专题05有理数的乘方及混合运算知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题05有理数的乘方及混合运算知题通关讲义 知识点01:乘方基础概念 1.定义：求几个相同因数积的运算叫做乘方。 2.各部分名称 an整体称为幂；a是底数；n是指数。 读法：an读作a的n次方（或a的n次幂）。 3.特殊读法与规定 a2：平方；a3：立方； 指数为 1 时省略不写，即a1=a。 关键书写要求：负数、分数作底数时，必须整体加括号再写指数。 4.易混乘方式子对比（高频考点表格） 知识点02:乘方符号判定法则 1.正数的任意次幂一定是正数； 2.0 的任意正整数次幂等于 0； 3.负数：偶次幂为正，奇次幂为负。 知识点03:科学记数法 1.适用对象：大于 10 的大数 标准形式：a10n 硬性要求：1a<10，n为正整数。 2.指数n快速确定方法：原数整数位数-1 3.两类题型：大数改写科学记数法、科学记数法还原成原数。 4.易错点：a不能大于等于 10，也不能小于 1。 知识点04:有理数混合运算固定顺序（必背） 1.先算括号：从小括号→中括号→大括号，由内向外计算； 2.无括号层级：先乘方，再乘除，最后加减； 3.同级运算（只加减 / 只乘除）：从左往右依次计算。 知识点05:混合运算简便计算工具：三大运算律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律、结合律、分配律 a(b+c)=ab+ac 重点提醒：使用分配律时，括号内每一项都要与括号外数字相乘，不可漏乘。 知识点06:混合运算标准解题步骤 第一步：全部计算式子内的乘方，分清(-a)n与-an； 第二步：所有除法统一转化为乘倒数，处理全部乘除； 第三步：运用运算律分组凑整、约分简化计算； 第四步：最后完成加减运算，得出最简结果。 1、混淆-an与(-a)n的底数 提醒：-an的底数是a，含义为an的相反数；(-a)n的底数是-a，含义为‑a进行n次乘方；两个式子底数不同，计算结果不一定相等，做题时区分括号位置。 2、分数乘方运算底数判定错误 提醒：若整个分数作为乘方的底数，分数整体必须加括号；不加括号时，仅对分子进行乘方运算，分母不参与乘方，二者计算结果不同。 3、0、1、‑1乘方运算规律误用 提醒：0的任意正数次幂等于0；1的任意次幂等于1；‑1的偶次幂结果为1，‑1的奇次幂结果为‑1，计算前先判断指数的奇偶性。 4、有理数混合运算顺序执行错误 提醒：运算优先级：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算按照从左至右依次计算；存在括号优先计算括号内部，不允许私自调换运算次序。 5、乘法分配律展开漏乘括号内项 提醒：运用乘法分配律a(b+c)展开，外部因数需要乘以括号内每一项，连同各项符号一起运算，不能只和括号第一项相乘。 6、混合运算中负号与数字发生拆分 提醒：负号是对应有理数的组成部分；运算移项、变形过程中，负号必须跟随所属数字，不能单独丢弃负号。 7、乘除同级运算擅自添加括号改变运算次序 提醒：乘法与除法属于同一级运算，必须严格遵循从左向右顺序；没有括号条件下，不可以自行添加括号优先计算后侧算式。 8、乘方、乘除运算的符号判断错误 提醒：负数乘方：偶次幂结果为正，奇次幂结果为负；乘除运算符号取决于负因数总个数；运算时先确定结果符号，再计算绝对值。 题型 考察方向 难度 题型一 有理数幂的概念理解 ★ 题型二 有理数的乘方运算 ★ 题型三 有理数乘方逆运算 ★★ 题型四 乘方运算的符号规律 ★★ 题型五 乘方的应用 ★★★ 题型六 用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 ★ 题型七 将用科学记数法表示的数变回原数 ★★ 题型八 程序流程图与有理数计算 ★★★ 题型九 算 “24” 点 ★★★ 题型十 含乘方的有理数混合运算 ★★ 题型十一 计算器 —— 有理数 ★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 有理数幂的概念理解 1．在中，底数是__________，指数是__________． 【答案】 【详解】解：根据乘方的定义，形如的乘方中，叫做底数，叫做指数，本题的乘方为，对比乘方定义可得，底数是，指数是． 2．计算：的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘方和乘法的意义，解题的关键是区分个相乘与个相加的不同，以及个相加的表示方法． 个相乘表示为；个相加表示为；将两部分结果相加即可． 【详解】解：个相乘，根据乘方的意义，可表示为；个相加，根据乘法的意义，可表示为； 因此，原式的结果为． 故选：B． 3．某种细菌每30秒由1个分裂成2个，经过3分，1个细菌分裂成____个，这些细菌再继续分裂t分后共分裂成____个． 【答案】 64 22t+6． 【分析】把3分、t分转化为含30秒的次数，根据乘方的意义得结论． 【详解】因为3分=6个30秒， 所以1个细菌经过3分钟分裂成26个，即64个． t分=2t个30秒， 再继续分裂t分钟，即一个细菌分裂了(2t+6)次， 此时共分裂22t+6个． 故答案为：64，22t+6． 【点睛】本题考查了乘方的意义．掌握乘方的意义是解决本题的关键． 4．已知，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】∵， ∴，， ∴，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了非负数的性质．能够利用据非负数的和为零得出每个非负数同时为零是解题的关键． 题型二 有理数的乘方运算 5．若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质(绝对值与偶次方的非负性)及有理数的乘方运算．关键是掌握“几个非负数的和为0时，这几个非负数均为0”这一性质，先据此求出、的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， 则； 故答案为：． 6．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A：，故此选项错误； B：，故此选项错误； C：，故此选项正确； D：，故此选项错误． 7．若，为有理数，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方的运算，偶次幂和绝对值的非负性，有理数除法，利用非负数的性质，求出 和 的值，再代入计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，且， ∴且， 解得，， 则， ∴， 故答案为：． 8．计算（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了乘法的意义（多个相同加数的和）与乘方的意义（多个相同因数的积），熟练掌握乘法和乘方的定义是解题的关键．根据根据加法及乘方的意义求解即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， 故选：D． 题型三 有理数乘方逆运算 9．已知，则_____，若， _____． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘方运算法则，准确计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：；． 10．一般地，个相同因数相乘：记为．如，此时叫做以为底的的对数，记做（即）．根据上述定义，计算的值为_____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查定义新运算，有理数的乘方运算，根据对数的定义计算即可，读懂题目中定义的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 11．已知，，，则的值为（    ） A．8或 B．或2 C．或 D．2或8 【答案】D 【分析】根据绝对值和乘方的性质，求得，，即可求解． 【详解】解：由可得，解得或 由可得或， 由可得 所以，或， ∴或 故选：D． 【点睛】此题考查了绝对值，乘方的性质，解题的关键是根据题意，正确求得，． 题型四 乘方运算的符号规律 12．若，则的值可以为__________（写出一个即可）． 【答案】5（答案不唯一） 【分析】本题考查不等式的性质，有理数的乘方，掌握知识点是解题的关键． 根据题意，可得且n为奇数，即可解答． 【详解】解：∵， ∴且n为奇数． 如：(答案不唯一) 故答案为：(答案不唯一)． 13．若，则的值是（   ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质，有理数的乘方和加法运算，掌握平方和绝对值的非负性是解题关键．根据非负数的性质，得出，，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 故选：A． 14．若，则_______________． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性和偶数次方的非负性，算出x和y的值，再代入式子求解． 【详解】解：∵，且，， ∴，，解得，， ∴． 故答案是：． 【点睛】本题考查绝对值的性质和乘方的性质，解题的关键是利用绝对值的非负性和偶数次方的非负性进行计算求解． 15．一小球从距地面高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下．    （1）小球第2次着地时，经过的总路程___________； （2）小球第次着地后，反弹的高度为___________． 【答案】 6 【分析】（1）根据题意可以求得小球第2次着地时，经过的总路程； （2）逐一列出前三次着地后反弹的高度，找出规律，即可解答． 【详解】解：（1）小球第2次着地时，经过的总路程为：， 故答案为：6； （2）第1次着地后反弹的高度为：， 第2次着地后反弹的高度为：， 第3次着地后反弹的高度为：， … 第n次着地后反弹的高度为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实际问题中的规律探究问题，解答本题的关键是明确题意，找出题目中数的变化规律，注意每次着地后又跳回到原高度的一半再落下． 题型五 乘方的应用 16．现在有一种结绳记数方法，满七进一，可以将七进制数转换为十进制数．将图1的结绳记数转换成十进制数为：．则将图2的结绳记数转换成十进制数为________． 【答案】 【分析】本题考查了进制问题． 仿照题干计算即可． 【详解】解：将图2的结绳记数转换成十进制数为． 故答案为：． 17．如图，将一个边长为2的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为2的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推，则图中阴影部分以外的面积是______． 【答案】 【分析】本题主要考查图形的变化以及乘方的应用，根据题意和图形中的数据，可以得到阴影部分的面积，并计算出空白的面积． 【详解】解：部分①是边长为2的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半， 阴影部分的面积是， ． 故答案为：． 18．校园爱心义卖活动中，志愿者设计了“二进制积分兑换”规则：每张积分券上的二进制数对应十进制数，兑换文具的数量按以下规则计算： ①若为奇数：可兑换笔的数量； ②若为偶数：可兑换笔的数量． 小明用一张积分券兑换到19支笔，则这张积分券上的二进制数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的运算，解题的关键是理解题意；由兑换规则，当兑换笔数时，分别考虑D为奇数和偶数的情况，若D为奇数，则，解得，但8为偶数，矛盾；故D为偶数，则，解得；将选项中的二进制数转换为十进制，只有对应8，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴若D为奇数，则，解得：，但8为偶数，矛盾； ∴D为偶数，则，解得：， ∵， ∴二进制数为， 故选B． 题型六 用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 19．是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据科学记数法的表示形式，其中，为整数，即可表示出175000000000． 【详解】解：科学记数法要求，原数为175000000000， 将小数点向左移动11位，得到， ． 20．电影《欢迎来龙餐馆》上映后口碑热度持续走高，收获大量观众好评．截至目前，国内累计票房已突破12亿元．将数1200000000用科学记数法表示为__________ 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可得到结果． 【详解】解：． 21．据相关消息，中央广播电视总台2026年春节联欢晚会收视数据亮眼，截至2月17日8时，晚会全国电视直播总收视份额达，创下13年来新高，境内全媒体总触达亿次，同比增长．若数据亿用科学记数法表示为，则的值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【详解】解：亿， ∴． 题型七 将用科学记数法表示的数变回原数 22．预计2026年中国人形机器人市场规模近元人民币．数据可表示为（     ） A．0.9亿 B．9亿 C．90亿 D．900亿 【答案】C 【分析】将科学记数法表示的数还原，再换算为以亿为单位的数即可得到结果． 【详解】亿． 23．若，处覆盖的数字都是0，若，则这个数中被覆盖的0有 ________个． 【答案】5 【分析】由题意得，求出，再结合科学记数法的规则计算即可得出结果． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， ∴， ∴这个数中被覆盖的0有5个． 24．若数据，则的值是（    ） A．15 B．14 C．12 D．11 【答案】C 【分析】根据，得到原数小数点向左移动了15位，而的小数点后包含3位数字，因此用15-12即可获得正确答案． 【详解】∵将原数用科学记数法表示为 ∴原数小数点向左移动了15位 ∵的小数点后包含3位数字 ∴ 故答案为C． 【点睛】本题考查了科学记数法，对于，a的取值范围． 题型八 程序流程图与有理数计算 25．根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是程序框图的循环执行，理解流程图的逻辑、重复代入计算是解题的关键．根据流程图的规则，当计算结果不大于时，需要将该结果作为新的输入值再次代入计算，直到结果大于时输出该结果． 【详解】解：根据流程图，当时，， 此时，， ． 故选：． 26．数学活动课上，小语设计了一个如图的程序图．若输入的，输出的数是a，若输入的，输出的数是b，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解流程图的运算方式是解题关键． 分别代入x的值进行运算，得到a和b，再相乘即可． 【详解】解：当时，输出的结果为； 当时，输出的结果为； ∴，， ∴， 故答案为： ． 27．嘉淇做了一个如图所示的程序图，如输入时，因为，所以；输入时，，所以将作为再次进行判断和计算．若嘉淇某次输入有理数后，输出的结果为，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算得出直接输出的输入值必须是，结合程序流程图，逐项分析即可得出结果． 【详解】解：当时，， 解得， 故直接输出的输入值必须是， A、当时，由可得，输出的的值为，故不符合题意； B、当时，，则，输出的的值为，故不符合题意； C、当时，，则，输出的的值为，故符合题意； D、当时，，则，输出的的值为，故不符合题意． 题型九 算 “24” 点 28．下面4张扑克牌上的点数，经过怎样的计算能得到24（每张牌都要用且只能用一次），可以列出综合算式是_______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的四则运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键，通过所给的数字尝试调整，凑成得数是24的算式，即可完成解答，注意可以使用括号． 【详解】解：根据题意． 故答案为：． 29．将四个数2，﹣3，4，﹣5进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算，列一个算式_____（每个数都要用，且只能用一次，写出一个即可），使得运算结果等于24． 【答案】2×[4﹣（﹣3）﹣（﹣5）]＝24（答案不唯一）． 【分析】根据有理数的运算法则求解． 【详解】解：2×[4﹣（﹣3）﹣（﹣5）] ＝2×（4+3+5） ＝2×12 ＝24， 故答案为：2×[4﹣（﹣3）﹣（﹣5）]＝24（答案不唯一）． 【点睛】本题考查有理数的四则混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键． 30．算“24”是一种常见的数学游戏．一座有三道环路的数字迷宫，每一个入口处都设置一个数，要求每一个进入者都把自己当作数“1”，进入时必须形状一种运算（加、减、乘、除或乘方），与入口处的数进行计算，并将结果带到下一个入口，依次累计下去．在通过最后一个入口时，如果计算结果是24才能到达迷宫中心．请选择一条可以到达迷宫中心的道路，列出其对应的算式为________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，从外向内的三层中的每一层各取一个数字进行计算，若结果为24，则能进入迷宫中心；根据进入迷宫的方式进行判断，看是否能进入迷宫． 【详解】解：如等. 故答案为：（答案不唯一） 题型十 含乘方的有理数混合运算 31．计算：_____． 【答案】2 【分析】根据乘方的性质：的奇数次方为，的偶数次方为，进行计算便可． 【详解】解：原式． 32．计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制数，只需把该数写成若干个数的和，依次写出1或0即可．如为二进制下的5位数，则十进制数是二进制下的(   ) A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数 【答案】B 【分析】本题主要考查了十进制数与二进制数的转换，结合题意把十进制数转换成二进制数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴十进制数是二进制下的11位数， 33．在有理数范围内，定义一种新运算“”：，例如：，则 __________． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算，有理数的混合运算，熟练掌握新运算的法则是解题的关键，根据新运算的法则列式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 34．为了求的值， 可令，则， 因此，所以． 这种方法称为“错位相减法”． 请参考以上推理计算： （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则 ，仿照题目中的“错位相减法”，可得 ，再设，再用错位相减法可得，将其代入中，可得 本题考查了有理数的混合运算，乘方的含义，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键． 【详解】解：设， 则， ∴， 即， 再令， 则， ∴， 即， ∴， ， ， ． 故选：B． 题型十一 计算器 —— 有理数 35．用课本上的计算器进行计算，若按键顺序如下：    则计算的结果是___________. 【答案】 【分析】本题考查了计算器计算，有理数的乘方运算，根据题意，得，解答即可． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：． 36．用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算时，按键顺序与显示结果不对应的是（  ）． A．按键顺序为显示结果为 B．按键顺序为显示结果为 C．按键顺序为显示结果为 D．按键顺序为显示结果为 【答案】B 【分析】本题考查科学计算器的使用，掌握好相关知识是关键． 根据科学计算器的操作方法，逐个判断即可． 【详解】解：对于选项A：对应的运算公式为，故A正确； 对于选项B：对应的运算公式为，故B错误； 对于选项C：对应的运算公式为，故C正确； 对于选项D：对应的运算公式为，故D正确． 故选：B． 37．关于科学计算器的按键顺序： 所表示的算式是______． 【答案】 【分析】本题考查计算器—有理数、有理数的混合运算，根据计算器的特点，可以写出相应的算式．熟练掌握计算器的输入特点是解答本题的关键． 【详解】解：由题意可得， 对应的算式是：． 故答案为：． 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】由表示个相乘进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 2．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．定义：对于两个正数和，如果，那么．例如：因为，所以． (1)填空：① ；② ； (2)已知，求的值； (3)猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①2②4 (2)64 (3)猜想：．理由： 设，，则，， ∴， 由定义得：， ∴ 【分析】（1）根据新运算的法则计算即可求解； （2）首先推导出，结合解答即可； （3）设，，则，，可得出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ②∵， ∴； （2）解：根据题意得：，； ∵， ∴， ∴， ∴； （3）略 4．如图是一卷绕紧的纸，纸卷直径为14厘米，中间有一个直径为4厘米的卷轴，已知纸厚厘米，这卷纸全部完全展开后长度大约是多少米？（数值精确到小数点后一位，取） 【答案】这卷纸展开后大约是35.3米 【分析】本题主要考查有理数乘方的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据等面积法列算式进行求解即可． 【详解】解：利用体积不变可得：（厘米）， 厘米米米， 答：这卷纸展开后大约是35.3米． 5．如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小明输入，4，15这三个数时，则三次输出的结果依次为__________，__________，__________； (2)有一次，小明操作的时候输入了一个小于10的正整数，最后输出的结果是2，则小明输入的正整数是__________ 【答案】(1)；1；0 (2)2或7 【分析】（1）根据题目中的数值转换机，可以写出相应的输出结果； （2）根据题意，利用分类讨论的方法，可以计算出相应的输入数据． 【详解】（1）解：由题意得， 当输入数值是时，，，输出的数值为； 当输入数值是4时，，，，输出的数值为1， 当输入数值是15时，，，，的相反数是0，，输出的数值为0； （2）解：当按照绝对值输出结果为2时， ∴绝对值为2的非正数是，的相反数为2， ∵， ∴输入数据为2或者7， 当按照倒数输出结果为2时，取相反数后应该为，取相反数前为，一个数减去5后结果为，这个数一定是一个分数，而不可能为整数，因此这种情况时，输入的数据不可能是正整数； 综上，小明输入的正整数是2或7． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $专题05有理数的乘方及混合运算知题通关讲义 1 知识梳理 底数a、指数n、幂an 定义：n个相同因数相乘，记作an 易混对比：（-a)n与-a” 正数任意次幂为正 有理数乘方 负数：偶次正，奇次负 符号规律 0n=0(n>0) 1n=1,（-1)交替取值 计算注意：分数乘方整体加括号 有理数乘 方及混合 运算 标准形式：a×10n(1≤a<10) 科学记数法 n的确定规则 科学记数法与原数互化 优先级：乘方→乘除→加减 同级运算：从左往右依次算 有理数混合运算顺序【重中之重】 括号：小括号一中括号一大括号 运算律简化计算（乘法分配律高频） 知识点01：乘方基础概念 1.定义：求几个相同因数积的运算叫做乘方。 式子： 0×a×a…Xg=an n个a 2.各部分名称 a"整体称为幂；a是底数：n是指数。 读法：a"读作a的n次方（或a的n次幂）。 3.特殊读法与规定 试卷第1页（共3页） a子：平方；a3:立方： 指数为1时省略不写，即a=a。 关键书写要求：负数、分数作底数时，必须整体加括号再写指数。 4.易混乘方式子对比（高频考点表格） 算式 真正底数 算式含义 计算结果示例 (-a)n a n个-a相乘 (-4)2=(-4)×(-4)=16 -a" a a”结果的相反数 -42=-(4×4)=-16 知识点02：乘方符号判定法则 1.正数的任意次幂一定是正数： 2.0的任意正整数次幂等于0； 3.负数：偶次幂为正，奇次幂为负。 知识点03：科学记数法 1.适用对象：大于10的大数 标准形式：a×10 硬性要求：1≤a<10,n为正整数。 2指数n快速确定方法：原数整数位数-1 试卷第2页（共3页） 3.两类题型：大数改写科学记数法、科学记数法还原成原数。 4.易错点：a不能大于等于10，也不能小于1。 知识点04：有理数混合运算固定顺序（必背） 1.先算括号：从小括号→中括号→大括号，由内向外计算： 2无括号层级：先乘方，再乘除，最后加减： 3同级运算（只加减/只乘除）：从左往右依次计算。 知识点05混合运算简便计算工具：三大运算律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律、结合律、分配律a(b+c=ab+ac 重点提醒：使用分配律时，括号内每一项都要与括号外数字相乘，不可 漏乘。 知识点06：混合运算标准解题步骤 第一步：全部计算式子内的乘方，分清(a)"与a"; 试卷第3页（共3页） 第二步：所有除法统一转化为乘倒数，处理全部乘除： 第三步：运用运算律分组凑整、约分简化计算： 第四步：最后完成加减运算，得出最简结果。 高频易错点 1、混淆-a”与(-a)n的底数 提醒：-a”的底数是a,含义为a"的相反数；(-a)严的底数是-a,含义为-a 进行次乘方：两个式子底数不同，计算结果不一定相等，做题时区分 括号位置。 2、分数乘方运算底数判定错误 提醒：若整个分数作为乘方的底数，分数整体必须加括号；不加括号 时，仅对分子进行乘方运算，分母不参与乘方，二者计算结果不同。 3、0、1、-1乘方运算规律误用 提醒：0的任意正数次幂等于0：1的任意次幂等于1：-1的偶次幂结果 为1，-1的奇次幂结果为-1，计算前先判断指数的奇偶性。 4、有理数混合运算顺序执行错误 提醒：运算优先级：先算乘方，再算乘除，最后算加减：同级运算按照 从左至右依次计算：存在括号优先计算括号内部，不允许私自调换运算 次序。 5、乘法分配律展开漏乘括号内项 试卷第4页（共3页） 提醒：运用乘法分配律(b+c)展开，外部因数需要乘以括号内每一项，连 同各项符号一起运算，不能只和括号第一项相乘。 6、混合运算中负号与数字发生拆分 提醒：负号是对应有理数的组成部分：运算移项、变形过程中，负号必 须跟随所属数字，不能单独丢弃负号。 7、乘除同级运算擅自添加括号改变运算次序 提醒：乘法与除法属于同一级运算，必须严格遵循从左向右顺序；没有 括号条件下，不可以自行添加括号优先计算后侧算式。 8、乘方、乘除运算的符号判断错误 提醒：负数乘方：偶次幂结果为正，奇次幂结果为负；乘除运算符号取 决于负因数总个数；运算时先确定结果符号，再计算绝对值。 题型通关 题型 考家方向 难度 题型一 有理数幂的概念理解 题型二 有理数的乘方运算 ★★ 题型三 有理数乘方逆运算 ★★ 题型四 乘方运算的符号规律 ★★★ 题型五 乘方的应用 题型六 用科学记数法表示绝对值大于1的数 试卷第5页（共3页） ★★ 题型七 将用科学记数法表示的数变回原数 ★★★ 题型八 程序流程图与有理数计算 ★★★ 题型九 算“24”点 题型十 含乘方的有理数混合运算 题型十一 计算器一一 有理数 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 分题型精讲 题型一有理数幂的概念理解 6)4 1,在中，底数是 指数是 m个2 2.计算： 2×2×…×2+3+3++3的结果为() n个3 A.2m+3n B.2"+3n C.2m+3” D.2m+3” 3.某种细菌每30秒由1个分裂成2个，经过3分，1个细菌分裂成一个，这些细菌再继 续分裂t分后共分裂成_个. 4.已知x-3+(2x-=0,则+y的值是《) A.3 B.±3 C.9 D.9 题型二有理数的乘方运算 5.若a-2+6+1=0 6.下列运算正确的是() 试卷第6页（共3页） A.（-2}=4 B.-22=4 c.(2)°=-8 D. --2=2 7者少为有理流，-+0，（月）-_ 2025 x个 y个 8.计算2+2+2.+2+3x3×3…x3=（） A. 2x+y B.+3y C.2*+3y D.2x+3 题型三有理数乘方逆运算 9.己知=9，则x=一，若=(4八，x= 0aa…ag 10.一般地，n个相同因数a相乘： n个 记为a”.如23=8，此时3叫做以2为底 的8的对数，记做1,8（即1g,8=3),根据上述定义，计算g,1o-号og,81的值为. 1.已知x+23.广=49，K-)y-,则+y的值为《) A.8或6 B.-12或2 C.6或-12 D.2或8 题型四乘方运算的符号规律 （-2)×(-2)×…×(-2)<0 12.若 个(-2)相乘(>3) ,则n的值可以为. (写出一个即可). 13.若a-+b+2=0 则a+b的值是() A.-1 B.1 C.0 D.2 5--y0,(j 2 15.一小球从距地面3m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下. 试卷第7页（共3页） 3米 第1次第2次 第n次 (1)小球第2次着地时，经过的总路程 m; (2)小球第n次着地后，反弹的高度为 m 题型五乘方的应用 16.现在有一种结绳记数方法，满七进一，可以将七进制数转换为十进制数.将图1的结 绳记数转换成十进制数为：1×7+3×7+3=73.则将图2的结绳记数转换成十进制数为 图1 图2 17.如图，将一个边长为2的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为2的正方形纸 片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推，则 图中阴影部分以外的面积是 ⑥ ④ ⑤ ② ③ ① 18.校园爱心义卖活动中，志愿者设计了“二进制积分兑换”规则：每张积分券上的二进 制数B对应十进制数D,兑换文具的数量按以下规则计算： ①若D为奇数：可兑换笔的数量N=2D+3: 试卷第8页（共3页） @若D为偶数：可兑换笔的数量V=+17 小明用一张积分券兑换到19支笔，则这张积分券上的二进制数是() 10102 1000, 11002 11102 A B D 题型六用科学记数法表示绝对值大于1的数 l9.ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAl新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语 言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学 记数法表示为() A.1.75×100 B.1.75×102 C.1750×108D.1.75×10 20.电影《欢迎来龙餐馆》上映后口碑热度持续走高，收获大量观众好评.截至目前，国 内累计票房已突破12亿元.将数1200000000用科学记数法表示为. 21.据相关消息，中央广播电视总台2026年春节联欢晚会收视数据亮眼，截至2月17日8 时，晚会全国电视直播总收视份额达79.29%，创下13年来新高，境内全媒体总触达 230.63 37.3% 230.63 .3063×10 亿次，同比增长 ·若数据 亿用科学记数法表示为 ,则”的 值为() A.10 B.9 C.8 D.7 题型七将用科学记数法表示的数变回原数 22.预计2026年中国人形机器人市场规模近9×10元人民币.数据9×10°可表示为() A.0.9亿 B.9亿 C.90亿 D.900亿 23.若90 =a×10" 处覆盖的数字都是0，若a+n=l5,则这个数中被 覆盖的0有 个 14320000.…0=1.432×10 24.若数据 m个 ,则n的值是() 试卷第9页（共3页） A.15 B.14 C.12 D.11 题型八程序流程图与有理数计算 25.根据流程图中的程序，若输入x的值为-1，则输出y的值为() 是 输入x 平方 乘以3 减去5 <结果大于0 输出y 否 A.187 B.8 C.7 D.5 26.数学活动课上，小语设计了一个如图的程序图.若输入的x=1,输出的数是a,若输 入的x=-7,输出的数是b,则b的值为 输入y +3 ×6 ÷(-2) -5 输出 27.嘉淇做了一个如图所示的程序图，如输入m=-2时，因为-2<-1，所以 n=-（-2)+(-7)=-5 输入m=0时，0>-1，所以将0-2=-2作为m再次进行判断和计 算.若嘉淇某次输入有理数m后，输出的结果n为-5.5，则m的值可以是() 是 输入m 1m< 取m的相反数 加-7 否 减2 输出结果n A.-2.5 B.0.5 C.0.5 D.3.5 题型九算“24”点 28.下面4张扑克牌上的点数，经过怎样的计算能得到24（每张牌都要用且只能用一 次)，可以列出综合算式是 29.将四个数2，-3,4，-5进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算，列一个算式 (每个数都要用，且只能用一次，写出一个即可)，使得运算结果等于24. 试卷第10页（共3页） 30.算“24'是一种常见的数学游戏.一座有三道环路的数字迷宫，每一个入口处都设置 个数，要求每一个进入者都把自己当作数“1”，进入时必须形状一种运算（加、减、乘、 除或乘方)，与入口处的数进行计算，并将结果带到下一个入口，依次累计下去，在通过 最后一个入口时，如果计算结果是24才能到达迷宫中心.请选择一条可以到达迷宫中心的 道路，列出其对应的算式为 题型十含乘方的有理数混合运算 31.计算：（)-（-1)= 32.计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0,1，将一个十进制数转化为二进制数， 只需把该数写成若干个2”数的和，依次写出1或0即可.如 19o=16+2+1=1x2+0x2+0x2+1x2+1=101la为二进制下的5位数，则十进制数 2004是二进制下的() A.10位数 B.11位数 C.12位数 D.13位数 「a2-b(a2b) 33.在有理数范围内，定义一种新运算“。”： aab= a-b2(a<b),例如： 3a(-2)=32-(-2)=I1,则4[4a(-4] 34.为了求1+7+7+…+7203的值， 可令S=1+7+72+…+72023,则7S=7+72+…+72023+72024 因此75-5=7m4-1所以S=1+7+72+7++7m_74-1 6 这种方法称为“错位相减法”. 试卷第11页（共3页） 请参考以上推理计算：1×2+2×22+3×2++9×2”=() A.23 B.23+2 C.23+4 D.23+8 题型十一计算器 一 有理数 35.用课本上的计算器进行计算，若按键顺序如下： (-) 3 4 则计算的结果是 36.用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算时，按键顺序与显示结果不对应的是( 1.3x2 1.69 A.按键顺序为 显示结果为 B. 按锭顺序为6之3®2已是示结果为 C.按键顺序为 2y4▣ 显示结果为16 D.按键顺序为 ×(-)0·5 显示结果为1 37.关于科学计算器的按键顺序： 0○⑥&③② 12 所表示的算式是 解答题 1.计算： 25y, 试卷第12页（共3页） 3)(-3 4-(-2订 2.计算： 0)-1+-3y÷9x2 2 3.定义：对于两个正数aa》和b,如果心=b,那么fa)= .例如：因为2”=32 ,所以f2,32)=5 0室：①/5.25)，②88-。 （2已知f24)+f2,1o)=f2,求*的值： )猜短4叫+4)与f4m之间的数量关系，并说明理由。 4,如图是一卷绕紧的纸，纸卷直径为14厘米，中间有一个直径为4厘米的卷轴，已知纸 厚0.04厘米，这卷纸全部完全展开后长度大约是多少米？（数值精确到小数点后一位，π 取3.14) 14 5,如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转 换的转换机)· 试卷第13页（共3页） 否 输入 数大于2 非正 取相反数 陬绝对值 是 为正 加上-5 取倒数 输出 (1)当小明输入-2,4,15这三个数时，则三次输出的结果依次为 (2)有一次，小明操作的时候输入了一个小于10的正整数，最后输出的结果是2，则小明输 入的正整数是 试卷第14页（共3页）