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）．小明转动如图所示的转盘，则小明转出的数字小于7的概率为________． 【作业 3】（23-24九年级下·江苏苏州·阶段检测）为了解全校 名学生对篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题． (1)乒乓球所对扇形的圆心角度数_________．这次共抽取了________名学生进行调查，并补全条形图． (2)现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？ 【作业 4】（23-24八年级上·北京顺义·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子一次． (1)“朝上的点数是1”与“朝上的点数是6”这两个事件发生的可能性大小相等吗？为什么？ (2)比较“朝上的点数小于3”与“朝上的点数不小于3”这两个事件发生的可能性的大小． 【作业 5】（2025·吉林白山·模拟预测）如图是一副扑克牌中的3张牌，将它们正面朝下洗匀后放在桌上．爸爸先从中抽出一张，榕榕从剩余的2张牌中也抽出一张，比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．如果两个人的获胜概率相同，我们说游戏是公平的．请借助树状图或列表法来判断这个游戏是否公平． 【作业 6】（2024·江西鹰潭·二模）李季和张雨两个同学各有一把自己的自行车钥匙，放在如下的抽屉中，由于均记不清放在哪个抽屉，现随机打开其中一个抽屉． (1)张雨的钥匙放在右边抽屉中的概率是 ； (2)如果左边这个抽屉是李季的，求李季的钥匙放在自己抽屉中的概率． 【作业 7】（2024·云南德宏·一模）云南是一个多民族的省份，各民族都有自己特色鲜明、丰富多彩的民族文化．在学校举行的民族文化交流会上，小明被推荐讲解两个民族节日，要讲解的民族节日以游戏的方式在“火把节”、“泼水节”、“目瑙纵歌节”、“三月三”四个节日中确定．游戏规则如下：在一个不透明的纸箱中装有分别标有A，B，C，D的四个小球(A代表火把节、B代表泼水节、C代表目瑙纵歌节、D代表三月三，除标号外，其余都相同)，小明从中一次性随机摸出两个小球，小球上的标号所代表的就是小明要讲解的节日． (1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求小明所有可能选到讲解节日的结果总数； (2)求小明选到讲解“泼水节”和“目瑙纵歌节”的概率． 【作业 8】（25-26八年级下·江苏徐州·期末）某地区在连续50年中，每年干燥月份（即降水量低于这50年的平均月降水量）的统计情况如下表： 每年干燥月份的月数 0 1 2 3 4 5 相应的年数 0 0 0 1 5 9 每年干燥月份的月数 6 7 8 9 10 相应的年数 10 10 8 3 2 2 根据上述统计表估计： (1)一年中恰有5个月是干燥月份的概率是多少？ (2)一年中干燥月份小于7个月的概率是多少？ (3)一年中干燥月份大于9个月的概率是多少？ 【作业 9】（2026·江苏徐州·中考真题）2026年4月，徐州首次跻身“长红城市”榜单30强．甲、乙两人来徐州“彭城七里”游玩，若两人分别从博物馆、戏马台、回龙窝等三个景点中选择一个前去游览，且选择每个景点的机会相等，则两人选择相同景点的概率为多少？ 【作业 10】（2022·江苏苏州·模拟预测）甲和乙玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字2，3，4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下，甲从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后乙从中任意抽取一张，计算甲和乙抽得的两个数字之和．若和为奇数，则甲胜；若和为偶数，则乙胜． (1)请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为6的概率； (2)你认为这个游戏规则对双方公平吗？说明你的理由． 【作业 11】（24-25九年级上·全国·期末）如图是两个可以自由转动的转盘，转盘A中数字1所在扇形区域的圆心角为90°，转盘B被分成面积相等的三个扇形．游戏规则：依次转动转盘A，B，当转盘停止后，若指针指向的两个区域的数字之和大于5，则甲获胜；否则乙获胜．(如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘) (1)转动转盘B，指针指向的数字为3的概率是 ； (2)这个游戏公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由． 【作业 12】（2025·吉林·模拟预测）桌面上有4张正面分别标有数字3，5，9，10的不透明卡片，它们除数字外其余均相同，现将它们背面朝上，洗匀后平铺开．先随机翻开一张卡片并记录上面的数字，再从余下的3张卡片中随机翻开一张卡片并记录上面的数字，请用列表或画树状图的方法，求翻到的两个数字之和为偶数的概率． 【作业 13】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）随着通信技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种，用，，，表示四种不同的沟通方式），在全校范围内随机抽查了部分学生，将统计结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： (1)在扇形统计图中，表示的扇形对应的圆心角的度数为____，并将条形统计图补充完整． (2)该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用种方式进行沟通的学生有____名． (3)某天甲、乙两名学生都想从，，三种沟通方式中随机选一种方式与对方联系．请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名学生恰好选中同一种沟通方式的概率． 【作业 14】（25-26九年级上·全国·期末）学校为了践行“立德树人，实践育人”的目标，开展劳动课程，组织学生走进农业基地，欣赏田园风光，体验劳作的艰辛和乐趣，该劳动课程有以下小组：A．搭豇豆架、B．斩草除根、C．趣挖番薯、D．开垦播种，学校要求每人只能参加一个小组，且必须参加一个小组． (1)甲选择“趣挖番薯”小组的概率是________； (2)求甲、乙两人选择同一个小组的概率． 【作业 15】（2025·陕西西安·一模）通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．化学实验室中有四瓶 标签被污染无法识别的无色溶液，分别是A：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：氢氧化钾溶液（呈碱性）．慕梓睿在这四瓶溶液中取样，用酚酞检测其碱性． (1)若慕梓睿将酚酞随机滴入一种样本溶液中，结果样本溶液变红色的概率是 ； (2)若慕梓睿将酚酞随机滴入两种样本溶液中，请你用列表或画树状图的方法，求两种样本溶液恰好都变红色的概率是多少？ 【作业 16】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）根据以下材料，完成相应任务 点球大战 材料一 足球点球决胜法是在比赛踢成平局时，决定胜负的方法．国际足协理事会于1970年决定使用此法．在此之前是用抽签来决定胜负的．具体的方法是：裁判员选择一个球门，抽签决定哪个队先踢，然后双方交替各踢5次点球，进球多者胜．若双方在未踢满5次点球时一方已肯定获胜，裁判员即终止踢点球，宣布获胜队．若踢满5次点球后，进球数相同，则由双方的第6名队员踢点球；依此进行第7名、第8名……队员，踢点球，直至决出胜负． 材料二 在2025年苏超联赛的淘汰赛阶段，甲乙两队进行点球决胜，通过抽签甲队获得先开踢的权利 解决问题 任务一 甲、乙两队抽签决定谁先踢，甲、乙两队要不要争着去抽签？为什么？ 任务二 若前三轮过后，甲、乙两队的比分为，若5轮内决出胜负，问乙赢的概率是多少？ 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $