第05讲 有理数与有理数的运算 综合培优 2026-2027学年苏科版七年级数学上册期末复习讲义

第05讲 有理数与有理数的运算综合培优 （核心知识+4易错辨析+4典例精讲） 【知识点01】绝对值化简 1. 定义：数轴上点到原点的距离，距离非负，。 2. 化简法则（必考） 3.重要性质 （非负性） ； 【知识点02】有理数混合运算（易错专项） 1. 运算顺序（优先级从高到低）：乘方 → 乘除 → 加减；有括号先算括号。 2. 符号规则 同号得正、异号得负 负数的偶次幂正、奇次幂负 3. 简便运算方法：凑0、凑整、同分母结合、正负分组、乘法分配律。 【知识点03】数轴动点入门（基础必考） 1. 数轴动点通用公式（七上动点万能公式） 起点： 向右运动： 向左运动： 2. 两点距离公式：数轴上 ， 3. 中点公式：中点 【知识点04】新定义运算 1. 本质：题目临时规定一种新运算符号，只在本题有效，和课本符号无关。 2.解题核心：套公式、换字母、原样代入、严格顺序。 3. 常见形式：、、 等。 绝对值化简 易错1：看到 就认为是负数。 纠正： 只是相反数符号， 为负时 为正。 易错2：去绝对值只变前号、括号内符号乱改。 纠正：只根据“整体正负”判断，内部式子不动，整体负则整体取反。 易错3：漏0的情况，直接写 。 纠正：等于本身是非负数，等于相反数是非正数。 易错4：多绝对值化简不分段。 纠正：含字母复杂式必须找零点、分区间、判正负、去绝对值四步走。 有理数混合运算（易错专项） 易错1：混淆 和 正解：， 易错2：乘除混合乱换顺序、随意乱加括号 易错3：分配律乱用，漏乘、错符号 例： 易错4：小数、分数混合不统一形式，计算出错 易错5：多重符号化简数错负号个数 数轴动点入门（基础必考） 易错1：直接用“右减左”不带绝对值，漏情况。 纠正：动点问题距离必须加绝对值。 易错2：向左运动写成加、向右写成减，方向搞反。 易错3：求相遇/距离相等忘记解方程，只会列式不会计算。 易错4：不检验时间范围，出现负数时间、不合理解。 新定义运算 易错1：自作主张用四则运算规则替换新定义。 纠正：一切以题目定义为准。 易错2：代换字母错位，a、b对应颠倒。 易错3：多层新定义不按“从内到外”计算。 易错4：忘记括号、运算顺序出错。 【题型一】绝对值化简 1．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）结合数轴化简的结果是_____． 【答案】/ 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了数轴和绝对值，利用数轴知识和绝对值的定义解答． 【详解】解：由数轴图可知， ∴， ∴ ． 故答案为：． 2．（25-26七年级上·江苏·寒假作业）如图，点A、B、C表示的数分别是a、b、c，化简 ________ ． 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查绝对值，数轴，根据点A、B、C所表示的数a、b、c在数轴上的位置可得，且，再根据有理数加法的计算方法得到，，，由绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：由点A、B、C所表示的数a、b、c在数轴上的位置可知，且， ∴，，， ∴， 故答案为：． 3．（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且．化简：________ 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，绝对值的性质， 先根据题意得，进而得出再去绝对值合并即可． 【详解】解：根据数轴可知，且， ∴， ∴ ∴原式， ． 4．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段检测）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，； (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①_______；②_______；③_______；④_______． (2)用合理的方法计算： 【答案】(1)① ② ③ ④ (2) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的加减混合运算 【分析】此题考查了有理数的混合运算，绝对值的化简，正确掌握运算法则和绝对值的性质是解题的关键． （1）利用绝对值的代数意义化简即可； （2）利用绝对值的代数意义化简，再计算加减法． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； 故答案为：；；；； （2）解： ． 5．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)比较大小：___________0；___________0（填：“>”，“<”或“=”）； (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查数轴的相关知识点，化简绝对值，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由数轴可得，且，由此即可得出结果； （2）由数轴可得，且，从而得出，，，再根据绝对值的意义化简即可得出结果． 【详解】（1）解：由数轴可得：，且， ∴，， 故答案为：，； （2）解：由数轴可得：，且， ∴，，， ∴ ． 6．（25-26七年级上·江苏南京·期末）已知有理数a、b在数轴上对应位置如图． (1)用“”或“”填空： ①a 0； ② 0； (2)比较a、b、、的大小；（用“”把它们连接起来） (3)化简：． 【答案】(1)①，② (2) (3) 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、带有字母的绝对值化简问题、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了有理数的大小比较，数轴，绝对值，解题的关键是掌握有理数的大小比较，数轴知识，绝对值的定义． （1）利用数轴知识和有理数的大小比较解答； （2）根据数轴的特点以及相反数的意义标出、的位置，再由数轴上右边的数总比左边的数大的特点比较出a，b，，的大小即可； （3）先由数轴判断出，，，再由绝对值的性质化简即可得出结论． 【详解】（1）解：①； ②∵， ∴； 故答案为：①，②； （2）解：、的位置如图所示： 由数轴可得； （3）解：由数轴得， ∴，，， ∴ ． 7．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：；． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ①______； ②______． (2)用合理的方法计算： ． (3)用简便方法计算： ． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【知识点】求一个数的绝对值、带有字母的绝对值化简问题、有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，绝对值的意义，本题是阅读型题目，理解题干中的方法并熟练应用是解题的关键． （1）利用题干中的方法解答即可； （2）利用（1）中的方法去掉绝对值符号后化简运算即可； （3）利用（1）中的方法去掉绝对值符号后化简运算即可． 【详解】（1）解：①； ②； 故答案为：①；②； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 8．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】 解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即，，时，则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则． 综上所述，值为3或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个有理数，，满足，求的值； (2)若，，为三个不为0的有理数，且，求的值． (3)若，，，为四个不为0的有理数，则的值为________（直接写答案） 【答案】(1)或1 (2)1 (3)，，0，2，4 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查有理数的运算，解题的关键是掌握去绝对值的法则． （1）由，可得，，中有一个为负，两个为正或三个都为负，分类讨论可得的值时1或； （2）由，可得，，中有两个为负，一个为正，即可得的值； （3）根据题意分5种情况，然后利用绝对值的意义化简求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当，，都是负数，即，，时， 则：； ②，，有一个为负数，另两个为正数时，不妨设，，， 则； 综上所述，值为或1； （2）解：∵，，为三个不为0的有理数，且， ∴，，中负数有2个，正数有1个， ∴， ∴； （3）解：∵，，，为四个不为0的有理数， ∴当，，，都为正数时，； 当，，，中有1个正数，3个负数时，不妨设a为正数，，，为负数 ∴； 当，，，中有2个正数，2个负数时，不妨设a，b为正数，，为负数 ∴； 当，，，中有3个正数，1个负数时，不妨设a，b，c为正数，为负数 ∴； ∴当，，，都为负数时，； 综上所述，的值为，，0，2，4． 9．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：，，，． 【初步体验】（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①_______________；②_____________； 【拓广应用】（2）合适的方法计算：___________________． （3）简便的方法计算：． 【答案】（1）①；②； （2）； （3） 【知识点】求一个数的绝对值、带有字母的绝对值化简问题、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练地掌握运算法则和绝对值的性质是解题关键． （1）①②根据题目可得规律：当时；当时，；运用规律可得答案； （2）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为可得答案． （3）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为可得答案． 【详解】解：（1）由题目运算可得：当时；当时，； ①∵， ∴； ②∵， ∴； 故答案为：；； （2）， 故答案为：． （3） ． 10．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ① ；② ；③ ；④ ； 【拓广应用】 （2）合适的方法计算： ； （3）简便的方法计算：． 【答案】（1）①；②；③；④；（2）；（3）． 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了绝对值的意义，一个正数的绝对值等于它本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． （1）根据一个正数的绝对值等于它本身，一个负数的绝对值等于它的相反数求解即可； （2）先根据绝对值的意义化简，再算加减； （3）先根据绝对值的意义化简，再算加减． 【详解】解：（1）①； ②； ③； ④； 故答案为：①；②；③；④ （2）原式=； （3）原式= ． 【题型二】混合运算易错 11．（23-24七年级上·江苏南通·阶段检测）计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数加减中的简便运算、含乘方的有理数混合运算 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 13．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）计算： (1)（简便运算） (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】有理数加减中的简便运算、含乘方的有理数混合运算、有理数四则混合运算、有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则与运算律是解题的关键． （1）将带分数拆成整数与分数的和，利用乘法分配律进行简便运算； （2）统一小数与分数，利用加法交换律和结合律简化计算； （3）先算乘方与绝对值，再算除法，最后算加减运算； （4）先算乘方，再计算括号内的分数加减，最后进行除法运算； （5）先按顺序计算乘除运算，再进行加减运算，注意符号的处理； （6）逆用乘法分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． （5）解： ． （6）解： ． 14．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 以上三个等式两边分别相加得： 请解答下列问题： (1)根据上面的规律写出______为正整数； (2)直接写出计算结果：…______； (3)探究并计算： 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，数字变化规律问题，能根据所给等式发现各部分的变化规律，并据此进行计算是解题的关键． （1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题； （2）结合（1）中发现的规律进行计算即可； （3）将改写为，改写为，…，据此进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知，；；，…， 所以第n个等式可表示为：． 故答案为：； （2）解：由（1）知， … ， ， ． 故答案为：； （3）解：因为，，…， 所以原式 ， ， ． 15．（25-26七年级上·江苏南通·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 为区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数（十进制数一般不标注基数）． 可知：一个其它进位制数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转化成一个十进制数，反之，可以将一个十进制数表示成一个其它进位制数． 规定：当时，． 例如：，即； ，即； ，即． 【初步感知】 （1）①请把转化为十进制数为______； ②请把转化为八进制数； 【类比探究】 （2）类比十进制数的四则运算可进行其它进位制数的运算， 例如：． 计算：①； ②． 【拓展提升】 （3）小聪发现不同进制数都可以化为十进制数，故不同进制数也可以进行加法运算． 例如：． 若，则_____（结果用十进制数表示）． 【答案】（1）①142；②；（2）①；②；（3）51 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用． （1）根据题意将三进制化为十进制即可求解． （2）根据题意，类比十进制的运算规则，在相应进位制下进行计算即可求解． （3）根据题意例题进行计算先求得，，根据即可求解． 【详解】（1）①把 ， 故答案为： ② ， 即：． （2）① ② （3）∵， ， ， ， ，，且、为正整数， ，， 故答案为： 题型三】数轴动点入门 16．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）在数轴上点B、点C分别表示、1，点Q从点B出发，以每秒3.5个单位长度的速度沿数轴在点B和点C之间往复运动，16秒后点Q在数轴上所表示的有理数为（   ） A． B． C． D．6 【答案】A 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题）、有理数的减法运算、用数轴上的点表示有理数 【分析】此题考查了数轴上的动点问题．求出16秒后点Q运动了个单位长度， 点Q在点B和点C之间往复运动两个来回后，又多走了16个单位长度，进一步求出答案即可． 【详解】解：∵在数轴上点B、点C分别表示、1， ∴, 由题意可得，以每秒3.5个单位长度的速度沿数轴在点B和点C之间往复运动，16秒后点Q运动了个单位长度， 余，即点Q在点B和点C之间往复运动两个来回后，又多走了16个单位长度，即从点B出发，以每秒3.5个单位长度的速度沿数轴运动，到达点C后，再往点B运动6个单位长度，即运动到， 故选：A 17．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）点A、B、M在数轴上，且点M分别到点A、B的距离相等．点A沿着数轴从数字处以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，点B沿着数轴从数字4处以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点M的运动方式是沿着数轴（    ） A．从数字1处以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动 B．从数字1处以每秒0.5个单位长度的速度向左匀速运动 C．从数字2处以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动 D．从数字2处以每秒0.5个单位长度的速度向右匀速运动 【答案】B 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查了数轴和列代数式，用到的知识点是数轴上两点之间的距离．设运动时间为t秒，表示出点A和点B的位置，利用点M到A、B距离相等得出点M是A、B的中点，求出点M的位置表达式，从而确定其运动方式． 【详解】解：设运动时间为t（）秒， ∵点A从处以每秒3个单位向左运动， ∴t秒后点A表示的数为：， ∵点B从4处以每秒2个单位向右运动， ∴t秒后点B表示的数为：， ∵点M到点A、B的距离相等， ∴点M是线段的中点， ∴点M表示的数为：， ∴点M从数字1处以每秒0.5个单位长度的速度向左匀速运动． 故选：B． 18．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，在数轴上有三个点，，，请回答下列问题： (1)点，，表示的数分别为________，________，________； (2)点，，表示的数的相反数分别为________，________，________； (3)将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是________； (4)将点向右移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是________． 【答案】(1) (2) (3)5 (4)0 【知识点】相反数的定义、数轴上点的平移（动点问题）、有理数的减法运算、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，相反数的定义，数轴上点的平移， （1）观察数轴可得答案； （2）根据相反数的定义解答； （3）先确定平移后的点，再根据相反数的定义解答； （4）先确定平移后的点，再根据相反数的定义解答． 【详解】（1）解：点A，B，C表示的数分别是； 故答案为：； （2）解：点A，B，C表示的数的相反数分别是； 故答案为：； （3）解：将点B向左平移3个单位长度后，其对应的点表示的数是，其相反数是5； 故答案为：5； （4）解：将点A向右平移4个单位长度对应的数是，0的相反数是0． 故答案为：0． 19．在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或秒． 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题，解决本题的关键是计算数轴上两点间的距离，进行分类讨论． (1)根据定义求值即可； (2)分线段在线段左侧和右侧两种情况求解； (3)根据点的运动方向和速度分情况讨论． 【详解】（1）解：（点，线段）， （点，线段）， 故答案为：，； （2）解：当线段在线段左侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 当线段在线段右侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 综上所述，或； （3）解：当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：(不符合题意)； 当时，点表示的数是，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时， 则有（线段，线段）； 综上所述，若（线段，线段），则有或或或秒． 【题型四】新定义运算 20．定义新运算：则 的值为 （      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查新定义运算，只需将对应数值代入给定的新运算公式进行计算即可． 【详解】解：∵定义新运算 ∴将，代入公式得 故选：A． 21．（25-26七年级上·江苏·期末）定义一种运算：，则的值是（   ） A．21 B．25 C． D． 【答案】A 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查对新运算的理解，只需按定义代入计算，注意负数的平方为正．根据运算定义，直接代入数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A 22．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）定义之间一种运算，记作：如果，那么．则__________． 【答案】3 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】本题考查了新定义运算． 根据题目给出的新定义计算即可． 【详解】解：根据新定义，若，则． ∵， ∴， 即． 故答案为：3． 23．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）用“※”定义一种新运算，规则如下，．计算： ____． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算．根据新运算的定义，将和代入进行计算． 【详解】解：∵，： ． 故答案为：． 24．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知表示不超过x的最大整数．如：．现定义：，如，则______． 【答案】 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查新定义运算与有理数的减法运算，需先根据给定定义分别求出和的值，再利用有理数减法法则计算最终结果． 【详解】解：∵， ； ∵， ∴； ∴， 故答案为：． 25．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）规定一种新运算“※”如下：．如：．根据此规定解答下列两题： (1)求的值； (2)与的值相等吗？请计算说明． 【答案】(1)23 (2)与的值不相等． 理由：∵， ∴， 由（1）知， ∵， ∴与的值不相等． 【知识点】有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】（1）直接根据新定义计算即可； （2）根据新定义计算出的值，然后结合（1）中计算结果判断即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴； （2）略 26．（22-23七年级上·江苏扬州·周测）已知、为有理数，现规定一种新运算，满足． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数四则混合运算 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 27．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空：___________（填“>”或“=”或“<”） (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】两个有理数的乘法运算 【详解】（1）， ； （2）， ， ， ； （3）， ． 28．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）【概念学习】我们把求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做“除方”，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”． 一般地，把记作，读作“的圈次方”．【初步探究】 （1）直接写出计算结果：________，________； （2）关于“除方”，下列说法错误的是（    ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数， C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么非零有理数的“除方”运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：．（幂的形式） （3）试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式． ________；________；________；________．（为大于2的整数） （4）算一算：． 【答案】（1），4；（2）C（3），，，；（4）． 【知识点】有理数的乘方运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，涉及新定义，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用． （1）根据新定义计算； （2）根据新定义逐个判断即可； （3）把有理数的除方运算转化为乘方运算进行计算； （4）先把除方运算转化为乘方运算进行计算，然后进行乘除运算． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：，4； （2）A．任何非零数的圈2次方都等于两个相等的数相除，商为1，说法正确，不合题意； B．对于任何正整数，，说法正确，不合题意； C．，，，说法错误，符合题意； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，说法正确，不合题意； 故选：C； （3）； ； ； （为大于2的整数）； 故答案为：，，，； （4）由可得，， ∴． 29．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段检测）小东对有理数a，b定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式： ，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的‘乘减法’法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整； 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并用__________________；绝对值相等的两数相“乘减”，都得______； 一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得__________________． (2)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同． ①用“乘减法”计算：______； ②小东发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即．请你探究结合律在有理数的“乘减法”中是否成立，若成立，请你说明理由；若不成立，请以，，为例说明不成立． 【答案】(1)正；负；都得0；这个数的绝对值 (2)①0；②不成立，理由见解析 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，根据题中给出的例子读懂题意是解题的关键． （1）根据题中给出的例子即可得出结论； （2）①根据（1）中的“乘减法”进行计算即可； ②设，，，代入式子进行计算，看结果是否相同即可． 【详解】（1）解：∵，，，，，，，，，． ∴绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并用绝对值较大的数减绝对值较小的数；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． 故答案为：正；负；都得0；这个数的绝对值； （2）解：① ， 故答案为：0； ②不成立，理由如下： ，，， 左边， 右边， 因为左边右边， 所以不成立． 绝对值化简核心不是“看符号”，而是看绝对值内部整体的正负；含字母不确定时必须分段讨论；见到绝对值相加为0，直接利用非负性秒杀。 混合运算丢分90%是符号错、乘方看错、运算顺序乱。做题口诀：先乘方、再乘除、最后加减；有括号先括号；负数乘方看清括号，分配律不漏项、不改号。 数轴动点三步走：用t表示位置→用绝对值表示距离→列方程求解。所有基础动点题都可以用这三步通杀，核心是位置表达式不写错、距离必带绝对值。 新定义运算不考天赋、只考细心。解题口诀：读清规则、对号入座、分步代入、严守顺序，绝不凭经验乱算。 一、单选题 1．下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的乘方运算及四则混合运算，需按照先乘方、再乘除、后加减的运算顺序逐一计算各选项，判断结果是否正确． 【详解】解：∵，∴A选项错误． ∵，∴B选项错误． ∵，∴C选项正确． ∵，∴D选项错误． 故选：C． 2．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）下列算式：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①④ B．①② C．②④ D．③④ 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值、有理数加法运算、有理数乘除混合运算、整式的加减运算 【分析】题目主要考查有理数的混合运算，整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 通过逐一计算每个算式，判断其正确性即可． 【详解】解：① ，正确； ②，错误； ③，错误； ④，正确； ∴ 正确的是①④， 故选：A． 3．下列计算①；②；③；④，正确的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】根据有理数乘除混合运算法则计算判断即可． 本题考查有理数的乘除运算，需根据运算法则逐一验证每个计算是否正确． 【详解】解： ① ∵ ∴ 计算①错误; ② ∵, ∴ 计算②错误; ③ ∵ , , ∴ 计算③正确; ④ ∵, ∴ 计算④正确. 综上，正确计算有2个， 故选：C． 4．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，…若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】C 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上的规律探究 【分析】本题主要考查数轴，以及找规律问题，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解． 【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列， 即圆的滚动规律为3次一个循环，则： ，此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； 点对应的数轴上的数可能为2024． 故选：C． 5．正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上的规律探究 【分析】本题考查正六边形在数轴上的翻转规律探究，关键是找出向左翻转顶点的循环规律．首先根据已知条件列举前几次翻转顶点对应的负数，发现每6个为一个循环，循环内顶点依次为、、、、、；再通过计算除以的余数，结合循环规律确定对应的顶点． 【详解】解：根据题意，第1次点对应，第2次点对应，第3次点对应，第4次点对应，第5次点对应，第6次点对应，第7次点对应， 由此可得，每次翻转对应的顶点为一个循环，循环内顶点顺序为、、、、、． 数轴上所对应的顶点是正六边形经过次翻转得到的， 计算， 根据循环规律，余数为时对应的顶点是， 因此数轴上所对应的顶点是． 故选：B． 6．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）为数轴上表示的点，将点移动个单位长度到点，则点所表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查了数轴，关键在于掌握数轴上的点平移时数的大小变化规律． 分为当点向左移动个单位长度和当点向右移动个单位长度，两种情况进行分析即可． 【详解】解：∵为数轴上表示的点，将点移动个单位长度到点， ∴当点向左移动个单位长度时，点为； 当点向右移动个单位长度时，点为． 故选：C． 7．数轴上的点A 、B 、C 、D所表示的数如图所示，点M 为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点D沿数轴以每秒m 个单位长度向左平移．当点M 和点C 重合时同时停止运动．若在运动过程中始终满足，则m 的值为（   ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】C 【知识点】数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查了数轴上点的平移（动点问题），由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，，推出开始运动后，，即可求解． 【详解】解：由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，， 开始运动后，， ∵， ∴，整理得：； ∵在运动过程中始终满足， ∴，解得：， 故选：C． 8．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）已知，，，，，…，记，比如，，，…，下列说法正确的个数是（    ） ； ，； ；若，则的最小值为16． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，有理数的加法计算，新定义等，正确理解新定义是解题的关键． 通过递推关系求出前几项，验证说法；利用递推关系直接判断说法；推导的表达式，计算说法；分析的取值规律，判断说法． 【详解】， ； ， ； ， ； ， ，故正确； 对于任意k，， 当时，， 由和的递推关系相减： ， ，故正确； 对于偶数， 时，， ，故错误； ： 当n为偶数时，，令，得，时，满足条件； 当n为奇数时，，不满足条件； 故n的最小值为14，不是16，错误． 综上，正确说法为，共2个． 故选：B． 二、填空题 9．用“*”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如，则的值为__________． 【答案】15 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，正确理解运算法则是解题的关键．根据新定义列出算式，按照有理数混合运算法则计算即可． 根据新运算规则，将a和b的值代入公式计算即可解答． 【详解】根据新运算定义，， 将，代入，得 ， 故答案为：15． 10．计算_________． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，按照先算乘方，再算乘法，最后算加法的顺序计算即可． 【详解】 ． 11．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，数轴上点A、B所表示的数分别为、4．有P、Q两点分别从A、B两点出发同时以2个单位长度每秒的速度在数轴上同向运动，M、N分别是与的中点，当运动时间为4秒时，M、N两点之间的距离是________． 【答案】6 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，线段的中点，根据题意利用分类讨论思想解题是关键． 分点P，Q同时向右，同时向左两种情况，结合数轴上两点间的距离和线段中点的定义计算求解． 【详解】解：①当点P，Q同时向右运动时， 当运动时间为4秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵、分别是与的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴、两点之间的距离是； ②当点P，Q同时向左运动时， 当运动时间为4秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵、分别是与的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴、两点之间的距离是； 故答案为： 6． 三、解答题 12．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）若，，，，，计算的值． 【答案】或． 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了绝对值定义，有理数运算，由，，，得，，，然后通过，求出，，，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴，，， ∴当，，时， ∴； 当，，时， ∴； 综上可得：的值为或． 13．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）根据有理数的加减运算进行计算即可求解； （2）根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 14．（23-24七年级上·江苏常州·阶段检测）阅读下列内容，并完成相关的问题． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）”，然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行了运算的算式：；；；；；； 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了”． 聪明的你也明白了吗？ (1)模仿计算：__________；__________；__________；__________； (2)拓展计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） 我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*（加乘）运算中还适用吗？请你选择加法结合律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举一个例子验证． 【答案】(1)；；12； (2)；加法的交换律仍然适用；结合律不适用；验证见解析 【知识点】绝对值的几何意义、有理数加法运算律、有理数的加减混合运算 【分析】（1）首先根据（加乘）运算的运算法则进行运算的算式，归纳出（加乘）运算的运算法则，根据：；，可得：0和任何数进行（加乘）运算，或任何数和0进行（加乘）运算，等于这个数的绝对值，然后逐项进行计算即可； （2）根据（1）中总结出的（加乘）运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可．加法有交换律和结合律，交换律在有理数的（加乘）运算中还适用，结合律不适用，并举例验证加法交换律适用即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：两数进行（加乘）运算时，同号得正、异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行（加乘）运算，或任何数和0进行（加乘）运算，都得这个数的绝对值， ∴； ； ； ； （2）解： ； 加法的交换律仍然适用， 例如：，， ∴， 故加法的交换律仍然适用． 结合律不适用， 举例：，， ， ∴结合律不适用． 【点睛】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意加法运算定律的应用． 15．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）阅读：表示5与2之差的绝对值，也可以理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．探索： (1) ； (2)利用数轴，找出所有符合条件的整数，使所表示的点到5和的距离之和为7； (3)利用数轴，找出所有符合条件的整数，使所表示的点到5和的距离之和为11； (4)由以上探索猜想，对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)7 (2)5，4，3，2，1，0， (3)7或 (4)有，5 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查数轴与有理数，数轴上两点间距离的计算，绝对值的几何意义，掌握相关知识是解答问题的关键． （1）根据题目所给出的算式的意义进行计算即可； （2）根据数轴上两点距离的计算方法求出的取值范围，确定所有符合条件的整数的值即可； （3）根据数轴上两点距离的计算方法可知或7所表示的点到5和的距离之和为11； （4）根据代数式的意义，得出当时，的最小值是5． 【详解】（1）解：，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，则； 故答案为：7； （2）解：若使所表示的点到5和的距离之和为7，此时， ∴所有符合条件的整数为5，4，3，2，1，0，； （3）解：7所表示的点到5和的距离之和为， 所表示的点到5和的距离之和为， ∴所有符合条件的数为或7； （4）解：代数式表示的是数轴上表示数的点到表示2和的点的距离之和，而， 故当时，的最小值是5． 16．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）观察下列各式的特征： ；；；，根据规律，解决相关问题： (1)根据上面的规律，将下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）： ①_____； ②_____； (2)当时， _______，当时，_____； (3)用合理的方法计算： ． 【答案】(1)， (2)， (3) 【知识点】求一个数的绝对值、带有字母的绝对值化简问题、有理数的加减混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了化简绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值的它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （1）根据正数的绝对值的它本身，负数的绝对值是它的相反数，即可解答； （2）根据正数的绝对值的它本身，负数的绝对值是它的相反数，即可解答； （3）先将绝对值化简，再进行计算即可． 【详解】（1）解：①，② 故答案为：，； （2）解：当时， 当时， 故答案为：， （3）解： ． 17．（25-26七年级上·江苏常州·期中）【阅读理解】“数形结合”是重要的数学思想．如：表示2与3差的绝对值，实际上也可以理解为2与3在数轴上所对应的两个点之间的距离．同样地，表示与在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点，所对应的数分别用表示，那么两点之间的距离表示为， 【简单应用】利用此结论，回答下列问题： （1）根据绝对值的几何意义，解决与3在数轴上所对应的两个点之间的距离为___________， 【变式应用】 （2）①当时，___________； ②当取得最小值时，的取值范围是___________； 【能力提升】 （3）已知和均为正整数，且，求的值． 【答案】（1）5；（2）①或；②；（3）或5或6 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了有理数加减运算与数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义，解题时要熟练掌握并能灵活运用数轴的性质是关键． （1）利用两点之间的距离直接计算两点距离； （2）①根据题意得出表示与2的距离为5，即可求解； ②根据题意得出表示到和3的距离之和，即可求解； （3）通过分析求出和的最小值及正整数条件求解即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：5． （2）①表示与2的距离为5， ∴或， 故答案为：或． ②表示到和3的距离之和， 当在和3之间时，和最小，最小值为4， ∴， 故答案为． （3）∵和均为正整数，且． 表示到3和5的距离之和， 当时，值最小，最小值为2； ∵为正整数， ∴或4或5． 表示到和1的距离之和， 当时，则的值为2； ∵为正整数， 若，则的值大于2， ∴时，的值最小为2． ∴当且时，乘积为4． ∴或4或5，， 此时或5或6． 18．已知，． (1)求的值； (2)，求的值； (3)，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了代数式求值，求一个数的绝对值，正确理解题意是解题的关键． （1）根据绝对值的定义可求出a、b的值，再代值计算即可； （2）根据绝对值的定义可求出a、b的值，再根据得到异号，据此可确定a、b的值，再代值计算即可； （3）根据绝对值的定义可求出a、b的值，再根据得到，据此可确定a、b的值，再代值计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，的值为或； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴异号， ∵，， ∴或， ∴或； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或． 19．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．例如：数轴上，点、表示的数分别是、，则、两点之间的距离可以表示为． 【问题解决】 (1)如果点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为4，点与点之间的距离为5，那么_____． (2)若，则的最小值为_____，此时正整数的值为_____． 【关联运用】 (3)数轴上从左到右的三个点，，所对应的数分别为，，．其中，，如图所示．若是原点，且，求的值． 【答案】(1)或 (2) ， (3)或 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、绝对值方程 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，数轴上点的位置与数的关系，绝对值方程的求解；解题的关键在于绝对值的几何意义转化，根据数轴上点的位置分析进行分类讨论；绝对值方程漏解和数轴上点的位置判断错误是本题易错点． （1）根据绝对值的几何意义，表示“到的距离为”，解出方程即可； （2）式子的几何意义为：“到的距离”加“到的距离”，这个距离最小，则当在和之间（包括端点）时，距离最小，根据题意列出方程，再找到此时和之间（包括端点）的正整数即可； （3）根据题意，分两种情况讨论，情况1：在原点右侧；情况2：在原点左侧，然后再分别根据，，在图像上的位置，分别列出式子． 【详解】（1）【答题空1-1详解】 由点与点之间的距离为5可得： ， ，时，， ，时，， 故或． （2）【答题空2-1详解】 当在和之间（包括端点）时，距离最小， 故的最小值为． 【答题空2-2详解】 当在和之间（包括端点）时，距离最小， 故正整数的取值为，． （3）已知，，且，，从左到右排列，（到原点的距离为），分两种情况： 情况1：在原点右侧； ， ∴ 情况2：在原点左侧； ， ∴ 故的值为或． 20．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如图，表示5在数轴上的对应点到原点的距离，而，即也可理解为5与0两数在数轴上对应的两点之间的距离 类似的，表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离、如的几何意义是数轴上表示3 的点与表示x的点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示数a、b，那么A、B之间的距离可表示为 【学以致用】 （1）计算： ， 若， 则 （2）若， 则 ； （3）的最小值为 ； 【拓展延伸】 如果数轴上有三个点且其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“二倍点”． 例如， 数轴上点M， N， P 所表示的数分别为2， 4， 5， 此时， 因此点 N 是 M、P的“二倍点”． （4）若点C表示的数是，点D 表示的数是6，直接写出点C，D的“二倍点”所对应的数值． 【答案】（1）4；2或；（2）或6；（3）6；（4），，或． 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、绝对值方程 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间的距离，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据绝对值的几何意义进行求解即可； （2）分和两种情况，进行讨论求解即可； （3）根据绝对值的几何意义，得到当时，的值最小，为数轴上到的距离； （4）设点为点C，D的“二倍点”，点表示的数为，根据新定义，分2种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）； ，即数轴上到数的距离为3，所表示的数， ∴或； （2）当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上：或； （3）表示数到和2的距离和， 故当时，的值最小，为数轴上到的距离， ∴的最小值为； （4）设点为点C，D的“二倍点”，点表示的数为， 则：或， 当时，即，解得或； 当时，即，解得或； 综上，点C，D的“二倍点”所对应的数值为，，或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 有理数与有理数的运算综合培优 （核心知识+4易错辨析+4典例精讲） 【知识点01】绝对值化简 1. 定义：数轴上点到原点的距离，距离非负，。 2. 化简法则（必考） 3.重要性质 （非负性） ； 【知识点02】有理数混合运算（易错专项） 1. 运算顺序（优先级从高到低）：乘方 → 乘除 → 加减；有括号先算括号。 2. 符号规则 同号得正、异号得负 负数的偶次幂正、奇次幂负 3. 简便运算方法：凑0、凑整、同分母结合、正负分组、乘法分配律。 【知识点03】数轴动点入门（基础必考） 1. 数轴动点通用公式（七上动点万能公式） 起点： 向右运动： 向左运动： 2. 两点距离公式：数轴上 ， 3. 中点公式：中点 【知识点04】新定义运算 1. 本质：题目临时规定一种新运算符号，只在本题有效，和课本符号无关。 2.解题核心：套公式、换字母、原样代入、严格顺序。 3. 常见形式：、、 等。 绝对值化简 易错1：看到 就认为是负数。 纠正： 只是相反数符号， 为负时 为正。 易错2：去绝对值只变前号、括号内符号乱改。 纠正：只根据“整体正负”判断，内部式子不动，整体负则整体取反。 易错3：漏0的情况，直接写 。 纠正：等于本身是非负数，等于相反数是非正数。 易错4：多绝对值化简不分段。 纠正：含字母复杂式必须找零点、分区间、判正负、去绝对值四步走。 有理数混合运算（易错专项） 易错1：混淆 和 正解：， 易错2：乘除混合乱换顺序、随意乱加括号 易错3：分配律乱用，漏乘、错符号 例： 易错4：小数、分数混合不统一形式，计算出错 易错5：多重符号化简数错负号个数 数轴动点入门（基础必考） 易错1：直接用“右减左”不带绝对值，漏情况。 纠正：动点问题距离必须加绝对值。 易错2：向左运动写成加、向右写成减，方向搞反。 易错3：求相遇/距离相等忘记解方程，只会列式不会计算。 易错4：不检验时间范围，出现负数时间、不合理解。 新定义运算 易错1：自作主张用四则运算规则替换新定义。 纠正：一切以题目定义为准。 易错2：代换字母错位，a、b对应颠倒。 易错3：多层新定义不按“从内到外”计算。 易错4：忘记括号、运算顺序出错。 【题型一】绝对值化简 1．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）结合数轴化简的结果是_____． 2．（25-26七年级上·江苏·寒假作业）如图，点A、B、C表示的数分别是a、b、c，化简 ________ ． 3．（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且．化简：________ 4．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段检测）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，； (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①_______；②_______；③_______；④_______． (2)用合理的方法计算： 5．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)比较大小：___________0；___________0（填：“>”，“<”或“=”）； (2)化简：． 6．（25-26七年级上·江苏南京·期末）已知有理数a、b在数轴上对应位置如图． (1)用“”或“”填空： ①a 0； ② 0； (2)比较a、b、、的大小；（用“”把它们连接起来） (3)化简：． 7．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：；． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ①______； ②______． (2)用合理的方法计算： ． (3)用简便方法计算： ． 8．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】 解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即，，时，则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则． 综上所述，值为3或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个有理数，，满足，求的值； (2)若，，为三个不为0的有理数，且，求的值． (3)若，，，为四个不为0的有理数，则的值为________（直接写答案） 9．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：，，，． 【初步体验】（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①_______________；②_____________； 【拓广应用】（2）合适的方法计算：___________________． （3）简便的方法计算：． 10．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ① ；② ；③ ；④ ； 【拓广应用】 （2）合适的方法计算： ； （3）简便的方法计算：． 【题型二】混合运算易错 11．（23-24七年级上·江苏南通·阶段检测）计算． (1)； (2)． 12．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）计算： (1)（简便运算） (2) (3) (4) (5) (6) 14．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 以上三个等式两边分别相加得： 请解答下列问题： (1)根据上面的规律写出______为正整数； (2)直接写出计算结果：…______； (3)探究并计算： 15．（25-26七年级上·江苏南通·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 为区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数（十进制数一般不标注基数）． 可知：一个其它进位制数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转化成一个十进制数，反之，可以将一个十进制数表示成一个其它进位制数． 规定：当时，． 例如：，即； ，即； ，即． 【初步感知】 （1）①请把转化为十进制数为______； ②请把转化为八进制数； 【类比探究】 （2）类比十进制数的四则运算可进行其它进位制数的运算， 例如：． 计算：①； ②． 【拓展提升】 （3）小聪发现不同进制数都可以化为十进制数，故不同进制数也可以进行加法运算． 例如：． 若，则_____（结果用十进制数表示）． 题型三】数轴动点入门 16．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）在数轴上点B、点C分别表示、1，点Q从点B出发，以每秒3.5个单位长度的速度沿数轴在点B和点C之间往复运动，16秒后点Q在数轴上所表示的有理数为（   ） A． B． C． D．6 17．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）点A、B、M在数轴上，且点M分别到点A、B的距离相等．点A沿着数轴从数字处以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，点B沿着数轴从数字4处以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点M的运动方式是沿着数轴（    ） A．从数字1处以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动 B．从数字1处以每秒0.5个单位长度的速度向左匀速运动 C．从数字2处以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动 D．从数字2处以每秒0.5个单位长度的速度向右匀速运动 18．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，在数轴上有三个点，，，请回答下列问题： (1)点，，表示的数分别为________，________，________； (2)点，，表示的数的相反数分别为________，________，________； (3)将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是________； (4)将点向右移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是________． 19．在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 【题型四】新定义运算 20．定义新运算：则 的值为 （      ） A．1 B．2 C．3 D．4 21．（25-26七年级上·江苏·期末）定义一种运算：，则的值是（   ） A．21 B．25 C． D． 22．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）定义之间一种运算，记作：如果，那么．则__________． 23．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）用“※”定义一种新运算，规则如下，．计算： ____． 24．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知表示不超过x的最大整数．如：．现定义：，如，则______． 25．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）规定一种新运算“※”如下：．如：．根据此规定解答下列两题： (1)求的值； (2)与的值相等吗？请计算说明． 26．（22-23七年级上·江苏扬州·周测）已知、为有理数，现规定一种新运算，满足． (1)求的值； (2)求的值． 27．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空：___________（填“>”或“=”或“<”） (3)求的值． 28．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）【概念学习】我们把求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做“除方”，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”． 一般地，把记作，读作“的圈次方”．【初步探究】 （1）直接写出计算结果：________，________； （2）关于“除方”，下列说法错误的是（    ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数， C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么非零有理数的“除方”运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：．（幂的形式） （3）试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式． ________；________；________；________．（为大于2的整数） （4）算一算：． 29．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段检测）小东对有理数a，b定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式： ，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的‘乘减法’法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整； 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并用__________________；绝对值相等的两数相“乘减”，都得______； 一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得__________________． (2)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同． ①用“乘减法”计算：______； ②小东发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即．请你探究结合律在有理数的“乘减法”中是否成立，若成立，请你说明理由；若不成立，请以，，为例说明不成立． 绝对值化简核心不是“看符号”，而是看绝对值内部整体的正负；含字母不确定时必须分段讨论；见到绝对值相加为0，直接利用非负性秒杀。 混合运算丢分90%是符号错、乘方看错、运算顺序乱。做题口诀：先乘方、再乘除、最后加减；有括号先括号；负数乘方看清括号，分配律不漏项、不改号。 数轴动点三步走：用t表示位置→用绝对值表示距离→列方程求解。所有基础动点题都可以用这三步通杀，核心是位置表达式不写错、距离必带绝对值。 新定义运算不考天赋、只考细心。解题口诀：读清规则、对号入座、分步代入、严守顺序，绝不凭经验乱算。 一、单选题 1．下列计算正确的是（） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）下列算式：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①④ B．①② C．②④ D．③④ 3．下列计算①；②；③；④，正确的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，…若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 5．正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）为数轴上表示的点，将点移动个单位长度到点，则点所表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 7．数轴上的点A 、B 、C 、D所表示的数如图所示，点M 为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点D沿数轴以每秒m 个单位长度向左平移．当点M 和点C 重合时同时停止运动．若在运动过程中始终满足，则m 的值为（   ） A．2 B． C．4 D．5 8．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）已知，，，，，…，记，比如，，，…，下列说法正确的个数是（    ） ； ，； ；若，则的最小值为16． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．用“*”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如，则的值为__________． 10．计算_________． 11．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，数轴上点A、B所表示的数分别为、4．有P、Q两点分别从A、B两点出发同时以2个单位长度每秒的速度在数轴上同向运动，M、N分别是与的中点，当运动时间为4秒时，M、N两点之间的距离是________． 三、解答题 12．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）若，，，，，计算的值． 13．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）计算： (1)； (2)． 14．（23-24七年级上·江苏常州·阶段检测）阅读下列内容，并完成相关的问题． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）”，然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行了运算的算式：；；；；；； 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了”． 聪明的你也明白了吗？ (1)模仿计算：__________；__________；__________；__________； (2)拓展计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） 我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*（加乘）运算中还适用吗？请你选择加法结合律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举一个例子验证． 15．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）阅读：表示5与2之差的绝对值，也可以理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．探索： (1) ； (2)利用数轴，找出所有符合条件的整数，使所表示的点到5和的距离之和为7； (3)利用数轴，找出所有符合条件的整数，使所表示的点到5和的距离之和为11； (4)由以上探索猜想，对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 16．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）观察下列各式的特征： ；；；，根据规律，解决相关问题： (1)根据上面的规律，将下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）： ①_____； ②_____； (2)当时， _______，当时，_____； (3)用合理的方法计算： ． 17．（25-26七年级上·江苏常州·期中）【阅读理解】“数形结合”是重要的数学思想．如：表示2与3差的绝对值，实际上也可以理解为2与3在数轴上所对应的两个点之间的距离．同样地，表示与在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点，所对应的数分别用表示，那么两点之间的距离表示为， 【简单应用】利用此结论，回答下列问题： （1）根据绝对值的几何意义，解决与3在数轴上所对应的两个点之间的距离为___________， 【变式应用】 （2）①当时，___________； ②当取得最小值时，的取值范围是___________； 【能力提升】 （3）已知和均为正整数，且，求的值． 18．已知，． (1)求的值； (2)，求的值； (3)，求的值． 19．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．例如：数轴上，点、表示的数分别是、，则、两点之间的距离可以表示为． 【问题解决】 (1)如果点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为4，点与点之间的距离为5，那么_____． (2)若，则的最小值为_____，此时正整数的值为_____． 【关联运用】 (3)数轴上从左到右的三个点，，所对应的数分别为，，．其中，，如图所示．若是原点，且，求的值． 20．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如图，表示5在数轴上的对应点到原点的距离，而，即也可理解为5与0两数在数轴上对应的两点之间的距离 类似的，表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离、如的几何意义是数轴上表示3 的点与表示x的点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示数a、b，那么A、B之间的距离可表示为 【学以致用】 （1）计算： ， 若， 则 （2）若， 则 ； （3）的最小值为 ； 【拓展延伸】 如果数轴上有三个点且其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“二倍点”． 例如， 数轴上点M， N， P 所表示的数分别为2， 4， 5， 此时， 因此点 N 是 M、P的“二倍点”． （4）若点C表示的数是，点D 表示的数是6，直接写出点C，D的“二倍点”所对应的数值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $