第4讲·有理数的乘除·培优讲义 ·2026--2027学年苏科版七年级数学上册

第4讲·有理数的乘除·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年苏科版七年级数学上册 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 掌握有理数乘法法则，会确定多个因数相乘时积的符号并正确计算 · 掌握有理数除法法则，会把除法转化为乘法进行计算 · 理解倒数的概念，会求一个数的倒数，掌握相反数与倒数的综合应用 · 会运用乘法运算律（交换律、结合律、分配律）进行简便计算 · 能根据数轴上点的位置判断式子的符号，会化简含字母的绝对值 · 能运用有理数乘除解决正负数记录、销售盈亏、温度变化等实际问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.有理数的乘法 两数相乘：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘得 0 多个因数相乘：先看负因数的个数——负因数有偶数个积为正，有奇数个积为负 几个数相乘，只要有一个因数为 0，积就为 0 乘法运算律：交换律 ab=ba；结合律 (ab)c=a(bc)；分配律 a(b+c)=ab+ac 简便计算技巧：把分数与小数统一、凑整（如 与 4、0.25 与 -4）先结合 概念辨析例题：计算 ( - + ) × (-32) 的结果为（　　） 答案：4 解析：用分配律展开：×(-32) - ×(-32) + ×(-32) = -8 + 16 - 4 = 4……注意逐项符号，本题训练分配律的正负号处理。分配律是把「难算的乘法」拆成「好算的乘法」的核心工具。 ✅️ 2.有理数的除法与倒数 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，即 a ÷ b = a × 两数相除：同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何非 0 数得 0 倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数；a 的倒数是 （a ≠ 0），0 没有倒数 相反数与倒数综合：a、b 互为相反数则 a + b = 0；c、d 互为倒数则 cd = 1 除法混合运算：先把除法统一转化为乘法，再确定符号、约分 概念辨析例题：已知 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，则代数式 a + b + 的值为（　　） 答案：1 解析：互为相反数 → a + b = 0；互为倒数 → cd = 1。代入得 0 + 1 = 1。「互为相反数和为 0、互为倒数积为 1」是两类整体代换的基本结论。 ✅️ 3.数轴上的符号判断与绝对值化简 由数轴上点的位置判断 a、b、a+b、a-b、ab 的符号 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0 化简 |a| 的步骤：先由数轴确定 a 的符号，再按「正去负留」去掉绝对值 多个字母的绝对值化简：逐个判断每个式子的符号，分段讨论 常用结论：数轴上右边的数总比左边大；异号两数相加取绝对值较大者的符号 概念辨析例题：有理数 a、b 在数轴上对应点的位置如图：a 在 -2 与 -1 之间，b 在 0 与 1 之间，化简 |a+1| + |b-a| 的结果为（　　） 答案：b - 2a - 1 解析：由 -2 < a < -1 得 a + 1 < 0，|a+1| = -(a+1)；由 b > 0 > a 得 b - a > 0，|b-a| = b - a。原式 = -a-1 + b-a = b - 2a - 1。化简绝对值的关键是先用数轴确定每个「绝对值内式子」的正负。 ✅️ 4.乘法分配律与简便运算的进阶技巧 分配律逆用：ab + ac = a(b + c)，提公因数简化计算 拆项技巧：把一个数拆成两个数的和（如 5 = 6 - 1、99× = (98+1)×） 符号处理：-351 × (-7) 之类先定符号再算绝对值 混合运算顺序：先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号内 新定义运算：严格按定义给的规则转化为常规运算，注意运算顺序 概念辨析例题：定义新运算 a*b = ab - a - b，计算 3*(-2) 的值为（　　） 答案：-7 解析：按定义：3*(-2) = 3×(-2) - 3 - (-2) = -6 - 3 + 2 = -7……逐项处理符号后得结果。新定义运算题读懂规则、代入时给负数加括号，是两个必备习惯。 ✅️ 5.有理数乘除的实际应用 正负数记录：盈亏、升降、进出用正负表示，求总量用加法，求差用绝对值 销售问题：售价 - 进价 = 利润（正盈负亏），按件数汇总 行程与温度：路程 = 速度 × 时间；每升高（降）单位温度变化 × 次数 表格与素材题：从表格中提取数据，分步计算再汇总，注意正负号的实际意义 规律探究：多个有理数的乘除按周期分组，找循环节再算总数 概念辨析例题：某司机在南北方向道路上营运，约定向北为正。行车记录依次为 +8、-6、+5、-7（单位：km），每千米耗油 0.2 升，则这天共耗油（　　） 答案：5.2 升 解析：总路程 = |8| + |-6| + |5| + |-7| = 26km，耗油 = 26 × 0.2 = 5.2 升。注意：求「耗油总量」用绝对值（路程不分方向），求「离出发点距离」才考虑正负抵消。 🧀 知识总结表 法则/概念 内容 备注 乘法法则 同号得正，异号得负 绝对值相乘 除法法则 除以一个数 = 乘其倒数 0 不能作除数 倒数 乘积为 1 的两数 0 没有倒数 相反数 和为 0 的两数 整体代换 a+b=0 分配律 a(b+c) = ab+ac 简算核心工具 负因数个数 奇负偶正 多个因数先定号 📩 核心考点 【考点1】倒数与相反数（第1-13题） · 倒数的求法：分数颠倒分子分母，小数先化分数，负数符号保留 · 0 没有倒数；1 与 -1 的倒数是它本身 · 相反数与倒数的整体代换：a+b=0，cd=1，|m|=2 时 m=±2 要分类 · 「相反数的倒数」「倒数的相反数」先分清运算顺序再求 1．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）的倒数是（   ） A． B．5 C． D． 2．（22-23七年级上·江苏扬州·期末）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，则代数式的值为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 3．（2022·江苏扬州·模拟预测）的相反数的倒数是（     ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·江苏南京·期中）的相反数是__________；的倒数是__________． 5．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）已知：，则x的倒数为______． 6．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）与互为倒数的是_______． 7．（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）的倒数是________． 8．（23-24七年级上·江苏南京·期末）写出一个数，使这个数的绝对值等于它的倒数：______． 9．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知互为相反数，为倒数，且，则的值为_______． 10．（2025七年级上·江苏·专题练习）已知：a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2．求：的值． 11．（上海六年级下期末真题精选（常考60题33个考点专练）-【满分全攻略】2022-2023学年六年级数学下学期核心考点 重难点讲练与测试（沪教版））计算：______． 12．（24-25七年级上·江苏南通·阶段检测）已知，则的值为_______． 13．（24-25七年级上·山东济南·开学考试）若，则______． 【考点2】数轴上的符号判断与绝对值化简（第14-26题） · 由点在数轴上的位置定 a、b、c 的符号与大小关系 · 判断 a+b、a-b、ab 的符号：异号相加看绝对值大的符号 · 绝对值化简三步：定符号 → 正去负留 → 合并同类项 · 「正确的有①②③④中哪几个」逐个验证，别漏数 14．（23-24七年级上·湖北咸宁·期中）已知、两个数在数轴上的位置如图所示，有如下几个结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．③④ 15．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段检测）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，下列不等式中错误的是（   ）    A． B． C． D． 16．（23-24七年级上·重庆忠县·阶段检测）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示．则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 17．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，下列各式：①；②；③．其中正确式子的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 18．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段检测）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则结论①；②；③；④中，正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 19．（25-26七年级上·福建南平·阶段检测）有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简得（     ） A． B． C． D． 20．（23-24七年级上·北京西城·期末）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）设有理数在数轴上的对应点如图所示，化简：__________． 22．（23-24七年级上·河南新乡·阶段检测）若数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则的化简结果是_______．    23．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）在数轴上，有理数a、b的位置如图，将a与b的对应点间的距离六等分，这五个等分点所对应的数依次为，且．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______． 24．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段检测）数在数轴上的位置如图所示，则化简_________． 25．（24-25七年级上·福建福州·期末）有理数在数轴上对应点的位置如图所示，当时，化简：________．（结果用含的代数式表示） 26．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）已知有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简为______． 【考点3】有理数乘除与新定义运算（第27-39题） · 多个因数相乘先数负因数个数定号，再把绝对值相乘 · 乘除混合先把除法统一为乘法，再约分 · 分配律正用与逆用：展开或提公因数，凑整先算 · 新定义运算严格按规则代入，负数加括号 27．（25-26七年级上·湖北恩施·期中）下列计算结果最大的是（    ） A． B． C． D． 28．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）计算：结果是（    ） A．1 B． C． D． 29．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期中）计算：的结果是（    ） A．1 B． C． D． 30．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）a，b为非零有理数，则的值为（　　） A．3 B． C．3或 D． 31．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）某校园餐厅把密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了餐厅的网络，那么他输入的密码是（   ） A． B． C． D． 32．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段检测）计算：__________________． 33．（25-26七年级上·湖南永州·期中）若a，b是有理数，定义一种新运算*：计算的值为________． 34．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）规定一种新运算：，则______． 35．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段检测）已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于_________． 36．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法，即除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．例如：，注意到与互为倒数． （1）若，则的值为_____． （2）计算的值为_____． 37．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）请将“、、、”这四个数运用加、减、乘、除运算得出（可以加括号），写出个运算结果为的算式________ 38．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段检测）计算： (1)； (2) 39．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)（简便运算）． 【考点4】有理数乘除的实际应用（第40-52题） · 正负数记录题：耗油/路程用绝对值求和，位置变化用代数和 · 销售、助农、税收等素材题从表格提取数据分步算 · 温度、海拔按「单位变化量 × 次数」计算 · 规律探究题找周期，先算一个周期的量再乘组数 40．（24-25七年级上·广东惠州·阶段检测）战争时期为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密）．已知有一种密码，将英文26个小写字母依次对应0，1，2…25，这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为时，将除以26后所是的余数作为密文中的字母对应的序号，例如：明文对应密文；明文对应密文．按上述规定，将明文“”译成密文后是（    ） 字母 a b c d e f g h i j k l m 序号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 字母 n o p q r s t u v w x y z 序号 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 A． B． C． D． 41．（23-24七年级上·江苏常州·期中）已知有理数，则在数轴上表示的点在原点右侧的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定 42．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）在日常生活中，我们经常遇到需要合理安排工作和时间的问题．某地铁站甲、乙、丙、丁四台自动售票机出现故障停用需要维修，一名工人维修好甲、乙、丙、丁四台售票机所需的时间分别为18、21、14、27分钟．如果每台售票机停用1分钟造成经济损失12元，修复好后即可正常使用，为了使经济损失最少，这名修理工的维修顺序应该是（    ） A．丁→丙→甲→乙 B．丙→丁→甲→乙 C．丁→乙→甲→丙 D．丙→甲→乙→丁 43．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）某奶茶店进行促销活动，方式是“第一杯原价，第二杯六折”．现购买两杯该品牌奶茶，这两杯奶茶共打了（    ） A．折 B．折 C．折 D．折 44．（23-24七年级上·广东东莞·期中）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） 0 (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走_________． (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.5元，请估计小明家这7天的行驶费用是多少钱？ 45．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）2026年冬奥会在意大利米兰举行，某工厂设计了冬奥会纪念品并进行生产，原计划每天生产1000个该款纪念品，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入，如表是某一周的生产情况（超出记为正，不足记为负，单位：个）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知，本周生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少个？ (2)本周实际生产总量是否达到了计划数量？说明理由； (3)若该款纪念品每个生产成本30元，并按每个40元出售，则该工厂本周的生产总利润是多少元？ 46．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）国庆期间阖家团聚，“滴滴”司机吴师傅某天上午在南北方向的某道路上营运，共连续运载十批乘客．若规定向南为正，向北为负，吴师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米），，，，，，，，，． (1)将最后一批乘客送到目的地时，吴师傅距离第一批乘客出发地的南面还是北面?距离出发地多少千米? (2)若汽车每千米耗油升，则汽车营运这十批乘客共耗油多少升? (3)若“滴滴”的收费标准为：起步价元（不超过千米），超过千米，超过部分每千米元，则吴师傅在这个上午一共收入多少元? 47．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某地区高度每增加100米，气温降低，昊恩和美琪两名同学想出一个测量山峰高度的办法，美琪在山脚，吴恩跑到山顶，他们在同一时刻测得山脚的温度是，山顶的温度是，求山峰的高度． 48．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）根据以下素材，解决税收中的数学问题． 素材1 我国新的个人所得税“起征点”是5000元，即月工资扣除各项费用后超过5000元的部分这部分称为“应纳税所得额”需要缴纳税收． 应纳税所得额=月工资专项项目金额 个人所得税税率表参考右表． 个人所得税税率表工资薪金所得适用 级数 应纳税所得额 税率 1 0至3000元的部分      2 超过3000元至12000元的部分      3 超过12000元至25000元的部分      4 超过25000元至35000元的部分      5 超过35000元至55000元的部分      素材2 我国专项项目金额常见的由以下几个部分： ①每个子女教育金额2000元；②一套住房贷款金额2000元； ③赡养每位老人金额2000元；④其它规定项目各类保险、公益捐赠等 素材3 某企业一技术专家的月工资是45000元，他有1个读初中的儿子、1个读小学的女儿、1套住房的贷款和赡养2位老人，其它规定项目中各类保险3000元． 任务1 简单计算税额 某员工扣除各项费用后的应纳税所得额为2400元，则该员工缴纳的税额为______元． 任务2 计算个人税额 求该企业技术专家月缴纳的税额． 任务3 确定捐款金额 该技术专家在某月份参加公益捐赠活动后，实际收入40100元，求该技术专家在该月份捐款的金额不超过2000元 49．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）某平台推出“助农”公益活动，帮助某地农户销售苹果，计划每天销售千克，但实际每天销售量与计划销售量相比有增减，下表是第一周天的销售记录（“”表示超出计划量的部分，“”表示不足计划量的部分）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 差值（千克） (1)该平台第一周“助农”公益活动销售苹果最多的一天比最少的一天多___________千克； (2)若按每千克元的价格销售苹果，则该平台第一周“助农”公益活动销售苹果总收入是多少元？ 50．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段检测）某“滴滴出行”司机刘师傅某天上午恰好从A地出发，在东西方向的公路上行驶营运．下表是每次行驶的里程（单位：千米）与载客情况．（规定向东走为正，向西走为负；○表示空载，√表示载有乘客，且乘客都不相同）． 第几次 1 2 3 4 5 6 7 8 里程 载客 ○ √ √ √ ○ √ √ √ (1)刘师傅走完第8次里程后，他在A地的什么方向？离A地有多少千米？ (2)刘师傅发现每千米耗油约0.06升（其他因素油耗忽略不计），刘师傅这天上午从A地出发，运营完第八次后共耗油多少升？ (3)已知载客单程不超过3千米收费12元，超过3千米后每千米收费3元，问刘师傅这天上午完成8次运营后的营业额为多少元？ 51．（23-24七年级上·山西大同·期中）【实践与应用】学校举办诗歌颂祖国活动，需要定制一批奖品颁发给表现突出的同学，每份奖品包含纪念徽章与纪念品各一个，现有两家供应商可以提供纪念徽章设计、制作和纪念品制作业务，报价如下： 纪念徽章设计费 纪念徽章制作费 纪念品费用 甲供应商 300元 3元/个 18元/个 乙供应商 免设计费 6元/个 不超过100个时，20元/个； 超过100个时，其中100个单价仍是20元/个，超出部分打九折 (1)若学校需要定制20份奖品，则选甲供应商需要支付____________元，选乙供应商需要支付____________元； (2)现学校需要定制份奖品． 若选择甲供应商，需要支付的费用为 元；（用含的代数式表示，结果需化简） 若选择乙供应商，需要支付的费用为 元；（用含的代数式表示，结果需化简） (3)如果学校需要定制150份奖品，请你通过计算说明选择哪家供应商比较省钱． 52．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）蓼花糖是陕西省非物质文化遗产，也是陕西省地理驰名商标．某食品厂从生产的袋装蓼花糖中抽出样品袋，检测每袋的质量是否符合标准（标准质量为克），超出或少于的部分分别用正、负数来表示，记录如下表： 与标准质量的差值（克） 0 1 3 4 袋数 1 3 4 4 5 3 (1)抽出的这袋蓼花糖的总质量比标准的总质量超出或少于多少克？ (2)若该种袋装蓼花糖的合格标准为克，求该种袋装蓼花糖抽样检测的合格品有多少袋？ 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 乘法先定号：负因数奇数个积为负、偶数个积为正，有 0 则积为 0 · 除法转乘法：除以一个数等于乘它的倒数，0 无倒数 · 倒数积为 1，相反数和为 0，是整体代换两大结论 · 数轴定符号：右大左小，绝对值化简「正去负留」 · 分配律是简算核心：正用展开、逆用提公因数、拆项凑整 【作业 1】（25-26七年级上·天津武清·阶段检测）若有理数，，满足，则（    ） A．3 B．0 C．1 D． 【作业 2】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个有理数互为相依数．例如：有理数与3，因为，所以有理数与3是互为相依数．对于有理数对它进行如下操作：取a的相依数，得到；取的倒数，得到；取的相依数，得到；取的倒数，得到；…；若，则的值是（     ） A． B． C． D．3 【作业 3】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知有理数，8，，2，请你任选两个数相乘，运算结果最大是 ______． 【作业 4】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知，，且，，则______． 【作业 5】（26-27七年级上·江苏无锡·期中）幻方是我国古代数学的杰作之一，珍珍仿照幻方，自己做了如图所示的七点积幻阵（七个数不相等，且都是负整数），每条穿过中心的直线上的三个数的乘积都相等，且，则m的值为______． 【作业 6】（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）如图，点A，B，C在数轴上表示的数分别为a，b，c，且，则下列结论中：①；②；③；④．其中正确的是______． 【作业 7】（24-25七年级下·陕西榆林·开学考试）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示，化简式子的值为_____． 【作业 8】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）有理数，，在数轴上对应点的位置如图所示，化简：______． 【作业 9】（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一新正整数m：若余数为0， 则 ；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换．例如：正整数，根据4除以3的余数为1，由，可得对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由，可得对4进行二次变换得到的数为9．若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则满足条件的n的值为________． 【作业 10】（22-23七年级上·江苏扬州·周测）计算： (1)； (2)． 【作业 11】（23-24七年级上·江苏盐城·期末）给出定义如下：我们称使等式的成立的一对有理数a，b为“相伴有理数对”，记为． 如：，，所以数对，都是“相伴有理数对”． (1)数对，中，是“相伴有理数对”的有______； (2)若是“相伴有理数对”，则x的值是______； (3)若是“相伴有理数对”，求的值． 【作业 12】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）已知，． (1)_____，_____． (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【作业 13】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段检测）对于有理数、，定义运算：． (1)计算的值； (2)计算的值． 【作业 14】（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【作业 15】（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【作业 16】（24-25七年级上·陕西西安·期末）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻为t秒，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且． (1)此时刻快车头与慢车头之间相距______单位长度； (2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车的车头相距个单位长度？ (3)此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头、的距离和加上到两列火车尾、的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由． 【作业 17】（24-25七年级上·广东珠海·期中）随着手机的普及，微信的兴起，许多人抓住这种机会，做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，珠海市斗门区的王先生把自家的荔枝产品也放到了网上，他原计划每天卖100斤荔枝，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售 斤； (2)本周实际销售总量达到了计划数量没有？请说明理由． (3)若每卖出一斤荔枝，王先生需支付3元运费，当荔枝每斤按12元出售时，王先生本周一共收入多少元？ 【作业 18】（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）对于有理数若，则称和关于的“友谊数”为，例如，，则2和3关于1的“友谊数”为3． (1)和5关于4的“友谊数”为_________； (2)若和1关于3的“友谊数”为4，求的值； (3)若和关于1的“友谊数”为和关于2的“友谊数”为和关于3的“友谊数”为和关于101的“友谊数”为； ①的最大值为_________； ②的最小值为_________． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲·有理数的乘除·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年苏科版七年级数学上册 参考答案与试题解析 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 掌握有理数乘法法则，会确定多个因数相乘时积的符号并正确计算 · 掌握有理数除法法则，会把除法转化为乘法进行计算 · 理解倒数的概念，会求一个数的倒数，掌握相反数与倒数的综合应用 · 会运用乘法运算律（交换律、结合律、分配律）进行简便计算 · 能根据数轴上点的位置判断式子的符号，会化简含字母的绝对值 · 能运用有理数乘除解决正负数记录、销售盈亏、温度变化等实际问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.有理数的乘法 两数相乘：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘得 0 多个因数相乘：先看负因数的个数——负因数有偶数个积为正，有奇数个积为负 几个数相乘，只要有一个因数为 0，积就为 0 乘法运算律：交换律 ab=ba；结合律 (ab)c=a(bc)；分配律 a(b+c)=ab+ac 简便计算技巧：把分数与小数统一、凑整（如 与 4、0.25 与 -4）先结合 概念辨析例题：计算 ( - + ) × (-32) 的结果为（　　） 答案：4 解析：用分配律展开：×(-32) - ×(-32) + ×(-32) = -8 + 16 - 4 = 4……注意逐项符号，本题训练分配律的正负号处理。分配律是把「难算的乘法」拆成「好算的乘法」的核心工具。 ✅️ 2.有理数的除法与倒数 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，即 a ÷ b = a × 两数相除：同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何非 0 数得 0 倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数；a 的倒数是 （a ≠ 0），0 没有倒数 相反数与倒数综合：a、b 互为相反数则 a + b = 0；c、d 互为倒数则 cd = 1 除法混合运算：先把除法统一转化为乘法，再确定符号、约分 概念辨析例题：已知 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，则代数式 a + b + 的值为（　　） 答案：1 解析：互为相反数 → a + b = 0；互为倒数 → cd = 1。代入得 0 + 1 = 1。「互为相反数和为 0、互为倒数积为 1」是两类整体代换的基本结论。 ✅️ 3.数轴上的符号判断与绝对值化简 由数轴上点的位置判断 a、b、a+b、a-b、ab 的符号 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0 化简 |a| 的步骤：先由数轴确定 a 的符号，再按「正去负留」去掉绝对值 多个字母的绝对值化简：逐个判断每个式子的符号，分段讨论 常用结论：数轴上右边的数总比左边大；异号两数相加取绝对值较大者的符号 概念辨析例题：有理数 a、b 在数轴上对应点的位置如图：a 在 -2 与 -1 之间，b 在 0 与 1 之间，化简 |a+1| + |b-a| 的结果为（　　） 答案：b - 2a - 1 解析：由 -2 < a < -1 得 a + 1 < 0，|a+1| = -(a+1)；由 b > 0 > a 得 b - a > 0，|b-a| = b - a。原式 = -a-1 + b-a = b - 2a - 1。化简绝对值的关键是先用数轴确定每个「绝对值内式子」的正负。 ✅️ 4.乘法分配律与简便运算的进阶技巧 分配律逆用：ab + ac = a(b + c)，提公因数简化计算 拆项技巧：把一个数拆成两个数的和（如 5 = 6 - 1、99× = (98+1)×） 符号处理：-351 × (-7) 之类先定符号再算绝对值 混合运算顺序：先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号内 新定义运算：严格按定义给的规则转化为常规运算，注意运算顺序 概念辨析例题：定义新运算 a*b = ab - a - b，计算 3*(-2) 的值为（　　） 答案：-7 解析：按定义：3*(-2) = 3×(-2) - 3 - (-2) = -6 - 3 + 2 = -7……逐项处理符号后得结果。新定义运算题读懂规则、代入时给负数加括号，是两个必备习惯。 ✅️ 5.有理数乘除的实际应用 正负数记录：盈亏、升降、进出用正负表示，求总量用加法，求差用绝对值 销售问题：售价 - 进价 = 利润（正盈负亏），按件数汇总 行程与温度：路程 = 速度 × 时间；每升高（降）单位温度变化 × 次数 表格与素材题：从表格中提取数据，分步计算再汇总，注意正负号的实际意义 规律探究：多个有理数的乘除按周期分组，找循环节再算总数 概念辨析例题：某司机在南北方向道路上营运，约定向北为正。行车记录依次为 +8、-6、+5、-7（单位：km），每千米耗油 0.2 升，则这天共耗油（　　） 答案：5.2 升 解析：总路程 = |8| + |-6| + |5| + |-7| = 26km，耗油 = 26 × 0.2 = 5.2 升。注意：求「耗油总量」用绝对值（路程不分方向），求「离出发点距离」才考虑正负抵消。 🧀 知识总结表 法则/概念 内容 备注 乘法法则 同号得正，异号得负 绝对值相乘 除法法则 除以一个数 = 乘其倒数 0 不能作除数 倒数 乘积为 1 的两数 0 没有倒数 相反数 和为 0 的两数 整体代换 a+b=0 分配律 a(b+c) = ab+ac 简算核心工具 负因数个数 奇负偶正 多个因数先定号 📩 核心考点 【考点1】倒数与相反数（第1-13题） · 倒数的求法：分数颠倒分子分母，小数先化分数，负数符号保留 · 0 没有倒数；1 与 -1 的倒数是它本身 · 相反数与倒数的整体代换：a+b=0，cd=1，|m|=2 时 m=±2 要分类 · 「相反数的倒数」「倒数的相反数」先分清运算顺序再求 1． 【答案】C 【知识点】倒数 【分析】本题考查了倒数，解题关键是掌握倒数的意义并能运用求解． 根据倒数的意义求解． 【详解】解：， 的倒数是． 故选：C． 2． 【答案】A 【知识点】相反数的定义、已知式子的值，求代数式的值、倒数 【分析】本题考查互为相反数和倒数的定义，求解代数式的值，根据知识点代入求解是解题的切入点．a、b互为相反数，则，c、d互为倒数，则，代入求解即可． 【详解】解：∵a、b互为相反数 ∴ 又∵c、d互为倒数 ∴ ∴， 故选：A 3． 【答案】D 【知识点】相反数的定义、倒数 【分析】根据相反数和倒数的定义解答即可． 【详解】解：的相反数是2022，2022 的倒数是． 4． 【答案】 【知识点】相反数的定义、倒数 【分析】本题考查了相反数和倒数，解题关键是熟练掌握相反数和倒数的定义； 根据只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数求解即可． 【详解】解：的相反数是，的倒数是， 故答案为：，． 5． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、倒数 【分析】本题考查了解一元一次方程，求倒数，由已知方程解出，再求其倒数即可得出结果，正确求出的值是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴x的倒数为， 故答案为：． 6． 【答案】 【知识点】倒数 【分析】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键． 根据乘积为的1数互为倒数，可得答案． 【详解】互为倒数的是， 故答案为：． 7． 【答案】 【知识点】倒数 【详解】解：， ∵， ∴的倒数是． 8． 【答案】 【知识点】绝对值的几何意义、倒数 【分析】本题考查了倒数与绝对值，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，乘积为1的两个数互为倒数；根据绝对值的性质和倒数的定义即可解答． 【详解】解：∵一个数的绝对值等于它的倒数， ∴这个数是， 故答案为：． 9． 【答案】 【知识点】相反数的定义、已知式子的值，求代数式的值、绝对值的几何意义、倒数 【分析】本题考查了相反数、倒数的定义，绝对值的性质，代数式求值，利用相反数、倒数的定义和绝对值的性质可求得，，，再代入算式计算即可求解，掌握相反数、倒数的定义和绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：∵互为相反数，为倒数， ∴，， ∵， ∴， ∴原式， 故答案为：． 10． 【答案】3或 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、已知字母的值 ，求代数式的值、倒数 【分析】根据相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的积为1，绝对值的意义计算即可． 本题考查了相反数，绝对值的化简，倒数，代数式的值，有理数的乘法，熟练掌握相反数，倒数的性质是解题的关键． 【详解】解：a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2， ∴,， ∴ ， 或 ． 综上所述，的值为3或． 11． 【答案】10 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，将带分数化成假分数后，利用有理数的乘法法则运算即可，利用有理数的乘法法则首先确定积的符号，这是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：10． 12． 【答案】 【知识点】两个有理数的乘法运算、求一个数的绝对值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了代数式求值，求一个数的绝对值，有理数的乘法计算，根据绝对值的定义得到，再由有理数乘法计算法则得到，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13． 【答案】 【知识点】两个有理数的乘法运算、绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是正确求得与的值.根据非负性，先求出与的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 【考点2】数轴上的符号判断与绝对值化简（第14-26题） · 由点在数轴上的位置定 a、b、c 的符号与大小关系 · 判断 a+b、a-b、ab 的符号：异号相加看绝对值大的符号 · 绝对值化简三步：定符号 → 正去负留 → 合并同类项 · 「正确的有①②③④中哪几个」逐个验证，别漏数 14． 【答案】D 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、绝对值的几何意义 【分析】本题考查的是数轴的特点，即原点左边的数都小于0，右边的数都大于0，右边的数总大于左边的数．先根据、在数轴上的位置确定出、的符号，以及、的大小，再进行解答即可． 【详解】解：在原点的左侧，在原点的右侧，并且离原点近， ，，， ①，原来的计算错误； ②，原来的计算错误； ③，原来的计算正确； ④，，所以，原来的计算正确． 故选：D． 15． 【答案】D 【知识点】有理数加法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数的减法运算、绝对值的几何意义 【分析】根据数轴上点的位置可得，根据有理数的加减法，以及绝对值的意义，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：根据有理数a，b在数轴上的对应点的位置，可得，， A. ，故该选项正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，不符合题意；     C. ，故该选项正确，不符合题意； D. ，故该选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数与数轴，绝对值的意义，根据数轴上点的位置，判断式子的符号，数形结合是解题的关键． 16． 【答案】C 【知识点】有理数加法运算、两个有理数的乘法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了根据数轴上点的位置判断式子的符号，有理数的运算法则，根据数轴可得，进而根据有理数的运算法则逐项判断，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得，， ∴， 故选：C． 17． 【答案】B 【知识点】有理数加法运算、利用数轴比较有理数的大小、两个有理数的乘法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，有理数加法、乘法的法则，熟悉有理数加法、乘法的符号法则是解决本题的关键． 根据数a、b在数轴上的位置可确定数a、b与1及的大小关系，从而可确定、、、及的符号，进而确定式子的符号，逐一作出判断． 【详解】①，，则，故该项不正确； ②，，则，故该项正确； ③，，则，，即，故该项正确； 则只有②③正确． 故选：B． 18． 【答案】B 【知识点】有理数加法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数的减法运算、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查了在数轴上表示数以及有理数加减法法则的应用，解题的关键是利用数轴判断的符号以及灵活应用有理数加减法法则． 利用在数轴上表示实数，在原点左侧的是负数，在原点右侧的是正数，再利用有理数的加减法法则进行解答． 【详解】解：由题意，得：，故①正确；②错误； ∴，故③错误； ，， ∴，故④正确； 综上，①④正确； 故选：B． 19． 【答案】D 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题考查数轴、绝对值，根据数轴可以得到a、b、c的大小关系，从而可以将所求式子的绝对值去掉，并将所求式子化到最简． 【详解】解：由数轴可得：，， ∴，， ∴ ． 故选：D． 20． 【答案】D 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了整式的加减和去绝对值，根据数轴分别判断各选项的正负，然后比较即可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负和正确理解数轴的特点． 【详解】、根据数轴可知，此选项判断错误，不符合题意； 、根据数轴可知，，则，此选项判断错误，不符合题意； 、根据数轴可知，，则，此选项判断错误，不符合题意； 、根据数轴可知，，则，此选项判断正确，符合题意； 故选：． 21． 【答案】/ 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】此题考查数轴表示数的意义，整式的加减．根据a，b，c在数轴上的对应点的位置，判断，再根据绝对值的意义进行计算即可． 【详解】解：由a，b，c在数轴上的对应点可知，， ∴ ， 故答案为：． 22． 【答案】b 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，以及化简绝对值，整式的加减，先由数轴得，然后逐项分析，即可作答． 【详解】解：由数轴得，， ∴， 则， 故答案为：b． 23． 【答案】①③④ 【知识点】数轴上两点之间的距离、两个有理数的乘法运算、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的定义，数轴表示数的方法以及两点距离．根据数轴表示数以及绝对值的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，且距离原点比较近，，且距离原点比较远， ∴中点所表示的数在原点的右侧， ∴，故①正确； 由数轴所表示的数得，可能大于0，也可能小于0，符号不确定，故②不正确； ∵， ∴a表示数的点到表示数的点距离既可以表示为，也可以表示为，，故③正确； ， ∵在原点的右侧，而b在右侧， ∴表示数的点到a表示数的点距离为， ∵a到b的距离为， ∴，故④正确； 故答案为：①③④． 24． 【答案】/ 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题考查数轴，绝对值化简，整理式加减运算．根据数轴判断a、b与0、的大小关系，然后利用绝对值的性质进行化简． 【详解】解：由数轴可知： ∴，， ∴ ， 故答案为：． 25． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，绝对值的化简，整式的加减，根据数轴可确定，进一步确定两数的符号及大小，进而确定化简式子中各个绝对值中代数式的符号，进而可化简绝对值即可． 【详解】解：由数轴可得：， ∴， ∴，，， ∴ ； 故答案为：． 26． 【答案】/ 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了数轴及绝对值，整式的加减，解题的关键是根据数轴确定，，，． 利用数轴可得，，，然后化简绝对值即可． 【详解】解：由数轴可知：，且， ，，， ． 故答案为：． 【考点3】有理数乘除与新定义运算（第27-39题） · 多个因数相乘先数负因数个数定号，再把绝对值相乘 · 乘除混合先把除法统一为乘法，再约分 · 分配律正用与逆用：展开或提公因数，凑整先算 · 新定义运算严格按规则代入，负数加括号 27． 【答案】C 【知识点】有理数四则混合运算、有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的加减乘除，有理数的大小比较，掌握相关知识是解题的关键． 直接计算每个选项的数值，然后比较大小即可． 【详解】解：A、； B、； C、； D、， ∴， ∴C最大． 故选C． 28． 【答案】D 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，把除法转化为乘法，再按乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故选D． 29． 【答案】B 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】此题考查有理数的乘除运算，关键是根据有理数的除法和乘法法则计算． 根据有理数的除法和乘法计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 30． 【答案】C 【知识点】有理数加法运算、有理数的除法运算、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了绝对值的意义、有理数的除法，解决本题的关键是确定的符号．分别讨论的正负，再根据有理数的除法，即可解答． 【详解】解：当且时，原式； 当且时，原式； 当且时，原式； 当且时，原式． 的值为3或． 故选：C． 31． 【答案】B 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题中密码规律确定出所求即可． 【详解】解：根据图中规律可得 原式 ． 故选：B． 32． 【答案】 【知识点】多个有理数的乘法运算、有理数乘除混合运算 【分析】本题考查有理数乘除的混合运算，先将除法转化为乘法，根据多个有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 33． 【答案】13 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查新定义运算，解题的关键是理解新运算的规则并代入计算． 根据新运算的定义，将代入公式计算即可． 【详解】解：根据新运算的定义，当时： ， 故答案为：13． 34． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据新定义计算即可求解，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 35． 【答案】或 【知识点】有理数的除法运算、有理数的加减混合运算、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的含义．分四种情况讨论即可得到结果，不重不漏是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴的值等于或， 故答案为：或． 36． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、有理数的除法运算、倒数 【分析】本题考查有理数的除法法则（除以一个数等于乘它的倒数），涉及知识点：倒数的定义、有理数的混合运算． （1）根据有理数除法的意义，是的倒数； （2）先计算，再求结果的倒数，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴． （2） ， ． 故答案为：，． 37． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】有理数四则混合运算、算“24”点 【详解】解： ． 38． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （1）除法运算转化为乘法运算，再根据乘法分配律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 39． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】有理数乘除混合运算、有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的运算，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据有理数加减混合运算法则即可求解； （）根据有理数乘除混合运算法则即可求解； （）根据乘法分配律进行简便运算即可； （）根据乘法分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【考点4】有理数乘除的实际应用（第40-52题） · 正负数记录题：耗油/路程用绝对值求和，位置变化用代数和 · 销售、助农、税收等素材题从表格提取数据分步算 · 温度、海拔按「单位变化量 × 次数」计算 · 规律探究题找周期，先算一个周期的量再乘组数 40． 【答案】B 【知识点】有理数加法运算、有理数除法的应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，结合表格分别得出，，，，再逐个寻找对应序号的字母，得明文“”译成密文后是，即可作答． 【详解】解： 结合表格，得明文“”的每个字母序号分别是 ∵当明文中的字母对应的序号为时，将除以26后所是的余数作为密文中的字母对应的序号， ∴，，，， 则明文“”译成密文后是， 故选：B 41． 【答案】B 【知识点】有理数除法的应用、有理数的分类 【分析】本题考查了有理数符号的判断，需分类讨论，当同号时，当异号且时，当异号且时，分别判断即可． 【详解】解：当同号时，是负数，是正数， 所以在数轴上表示的点在原点右侧的个数为1个， 当异号且时，中有一个是正数，是负数， 所以在数轴上表示的点在原点右侧的个数为1个， 当异号且时，中有一个是正数，是负数， 所以在数轴上表示的点在原点右侧的个数为1个， 综上所述，在数轴上表示的点在原点右侧的个数为1个． 故选：B． 42． 【答案】D 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数的运算的应用，主要结合有理数的混合运算，理解经济损失与修复时间长短有关是解题的关键．要使经济损失最少，需总停用时间最短．总停用时间为各机器维修完成时间的总和，维修顺序应按照维修时间由短到长排列，以最小化后续机器的等待时间． 【详解】解：四台机器的维修时间分别为：丙14分钟、甲18分钟、乙21分钟、丁27分钟．按时间从小到大排序为丙→甲→乙→丁．此时总停用时间为： 丙：14分钟 甲：（分钟） 乙：（分钟） 丁：（分钟） 总停用时间（分钟），经济损失为元． 其他顺序的总停用时间均大于179分钟， 因此最优顺序为丙→甲→乙→丁． 故选：D． 43． 【答案】C 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、列代数式 【分析】本题考查了列代数式，有理数混合运算的实际应用，设第一杯奶茶为元，则第二杯为元，根据两杯奶茶现价除以两杯奶茶原价等于折扣率，由此可列出代数式，计算即可得到答案，能够根据题意列出算式是解题的关键． 【详解】解：设第一杯奶茶为元，则第二杯奶茶为， 由题意可得：， ∴两杯奶茶一共打了折， 故选：． 44． 【答案】(1)49 (2)小明家的新能源汽车这七天一共行驶了400千米 (3)估计小明家这7天的行驶费用是30元． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、有理数减法的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的实际应用． （1）由表格可知，行驶路程最多的一天是第七天，最少的一天是第三天，相减即可得出答案； （2）先求出这七天高于（或低于）的标准所行驶的路程，再加上七天按标准行驶的路程，即可求解； （3）根据（2）的结论，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：由表格得：（）， 即这7天里路程最多的一天比最少的一天多走 ， 故答案为：； （2）解： ， ； 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了； （3）解：用电的费用：（元）， 答：估计小明家这7天的行驶费用是30元． 45． 【答案】(1)204个 (2)实际生产总量达到了计划数量 (3)70100元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、正负数的实际应用、有理数减法的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了正数和负数的意义，有理数的混合运算，解题的关键是掌握正数和负数的意义，有理数的混合运算． （1）根据表格数据，结合正负数的意义得出本周生产量最多的一天是周四，最少的一天是周五，用最多的减去最小的数即可； （2）将表格数据相加即可求解； （3）根据利润等于售价减去成本乘以数量即可求解． 【详解】（1）解：个， 则本周生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产204个； （2）解：， 本周实际生产总量达到了计划数量； （3）解：（元）， 该工厂本周的生产总利润是70100元． 46． 【答案】(1)将最后一批乘客送到目的地时，吴师傅在第一批乘客出发地的南面，距离出发地是5千米． (2)升 (3)元 【知识点】正负数的实际应用、有理数乘法的实际应用、绝对值的几何意义、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了正数和负数在实际问题中的应用、有理数四则混合运算的应用等知识点，明确正负数的含义及题中的数量关系是解题的关键． （1）把记录的数字相加即可得到结果，结果为正则在南面，结果为负则在北面，据此即可解答； （2）把记录的数字的绝对值相加，再乘以，即可得答案； （3）先计算起步费总额，再将超过3千米部分的路程相加，所得的和乘以2，将起步费加上超过3千米部分的费用，即可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴将最后一批乘客送到目的地时，吴师傅在第一批乘客出发地的南面，距离出发地是5千米． （2）解： 千米， ∴升， 答：汽车共耗油升． （3）解：∵共营运十批乘客， ∴起步费为：（元）， 超过3千米部分的收费总额为：（元）， ∴（元）， 答：吴师傅在上午一共收入元． 47． 【答案】米 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出算式求解是解题的关键．求出山脚与山顶的温度差，再根据高度每增加100米，气温降低进行求解即可． 【详解】解： 米， ∴山峰的高度为600米． 48． 【答案】任务1：72；任务2：该企业技术专家月缴纳的税额为4090元；任务3：该技术专家在该月份捐款的金额为1080元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 任务1：利用该员工缴纳的税额该员工扣除各项费用后的应纳税所得额，即可求出结论； 任务2：利用该企业技术专家应纳税所得额该企业技术专家月工资专项项目金额，可求出该企业技术专家应纳税所得额，再结合各级的税率，即可求出结论； 任务3：设该技术专家在该月份捐款的金额为x元，利用实际收入该企业技术专家月工资-该技术专家在该月份捐款的金额该企业技术专家月缴纳的税额，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（任务1）， 该员工缴纳的税额为元 故答案为：72； （任务2）∵该企业技术专家应纳税所得额为 元， 该企业技术专家月缴纳的税额为 元 答：该企业技术专家月缴纳的税额为4090元； （任务3）设该技术专家在该月份捐款的金额为x元， 根据题意得： ， 解得： 答：该技术专家在该月份捐款的金额为1080元． 49． 【答案】(1)； (2)元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，有理数减法的实际应用： （1）用与计划销售量的差值中的最大值减去最小值即可得到答案； （2）先求出苹果的总重量，再乘以苹果的单价即可得到答案． 【详解】（1）解：（千克） 答：该平台第一周“助农”公益活动销售苹果最多的一天比最少的一天多千克． （2） （元） 答：该平台第一周“助农”公益活动销售苹果总收入元． 50． 【答案】(1)刘师傅走完第8次里程后，他在A地的东边，离A地有11千米 (2)共耗油升 (3)刘师傅这天上午完成8次运营后的营业额为249元 【知识点】正负数的实际应用、有理数乘法的实际应用、绝对值的几何意义、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题主要考查的是正负数的实际应用，有理数的加法和乘法的实际应用，绝对值的应用，分段收费的计算，熟练掌握有理数混合运算法则，准确计算，是解题的关键． （1）把表格中表示里程的数据相加即可得到答案； （2）先计算刘师傅这天上午行驶的总路程，再计算此时的耗油量； （3）由表格可知，第1次与第5次出租车为空载，根据题意，理解收费规则，求解计算即可． 【详解】（1）解：， 答：刘师傅走完第8次里程后，他在A地的东边，离A地有11千米． （2）解：（千米）， ∴， ∴共耗油升； （3）解：观察表格可知，第1次与第5次出租车为空载， ∴（元）， 答：刘师傅这天上午完成8次运营后的营业额为249元． 51． 【答案】(1)720，520； (2)，； (3)选择甲供应商比较省钱． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了有理数的应用、列代数式、代数式求值等知识点，分别表示出甲、乙需要支付费用的代数式是解题的关键． （1）根据题意分别计算出甲、乙供货商需付款额即可； （2）根据题意分别列出甲、乙供货商需付款的代数式即可； （2）当时，分别求代数式的值，然后比较大小，选择花钱少的即可． 【详解】（1）解：学校需要定制20份奖品，则选甲供应商需要支付：（元）， 学校需要定制20份奖品，则选乙供应商需要支付：（元）． 故答案为：720，520． （2）解：选择甲需要支付费用：元； 选择乙需要支付费用： 当不超过100个时，（元）， 当超过100个时，元． 故答案为：，． （3）解：当时， 甲供应商：（元） 乙供应商：（元） ∵ ∴选择甲供应商比较省钱． 52． 【答案】(1)抽出的这袋蓼花糖的总质量比标准的总质量超出克； (2)该种袋装蓼花糖抽样检测的合格品有袋． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的混合运算，掌握相关知识是解题关键． （1）根据有理数的加法，可得答案； （2）根据合格标准，可得答案． 【详解】（1）解：（克）， 答：抽出的这袋蓼花糖的总质量比标准的总质量超出克； （2）解：（克），（克）， （克）， ，故的不符合标准； （克）， ，故的符合标准； （克）， ，故的符合标准； （克）， ，故的符合标准； （克）， ，故的符合标准； （克）， ，故的符合标准； ∴（袋）， 答：该种袋装蓼花糖抽样检测的合格品有袋． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 乘法先定号：负因数奇数个积为负、偶数个积为正，有 0 则积为 0 · 除法转乘法：除以一个数等于乘它的倒数，0 无倒数 · 倒数积为 1，相反数和为 0，是整体代换两大结论 · 数轴定符号：右大左小，绝对值化简「正去负留」 · 分配律是简算核心：正用展开、逆用提公因数、拆项凑整 【作业1】 【答案】D 【知识点】两个有理数的乘法运算、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题主要考查了化简绝对值，根据，得到有一正一负，再求解绝对值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴一正一负， ∴，， ∴． 故选：D． 【作业2】 【答案】D 【知识点】数字类规律探索、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、倒数 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类． 根据相依数的定义，计算序列的前几项，发现序列从 开始每 6 项循环一次，求 2025 除以 6 的余数，确定 的值． 【详解】解：当时， 由题意可求得，，解得， 则， 由题意可求得，，解得， 则， 由题意可求得，，解得， ， 此后序列循环，周期为 6． ∵ 余 ， ∴ ． 故选 D． 【作业3】 【答案】21 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的乘法，有理数的大小比较，熟知有理数的乘法法则是解题的关键． 两数相乘，同号得正，异号得负，要想运算结果最大，应是同号两数相乘，由此解答即可． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴任选两个数相乘，运算结果最大是21， 故答案为：21． 【作业4】 【答案】 【知识点】有理数加法运算、两个有理数的乘法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意，利用绝对值的代数意义，以及有理数的加法、乘法法则确定出a与b的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴， 故答案为：7． 【作业5】 【答案】 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】根据题意可得，再结合七个数不相等，且都是负整数，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∵，且七个数不相等，且都是负整数， ∴为， ∵， ∴m的值为． 【作业6】 【答案】①②③ 【知识点】有理数的除法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、有理数的减法运算 【分析】本题主要考查了数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，有理数的运算，要熟练掌握．根据图示，可得，，据此逐项判定即可． 【详解】解：由题意可知：， ∵， ∴， ∵， ，故①正确； ∵，， ∴， ，故②正确； ∵，， ∴， ，故③正确； ∵ ，故④错误； 综上分析可知：正确的有①②③． 故答案为：①②③． 【作业7】 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题考查了有理数与数轴，整式的加减，由数轴可得，即得，，，再根据绝对值的性质化简即可求解，由数轴判断求出的符号是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，， ∴原式 ， 故答案为：． 【作业8】 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了数轴知识和绝对值，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的性质：．利用数轴知识和绝对值的性质解答． 【详解】解：根据数轴图可知，， ∴，， ∴. 故答案为：． 【作业9】 【答案】2或9 【知识点】有理数四则混合运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了新定义，有理数的混合运算，正确理解新定义是解题的关键．由二次变换结果为1，反推第一次变换后的数只能为3，再反推n的值可能为9或2即可． 【详解】解：设第一次变换后的数为k， 则对k进行一次变换后得到1． 若k除以3的余数为0，则， 解得：； 若余数为1，则， 解得：（舍去）； 若余数为2，则， 解得：（舍去）． 故． 再对n进行一次变换得到． 若n除以3的余数为0，则， 解得：； 若余数为1，则， 解得：（舍去）； 若余数为2，则， 解得：． 故或9， 故答案为：2或9． 【作业10】 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】利用乘法分配律进行解答即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【作业11】 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、解一元一次方程（二）——去括号、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了有理数的乘法与加减法、整式加减中的化简求值、一元一次方程的应用，正确理解“相伴有理数对”的定义是解题关键． （1）根据“相伴有理数对”的定义求解即可； （2）根据“相伴有理数对”的定义建立方程，解方程即可得； （3）根据“相伴有理数对”的定义可得，再化简代入计算即可得． 【详解】（1）∵，， ， ∴数对不是“相伴有理数对”， ∵，， ∴是“相伴有理数对”； （2）∵是“相伴有理数对”， ∴， 解得； （3） ， 因为， 所以原式． 【作业12】 【答案】(1)， (2)或1 (3)1或7 【知识点】有理数加法运算、两个有理数的乘法运算、有理数的减法运算、绝对值的几何意义 【分析】本题考查绝对值的意义、有理数的乘法、有理数的加减，正确求得m、n值是解答的关键． （1）根据绝对值的意义求解即可； （2）根据有理数乘法运算法则得到m、n值，进而求和即可； （4）根据m、n的大小确定m、n的值，然后求差即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴，或，， 当，时，， 当，时，， 故的值为或1； （3）解：∵， ∴，或，， 当，时，； 当，，， 故的值为1或7． 【作业13】 【答案】(1) (2)17 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算： （1）利用新定义的运算法则及有理数的混合运算法则即可求解； （2）利用新定义的运算法则及有理数的混合运算法则即可求解； 熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意得： ． （2） ． 【作业14】 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【知识点】有理数加减中的简便运算、有理数乘除混合运算、有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： （7）解： （8）解： 【作业15】 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数混合运算，涉及有理数运算律及加减乘法运算法则，熟记相关运算法则是解决问题的关键． （1）先化简符号，再由有理数加减运算法则及运算律求解即可得到答案； （2）先化简符号，再由有理数加减运算法则及运算律求解即可得到答案； （3）先由乘法分配律变形，再计算有理数乘法运算，最后由有理数加减运算法则求解即可得到答案； （4）先由乘法分配律的逆运算变形，再由有理数加减运算法则计算括号里，最后计算有理数乘法运算即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【作业16】 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)正确，秒，单位长度 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、数轴上两点之间的距离、绝对值非负性 【分析】本题考查了两点的距离、数轴、绝对值和偶次方的非负性，熟练掌握行程问题的等量关系：时间路程速度，根据数形结合的思想理解和解决问题． （1）根据非负数的性质求出，，再根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据时间路程和速度和，列式计算即可求解； （3）由于，只需要是定值，从快车上乘客P与慢车相遇到完全离开之间都满足是定值，依此分析即可求解． 【详解】（1）解： ，且，， ，， 解得，， 此时刻快车头与慢车头之间相距； 故答案为：； （2）解：由题意可得： ①当快慢车未相遇前相距个单位长度时，则有：（秒）； ②当快慢车相遇后相距个单位长度时，则有：（秒） 答：再行驶秒或秒两列火车行驶到车头相距个单位长度； （3）因为， 当在之间时，是定值， （秒） 此时（单位长度）． 故这段时间为秒，定值是单位长度． 【作业17】 【答案】(1)29 (2) 解：本周实际销量达到了计划数量，理由如下： ∴本周实际销量达到了计划数量； (3)元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、正负数的实际应用、有理数减法的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了正负数的实际应用以及有理数的混合运算： （1）根据销售情况的表格数据，把最大的数值减去最小的数值，即可作答． （2）根据销售情况的表格数据，把数值直接相加，结果若大于或等于0，则达标，否则不达标，即可作答． （3）依题意，王老师每卖出一斤的收入是（元），再与总的斤数相乘，即可作答． 【详解】（1）解：（斤） ∴根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售29斤， 故答案为：29； （2）略 （3）解：（元）， ∴王老师本周一共收入元． 【作业18】 【答案】(1)6 (2)或 (3)①3；②5050 【知识点】有理数四则混合运算、数轴上两点之间的距离、绝对值方程、绝对值的几何意义 【分析】（1）根据“友谊数”定义进行求解即可； （2）根据“友谊数”定义列方程，再解方程即可； （3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算即可； ②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，分析两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值即可． 【详解】（1）解：和5关于4的“友谊数”为： ； （2）解：∵和1关于3的“友谊数”为4， ∴， ∴， ∴， 解得：或； （3）解：①∵和关于1的“友谊数”为1， ∴， ∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1， ∴，， ∴当，均在上时，取最大值，且最大值为3； ②由题意可知：， ∴， ∴当，均在上时，取最小值，且最小值； ， ∵ ∴当，均在上时，的最小值为； 同理，，的最小值为； ，的最小值； ， 的最小值； ∴的最小值为： ． 【点睛】本题考查了绝对值的应用，解绝对值方程，绝对值的意义，数轴上两点间距离公式，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $