3.5 点、直线与圆的位置关系 导学案 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

3.5点、直线与圆的位置关系 1.教学目标： （1）理解并掌握点、直线与圆的三种位置关系，会利用圆心到点 / 直线的距离 d 与半径 r 的数量关系判断位置关系，实现数形结合解题。 （2）熟练掌握切线的判定定理、性质定理、切线长定理，理解三角形内心概念及性质，能解决切线证明、内切圆相关计算类题 2.教学重难点： 重点：点、直线和圆的位置关系判定；切线的判定定理与性质定理的应用；三角形内切圆的相关计算。 难点：切线证明中辅助线的添加；综合题型中切线性质、切线长定理、内心外心知识的综合运用。 当太阳从海平面升起的时候，大家仔细观察这个过程：我们把一望无际的海平面看成一条直线，把圆圆的太阳看作一个圆。 日出之前，太阳还完全藏在海面下方，太阳和海平面没有任何接触，也就是直线和圆没有公共点，这种位置关系叫做 ，此时太阳中心到海平面的垂直距离，大于太阳自身的半径。 随着时间推移，太阳慢慢向上移动，太阳的边缘刚好擦过海平面，二者只有唯一一个接触点，这一刻就是 ，太阳中心到海平面的垂直距离恰好等于半径。 太阳继续向上爬升，一部分探出海面，太阳和海平面出现两个交点，这就是 ，太阳中心到海平面的垂直距离小于半径。 一、点与圆的位置关系 设⊙O的半径为，点P到圆心O的距离为，则点与圆有三种位置关系： 1. 点P在圆内 2. 点P在圆上 3. 点P在圆外 核心本质：将点与圆的几何位置关系，转化为点到圆心的距离与半径的代数大小比较，实现数形结合解题。 二、直线与圆的位置关系 1.圆的切线定义：档直线与圆有唯一公共点时，我们称直线与圆相切，这条直线叫作圆的切线。 2.设⊙O的半径为，圆心O到直线l的垂线段长度为（唯一判定距离），直线与圆有三种位置关系： 位置关系 公共点个数 数量关系 相关名称 相交 2个 割线 相切 1个（唯一） 切线、切点 相离 0个 无 关键结论：位置关系与数量关系双向等价，可互相推导，是解题核心依据。 三、切线的判定定理 定理内容：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 必备双条件（缺一不可）：①直线经过半径外端点；②直线与该半径互相垂直。 两种判定辅助线思路 1. 有交点，连半径，证垂直：已知直线与圆有明确公共点，连接圆心与公共点，证明连线与直线垂直； 2. 无交点，作垂直，证半径：未知直线与圆公共点，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段长度等于圆的半径。 四、切线的性质定理 定理内容：圆的切线垂直于经过切点的半径。 几何语言：若直线切⊙O于点A，则。 常用辅助线：题目出现切线条件，优先连接圆心与切点，构造垂直关系，是几何解题高频套路。 五、切线长及切线长定理 1.切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长. 注意：切线是一条直线，无法度量;切线长是切线上一条线段的长，即圆外切线上一点和切点之间的距离，可以度量. 2.切线长定理 文字语言 符号语言 图示 ​ 过圆外一点可作圆的两 条切线，切线长相等. 如图，∵PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，∴PA=PB . 六、三角形的内切圆 1.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，这个三角形叫作圆的外切三角形. 2.三角形的内心：三角形的内切圆的圆心叫作三角形的内心（是三角形三条角平分线的交点）． 3.三角形内心的性质 （1）三角形的内心到三角形三条边的距离相等，且等于其内切圆的半径； （2）三角形的内心与三角形顶点的连线平分对应的内角. 4.三角形内切圆的作法 如图，已知△ABC. 求作：与△ABC的各边都相切的圆. 作法：（1）分别作∠BAC,∠ABC的平分线AD， BE，AD与BE 的交点为O ； （2）过点O作OM⊥AB，垂足为M ; （3）以点O为圆心，OM长为半径作⊙O .⊙O 即为所求. 【题型一】点与圆的位置关系的判断 【例】（25-26九年级下·山东菏泽·阶段检测）已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【答案】B 【详解】的半径，点到圆心的距离，．点在内． 【变式训练1】（25-26九年级下·辽宁阜新·月考）若⊙O的半径为，点A与圆心O的距离为，则点A与⊙O的位置关系是______． 【答案】圆外 【详解】解：∵⊙O的半径为，点A与圆心O的距离为，∴点A在⊙O外． 【变式训练2】（25-26九年级上·福建福州·期中）我们知道圆的内接四边形对角互补，反之，若一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点会在同一个圆上吗？小明已经根据“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”作出的圆心，再证明点也在上，在用反证法证明时，假设结论“点在上”不成立，那么点与圆的位置关系是（    ） A．点只能在内 B．点只能在外 C．点在圆心或在外 D．点在内或外 【答案】D 【详解】解：∵ 假设点D不在上，∴ 点D到圆心O的距离不等于半径， 即点D在内（距离小于半径，包括与圆心重合）或点D在外（距离大于半径）． ∴ 点D与的位置关系是点D在内或外．故选：D． 【题型二】点与圆的位置关系的运用 【例】（2026·云南昭通·一模）某圆形桌面，圆心为O，半径为，桌面上有一点P，则线段的长度可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点在圆形桌面上，圆形桌面所在圆的半径，圆心为， ∴点在内或上，∴，故观察选项，只有符合该范围． 【变式训练1】（25-26九年级上·江西九江·期末）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：点P在圆O外，点P到圆心O的距离大于圆O的半径r， 点P到圆心O的距离为，且圆的半径，．故选：A． 【变式训练2】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，，，，点在边上，且，连接．以点为圆心，以为半径画圆，若点中只有2个点在圆内，则的值可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：∵，，，，∴，， ∵点中只有2个点在圆内，，∴，故选：C． 【题型三】利用点与圆的位置关系求半径 【例】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）平面上的一点和的最近点距离为，最远距离为，则这个圆的半径是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：设点与圆心距离为d，半径为r， 当点在圆外时，∵最近距离为，最远距离为， ∴两式相加，，即，代入，得； 当点在圆内时，∵最近距离为，最远距离为， ∴两式相加，，解得：；∴圆的半径为或．故选：C． 【变式训练1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知P点到的最大距离是6，最小距离是2，则的半径是______． 【答案】2或4 【详解】解：设的半径为r，点P到圆心O的距离为d． 若点P在外，则最大距离为，最小距离为． 若点P在外，由题意得：两式相减，解得：． 若点P在内，则最大距离为，最小距离为． 由题意得：，解得：．综上，的半径为2或4．故答案为：2或4． 【变式训练2】（25-26九年级上·四川广安·期末）点到的最近点的距离为，最远点的距离为，则的半径是___________ 【答案】或． 【详解】如图所示，当点P在圆内时， ∵，，∴，∴的半径是； 如图所示，当点P在圆外时， ∵，，∴，∴的半径是； 综上所述，的半径是或．故答案为：或． 【题型四】直线与圆的位置关系的判断 【例】（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 【答案】D 【详解】解：设的半径为，圆心到直线的距离为，由题意得，为上一点，， ∵点到直线的距离，垂线段最短，∴，即， ∵直线与圆相离的判定条件为，∴不可能大于，∴直线不可能与相离． 【变式训练1】（2026·上海宝山·二模）如图，，点O为射线上一点，，如果是以点O为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【详解】解：作于点， ∵，，∴， ∵的半径为3，，∴与直线的位置关系是相离. 【变式训练2】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知的半径等于3，圆心到直线上一点的距离为9，则直线与的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 【答案】D 【详解】解：设圆心到直线的距离为， ∵圆心到直线上一点的距离为9，根据垂线段最短的性质，∴， 又∵的半径，∴可能满足（此时直线与圆相离），或（此时直线与圆相切），或（此时直线与圆相交），∴直线与的位置关系以上都有可能．故选：D． 【题型五】已知直线和圆的位置关系求半径的取值范围 【例】（25-26九年级下·上海杨浦·期中）在平面直角坐标系中，已知点，以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r可以取的值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【详解】解：∵点M的坐标为，∴圆心M到轴的距离，到轴的距离， ∵圆与轴相交，与轴相离，∴且，即，观察选项，只有满足该范围，因此选B． 【变式训练1】（25-26九年级上·河南周口·月考）已知在中，，，，以点为圆心，为半径作圆，若圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 又 （d为C到的距离），即 ，， 当 时，圆与相切，有一个公共点， 当 时，圆与相交，为保证两个交点在线段上，需 故选：B． 【变式训练2】（25-26九年级上·浙江金华·月考）已知直线l与相离，圆心O到直线l的距离为3，则的半径可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：∵直线l与相离，∴圆心到直线的距离半径， 已知，∴．观察选项中只有A．，满足条件．故选：A． 【题型六】已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【例】（25-26九年级上·河北唐山·期末）已知的半径为4，点到直线的距离为d．若直线与公共点的个数为2，则的值可能为（    ） A．5 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】解：∵直线与的公共点个数为2，∴直线与相交， ∴圆心到直线的距离半径．观察选项，只有，符合条件；故选：D． 【变式训练】（25-26九年级上·吉林延边·期末）已知与直线有个公共点，若直径为，则圆心到直线l的距离可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵直径为，∴半径 ∵与直线有个公共点，∴直线与相交，∴圆心到直线的距离小于， ∴选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意．故选：A． 【题型七】圆与平移相关问题 【例】（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿轴正方向平移，使与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．1或5 C．3 D．5 【答案】B 【详解】解：当位于轴的左侧且与轴相切时，此时圆心到轴的距离是，的坐标为，所以平移的距离为； 当位于轴的右侧且与轴相切时，此时圆心到轴的距离是，的坐标为，所以平移的距离为．故选：B． 【变式训练1】（25-26九年级上·河北保定·月考）已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：如图，当直线l经过点B时，， 当直线l平移至直线，且切点为点A时，此时； 当l移动到，且切点为点C时，则； 综上所述，与相切时，平移的距离是或．故选D． 【变式训练2】（25-26九年级上·四川广安·期末）如图，直线、相交于点，，的半径为，且，如果以的速度沿由向的方向移动，则______秒时与直线相切． 【答案】2或6 【详解】解：当点在 点左侧，与相切时，过作于，如图，， ，，的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒）； 当点在 点右侧，与相切，如图， 同理，得的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒）．故答案为：2或6． 【题型八】有关切线的概念辨析 【例】（25-26九年级上·山东日照·期中）下列命题中，是真命题的为（   ） A．三点确定一个圆 B．同弦所对的圆周角相等 C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【答案】C 【详解】A选项：三点确定一个圆，但三点必须不共线，否则不能确定圆，故A是假命题，不符合题意； B选项：同弦所对的圆周角相等或互补，故B是假命题，不符合题意； C选项：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C是真命题，符合题意； D选项：垂直于半径的直线不一定经过切点，因此不一定是切线，故D是假命题，不符合题意．故选：C． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏南京·月考）下列命题中，是真命题的为（    ） A．三点确定一个圆 B．同弦所对的圆周角相等 C．对角互补的四边形四点共圆 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【答案】C 【详解】解：．不共线的三点确定一个圆，原命题是假命题，故该选项不符合题意； ．在同圆或等圆中，同弦所对的圆周角相等，原命题是假命题，故该选项不符合题意； ．对角互补的四边形四点共圆，原命题是真命题，故该选项符合题意； ．经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线，原命题是假命题，故该选项不符合题意；故选：C． 【题型九】切线的判定定理的相关运用 【例】（2026九年级·江苏·专题练习）如图，CD是的直径，BD是的弦，延长DC到点A，使．有下列三个条件：①；②；③．其中只需添加一个条件就能使AB成为的切线的是________（填序号）． 【答案】①②③ 【详解】解：如图，连接． 是的直径，．，． ①，，． 又，是等边三角形，， ，，是的切线．∴①正确； ②，，是等边三角形，． ，，，是的切线．∴②正确； ③，．，．，． ，，，是的切线．∴③正确； 综上所述，能使成为的切线的是①②③．故答案为：①②③． 【变式训练1】如图，是的外接圆，是的直径，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求扇形的面积． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 是的半径， ∴是的切线； (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴扇形的面积． 【变式训练2】如图，在等腰中，，以为直径的与交于点D，，垂足为E，的延长线与的延长线交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 【变式训练3】如图，在中，，O是底边的中点，与腰相切于点D，求证：与相切． 【答案】 连接，过点O作于E， ∵，O是底边的中点， ∴. ∵与相切于点D， ∴. ∵， ∴. ∵为的半径， ∴与相切． 【分析】 【详解】略 【变式训练4】（25-26九年级下·江苏连云港·月考）如图，已知内接于，是的直径． (1)尺规作图：确定点的位置，使得点是弧的中点，交直线于点；（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（）的条件下，求证：是的切线． 【答案】(1)作图见解析(2)证明见解析 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）证明：如图，连接，设交于点，∵点是弧的中点， ∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∵是的半径，∴是的切线． 【变式训练5】（25-26九年级下·吉林长春·月考）如图，在中，，以为直径的交于点，是的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)写一个与相等的角________；(2)求证：是的切线． 【答案】(1)（或）(2)见解析 【详解】（1）解：连接， ∵是的直径，∴，∴， ∵E是的中点，∴，∴， 又∵，∴，∴与相等的角为和； （2）证明：连接，，是的直径，，∴， 是的中点，，，，， ，，．， 又点在上，是的切线． 【题型十】切线的性质定理的运用 【例】（2025·安徽宣城·一模）如图，正五边形的两条边，与相切，切点为点，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如下图所示，连接并延长到点， 五边形是正五边形，， 又、是的切线，， ，，， ．故选：D． 【变式训练1】（2026·海南海口·一模）如图，经过的圆心O，与相切于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接，∵是的切线，∴， ∵，∴，∴． 【变式训练2】（2026·重庆·一模）如图，是的两条切线，切点分别为，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：与分别是中所对的圆周角和圆心角，， 是的两条切线，，，， 在四边形中，． 【变式训练3】（2026·湖南长沙·一模）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴， ∵，∴， ∵是的切线，∴，∴，∴． 【题型十一】切线的性质定理与判定定理综合运用 【例】（2026·吉林长春·一模）如图，四边形为菱形，以为直径作交于点F，连接交于点H，E是上的一点，且，连接． (1)求证：是的切线；(2)若，，则四边形的面积为 ． 【答案】(1)见解析(2)20 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵四边形为菱形，∴，，， ∵，∴，∴，∴；∴． ∵是的直径，∴，∴ ∵，∴，∴，∵是的半径，∴是的切线； （2）解：如上图，连接，∵是的直径，∴，∴， ∵，，∴， 在和中，∵，， ∴，∴， ∴，∴．∴， ∴．即四边形的面积是20． 【变式训练1】（25-26九年级下·湖北鄂州·期中）如图，四边形内接于，是的直径，于点，平分．(1)求证：是的切线；(2)如果，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接如图所示： ∵，∴，∵平分，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，即，又∵是半径，∴是的切线； （2）解：延长交于点，如图所示： ∵为的直径，∴，∵， ∴四边形为矩形，∴，，∴， ∴在中，， 设的半径为，则，， ∴在中，，∴，解得：． 【变式训练2】（25-26九年级下·江苏无锡·期中）如图，是的高，以为直径作交的延长线于点，连接，．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析(2)12 【详解】（1）证明：连接． ∵，∴．∵，，∴． ∵是的高，∴．∴． ∴．∴，即， 又∵是的半径，∴是的切线； （2）解：由题意知：，，设，则， 由（1）知，∴在中，， 即，解得．∴．∴的面积． 【变式训练3】（2026·江苏无锡·二模）如图，在中，，． (1)请用无刻度的直尺及圆规在图1中作，使得圆心O在边上，经过点C且与边相切；（不写作法，保留作图痕迹）；(2)若，则________． 【答案】(1)见详解(2) 【详解】（1）解：如图所示，作的垂直平分线交于点H，过点H作交于点O，以点O为圆心，为半径作圆，即为所求； ∵，的垂直平分线交于点H，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴与相切． （2）解：如图所示，过点作，垂足为，∵，，∴， ，，，， ，． 【变式训练4】（2026·湖北黄石·一模）在中，已知为直径，点E是弧上一点，弦，且．连交于点N，点P在的延长线上，．(1)求证：是的切线：(2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)． 【详解】（1）证明：连接，如图1所示： ∵，∴，∵，∴． ∵，∴，∴，即，∴， ∵是半径，∴是的切线； （2）解：连接，如图2所示：∵，∴，∴为的直径． ∵，∴，设的半径为，∴， 在中，由勾股定理，得：，∴，解得， ∴．∴． 【变式训练5】（2026·山东德州·一模）如图，点是外一点，直线交于点，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，过，作直线，交于点（点在外）：以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接． (1)线段与的数量关系为：_______；(2)求证：是的切线；(3)若，，求的长． 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）解：由作法得垂直平分，即． （2）证明：如图：连接，， 由作法得垂直平分，，，，， 的内角和为，，即， ∴，即， 又点在上，是的切线； （3）解：设半径为，则，，由（2）可知，， 在中，根据勾股定理，，∴，解得，； ． 【题型十二】切线长定理及其运用 【例】（25-26九年级上·福建莆田·期末）如图，在四边形中，，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为，若，求半径的长是（    ） A．2 B． C． D．5 【答案】C 【详解】解：连接、，∵，是的半径，∴是的切线， ∵是的切线，∴，，， ∵，∴，∴，∴， ∴，在中，，∴，故选：C． 【变式训练1】（2026·青海西宁·一模）如图，内切于四边形，且，则四边形的周长_______． 【答案】26 【详解】解：如图所示，与相切于点，与相切于点，与相切于点，与相切于点， ∵内切于四边形，即是的切线，∴， ∴， ∴四边形的周长为． 【变式训练2】（2026·山东淄博·一模）如图，在四边形中，，，分别与扇形相切于点，．若，，则的长为（    ） A．8 B． C． D．9 【答案】D 【详解】解：连接，作于点，则， ，分别与扇形相切于点，，，， ，，，， ，， ，，，四边形是矩形， ，，， 在中，根据勾股定理可得：，解得：． 【变式训练3】（25-26九年级下·四川广安·开学考试）如图，，分别与相切于点，，与相切于点，交于点，交于点，若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，分别相切于点，， ，分别与相切于点，， 分别与相切于点，， ． 【题型十三】三角形的内切圆问题 【例】（25-26九年级上·山东滨州·期末）如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（    ） A．32 B．28 C．26 D．30 【答案】C 【详解】解：∵分别与相切于点，∴，，， ∴ 【变式训练1】（25-26九年级上·江苏南通·期末）中，，，，则内切圆的半径等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，，∴， 设内切圆的半径为r，则有：，∴；故选：A． 【变式训练2】（2026·山东青岛·一模）如图，是的内切圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴， ∵是的内切圆，∴平分，∴， ∴， ∴． 【变式训练3】（25-26八年级上·上海崇明·期末）如图，点是的内心，过点作，垂足为点．如果的面积为，那么的周长为__________． 【答案】 【详解】解：连接，过点作， ∵点是的内心，∴平分，平分，平分， ∵，，∴，∵的面积为， ∴，即， ∴．故答案为：． 【题型十四】内切圆与外接圆综合 【例】（25-26九年级上·安徽淮南·期末）下列说法正确的是（   ） A．三角形的内心是三边垂直平分线的交点 B．三角形的外心是三个内角平分线的交点 C．等腰直角三角形的内心与外心重合 D．等边三角形的内心与外心重合 【答案】D 【详解】解：∵三角形的内心是三个内角平分线的交点，外心是三边垂直平分线的交点． ∴A选项说法错误，B选项说法错误； ∵等腰直角三角形的外心在斜边中点处，内心在三角形内部，二者不重合．∴C选项说法错误； ∵等边三角形的内角平分线与三边垂直平分线重合，其内心与外心为同一点．∴D选项说法正确．故选：D． 【变式训练1】（25-26九年级上·山东威海·期末）如图，点O，I分别是的外心、内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接，∵I是的内心，，∴， ∵点O是的外心，∴， ∵，∴，故选：A． 【变式训练2】（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，点为的外心，点为的内心，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，作的外接圆，∵点O是的外心，∴的外接圆的圆心为点O， ∵，，∴，∴， ∵点I是的内心，∴平分，平分， ∴，∴， ∴，故选：A． 【变式训练3】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知一个三角形的三边长分别为5、12、13，则该三角形内心与外心之间的距离是__________． 【答案】 【详解】解：如图，∵三角形三边分别为5，12，13，∴， 根据勾股定理的逆定理，得三角形是直角三角形，外接圆的半径：， 如图，设，， 设的内切圆的半径为r，则， ∵，∴， ∴，解得，∴， 在中，，根据勾股定理得∴， 则该三角形内心与外心之间的距离为，故答案为：． 【变式训练4】（25-26九年级下·湖北襄阳·自主招生）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点．现给出以下四个判断：（1）；（2）； （3）；（4）．则正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：（1）∵点是的内心，∴，， ∵，∴， ∴，故（1）不正确； （2）∵的延长线和的外接圆相交于点，∴四边形是的外接圆的圆内接四边形， ∴，∴，故（2）正确； （3）∵点是的内心，∴平分，平分， ∴，，∴， ∴，∴，∴，故（3）正确； （4）∵点是的内心，∴平分，∴， ∴，∴，故（4）正确；∴正确的结论是：（2）（3）（4）， ∴正确结论的个数为3．故选：C． 一、选择题 1．给出下列说法：①半圆是弧；②直径是弦；③长度相等的两条弧是等弧；④在同一平面中，到定点的距离等于定长的点的集合是圆；⑤A，B是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是．其中，正确的是（   ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 【答案】B 【分析】根据圆的基本概念逐一判断各说法的正确性． 本题考查了圆的基本概念，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：∵ ①半圆是圆上任意直径的两个端点之间的部分，是弧的一种，正确； ②直径是连接圆上两点且经过圆心的线段，是弦的一种，正确； ③长度相等的两条弧必须在同圆或等圆中才能称为等弧，否则不一定重合，错误； ④圆的定义是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，正确； ⑤　弦连接圆上两个不同点，，最大弦为直径， ∴，正确。 ∴ 正确的是①②④⑤， 故选：B． 2．如图，已知是的直径，为的弦，，连接，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于一点．直线交于点，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等边对等角得，由平行线的性质得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴，． ∴． 3．（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点，然后根据两点之间的距离公式可知每段线段的大小，根据线段的等量关系求解． 本题考查了三角形的外接圆，平面直角坐标系以及两点之间的距离公式，知道三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点是解题关键． 【详解】 解： 设外接圆的圆心为点, 外接圆的圆心为三角形三条边中垂线的交点， 由题可知，,, 则作的中垂线交于, 作的中垂线交于, , 设点的坐标为， , ， ， ， 则点的坐标为． 故选: ． 2、 填空题 4．如图，是的直径，E是上一点，A为延长线上一点，连接与交于点B，且，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】连接，利用等腰三角形的性质得到，以及三角形外角的性质求出，结合即可求解． 【详解】解：连接， ，， ， ， 而， ， ， ， ． 5．如图，是的直径，点C，D在的异侧，连接，，，若，且，则的度数为__________． 【答案】/50度 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得的度数，再根据平行线的性质即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 三、解答题 6．（25-26九年级下·甘肃张掖·期中）如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交于点C，交弦于点D．已知，． (1)求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求（1）中所作圆的半径． (3)思考1：求残片所在的圆，关键是找出______，即两条弦的______． 思考2：求半径的长，可以作辅助线构造直角三角形，利用______定理求解． 【答案】(1)见解析 (2) (3)圆心，垂直平分线的交点，勾股 【分析】（1）由于是弦的垂直平分线，则圆心在直线上，因此连接，圆心在的垂直平分线上，故作的垂直平分线，交于点O，则点O就是所求的圆心，以为半径画圆即可得到所求的圆； （2）连接，设半径为，即，则，根据是的垂直平分线，得到，，因此在中，根据勾股定理构造方程，即可求出x的值，即为此残片所在圆的半径； （3）根据（1）（2）的解题思路即可解答． 【详解】（1）解：如图，为所求的圆． （2）解：连接， 设半径为，即， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴在中，， 即， 解得：， ∴此残片所在圆的半径为． （3）解：思考1：求残片所在的圆，关键是找出圆心，即两条弦的垂直平分线的交点． 思考2：求半径的长，可以作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求解． 7．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，中， (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的外接圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图，复杂作图、等腰三角形的性质、三角形的外接圆与外心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得的外接圆． （2）连接并延长，交于点D，连接，可得，即可得，，在中，根据勾股定理得，，设的外接圆的半径为x，则，，在中，根据勾股定理得，，代入求出x的值即可． 【详解】（1）解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆， 则即为所求． （2）解：连接并延长，交于点D，连接， 得， ， 在中，根据勾股定理得，， 设的外接圆的半径为x， 则，， 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得 的外接圆的半径为． 8．如图所示，大圆的周长为18.84厘米，在圆中有两个小圆，已知两个小圆的面积比为，求阴影部分的周长与面积． 【答案】6.28厘米；3.14平方厘米 【分析】根据大圆周长和圆的周长公式求出大圆的直径，根据两个小圆的面积比为，结合圆的面积公式求出这两个圆的半径比为，则可求阴影部分圆的半径，最后根据圆的周长和面积公式求解即可． 【详解】解：（厘米）， 设两个小圆的半径依次是， 则， ， （厘米）， 周长：（厘米），面积：（平方厘米）， 答：阴影部分的周长是6.28厘米，面积是3.14平方厘米． 9．一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周．如图，这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1分米（取3.14）． (1)扫地机器人的底面圆心走过的路线长多少分米？ (2)扫地机器人扫过的面积是多少平方分米？ 【答案】(1)71.4分米； (2)142.8平方分米 【分析】（1）首先求出半径，然后列式求解； （2）用半径为6的圆的面积减去半径为4的圆的面积，然后加上2个长为20分米，宽为2分米的长方形的面积，然后计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：半径为（分米）， （分米）； 答：扫地机器人的底面圆心走过的路线长71.4分米； （2）解： （平方分米）； 答：扫地机器人扫过的面积是142.8平方分米． 10．如图，是弦的中点，A是上一点，与交于点E，已知，． (1)求线段的长． (2)当时，求，的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了圆的基本性质、等腰三角形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，，根据中点的定义得到，再根据三线合一的性质得到，在中利用勾股定理即可求解； （2）设，表示出、的长，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵是弦的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵A是上一点，， ∴的半径为8， ∴在中，； （2）解：设，则， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：，（舍去），∴，． 一、本节课我们学习的内容有哪些还记得吗？ 二、三角形外接圆的画法还记得吗？垂直平分线、角平分线、中线的交点分别叫什么名字呢？ 3、 对于本节课的知识点还有哪些是掌握不熟练的呢？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.5点、直线与圆的位置关系 1.教学目标： （1）理解并掌握点、直线与圆的三种位置关系，会利用圆心到点 / 直线的距离 d 与半径 r 的数量关系判断位置关系，实现数形结合解题。 （2）熟练掌握切线的判定定理、性质定理、切线长定理，理解三角形内心概念及性质，能解决切线证明、内切圆相关计算类题 2.教学重难点： 重点：点、直线和圆的位置关系判定；切线的判定定理与性质定理的应用；三角形内切圆的相关计算。 难点：切线证明中辅助线的添加；综合题型中切线性质、切线长定理、内心外心知识的综合运用。 当太阳从海平面升起的时候，大家仔细观察这个过程：我们把一望无际的海平面看成一条直线，把圆圆的太阳看作一个圆。 日出之前，太阳还完全藏在海面下方，太阳和海平面没有任何接触，也就是直线和圆没有公共点，这种位置关系叫做 ，此时太阳中心到海平面的垂直距离，大于太阳自身的半径。 随着时间推移，太阳慢慢向上移动，太阳的边缘刚好擦过海平面，二者只有唯一一个接触点，这一刻就是 ，太阳中心到海平面的垂直距离恰好等于半径。 太阳继续向上爬升，一部分探出海面，太阳和海平面出现两个交点，这就是 ，太阳中心到海平面的垂直距离小于半径。 一、点与圆的位置关系 设⊙O的半径为，点P到圆心O的距离为，则点与圆有三种位置关系： 1. 点P在圆内 2. 点P在圆上 3. 点P在圆外 核心本质：将点与圆的几何位置关系，转化为点到圆心的距离与半径的代数大小比较，实现数形结合解题。 二、直线与圆的位置关系 1.圆的切线定义：档直线与圆有唯一公共点时，我们称直线与圆相切，这条直线叫作圆的切线。 2.设⊙O的半径为，圆心O到直线l的垂线段长度为（唯一判定距离），直线与圆有三种位置关系： 位置关系 公共点个数 数量关系 相关名称 相交 2个 割线 相切 1个（唯一） 切线、切点 相离 0个 无 关键结论：位置关系与数量关系双向等价，可互相推导，是解题核心依据。 三、切线的判定定理 定理内容：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 必备双条件（缺一不可）：①直线经过半径外端点；②直线与该半径互相垂直。 两种判定辅助线思路 1. 有交点，连半径，证垂直：已知直线与圆有明确公共点，连接圆心与公共点，证明连线与直线垂直； 2. 无交点，作垂直，证半径：未知直线与圆公共点，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段长度等于圆的半径。 四、切线的性质定理 定理内容：圆的切线垂直于经过切点的半径。 几何语言：若直线切⊙O于点A，则。 常用辅助线：题目出现切线条件，优先连接圆心与切点，构造垂直关系，是几何解题高频套路。 五、切线长及切线长定理 1.切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长. 注意：切线是一条直线，无法度量;切线长是切线上一条线段的长，即圆外切线上一点和切点之间的距离，可以度量. 2.切线长定理 文字语言 符号语言 图示 ​ 过圆外一点可作圆的两 条切线，切线长相等. 如图，∵PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，∴PA=PB . 六、三角形的内切圆 1.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，这个三角形叫作圆的外切三角形. 2.三角形的内心：三角形的内切圆的圆心叫作三角形的内心（是三角形三条角平分线的交点）． 3.三角形内心的性质 （1）三角形的内心到三角形三条边的距离相等，且等于其内切圆的半径； （2）三角形的内心与三角形顶点的连线平分对应的内角. 4.三角形内切圆的作法 如图，已知△ABC. 求作：与△ABC的各边都相切的圆. 作法：（1）分别作∠BAC,∠ABC的平分线AD， BE，AD与BE 的交点为O ； （2）过点O作OM⊥AB，垂足为M ; （3）以点O为圆心，OM长为半径作⊙O .⊙O 即为所求. 【题型一】点与圆的位置关系的判断 【例】（25-26九年级下·山东菏泽·阶段检测）已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【变式训练1】（25-26九年级下·辽宁阜新·月考）若⊙O的半径为，点A与圆心O的距离为，则点A与⊙O的位置关系是______． 【变式训练2】（25-26九年级上·福建福州·期中）我们知道圆的内接四边形对角互补，反之，若一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点会在同一个圆上吗？小明已经根据“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”作出的圆心，再证明点也在上，在用反证法证明时，假设结论“点在上”不成立，那么点与圆的位置关系是（    ） A．点只能在内 B．点只能在外 C．点在圆心或在外 D．点在内或外 【题型二】点与圆的位置关系的运用 【例】（2026·云南昭通·一模）某圆形桌面，圆心为O，半径为，桌面上有一点P，则线段的长度可能是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26九年级上·江西九江·期末）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，，，，点在边上，且，连接．以点为圆心，以为半径画圆，若点中只有2个点在圆内，则的值可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型三】利用点与圆的位置关系求半径 【例】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）平面上的一点和的最近点距离为，最远距离为，则这个圆的半径是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【变式训练1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知P点到的最大距离是6，最小距离是2，则的半径是______． 【变式训练2】（25-26九年级上·四川广安·期末）点到的最近点的距离为，最远点的距离为，则的半径是___________ 【题型四】直线与圆的位置关系的判断 【例】（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 【变式训练1】（2026·上海宝山·二模）如图，，点O为射线上一点，，如果是以点O为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【变式训练2】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知的半径等于3，圆心到直线上一点的距离为9，则直线与的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 【题型五】已知直线和圆的位置关系求半径的取值范围 【例】（25-26九年级下·上海杨浦·期中）在平面直角坐标系中，已知点，以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r可以取的值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．10 【变式训练1】（25-26九年级上·河南周口·月考）已知在中，，，，以点为圆心，为半径作圆，若圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】（25-26九年级上·浙江金华·月考）已知直线l与相离，圆心O到直线l的距离为3，则的半径可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型六】已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【例】（25-26九年级上·河北唐山·期末）已知的半径为4，点到直线的距离为d．若直线与公共点的个数为2，则的值可能为（    ） A．5 B． C．4 D． 【变式训练】（25-26九年级上·吉林延边·期末）已知与直线有个公共点，若直径为，则圆心到直线l的距离可以是（    ） A． B． C． D． 【题型七】圆与平移相关问题 【例】（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿轴正方向平移，使与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．1或5 C．3 D．5 【变式训练1】（25-26九年级上·河北保定·月考）已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【变式训练2】（25-26九年级上·四川广安·期末）如图，直线、相交于点，，的半径为，且，如果以的速度沿由向的方向移动，则______秒时与直线相切． 【题型八】有关切线的概念辨析 【例】（25-26九年级上·山东日照·期中）下列命题中，是真命题的为（   ） A．三点确定一个圆 B．同弦所对的圆周角相等 C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【变式训练】（25-26九年级上·江苏南京·月考）下列命题中，是真命题的为（    ） A．三点确定一个圆 B．同弦所对的圆周角相等 C．对角互补的四边形四点共圆 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【题型九】切线的判定定理的相关运用 【例】（2026九年级·江苏·专题练习）如图，CD是的直径，BD是的弦，延长DC到点A，使．有下列三个条件：①；②；③．其中只需添加一个条件就能使AB成为的切线的是________（填序号）． 【变式训练1】如图，是的外接圆，是的直径，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求扇形的面积． 【变式训练2】如图，在等腰中，，以为直径的与交于点D，，垂足为E，的延长线与的延长线交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 【变式训练3】如图，在中，，O是底边的中点，与腰相切于点D，求证：与相切． 【变式训练4】（25-26九年级下·江苏连云港·月考）如图，已知内接于，是的直径． (1)尺规作图：确定点的位置，使得点是弧的中点，交直线于点；（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（）的条件下，求证：是的切线． 【变式训练5】（25-26九年级下·吉林长春·月考）如图，在中，，以为直径的交于点，是的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)写一个与相等的角________；(2)求证：是的切线． 【题型十】切线的性质定理的运用 【例】（2025·安徽宣城·一模）如图，正五边形的两条边，与相切，切点为点，，则为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2026·海南海口·一模）如图，经过的圆心O，与相切于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026·重庆·一模）如图，是的两条切线，切点分别为，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（2026·湖南长沙·一模）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（   ） A． B． C． D． 【题型十一】切线的性质定理与判定定理综合运用 【例】（2026·吉林长春·一模）如图，四边形为菱形，以为直径作交于点F，连接交于点H，E是上的一点，且，连接． (1)求证：是的切线；(2)若，，则四边形的面积为 ． 【变式训练1】（25-26九年级下·湖北鄂州·期中）如图，四边形内接于，是的直径，于点，平分．(1)求证：是的切线；(2)如果，，求的半径． 【变式训练2】（25-26九年级下·江苏无锡·期中）如图，是的高，以为直径作交的延长线于点，连接，．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的面积． 【变式训练3】（2026·江苏无锡·二模）如图，在中，，． (1)请用无刻度的直尺及圆规在图1中作，使得圆心O在边上，经过点C且与边相切；（不写作法，保留作图痕迹）；(2)若，则________． 【变式训练4】（2026·湖北黄石·一模）在中，已知为直径，点E是弧上一点，弦，且．连交于点N，点P在的延长线上，．(1)求证：是的切线：(2)若，，求的长． 【变式训练5】（2026·山东德州·一模）如图，点是外一点，直线交于点，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，过，作直线，交于点（点在外）：以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接． (1)线段与的数量关系为：_______；(2)求证：是的切线；(3)若，，求的长． 【题型十二】切线长定理及其运用 【例】（25-26九年级上·福建莆田·期末）如图，在四边形中，，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为，若，求半径的长是（    ） A．2 B． C． D．5 【变式训练1】（2026·青海西宁·一模）如图，内切于四边形，且，则四边形的周长_______． 【变式训练2】（2026·山东淄博·一模）如图，在四边形中，，，分别与扇形相切于点，．若，，则的长为（    ） A．8 B． C． D．9 【变式训练3】（25-26九年级下·四川广安·开学考试）如图，，分别与相切于点，，与相切于点，交于点，交于点，若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【题型十三】三角形的内切圆问题 【例】（25-26九年级上·山东滨州·期末）如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（    ） A．32 B．28 C．26 D．30 【变式训练1】（25-26九年级上·江苏南通·期末）中，，，，则内切圆的半径等于（   ） 【变式训练2】（2026·山东青岛·一模）如图，是的内切圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】（25-26八年级上·上海崇明·期末）如图，点是的内心，过点作，垂足为点．如果的面积为，那么的周长为__________． 【题型十四】内切圆与外接圆综合 【例】（25-26九年级上·安徽淮南·期末）下列说法正确的是（   ） A．三角形的内心是三边垂直平分线的交点 B．三角形的外心是三个内角平分线的交点 C．等腰直角三角形的内心与外心重合 D．等边三角形的内心与外心重合 【变式训练1】（25-26九年级上·山东威海·期末）如图，点O，I分别是的外心、内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，点为的外心，点为的内心，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式训练3】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知一个三角形的三边长分别为5、12、13，则该三角形内心与外心之间的距离是__________． 【变式训练4】（25-26九年级下·湖北襄阳·自主招生）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点．现给出以下四个判断：（1）；（2）； （3）；（4）．则正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 一、选择题 1．给出下列说法：①半圆是弧；②直径是弦；③长度相等的两条弧是等弧；④在同一平面中，到定点的距离等于定长的点的集合是圆；⑤A，B是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是．其中，正确的是（   ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 2．如图，已知是的直径，为的弦，，连接，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于一点．直线交于点，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 4．如图，是的直径，E是上一点，A为延长线上一点，连接与交于点B，且，若，则的度数是________． 5．如图，是的直径，点C，D在的异侧，连接，，，若，且，则的度数为__________． 三、解答题 6．（25-26九年级下·甘肃张掖·期中）如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交于点C，交弦于点D．已知，． (1)求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求（1）中所作圆的半径． (3)思考1：求残片所在的圆，关键是找出______，即两条弦的______． 思考2：求半径的长，可以作辅助线构造直角三角形，利用______定理求解． 7．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，中， (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的外接圆的半径． 8．如图所示，大圆的周长为18.84厘米，在圆中有两个小圆，已知两个小圆的面积比为，求阴影部分的周长与面积． 9．一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周．如图，这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1分米（取3.14）． (1)扫地机器人的底面圆心走过的路线长多少分米？ (2)扫地机器人扫过的面积是多少平方分米？ 10．如图，是弦的中点，A是上一点，与交于点E，已知，． (1)求线段的长． (2)当时，求，的长． 一、本节课我们学习的内容有哪些还记得吗？ 二、三角形外接圆的画法还记得吗？垂直平分线、角平分线、中线的交点分别叫什么名字呢？ 3、 对于本节课的知识点还有哪些是掌握不熟练的呢？ 学科网（北京）股份有限公司 $