第12讲·简单的位似图形·培优讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪科版九年级数学上册
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精品
内容正文：
第12讲·简单的位似图形·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026年沪科版九年级数学上册
参考答案与试题解析
🍔 思维导图
🍟 课程目标
· 理解位似图形的定义，会判断两个图形是否位似并确定位似中心
· 掌握位似与相似的关系，会用位似比求周长比、面积比与对应线段长
· 掌握以原点为位似中心的坐标变化规律 (x,y) → (kx,ky) 或 (-kx,-ky)
· 会求非原点位似（一般位置）情形下的位似中心与对应点坐标
· 会在平面直角坐标系和网格中按要求画位似图形（放大或缩小）
· 会解决视力表、投影成像等以位似为模型的实际应用问题
🍗 知识梳理
✅️ 1.位似图形的概念与性质
位似图形：相似且对应顶点连线交于同一点（位似中心），对应边互相平行
位似图形一定是相似图形；位似中心可在图形之间、内部、顶点上或外部
位似比即相似比，对应点到位似中心的距离之比等于位似比
位似变换不改变图形的形状，只改变大小（k>1 放大，k<1 缩小）与位置
判断位似三条件缺一不可：相似、连线共点、对应边平行
概念辨析例题：视力表中大小不同的「E」字是位似图形，若两个「E」的位似比为 1:5，小「E」高 3.5cm，则大「E」的高为（ ）
答案：17.5cm
解析：大「E」:小「E」 = 5:1，大「E」高 = 3.5 × 5 = 17.5cm。视力表、投影、放大镜下的图形都是位似模型，先定谁比谁再算倍数。
✅️ 2.位似中的相似比、周长与面积
周长比 = 位似比 k；面积比 = k²；对应线段比 = k
由面积比求位似比要开平方，注意比的方向
「按相似比 k 放大」即新图形与原图形比为 k:1
已知位似比与一个图形的周长（面积），可直接求另一个
点光源投影问题：投影图形与原纸板是位似图形，用面积比 = 位似比平方
概念辨析例题：面积为 4 的三角形硬纸板平行于投影面，点光源照射下投影面积为 9，则纸板与投影的位似比为（ ）
答案：2:3
解析：面积比 = 位似比的平方，4:9 = 2²:3²，所以位似比 = 2:3。投影问题先算面积比，再开方得位似比，方向为「纸板比投影」。
✅️ 3.坐标系中的位似
以原点为位似中心、相似比为 k：(x, y) → (kx, ky)（同侧）或 (-kx, -ky)（异侧）
同侧与异侧：k > 0 在位似中心同侧，k < 0（或取负号）在异侧，两种情况都要考虑
已知两对应点坐标可求位似比：坐标之比取绝对值
位似中心不在原点时：位似中心 = 对应点连线的交点，可用待定系数或相似求对应点
以某点 A 为位似中心按比放大：对应点在射线 AP 上且 AP' = k·AP
概念辨析例题：线段 AB 两端点坐标为 A(1, 1)、B(3, 1)，以原点 O 为位似中心在第一象限内缩小为原来的一半，则 A 的对应点坐标为（ ）
答案：(0.5, 0.5)
解析：在第一象限内缩小，取同侧（k = 0.5）：A' = (0.5×1, 0.5×1) = (0.5, 0.5)。「在某一象限内」的限定决定取同侧还是异侧，是坐标位似题的关键条件。
✅️ 4.位似作图
给定中心与比作图：连位似中心与各顶点，按比截取（延长）得对应点，顺次连接
网格中作图：数格子确定各顶点坐标，按坐标规律写出新坐标再描点
「在原点异侧画位似图形」：坐标取 (-kx, -ky)，图形在关于原点对称的方向
无刻度直尺作图：利用网格线的平行与等距确定分点
作图后检验：对应边平行、对应点连线过位似中心、形状相似
概念辨析例题：以原点 O 为位似中心，在第一象限内画出 △ABC（A(1,1)、B(3,1)、C(2,3)）缩小为原来一半的图形，则 △A'B'C' 与 △ABC 在原点的（ ）
答案：同侧
解析：限制「第一象限内」说明新图形与原图形在原点同侧，坐标取 (0.5x, 0.5y)。若要求「异侧」则坐标取负号，图形在第三象限。作图题先由位置限制定符号。
✅️ 5.位似的实际应用与综合
点光源投影：灯泡照射纸板成影子，影子与纸板是以光源为位似中心的位似图形
复平面等新定义情境：按新定义把复数对应为点，再用位似规律处理
「向外等距离扩边」探究题：先判断是否位似（对应边平行且成比例），再算面积
综合题常与正方形、平行线、相似三角形联动，图中隐藏多对相似三角形
动点与最值：结合位似比转化线段，用勾股或函数求最值
概念辨析例题：灯泡 O 照射矩形纸片在墙上成矩形影子，纸片面积 300cm²，O 到纸片与到影子的距离比为 1:2，则影子面积为（ ）
答案：1200cm²
解析：纸片与影子是以 O 为位似中心的位似图形，位似比 = 距离比 = 1:2，面积比 = 1:4，影子面积 = 300 × 4 = 1200cm²。「距离比 = 位似比」是投影问题的核心。
🧀 知识总结表
核心规律
内容
备注
位似定义
相似 + 连线共点 + 对应边平行
三条件缺一不可
周长比
等于位似比 k
面积比 = k²
原点位似
(kx, ky) 或 (-kx, -ky)
同侧取正、异侧取负
一般位似
中心 = 对应点连线交点
对应点在射线 AP 上
投影模型
距离比 = 位似比
面积比 = 距离比平方
作图检验
对应边平行、连线过中心
形状相似
📩 核心考点
【考点1】位似图形的概念与性质（第1-13题）
· 三条件识别位似：相似、对应点连线共点、对应边平行
· 位似中心可能是顶点、内部点或外部点，由两对对应点连线确定
· 位似比 = 对应点到位似中心的距离比
· 「向外扩边」等新情境先验证是否满足位似三条件
1．
【答案】C
【知识点】求位似图形的对应坐标
【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．利用以原点为位似中心的对应点的坐标特征得到相似比为，然后把C点的横纵坐标都乘以得到其对应点D的坐标．
【详解】解：∵两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似，
而点，点，
∴相似比为，
∴点的对应点D的坐标是，即．
故选：C．
2．
【答案】D
【知识点】求两个位似图形的相似比、相似多边形的性质
【分析】本题主要考查了位似图形的性质，得出两四边形的相似比是解题关键．利用位似图形的定义得出四边形与四边形的位似比为，进而得出面积比，即可得出四边形的面积与四边形的面积比．
【详解】解：∵，
∴四边形与四边形的位似比为，
∴四边形与四边形的面积比为，
故选：D．
3．
【答案】A
【知识点】求两个位似图形的相似比
【分析】本题考查的是位似图形的性质，根据题意求出，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵，即，
，
和是以点O为位似中心的位似图形，
，，
，
，
，
与的周长比为，
周长为4，
的周长为12．
故选：A．
4．
【答案】C
【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比
【分析】本题考查了位似图形，相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形可知，进而得到，即可求解．
【详解】解：与是位似图形，点是位似中心，，
，
又，
，
故选：C．
5．
【答案】C
【知识点】利用相似三角形的性质求解、位似图形相关概念辨析
【分析】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形的性质可得，则可证明，得到，据此可得答案．
【详解】解：∵与是位似图形，是位似中心，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
6．
【答案】C
【知识点】求两个位似图形的相似比
【分析】本题主要考查位似图形的性质，解题关键是利用位似图形的对应边成比例，以及周长比等于相似比来求解．先通过找出四边形与四边形的相似比即，即可得出周长比．
【详解】解析：四边形与四边形关于点位似，
，
，
四边形ABCD与四边形的周长比为．
故选：C．
7．
【答案】B
【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比
【分析】根据位似图形的概念求出与的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：与是位似图形，，
与的位似比是．
与的相似比为，
与的面积比为．
8．
【答案】C
【知识点】利用相似三角形的性质求解、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比
【分析】本题考查了位似图形的性质，解题的关键是利用位似图形的周长比等于位似比．
先根据求出位似比，再结合位似图形周长比等于位似比，计算的周长．
【详解】解：由，得，
因为与是位似图形，位似比为，
所以它们的周长比为．
已知的周长为，设的周长为，则，解得．
故选：C．
9．
【答案】D
【知识点】三角形内心有关应用、位似图形相关概念辨析、重心的有关性质
【分析】本题考查了三角形的外心、内心、重心，位似变换，三角形的外心、内心、重心均不可能位于顶点处；但两个相似三角形的位似中心可能位于其中一个三角形的顶点上，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：A、三角形的外心是垂直平分线的交点，到顶点距离相等，不可能在顶点上；
B、三角形的内心是角平分线的交点，总是在三角形内部，不可能在顶点上；
C、三角形的重心是中线的交点，总是在三角形内部，不可能在顶点上；
D、两个相似三角形的位似中心可能位于其中一个三角形的顶点上，例如以三角形的一个顶点为位似中心作位似变换，
故选：D．
10．
【答案】D
【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、位似图形的识别、作角平分线(尺规作图)
【分析】本题考查了作角平分线，平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，位似图形的定义．根据作图，即可判断A选项，根据平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质即可得出，即可判断B，根据得出，得出，即与是关于的位似图形，根据相似三角形的性质，得出，即可求解．
【详解】解：由作法得平分，所以A选项正确，不符合题意；
四边形为平行四边形，
，，，，
，
，
，
，所以B选项正确，不符合题意；
∵
∴
∴
又∵与相交于一点，
∴与是位似图形
，所以D选项错误，符合题意．
故选：D．
11．
【答案】②③④
【知识点】位似图形相关概念辨析、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，根据位似图形的性质判断③正确；①错误；②正确；再由，可得，可得，可判断④正确．
【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，
∴，且相似比为，点，，三点在同一条直线上，故③正确；
∴，，，故①错误；②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确．
故答案为：②③④．
12．
【答案】②
【知识点】位似图形的识别
【分析】本题考查的是位似图形的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
连接，根据位似图形的概念判断即可．
【详解】解：根据图形位似的性质，如图，分别连接，
则图形②的三个顶点与的对应三个顶点的连线交于点O，从而图形②与位似．
故答案为：②．
13．
【答案】 4 ，，，
【知识点】位似图形相关概念辨析、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查的是位似变换，根据位似图形的概念得到，，，，根据相似三角形的判定定理写出所有的相似三角形．熟记位似图形的概念、相似三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是四边形的位似图形，
∴，，，，
∴，，，，共4对相似三角形，
故答案为：4；，，，．
【考点2】位似中的相似比与面积（第14-26题）
· 周长比 = 位似比，面积比 = 位似比平方，方向要对准
· 由面积比反求位似比开平方；由距离比直接写位似比
· 点光源投影、视力表等模型统一转化为位似比
· 已知一个图形的周长/面积与位似比，直接乘（除）求另一个
14．
【答案】12
【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比
【分析】本题考查位似变换，解题关键是掌握位似变换的性质、相似三角形的性质．根据位似图形的概念得到，再根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】
解：∵与是位似图形，位似比为，
，
，
，
故答案为： 12．
15．
【答案】
【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比
【分析】本题考查的是位似变换，相似三角形的判定和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
根据位似变换的性质及相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【详解】解：，
，
和是以点O为位似中心的位似图形，
，，
，
，
，
与的面积比为：，
故答案为：．
16．
【答案】
【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比
【分析】本题考查了位似三角形，相似三角形的性质等知识；利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，解题的关键是理解题意，灵活运用相似三角形的性质．
【详解】解：∵与位似，
∴与相似，
即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
17．
【答案】250
【知识点】求两个位似图形的相似比、中心投影
【分析】本题考查中心投影，位似图形的性质，与是位似图形，求出位似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解．
【详解】解：由平行投影可知与是位似图形，
，
，
与的位似比为，
，
，
故答案为：250．
18．
【答案】
【知识点】求两个位似图形的相似比
【分析】本题考查位似图形，根据面积比等于位似比的平方，即可求解．
【详解】∵，，以点为位似中心，作四边形的位似图形，
∴，
∵四边形的面积为，
∴四边形的面积为，
故答案为：．
19．
【答案】18
【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比
【分析】本题考查的是位似变换，相似三角形的判定和性质．根据位似变换的概念得到，，从而得到得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵和是以点O为位似中心的位似图形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵的面积等于2，
∴的面积为18．
故答案为：18．
20．
【答案】3
【知识点】求两个位似图形的相似比
【分析】本题考查位似变换，解题关键是掌握位似变换的性质，根据位似图形的性质得到，求出即可．
【详解】解：∵与是位似图形，点O是位似中心，位似比为，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：3．
21．
【答案】
【知识点】求两个位似图形的相似比
【分析】本题考查了位似图形的性质，位似中心与对应点连线之比等于位似比，据此即可求解；
【详解】解：∵与的面积比，
∴与的位似比为，
∴，
故答案为：
22．
【答案】10
【知识点】求两个位似图形的相似比
【分析】根据题意得出四边形与四边形相似，，确定，得出四边形的周长：四边形的周长，即可求解．
【详解】解：四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，
四边形与四边形相似，，
，
，
四边形的周长：四边形的周长，
四边形的周长．
23．
【答案】8
【知识点】利用相似三角形的性质求解、位似图形相关概念辨析
【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
根据位似图形的概念得到，，进而得到，则，根据相似三角形的性质即可解答．
【详解】解：∵与是位似图形，
∴，，
∴，
∵，
∴的周长：的周长，
∵的周长为4，
∴的周长为8，
故答案为：8．
24．
【答案】
【知识点】中心投影、相似多边形的性质、相似三角形实际应用、位似图形的识别
【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，矩形的性质，中心投影，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．根据矩形与矩形位似，证明△△，得到，得到，根据纸片的面积为，即得．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
25．
【答案】12.5
【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比
【分析】本题考查位似图形，根据两个位似图形一定相似，且相似比等于位似比，再根据两个相似三角形的周长比等于相似比，进行求解即可．
【详解】解：∵与位似，且，
∴，，
∴与的相似比为：，
∴与的周长比为：，
∵的周长为5，
∴的周长为12.5；
故答案为：12.5．
26．
【答案】27
【知识点】求两个位似图形的相似比、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了位似图形的性质、相似三角形的性质与判定，掌握位似图形的性质是解题的关键．
根据位似的性质可得，则有，得到，再利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵与位似，位似中心为点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：27．
【考点3】坐标系中的位似（第27-39题）
· 原点位似：(kx, ky) 同侧或 (-kx, -ky) 异侧，由位置限制定符号
· 由对应点坐标求位似比（取绝对值）与位似中心
· 以点 A 为位似中心：对应点在射线 AP 上，AP' = k·AP
· 复平面、台风移动等新定义情境按定义转化为坐标位似
27．
【答案】D
【知识点】求位似图形的对应坐标
【分析】本题主要考查了求位似图形对应点坐标，根据位似比可得，则，据此可得到答案．
【详解】解：∵以A为位似中心，把按相似比放大，放大后的图形记作，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∴的坐标为，
故选：D．
28．
【答案】D
【知识点】求位似图形的对应坐标
【分析】本题考查位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据位似变换的性质计算即可．
【详解】解：∵与关于原点成位似关系，
∴相似比 ，
∵点F是点C的对应点，点C的坐标为，
∴点F的坐标为，即，
故选：D．
29．
【答案】D
【知识点】求位似图形的对应坐标
【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，根据位似变换得到是解题的关键．根据与关于点位似，得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出相似比，根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：与关于点位似，
，
，
与的相似比为，
点的坐标为，
点的坐标为或，即或，
故选：D．
30．
【答案】A
【知识点】求位似图形的对应坐标
【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键．
【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为，
∴与的位似比为，
∴点的对应点的坐标为，即，
故选：．
31．
【答案】B
【知识点】求位似图形的对应坐标
【分析】本题考查位似变换、坐标与图形性质、矩形的性质，熟练掌握位似的性质、矩形的性质是解答本题的关键．
由图可得，根据位似的性质可得点的坐标．
【详解】解：由图可得，，
矩形与矩形关于点位似，且相似比为，
点的坐标是或，即或．
故选：B．
32．
【答案】C
【知识点】求位似图形的对应坐标
【详解】解：∵两个大小不一的图案是位似图形，，
∴两个大小不一图案的相似比为，
∵点A的坐标是，
∴点C的坐标为，即．
33．
【答案】B
【知识点】求位似图形的对应坐标
【分析】本题考查的是位似变换，根据点B、D的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：∵与是以O为位似中心的位似图形，，
∴且相似比为，
∵点A的坐标为，
∴点C的坐标是，即，
故选：B．
34．
【答案】A
【知识点】利用相似三角形的性质求解、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比
【分析】由题意可得，再证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果．
【详解】解：∵五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A，的坐标分别为，，
．
，
，
．
，
．
35．
【答案】或
【知识点】求位似图形的对应坐标
【分析】本题考查的是位似变换、平行四边形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或.
根据平行四边形的性质求出点的坐标，再根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，
．
以原点O为位似中心将缩小，使得到的图形与原图形的相似比为，
∴点的对应点 的坐标为或．
36．
【答案】
【知识点】求位似图形的对应坐标
【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，把在第一象限内放大，，
∴点A的对应点的坐标是点，即，
故答案为：．
37．
【答案】
【知识点】求位似图形的对应坐标
【分析】根据位似图形的性质，对应点的坐标之比等于位似比，确定位似中心为原点，位似比为，且点对应点，利用坐标运算求解．
【详解】解： 以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段
∴点与点是对应点，且位似比为
∴点的横、纵坐标分别为点横、纵坐标的
∵
∴点的横坐标为，纵坐标为
∴．
38．
【答案】
【知识点】求位似图形的对应坐标
【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：以原点为位似中心，在原点的异侧按的相似比将放大，的坐标为，
点的对应点的坐标为，，即，
故答案为：．
39．
【答案】
【知识点】求位似图形的对应坐标、中点坐标
【分析】本题考查了点坐标与位似图形、点坐标的中点公式，熟练掌握点坐标与位似图形是解题关键．取的中点为点，则，再根据位似图形的性质可得，从而可得，然后设点的坐标为，点的坐标为，利用点坐标的中点公式求解即可得．
【详解】解：如图，取的中点为点，
∴，
∵以为位似中心，把在点同侧按相似比放大，放大后的图形记作，
∴，
∴，
设点的坐标为，点的坐标为，
∵，，，即点是的中点，
∴，解得，
∴，
又∵点为的中点，
∴，解得，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【考点4】位似作图（第40-52题）
· 给定中心与比：连线、截取（延长）、顺次连接三步
· 网格作图先写顶点坐标，按规律算新坐标再描点
· 「异侧作图」取负坐标，图形在原点对称方向
· 无刻度直尺作图靠格点平行与等距；作完三检验
40．
【答案】
【知识点】求位似图形的对应坐标、利用相似三角形的性质求解
【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过B作轴于点M，过作轴于点N，可得，，得出，设B点横坐标为x，由和是位似比为的位似图形，得到，解得：，即可确定B点横坐标为．
【详解】解：如图，过B作轴于点M，过作轴于点N，
∴，
∴，
∴，
设B点横坐标为x，
∵和是位似比为的位似图形，
∴，解得：，
∴B点横坐标为．
故答案为：．
41．
【答案】(1)
如图所示：
(2)
(3)
【知识点】求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形
【分析】本题考查作图—位似变换、位似图形的性质，熟练掌握位似图形的作法是解答本题的关键．
（1）根据位似变换的知识作图即可；
（2）根据（1）中的图形，即可得出的坐标；
（3）位似变换后的内任意一点根据相似比，横纵坐标各扩大3倍．
【详解】（1）略
（2）解：由图可知，的坐标为．
故答案为：．
（3）解：相似比为，
位似变换后的内任意一点的横纵坐标各扩大3倍，
是位似变换后对应点坐标为
42．
【答案】见解析
【知识点】在坐标系中画位似图形
【分析】本题考查位似作图，掌握好位似的性质是关键．根据、得出位似比，根据位似比得出、，顺次连接即可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，即位似比为，
∵，，
∴、，
∴如图，即为所作．
43．
【答案】(1)
解：如图，即为所求；
(2)如图，平行四边形即为所求（本题答案不唯一）．
【知识点】利用平行四边形的性质求解、格点作图题、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形
【分析】本题考查了画已知线段的位似图形以及平行四边形的定义等知识，掌握位似图形的性质是解答本题的关键．
（1）根据位似图形的性质画图即可；
（2）根据平行四边形的定义，结合网格图即可作答．
【详解】（1）略
（2）略
44．
【答案】
解：如图所示，即为所求．
【知识点】在坐标系中画位似图形
【分析】本题考查画位似图形，根据位似图形的性质找到对应点，然后顺次连接即可画得图形．
【详解】略
45．
【答案】(1)
即为所求：
(2)
【知识点】求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形
【分析】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
（1）根据位似图形的性质得到点，，的对应点，即可求解；
（2）根据位似图形的性质，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵，位似比为，
∴点坐标为．
46．
【答案】(1)，如图所示，
(2)
如图所示，
【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、画旋转图形
【分析】本题考查了作图-位似变换和旋转变换．
（1）利用网格特点和旋转的旋转画出点A、B、C的对应点，从而得到；
（2）延长到使，则点为点的对应点，同样方法作出的对应点，从而得到．
【详解】（1）略
（2）略
47．
【答案】(1)相似三角形的面积比等于相似比的平方
(2)
【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比
【分析】根据相似三角形的性质解答；
根据位似图形的定义得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算．
本题考查的是位似变换，熟记位似图形的定义、相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，
故答案为：相似三角形的面积比等于相似比的平方答案不唯一；
（2）解：与位似，相似比为，
∴，相似比为，
与的面积比为，
的面积为8，
的面积为2．
48．
【答案】(1)
如图所示，即为所求，
，，
(2)
【知识点】求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形、利用相似三角形的性质求解
【分析】本题主要考查了在坐标系中画位似图形，求位似图形对应点坐标，位似图形的性质，正确找到对应点位置从而画出对应的位似图形是解题的关键．
（1）把A、B、C的横纵坐标都分别乘以得到、、的横纵坐标，再描出、、，并顺次连接、、即可；
（2）根据位似图形的周长之比等于位似比进行求解即可．
【详解】（1）
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
故答案为：，，；
（2）解：与关于原点位似，且相似比为，的周长是，
的周长为，
故答案为：．
49．
【答案】(1)如图，即为所求．
(2)如图，即为所求；
【知识点】在坐标系中画位似图形、写出直角坐标系中点的坐标、画轴对称图形
【分析】本题考查作图-轴对称变换、位似变换，熟练掌握作图方法是解题关键．
（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）根据位似的性质作图，即可得出答案．
【详解】（1）略
（2）略
50．
【答案】(1)坐标系如下图所示；，，
(2)
如图，即为所作；
(3)是的位似图形
【知识点】坐标系中描点、位似图形的识别
【分析】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．
（）根据点的坐标建立直角坐标系，在平面直角坐标系中写出点坐标，通过表格观察可知对应点的横纵坐标都乘以，则可以得到点的坐标；
（）利用（）中各点的坐标描点即可；
（）根据位似的定义进行判断；
【详解】（1）略
（2）略
（3）是的位似图形，位似中心为原点．
51．
【答案】
如图，为所求．
【知识点】在坐标系中画位似图形
【分析】本题考查在坐标系中画位似图形，先根据位似图形的点的坐标变化求出各顶点坐标，再依次连接即可解答．
【详解】解：∵，
且与的相似比为，
∴，，，
∴如图，为所求．
52．
【答案】(1)
解：如图：即为所求；
(2)
解：如图，点P即为所求．
【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了作图-位似变换：
（1）延长到使，延长到使，点在C点，则满足条件；
（2）点向右4格的点与点向左2格点连接起来与交点即为点P，此时根据平行可得，即得到．
【详解】（1）略
（2）略
📊 课后巩固
🍬 复习建议
· 位似三条件：相似、对应点连线交于位似中心、对应边平行
· 位似比即相似比：周长比 = k，面积比 = k²
· 原点位似坐标规律：(kx,ky) 同侧、(-kx,-ky) 异侧，看题目限定的象限
· 投影问题核心：点光源到两图形的距离比 = 位似比
· 作图三步：连中心、按比截取、顺次连接；作完三检验
【作业1】
【答案】D
【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比
【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，证明，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【详解】解：∵与是位似图形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴的面积为，
故选：D．
【作业2】
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定综合、位似图形的识别
【分析】本题考查位似变换、相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似三角形的判定、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．根据相似三角形的判定、位似三角形的判定分别判断即可．
【详解】解：分别延长相交于点O，
由题意得，，
，
故结论Ⅰ正确，符合题意；
，
，
，
，，
，
∴与是位似三角形，
故结论Ⅱ正确，符合题意．
故选：C．
【作业3】
【答案】D
【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比
【分析】本题主要考查了位似三角形的性质，根据网格可知与的位似比是，再根据位似三角形的面积比等于位似比的平方可得结果．
【详解】解：由网格图可知，将以点为位似中心放大后得到，，
，
，
与的面积之比是．
故选：D．
【作业4】
【答案】
【知识点】在坐标系中画位似中心
【分析】用到的知识点为：位似中心为位似图形上任意两对对应点连线的交点．连接任意两对对应点，看连线的交点为那一点即为位似中心．
【详解】解：连接，，易得交点为．
故答案为：．
【作业5】
【答案】
【知识点】根据正方形的性质求线段长、求位似图形的对应坐标
【分析】本题考查了位似变换、坐标与图形性质、正方形的性质．掌握位似变换的基本性质是解题的关键．
根据位似变换的性质得到，且，根据，得到，得到，得到，根据相似三角形的性质求出即可得到答案．
【详解】∵正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，
∴，
∵相似比为， ，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴点F的坐标为．
故答案为：．
【作业6】
【答案】
【知识点】求位似图形的对应坐标、利用相似求坐标
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
过点C作于点M，过点作点N，先证明，得到，求出的长，即可得到点的坐标．
【详解】解：如图，过点C作于点M，过点作点N，
则．
与的相似比为，
．
又
，
．
，
，
，
，
，
，
点的坐标为．
故答案为： ．
【作业7】
【答案】
【知识点】根据正方形的性质求线段长、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，找出规律是解题的关键．
根据已知条件得到，求得，得到求得，得到，过作，根据等腰直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，
，
轴，轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
过作于，
，
的面积，
同理， 的面积，
的面积 ，
的面积，
故答案为：．
【作业8】
【答案】
【知识点】求两个位似图形的相似比、中心投影
【分析】由中心投影可知与是位似图形，根据位似图形的性质，面积比等于位似比的平方，求出位似比即可求解．
【详解】解：由中心投影可知，与是位似图形，点为位似中心．
，
，
，
与的位似比为，
，
，
．
【作业9】
【答案】 或
【知识点】新定义下的实数运算、求位似图形的对应坐标、已知两点坐标求两点距离
【分析】本题考查了新定义，两点间的距离公式，位似的性质．
先根据复数对应点坐标，利用距离公式求长度；再根据以原点为位似中心的位似变换性质，直接缩放点A坐标得到坐标，从而得到对应复数．
【详解】解：∵点A对应复数，故坐标为；点B对应复数，故坐标为．
∴线段的长度为．
∵以原点O为位似中心，位似比为，即相似比为，
∴点A的对应点的坐标为即或即，
故对应的复数为或．
故答案为：，或．
【作业10】
【答案】(1)
即为所求：
(2)如图所示，即为所求图形，
(3)和是位似图形，位似中心坐标为
【知识点】求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形、在坐标系中画位似中心、平移(作图)
【分析】本题主要考查图形的平移，位似作图，确定位似中心，掌握平移，位似图形的性质是关键．
（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据位似的性质，延长，由结合位似比得到，连接各点即可作图；
（3）根据题意，连接，并延长交于一点，这个点即为位似中心，由此即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵，
∴，即；
（3）解：和是位似图形，理由如下，
如图所示，连接，并延长交于一点，
∴这个点即为位似中心，坐标为．
【作业11】
【答案】(1)
如图，即为所求，
(2)
如图，即为所求，
【知识点】求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形、画轴对称图形
【分析】（1）分别找出、、关于y轴对称的点，顺次连接即可；
（2）把A、B、C的坐标都乘以得到，，的坐标，然后描点连线即可得到．
本题考查位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴．
【详解】（1）略；
（2）略．
【作业12】
【答案】(1)点P的位置如图所示，点P的坐标为．
(2)如图所示，点的坐标为
【知识点】求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形
【分析】本题主要考查了位似变换作图，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键．
（1）连接与，交点即为点P；
（2）根据相似比画出图形即可得到答案．
【详解】（1）略
（2）略
【作业13】
【答案】(1)
如图，即为所求作：
(2)33
【知识点】在坐标系中画位似图形、利用网格求三角形面积
【分析】本题考查基本作图-位似变换，熟练掌握位似变换的性质，正确作出图形 是解答的关键．
（1）根据位似变换的性质，找到对应点，然后顺次连接即可；
（2）利用割补法求解面积即可．
【详解】（1）略
（2）解：四边形的面积为
．
故答案为：33．
【作业14】
【答案】(1)如图，即为所求
(2)如图，即为所求
(3)12
【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、画旋转图形、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比
【分析】本题考查了利用网格求三角形面积，画旋转图形，在坐标系中画位似图形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
（1）按要求把绕点逆时针方向旋转得到即可；
（2） 按要求作出位似图形即可；
（3）根据三角形面积公式求解．
【详解】（1）解：把绕点逆时针方向旋转得到；
（2）在轴的左侧以为位似中心作的位似图形，使新图与原图的相似比为；
（3）的面积为．
【作业15】
【答案】(1)
如图所示．
(2)，
【知识点】求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形
【分析】（1）确定各顶点的对应点即可作图；
（2）由图即可求解；
【详解】（1）略
（2）解：由图可知：点的坐标为，点的坐标为．
【作业16】
【答案】(1)
如图，如图所示；
(2)
即为所求．
【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、画旋转图形
【分析】本题考查作图-位似变换、作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质、位似的性质是解答本题的关键．
（1）根据位似的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图即可．
【详解】（1）略
（2）略
【作业17】
【答案】
解：如图，即为所求．
点的对应点的坐标为．
【知识点】求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形
【分析】本题考查作图-位似变换，根据位似图形的性质，找到点、、的位置，再顺次连接即可得，根据在平面直角坐标系中的位置即可得到点的坐标．
【详解】略
【作业18】
【答案】(1)
如图，即为所求，
由图可知，点的坐标为，
(2)
(3)
点即为所求．
【知识点】在坐标系中画位似图形、无刻度直尺作图、由平行截线求相关线段的长或比值
【分析】本题考查作图-相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质、位似的性质是解答本题的关键．
（1）根据位似的性质作图，即可得出答案．
（2）结合位似的性质可得答案．
（3）取格点，使，且，连接交于点，此时则点即为所求．
【详解】（1）略
（2）解：由题意知，与关于原点对称，且相似比为，
故对应点的坐标为．
（3）解：如图，取格点，使，且，连接交于点，
此时，
故，点即为所求．
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第12讲·简单的位似图形·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026年沪科版九年级数学上册
🍔 思维导图
🍟 课程目标
· 理解位似图形的定义，会判断两个图形是否位似并确定位似中心
· 掌握位似与相似的关系，会用位似比求周长比、面积比与对应线段长
· 掌握以原点为位似中心的坐标变化规律 (x,y) → (kx,ky) 或 (-kx,-ky)
· 会求非原点位似（一般位置）情形下的位似中心与对应点坐标
· 会在平面直角坐标系和网格中按要求画位似图形（放大或缩小）
· 会解决视力表、投影成像等以位似为模型的实际应用问题
🍗 知识梳理
✅️ 1.位似图形的概念与性质
位似图形：相似且对应顶点连线交于同一点（位似中心），对应边互相平行
位似图形一定是相似图形；位似中心可在图形之间、内部、顶点上或外部
位似比即相似比，对应点到位似中心的距离之比等于位似比
位似变换不改变图形的形状，只改变大小（k>1 放大，k<1 缩小）与位置
判断位似三条件缺一不可：相似、连线共点、对应边平行
概念辨析例题：视力表中大小不同的「E」字是位似图形，若两个「E」的位似比为 1:5，小「E」高 3.5cm，则大「E」的高为（ ）
答案：17.5cm
解析：大「E」:小「E」 = 5:1，大「E」高 = 3.5 × 5 = 17.5cm。视力表、投影、放大镜下的图形都是位似模型，先定谁比谁再算倍数。
✅️ 2.位似中的相似比、周长与面积
周长比 = 位似比 k；面积比 = k²；对应线段比 = k
由面积比求位似比要开平方，注意比的方向
「按相似比 k 放大」即新图形与原图形比为 k:1
已知位似比与一个图形的周长（面积），可直接求另一个
点光源投影问题：投影图形与原纸板是位似图形，用面积比 = 位似比平方
概念辨析例题：面积为 4 的三角形硬纸板平行于投影面，点光源照射下投影面积为 9，则纸板与投影的位似比为（ ）
答案：2:3
解析：面积比 = 位似比的平方，4:9 = 2²:3²，所以位似比 = 2:3。投影问题先算面积比，再开方得位似比，方向为「纸板比投影」。
✅️ 3.坐标系中的位似
以原点为位似中心、相似比为 k：(x, y) → (kx, ky)（同侧）或 (-kx, -ky)（异侧）
同侧与异侧：k > 0 在位似中心同侧，k < 0（或取负号）在异侧，两种情况都要考虑
已知两对应点坐标可求位似比：坐标之比取绝对值
位似中心不在原点时：位似中心 = 对应点连线的交点，可用待定系数或相似求对应点
以某点 A 为位似中心按比放大：对应点在射线 AP 上且 AP' = k·AP
概念辨析例题：线段 AB 两端点坐标为 A(1, 1)、B(3, 1)，以原点 O 为位似中心在第一象限内缩小为原来的一半，则 A 的对应点坐标为（ ）
答案：(0.5, 0.5)
解析：在第一象限内缩小，取同侧（k = 0.5）：A' = (0.5×1, 0.5×1) = (0.5, 0.5)。「在某一象限内」的限定决定取同侧还是异侧，是坐标位似题的关键条件。
✅️ 4.位似作图
给定中心与比作图：连位似中心与各顶点，按比截取（延长）得对应点，顺次连接
网格中作图：数格子确定各顶点坐标，按坐标规律写出新坐标再描点
「在原点异侧画位似图形」：坐标取 (-kx, -ky)，图形在关于原点对称的方向
无刻度直尺作图：利用网格线的平行与等距确定分点
作图后检验：对应边平行、对应点连线过位似中心、形状相似
概念辨析例题：以原点 O 为位似中心，在第一象限内画出 △ABC（A(1,1)、B(3,1)、C(2,3)）缩小为原来一半的图形，则 △A'B'C' 与 △ABC 在原点的（ ）
答案：同侧
解析：限制「第一象限内」说明新图形与原图形在原点同侧，坐标取 (0.5x, 0.5y)。若要求「异侧」则坐标取负号，图形在第三象限。作图题先由位置限制定符号。
✅️ 5.位似的实际应用与综合
点光源投影：灯泡照射纸板成影子，影子与纸板是以光源为位似中心的位似图形
复平面等新定义情境：按新定义把复数对应为点，再用位似规律处理
「向外等距离扩边」探究题：先判断是否位似（对应边平行且成比例），再算面积
综合题常与正方形、平行线、相似三角形联动，图中隐藏多对相似三角形
动点与最值：结合位似比转化线段，用勾股或函数求最值
概念辨析例题：灯泡 O 照射矩形纸片在墙上成矩形影子，纸片面积 300cm²，O 到纸片与到影子的距离比为 1:2，则影子面积为（ ）
答案：1200cm²
解析：纸片与影子是以 O 为位似中心的位似图形，位似比 = 距离比 = 1:2，面积比 = 1:4，影子面积 = 300 × 4 = 1200cm²。「距离比 = 位似比」是投影问题的核心。
🧀 知识总结表
核心规律
内容
备注
位似定义
相似 + 连线共点 + 对应边平行
三条件缺一不可
周长比
等于位似比 k
面积比 = k²
原点位似
(kx, ky) 或 (-kx, -ky)
同侧取正、异侧取负
一般位似
中心 = 对应点连线交点
对应点在射线 AP 上
投影模型
距离比 = 位似比
面积比 = 距离比平方
作图检验
对应边平行、连线过中心
形状相似
📩 核心考点
【考点1】位似图形的概念与性质（第1-13题）
· 三条件识别位似：相似、对应点连线共点、对应边平行
· 位似中心可能是顶点、内部点或外部点，由两对对应点连线确定
· 位似比 = 对应点到位似中心的距离比
· 「向外扩边」等新情境先验证是否满足位似三条件
1．（24-25九年级上·重庆南岸·期末）一张标准对数视力表由一些形状相同但大小不一定相同的符号“E”组成的，我们可以借助平面直角坐标系中的位似变换来对符号“E”进行放大或缩小．如图，两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似．若点，点，点，则点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江宁波·一模）如图，点O为四边形内的一点，连结，若，则四边形的面积与四边形的面积比为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·全国·期末）如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．周长为4，若，财的周长为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
4．（25-26九年级下·全国·单元测试）如图，与是位似图形，点是位似中心，，，则（ ）
A．6 B．18 C．27 D．48
5．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，与是位似图形，是位似中心，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，四边形与四边形位似，点是它们的位似中心，若，则四边形与四边形的周长比为（ ）
A．4:25 B．2:5 C．2:3 D．4:9
7．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，与位似，点为位似中心，若，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．2：1
8．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为4，则的周长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
9．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）对于任意三角形而言，下列各点有可能在三角形的顶点处的是（ ）
A．三角形的外心 B．三角形的内心
C．三角形的重心 D．两个相似三角形的位似中心
10．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）在中，作图如下：①以点为圆心，以合适的长为半径作弧，分别与，交于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，与交于，与的延长线交于，如图．已知，，下列结论错误的是（ ）
A．平分 B．
C．与是位似图形 D．
11．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，以点为位似中心，把放大为原来的2倍得到．以下说法正确的是__________．（填序号）
①；②；③点、、在同一条直线上；④．
12．（24-25九年级下·全国·课后作业）如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是______．
13．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，四边形是四边形的位似图形，图中还可以找到___对相似三角形（可用字母表示），它们分别是____ ．
【考点2】位似中的相似比与面积（第14-26题）
· 周长比 = 位似比，面积比 = 位似比平方，方向要对准
· 由面积比反求位似比开平方；由距离比直接写位似比
· 点光源投影、视力表等模型统一转化为位似比
· 已知一个图形的周长/面积与位似比，直接乘（除）求另一个
14．（24-25九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，与是位似图形，点O为位似中心，位似比为，若，则的长为 _______．
15．（23-24九年级下·山东德州·阶段检测）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是______．
16．（24-25九年级下·广东茂名·期中）如题图，与位似，点O是它们的位似中心，其中，则与的面积之比是__________．
17．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若，则的面积是__________．
18．（24-25九年级上·湖南永州·期中）如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，，若四边形的面积为，则四边形的面积为__________．
19．（24-25九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若的面积等于2，则的面积=_______．
20．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，与是位似图形，点O是位似中心，位似比为，如果，那么___________．
21．（24-25九年级下·湖南衡阳·期中）如图所示，与位似，点为位似中心，若与的面积比，则为___________．
22．（2026·四川成都·二模）如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的周长是25，则四边形的周长为______．
23．（2024·广东广州·二模）如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为4，则的周长为______．
24．（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）如图，小明用灯泡照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，纸片的面积为，则影子的面积为___________．
25．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，与位似，其位似中心为点，且，若的周长为5，则的周长为________．
26．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，与位似，位似中心为点，若，的面积为3，则的面积为__________．
【考点3】坐标系中的位似（第27-39题）
· 原点位似：(kx, ky) 同侧或 (-kx, -ky) 异侧，由位置限制定符号
· 由对应点坐标求位似比（取绝对值）与位似中心
· 以点 A 为位似中心：对应点在射线 AP 上，AP' = k·AP
· 复平面、台风移动等新定义情境按定义转化为坐标位似
27．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，平面直角坐标系中，，以A为位似中心，把在点A同侧按相似比放大，放大后的图形记作，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
28．（23-24九年级上·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，与关于原点成位似关系．点在轴上，且，若点的坐标为，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
29．（24-25九年级上·河南南阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，若与关于点位似，且的面积是面积的4倍，点的对应点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
30．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
31．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，边在x轴上，边在y轴上，如果矩形与矩形关于点O位似，且位似比为，那么点的坐标为（ ）
A． B．或 C． D．或
32．（2026·甘肃兰州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，两个大小不一的图案是位似图形，原点O是位似中心，点A，B的对应点分别是点C，D，已知点A的坐标是，，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
33．（24-25九年级下·广东中山·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，与是以为位似中心的位似图形，若，，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
34．（2026·河南平顶山·二模）如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为5，则的长为（ ）
A． B． C． D．
35．（2025九年级·全国·专题练习）如图，的顶点C在x轴正半轴上，．若以原点O为位似中心将缩小，使得到的图形与原图形的相似比为，则点C的对应点的坐标为_______．
36．（2024·安徽芜湖·一模）如图所示，在平面直角坐标系中已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把在第一象限内放大，则点A的对应点的坐标是___．
37．（21-22九年级下·吉林长春·阶段检测）如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点D的坐标为_____．
38．（2023·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，以原点为位似中心，在原点的异侧按的相似比将放大，则点的对应点的坐标为______ ．
39．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，平面直角坐标系中，，，，以为位似中心，把在点同侧按相似比放大，放大后的图形记作，则的坐标为________．
【考点4】位似作图（第40-52题）
· 给定中心与比：连线、截取（延长）、顺次连接三步
· 网格作图先写顶点坐标，按规律算新坐标再描点
· 「异侧作图」取负坐标，图形在原点对称方向
· 无刻度直尺作图靠格点平行与等距；作完三检验
40．（2026九年级下·全国·专题练习）如图，已知和是以点为位似中心，位似比为的位似图形，若点B的对应点的横坐标为a，则点B的横坐标为__．
41．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点、点的坐标分别为，．
(1)以点为位似中心，相似比为，在x轴的上方画出放大后的．
(2)的坐标为 ．
(3)若点是内任意一点，则位似变换后对应点坐标为 ．
42．（2025-2026学年第一学期期末教学质量调研九年级数学试题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，请以原点为位似中心，画出的位似图形，使得点的对应点的坐标为（点的对应点分别为点）．
43．（2023·安徽淮北·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点线段和格点O（格点为网格线的交点）．
(1)以点O为位似中心，利用网格将线段放大2倍得到线段，画出线段；
(2)以线段为边画格点平行四边形．
44．（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．请你以原点为位似中心，画出的位似图形（点、、的对应点分别是点、、），使得与的相似比为，且点、在轴的下方．
45．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）如图,在平面直角坐标系中,的三个顶点坐标分别为．
(1)以原点O为位似中心,在y轴左侧画出的位似,与的相似比为,点对应点分别为点；
(2)在(1)的情况下直接写出点的坐标．
46．（23-24九年级上·宁夏银川·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出绕点顺时针旋转后得到的；
(2)在网格内以点为位似中心，画使它与的位似比为．
47．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，与位似，点O为位似中心，相似比为，若的面积为．
(1)写出一条有关相似三角形的性质______．
(2)求的面积．
48．（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．
(1)以原点O为位似中心，在第四象限画一个，使与的相似比为，点的坐标为________，点的坐标为________，点的坐标为________；
(2)若的周长是，则的周长为________．
49．（2024·宁夏固原·模拟预测）已知三个顶点的坐标分别为，，
(1)画出关于轴对称的；
(2)以点为位似中心，在网格内将放大为原来的2倍，得到，并写出点的坐标．
50．（24-25九年级上·山西临汾·阶段检测）已知与各顶点都在网格的格点上，其坐标信息如下表：
(1)根据表格信息，请你在网格中建立适当的平面直角坐标系，并将表格补充完整；
(2)在（1）的条件下，画出；
(3)观察与，写出一条有关这两个三角形关系的正确结论．
51．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标为．在第一象限画出以原点为位似中心的位似图形（点的对应点分别是），使与的相似比为．
52．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在网格中，点A，B，C，O都在格点上，用无刻度直尺作图并保留作图痕迹．
(1)以O为位似中心，在网格中作，且与的位似比为．
(2)在线段上作点P，使．
📊 课后巩固
🍬 复习建议
· 位似三条件：相似、对应点连线交于位似中心、对应边平行
· 位似比即相似比：周长比 = k，面积比 = k²
· 原点位似坐标规律：(kx,ky) 同侧、(-kx,-ky) 异侧，看题目限定的象限
· 投影问题核心：点光源到两图形的距离比 = 位似比
· 作图三步：连中心、按比截取、顺次连接；作完三检验
【作业 1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，与是位似图形，位似中心为点．若的面积为，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【作业 2】（2024·河北唐山·二模）将的各边按如图所示的方式向外等距离扩，得到，有以下结论：
：与是相似三角形；
：与是位似三角形．
下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ正确，不正确 B．Ⅰ不正确，Ⅱ正确
C．1，都正确 D．Ⅰ，Ⅱ都不正确
【作业 3】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，在的方形网格中，每个小正方形的边长均为，将以点为位似中心放大后得到，则与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【作业 4】（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若与是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是________．
【作业 5】（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，相似比为1：3，点A，B，E在x轴上，若点A的坐标为，则点F的坐标为________．
【作业 6】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，与是以点A为位似中心的位似图形，相似比为．已知，则点的坐标为__________________（结果用含a，b的式子表示）．
【作业 7】（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，，在轴上，延长交射线于点，以为边长作正方形；延长交射线于点，以为边长作正方形，分别连接，，，，得到， ， ，按照此规律继续下去，若，则的面积为___．
【作业 8】（2026·宁夏银川·三模）如图，在点光源的照射下，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，形成的投影是若，则的面积是______．
【作业 9】（25-26九年级上·四川成都·期中）直角坐标系用来表示复数的平面叫做复平面，复数可用点表示，比如，复数对应复平面内点；复数对应复平面内点．若点A对应复数，点B对应复数，则线段的长是______；以原点O为位似中心，作的位似图形，且点A对应点，若与的位似比为，则对应的复数是______．
【作业 10】（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．
(1)画出向上平移1个单位，再向左平移2个单位后得到的；
(2)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的位似图形，使它与的相似比为，点坐标是_______．
(3)判断和是位似图形吗？若是，请直接写出位似中心M的坐标；若不是，请说明理由．
【作业 11】（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出与关于y轴对称的；
(2)以原点O为位似中心，请在第三象限内画一个，使它与位似，且相似比为2，并写出点，，的坐标．
【作业 12】（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在直角坐标系中，的顶点坐标为，，，与是以点P为位似中心的位似图形，点，，都在格点上．
(1)在图中画出点P，并写出点P的坐标；
(2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出与位似的，使它与的相似比为，并写出点A的对应点的坐标．
【作业 13】（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，已知点O是坐标原点，小方格的边长为1，A，B，C都在格点上，边与y轴交于点M．
(1)以点M为位似中心，在x轴的上方将放大到原图的2倍，（即新图与原图的相似比为2），画出对应的（顶点用实心黑点标记一下）；
(2)直接写出四边形的面积：__________．
【作业 14】（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．
(1)把绕原点逆时针方向旋转后得到，请画出；
(2)以原点为位似中心，在轴的左侧把放大为原来的2倍后得到，请画出；
(3)求的面积．
【作业 15】（22-23九年级上·四川资阳·期末）如图，平面直角坐标系的原点在格点上，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点都在格点上．
(1)以原点为位似中心，作出的位似图形，使与的位似比为，且点的对应点在第一象限，请在网格内画出；
(2)点的坐标为 ；点的坐标为 ．
【作业 16】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为．
(1)以点为位似中心，在轴的左侧将放大得到，使得，在网格中画出图形；
(2)在网格中，画出绕原点顺时针旋转的．
【作业 17】（20-21九年级上·陕西榆林·期末）如图，各顶点的坐标分别为，，，在第一象限内，以原点为位似中心，画出的位似图形，使得对应边长变为原来的2倍，并写出点的对应点的坐标．
【作业 18】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，．
(1)以点为位似中心，请在轴左侧画出的位似图形，使与的相似比为，并写出点的坐标___________
(2)若点为内一点，经过（1）中的位似变换后，对应点的坐标是___________；
(3)请仅用无刻度的直尺在线段上确定一点，使，请画出点．（保留作图痕迹）．
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