第5章 等可能条件下的概率 小结与思考导学案2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“等可能条件下的概率”单元复习，目标是系统梳理知识结构、掌握概率计算方法并解决综合问题。通过“回顾旧知-自主探究-当堂巩固-梳理归纳-分层落实”的递进式设计，构建从概念理解到方法运用再到综合拓展的完整学习路径。 亮点在于以问题情境驱动方法梳理与典例分析，如排列问题、几何概率、有放回摸球试验等实例，结合列表法与树状图的对比选择，培养抽象能力、推理意识和数据意识。分层任务如“丢手绢游戏概率计算”促进深度学习，为教师实施单元复习提供从基础到拓展的全面教学支持。

第5章 等可能条件下的概率 小结与思考 学业质量要求： 1. 系统梳理本章知识结构，理解等可能条件下概率的意义，掌握的计算公式。 2. 能根据问题特点灵活选择列表法或树状图列举所有等可能结果，熟练计算一次、两次及多次试验下的概率。 3. 能运用概率知识解决排列、几何、游戏等综合情境下的概率问题，发展数据分析、数学建模与随机观念素养。 学习重点： 系统梳理本章知识，熟练运用列表法、树状图求等可能条件下的概率。 学习难点： 灵活选择列举方法，综合运用概率知识解决较复杂的实际问题。 学习过程： 一、回顾旧知，铺垫新知 本章我们学习了等可能条件下的概率。请回忆： 1. 什么是等可能性？ 2. 等可能条件下概率的计算公式是什么？ 3. 列举所有等可能结果的方法有哪些？各适用于什么情况？ 二、自主探究，新知建构 1. 本章知识结构 等可能条件下的概率是一类经典概率问题，特征是：所有可能发生的结果的个数是 ，每个可能结果发生的概率是 。 2. 方法梳理 解决等可能条件下概率问题的关键是列出随机试验所有等可能的结果，列举时要做到不重不漏。 列举方法 适用范围 特点 直接列举 一次试验，结果数较少 简单直接 列表法 两次试验 结果用有序数对表示，一目了然 树状图 两次及以上试验 层次清晰，可扩展到多次试验 许多随机试验可以通过贴标签的方法归结为等可能条件下的概率问题，如给大小、颜色相同的小球贴上不同的数字标签。 3. 典例分析 例1 （一次试验・排列问题） 有三盆颜色为红色、黄色、橘色的玫瑰花，将它们随意摆放到同一层花架上，按从左向右的顺序列出所有可能摆放的结果，并求黄色玫瑰花摆在红色玫瑰花、橘色玫瑰花之间的概率。 思路分析: 三盆花全排列，直接列举所有等可能结果。 解： 例 2（不放回・两次试验） 一只不透明的袋子中装有 3 个白球、1 个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出 2 个球（先摸出 1 个球，且这个球不放回，再摸出 1 个球），恰好是 1 个红球、1 个白球的概率是多少？ 思路分析: 不放回摸球，给白球编号转化为等可能结果，用树状图或列表法列举。 解： 例 3（多次试验・间接法） 同时抛掷 3 枚质地均匀、大小相同的硬币，事件A记为“3 枚硬币都正面朝上”，事件B记为“有且只有2枚硬币正面朝上”，求事件A和事件B的概率。 思路分析: 3 枚硬币属于多次试验，用树状图列举所有等可能结果。 解： 例 4（几何概率・间接法） 将一个棱长为 4 的正方体的表面涂上粉色，再把它分割成棱长为 1 的小正方体，从中任取 1 个小正方体，求这个小正方体至少有一个面涂有粉色的概率。 思路分析: "至少有一个面涂色" 的对立事件是 "各面都没有涂色"，用间接法更简便。 解： 例 5（有放回・多次试验） 一只不透明的袋子中装有1个白球、1个蓝球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，像这样有放回地先后摸球3次。求下列事件发生的概率： （1）3 次都摸到红球； （2）至少有1次摸到红球； （3）至少有2次摸到红球。 思路分析: 有放回摸球 3 次，每次独立，共种等可能结果。"至少" 类问题用间接法。 解： 三、学以致用，当堂巩固 1. 100 件产品中有 5 件次品，从中任意抽取 1 件，恰好抽到次品的概率是多少？ 2. 一只不透明的袋子中装有 2 个白球、3 个黄球和 5 个红球，搅匀后从中任意摸出 1 个球。求摸到白球和摸到的球不是白球的概率。 3. 从甲地到乙地有A1,A2两条路线，从乙地到丙地有B1,B2,B3三条路线，其中是最短路线。任选一条从甲地到丙地的路线，恰好选到最短路线的概率是多少？ 4. 小明从两副完全相同的手套（分左、右手）中任取两只，求这两只手套恰好配成一副的概率。 四、梳理归纳，素养提升 1.列表法和树状图各自的优势是什么？怎样选择？ 2.有放回和不放回试验在列举结果时有什么本质区别？ 3.“至少有一次”类问题为什么常用间接法？ 4.用频率估计概率的理论依据是什么？ 五、分层落实，拓展延伸 1. 某班级召开主题班会，准备用抽签的方式从由 3 名男生和 2 名女生组成的小组中任选 2 名担任主持人，求所选主持人恰好为 1 名男生和 1 名女生的概率。 2. 一张圆桌旁设有4个座位，甲先坐在如图所示的座位上，乙、丙、丁3人等可能地坐到其他3个座位上。分别求乙与甲不相邻而坐、丙与丁相邻而坐的概率。 3. 甲、乙、丙、丁四人做丢手绢游戏：第一次由甲将手绢随机传给乙、丙、丁中的某一人，从第二次起，每一次都由持手绢者将手绢再随机传给其他三人中的某一人。 （1）求第二次传手绢后手绢回到甲手里的概率； （2）求第三次传手绢后手绢回到甲手中的概率。 参考答案 当堂巩固 1.【答案】 【知识点】一次试验概率 【详解】解：100 件产品中任取 1 件，共 100 种等可能结果，次品有5种，。 2.【答案】摸到白球，摸到的球不是白球 【知识点】一次试验概率，对立事件 【详解】解：共 10个球。白球 2 个，；不是白球即黄球或红球共8个，。 3.【答案】 【知识点】两次试验，列表法 【详解】解：甲到乙2条，乙到丙3条，共6种等可能路线，最短路线只有1种，。 4.【答案】 【知识点】不放回试验，概率计算 【详解】解：两副手套共 4 只（2 左 2 右），任取 2 只不放回，共种等可能结果（有序）。配成一副即1左1右：左先右后种，右先左后种，共8种，。 分层落实，拓展延伸 1.【答案】 【知识点】不放回试验，列表法 / 树状图 【详解】解：5人中选2人不放回，共种等可能结果（有序）。1 男 1 女：男先女后6种，女先男后6种，共12种，。 2.【答案】乙与甲不相邻，丙与丁相邻 【知识点】排列问题，概率计算 【详解】解：甲固定座位，乙、丙、丁坐其余3个座位，共6种等可能坐法。甲对面的座位与甲不相邻，乙坐到该座位即不相邻，有2种，。丙、丁相邻：丙丁相邻的座位对有2组，每组丙丁可互换，共4种，。 3.【答案】（1）；（2） 【知识点】多次试验，树状图，概率计算 【详解】解：（1）第一次甲传给乙、丙、丁中某一人，共 3 种等可能。第二次持手绢者传给其他三人，要回到甲只有 1 种选择，。 （2）第二次后手绢在甲手中概率，在非甲手中概率。若在甲手中，第三次必传给非甲；若在非甲手中，传回甲概率。故第三次回到甲的概率。 学科网（北京）股份有限公司 $