第21章·二次函数与反比例函数·期中复习·满分压轴讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪科版九年级数学上册

第21章·二次函数与反比例函数·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年沪科版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 能根据二次函数图象判断 a、b、c 及判别式的符号，熟练运用对称轴与对称性比较函数值的大小 · 掌握二次函数顶点式 y=a（x-h）2+k 的图象与性质，会求给定区间上的最大值与最小值 · 会用待定系数法求二次函数与反比例函数的解析式，理解比例系数 k 的几何意义 · 能解决反比例函数与菱形、矩形、正方形、平行四边形等几何图形的综合计算问题 · 掌握二次函数面积、特殊三角形、特殊四边形、线段周长等压轴综合题的解题策略 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数的图象与性质 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，a 决定开口方向与大小：a>0 开口向上，a<0 开口向下 对称轴为直线 x=-，顶点坐标为（-，） a、b 同号时对称轴在 y 轴左侧，a、b 异号时对称轴在 y 轴右侧；c 是抛物线与 y 轴交点的纵坐标 判别式 Δ=b2-4ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数：Δ>0 两个交点，Δ=0 一个交点，Δ<0 无交点 概念辨析例题：已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向下，对称轴在 y 轴右侧，与 y 轴交于正半轴，判断 a、b、c 的符号。 答案：a<0，b>0，c>0。 解析：开口向下得 a<0；对称轴 x=->0 且 a<0，故 b>0；与 y 轴交于正半轴得 c>0。 ☆ 2.二次函数的最值与增减性 顶点式 y=a（x-h）2+k 的顶点为（h，k），a>0 时 x=h 取最小值 k，a<0 时 x=h 取最大值 k a>0 时对称轴左侧 y 随 x 增大而减小、右侧 y 随 x 增大而增大，a<0 时正好相反 比较函数值大小时，先看点到对称轴的距离，开口向上时离轴越远函数值越大 给定区间上的最值要结合开口方向与对称轴和区间的位置关系，注意顶点是否在区间内 概念辨析例题：二次函数 y=-（x-1）2+2，当 0≤x≤3 时，求 y 的最大值与最小值。 答案：最大值为 2（x=1 时），最小值为 -2（x=3 时）。 解析：a=-1<0 开口向下，顶点（1，2）在区间内，故最大值为 k=2；x=0 时 y=1，x=3 时 y=-2，比较得最小值 -2。 ☆ 3.反比例函数的图象与性质 反比例函数 y=（k≠0）的图象是双曲线，k>0 时在第一、三象限，k<0 时在第二、四象限 双曲线上任意一点到两坐标轴的垂线与坐标轴围成的矩形面积等于 |k| 图象上任意一点向坐标轴作垂线，与原点构成的直角三角形面积等于 反比例函数图象关于原点成中心对称，两支无限接近坐标轴但不与坐标轴相交 概念辨析例题：反比例函数 y= 的图象经过点（2，3），求 k 的值及图象上一点 P 与原点、垂足围成的直角三角形面积。 答案：k=6，直角三角形面积为 3。 解析：把（2，3）代入 y= 得 k=2×3=6；双曲线上点与坐标轴围成的直角三角形面积恒为 =3。 ☆ 4.二次函数与反比例函数的综合应用 实际问题中先建立函数模型，再利用顶点式求最大利润、最大面积、最省成本等最优解 二次函数与几何图形综合时，常设动点坐标，用坐标表示线段长与面积，转化为函数最值问题 面积问题常用割补法或铅垂高法 S=·铅垂高·水平宽 表示 特殊三角形、特殊四边形问题常结合等腰、相似、平行四边形的性质列方程求解 概念辨析例题：用一段长为 20 m 的篱笆围一面靠墙的矩形花圃，垂直于墙的一边长为 x m，求花圃面积 S 的最大值。 答案：S=-2（x-5）2+50，当 x=5 时 S 最大为 50 m2。 解析：平行于墙的边长为 20-2x，面积 S=x（20-2x）=-2x2+20x=-2（x-5）2+50，开口向下，顶点处取最大值 50。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0） a 不能为 0，否则退化为一次函数 顶点坐标 （-，） 可用配方法或顶点式 y=a（x-h）2+k 对称轴 直线 x=- 也可用两对称点横坐标的平均值求 判别式 Δ=b2-4ac 决定抛物线与 x 轴交点的个数 反比例函数 y=（k≠0） 图象为双曲线，矩形面积恒为 |k| 最值 顶点处取最大（小）值 k 区间最值须看顶点是否落在区间内 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的图象与a、b、c符号（第1-10题） · 先看开口定 a 的符号，再由对称轴位置定 b 的符号，与 y 轴交点定 c 的符号 · 利用 x=±1 时 y=±a±b+c 的符号，结合图象上对应点的位置判断 · 由抛物线与 x 轴交点个数判断 Δ 的符号，再检验 2a±b 与对称轴 - 的关系 1．（2026·山东东营·中考真题）在二次函数（a，b，c为常数，）中，与的部分对应值如表所示． 4 0 给出下列结论：①；②；③若，且，则；④若点均在二次函数图象上，则．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】先利用待定系数法求出二次函数的解析式，据此可判断①和②；再根据二次函数的对称性和增减性判断③和④即可． 【详解】解：将点代入得：， 解得， ∴二次函数的解析式为， ，结论①正确； ，， ∴，结论②正确； 二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴， 又∵， ∴在这个二次函数的图象上，横坐标为、的两个点关于对称轴对称， ∴， ∴，结论③正确； 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而减小， ∵点在二次函数的图象上， ∴由二次函数的对称性可知，时的函数值与时的函数值相等，即点也在这个二次函数的图象上， 又∵点在二次函数的图象上，且， ∴，结论④错误； 综上，结论正确的是①②③． 2．（25-26八年级下·山东济南·期末）已知二次函数的图象如下，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、y=ax²+bx+c的图象与性质、判断反比例函数图象所在象限 【分析】根据二次函数图象的性质得到，，，由此得到一次函数、反比例函数图象经过的象限，把代入得到，联立方程组得到一次函数与反比例函数的交点坐标，由此即可求解． 【详解】解：根据二次函数图象得到，开口向下，对称轴直线为，二次函数图象与x轴交于点，二次函数与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， 反比例函数经过第一、三象限， 当时，， ∴， ∴， 解得，或， ∴一次函数与反比例函数的交点坐标为，， ∴符合题意的函数图象是A选项 ． 3．（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）如图是二次函数的图象，直线与抛物线交于，两点，，两点横坐标分别为，，根据函数图象信息有下列结论：①；②；③；④若对于的任意值都有，则；⑤当为定值时，若变大，则线段变长．其中正确的结论是（     ） A．①②④ B．①② C．①④ D．②④ 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】根据二次函数图像的开口方向、对称轴、增减性、与坐标轴的交点以及图像所经过的点逐项判断即可； 【详解】解：∵该二次函数图像开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴； ∴，，， ∴；①正确； ∵该二次函数图像经过点，， ∴该二次函数的对称轴为直线， ∴ 解得：；②正确， ∵， ∴， 由图像可知：， ∴， 即：；③错误； ∵对于的任意值都有， ∴该抛物线与轴负半轴的交点的临界点为，此时抛物线开口最小，最大； ∵该二次函数的对称轴为直线， ∴，即：， ∵二次函数图像经过点， ∴， ∴该二次函数的表达式可化为：， 将代入得： 解得：，此时最大， ∴；④错误； ∵当变大时，抛物线的开口变小， ∴线段变短；⑤错误， 综上，正确的有①②． 4．（22-23九年级下·湖北黄冈·自主招生）抛物线（，，为常数）开口向下且过点，．以下结论：①；②；③若方程有两个不相等的实数根，则； ④抛物线与轴交于，两点，则，其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题、求x轴与抛物线的截线长 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由抛物线开口方向、二次函数对称轴位置及，从而判断①②，将方程有两个不相等的实数根转化为抛物线与直线有两个交点的问题可判断③；根据二次函数图象与系数的关系求得抛物线与x轴交于M、N两点的坐标，进而求得，结合，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线过点，， ∴，抛物线交y轴于正半轴，即 ∴， ∴， 故①正确； ∵抛物线开口向下，， ∴时，， 故②正确； ∵抛物线（，，为常数）开口向下且过点，， ∴抛物线解析式可化为， ∵有两个不相等的实数根， ∴，有两个不相等的实数根，即抛物线与直线有两个交点， ∵抛物线开口向下， ∴抛物线顶点纵坐标大于1，即， ∴ 故③正确； ∵抛物线（，，为常数）开口向下且过点，， ∴，， ∴，， 令，则， 即， 解得或， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 故④正确； 综上，正确的个数为4． 故选：D． 5．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，二次函数的图象经过点，对称轴是直线，下列结论：， ，，中，其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解决本题的关键是根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点确定、、之间的关系，再根据、、之间的关系判断各式是否成立． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴是， ， ， 抛物线与轴交点在轴正半轴， ， ， 故正确； 抛物线与轴有两个不相等的实数根， 一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 故正确； 抛物线的对称轴是， ， ， ， 故正确； 由图象可知抛物线与轴交于点， ， ， ， ， ， 故错误； 综上所述，正确结论的个数是． 故选：C． 6．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象判断以下结论：①；②；③，其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象和性质． 利用二次函数的图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴； ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴； ∴， 该选项正确，符合题意； ②∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴该选项错误，不符合题意； ③根据对称轴为直线，得点的对称点坐标为， 当时，， ∴该选项错误，不符合题意； 综上，正确选项为①， 故选：B． 7．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②；③方程一定有一个根在2和3之间；④若为任意实数，则；⑤．其中正确结论的个数为（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线开口向下， ∴， 又， ∴， ∵抛物线与轴的交点在正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和0之间， ∴与x轴的另一个交点在2和3之间， ∴方程一定有一个根在2和3之间，故③正确； ∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，的最大值为， ∴对于任意实数，都有， ∴对于任意实数，，即，故④正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间， ∴， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴， ∴， 又， ∴， ∴,故⑤正确． 综上，②③④⑤正确，共4个． 8．（2026·山东青岛·模拟预测）如图，是坐标原点，已知二次函数（）的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，，且．以下结论：①；②；③；④若点在该函数图象上，则点也在该函数图象上；以上结论正确的个数是（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】①根据函数图象进行分析二次函数的参数取值即可； ②根据对称轴得出，根据点的坐标得出参数之间的关系，即可求解； ③根据当时，，进行判断即可； ④根据抛物线的对称性进行判断即可； 【详解】解：①由抛物线图象可得，抛物线开口向上， ∴； 对称轴位于轴左侧， ∴符号相同， ∴； 抛物线与轴交于负半轴， ∴； ∴，故①正确； ②∵对称轴为直线， ∴， ∴， 将代入解析式得，， 即， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ③由可得，当时，， 由②得， ∴，故③错误； ④∵，且两个点的纵坐标相等， ∴两个点关于直线对称， ∵点在该函数图象上， ∴点也在该函数图象上，故④正确； 综上正确的有3个. 9．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知二次函数（为常数，且）．下列五个结论：①该函数图象经过点：②若，则当时，随的增大而减小；③该函数图象与轴有两个不同的公共点；④若，则关于的方程有一个根大于0且小于1；⑤若，则关于的方程的正数根只有一个．其中正确的是（   ） A．①④ B．②③⑤ C．①②③④ D．②④⑤ 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与y轴的交点坐标、抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与坐标轴的交点问题，利用二次函数确定一元二次方程的根，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，把代入函数解析式，求出值，判断①；求出二次函数的对称轴，判断出增减性，判断②，根据判别式，判断③；求出方程的根，判断④，图象法确定⑤即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， 只有当时。，该函数图象才经过点， 故①错误； 当时，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；故②正确； ∵， ∴， ∴抛物线与轴有1个或2个交点，故③错误； 当时， 当时，， ∵函数图象经过点， ∴的一个根为， ∴由根与系数的关系可知：方程的另一个根为， ∵， ∴，即：关于的方程有一个根大于0且小于1；故④正确； ∵， ∴当时，， 由④可知，当时，抛物线与轴的两个交点分别为，且， ∴抛物线的开口向上，对称轴在轴的左侧， ∴当时，抛物线与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限， 故有一个正根， 当时，抛物线与直线有两个交点，一个为，一个在对称轴的左侧，即在第三象限， 故，则关于的方程的正数根只有一个；故⑤正确． 故选：D． 10．（25-26九年级上·浙江湖州·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．①根据图象及对称轴即可判段a、b、c的符号；②由二次函数的图象与轴交于不同的两点，即可判断；③当，，据此即可判断；④当时，的值最大，可得，据此即可判断．⑤的图象为将轴下方二次函数图象翻折到轴上方，与有四个交点，这四个交点即为方程的四个根，由二次函数的对称性，关于对称轴对称的两个根的和为2，则四个根的和为4，据此即可判断． 【详解】①二次函数的图象开口向下， ， 二次函数的图象交y轴的正半轴于一点， ， 对称轴为直线， ， ， ，故①错误； ②二次函数的图象与轴交于不同的两点， ， ，故②错误； ③当，， ，故③正确； ④当时，的值最大， ，即 对于任意实数，都有，故④正确； ⑤ 的图象为将轴下方二次函数图象翻折到轴上方， 与有四个交点， 这四个交点即为方程的四个根， 由二次函数的对称性可知，关于对称轴对称的两个根的和为2， 则四个根的和为4，故⑤错误； 综上所述，即②④正确，共2个； 故选：B． 【考点2】二次函数的最值、对称性与增减性（第11-20题） · 比较函数值先找对称轴，再看点到对称轴的远近，结合开口方向判断 · 给定区间最值先判断顶点是否在区间内，再比较两个端点的函数值 · 含参数的取值范围问题，把对称轴或顶点坐标表示出来，结合图象列不等式 11．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）坐标平面上，若移动二次函数 的图像，使其与 轴交于两点，且此两点的距离为个单位，则移动方式可为（    ） A．向上平移 个单位 B．向右平移个单位 C．向下平移 个单位 D．向下平移 个单位 【答案】C 【知识点】二次函数图象的平移、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查二次函数平移与交点距离的关系，通过顶点式简化计算，垂直平移改变交点距离．原函数可化为顶点式 ，其与轴交点距离为 ，通过垂直平移改变函数，使平移后与轴交点距离为，设垂直平移个单位，新函数为，令 得交点距离 ，解得，即向下平移 个单位． 【详解】解： 原函数 ， 可化为， 当时， 可得：， 解得：，， 抛物线与轴两交点距离为， 设垂直平移个单位，新函数为， 令 ，则 ， 解得：， 交点距离为 ， 令 ， 解得：，即， ∴ ， 故向下平移 个单位，与轴交点距离为 ． 故选： C ． 12．（22-23九年级上·浙江舟山·开学考试）已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为（     ） A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或6 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】先判断该二次函数的开口方向和对称轴，利用二次函数的增减性，分三种情况讨论h的范围，分别列方程求解，舍去不符合条件的解即可得到结果． 【详解】解：∵二次函数的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 分三种情况讨论： ①若，此时在对称轴右侧，随增大而减小，因此时取最大值， 可得 ，解得或，，舍去，得； ②若，此时函数在处取最大值为，与题目中最大值为矛盾，此情况无解； ③若，此时在对称轴左侧，随增大而增大，因此时取最大值， 可得 ，解得或，，舍去，得； 综上，的值为或． 13．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）如图，二次函数与x轴交于点、，与y轴交于点．则下列结论：①；②；③；④方程没有实数根；⑤若点和在该图象上，则；⑥若t为任意实数，则有．其中正确的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的最值、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】根据二次函数图象的开口方向、与坐标轴的交点、对称轴等即可判断①②；根据时的函数值即可判断③；抛物线与直线有两个交点，即可判断④；抛物线上的点离对称轴越远，对应的纵坐标越大，据此即可判断⑤；当时，二次函数取得最小值，即函数的最小值为，据此即可判断⑥． 【详解】解：∵如图，抛物线开口向上，与y轴交于点． ∴，， ∵二次函数与x轴交于点、， ∴抛物线的对称轴为直线，即， ∴， ∴，； 故①②正确； ∵当时，； ∴③错误， ∵抛物线与直线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， 故④错误； ∵抛物线开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，对应的纵坐标越大， ∵， ∴， 故⑤错误， ∵二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴当时，二次函数取得最小值，即函数的最小值为， ∴若t为任意实数，则有． 即． 故⑥正确， ①②⑥正确，共 3个． 14．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）已知二次函数的图像如图所示，它与x轴的两个交点的坐标分别为，．对于下列结论：①；②当时，；③当时，；④对任意实数m，不等式恒成立；⑤．其中正确的结论有________个． 【答案】①③④⑤ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的最值、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系、二次函数的性质等知识点，从函数图像获取信息是解题的关键． 首先根据对称轴公式结合a的取值可判定出，根据a、b、c的正负即可判断出①的正误；由图像可知：当时，，即可判断出②的正误；根据二次函数的性质即可判断出③的正误；先求出该抛物线的最值，然后与抛物线上横坐标为m的点的纵坐标比较即可解答，即可判断④；根据抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为结合对称轴即可判断⑤． 【详解】解：根据函数图像可知：抛物线开口向上，则，抛物线与y轴交于负半轴，则， ∵抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为，， ∴对称轴：， ∴， ∴，即①正确； 由函数图像可知：当时，，即②错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴，即③正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为， ∴该函数的最小值为：， ∵对任意实数m， ∴， ∴，即不等式恒成立；即④正确； 由可得， 由二次函数与x轴的一个交点的坐标为， ∴， ∴，即，故⑤正确． 故答案为：①③④⑤． 15．（2025·广东揭阳·一模）记表示实数m和n中的较大值，即若，则，如，．在平面直角坐标系中，，，则下列结论正确的是（将正确结论的序号填在横线上）________． ①直线和直线过点B且这两条直线垂直，则函数的最小值为2； ②若直线与反比例函数的图象交于点A，B，则函数的最小值为； ③若直线与二次函数的图象交于点A，B，则函数有最小值，无最大值． 【答案】①③/③① 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、利用不等式求自变量或函数值的范围、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了新定义，二次函数，反比例函数，一次函数的交点问题，熟练运用数形结合思想是解题的关键．根据每个选项的情况，先作图，再结合二次函数，反比例函数，一次函数的图象性质，进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：①依题意，分别作图， 当时，则，此时的最小值为2； 当时，则，此时的最小值为2； 当时，则，的最小值为2； 当时，则，的最小值为2； 综上：直线和直线过点B且这两条直线垂直，则函数的最小值为2； 故①是正确的； ∵直线与反比例函数的图象交于点A，B，，， ∴作图如下所示： 当时，，此时最小值为； 当时，，此时最小值为； 当时，，此时最小值为； 当时，，此时最小值为； 故②是错误的； ∵直线与二次函数的图象交于点A，B， ∴如图所示： 当时，，此时最小值为，无最大值； 当时，，此时最小值为，最大值为2； 当时，，此时最小值为，无最大值； 综上所述，函数有最小值，无最大值． 故③是正确的； 故答案为：①③． 16．（26-27九年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线长的最小值为________． 【答案】4 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的最值、根据矩形的性质求线段长 【分析】利用矩形对角线相等，把求最小值转化为求抛物线上点到轴垂线段的最小值，即抛物线顶点纵坐标即可解答． 【详解】解：对抛物线配方：， ∴抛物线顶点坐标为． 轴于点， 当点在抛物线顶点位置时，取得最小值，最小值为4． 四边形是矩形， （矩形的对角线相等）， 对角线长的最小值为4． 17．（26-27九年级上·北京·阶段检测）已知二次函数的图象过点和．若此抛物线的顶点不在第一象限，设，则的取值范围是_____． 【答案】且 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】首先得到当时，，然后求出二次函数的对称轴为y轴时的表达式为，然后计算出此时，根据题意得到，然后排除点，点和在一条直线上时t的值即可． 【详解】解：当时，， ∵二次函数的图象过点和， ∴当二次函数的图象过点时， ∴此时二次函数的对称轴为y轴， 设二次函数的解析式为， 将代入得， ∴， ∴二次函数的解析式为， ∵当时，， ∴此时， ∵此抛物线的顶点不在第一象限， ∴， 设，所在直线的表达式为， ∴， ∴， ∴，所在直线的表达式为， 将代入得，， ∴此时点，点和在一条直线上，不在二次函数上， ∴， 综上所述，的取值范围是且． 18．（2023九年级上·浙江宁波·竞赛）设，为实数，函数满足：对任意，都有，则的最大值为_____． 【答案】/0.25 【知识点】根据一次函数增减性求参数、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题主要考查一次函数在区间上的约束条件与参数最值问题，涉及不等式约束下的极值求解．利用端点分析：一次函数在区间上的最大值和最小值出现在端点，因此只需保证端点处满足，将函数在端点的条件转化为关于和的不等式，得到和；分情况讨论：根据的正负，分别在的上下限中选择使最大的值，转化为单变量二次函数求极值． 【详解】解：函数在区间上满足，因此： 当时，，即， 当时，，即， 情况一：当时，此时， ∴， ∴在时取得最大值； 情况二：当时，此时， ∴， ∴在时取得最大值， 两种情况下的最大值均为，因此最大值是； 故答案为：． 19．（2026·山东烟台·二模）当时，最大值与最小值的差为，则的值________． 【答案】或/或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】二次函数开口向上，对称轴，根据对称轴与区间的位置关系分情况讨论，分别求出最大值和最小值，根据差为计算，舍去不符合条件的解． 【详解】解：∵ 中， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， 又∵ ， ∴ ，分情况讨论： ①当对称轴在区间的右侧，即时，得，此时函数在上，随的增大而减小， ∴ 当时，取得最大值；当时，取得最小值， 由题意得 ， 解得 ，不符合，故舍去； ②当，即时，此时最小值在对称轴处， ∴的最小值为， ∵抛物线开口向上， ∴离对称轴越近，函数值越小， 又∵， ∴当时，取得最大值， 由题意得 ， 整理得 ， 解得 或（其中与题设矛盾，舍去）； ③当，即时， 同理，此时的最小值为， ∵， ∴  当时，取得最大值， 由题意得 ， 整理得 ， 解得 或（其中与题设矛盾，舍去）； 综上，的值为或． 20．（2026·山东泰安·二模）平面直角坐标系中，抛物线（a为实数）． (1)当时，求此抛物线的顶点坐标； (2)已知点，是抛物线上两点，若对于，，都有，求a的取值范围； (3)在该平面直角坐标系中有一直线，当时，总有，求m的最大值． 【答案】(1)顶点坐标为 (2)或 (3)m最大值为9 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式、抛物线与x轴的交点问题、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】（1）先把代入函数解析式，然后再化成顶点式即可解答； （2）先求得抛物线的对称轴为，易得点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为；然后分对称轴的左侧、对称轴的右侧、对称轴的之间三种情况，分别求得点到对称轴的距离的最小距离，再根据二次函数抛物线开口向上，到对称轴距离越大的函数值越大列不等式求解即可； （3）对已知条件变形可得，设函数，即开口向上的抛物线，要使时，，即和是方程 的两个根；把代入方程a的值，进而求得m的值，最后确定m的最大值即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴顶点坐标为． （2）解：∵， ∴的对称轴为， ∴点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ①当对称轴在的左侧，即时，点到对称轴的最小距离为，要满足，解得：； ②当对称轴在的右侧，即时，点到对称轴的最小距离为，要满足，解得：； ③当对称轴在的内，即时，点到对称轴的最小距离为0，要不可能大于2，不符合题意； 综上，a的取值范围为 或． （3）解：当时，总有，即，整理得：， ∴， 设函数，即开口向上的抛物线，要使时，， 为了使m取的最大值，应有和是方程 的两个根． 将代入方程：，解得或． 当时，方程为，解得：和， ∴． 当时，方程为，解得：，此时． ∴m的最大值为9． 【考点3】反比例函数的图象与几何综合（第21-27题） · 见到反比例函数上的点，优先向坐标轴作垂线，用 |k| 转化矩形与三角形面积 · 几何综合题设点坐标为（x，），用坐标表示线段长，结合相似或全等求解 · k 的符号由图象所在象限决定，面积为正值时恒取 |k| 21．（22-23九年级上·广西贵港·期末）如图，在平面直角坐标系中有菱形，点A的坐标为，对角线、相交于点，，双曲线经过的中点，交于点，下列四个结论：①；②；③点的坐标是；④连接、，则，则正确的结论有（    ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】坐标与图形、反比例函数与几何综合、利用菱形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过作轴于点，过作轴于点，设，则，结合勾股定理可求出x的值，进而可分别求出，，故可判断①②；由菱形的性质可求得的长度，结合勾股定理可求得，结合三角形相似的判定和性质可以得到点的坐标，则可求得双曲线解析式．设，将其代入反比例函数解析式即求得点的横坐标，由此可判断③；由菱形的性质可知，的面积等于菱形的面积的一半，即可判断④． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点， ， ． 设，则． ∵四边形为菱形， ∴， ，即， ， ，， ，故①正确； ，故②错误； ∵， ． 在中，，，由勾股定理可得， ． ∵轴，， ∴， ∴， ∴． 为中点，即， ，， ， ． 双曲线过点， ， 双曲线解析式为． 由上可知，，故可设， 将其代入双曲线，得， ， ，故③正确； ， ，故④正确． 综上所述，正确的结论有3个．　 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的特征，勾股定理，菱形的性质，三角形相似的判定和性质，坐标与图形．正确作出辅助线是解题的关键． 22．（23-24九年级下·福建福州·开学考试）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】反比例函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数的几何意义，全等三角形的判定和性质，连接正方形的对角线，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明，根据的几何意义即可求解，熟练掌握以上性质的解题关键． 【详解】解：连接正方形的对角线，由正方形的性质知对角线交于原点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，点在函数上，如图，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点在第二象限， ∴， 故选：． 23．（2026·河北邯郸·三模）如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，且，则________． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系、求反比例函数解析式、已知两点坐标求两点距离、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】设点的坐标为，点的坐标为，联立直线与反比例函数可得，由根与系数的关系可得，．由，结合勾股定理可得，即，代入求解即可． 【详解】解：设点的坐标为，点的坐标为， 联立直线与反比例函数可得， ， 整理，得， ∵两个函数有两个交点， ∴， 解得， 由根与系数的关系可得，，， 由勾股定理可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，符合题意． 24．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，平面直角坐标系中，的对角线、相交于，已知，，若函数图象经过点、图象经过点，则___________． 【答案】/ 【知识点】反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，两直线相交于点，则四边形是矩形，设，相交于点，先证明是等腰直角三角形，设，证明，求得，作轴于点，作轴于点，则四边形是矩形，再证明，求得，再根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，两直线相交于点，则四边形是矩形，设，相交于点， ∵， ∴， ∵在中，， ∴与平行，，， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 设，即，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 作轴于点，作于点，则四边形是矩形，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵、在函数图象上， ∴，， ∵在函数图象上， ∴， ∴． 25．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知三点，其中，双曲线分别与线段交于点． （1）当时，则点的坐标为__________． （2）若，则的值为__________． 【答案】 / 2 【知识点】一次函数与几何综合、反比例函数与几何综合 【分析】本题主要一次函数与几何综合，反比例函数与几何综合，求出点D和点E的坐标是解题的关键． （1）求出反比例函数解析式和直线的解析式，再联立两解析式求出点D的坐标即可； （2）根据点A和点C的坐标可得点E的横坐标为t，则可求出点E的坐标，同（1）求出点D的坐标，根据建立方程求解即可． 【详解】解：（1）当时，反比例函数解析式为，， 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（舍去） ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）∵，， ∴轴， ∴点E的横坐标为t， 在中，当时，， ∴； 直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（舍去） ∴点的坐标为， ∴ ， ， ∴， 解得或（舍去）， 故答案为：2． 26．（24-25九年级上·江西上饶·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，轴于点，点在轴上，若的面积为6，则的值为________． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义、三角形面积计算以及坐标与图形性质的综合应用．利用反比例函数上点的坐标满足的性质，结合的面积公式，求出的值，从而得到的值． 【详解】解：设点的坐标为，其中，． 因为轴，所以的长度为，中边上的高为． ． 可得： ，． 又因为点在反比例函数上，所以． 因此，． 故答案为：． 27．（23-24八年级下·江苏常州·期中）【阅读理解】对于任意正实数、．∵，∴，∴，（只有当时，）． 【获得结论】在（、均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值． 【探索应用】根据上述内容，回答下列问题： (1)若，只有当________时，有最小值_______； (2)已知点是双曲线上点，过作轴于点，作轴于点．点为双曲线上任意一点，连接，，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1)； (2) 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、不等式的性质、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查反比例函数的性质，不等式的性质，二次根式的性质， （1）根据阅读材料可得，当时，取得最小值，据此即可求解； （2）连接，设，根据四边形的面积的面积的面积，从而利用表示出四边形的面积，利用阅读材料中介绍的不等式的性质即可求解； 正确读懂已知中的不等式的性质，表示出四边形AQBP的面积是关键． 【详解】（1）解：∵，且， ∴当时，即或（负值不符合题意，舍去）， 此时取得最小值，最小值为：， ∴当时，有最小值， 故答案为：；； （2）连接， ∵点是双曲线上 ∴， ∴双曲线的解析式为， 设， ∵点，轴，作轴， ∴ ， ∴四边形的面积的最小值为． 【考点4】二次函数的实际应用（第28-30题） · 先根据题意列出二次函数关系式，并注明自变量的取值范围 · 利润、面积、最值问题化为顶点式，在取值范围内求顶点处的最值 · 检验结果的实际意义，舍去不符合实际情境的解 28．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金增加50元时，未租出的车将会增加1辆．租出的车每月需维护费150元，未租出的车每月需维护费50元． (1)当每辆车的月租金为3600元时，能租出 辆车．（直接填写答案） (2)设每辆车的月租金为x（）元，用含x的代数式填空． 未租出的车辆数 租出的车辆数 所有未租出的车每月的维护费 租出的车每辆的月收益 (3)每辆车的月租金定为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少元？ 【答案】(1)88 (2)；或；或；元 (3)当每辆车的月租金为4050元时，月收益最大，最大月收益为307050元 【知识点】列代数式、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了列代数式，构造二次函数求最值，熟练掌握二次函数的最值是解题的关键． （1）根据题意，未租出车辆数为， 减法计算即可． （2）根据题意，得未租出的车辆数为；租出车辆数为：或；所有未租出的车每月的维护费为元；租出的车每辆的月收益元，解答即可． （3）设每个月的总收益为w元，每辆车的月租金为x（）元，根据题意，得，构造二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：根据题意，未租出车辆数为， 故租出车辆数为：． 故答案为：88． （2）解：根据题意，得，未租出的车辆数为； 租出车辆数为：或； 所有未租出的车每月的维护费为元； 租出的车每辆的月收益元． 故答案为：；或；或；． （3）设每个月的总收益为w元，每辆车的月租金为x（）元，根据题意，得， ， ∵， ∴W有最大值，且当时，取得最大值，且最大值为307050， 答：每辆车的月租金定为4050元时，租车公司的月收益最大．最大月收益是307050元． 29．（2024·河北保定·一模）某厂一种农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图11所示）；该产品的总销售额z（万元）＝预售总额（万元）＋波动总额（万元），预售总额＝每件产品的预售额（元）×年销售量x（万件），波动总额与年销售量x的平方成正比，部分数据如下表所示．生产出的该产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获年毛利润为w万元（年毛利润＝总销售额－生产费用） 年销售量x（万件） … 20 40 … 总销售额z（万元） … 560 1040 … (1)求y与x以及z与x之间的函数解析式； (2)若要使该产品的年毛利润不低于1000万元，求该产品年销售量的变化范围； (3)受市场经济的影响，需下调每件产品的预售额（生产费用与波动总额均不变），在此基础上，若要使2025年的最高毛利润为720万元，直接写出每件产品的预售额下调多少元． 【答案】(1)， (2) (3)下调了6元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数、一次函数的应用，二次函数的图象与性质等知识，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据毛利润，结合函数图象求出x的取值范围即可； （3）设下调m元，则w、z与x的函数关系也随之变化，求出w关于x的函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设， 把代入，得， 解得， ∴， 设预售总额为（万元），每件产品的预售额为（元），则， 设波动总额为（万元）， ∵波动总额与年销售量x的平方成正比， ∴设， ∴， 把，；，代入， 得， 解得， ∴； （2）解：毛利润 ， 令，则， 解得，， 画出草图如下： 由图知：当时，， ∴要使该产品的年毛利润不低于1000万元，该产品年销售量的变化范围是； （3）解：设下调m元， 则， ∴， ∵2025年的最高毛利润为720万元， ∴w的最大值为720， ∴， 解得（不符合题意，舍去），， 故下调了6元． 30．（25-26八年级下·福建莆田·期末）“投壶”是古人宴会时的一种娱乐游戏，参与者需站在一定距离外，将箭矢投入壶中，以投入的数量和方式计算得分．嘉嘉体验了投壶游戏后作出示意图如图1，以投壶者所站位置为原点，地面为轴，为1个单位长度建立平面直角坐标系，投掷过程中箭矢前端点的运动路径可看作抛物线的一部分，点从点处出手，矩形为壶，，，． (1)如图1，，若点为抛物线的顶点，，且抛物线经过点 ． ①求抛物线的解析式； ②竖直提高点的出手位置（点），使点落在上（不含边界），求的取值范围． (2)如图2，调整出手的力度和角度，使抛物线在点 处到达最高点．若点经过点正上方处，求出点在点正上方的距离（用含的式子表示）． 【答案】(1)① ② (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）①运用待定系数法求解即可；②根据函数值求自变量的值即可； （2）根据题意得到抛物线解析式为，抛物线过点，则，抛物线解析式为，且抛物线过，，当时，代入计算即可． 【详解】（1）解：①， 为顶点， 则抛物线， ∵过点 代入得： ， ∴， 抛物线解析式为； ②解：抛物线经过点时， ， ， 抛物线经过点时，， ， 当时，点落在上． （2）解：顶点， 抛物线解析式为， 抛物线过点， ， ， ，且抛物线过， ， ， 当时， ， ， 点在点正上方处． 【考点5】二次函数综合压轴（第31-45题） · 先用待定系数法求出抛物线与直线的解析式，再设出动点的坐标 · 面积问题用铅垂高法 S=·铅垂高·水平宽 表示为关于横坐标的函数 · 特殊三角形、特殊四边形问题按边相等、平行、垂直等条件分类讨论列方程 · 线段周长最值用轴对称化折为直，结合勾股定理与两点距离公式求解 31．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形．若，则四边形的面积最小值是________． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，二次函数的应用，作出辅助线，构造二次函数求最值是解题的关键；延长交的延长线与点，过作于，可证为等边三角形，有，可求出的面积，要求四边形的最小值，即求的最大值，令，可得，，在中，可用表示出的值，进而得到关于的二次函数解析式，根据二次函数性质即可求解的值，进而求出的最大值，从而求解则四边形的面积最小值． 【详解】解：延长交的延长线与点，过作于， ∵ ∴为等边三角形； ∴，, 设，则，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 当时，取最大值，如下图， ∵， ∴当最大时，最小， 连接，如图，在中，，，则的高为， 所以此时，． 故答案为：． 32．（26-27九年级上·福建龙岩·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为________． 【答案】或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标、等腰三角形的性质和判定、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】过M点作于H点，先确定，设，易得为等腰直角三角形，所以，则或，利用M点纵坐标的表示方法得到即或，然后分别解方程求出m，从而得到M点的坐标． 【详解】解：过M点作于H点，如图， 当时，， ， 设， 是以为直角的等腰直角三角形， 为等腰直角三角形， ， 或， 即或， 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 综上所述，M点的坐标为或． 33．（2025·陕西汉中·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，有一抛物线交轴于两点，以为边作等腰直角三角形，取边的中点．若有以点为中心旋转，交轴于两点，交边于两点，且，连接抛物线顶点与点，当时，______． 【答案】 【知识点】面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的几何应用，利用二次函数的解析式分别求出点的坐标，再求出直线的解析式，求出点的坐标，过点作于，于，证明，进而得出点的坐标，最后根据解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线， ∴， 把代入，得， 解得，， ∴，， ∴， ∵三角形是以为边作等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴， 如图，过点作于，于，则，，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 34．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，，则_________． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求线段长、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，证明，得出，，由题意可得，，则，，设，则，，表示出，，，，再结合，，计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点， ∵四边形为正方形， ∴、互相平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵点A，C在抛物线上，点A，C两点的横坐标分别为m，， ∴，， ∴，， 设，则，， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 35．（2022·内蒙古赤峰·三模）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，抛物线经过A、B两点，其中点A、C的坐标分别为，，抛物线的顶点为点D． (1)求点D的坐标； (2)点E是直角三角形斜边上（除与抛物线对称轴交点外）的一个动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当面积为15时，求点F的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）首先依据等腰直角三角形的性质求得，然后将，的坐标代入抛物线的解析式求解即可； （2）先求得直线的解析式为，设，则， 根据列方程求解即可； （3）在（2）的条件下，，，根据是以为直角边的直角三角形，轴，即可得到分别过，作轴的平行线交点即为点，即分别令时，求抛物线交点横坐标． 【详解】（1）解：∵为等腰直角三角形，，点A、C的坐标分别为，， ∴， ∴， 将，代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点为点． （2）解：如图1所示： 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：． 所以直线的解析式为． ∵点E是直角三角形斜边上（除与抛物线对称轴交点外）的一个动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F， ∴设，则，且， ∴， ∴， 当面积为15时，， ∴， ∴， 解得， ∵且， ∴，此时， ∴； （3）解：在（2）的条件下，，， ∵是以为直角边的直角三角形，轴， ∴分别过，作轴的平行线交点即为点， 当时，， 解得（与重合舍去）， 此时； 当时，， 解得， 此时或； 综上，存在，点P的坐标为或或． 36．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图1，抛物线经过原点与点，点在此抛物线上，过点作直线交轴于点，且直线与抛物线有且只有一个公共点． (1)请直接写出：此抛物线的函数解析式为______________； (2)如图1，设抛物线的对称轴交轴于点，交直线于点，若点在点右侧的抛物线上，且，求点的横坐标； (3)如图2，直线（不与轴平行）与抛物线有且只有一个公共点，作直线，交抛物线于、两点，且与轴交点坐标为，为抛物线的顶点，连交于点，取的中点，连接，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、面积问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）将、两点坐标代入抛物线列方程组，解出、的值回代即可； （2）先由直线与抛物线仅一个公共点，用判别式求出过的直线的解析式，找到对称轴与的交点，再设点坐标，根据列距离方程，结合点在点右侧得到的横坐标； （3）先求出抛物线顶点坐标，设直线的解析式为，利用与抛物线仅一个交点的条件求出点坐标，再写出平行于且过的直线的解析式，联立直线与抛物线，利用一元二次方程根与系数的关系得到中点的坐标，求出直线的解析式，联立直线与直线解析式得到点坐标，求出直线的解析式，过点作轴，交于点，利用点、横坐标相等求点坐标，用割补法表示的面积，据此列方程求解，回代得到符合题图位置的点坐标． 【详解】（1）解：由题意，抛物线过、， ∴， 解得， ∴此抛物线的函数解析式为； （2）解：由（1）得抛物线的函数解析式为， 设直线的解析式为，代入，得 ， ∴， ∴， ∵直线与抛物线只有一个公共点， ∴联立， ∴， 整理得， ∵只有一个公共点， ∴，即， 解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线对称轴为，交直线于点， ∴把代入直线的解析式，得 ， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴0， 解得， ∵点在点右侧，即， ∴， ∴点的横坐标为； （3）解：由（1）得抛物线的函数解析式为， ∴抛物线顶点， 设直线的解析式为， ∴联立， ∴， 整理得， ∵直线与抛物线只有一个公共点， ∴， ∴， ∴交点横坐标， 代入抛物线得， ∴， ∵且过， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线，得 ， ∴， 整理得， 设、，由一元二次方程根与系数的关系得 ，， ∵点是中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴轴， 设直线的解析式为，代入、，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立直线与直线解析式，得 ， 解得， ∴， 设直线的解析式为，代入、，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点，则， 把代入直线的解析式得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或， ①当时，，，此时； ②当时，，，此时， 由图可知，点位于轴左侧，故此情况不符合题意； 综上，点的坐标为． 37．（23-24九年级上·四川德阳·期中）如图1，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点坐标为． (1)求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式； (2)若点D是该二次函数图象上的一点，且满足（O是坐标原点），求点D的坐标； (3)如图2，P是线段上的一个动点（与B、C不重合），过点P作直线轴，交于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，抛物线的解析式为 (2)点的坐标为或 (3)存在，点R的坐标为或或 【知识点】一次函数与几何综合、待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求出B、C两点的坐标，再利用待定系数法求出二次函数的解析式即可得解； （2）连接，求出，作轴于，设，则，，结合计算即可得解； （3）求出直线的解析式为，直线的解析式为，设，则，求出，分两种情况：当是等腰直角的直角边时；当是等腰直角的斜边时，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，，解得， ∴，， 设抛物线的解析式为， 将，，代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接， 由（1）可得：，， ∴， ∵， ∴， 作轴于， 设，则，， ∴， 解得：或（与点重合，不符合题意）或， 当时，，即， 当时，，即； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：存在， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵P是线段上的一个动点（与B、C不重合），过点P作直线轴，交于点Q， ∴设，则点的纵坐标为， 在中，当时，，解得， ∴， ∴， 当是等腰直角的直角边时，则， 解得：， 此时当为直角边时，的坐标为， 当为直角边时，的坐标为； 当是等腰直角的斜边时，， 解得：， ∴， ∴， ∴的坐标为； 综上，点R的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数综合—角度问题，二次函数综合—特殊三角形问题，一次函数与几何综合，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 38．（2024·湖北孝感·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 、是常数经过点，点．点在抛物线上，其横坐标为． (1)求此抛物线解析式； (2)当点在轴上方时，结合图象，直接写出的取值范围； (3)若此抛物线在点右侧部分包括点的最高点的纵坐标为． ①求 的值 ②以为边作等腰直角三角形，当点在此抛物线的对称轴上时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)①的值为或；②或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、图象法解一元二次不等式、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的综合运用、等腰直角三角形、一元二次方程的应用等知识点； （1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得； （2）先根据抛物线的解析式求出此抛物线与轴的交点横坐标为，再结合函数图象，由此即可得； （3）①先求出抛物线的对称轴和顶点坐标、以及点的坐标，再分和两种情况，分别画出函数图象，利用函数的增减性求解即可得； ②设点的坐标为，分和两种情况，分别根据等腰直角三角形的定义建立方程组，解方程组即可得． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 解得： ， ∴此抛物线的解析式为：； （2）令，则 ， 解得：， 根据图象可知，在轴上方时，的取值范围是； （3）∵， ∴抛物线的顶点坐标是， ①当时，点P在对称轴上或对称轴左侧，最高点坐标为， ∴，解得 ， 当时，点P在对称轴右侧，最高点纵坐标为， ∴- 解得：， ∴的值为或； ②当时，如图① 以或为直角顶点作等腰直角三角形，点不能落在对称轴上，因为直角边或和对称轴平行；以点为直角顶点作等腰直角三角形，点恰好落在抛物线的顶点上，根据对称性可知 ，显然 关于x轴对称点也满足条件， ； 当 时，如图②，通过绘图可知，由点A 或点Q为直角顶点均不存在满足条件的等腰直角三角形，以P为直角顶点可以作出满足条件的等腰直角三角形． 过点P分别作x轴和对称轴的垂线，垂足分别为M、N ， 对称轴与x轴的交点为G．则， 当时 ，， ∴               ∴               ∴， ∵ ∴ 又∵            ∴ ∴           ∵                ∴， ∴ ∴ 综上所述，点的坐标为或或 39．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为A，且与y轴相交于C点．    (1)求m的值及C点坐标． (2)为抛物线上一点，它关于直线的对称点为Q，当四边形为菱形时，求点P的坐标． (3)连接，在直线上方的抛物线上是否存在一点M，使得四边形的面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由． 【答案】(1)，； (2)或 (3) 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式． （1）用待定系数法求出抛物线解析式； （2）先判断出四边形是菱形时，点P是线段的垂直平分线，利用该特殊性建立方程求解． （3）设点，首先推导出，即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 解得，， 二次函数解析式为， 令，得， ； （2）解：如图，   点P在抛物线上， 设， 当四边形是菱形时，点P在线段的垂直平分线上， ，， 线段的垂直平分线的解析式为， ， ， 或； （3）解：过点M作y轴的平行线交于点H，如图，    令，解得或， ， ． ． ， 所以当的面积有最大值时，则四边形的面积最大， 设直线的解析式为 将点B、C的坐标代入得：， 解得 直线的解析式为， 设点，则点， ， 故当时，有最大值，此时四边形的面积最大值为， 故点 40．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，连接交抛物线的对称轴于点． (1)求点、点的坐标； (2)点为线段上一动点，过点作 交抛物线于点，设点的横坐标为，当为何值时，四边形为平行四边形？ 【答案】(1)，； (2)当为时，四边形为平行四边形． 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与y轴的交点坐标、利用平行四边形的性质求解、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）求点坐标，令抛物线解析式中，解一元二次方程；求点坐标，令，代入解析式计算． （2）先求抛物线对称轴、点坐标，再求直线解析式得点坐标；根据点横坐标得坐标，由（为竖直线）得横坐标与相同，进而得坐标；利用平行四边形对边相等（）列方程求解． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴． 令，则， ∴． （2）解：抛物线的对称轴：． 将代入抛物线，， ∴． 设直线为， ∵、， ∴， 解得，， ∴直线：． 当时，， ∴， ∴． ∵点横坐标为， ∴； ∵（垂直轴）， ∴横坐标为，． ∴， 由，得， 解得（与重合，舍去），． ∴当为时，四边形为平行四边形． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、一次函数的解析式求解、平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的对称轴与点坐标的求法、利用平行四边形对边相等列方程是解题的关键． 41．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的最值、面积问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）将点坐标代入即可得解； （2）过点作轴，交于点，交轴于点， 易得为等腰直角三角形，，进而设参表示出即可； （3）先求出面积最大值时点的坐标，由平移可知，分类讨论，当向左平移时，直线，据此求出直线解析式，即可得点坐标；当向右平移时，则与第一种情况的直线关于直线对称，据此求解即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点，交轴于点， 设点，则， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； （3）解：由（2）可知， ∴． ∵， ∴当时，的面积的最大值为， 此时； 当抛物线向左平移，即点在直线上方时， ， ， 如图，过点作， 由（2）知直线解析式为，则可设直线的解析式为， 将点代入，得，解得， ∴直线的解析式为． ∵， ∴其顶点为， ∵抛物线沿水平方向平移得到抛物线， ， 令，解得， ， 当抛物线向右平移，即点在直线下方时， 此时过与的平行线与轴交点记为点，则与第一种情况的直线关于直线对称，此时点与第一种情况的直线与轴交点关于点对称， ， 则直线解析式为． ， ，解得， ． 综上，或． 42．（2026·四川泸州·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）． (1)如图1，当抛物线经过点时，求抛物线的解析式； (2)如图2，若点为（1）中抛物线上一动点，且点的横坐标为，过点作轴交直线于点．当是等腰三角形时，求点的坐标； (3)若抛物线上存在两点和，对于，，都有请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或 (3)的取值范围为或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、利用不等式求自变量或函数值的范围、已知两点坐标求两点距离、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）把代入，求出的值即可得出结论； （2）求出直线的解析式为，设点，则，分别求得，根据等腰三角形的定义分，，列式，求出的值即可解答； （3）由题可知，抛物线的对称轴为，分别求当对称轴在y轴左侧；当对称轴在y轴右侧；抛物线的对称轴为y轴时，b的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：把代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 把代入解析式得， ∴， ∴直线的解析式为， 设点， ∵轴， ∴， ∴， ， 若是等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时，， 解得（不合题意，舍去），，（不合题意，舍去）； ②当时，， 解得（舍去）或，或， 此时，点的坐标为或； ③当时，， 解得（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去）， 此时 ，点的坐标为； 综上，点的坐标为或或； （3）解：由题可知，抛物线的对称轴为， ∵抛物线经过点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵，，都有， ∴当对称轴在y轴左侧，即时， ， 解得， ∴此时； 当对称轴在y轴右侧，即时， ， 解得， ∴； 当时， 抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为， ∵抛物线开口向下， ∵，，则，， ∴ 故此情况不符合题意， 综上所述，的取值范围为或． 43．（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，点，与轴交于点，直线与抛物线相交于、两点，且与轴相交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段的一个动点，过点作轴的平行线与抛物线相交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线向左平移1个单位，得到新抛物线与原抛物线交于点，在新抛物线对称轴找一点，在新抛物线找一点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出的坐标 ． 【答案】(1) (2)最大值为， (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、线段周长问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）把，代入，求的值即可； （2）先求直线的解析式，设，，求出关于的关系式．延长交轴于点，证明是等腰直角三角形，得到，再求出关于的关系式，即可求解的最大值及此时点的坐标； （3）先求出新抛物线的解析式，设，，分，，为对角线，分类讨论即可． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 把，代入得， ，解得， 直线的解析式为． 直线与抛物线相交于、两点， ， 解得或， ． 设，， ， 且， ． 如图，延长交轴于点， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． ，开口向下， 该函数图象有最大值， 对称轴为直线， 且在中， 当时，取最大值，为． 把代入中得，， ； （3）解：由题意得新抛物线的解析式为：， 对称轴为轴，即直线， 设，， ①若为对角线， ，解得， 把代入中得，， ； ②若为对角线， ，解得， 把代入中得，， ； ③若为对角线， ，解得， 把代入中得，， ； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式、一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质，解题的关键是能够熟练应用待定系数法求得二次函数和一次函数的解析式． 44．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，已知，于，点、分别从、两点同时出发，其中点沿向终点运动，速度为；点沿、向终点运动，速度为，设它们运动的时间为． (1)求为何值时，； (2)设的面积为，当时，求与的函数关系式； (3)当时，求证：点O始终为线段的中点； (4)探索在整个运动过程中，以为直径的圆与的位置关系，请直接写出相应位置关系的x的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3) 证明：当时，在中， ，； ， ， ， ； ，， ， ， ， 平分的面积， 是的中线， 点O始终为线段的中点； (4) 不存在的值，使得以为直径的圆与相离， 当或时，以为直径的圆与相切， 当或或时，以为直径的圆与相交． 【知识点】等边三角形的性质、已知直线和圆的位置关系求半径的取值、解直角三角形的相关计算、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）若使，则根据路程速度时间表示出和的长，再根据30度的直角三角形的性质列方程求解； （2）首先画出符合题意的图形，再根据路程速度时间表示出，的长，根据等边三角形的三线合一求得的长，根据30度的直角三角形的性质求得边上的高，再根据面积公式进行求解； （3）根据三角形的面积公式，要证明平分的面积，只需证明是的中点．根据题意可以证明，则，再根据平行线等分线段定理即可证明； （4）根据（1）中求得的值即可分情况进行讨论． 【详解】（1）当在上时，显然不垂直于， 当在上时，由题意得， ， ，； ， ； 若，则有， ， ， ； （2）如图，当时，在上，在上，过点作于； ，， ； ，， ， ， ； （3）略 （4）显然，不存在的值，使得以为直径的圆与相离， 由（1）可知，当时，以为直径的圆与相切； 当点在上时，，解得， 故当或时，以为直径的圆与相切， 当或或时，以为直径的圆与相交． 【点睛】此题综合运用了等边三角形的性质、直角三角形的性质以及直线和圆的位置关系求解．解题的关键是用动点的时间和速度表示线段的长度，本题有一定的综合性，难度较大． 45．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，O是原点．抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．点P是抛物线上的一个动点，其横坐标是m． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，求点P的坐标； (3)设此抛物线在点A与点P之间的部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h，当，且时，求m的值； (4)取的中点M，连接，以为对角线作正方形，当，且正方形的顶点N或Q落在x轴上时，请直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求线段长、特殊四边形(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）把代入抛物线利用待定系数法求解即可． （2）先求出点坐标，根据，得出点纵坐标为 4 ，则，解方程即可求解． （3）先求出抛物线的顶点坐标为，当时，最高点为顶点坐标，最低点为点坐标，得出，求解即可．当时，最高点为顶点坐标，最低点为点坐标，得出，求解即可． （4）分两种情况：①如图，过作轴．证明，得出，从而得， 根据， 得出， 根据， 列出方程， 求解即可．②如图所示：同理证明，得出，根据，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：把代入抛物线得：， ， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为与轴交于点， ， ， ∴点纵坐标为 4 ， ， ， ． （3）解：抛物线， 故顶点坐标为， 当时， 最高点为顶点坐标，最低点为点坐标， ， ， 当时， 最高点为顶点坐标，最低点为点坐标， ， ， ， ， ， 综上所述，或． （4）解：①如图，过作轴． ∵正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为中点， ，   ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②如图所示：如图，过作轴． ∵正方形， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， 或2， ， ， 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，解一元二次方程，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，二次函数的最值问题等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 整理二次函数 a、b、c、Δ 符号判断的图象口诀，每天默写一遍 · 把本讲 45 道考点题按考点分组重做一遍，错题标注错因 · 反比例函数面积模型（|k|、）在草稿纸上画 3 遍并默写结论 · 压轴题先写第（1）问求解析式，再专练第（2）（3）问的面积与存在性讨论 · 限时 40 分钟完成课后 15 道作业，对照答案用红笔订正 【作业1】（25-26九年级上·安徽宣城·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，是等腰直角三角形，其直角顶点在轴正半轴上，点、点在函数的图象上，延长交轴于点.若点的横坐标为8，则的值为（   ） A．20 B．22 C．16 D．24 【答案】D 【知识点】一次函数与几何综合、反比例函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】作轴于点E，轴于点F，可证明，得到，，设，得到，设直线的函数解析式为，求得直线的函数解析式为，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，作轴于点E，轴于点F ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 点A、点C在函数的图象上 设 ∵ ∴ ∴，   ∴   ∴   ∴ 设直线的函数解析式为 将， 代入得 解得 ∴ 直线的函数解析式为 ∴即 ∴ 解得：或 经检验，或 是原方程的解 当时，轴，点在轴上，不符合题意，舍去 ∴ ∴ 故选：D. 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【作业2】（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤（为任意实数），其中正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于点和点， ∴抛物线对称轴为直线，故②正确； ∴， ∴， ∴，故①错误； 由函数图象可知，当时，抛物线在x轴上方， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，抛物线有最大值， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有②③⑤，共个． 【作业3】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知点、分别在抛物线（为常数）和上，当时，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数图像上点的坐标特征，由点、分别在抛物线（为常数）和上，所以，，则，然后逐一排除即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点、分别在抛物线（为常数）和上， ∴，， ∴ ， 、∵， ∴， ∴ ，即，该选项正确，符合题意； 、∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴，该选项错误，不符合题意； 、∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴，该选项错误，不符合题意； 、∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴，该选项错误，不符合题意； 故选：． 【作业4】（2026·江苏宿迁·二模）如图，已知直线与函数的图象交于第一象限内点A，与轴负半轴交于点B，过点A作轴于点C，点D为中点，线段交轴于点E，连接．若的面积为6，则的值为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】连接，根据点是的中点，利用三角形中线平分三角形面积的性质，推导出，再根据反比例函数的几何意义及三角形面积公式求得的值. 【详解】解：连接，如图， ∵轴，轴轴， ∴轴， ∴点到的距离等于的长， ∵点为中点， ∴、分别是、的边上的中线， ∴，， ∴ 即， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 设点的坐标为，则，， ∵点在反比例函数的图象上， ∴. 【作业5】（23-24九年级上·江西赣州·期末）数学课上，夏老师给出关于x的函数（k为实数）．学生们独立思考后，把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上，夏老师作为活动一员，又补充了一些结论，并从中选择了以下四条： ①存在函数，其图象经过点； ②存在函数，该函数的函数值y始终随x的增大而减小； ③函数图象有可能经过两个象限； ④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数． 上述结论中正确的为（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、判断一次函数的增减性、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】此题考查二次函数的性质，一次函数的性质，利用举特例的方法是解决问题常用方法．①将点代入函数，解出的值即可作出判断；②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；③根据②即可作出判断；④当时，函数为一次函数，无最大值和最小值，当时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断． 【详解】解：①将代入可得：，解得：，此选项正确． ②当时，，该函数的函数值始终随的增大而减小；此选项正确； ③当时，，经过3个象限， 当时，， 抛物线必与轴相交， 图象必经过三个象限，此选项错误； ④当时，函数无最大、最小值； 时，，当时，有最小值，最小值为负；当时，有最大值，最大值为正；此选项正确． 正确的是①②④． 故选：B 【作业6】（26-27九年级上·福建福州·开学考试）在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若已知，，，存在，则的取值范围是_______． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式、根据二次函数的对称性求函数值、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】先将二次函数配方得到对称轴和开口方向，根据开口向下时函数值大小对应点到对称轴的距离大小，列出不等式，结合的范围求解． 【详解】解：对二次函数配方得： ， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵，，， ∴， ∵存在，开口向下时，点离对称轴越远，函数值越小， ∴点到对称轴的距离点到对称轴的距离点到对称轴的距离， 即， 对：两边平方整理得：， ∵，， ∴， 对：两边平方整理得：， ∵，， ∴， 由，，得： ， 要存在，需满足，解得； 由，，得： ， 要存在，需满足，解得， 综上，的取值范围是． 【作业7】（25-26九年级上·四川内江·期中）直线与轴、轴交于．，与双曲线（是常数）交于点，四边形为矩形，在的图像上，且轴于，则______． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法等知识，利用参数表示点、坐标是本题的关键． 由三角形相似，可得，设，则，可得点，，进而求得，，由反比例函数的性质可得，可求的值，即可求解． 【详解】解：如图过点作轴 直线与轴交于点，与轴交于点， 点，点 ，， 四边形为矩形， ， ，， ， 轴 ， ， ， 设，则， ， ， 轴 ， ，即， ， 点， 点，点都在反比例函数 上， ， ， ， 故选：C． 【作业8】（24-25九年级下·浙江衢州·自主招生）如图，，是抛物线上两点，点为的中点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，．设，两点的横坐标分别为，．则的值为___________． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握中点坐标公式和完全平方公式是解题的关键．先根据中点坐标公式求出点的横坐标，进而得到点和的纵坐标，再根据列出方程，最后利用完全平方公式求出的值． 【详解】解：∵，，点是的中点， ∴点的横坐标为，纵坐标为． ∵过作轴的垂线交抛物线于， ∴的横坐标为，纵坐标为． ∵， ∴． ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【作业9】（25-26九年级下·山东济宁·期末）如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、、，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③、…”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，…，则_________ 【答案】 【知识点】图形类规律探索、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于，得出，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接、、……，记三角形①的直角顶点为，记三角形②的直角顶点为，记三角形③的直角顶点为，记三角形④的直角顶点为，……， 由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于， 又∵点，，……，，它们的横坐标依次增加，且点横坐标为， ∴， ， ， ， …… ∴，,……， ∴ . 【作业10】（21-22九年级下·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线：，若为抛物线上三点，且．则m的取值范围是___________． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】直接根据给定的函数值大小关系列不等式求解即可． 【详解】解：为抛物线上三点， ∴， ， ， 又∵， ∴， 解得： ． 【作业11】（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，直线与反比例函数交于两点，且为中点，过的直线交反比例函数图象的另一点，连接交轴于点，连接，若，则的值为_____．    【答案】 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，设，则，，求出直线解析式为，则，求出直线解析式为，则，由此得到，再由，，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：设， ∵为中点， ∴点C的坐标为， 由反比例函数的对称性可得点E的坐标为， 设直线解析式为， ∴， ∴ ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴， 同理可得直线解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【作业12】（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接、、、，延长交轴于点． (1)若，求点的坐标和线段的长度； (2)若对任意，、两点总关于轴对称，求点的坐标（用含的式子表示）； (3)当点运动到某一位置时，恰好使得点是线段的中点． ①求证：； ②该抛物线上存在一点，若此时恰好满足，且对于动点总有实数满足恒成立，求实数n的取值范围． 【答案】(1)，的长度为4 (2)点的坐标为 (3)①证明：由题可知点． ∵点是线段的中点， ，即点在线段的垂直平分线上． ∵， ∴点的横坐标为3，即，代入抛物线， 得，即点的坐标为． ∵点是线段的中点， 设点， ∴，即， ∴点的坐标为，即． 由(2)知点的坐标为，即， ； ②或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与y轴的交点坐标、求x轴与抛物线的截线长、图象法解一元二次不等式、用勾股定理解三角形、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）当时，得，当时，得，可得点，进而可得的长，当时，可得的坐标； （2）首先，得到，再当时，，且，可得，然后，由、两点总关于x轴对称，得，进而可得直线的解析式为，接着，由点为直线与抛物线的交点，联立成方程组，解方程组即可得到点D的坐标； （3）①由题可知点，由点是线段的中点，得点在线段的垂直平分线上，再由，可得点的横坐标为3，代入抛物线的解析式得，进而得点的坐标为，由点是线段的中点，设点，可得点的坐标为，即，进而可证得结论； ②由①可知点的坐标为，可得，再由，，，可得，进而得，解得，接着，可得抛物线的解析式为，然后，由动点在抛物线上，可得，令，得其对称轴为直线，可得当时，随的增大而增大，当时，得的最小值为，进而得，即，令，结合图象即可得出n的取值范围． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 解得， ∵抛物线与轴交于两点（点在点左侧）， ∴． ∴的长度为． 当时，， ∴； （2）解：由题可知当时，， ∴， 当时，，且， 整理，得， 解得， ∴，即， ∵对任意，、两点总关于x轴对称， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，可得 ，解得， ∴直线的解析式为， ∵点为直线与抛物线的交点， ∴解方程组，得或(点舍去）， ∴点的坐标为； （3）①略； ②解:由①可知点的坐标为． ∴， ，，， ． ∴， ，即． ∴抛物线的解析式为． ∵动点在抛物线上， ． 令， ∴其对称轴为直线． 则当时，随的增大而增大． ∴当时，有最小值，的最小值为． ，即． 令， 当时，，解得， 结合的图象可得，当时，即的取值范围为或． 【作业13】（22-23九年级下·山东滨州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）与轴交于、两点，与轴交于点，点是抛物线上一个动点． (1)求该抛物线的解析式： (2)若，请求出点的坐标； (3)连接，直线上有一动点，点为坐标平面上一个动点，若以、、、四点为顶点的四边形为正方形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)该抛物线的解析式为 (2)点的坐标为 或 (3)点的坐标为或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，正方形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）设点的纵坐标为，由可得，求出，即可求解； （3）分两种情况讨论：当为正方形的对角线时，当为正方形的边时，即可求解． 【详解】（1）解：将、分别代入， 得：， 解得：， 该抛物线的解析式为：； （2） ，， ， 在抛物线中，令，则， ， 设点的纵坐标为， ， ， 即， 解得：， 当时，，解得：或， 点的坐标为 或， 当时，，方程无实数根， 综上所述，点的坐标为 或； （3） ，， ， 是等腰直角三角形， ， 若以、、、四点为顶点的四边形为正方形时，则为等腰直角三角形， 当为正方形的对角线时，即为等腰直角三角形的斜边时，如图，此时点与重合， ； 当为正方形的边时，， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 易得直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ； 综上所述，点的坐标为或． 【作业14】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图1，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线与轴分别交于两点，与轴交于点，顶点的坐标是．经过点的直线交轴于点，，与抛物线交于另外一点，连接，点是直线上的一个动点，连接． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)求的和的最小值； (3)如图2，作的平分线交抛物线于点，连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为 (2) (3) 解：是直角三角形，理由如下： 如图，设与轴交于点，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵是的平分线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， 又∵，， ∴， ， ， ∴， ∴是直角三角形． 【知识点】一次函数与几何综合、判断三边能否构成直角三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可得；再求出点的坐标，利用待定系数法即可得直线的解析式； （2）作点关于直线的对称点，交直线于点，连接，则，根据两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为，再求出点的坐标，利用两点之间的距离公式求解即可得； （3）设与轴交于点，过点作于点，先求出点的坐标，利用待定系数法可得直线的解析式，从而可得点的坐标，然后利用勾股定理的逆定理求解即可得． 【详解】（1）解：由题意，设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为； 将代入得：，解得或， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为． （2）解：联立，解得或， ∴， ∵，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 如图，作点关于直线的对称点，交直线于点，连接， ∴， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴，即， 设点的坐标为， ∴，解得， ∴， ∵顶点的坐标是， ∴， 由轴对称的性质可知，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， ∴的和的最小值为． （3）略 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的几何应用、轴对称的性质、勾股定理与勾股定理的逆定理、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握二次函数与一次函数的应用是解题关键． 【作业15】（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，抛物线交轴于点、（点在点的左侧），交轴于点，且，点； (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，动点在第三象限的抛物线上，连接交轴于点，设点的横坐标为，的面积为，求与间的函数关系式（不要求写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下，点在线段上，连接，，点在轴负半轴上点的左侧，连接，延长交于点，连接交轴于点，若，求点Р的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）设，，，根据勾股定理求得，进而得出，，则，待定系数法求解析式，即可求解； （2）如图作轴于Q ，证明，得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）作延长线于，于，证明，得出，根据角平分线的性质可得，设，根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理，即可得出，，进而得出，作于K，得出，根据正切的意义得出，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵且 ∴， 设，， ∴   ∴ ∵   ∴ ∴   ∴ ∴   ∴代入抛物线 ∴   ∴ ∴ （2）如图作轴于Q   ∴ ∴ ∴ ∴ ∵   ∴ ∴   ∴ ∴   ∴ （3）如图作延长线于，于 ∴ ∵ ∴且 ∴ ∵，   ∴ ∴   ∴   ∴， 设 ∵   ∴ ∵   ∴ ∴ ∴   ∴ ∴   ∴ ∴，    ∴且 ∴   ∴ ∴ ∵，   ∴ 作于K   ∴， ∴   ∴   ∴ ∴且   ∴   ∴ ∴   ∴ ∴   ∴ ∴（舍），   ∴ 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章·二次函数与反比例函数·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年沪科版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 能根据二次函数图象判断 a、b、c 及判别式的符号，熟练运用对称轴与对称性比较函数值的大小 · 掌握二次函数顶点式 y=a（x-h）2+k 的图象与性质，会求给定区间上的最大值与最小值 · 会用待定系数法求二次函数与反比例函数的解析式，理解比例系数 k 的几何意义 · 能解决反比例函数与菱形、矩形、正方形、平行四边形等几何图形的综合计算问题 · 掌握二次函数面积、特殊三角形、特殊四边形、线段周长等压轴综合题的解题策略 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数的图象与性质 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，a 决定开口方向与大小：a>0 开口向上，a<0 开口向下 对称轴为直线 x=-，顶点坐标为（-，） a、b 同号时对称轴在 y 轴左侧，a、b 异号时对称轴在 y 轴右侧；c 是抛物线与 y 轴交点的纵坐标 判别式 Δ=b2-4ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数：Δ>0 两个交点，Δ=0 一个交点，Δ<0 无交点 概念辨析例题：已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向下，对称轴在 y 轴右侧，与 y 轴交于正半轴，判断 a、b、c 的符号。 答案：a<0，b>0，c>0。 解析：开口向下得 a<0；对称轴 x=->0 且 a<0，故 b>0；与 y 轴交于正半轴得 c>0。 ☆ 2.二次函数的最值与增减性 顶点式 y=a（x-h）2+k 的顶点为（h，k），a>0 时 x=h 取最小值 k，a<0 时 x=h 取最大值 k a>0 时对称轴左侧 y 随 x 增大而减小、右侧 y 随 x 增大而增大，a<0 时正好相反 比较函数值大小时，先看点到对称轴的距离，开口向上时离轴越远函数值越大 给定区间上的最值要结合开口方向与对称轴和区间的位置关系，注意顶点是否在区间内 概念辨析例题：二次函数 y=-（x-1）2+2，当 0≤x≤3 时，求 y 的最大值与最小值。 答案：最大值为 2（x=1 时），最小值为 -2（x=3 时）。 解析：a=-1<0 开口向下，顶点（1，2）在区间内，故最大值为 k=2；x=0 时 y=1，x=3 时 y=-2，比较得最小值 -2。 ☆ 3.反比例函数的图象与性质 反比例函数 y=（k≠0）的图象是双曲线，k>0 时在第一、三象限，k<0 时在第二、四象限 双曲线上任意一点到两坐标轴的垂线与坐标轴围成的矩形面积等于 |k| 图象上任意一点向坐标轴作垂线，与原点构成的直角三角形面积等于 反比例函数图象关于原点成中心对称，两支无限接近坐标轴但不与坐标轴相交 概念辨析例题：反比例函数 y= 的图象经过点（2，3），求 k 的值及图象上一点 P 与原点、垂足围成的直角三角形面积。 答案：k=6，直角三角形面积为 3。 解析：把（2，3）代入 y= 得 k=2×3=6；双曲线上点与坐标轴围成的直角三角形面积恒为 =3。 ☆ 4.二次函数与反比例函数的综合应用 实际问题中先建立函数模型，再利用顶点式求最大利润、最大面积、最省成本等最优解 二次函数与几何图形综合时，常设动点坐标，用坐标表示线段长与面积，转化为函数最值问题 面积问题常用割补法或铅垂高法 S=·铅垂高·水平宽 表示 特殊三角形、特殊四边形问题常结合等腰、相似、平行四边形的性质列方程求解 概念辨析例题：用一段长为 20 m 的篱笆围一面靠墙的矩形花圃，垂直于墙的一边长为 x m，求花圃面积 S 的最大值。 答案：S=-2（x-5）2+50，当 x=5 时 S 最大为 50 m2。 解析：平行于墙的边长为 20-2x，面积 S=x（20-2x）=-2x2+20x=-2（x-5）2+50，开口向下，顶点处取最大值 50。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0） a 不能为 0，否则退化为一次函数 顶点坐标 （-，） 可用配方法或顶点式 y=a（x-h）2+k 对称轴 直线 x=- 也可用两对称点横坐标的平均值求 判别式 Δ=b2-4ac 决定抛物线与 x 轴交点的个数 反比例函数 y=（k≠0） 图象为双曲线，矩形面积恒为 |k| 最值 顶点处取最大（小）值 k 区间最值须看顶点是否落在区间内 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的图象与a、b、c符号（第1-10题） · 先看开口定 a 的符号，再由对称轴位置定 b 的符号，与 y 轴交点定 c 的符号 · 利用 x=±1 时 y=±a±b+c 的符号，结合图象上对应点的位置判断 · 由抛物线与 x 轴交点个数判断 Δ 的符号，再检验 2a±b 与对称轴 - 的关系 1．（2026·山东东营·中考真题）在二次函数（a，b，c为常数，）中，与的部分对应值如表所示． 4 0 给出下列结论：①；②；③若，且，则；④若点均在二次函数图象上，则．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 2．（25-26八年级下·山东济南·期末）已知二次函数的图象如下，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）如图是二次函数的图象，直线与抛物线交于，两点，，两点横坐标分别为，，根据函数图象信息有下列结论：①；②；③；④若对于的任意值都有，则；⑤当为定值时，若变大，则线段变长．其中正确的结论是（     ） A．①②④ B．①② C．①④ D．②④ 4．（22-23九年级下·湖北黄冈·自主招生）抛物线（，，为常数）开口向下且过点，．以下结论：①；②；③若方程有两个不相等的实数根，则； ④抛物线与轴交于，两点，则，其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，二次函数的图象经过点，对称轴是直线，下列结论：， ，，中，其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象判断以下结论：①；②；③，其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②；③方程一定有一个根在2和3之间；④若为任意实数，则；⑤．其中正确结论的个数为（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 8．（2026·山东青岛·模拟预测）如图，是坐标原点，已知二次函数（）的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，，且．以下结论：①；②；③；④若点在该函数图象上，则点也在该函数图象上；以上结论正确的个数是（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知二次函数（为常数，且）．下列五个结论：①该函数图象经过点：②若，则当时，随的增大而减小；③该函数图象与轴有两个不同的公共点；④若，则关于的方程有一个根大于0且小于1；⑤若，则关于的方程的正数根只有一个．其中正确的是（   ） A．①④ B．②③⑤ C．①②③④ D．②④⑤ 10．（25-26九年级上·浙江湖州·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点2】二次函数的最值、对称性与增减性（第11-20题） · 比较函数值先找对称轴，再看点到对称轴的远近，结合开口方向判断 · 给定区间最值先判断顶点是否在区间内，再比较两个端点的函数值 · 含参数的取值范围问题，把对称轴或顶点坐标表示出来，结合图象列不等式 11．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）坐标平面上，若移动二次函数 的图像，使其与 轴交于两点，且此两点的距离为个单位，则移动方式可为（    ） A．向上平移 个单位 B．向右平移个单位 C．向下平移 个单位 D．向下平移 个单位 12．（22-23九年级上·浙江舟山·开学考试）已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为（     ） A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或6 13．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）如图，二次函数与x轴交于点、，与y轴交于点．则下列结论：①；②；③；④方程没有实数根；⑤若点和在该图象上，则；⑥若t为任意实数，则有．其中正确的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 14．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）已知二次函数的图像如图所示，它与x轴的两个交点的坐标分别为，．对于下列结论：①；②当时，；③当时，；④对任意实数m，不等式恒成立；⑤．其中正确的结论有________个． 15．（2025·广东揭阳·一模）记表示实数m和n中的较大值，即若，则，如，．在平面直角坐标系中，，，则下列结论正确的是（将正确结论的序号填在横线上）________． ①直线和直线过点B且这两条直线垂直，则函数的最小值为2； ②若直线与反比例函数的图象交于点A，B，则函数的最小值为； ③若直线与二次函数的图象交于点A，B，则函数有最小值，无最大值． 16．（26-27九年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线长的最小值为________． 17．（26-27九年级上·北京·阶段检测）已知二次函数的图象过点和．若此抛物线的顶点不在第一象限，设，则的取值范围是_____． 18．（2023九年级上·浙江宁波·竞赛）设，为实数，函数满足：对任意，都有，则的最大值为_____． 19．（2026·山东烟台·二模）当时，最大值与最小值的差为，则的值________． 20．（2026·山东泰安·二模）平面直角坐标系中，抛物线（a为实数）． (1)当时，求此抛物线的顶点坐标； (2)已知点，是抛物线上两点，若对于，，都有，求a的取值范围； (3)在该平面直角坐标系中有一直线，当时，总有，求m的最大值． 【考点3】反比例函数的图象与几何综合（第21-27题） · 见到反比例函数上的点，优先向坐标轴作垂线，用 |k| 转化矩形与三角形面积 · 几何综合题设点坐标为（x，），用坐标表示线段长，结合相似或全等求解 · k 的符号由图象所在象限决定，面积为正值时恒取 |k| 21．（22-23九年级上·广西贵港·期末）如图，在平面直角坐标系中有菱形，点A的坐标为，对角线、相交于点，，双曲线经过的中点，交于点，下列四个结论：①；②；③点的坐标是；④连接、，则，则正确的结论有（    ）． A．个 B．个 C．个 D．个 22．（23-24九年级下·福建福州·开学考试）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（    ）    A． B． C． D． 23．（2026·河北邯郸·三模）如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，且，则________． 24．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，平面直角坐标系中，的对角线、相交于，已知，，若函数图象经过点、图象经过点，则___________． 25．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知三点，其中，双曲线分别与线段交于点． （1）当时，则点的坐标为__________． （2）若，则的值为__________． 26．（24-25九年级上·江西上饶·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，轴于点，点在轴上，若的面积为6，则的值为________． 27．（23-24八年级下·江苏常州·期中）【阅读理解】对于任意正实数、．∵，∴，∴，（只有当时，）． 【获得结论】在（、均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值． 【探索应用】根据上述内容，回答下列问题： (1)若，只有当________时，有最小值_______； (2)已知点是双曲线上点，过作轴于点，作轴于点．点为双曲线上任意一点，连接，，求四边形的面积的最小值． 【考点4】二次函数的实际应用（第28-30题） · 先根据题意列出二次函数关系式，并注明自变量的取值范围 · 利润、面积、最值问题化为顶点式，在取值范围内求顶点处的最值 · 检验结果的实际意义，舍去不符合实际情境的解 28．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金增加50元时，未租出的车将会增加1辆．租出的车每月需维护费150元，未租出的车每月需维护费50元． (1)当每辆车的月租金为3600元时，能租出 辆车．（直接填写答案） (2)设每辆车的月租金为x（）元，用含x的代数式填空． 未租出的车辆数 租出的车辆数 所有未租出的车每月的维护费 租出的车每辆的月收益 (3)每辆车的月租金定为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少元？ 29．（2024·河北保定·一模）某厂一种农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图11所示）；该产品的总销售额z（万元）＝预售总额（万元）＋波动总额（万元），预售总额＝每件产品的预售额（元）×年销售量x（万件），波动总额与年销售量x的平方成正比，部分数据如下表所示．生产出的该产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获年毛利润为w万元（年毛利润＝总销售额－生产费用） 年销售量x（万件） … 20 40 … 总销售额z（万元） … 560 1040 … (1)求y与x以及z与x之间的函数解析式； (2)若要使该产品的年毛利润不低于1000万元，求该产品年销售量的变化范围； (3)受市场经济的影响，需下调每件产品的预售额（生产费用与波动总额均不变），在此基础上，若要使2025年的最高毛利润为720万元，直接写出每件产品的预售额下调多少元． 30．（25-26八年级下·福建莆田·期末）“投壶”是古人宴会时的一种娱乐游戏，参与者需站在一定距离外，将箭矢投入壶中，以投入的数量和方式计算得分．嘉嘉体验了投壶游戏后作出示意图如图1，以投壶者所站位置为原点，地面为轴，为1个单位长度建立平面直角坐标系，投掷过程中箭矢前端点的运动路径可看作抛物线的一部分，点从点处出手，矩形为壶，，，． (1)如图1，，若点为抛物线的顶点，，且抛物线经过点 ． ①求抛物线的解析式； ②竖直提高点的出手位置（点），使点落在上（不含边界），求的取值范围． (2)如图2，调整出手的力度和角度，使抛物线在点 处到达最高点．若点经过点正上方处，求出点在点正上方的距离（用含的式子表示）． 【考点5】二次函数综合压轴（第31-45题） · 先用待定系数法求出抛物线与直线的解析式，再设出动点的坐标 · 面积问题用铅垂高法 S=·铅垂高·水平宽 表示为关于横坐标的函数 · 特殊三角形、特殊四边形问题按边相等、平行、垂直等条件分类讨论列方程 · 线段周长最值用轴对称化折为直，结合勾股定理与两点距离公式求解 31．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形．若，则四边形的面积最小值是________． 32．（26-27九年级上·福建龙岩·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为________． 33．（2025·陕西汉中·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，有一抛物线交轴于两点，以为边作等腰直角三角形，取边的中点．若有以点为中心旋转，交轴于两点，交边于两点，且，连接抛物线顶点与点，当时，______． 34．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，，则_________． 35．（2022·内蒙古赤峰·三模）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，抛物线经过A、B两点，其中点A、C的坐标分别为，，抛物线的顶点为点D． (1)求点D的坐标； (2)点E是直角三角形斜边上（除与抛物线对称轴交点外）的一个动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当面积为15时，求点F的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 36．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图1，抛物线经过原点与点，点在此抛物线上，过点作直线交轴于点，且直线与抛物线有且只有一个公共点． (1)请直接写出：此抛物线的函数解析式为______________； (2)如图1，设抛物线的对称轴交轴于点，交直线于点，若点在点右侧的抛物线上，且，求点的横坐标； (3)如图2，直线（不与轴平行）与抛物线有且只有一个公共点，作直线，交抛物线于、两点，且与轴交点坐标为，为抛物线的顶点，连交于点，取的中点，连接，若，求点的坐标． 37．（23-24九年级上·四川德阳·期中）如图1，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点坐标为． (1)求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式； (2)若点D是该二次函数图象上的一点，且满足（O是坐标原点），求点D的坐标； (3)如图2，P是线段上的一个动点（与B、C不重合），过点P作直线轴，交于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 38．（2024·湖北孝感·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 、是常数经过点，点．点在抛物线上，其横坐标为． (1)求此抛物线解析式； (2)当点在轴上方时，结合图象，直接写出的取值范围； (3)若此抛物线在点右侧部分包括点的最高点的纵坐标为． ①求 的值 ②以为边作等腰直角三角形，当点在此抛物线的对称轴上时，直接写出点的坐标． 39．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为A，且与y轴相交于C点．    (1)求m的值及C点坐标． (2)为抛物线上一点，它关于直线的对称点为Q，当四边形为菱形时，求点P的坐标． (3)连接，在直线上方的抛物线上是否存在一点M，使得四边形的面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由． 40．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，连接交抛物线的对称轴于点． (1)求点、点的坐标； (2)点为线段上一动点，过点作 交抛物线于点，设点的横坐标为，当为何值时，四边形为平行四边形？ 41．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 42．（2026·四川泸州·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）． (1)如图1，当抛物线经过点时，求抛物线的解析式； (2)如图2，若点为（1）中抛物线上一动点，且点的横坐标为，过点作轴交直线于点．当是等腰三角形时，求点的坐标； (3)若抛物线上存在两点和，对于，，都有请直接写出的取值范围． 43．（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，点，与轴交于点，直线与抛物线相交于、两点，且与轴相交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段的一个动点，过点作轴的平行线与抛物线相交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线向左平移1个单位，得到新抛物线与原抛物线交于点，在新抛物线对称轴找一点，在新抛物线找一点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出的坐标 ． 44．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，已知，于，点、分别从、两点同时出发，其中点沿向终点运动，速度为；点沿、向终点运动，速度为，设它们运动的时间为． (1)求为何值时，； (2)设的面积为，当时，求与的函数关系式； (3)当时，求证：点O始终为线段的中点； (4)探索在整个运动过程中，以为直径的圆与的位置关系，请直接写出相应位置关系的x的取值范围． 45．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，O是原点．抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．点P是抛物线上的一个动点，其横坐标是m． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，求点P的坐标； (3)设此抛物线在点A与点P之间的部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h，当，且时，求m的值； (4)取的中点M，连接，以为对角线作正方形，当，且正方形的顶点N或Q落在x轴上时，请直接写出m的值． 💯 课后巩固 复习建议 · 整理二次函数 a、b、c、Δ 符号判断的图象口诀，每天默写一遍 · 把本讲 45 道考点题按考点分组重做一遍，错题标注错因 · 反比例函数面积模型（|k|、）在草稿纸上画 3 遍并默写结论 · 压轴题先写第（1）问求解析式，再专练第（2）（3）问的面积与存在性讨论 · 限时 40 分钟完成课后 15 道作业，对照答案用红笔订正 【作业1】（25-26九年级上·安徽宣城·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，是等腰直角三角形，其直角顶点在轴正半轴上，点、点在函数的图象上，延长交轴于点.若点的横坐标为8，则的值为（   ） A．20 B．22 C．16 D．24 【作业2】（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤（为任意实数），其中正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【作业3】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知点、分别在抛物线（为常数）和上，当时，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【作业4】（2026·江苏宿迁·二模）如图，已知直线与函数的图象交于第一象限内点A，与轴负半轴交于点B，过点A作轴于点C，点D为中点，线段交轴于点E，连接．若的面积为6，则的值为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【作业5】（23-24九年级上·江西赣州·期末）数学课上，夏老师给出关于x的函数（k为实数）．学生们独立思考后，把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上，夏老师作为活动一员，又补充了一些结论，并从中选择了以下四条： ①存在函数，其图象经过点； ②存在函数，该函数的函数值y始终随x的增大而减小； ③函数图象有可能经过两个象限； ④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数． 上述结论中正确的为（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【作业6】（26-27九年级上·福建福州·开学考试）在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若已知，，，存在，则的取值范围是_______． 【作业7】（25-26九年级上·四川内江·期中）直线与轴、轴交于．，与双曲线（是常数）交于点，四边形为矩形，在的图像上，且轴于，则______． 【作业8】（24-25九年级下·浙江衢州·自主招生）如图，，是抛物线上两点，点为的中点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，．设，两点的横坐标分别为，．则的值为___________． 【作业9】（25-26九年级下·山东济宁·期末）如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、、，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③、…”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，…，则_________ 【作业10】（21-22九年级下·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线：，若为抛物线上三点，且．则m的取值范围是___________． 【作业11】（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，直线与反比例函数交于两点，且为中点，过的直线交反比例函数图象的另一点，连接交轴于点，连接，若，则的值为_____．    【作业12】（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接、、、，延长交轴于点． (1)若，求点的坐标和线段的长度； (2)若对任意，、两点总关于轴对称，求点的坐标（用含的式子表示）； (3)当点运动到某一位置时，恰好使得点是线段的中点． ①求证：； ②该抛物线上存在一点，若此时恰好满足，且对于动点总有实数满足恒成立，求实数n的取值范围． 【作业13】（22-23九年级下·山东滨州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）与轴交于、两点，与轴交于点，点是抛物线上一个动点． (1)求该抛物线的解析式： (2)若，请求出点的坐标； (3)连接，直线上有一动点，点为坐标平面上一个动点，若以、、、四点为顶点的四边形为正方形时，请直接写出点的坐标． 【作业14】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图1，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线与轴分别交于两点，与轴交于点，顶点的坐标是．经过点的直线交轴于点，，与抛物线交于另外一点，连接，点是直线上的一个动点，连接． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)求的和的最小值； (3)如图2，作的平分线交抛物线于点，连接，试判断的形状，并说明理由． 【作业15】（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，抛物线交轴于点、（点在点的左侧），交轴于点，且，点； (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，动点在第三象限的抛物线上，连接交轴于点，设点的横坐标为，的面积为，求与间的函数关系式（不要求写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下，点在线段上，连接，，点在轴负半轴上点的左侧，连接，延长交于点，连接交轴于点，若，求点Р的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $