第13讲·图形的初步知识【1】·培优讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版七年级数学上册

第13讲·图形的初步知识【1】·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年浙教版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 认识常见的几何体与平面图形，理解点、线、面、体之间的关系 · 理解直线、射线、线段的联系与区别，掌握两点确定一条直线 · 会比较线段的长短，理解两点之间线段最短与两点间的距离 · 掌握线段的和与差，会进行线段中点的有关计算 · 会用尺规作图作一条线段等于已知线段，会画直线、射线、线段 · 能列代数式、解方程解决线段中的数量关系问题 📚 知识梳理 ☆ 1.几何图形与立体图形 点动成线、线动成面、面动成体，点是构成图形的基本元素 立体图形（几何体）：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等；平面图形：三角形、四边形、圆等 从不同方向看几何体，能识别几何体的主视图、俯视图、左视图 正方体的展开图有 11 种，相对的面不相邻 平面图形绕轴旋转一周可得到立体图形（如长方形绕边旋转得圆柱） 概念辨析例题：下列几何体中，属于棱柱的是（　　） 答案：长方体、三棱柱等（上下底面平行且全等的多面体） 解析：棱柱有两个平行且全等的多边形底面，侧面为平行四边形（矩形）。圆柱、圆锥、球不是棱柱。关键看底面形状与侧棱平行。 ☆ 2.直线、射线与线段 直线没有端点，可向两方无限延伸，用两个大写字母或一个小写字母表示 射线有一个端点，向一方无限延伸；线段有两个端点，不能延伸 直线、射线、线段的联系：线段和射线都是直线的一部分 两点确定一条直线（经过两点有且只有一条直线） 直线上 n 个点可确定 n(n-1)/2 条线段，n(n-1) 条射线 概念辨析例题：经过两点 A、B 可以画出（　　）条直线 答案：1 解析：两点确定一条直线，经过两点有且只有一条直线。这是直线的基本性质，也是「两点确定一条直线」的含义。 ☆ 3.两点间的距离与线段长短比较 两点之间线段最短（连接两点的所有线中，线段最短） 两点间的距离：连接两点的线段的长度 比较线段长短：度量法（量长度）与叠合法（重合比较） 数轴上两点 A(a)、B(b) 的距离 = |a-b| 「两点之间线段最短」用于解释最短路径、修路选线等实际问题 概念辨析例题：把弯曲的河道改直，能缩短航程，这样做的道理是（　　） 答案：两点之间线段最短 解析：弯曲河道改直后，连接两点的是线段，比原来的折线短，依据「两点之间线段最短」。这是该性质在生活中的典型应用。 ☆ 4.线段的和、差与中点 线段的和：若点 C 在线段 AB 上，则 AC+CB=AB；线段差：AB-AC=CB 线段中点：把一条线段分成相等的两条线段的点 中点性质：若 C 是 AB 中点，则 AC=CB=AB/2，AB=2AC=2CB n 等分点：把线段 n 等分的点，每段为全长的 1/n 中点计算常列方程：设未知数表示各段，由和差关系列方程求解 概念辨析例题：点 C 是线段 AB 的中点，AB=10 cm，则 AC=（　　）cm 答案：5 解析：中点 C 把 AB 分成相等的两段，AC = AB ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5 cm。中点计算的核心是「中点分得两段相等，各为全长的一半」。 ☆ 5.尺规作图与代数解线段 尺规作图：只用无刻度的直尺和圆规作图 作一条线段等于已知线段：用圆规截取已知长度再画 画线段的和与差：在一条直线上顺次截取或反向截取 列代数式表示线段：设基本长度为 x，用含 x 的式子表示各段 线段的数量关系题：设元 → 列方程 → 解方程 → 代回验证 概念辨析例题：已知线段 a，用圆规和直尺作一条线段 AB，使 AB=2a 答案：作射线，在射线上顺次截取两段各等于 a，得到 AB=2a 解析：作一条射线，用圆规以 a 为半径在射线上顺次截取两次，两次截取点间的线段长即为 2a。尺规作图的核心是「圆规截取等长」。 📋 知识总结表 名称 端点个数 延伸性 表示方法 直线 0 个 两方无限延伸 直线 AB 或直线 l 射线 1 个 一方无限延伸 射线 AB（A 为端点） 线段 2 个 不能延伸 线段 AB 或线段 a 两点确定直线 经过两点 有且只有一条 基本事实 两点间距离 连接两点的线段 线段最短 长度可度量 线段中点 分线段成相等两段 AC=CB=AB/2 中点唯一 ⚠️ 核心考点 【考点1】几何图形与立体图形（第1-13题） · 点动成线、线动成面、面动成体 · 识别常见几何体：棱柱、圆柱、圆锥、球等 · 从不同方向看几何体，识别三视图 · 正方体展开图与相对面的判断 1． 【答案】B 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查了线、面的关系，根据题意，结合线动成面的数学原理：某一条线在运动过程中留下的运动轨迹会组成一个平面图形，这个平面图形就是一个面，即可得出答案．熟练掌握线动成面的数学原理是解本题的关键． 【详解】解：打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为线动成面， 故选：B． 2． 【答案】C 【知识点】点与线的位置关系 【分析】本题考查了点和线的关系，根据图形，即可求解． 【详解】解：根据图形可得点在直线上，或线段的延长线上，或射线上， 故选：C． 3． 【答案】B 【知识点】平面图形形状的识别、常见的几何体 【分析】本题主要考查了生活中的几何图形，解题的关键是熟练掌握立体图形和平面图形的定义． 【详解】解：三角形、正方形是平面图形，正方体和球是立体图形，因此平面图形有2个，故B正确． 故选：B． 4． 【答案】A 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题主要考查了平面图形的旋转，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平面图形旋转的定义及题干中的图形即可选出． 【详解】解：∵图中几何体上下两底面为水平面，侧面为圆弧面，绕着左侧的虚线为旋转轴得到的， ∴图中几何体是由平面图形构成的. 故选：A． 5． 【答案】A 【知识点】立体图形的分类 【分析】本题考查立体图形的定义，要注意立体图形与平面图形的区分是解题的关键． 根据立体图形的概念和平面图形的定义对各选项进行分析即可． 【详解】解：①②属于平面图形，③④⑤⑥属于立体图形． 故选A． 6． 【答案】D 【知识点】正方体相对两面上的字、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了正方体展开图的相对面，相反数，代数式求值，正方体的表面展开图，相对的面之间相隔一个正方形，根据这一特点确定9的相对面是，的相对面是，5的相对面是，再根据题意求出𝑎，𝑏，𝑐的值，然后求解即可，解题的关键在于能够熟练掌握正方体展开图． 【详解】解：由图可得9的相对面是，的相对面是，5的相对面是， ∵数字“9”与其相对面上的数互为相反数，数字“”与其相对面上的数互为倒数，数字“5”与其相对面上的数的和为， ∴，，， 解得，，， ∴， 故选：D． 7． 【答案】B 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系、几何体中的点、棱、面、几何体展开图的认识 【分析】本题考查了棱柱、点动成线、圆锥等知识．对知识的熟练掌握是解题的关键．根据棱柱、点动成线、圆锥等知识分别进行判断即可． 【详解】解：A、五棱柱有10个顶点，A正确，故不符合要求； B、棱柱侧面的形状是平行四边形，不可能是一个三角形，B错误，故符合要求； C、“天空划过一道流星”能说明“点动成线”， C正确，故不符合要求； D、圆锥由两个面围成，这两个面中，一个面是平的，一个面是曲的，D正确，故不符合要求； 故选：B． 8． 【答案】①④⑤⑥ 【知识点】平面图形形状的识别、常见的几何体 【分析】本题考查了学生对平面图形与立体图形的理解与辨识能力．在数学几何学中，平面图形指的是所有点都位于同一平面上的图形，而立体图形则是在三维空间中占据体积的图形．因此，解题的关键在于准确区分这两种图形． 【详解】解：线段，三角形，角，圆是平面图形，球和正方体是立体图形， 故答案为：①④⑤⑥． 9． 【答案】八 【知识点】几何体中的点、棱、面、常见的几何体 【分析】本题考查认识立体图形，掌握棱柱的形体特征是正确判断的前提． 根据顶点个数可知该棱柱的名称． 【详解】解：一个棱柱有16个顶点，则这个棱柱是八棱柱． 故答案为：八． 10． 【答案】 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查立体几何的知识，解题的关键是掌握八棱柱的立体图形，根据图形，进行解答，即可． 【详解】解：八棱柱，上下两面各有8个角，侧面有8个矩形，每个矩形4个角，一共是个角；八棱柱是一个有个侧面的棱柱，每个侧面都是矩形，有两个底面，每个底面都是都是一个八边形，每个底面有个顶点；每个底面有条棱，每个底面的顶点都于另一个底面对应的顶点相连； ∴八棱柱有个角；有条棱；有个面；有个顶点； 故答案为：；；；． 11． 【答案】 14 24 36 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题结合截面考查多面体的相关知识．要注意截去顶点后，新几何体中，面，顶点和棱的变化．每截去一个顶点就会多出1个面，2个顶点和3条棱，故能得到答案． 【详解】解：每截去一个顶点就会多出1个面，2个顶点和3条棱，那么得到的新的几何体就应该有个面，个顶点，条棱． 故填14、24、36． 12． 【答案】 ② ④ 【知识点】点与线的位置关系 【分析】本题考查了线段的倍数关系，熟悉掌握线段的长短变换时解题的关键． 通过分析点的位置即可解答． 【详解】解：∵，即点坐落在到的处， ∴此点为②； ∵，则点坐落在到的倍长度处，即在与的中间， ∴此点为④； 故答案为：②④． 13． 【答案】①④⑤ 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查对常见几何体特征的理解，以及空间想象能力，解题关键在于依据正方体盒子的形状特点和水未装满的条件，结合长方体、正方体、圆柱体、三棱锥、三棱柱的几何特征，通过想象不同放置方式下水的形状来判断． 【详解】①当正方体盒子水平放置时，水在盒子里可以形成长方体； ②因为水没有装满盒子，所以无论怎样放置，都无法形成正方体； ③正方体盒子的形状决定了水无法形成圆柱体； ④将正方体盒子倾斜放置，让水刚好充满三棱锥的空间部分，可以形成三棱锥； ⑤把正方体盒子以一定角度放置，使水形成三棱柱的形状． 综上所述：可能是盒子里的水形成的几何体的有①长方体，④三棱锥，⑤三棱柱； 故答案为：①④⑤． 【考点2】直线、射线与线段（第14-23题） · 直线、射线、线段的联系与区别（端点、延伸性） · 两点确定一条直线 · 直线上 n 个点确定线段数 n(n-1)/2、射线数 n(n-1) · 作图：画直线、射线、线段 14． 【答案】C 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题考查了直线、射线、线段的定义，熟练掌握直线、射线、线段的定义是解题的关键． 根据直线、射线、线段的定义进行判断即可． 【详解】解：A．点P在直线上，正确，故选项A不符合题意； B．点P在线段上，正确，故选项B不符合题意； C．点N在线段的延长线上，故选项C错误，符合题意； D．点N在射线上，正确，故选项D不符合题意． 故选：C． 15． 【答案】D 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题主要考查了直线，射线及线段，解题的关键是找出所有的端点个数． 先找出重复的点，再求出所有的点的个数，即可求出线段的条数． 【详解】解：的最小公倍数为，重复的点的个数， 除端点外的点的个数为：， ∴连同线段的端点共个端点， ∴29个点可组成的线段的条数是， 故选：D． 16． 【答案】C 【知识点】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查了两点确定一条直线，根据两点确定一条直线进行判断即可． 【详解】解：在正常情况下，射击时要保证瞄准点在准星和缺口确定的直线上（如图所示），才能射中目标，这样做的数学依据是两点确定一条直线， 故选：C． 17． 【答案】C 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题考查直线、射线、线段，根据线段条数的计算方法进行计算即可． 【详解】解：高铁列车在运行途中，停靠的车站依次是临沂-曲阜-泰安-济南-淄博，要为这次列车制作的单程火车票的种类为（种）， 故选：C． 18． 【答案】两点确定一条直线 【知识点】两点确定一条直线 【分析】本题考查了两点确定一条直线的应用，理解两点确定一条直线是解题的关键． 【详解】解：由题意得 蕴含的数学知识是两点确定一条直线； 故答案为：两点确定一条直线． 19． 【答案】20 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题考查了线段数量的计算，理解图示，掌握线段数量计算与实际问题的运用是解题的关键． 根据题意，分别从端点开始找出线段即可求解． 【详解】解：以点开始，有4段，即， 以点开始，有3段，即， 以点开始，有2段，即， 以点开始，有1段，即， 同理，反向如此， ∴共有， 故答案为：20 ． 20． 【答案】(1)如图，直线，射线，线段即为所求； (2)如图，点E即为所求： (3) 如图，点P即为所求． 【知识点】画出直线、射线、线段、两点之间线段最短 【分析】本题考查作图—复杂作图，直线、射线、线段，两点间的距离，解决本题的关键是掌握基本作图方法． （1）根据基本作图方法即可画直线，画射线，连接； （2）延长线段到E，利用尺规使，可得； （3）连接线段交于点P，根据两点之间线段最短可得的值最小． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 21． 【答案】(1) 如图，线段，直线，射线即为所求； (2) 如图，点即为所求． 【知识点】画出直线、射线、线段 【分析】本题考查作图复杂作图，直线，射线，线段等知识，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义． （1）根据直线，射线，线段的定义画出图形； （2）在上截取线段，使得，点即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 22． 【答案】(1) 所作图形如图所示： (2)所作图形如图所示； (3)所作图形如图所示． 【知识点】画出直线、射线、线段 【分析】本题主要考查线段、射线、直线 （1）根据直线的定义可进行作图； （2）根据射线的定义可进行作图； （3）根据线段的定义可进行作图． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 23． 【答案】(1)作图如图所示： (2) 【知识点】作线段(尺规作图)、画出直线、射线、线段、线段的和与差 【分析】本题考查射线、线段的尺规作图以及线段的和差数量关系，关键是掌握尺规作等长线段的方法，明确线段之间的和差关系． （1）先根据射线、线段的定义画出射线和线段，再利用圆规截取与等长的线段，在射线的延长线上确定点，使得； （2）根据结合线段的和差关系推导出，结合已知求出的长度，进而得到的长，最后根据求出的长度． 【详解】（1）解：①用直尺画出射线； ②用直尺连接点、，得到线段； ③以为圆心，的长为半径画弧，交射线于点； ④以为圆心，的长为半径画弧，交射线的延长线于点，则点即为所求； （2）解：， ， ， ， ， 又， ； 故答案为：． 【考点3】两点间距离与线段长短比较（第24-31题） · 两点之间线段最短，用于最短路径问题 · 两点间距离是连接两点的线段的长度 · 数轴上两点距离 = |a-b| · 比较线段长短：度量法与叠合法 24． 【答案】D 【知识点】两点间的距离 【分析】本题主要考查了两点之间的距离．根据点三点位置不确定，即可得出结论． 【详解】解：根据题意，点三点位置不确定， 线段的长度是无法确定的， 故选：D． 25． 【答案】D 【知识点】两点之间线段最短、两点间的距离 【分析】此题考查两点之间的距离，两点之间线段最短，根据三点在一条直线上时得到最大值和最小值，再由两点之间线段最短可进一步得出答案选择即可． 【详解】三点在一条直线上时， 或； 三点不在一条直线上时，根据两点之间线段最短可知，在3和13之间， 综合以上可知只有答案D符合要求． 故选：D． 26． 【答案】9 【知识点】线段的和与差、两点间的距离 【分析】本题考查了线段的长度计算，由，可得，可得． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：9． 27． 【答案】/ 【知识点】数轴上两点之间的距离、线段的和与差 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，线段的和与差，数形结合思想；根据数轴上两点间的距离得到点A表示的数为，，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵，点所表示的数为， ∴点A表示的数为，， ∵点A位于原点左侧， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 28． 【答案】两点之间，线段最短 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质是解决本题的关键． 根据线段的性质即可求解． 【详解】解：依题意，小明家到学校有4条路，其中③走最近， 依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短 29． 【答案】①②③④ 【知识点】线段中点的有关计算、两点间的距离 【分析】本题考查了两点间的距离，能够利用中点的性质求解一些线段之间的关系是解题的关键． 根据线段中点的定义与线段的和差结合图形进行分析． 【详解】解：如图： ， ， ， ， ， 即，故①正确； ， ， ， 、分别是线段，的中点， ，故②正确； ，， ， 又， ，故③正确； ，， ， ，， ，故④正确， 故答案为：①②③④． 30． 【答案】(1) 解：如图所示，线段即为所作的线段； (2)解：如图所示，射线即为所作的射线； (3) 解：如图所示，点H即为所作的点． 【知识点】画出直线、射线、线段、两点之间线段最短 【分析】此题考查了线段、射线、直线的作法，解题的关键是熟悉线段、射线、直线的相关概念． （1）连接，并延长至G，使； （2）连接,延长，就是射线； （3）连接，交点就是H． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 31． 【答案】(1) ①如图所示，即为所求； ②如图所示，连接交于点P，点P即为所求， 理由为两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短； (2)7 【知识点】画出直线、射线、线段、两点之间线段最短 【分析】本题主要考查直线、射线、线段及线段的和差，正确进行计算是解题关键． （1）①根据题意作图即可；②根据两点之间线段最短，连接交于点P，点P即为所求， （2）根据两点确定一条线段求解即可． 【详解】（1）解：①略 ②略 （2）图中有线段，共有7条线段， 故答案为：7． 【考点4】线段的和、差与中点计算（第32-52题） · 线段和差：点在线段上则 AC+CB=AB · 中点：AC=CB=AB/2，AB=2AC=2CB · n 等分点：每段为全长的 1/n · 设未知数列方程解线段数量关系 32． 【答案】C 【知识点】线段中点的有关计算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了两点之间的距离，线段中点以及线段的和差的计算，一元一次方程，解题的关键是掌握以上知识点． 根据求出，进而求出的长，根据为线段的中点求出的长，再根据即可求出的值． 【详解】解：∵， ， ， ∵为线段的中点， ， ， ， 解得：， 故选：C． 33． 【答案】C 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】先求出，再根据中点的定义求出即可，此题考查了线段中点的相关计算、线段的和差，熟练掌握线段之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵D是的中点， ∴． 故选：C 34． 【答案】B 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】此题考查了线段中点的相关计算，弄清楚线段之间的关系是解题的关键． 根据中点的定义得到，，即可得到答案． 【详解】解：∵长为x，长为y，M为的中点，N为的中点， ∴，， ∵， 即 ∴的代数式的值不变； 故选：B． 35． 【答案】B 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查线段的中点，线段的和差． 由线段的中点可得，，进而根据线段的和得到，即可解答． 【详解】∵点D是的中点，点E是的中点， ∴，， ∴， 故选：B． 36． 【答案】A 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查的是线段的和差运算，线段中点的含义，方程的应用，由，，结合中点的含义可得，，，结合，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵，， ， 点是的中点， ， ∵是线段的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∴， ∴，，，， ∴当线段的长发生变化时，代数式的值不变． 故选：A． 37． 【答案】D 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题主要考查线段中点的性质及线段的和差关系，解题的关键是熟练掌握线段中点的性质及和差关系；由题意易得，则有，然后分当点E在点A右侧时和当点E在点A左侧时，进而求解即可 【详解】解：因为D为的中点，， 所以． 因为， 所以． 如图①，当点E在点A右侧时． 因为，所以， 所以； 如图②，当点E在点A左侧时 因为， 所以． 综上所述，的长为或； 故选D． 38． 【答案】B 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，根据线段的中点的定义，以及线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，； 即若，则； 故选B． 39． 【答案】C 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和差运算，解题的关键是数形结合；表示出图中阴影部分的周长，根据题意进行整理即可解答． 【详解】解：图中阴影部分的周长 ∵， ∴， ∴图中阴影部分的周长， ∵， ∴， ∴图中阴影部分的周长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴图中阴影部分的周长， 故选：C． 40． 【答案】2 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和与差，线段中点的性质．根据题意求得，再根据线段中点的意义求出，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴． 故答案为：2． 41． 【答案】 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】根据线段中点的定义以及线段和差关系进行计算即可． 【详解】解：∵点，分别为线段，的中点， ∴，， ∴． 42． 【答案】/3厘米 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段中点的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据中点定义得出，根据D为的中点，求出． 【详解】解：∵线段，C为的中点， ∴， ∵D为的中点， ∴． 故答案为：． 43． 【答案】/10厘米 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查两点间的距离，线段中点的计算，掌握线段中点的定义是正确解答的关键．根据线段中点的定义求出，再根据，求出，进而求出即可． 【详解】解：∵，若为的中点， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 故答案为：． 44． 【答案】4 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段的和差计算，根据题意可得线段的长，则由线段中点的定义可得线段的长，再根据线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∴， 故答案为：4． 45． 【答案】5 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查了线段中点的计算，掌握线段中点的定义，灵活运用数形结合思想是解题的关键． 根据线段中点的定义可得，再求出，即可得解． 【详解】∵，点C为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5． 46． 【答案】 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段规律性问题，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，比较有难度．根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果． 【详解】解：∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵，是和的中点， ∴，， ∴， …… 发现规律：， ∴ ∴ 两式相减，得， 故答案为：． 47． 【答案】5或1/1或5 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，分点在线段上，以及点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可．找准线段之间的和差关系是解题的关键． 【详解】解：当点C在线段上时， ∵，， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∴； 当点C在的延长线上时， ∵，， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∴． 故答案为5或1． 48． 【答案】0.5或3.5 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查线段的和差和中点的定义，根据题意，分情况讨论：①当点C在线段的延长线上时，，如果点O是线段的中点，则线段可求；②当点C在线段上时，，如果点O是线段的中点，则线段可求． 【详解】解：①当点C在线段的延长线上时，， ∵O是线段的中点， ∴； ②当点C在线段上时，， ∵O是线段的中点， ∴． 故答案为：0.5或3.5． 49． 【答案】10 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的计算，熟知线段中点的定义是解题的关键． 先根据线段中点的定义得，，，再由线段的和差关系得到即可得到答案． 【详解】解：∵点M、N分别是、的中点， ，， ， ∵， ∴． 故答案为：10． 50． 【答案】或 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和差运算，线段中点，新定义折中点等知识，分两种情况：点D在线段上与点D在线段上，利用中点的意义及折中点的含义即可求解，分类讨论，结合图形利用线段的和差倍分关系是解题的关键． 【详解】解：当点D在线段上时， 则， ∴； ∵E为线段中点，， ∴， ∴； 当点D在线段上时，如图，      则， ∴； ∵E为线段中点，， ∴， ∴； 综上，的长为或； 故答案为：或． 51． 【答案】20或4 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查与线段的中点有关的计算，分点在线段上，点在线段上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当点在线段上时，如图： 由题意，得：， ∴， ∴； 当点在线段上时，如图： 则， ∵， ∴， ∴； 故答案为：20或4． 52． 【答案】6或14 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查两点间的距离，根据“折中点”的定义，分两种情况分别画出图形，由图形中线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图1，∵点E为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点D是折线的“折中点”， ∴， ∴； 如图2，∵点E为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点D是折线的“折中点”， ∴， ∴； 综上所述，或． 故答案为：6或14． 💯 课后巩固 复习建议 · 点动成线、线动成面、面动成体，点是图形的基本元素 · 直线无端点、射线一个端点、线段两个端点，两点确定一条直线 · 两点之间线段最短，两点间的距离是连接两点的线段长度 · 中点分线段成相等的两段：AC=CB=AB/2 · 数轴上两点距离 = |a-b|，直线上 n 点确定 n(n-1)/2 条线段 【作业1】 【答案】 【知识点】正方体相对两面上的字、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，一元一次方程，根据正方体的表面展开图，找出相对面，然后进行计算即可解答，熟练掌握根据正方体的表面展开图找出相对面，是解题的关键． 【详解】解：由图可知： 2与相对，与相对，5与相对， 正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数， ，， ，， ， 故答案为：． 【作业2】 【答案】或 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和差计算，根据题意进行分两种情况，当时，点在上，当时，点在上，逐一解答即可，解题的关键是熟练掌握线段和差的计算及分类讨论思想． 【详解】当时，点在上，如图， ∵点分，的和为相等的两部分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当时，点在上，如图， ∵点分，的和为相等的两部分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或． 【作业3】 【答案】7 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，具备较强的空间想象能力是解题关键．在从上面看得到的图形的对应位置上，根据从正面看得到的图形标注最少需要摆放的小立方块的个数，由此即可得． 【详解】解：在从上面看得到的图形的对应位置上，根据从正面看得到的图形标注最少需要摆放的小立方块的个数如下： 或 则搭成这样的几何体最少需要的小立方块的个数为（个）， 故答案为：7． 【作业4】 【答案】(1) (2) 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算： （1）由线段中点的定义求出的长，进而求出的长，再由线段的和差关系即可求出答案； （2）由线段中点的定义求出的长，进而求出的长，再由线段的和差关系即可求出答案． 【详解】（1）解：∵线段，点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）解：∵线段，点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 【作业5】 【答案】(1) (2)或 【知识点】线段之间的数量关系、线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题主要考查线段和差，线段中点的定义，分类讨论思想，理解图示，中点的定义，掌握线段和差的计算方法，分类讨论思想是解题的关键． （1）根据线段和差的计算，中点的定义进行计算即可求解； （2）根据点在直线上，分类讨论：当点在点左边时，；当点在点右边时，；由此即可求解． 【详解】（1）解：求线段的长，补全下面过程如图， ∵ ， ∴ ， ∵ 为线段的中点 ∴ （线段中点的定义）； 故答案为：； （2）解：由（1）可得，， ∴， 当点在点左边时，； 当点在点右边时，； 故答案为：或． 【作业6】 【答案】(1) 解：几何体从三个方向看到的形状图如图所示； (2)1或2或3或4或5 (3) 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，求几何体的表面积，良好的空间想象能力是解答本题的关键． （1）根据几何体的三视图的作法即可得到结论； （2）根据从上面看和从左面看到的形状图不变解答即可； （3）用露出面的个数×一个面的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图， 在这个几何体上摆放1或2或3或4或5个小正方体，可以保持这个几何体从上面和左面看到的形状图不变； 故答案为：1或2或3或4或5； （3）解：这个几何体表面积是， 故答案为：． 【作业7】 【答案】(1)6 (2)5 (3)a或 【知识点】直线、线段、射线的数量问题、线段中点的有关计算、线段的和与差、线段n等分点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段的和与差： （1）直接观察，即可求解； （2）根据线段中点以及三等分点的定义可得，即可求解； （3）根据题意可得点F位于点A的左侧或点B的右侧，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：图中由线段，共6条； 故答案为：6 （2）解：∵C是线段的中点，D是线段的三等分点且在点C的左侧．， ∴， ∴； （3）解：根据题意得：点F位于点A的左侧或点B的右侧， 当点F位于点A的左侧时，如图， ∵， ∴，即， ∵，D是线段的三等分点且在点C的左侧． ∴，， ∴； 当点F位于点B的右侧时，如图， ∵， ∴，即， ∵，D是线段的三等分点且在点C的左侧． ∴，， ∴； 综上所述，的长为a或． 【作业8】 【答案】6厘米 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的计算，线段的和差计算，先根据线段中点的定义得到厘米，厘米，再根据相等的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵是的中点，厘米， ∴厘米， ∵是的中点，厘米， ∴厘米， ∴厘米． 【作业9】 【答案】(1) 线段、射线、线段即为所作： (2) 点即为所作： (3) 点即为所作： 【知识点】作线段(尺规作图)、画出直线、射线、线段 【分析】本题考查了画直线、射线、线段，熟练掌握直线、射线、线段的定义是解此题的关键． （1）连接，作射线、线段即可； （2）连接、相交于点，点即为所求； （3）作直线、交于点． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【作业10】 【答案】(1)最大长度，最短长度 (2)存在， 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查的是线段的和差运算； （1）先求解，结合最长为，最短为，再进一步解答即可； （2）由可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ∵最长为，最短为， 最大长度； 最短长度； （2）解：， ，此时 ，符合题意． 当 伸缩到 时满足条件． 【作业11】 【答案】(1) (2)①；②12或14 【知识点】线段之间的数量关系、线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】此题考查了线段的和差和中点的相关计算，分类讨论是解题的关键． （1）根据得到，即可求出的长； （2）①由中点的定义得到，则．由得到；②分两种情况讨论：点F在点C的左侧和点F在点C的右侧，分别画出图形，进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）①∵D为的中点， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． ②分两种情况讨论： （ⅰ）如图1，当点F在点C的左侧时． ∵，， ∴. ∵，， ∴， ∴； （ⅱ）如图2，当点F在点C的右侧时． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴． 综上所述，的长为12或14． 【作业12】 【答案】(1) (2) (3)y的值是或 【知识点】列代数式、数轴上两点之间的距离、线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查列代数式、数轴，根据题意列代数式是解题的关键． （1）求出，再根据中点的定义计算即可； （2）根据数轴上两点间的距离公式计算即可； （3）根据数轴上两点间的距离公式求出x的值，再代入（2）中y关于x的代数式求出对应y的值即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 因为C在的中点处， 所以点C在数轴上表示的数是． （2）解：因为，所以． 因为点P在Q的右侧，所以． （3）解：若点P在之间时，， 所以， 所以点P表示的数是， 所以y得值是． 若点P在点B的右侧时，，所以B是的中点，即． 所以点P表示的数是． 所以y的值是； 综上所述，y的值为4或． 【作业13】 【答案】(1) (2)或 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和差、与线段中点有关的计算，熟练掌握线段中点的计算是解题关键． （1）先根据线段的和差可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据求解即可得； （2）分两种情况：①点在点的左侧，②点在点的右侧；根据线段的和差求解即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴． （2）解：①如图，当点在点的左侧时， 由（1）已得：， ∵， ∴； ②如图，当点在点的右侧时， 由（1）已得：， ∵， ∴； 综上，线段的长或． 【作业14】 【答案】 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查的是线段的和差关系、线段中点的含义等知识点，利用线段的中点与和差关系求解线段的长度是解题的关键． 由线段的中点的定义可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：由题意，得． 所以． 【作业15】 【答案】(1)5 (2)线段的长度为或 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题主要考查线段中点的定义、两点间的距离，学会利用数形结合和分类讨论思想是解题关键． （1）由线段中点的定义可得，再由求得，于是； （2）分三种情况讨论：点在线段上，分别求得，，则；点在点的右侧，分别求得，，则；点在点的左侧，此种情况不满足题意． 【详解】（1）解：，点是线段的中点， ， 又，， ， ； （2）解：①当点在线段上时，如图， ，， ， ； ②当点在点的右侧时，如图， ，， ， ； ③当点在点的左侧时，此时，不存在符合题意的点． 综上，线段的长度为或． 【作业16】 【答案】(1) (2) 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差、两点间的距离 【分析】本题主要考查了两点间的距离、线段的和差等知识点，掌握两点间的距离定义和线段的和差计算是解题的关键． （1）直接运用线段的比例值列式计算即可； （2）线段的比例值和线段的和差计算． 【详解】（1）解：∵， ∴； 答：线段的长度为． （2）解：∵， ∴， ∵M是线段的中点， ∴ ∵，，， ∴． 答：线段的长度为． 【作业17】 【答案】(1)，； (2)两个阴影部分的面积和为． 【知识点】列代数式、线段的和与差 【分析】本题考查了列代数式，长方形的面积公式，能正确根据题意列出代数式是解此题的关键． （1）根据线段的和差可求长方形场地的长宽； （2）根据长方形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知： 长方形场地的长， 宽， 故答案为：，； （2）解：由题意可知，当，时， ， ∴两个阴影部分的面积和为． 【作业18】 【答案】（1），；（2）；（3）不变， 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查的是线段的和差运算，线段的中点的含义； （1）根据表格信息分别求解当，，当，时的长度即可； （2）求解，，，结合点M为中点，点N为中点，可得，，再进一步求解即可； （3）分五种情况讨论：当点C，D在线段上，当在的左边，在的右边，如图，当在的右边，在的右边，如图，当在的左边，在的右边时，如图，当都在的左边时，再结合（2）的方法进一步求解即可. 【详解】解：（1）如图，点C，D在线段上， ，． ∴，，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∵， ∴， 当，． ∴，，， ∴， 当，． ∴，，， ∴， ∴，； （2）如图，点C，D在线段上， ，． ∴，，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∵， ∴； （3）点C，D在线段上，由（2）可知； 如图，当在的左边，在的右边， ，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴， 如图，当在的右边，在的右边， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 如图，当在的左边，在的右边时， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 如图，当都在的左边时， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 综上：. 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲·图形的初步知识【1】·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年浙教版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 认识常见的几何体与平面图形，理解点、线、面、体之间的关系 · 理解直线、射线、线段的联系与区别，掌握两点确定一条直线 · 会比较线段的长短，理解两点之间线段最短与两点间的距离 · 掌握线段的和与差，会进行线段中点的有关计算 · 会用尺规作图作一条线段等于已知线段，会画直线、射线、线段 · 能列代数式、解方程解决线段中的数量关系问题 📚 知识梳理 ☆ 1.几何图形与立体图形 点动成线、线动成面、面动成体，点是构成图形的基本元素 立体图形（几何体）：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等；平面图形：三角形、四边形、圆等 从不同方向看几何体，能识别几何体的主视图、俯视图、左视图 正方体的展开图有 11 种，相对的面不相邻 平面图形绕轴旋转一周可得到立体图形（如长方形绕边旋转得圆柱） 概念辨析例题：下列几何体中，属于棱柱的是（　　） 答案：长方体、三棱柱等（上下底面平行且全等的多面体） 解析：棱柱有两个平行且全等的多边形底面，侧面为平行四边形（矩形）。圆柱、圆锥、球不是棱柱。关键看底面形状与侧棱平行。 ☆ 2.直线、射线与线段 直线没有端点，可向两方无限延伸，用两个大写字母或一个小写字母表示 射线有一个端点，向一方无限延伸；线段有两个端点，不能延伸 直线、射线、线段的联系：线段和射线都是直线的一部分 两点确定一条直线（经过两点有且只有一条直线） 直线上 n 个点可确定 n(n-1)/2 条线段，n(n-1) 条射线 概念辨析例题：经过两点 A、B 可以画出（　　）条直线 答案：1 解析：两点确定一条直线，经过两点有且只有一条直线。这是直线的基本性质，也是「两点确定一条直线」的含义。 ☆ 3.两点间的距离与线段长短比较 两点之间线段最短（连接两点的所有线中，线段最短） 两点间的距离：连接两点的线段的长度 比较线段长短：度量法（量长度）与叠合法（重合比较） 数轴上两点 A(a)、B(b) 的距离 = |a-b| 「两点之间线段最短」用于解释最短路径、修路选线等实际问题 概念辨析例题：把弯曲的河道改直，能缩短航程，这样做的道理是（　　） 答案：两点之间线段最短 解析：弯曲河道改直后，连接两点的是线段，比原来的折线短，依据「两点之间线段最短」。这是该性质在生活中的典型应用。 ☆ 4.线段的和、差与中点 线段的和：若点 C 在线段 AB 上，则 AC+CB=AB；线段差：AB-AC=CB 线段中点：把一条线段分成相等的两条线段的点 中点性质：若 C 是 AB 中点，则 AC=CB=AB/2，AB=2AC=2CB n 等分点：把线段 n 等分的点，每段为全长的 1/n 中点计算常列方程：设未知数表示各段，由和差关系列方程求解 概念辨析例题：点 C 是线段 AB 的中点，AB=10 cm，则 AC=（　　）cm 答案：5 解析：中点 C 把 AB 分成相等的两段，AC = AB ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5 cm。中点计算的核心是「中点分得两段相等，各为全长的一半」。 ☆ 5.尺规作图与代数解线段 尺规作图：只用无刻度的直尺和圆规作图 作一条线段等于已知线段：用圆规截取已知长度再画 画线段的和与差：在一条直线上顺次截取或反向截取 列代数式表示线段：设基本长度为 x，用含 x 的式子表示各段 线段的数量关系题：设元 → 列方程 → 解方程 → 代回验证 概念辨析例题：已知线段 a，用圆规和直尺作一条线段 AB，使 AB=2a 答案：作射线，在射线上顺次截取两段各等于 a，得到 AB=2a 解析：作一条射线，用圆规以 a 为半径在射线上顺次截取两次，两次截取点间的线段长即为 2a。尺规作图的核心是「圆规截取等长」。 📋 知识总结表 名称 端点个数 延伸性 表示方法 直线 0 个 两方无限延伸 直线 AB 或直线 l 射线 1 个 一方无限延伸 射线 AB（A 为端点） 线段 2 个 不能延伸 线段 AB 或线段 a 两点确定直线 经过两点 有且只有一条 基本事实 两点间距离 连接两点的线段 线段最短 长度可度量 线段中点 分线段成相等两段 AC=CB=AB/2 中点唯一 ⚠️ 核心考点 【考点1】几何图形与立体图形（第1-13题） · 点动成线、线动成面、面动成体 · 识别常见几何体：棱柱、圆柱、圆锥、球等 · 从不同方向看几何体，识别三视图 · 正方体展开图与相对面的判断 1．（23-24七年级上·河南许昌·期末）中国扇文化有着深厚的文化底蕴；历来中国有“制扇王国”之称． 如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 2．（25-26七年级上·浙江衢州·期末）如图，，三点在直线上依次排列，关于点位置的描述，正确的是（   ） A．点在线段上 B．点在线段的延长线上 C．点在直线上 D．点在射线上 3．（23-24七年级上·广西崇左·阶段检测）下面几种图形中，平面图形的个数有（　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）下图所示的几何体是由一个平面图形绕虚线旋转一周得到的，这个平面图形是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24六年级下·全国·假期作业）给出下列几何图形：①五边形；②正方形；③长方体；④三棱柱；⑤圆柱；⑥四棱锥．其中属于立体图形的是（　　） A．③④⑤⑥ B．①②③ C．③⑥ D．④⑤ 6．（24-25七年级上·新疆巴州·期末）已知将下面的图形折成一个正方体纸盒后，数字“9”与其相对面上的数互为相反数，数字“”与其相对面上的数互为倒数，数字“5”与其相对面上的数的和为，则的值为（    ） A． B． C． D．1 7．（24-25七年级上·山东青岛·阶段检测）下列说法不正确的是（   ） A．五棱柱有10个顶点 B．棱柱侧面的形状可能是一个三角形 C．“天空划过道流星”能说明“点动成线” D．圆锥由两个面围成，这两个面中，一个面是平的，一个面是曲的 8．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）在下列几何图形中，属于平面图形的有________(填序号) ①线段，②球，③正方体，④三角形，⑤角，⑥圆 9．（24-25七年级上·全国·期末）一个棱柱有16个顶点，则这个棱柱是 ________棱柱． 10．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）银川承天寺塔（如图），始建于西夏天佑垂圣元年（公元1050年），是宁夏现存古塔中最高的一座砖塔．它是一座八角十一层楼阁式砖塔，它可以近似地看作由十一个八棱柱构成．请问：一个八棱柱一共有___角______条棱， 有_____面， 有________个顶点． 11．（23-24七年级上·辽宁铁岭·期末）一个正方体，每次截取一个顶点，8个顶点都被截去后，得到一个新的几何体，这个新的几何体有___________个面，___________个顶点，___________条棱． 12．（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）M所在的位置如图，的位置是点 _____，的位置是点 _____． 13．（24-25六年级上·山东烟台·期末）如图，小明拿到一个没装满水的有盖可密封的正方体盒子，盒子可以采用任何方式放置，他不断改变盒子的放置方式，盒子里的水便形成不同的几何体，则下列选项中：①长方体，②正方体，③圆柱体，④三棱锥，⑤三棱柱，可能是盒子里的水形成的几何体的有______（填写序号即可） 【考点2】直线、射线与线段（第14-23题） · 直线、射线、线段的联系与区别（端点、延伸性） · 两点确定一条直线 · 直线上 n 个点确定线段数 n(n-1)/2、射线数 n(n-1) · 作图：画直线、射线、线段 14．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，点M，P，N是直线l上从左至右的三个点，下列说法错误的是（  ） A．点P在直线上 B．点P在线段上 C．点N在线段上 D．点N在射线上 15．（25-26七年级上·河北·单元复习）在线段上选取种点，第1种是将线段等分的点；第2种是将线段等分的点；第3种是将线段等分的点，这些点连同线段的端点可组成线段的条数是（　　） A．350 B．595 C．666 D．406 16．（24-25七年级上·河南许昌·期末）射击是一项用枪支对准目标打靶的竞技项目，在正常情况下，射击时要保证瞄准点在准星和缺口确定的直线上（如图所示），才能射中目标，这样做的数学依据是（   ） A．线段有两个端点 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．经过一点有无数条直线 17．（23-24七年级上·山东临沂·期末）如图，由临沂始发终点至淄博的某一次高铁列车，运行途中停靠的车站依次是：临沂-曲阜-泰安-济南-淄博，那么要为这次列车制作的单程火车票（    ）种． A．4 B．6 C．10 D．12 18．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）墨斗是木工用来打直线的重要工具．如图，经过刨平的木板上的两点，能且只能弹出一条笔直的墨线．这一现象中，蕴含的数学知识是_____． 19．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）如图，在一条公路上有五个车站，依次为，车站要准备车票，一共要准备__________种车票． 20．（23-24七年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，已知四点A、B、C、D，请用尺规作图完成．（保留画图痕迹） (1)画直线，画射线，连接； (2)延长线段到E．使得； (3)在线段上取点P，使的值最小． 21．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，已知平面上有三点A，B，C．用无刻度直尺和圆规作图（请保留作图痕迹）； (1)画线段，直线，射线； (2)在线段上找一点E，使得． 22．（25-26七年级上·河北沧州·期中）如图，已知四点．根据下列语句，在同一图中画出图形． (1)画直线； (2)画射线，交于点； (3)连接，并延长线段到点，使． 23．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，同一平面上的三点． (1)画射线、线段．请使用直尺和圆规，在射线上作出点，使(要求保留作图痕迹)； (2)若，求的长． 【考点3】两点间距离与线段长短比较（第24-31题） · 两点之间线段最短，用于最短路径问题 · 两点间距离是连接两点的线段的长度 · 数轴上两点距离 = |a-b| · 比较线段长短：度量法与叠合法 24．（24-25七年级上·全国·单元复习）已知线段，，那么线段的长度是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 25．（24-25七年级上·全国·单元测试）平面上有A，B，C三点，已知，，则的长是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 26．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知线段，延长至点C，使得，量得，则线段的长是________． 27．（23-24七年级上·福建福州·期中），，，在数轴上的位置如图所示，为原点，，，若点所表示的数为，则的长度为______．（结果用含的代数式表示）    28．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，从小明家到学校有4条路，其中沿路线③走最近，其数学依据是______． 29．（2025七年级上·河北·专题练习）如图，、是线段上两点，、分别是线段，的中点，下列结论：①若，则；②，则；③；④．其中正确的结论是 ____________（填序号）． 30．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）平面上有四个点，按照以下要求作图（保留作图痕迹）： (1)连接，并延长至G，使； (2)作射线； (3)作直线，并在直线上确定点H，使得最短． 31．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）根据条件画出图形，并解答问题： (1)如图，已知四个点A、B、C、D． ①画射线AD． ②画出一点P，使P到A、B、C、D的距离之和最小，理由是　　　． (2)在（1）的条件下填空：图中共有　　　条线段． 【考点4】线段的和、差与中点计算（第32-52题） · 线段和差：点在线段上则 AC+CB=AB · 中点：AC=CB=AB/2，AB=2AC=2CB · n 等分点：每段为全长的 1/n · 设未知数列方程解线段数量关系 32．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）如图，已知线段，延长至点C，使．D为线段的中点，若，则a的值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 33．（23-24七年级上·浙江温州·期末）如图，若，且D是的中点，则（ ）． A．4 B．6 C．8 D．10 34．（25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，线段，P为上一点，且，M为的中点，N为的中点，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 35．（23-24七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知点C是线段上一点，点D是的中点，点E是的中点．若，则的长为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 36．（25-26七年级上·浙江温州·期末）如图，是线段的中点，是线段的中点，．设，，当线段的长发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 37．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，C是线段上一点，D为的中点，且．若点E在直线上，且，则的长为（   ） A． B． C．或 D．或 38．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，、顺次为线段上的两点，，为的中点，则下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 39．（24-25七年级上·福建泉州·期中）在长方形中放入3个正方形如图所示，若，则知道下列哪条线段的长就可以求出图中阴影部分的周长和（　　） A．BF B．FH C．AB D．BC 40．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，线段，延长到点C，使，若点D是线段的中点，则的长为______． 41．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）如图，，为线段上的一点，点，分别为线段，的中点，则的长为________． 42．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）已知线段，C为的中点，D为的中点，且________． 43．（23-24七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，，若为的中点，点在线段上，且，则的长度为______． 44．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，点在线段上，为线段的中点，，若，则线段的长为___________． 45．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，，点C为线段的中点，点D在线段上，且，则线段的长度为_______． 46．（24-25七年级上·北京·期中）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；连续这样操作15次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和_________ 47．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知，点C在直线上满足，点D为线段的中点，则线段的长度为______ ． 48．（2025七年级上·全国·专题练习）在直线l上取A、B、C三点，使得，，如果点O是线段的中点，则线段的长度为 _______． 49．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）如图，点是线段上的点，点M、N分别是、的中点，若，则线段的长为_____． 50．（23-24七年级上·河北张家口·期中）如图，有公共端点C的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点D把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点D叫做这条折线的“折中点”． 若为线段中点，，，则的长为 ______ ．    51．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）如图，有公共端点P的两条线段组成一条折线．若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫作这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长是__________． 52．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，有公共端点P的两条线段组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．若已知点D是折线的“折中点”，E为线段的中点，，，则线段的长为_______． 💯 课后巩固 复习建议 · 点动成线、线动成面、面动成体，点是图形的基本元素 · 直线无端点、射线一个端点、线段两个端点，两点确定一条直线 · 两点之间线段最短，两点间的距离是连接两点的线段长度 · 中点分线段成相等的两段：AC=CB=AB/2 · 数轴上两点距离 = |a-b|，直线上 n 点确定 n(n-1)/2 条线段 【作业 1】（24-25七年级上·宁夏银川·期末）如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则的值为_________． 【作业 2】（22-23七年级上·浙江台州·期末）已知，，为同一平面内不共线的三点，点分线段，的和为相等的两部分，若，，则线段长为______． 【作业 3】（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）一个由若干个大小相同的小立方块搭成的几何体，从正面和从上面看到的形状图如图所示，则搭成这样的几何体最少需要______个小立方块． 【作业 4】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，线段，点是线段的中点，点是线段的中点． (1)如图①，求线段的长； (2)如图②，点是线段上的一点，且满足，求的长度． 【作业 5】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点在线段上，，，为线段的中点．    (1)求线段的长，补全下面过程 ∵ ， ∴ ∵ 为线段的中点 ∴ （理由： ） (2)若点是直线上一点，且，则线段的长为 ． 【作业 6】（24-25七年级上·广东深圳·期中）将8个同样大小的小正方体搭成如图所示的几何体． (1)请分别画出从正面、左面、上面观察1图所示的几何体的形状图； (2)在这个几何体上摆放____________个小正方体，可以保持这个几何体从上面和左面看到的形状图不变； (3)若正方体的棱长为，这个几何体表面积是____________． 【作业 7】（23-24七年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，C是线段的中点，D是线段的三等分点且在点C的左侧． (1)图中共有________条线段 (2)若线段的长为30，求线段的长． (3)设线段的长为，若是直线上一点，且，求线段的长． 【作业 8】（23-24七年级上·广东东莞·期末）如图，C是线段上一点，M是的中点，N是的中点，若厘米，厘米，求的长度．    【作业 9】（23-24七年级下·山东淄博·期中）如图，已知点，，，．按要求画图（保留作图痕迹）． (1)连接，作射线，并在射线上截取； (2)画点P，使的值最小； (3)画点E，使点E既在直线上，又在直线上． 【作业 10】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图 1 为某款家用可伸缩晾衣杆，晾衣杆由三部分组成，分别是长度固定的 和 两段以及可伸缩的 段， 最短可缩到比 短 ，最长可伸长到比 短 ， ． (1)求该款晾衣杆可达到的最大长度和最短长度． (2)如图 2，在 段伸缩的过程中，是否存在 “ ” 的情况？如果存在， 请求出此时 的长； 如果不存在，请说明理由． 【作业 11】（24-25七年级上·河南漯河·期末）如图，点C在线段上，，． (1)求的长． (2)若，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧． ①当D为的中点时，求的长． ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，且，，求出的长． 【作业 12】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在以点O为原点的数轴上，点A，B对应的数字分别是和2，点C在的中点处，点P，Q对应的数字分别是x，y，且点P在Q的右侧，． (1)写出点C在数轴上表示的数； (2)用含x的代数式表示y的值； (3)若，求y的值． 【作业 13】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，线段，点是线段的一点，，点是线段的中点． (1)求线段的长度； (2)若点是线段上的一点，且，求线段的长． 【作业 14】（24-25七年级上·全国·期末）如下图所示，点P在线段上，，M为的中点，N为的中点．求的长． 【作业 15】（24-25七年级上·全国·期末）已知，，，四点在同一直线上，线段，点在线段上． (1)如图1，点是线段的中点，，求线段的长度； (2)若点是直线上一点，且满足，，求线段的长度． 【作业 16】（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）如图，线段，点C在线段上，点N在线段上，且，M是线段的中点． (1)求线段的长度； (2)若，求线段的长度． 【作业 17】（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图，在一块边长为的正方形土地上，修建两个大小相同的长方形场地（图中的阴影部分）． (1)如图所示，长方形场地的长________，宽________（均用含，的代数式表示）； (2)当，时，求两个阴影部分的面积和． 【作业 18】（24-25七年级上·江苏南通·期末）综合与实践：七年级某学习小组围绕“线段的中点”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，点A，B，C，D在同一条直线l上，，点M为线段中点，点N为线段中点．探究线段，，之间的关系． 【特例探究】 （1）如图1，点C，D在线段上，点M为中点，点N为中点． 列表分析线段，，之间的关系． 线段，，之间的关系分析表 特例序号 ① 6 4 1 ② 8 3 a ③ 10 6 b 表格中，数据________，________． 【推理论证】 （2）在（1）的条件下，若线段，，请用含m，n的式子表示的长，并说明理由； 【拓展运用】 （3）若点C，D在直线l上运动，且点C始终在点D的左侧，线段，，之间的关系是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接写出，，之间的关系式． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $