第7讲 实数及其运算优等生讲义(知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版七年级数学上册

第7讲 实数及其运算 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解有理数的小数形式，能区分有限小数与无限循环小数 · 理解无理数的概念，会识别无理数 · 掌握实数与数轴上的点一一对应 · 会求实数的绝对值、比较实数大小 · 能进行实数运算，掌握近似数与科学记数法 📚 知识梳理 ☆ 1.有理数的小数形式 有理数都可以写成有限小数或无限循环小数 分数化小数：分母质因数只有2和5的化为有限小数，否则为无限循环小数 有限小数和无限循环小数都能化成分数，都是有理数 判断一个数是否有理数看能否化成分数 概念辨析例题：把化成小数 解析：1÷3=0.333…，循环节为3，写成0.3̇。它是无限循环小数，属于有理数，可化成分数。 ☆ 2.无理数 无限不循环小数叫做无理数 常见无理数：、等开方开不尽的数，π及含π的式子，e等 无理数不能写成分数形式 无理数与有理数统称实数：实数=有理数∪无理数 概念辨析例题：下列各数中是无理数的是（　　）A．　B．　C．π　D．0.5 解析：是分数（有理数），=2是整数，0.5是有限小数，只有π是无限不循环小数，为无理数。注意带根号的数不一定是无理数（=2）。 ☆ 3.实数与数轴 实数与数轴上的点一一对应 无理数也可在数轴上用点表示（如用勾股定理构造） 数轴上右边的实数总比左边的大 比较大小：平方法、估算法、数轴法 概念辨析例题：在数轴上，与表示的点距离最近的正整数是______ 解析：1＜＜2（因为12＜3＜22），≈1.732，距离1约0.732、距离2约0.268，所以距离2最近。 ☆ 4.实数的绝对值和大小比较 实数的绝对值定义与有理数相同：|a|是a到原点的距离 ||=，|−|= 比较大小：正数＞0＞负数；两个负数绝对值大的反而小；无理数可与有理数平方法比较 近似值记忆：≈1.414，≈1.732，≈2.236，π≈3.14 概念辨析例题：比较与2的大小 解析：平方法：两边平方，(=5，(2)2=≈5.44，5＜5.44，所以＜2。 ☆ 5.实数运算 实数加减乘除与有理数运算法则相同 运算顺序：先乘方开方、再乘除、后加减 含根号运算：同类根式可以合并，如=2 运算律对实数同样适用 概念辨析例题：计算 解析：==2，所以==3。先把根号化为最简再合并同类根式。 ☆ 6.近似数和科学计数法 精确度：近似数精确到哪一位看最后一位数字的位置 科学记数法：a×10n（1≤|a|＜10，n为整数） 大数n为正：小数点向右移动；小数n为负：向左移动 带单位的近似数注意单位的换算 概念辨析例题：把52300000用科学记数法表示 解析：把小数点移到第一个非零数字后：5.23；原数有8位整数，指数n=7，所以52300000=5.23×107。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 有理数小数形式 有限小数或无限循环小数 都能化成分数 无理数 无限不循环小数 =2是有理数 实数 有理数∪无理数 与数轴点一一对应 绝对值 |a|：到原点距离 结果恒非负 科学记数法 a×10n，1≤|a|＜10 注意n的正负 根式化简 = 先化简再合并 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的小数形式（第1-9题） · 分数化小数：分子除以分母 · 判断有限/无限循环 · 循环小数与分数互化 · 分母质因数2、5判断有限小数 1．（2025秋•长沙期末）在下列五个数中：，0，，1.8，﹣1.212212221…（两个1之间依次多一个2），有理数个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2025秋•富平县校级期末）在1，﹣40%，0，﹣3，，，2025，0.6中，非负数有（　　）个． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．（2026春•南宁校级月考）在﹣2，3.14，，，80%，0.101001000…中，有理数的个数是（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．（2026春•扎兰屯市期末）根据下面表格中的数据规律，填空： x … 0.2026 2.026 20.26 202.6 2026 … … 0.4501 1.423 4.501 14.23 45.01 … … 0.5873 1.265 2.726 5.873 12.65 … 若，，则_______ ． 5．（2025秋•门头沟区期末）在0，5，，6%，0.22，﹣0.32，中，是负有理数的为____________________ ． 6．（2024秋•徐州校级期末）把下列各数分别填入相应的集合内 ﹣2，﹣47，0，﹣π，12，0.62，﹣2.2，，． 负有理数集合{ ____________________ …}； 正分数集合{ ____________________ …}； 非负整数集合{ _________ …}． 7．（2024秋•登封市校级期中）（1）计算：． （2）所有正有理数组成正有理数集合，所有负有理数组成负有理数集合，所有整数组成整数集合，把下列有理数分别填入相应的集合里． ﹣3，，0，，﹣3.14，20，+1.88，，+9，0.101001，1.2，﹣0.3，2025． ①负有理数集合：{____________________ …}； ②正有理数集合：{____________________ …}； ③整数集合：{____________________ …}． 8．（2025秋•香坊区校级月考）【阅读材料】我们知道可以写成小数形式为，反过来，无限循环小数可以转化成分数形式．方法如下：设，由．．．，可知：10x＝3.333…，所以，10x﹣x＝3解方程得，所以． 【类比探究】 再以无限循环小数为例，做进一步的讨论：无限循环小数．．．，它的循环节有两位，类比上面的讨论可以想到如下做法： 设，由．．．．可知，100x＝73.7373...，所以100x﹣x＝73，解方程得，于是得． 【解决问题】 （1）把下列无限循环小数写成分数形式： ①__________________ ，②____________________ ； （2）把无限循环小数写成分数形式并写出过程； （3）若，则___________________ ．（填分数） 9．（2025秋•同步）你知道如何把循环小数化为分数吗？以0.为例，有这样一种方法： 设x＝0.0.333…，① 则10x＝3.333…，② ②﹣①得9x＝3，即x， 所以0.0.333⋯． 根据上述方法，把下列两数化为分数： （1）0.； （2）1.． 【考点2】无理数（第10-19题） · 无理数=无限不循环小数 · π与开方开不尽的是常见无理数 · 带根号不一定是无理数 · 分数、整数一定是有理数 10．（2025秋•宝安区校级期末）在实数，11，0.010010001…（每两个1之间依次增加一个0），，（﹣3）2中，无理数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11．（2026春•城中区校级期中）在下列实数，3π，3.14，，，，0.030030003…（每相邻两个3之间依次多一个0）中，无理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（2026•兴平市一模）写出一个比大的无理数，你写出的是：____________________ ．（写出一个即可） 13．（2025秋•青羊区校级期末）在实数，π+1，，，0，﹣2.中，无理数有_____ 个． 14．（2025秋•泾阳县期末）已知n是无理数，且2＜n＜3，写出一个满足条件的n的值是 ____________________ ． 15．（2024秋•长宁区校级月考）对于两个含有根号的无理数，如果它们的和等于它们的积，那么我们称这两个无理数互为“友好无理数”． （1）求的“友好无理数”； （2）请你再写出一组符号不同的“友好无理数”，并说明理由． 16．（2025秋•虹口区月考）满足的有序有理数对（x，y）＝____________________ ． 17．（2026春•锡林郭勒盟月考）阅读下列解题过程，并解答提出的问题． 设a，b是有理数，且满足，求ba的值． 解：由题意，得．∵a，b都是有理数，∴a﹣3，b+2也是有理数．由于是无理数，∴a﹣3＝0，b+2＝0，∴a＝3，b＝﹣2，∴ba＝（﹣2）3＝﹣8． 问题：设x，y都是有理数，且满足，求x+y的值． 18．（2025秋•奉贤区校级期中）小海和乐乐在运用计算器求与（其中a、b是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1﹣1和图1﹣2所示，那么a和b的数量关系是（　　） A．a＝10b B．a＝100b C． D． 19．（2025秋•松江区月考）利用计算器计算出的表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若，则（　　） A．0.160 B．0.506 C．16.0 D．50.6 【考点3】实数与数轴（第20-32题） · 实数与数轴点一一对应 · 在数轴上构造无理数（勾股） · 数轴上右大左小 · 估算无理数所在区间 20．（2026春•平城区期末）如图所示，数轴上表示3、的对应点分别为C、B，点C是AB的中点，则点A表示的数是（　　） A． B．6 C．3 D．3 21．（2025秋•辉县市期末）如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段AB的中点，则点A表示的数（　　） A． B． C． D． 22．（2026•威海模拟）如图，数轴上A，B两点对应的实数分别为1和，若点A关于点B的对称点为点C，则点C所对应的实数为（　　） A． B． C． D． 23．（2025秋•静安区校级月考）下列说法正确的是（　　） A．任何数都有平方根 B．两个无理数的和一定是无理数 C．任何实数不是正实数就是负实数 D．实数与数轴上的点一一对应 24．（2025秋•松江区期中）如图，在数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和﹣3，那么点C所对应的实数是__________________ ． 25．（2026春•南岗区校级月考）的绝对值为__________________ ． 26．（2025秋•虹口区校级期末）如图，在Rt△AOB中，∠BAO＝90°，AB＝2，点A恰好落在数轴上表示﹣3的点上，以原点O为圆心，OB的长为半径画弧交数轴于点C，使点C落在点A的左侧，则点C所表示的数是_________________ ． 27．（2025秋•渠县校级期末）如图，长方形ABCD的边AD在数轴上，若点A与数轴上表示数﹣1的点重合，点D与数轴上表示数﹣4的点重合，AB＝1，以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为 ___________________ ． 28．（2026春•蒙城县月考）实数的相反数是_________________ ． 29．（2025秋•盐城期末）如图，数轴上点A表示的实数是_______________ ． 30．（2025秋•浦东新区期末）已知点A、B、C、D在数轴上，其中A、B分别表示数和．点C向左平移4个单位长度后与点B重合． （1）求线段AB的长； （2）点C表示的数； （3）对于数轴上三点，点A、点B关于点D对称，求点D对应的实数． 31．（2025秋•浦东新区校级期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个大正方形ABCD． （1）则大正方形ABCD的边长为_______________ ； （2）将图1中的正方形ABCD放到数轴上，如图2，点A表示的数为﹣1，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，把点B翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚；点C翻滚到数轴上时记为第二次翻滚，经过三次翻滚，点D滚到数轴上的点P时，点P表示的数为___________________ ； （3）是否存在正整数n，使得该正方形经过n次翻滚后，其顶点A、B、C、D中某个点与数轴上的2025重合？答：________ （填“存在”或“不存在”）； （4）在（2）的基础上以数2对应的点为折点，将数轴向右对折，则点D与数_________________ 对应的点重合． 32．（2025秋•松江区月考）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，M． （1）化简M； （2）当a＝3时，求M的值． 【考点4】实数的绝对值和大小比较（第33-43题） · |a|为到原点距离，非负 · 正数＞0＞负数 · 两负数绝对值大的反而小 · 无理数比较用平方法 33．（2025秋•普陀区校级期末）根据如图，下列判断正确的是（　　） ①a+c＜b；②b﹣a＞0+c；③|﹣a|+|c|＞|b|+|﹣a|；④c＜﹣b＜a． A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 34．（2025秋•鼓楼区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．0是最小的正数 B．﹣m一定比m小 C．互为相反数的两个数之和为0 D．绝对值等于它本身的数是负数 35．（2025秋•大庆校级期末）若|a﹣4|＝|a|+|4|，则a的值是（　　） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个负数 D．任意一个非正数 36．（2024秋•嘉兴期末）已知实数a，b满足|a﹣b|＝﹣a﹣b，且a≠b，则下列说法中正确的是（　　） A．若a＝0，则a＜b B．若b＝0，则a＞b C．若a＞b，则a＝0 D．若a＜b，则a＝0 37．（2026•朝阳区校级模拟）在，﹣π，﹣2三个数中，最大的是________________ ． 38．（2026春•官渡区校级期中）比较大小：4_____ ．（填“＞”或“＜”） 39．（2025秋•未央区校级期末）比较大小：_____ ． 40．（2025秋•江宁区月考）绝对值大于4而小于7的所有整数之和是_____ ． 41．（2025春•秦淮区校级月考）比较与的大小，并证明． 42．（2022秋•乐清市校级期中）在数轴上表示下列各数（无理数近似表示即可），并用“＜”连接起来． ﹣|﹣4.5|，0，， 43．比较实数的大小： （1）与0.25； （2）与． 【考点5】实数运算（第44-52题） · 按运算法则与顺序 · 先化简根式再合并 · 运算律适用 · 注意符号 44．（2025秋•浦东新区校级期末）下列选项正确的是（　　） A．的平方根是±4 B． C．有理数除以无理数的商一定是无理数 D． 45．（2026春•沭阳县校级期末）规定一种新的定义：a★ba2，若a＝3，b＝49，则（a★b）★b＝_____ ． 46．（2026春•虹口区校级月考）方程的解为________ ． 47．（2026•温州一模）计算的结果为_____ ． 48．（2025秋•万州区期末）﹣12026_____ ． 49．（2025秋•连云港期末）计算与解方程： （1）． （2）2（x+1）2＝8． 50．（2025秋•博山区期末）计算 （1） （2） 51．（2025秋•合江县校级期末）计算：． 52．（2025秋•浦东新区期中）我们定义：如果一个数的平方等于﹣1，记作i2＝﹣1，那么这个i就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为a+bi（a，b均为实数）的形式，其中a叫做它的实部，b叫做它的虚部．复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似． 例如计算：（6+i）+（2﹣3i）＝（6+2）+（i﹣3i）＝8﹣2i． 根据上述材料，将化为a+bi（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含i的形式）________ ． 【考点6】近似数和科学计数法（第53-59题） · 科学记数法a×10n格式 · 精确度看末位所在位 · n=整数位数−1 · 小数n取负值 53．如果用四舍五入法得到的近似数是78，那么该数不可能是下列各数中的（　　） A．78.01 B．77.99 C．77.50 D．77.49 54．（2024秋•常州期末）“2024年潮州半程马拉松”赛道全长21.0975km．将21.0975精确到十分位的近似值是 _________ ． 55．（2025秋•扬州校级期末）2025年6月29日，第五轮“苏超”联赛在泰州举行，本场比赛观众人数为24986人，用四舍五入法将24986人精确到1000人，所得的近似数为____________ ． 56．（2025秋•新抚区期末）0.6808用四舍五入法精确到百分位是_________ ． 57．（2026•于洪区一模）据2026年1月文旅部数据，全国重点博物馆自2016年以来，累计推出线上云展超5200场，吸引观众超6500万人次．数据65000000用科学记数法表示为____________ ． 58．（2025秋•龙江县期末）我国一款手机的芯片采用了先进的8nm制造工艺，已知8nm＝0.000000008m，将0.000000008用科学记数法表示为___________ ． 59．（2026•龙沙区三模）据统计，今年国庆节期间累计全社会跨区域人员流动量约2432000000次．将数据2432000000用科学记数法表示为______________ ． 💯 课后巩固 复习建议 · 实数=有理数+无理数：有理数是有限或无限循环小数，无理数是无限不循环小数 · 带根号的数不一定是无理数（=2），π是最常考的无理数 · 实数与数轴上的点一一对应，数轴上右大左小 · 无理数比较大小常用平方法；绝对值结果恒非负 · 科学记数法a×10n要求1≤|a|＜10，n由小数点移动确定 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 实数及其运算 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解有理数的小数形式，能区分有限小数与无限循环小数 · 理解无理数的概念，会识别无理数 · 掌握实数与数轴上的点一一对应 · 会求实数的绝对值、比较实数大小 · 能进行实数运算，掌握近似数与科学记数法 📚 知识梳理 ☆ 1.有理数的小数形式 有理数都可以写成有限小数或无限循环小数 分数化小数：分母质因数只有2和5的化为有限小数，否则为无限循环小数 有限小数和无限循环小数都能化成分数，都是有理数 判断一个数是否有理数看能否化成分数 概念辨析例题：把化成小数 解析：1÷3=0.333…，循环节为3，写成0.3̇。它是无限循环小数，属于有理数，可化成分数。 ☆ 2.无理数 无限不循环小数叫做无理数 常见无理数：、等开方开不尽的数，π及含π的式子，e等 无理数不能写成分数形式 无理数与有理数统称实数：实数=有理数∪无理数 概念辨析例题：下列各数中是无理数的是（　　）A．　B．　C．π　D．0.5 解析：是分数（有理数），=2是整数，0.5是有限小数，只有π是无限不循环小数，为无理数。注意带根号的数不一定是无理数（=2）。 ☆ 3.实数与数轴 实数与数轴上的点一一对应 无理数也可在数轴上用点表示（如用勾股定理构造） 数轴上右边的实数总比左边的大 比较大小：平方法、估算法、数轴法 概念辨析例题：在数轴上，与表示的点距离最近的正整数是______ 解析：1＜＜2（因为12＜3＜22），≈1.732，距离1约0.732、距离2约0.268，所以距离2最近。 ☆ 4.实数的绝对值和大小比较 实数的绝对值定义与有理数相同：|a|是a到原点的距离 ||=，|−|= 比较大小：正数＞0＞负数；两个负数绝对值大的反而小；无理数可与有理数平方法比较 近似值记忆：≈1.414，≈1.732，≈2.236，π≈3.14 概念辨析例题：比较与2的大小 解析：平方法：两边平方，(=5，(2)2=≈5.44，5＜5.44，所以＜2。 ☆ 5.实数运算 实数加减乘除与有理数运算法则相同 运算顺序：先乘方开方、再乘除、后加减 含根号运算：同类根式可以合并，如=2 运算律对实数同样适用 概念辨析例题：计算 解析：==2，所以==3。先把根号化为最简再合并同类根式。 ☆ 6.近似数和科学计数法 精确度：近似数精确到哪一位看最后一位数字的位置 科学记数法：a×10n（1≤|a|＜10，n为整数） 大数n为正：小数点向右移动；小数n为负：向左移动 带单位的近似数注意单位的换算 概念辨析例题：把52300000用科学记数法表示 解析：把小数点移到第一个非零数字后：5.23；原数有8位整数，指数n=7，所以52300000=5.23×107。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 有理数小数形式 有限小数或无限循环小数 都能化成分数 无理数 无限不循环小数 =2是有理数 实数 有理数∪无理数 与数轴点一一对应 绝对值 |a|：到原点距离 结果恒非负 科学记数法 a×10n，1≤|a|＜10 注意n的正负 根式化简 = 先化简再合并 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的小数形式（第1-9题） · 分数化小数：分子除以分母 · 判断有限/无限循环 · 循环小数与分数互化 · 分母质因数2、5判断有限小数 1．（2025秋•长沙期末）在下列五个数中：，0，，1.8，﹣1.212212221…（两个1之间依次多一个2），有理数个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】利用有理数的定义解答． 【解答】解：五个数：，0，，1.8，﹣1.212212221…（两个1之间依次多一个2），其中有理数是，0，1.8，共计3个． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数，解题的关键是掌握有理数的定义． 2．（2025秋•富平县校级期末）在1，﹣40%，0，﹣3，，，2025，0.6中，非负数有（　　）个． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】根据大于或等于零的数是非负数，可得答案． 【解答】解：在1，﹣40%，0，﹣3，，﹣1，2025，0.6中，非负数有在1，0，，2025，0.6，共5个． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数，解题的关键是明确大于或等于零的数是非负数． 3．（2026春•南宁校级月考）在﹣2，3.14，，，80%，0.101001000…中，有理数的个数是（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】整数和分数统称为有理数，据此进行判断即可． 【解答】解：﹣2是整数，3.14，，80%是分数，它们都是有理数，共4个， 故选：B． 【点评】本题考查有理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 4．（2026春•扎兰屯市期末）根据下面表格中的数据规律，填空： x … 0.2026 2.026 20.26 202.6 2026 … … 0.4501 1.423 4.501 14.23 45.01 … … 0.5873 1.265 2.726 5.873 12.65 … 若，，则mn ． 【分析】根据立方根，算术平方根的定义进行计算． 【解答】解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为：mn． 【点评】本题考查了立方根，算术平方根，掌握立方根，算术平方根的定义是关键． 5．（2025秋•门头沟区期末）在0，5，，6%，0.22，﹣0.32，中，是负有理数的为　　 ． 【分析】负有理数是指负数且是有理数的数，包括负整数和负分数，从给定数中筛选即可． 【解答】解：根据有理数的分类可知： 0既不是正数也不是负数； 5是正整数； 是负分数，属于负有理数； 6%＝0.06，是正分数； 0.22是正分数； ﹣0.32是负分数，属于负有理数； 是正分数， 故在0，5，，6%，0.22，﹣0.32，中，是负有理数的为和﹣0.32． 故答案为：． 【点评】本题考查了负有理数的概念，解决本题的关键是熟练掌握负有理数的概念． 6．（2024秋•徐州校级期末）把下列各数分别填入相应的集合内 ﹣2，﹣47，0，﹣π，12，0.62，﹣2.2，，． 负有理数集合{ 　﹣2，﹣47，﹣2.2，　 …}； 正分数集合{ 　0.62，　 …}； 非负整数集合{ 　0，12　 …}． 【分析】根据有理数的分类方法进行解答即可． 【解答】解：负有理数集合{﹣2，﹣47，﹣2.2，}； 正分数集合{0.62，}； 非负整数集合{ 0，12 }． 故答案为：﹣2，﹣47，﹣2.2，；0.62，；0，12． 【点评】本题考查有理数的分类，掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、正分数、负分数的定义与特点是关键．注意整数和正数的区别． 7．（2024秋•登封市校级期中）（1）计算：． （2）所有正有理数组成正有理数集合，所有负有理数组成负有理数集合，所有整数组成整数集合，把下列有理数分别填入相应的集合里． ﹣3，，0，，﹣3.14，20，+1.88，，+9，0.101001，1.2，﹣0.3，2025． ①负有理数集合：{　﹣3，﹣3.14，，﹣0.3　 …}； ②正有理数集合：{　，，20，+1.88，+9，0.101001，1.2，2025　 …}； ③整数集合：{　﹣3，0，20，+9，2025　 …}． 【分析】（1）利用有理数的混合运算计算即可； （2）根据有理数的分类即可得到结论． 【解答】解：（1）原式 ＝﹣10+3 ＝﹣7； （2）①负有理数集合：{﹣3，﹣3.14，，﹣0.3…}； ②正有理数集合：{，，20，+1.88，+9，0.101001，1.2，2025…}； ③整数集合：{﹣3，0，20，+9，2025…}． 故答案为：﹣3，﹣3.14，，﹣0.3；，，20，+1.88，+9，0.101001，1.2，2025；﹣3，0，20，+9，2025． 【点评】本题考查了有理数的混合计算，有理数的分类，解题的关键是掌握有理数的分类情况． 8．（2025秋•香坊区校级月考）【阅读材料】我们知道可以写成小数形式为，反过来，无限循环小数可以转化成分数形式．方法如下：设，由．．．，可知：10x＝3.333…，所以，10x﹣x＝3解方程得，所以． 【类比探究】 再以无限循环小数为例，做进一步的讨论：无限循环小数．．．，它的循环节有两位，类比上面的讨论可以想到如下做法： 设，由．．．．可知，100x＝73.7373...，所以100x﹣x＝73，解方程得，于是得． 【解决问题】 （1）把下列无限循环小数写成分数形式： ①　　 ，②　　 ； （2）把无限循环小数写成分数形式并写出过程； （3）若，则　　 ．（填分数） 【分析】（1）①根据阅读材料中题例求解即可；②根据类比探究中题例求解即可； （2）根据类比探究中题例求解即可； （3）由及已知条件，即可求解． 【解答】解：（1）①根据阅读材料中题例求解， 设，由．．．， 可知：10x＝4.444...，所以，10x﹣x＝4， 解方程得， ∴． 故答案为：； ②设，由．．．， 可知，100x＝28.2828...，所以100x﹣x＝28， 解方程得， 解得． 故答案为：； （2）设，由．．．， 得100x＝39.3939...，所以100x﹣x＝39， 解方程得， 于是得； （3）∵， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练运用一元一次方程的解法是解题关键． 9．（2025秋•同步）你知道如何把循环小数化为分数吗？以0.为例，有这样一种方法： 设x＝0.0.333…，① 则10x＝3.333…，② ②﹣①得9x＝3，即x， 所以0.0.333⋯． 根据上述方法，把下列两数化为分数： （1）0.； （2）1.． 【分析】（1）根据题目所提供的方法进行计算即可； （2）类比（1）的方法，设y＝ 0.0.343434…①，则100y＝34.343434…②，进而得到99y＝34，得到y，最后得出结果即可． 【解答】解：（1）设x＝ 0.0.7777…，① 则10x＝7.777…，② ②﹣①得9x＝7，即x， 所以0.0.777； （2）1.1+0.， 设y＝ 0.0.343434…，① 则100y＝34.343434…，② ②﹣①得99y＝34，即y， 所以0.0.343434⋯， 所以1.1． 【点评】本题考查解一元一次方程，循环小数，循环节，理解循环小数、循环节的定义以及一元一次方程的解法是正确解答的关键． 【考点2】无理数（第10-19题） · 无理数=无限不循环小数 · π与开方开不尽的是常见无理数 · 带根号不一定是无理数 · 分数、整数一定是有理数 10．（2025秋•宝安区校级期末）在实数，11，0.010010001…（每两个1之间依次增加一个0），，（﹣3）2中，无理数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】先计算，再根据有理数、无理数的定义判断即可． 【解答】解：（﹣3）2＝9是有理数， 无理数有：0.010010001…（每两个1之间依次增加一个0），，共2个， 故选：C． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式． 11．（2026春•城中区校级期中）在下列实数，3π，3.14，，，，0.030030003…（每相邻两个3之间依次多一个0）中，无理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】先用算术平方根或立方根的定义对、和进行化简，然后根据实数的分类进行判断即可． 【解答】解：∵，2开方开不尽，3，3π是无限不循环小数，0.030030003…（每相邻两个3之间依次多一个0）是无限不循环小数， ∴无理数有：3π，，0.030030003…（每相邻两个3之间依次多一个0）3个， 故选：C． 【点评】本题主要考查无理数、算术平方根和立方根，掌握实数的分类是关键． 12．（2026•兴平市一模）写出一个比大的无理数，你写出的是：　（答案不唯一）　 ．（写出一个即可） 【分析】结合“正数大于负数”的比较规则，找出一个大于的无限不循环小数即可． 【解答】解：满足数值大于且是无限不循环小数，． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是无理数，熟知无理数是无限不循环小数是解题的关键． 13．（2025秋•青羊区校级期末）在实数，π+1，，，0，﹣2.中，无理数有　2　 个． 【分析】先化简，再根据有理数、无理数的定义判断即可． 【解答】解：4是有理数， 所以无理数有：π+1，，共2个， 故答案为：2． 【点评】本题考查了无理数，算术平方根，立方根，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 14．（2025秋•泾阳县期末）已知n是无理数，且2＜n＜3，写出一个满足条件的n的值是 　（答案不唯一）　 ． 【分析】根据n是无理数，且2＜n＜3，得出4＜n2＜9，从而即可得出答案 【解答】解：∵n是无理数，且2＜n＜3， ∴4＜n2＜9， ∴满足条件的n的值是（答案不唯一）． 【点评】本题考查了无理数的估算，准确进行估算是解此题的关键． 15．（2024秋•长宁区校级月考）对于两个含有根号的无理数，如果它们的和等于它们的积，那么我们称这两个无理数互为“友好无理数”． （1）求的“友好无理数”； （2）请你再写出一组符号不同的“友好无理数”，并说明理由． 【分析】（1）设的“友好无理数”是a，根据“友好无理数”的定义解答即可； （2）根据“友好无理数”的定义，写出一组符号不同的即可； 【解答】解：（1）设的“友好无理数”是a，根据对于两个含有根号的无理数，如果它们的和等于它们的积，那么我们称这两个无理数互为“友好无理数”，则， 故， ∴的“友好无理数”是； （2）一组符号不同的“友好无理数”，如和． 理由：， ， 即， 故和是“友好无理数”． 【点评】该题主要考查了一元一次方程，分母有理化以及二次根式的混合运算，解题的关键是读懂题意． 16．（2025秋•虹口区月考）满足的有序有理数对（x，y）＝　　 ． 【分析】根据无理数的特点可得，易得4x4﹣13x2+3＝0，设t＝x2（t＞0），则4t2﹣13t+3＝0，解得：或3；然后分和t＝3两种情况解答即可． 【解答】解：由题意得x＞0，y＞0， ，即， ∵x、y是有理数， ∴， 由②可得：， 将代入①可得：，即4x4﹣13x2+3＝0， 设t＝x2（t＞0），则4t2﹣13t+3＝0， 解得：或3； 当时，， 则或（舍去）， ∴， ∴有序有理数对； 当t＝3时，x2＝3，，舍去． 综上，有序有理数对． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了无理数的特点、解一元二次方程等知识点，掌握两个相等的无理数得有理数部分和无理数部分相等以及运用换元法解高次方程是解题的关键． 17．（2026春•锡林郭勒盟月考）阅读下列解题过程，并解答提出的问题． 设a，b是有理数，且满足，求ba的值． 解：由题意，得．∵a，b都是有理数，∴a﹣3，b+2也是有理数．由于是无理数，∴a﹣3＝0，b+2＝0，∴a＝3，b＝﹣2，∴ba＝（﹣2）3＝﹣8． 问题：设x，y都是有理数，且满足，求x+y的值． 【分析】本题考查了有理数与无理数的性质，掌握有理数与无理数组成的等式中，有理数部分和无理数部分的系数需分别为0是解题的关键． 先把等式整理成有理数部分+无理数部分的形式，再根据有理数和无理数的性质，让有理数部分和无理数部分的系数分别为0，从而解出x、y的值，最后计算x+y． 【解答】解：∵， ∴x2﹣9＝3y， ∴． ∵x，y都是有理数， ∴x2﹣9、y﹣3也是有理数． ∵是无理数， ∴x2﹣9＝0，y﹣3＝0， ∴x＝±3，y＝3． ∴x+y＝6或0． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，有理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键． 18．（2025秋•奉贤区校级期中）小海和乐乐在运用计算器求与（其中a、b是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1﹣1和图1﹣2所示，那么a和b的数量关系是（　　） A．a＝10b B．a＝100b C． D． 【分析】利用计算器计算解答． 【解答】解：根据题意可知结果是10的关系， ∴ab． 故选：D． 【点评】本题考查了计算器计算数的开方，解题的关键是掌握数的开方运算法则． 19．（2025秋•松江区月考）利用计算器计算出的表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若，则（　　） A．0.160 B．0.506 C．16.0 D．50.6 【分析】先根据表格得到规律，再根据规律确定结果， 【解答】解：观察表格数据可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． 若，则， 故选：B． 【点评】本题主要考查了算术平方根和被开方数间关系，根据表格得到规律，是解决本题的关键． 【考点3】实数与数轴（第20-32题） · 实数与数轴点一一对应 · 在数轴上构造无理数（勾股） · 数轴上右大左小 · 估算无理数所在区间 20．（2026春•平城区期末）如图所示，数轴上表示3、的对应点分别为C、B，点C是AB的中点，则点A表示的数是（　　） A． B．6 C．3 D．3 【分析】设A表示的数是a，根据点C是AB的中点，得，求解即可． 【解答】解：设A表示的数是a， ∵点C是AB的中点， ∴ ∴﹣a3﹣3， ∴﹣a6， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了实数与数轴，数轴上两点间的距离，正确理解数轴上两点间的距离是解题的关键． 21．（2025秋•辉县市期末）如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段AB的中点，则点A表示的数（　　） A． B． C． D． 【分析】根据C是线段AB的中点，可得CB＝CA，用C点表示的数减去CB的距离，可得A点表示的数． 【解答】解：由条件可知：， ∴点A表示的数是：， 故选：D． 【点评】本题考查了实数与数轴，以及两点之间的距离公式．数轴上的点与实数一一对应，熟练掌握以上知识点是关键． 22．（2026•威海模拟）如图，数轴上A，B两点对应的实数分别为1和，若点A关于点B的对称点为点C，则点C所对应的实数为（　　） A． B． C． D． 【分析】设点C表示的数是x，先根据条件求出AB，再根据两点间的距离公式列出关于x的方程，解方程求出x即可． 【解答】解：设点C表示的数是x， ∵A，B两点对应的实数分别为1和， ∴， ∴点A关于点B的对称点为点C， ∴AB＝BC， ∴， 或， ∴或1（不合题意舍去）， ∴点C表示的数是， 故选：A． 【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式． 23．（2025秋•静安区校级月考）下列说法正确的是（　　） A．任何数都有平方根 B．两个无理数的和一定是无理数 C．任何实数不是正实数就是负实数 D．实数与数轴上的点一一对应 【分析】根据平方根，无理数，实数与数轴的关系，解答即可． 【解答】解：∵负数没有平方根， ∴A错误，不符合题意； ∵两个无理数的和不一定是无理数，如π+（﹣π）＝0， ∴B错误，不符合题意； ∵0是实数，但既不是正实数也不是负实数， ∴C错误，不符合题意； ∵实数与数轴上的点一一对应， ∴D正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查实数的基本概念，包括平方根、无理数的性质、实数的分类以及实数与数轴的关系．熟练掌握以上知识点是关键． 24．（2025秋•松江区期中）如图，在数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和﹣3，那么点C所对应的实数是　　 ． 【分析】设点C表示的数为x，根据两点间的距离公式可得到，求解即可得到答案． 【解答】解：设点C表示的数为x，则， 解得， ∴点C表示数：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了数轴上两点间的距离，对称的性质，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． 25．（2026春•南岗区校级月考）的绝对值为　　 ． 【分析】根据绝对值的意义解答即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了绝对值的意义，熟练掌握该知识点是关键． 26．（2025秋•虹口区校级期末）如图，在Rt△AOB中，∠BAO＝90°，AB＝2，点A恰好落在数轴上表示﹣3的点上，以原点O为圆心，OB的长为半径画弧交数轴于点C，使点C落在点A的左侧，则点C所表示的数是　　 ． 【分析】根据勾股定理求出OB，进而得出OC的长度，由数轴表示数的方法进行解答即可． 【解答】解：由题意得，在Rt△AOB中，∠OAB＝90°，AB＝2，OA＝3， ∴OB， ∴OC＝OB， ∵点C在原点的左侧， ∴点C在数轴上所表示的数为， 故答案为：． 【点评】本题考查实数与数轴，掌握勾股定理以及数轴表示数的方法是正确解答的关键． 27．（2025秋•渠县校级期末）如图，长方形ABCD的边AD在数轴上，若点A与数轴上表示数﹣1的点重合，点D与数轴上表示数﹣4的点重合，AB＝1，以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为 　　 ． 【分析】根据勾股定理计算出AC的长度，进而求得该点与点A的距离，再根据点A表示的数为﹣1，可得该点表示的数． 【解答】解：在长方形ABCD中，AD＝﹣1﹣（﹣4）＝3，AB＝CD＝1， ∴， 则点A到该交点的距离为， ∵点A表示的数为﹣1， ∴该点表示的数为：， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方． 28．（2026春•蒙城县月考）实数的相反数是　　 ． 【分析】根据相反数的定义进行计算即可． 【解答】解：的相反数为：． 故答案为：2． 【点评】本题考查实数的性质，正确进行计算是解题关键． 29．（2025秋•盐城期末）如图，数轴上点A表示的实数是　　 ． 【分析】由图知直角三角形的斜边长为，则点A表示的数可确定． 【解答】解：由勾股定理得直角三角形的斜边长为， 所以点A表示的数为； 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理与无理数；理解任意实数都可以用数轴上的点表示是关键． 30．（2025秋•浦东新区期末）已知点A、B、C、D在数轴上，其中A、B分别表示数和．点C向左平移4个单位长度后与点B重合． （1）求线段AB的长； （2）点C表示的数； （3）对于数轴上三点，点A、点B关于点D对称，求点D对应的实数． 【分析】（1）通过数轴上两点距离公式计算AB长度； （2）根据平移规律列方程求点C的数； （3）通过设未知数，利用线段长相等列方程求解表示点D的数． 【解答】解：（1）∵点A表示，点B表示， ∴线段AB的长为； （2）∵点C向左平移4个单位长度后与点B重合，即数减小4与相等， ∴点C表示的数为； （3）设点D对应的实数为x， ∵点A、点B关于点D对称， ∴AD＝BD，即， 解得x＝1，即点D对应的实数为1． 【点评】本题考查实数与数轴的知识，包括：数轴上两点距离为两点表示的数之差（右减左）；点向左平移时数减对应单位，向右平移时坐标加对应单位；两点关于某点对称时，该点到两点的距离相等． 31．（2025秋•浦东新区校级期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个大正方形ABCD． （1）则大正方形ABCD的边长为　　 ； （2）将图1中的正方形ABCD放到数轴上，如图2，点A表示的数为﹣1，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，把点B翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚；点C翻滚到数轴上时记为第二次翻滚，经过三次翻滚，点D滚到数轴上的点P时，点P表示的数为　　 ； （3）是否存在正整数n，使得该正方形经过n次翻滚后，其顶点A、B、C、D中某个点与数轴上的2025重合？答：　不存在　 （填“存在”或“不存在”）； （4）在（2）的基础上以数2对应的点为折点，将数轴向右对折，则点D与数　　 对应的点重合． 【分析】（1）根据题意可求出正方形ABCD的面积，进而得到正方形的边长； （2）根据点A表示的数和正方形的边长即可得到点P表示的数； （3）设存在正整数n，则，由进行判断即可求解； （4）设点D与数x对应的点重合，根据对折可得，，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得，正方形ABCD的面积为：5×1×1＝5， ∴边长为：； 故答案为：； （2）∵正方形ABCD的边长为，点A表示的数为﹣1， ∴第一次翻滚后B表示的数为， 第二次翻滚后C表示的数为， 第三次翻滚后D表示的数为， ∵经过三次翻滚，点D滚到数轴上的点P， ∴点P表示的数为； 故答案为：； （3）设存在正整数n，则， ∴， ∵n为正整数， ∴为有理数，而为无理数， ∴上述等式不成立，即不存在正整数n； 故答案为：不存在； （4）设点D与数x对应的点重合， ∴， 解得：， ∴点D与数对应的点重合． 故答案为：． 【点评】本题考查了实数与数轴，算术平方根，读懂题意是解题的关键． 32．（2025秋•松江区月考）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，M． （1）化简M； （2）当a＝3时，求M的值． 【分析】（1）由数轴可得b＜﹣2，0＜a＜2，从而得出a+2＞0，b﹣2＜0，a﹣b＞0，再计算算术平方根后合并同类项即可； （2）将，代入（1）中化简的式子计算即可得解． 【解答】解：（1）由数轴可得：b＜﹣2，0＜a＜2， ∴a+2＞0，b﹣2＜0，a﹣b＞0， ∴M＝|a+2|﹣|b﹣2|+|a﹣b|+|b| ＝a+2﹣[﹣（b﹣2）]+a﹣b+（﹣b） ＝a+2+b﹣2+a﹣b﹣b ＝2a﹣b； （2）当，时， 原式． 【点评】本题考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，实数的运算，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【考点4】实数的绝对值和大小比较（第33-43题） · |a|为到原点距离，非负 · 正数＞0＞负数 · 两负数绝对值大的反而小 · 无理数比较用平方法 33．（2025秋•普陀区校级期末）根据如图，下列判断正确的是（　　） ①a+c＜b；②b﹣a＞0+c；③|﹣a|+|c|＞|b|+|﹣a|；④c＜﹣b＜a． A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【分析】利用绝对值的定义解答． 【解答】解：有数轴图可知c＜﹣a＜0＜a＜b，|c|＞|b|＞|a|， ∴a+c＜b，①正确； b﹣a＞0+c，②正确； |﹣a|+|c|＞|b|+|﹣a|，③正确； c＜﹣b＜a，④正确． ∴选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义． 34．（2025秋•鼓楼区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．0是最小的正数 B．﹣m一定比m小 C．互为相反数的两个数之和为0 D．绝对值等于它本身的数是负数 【分析】根据正负数、相反数、绝对值的基本概念判断即可 【解答】解：本题考查了正负数、相反数、绝对值的基本概念如下： A．0既不是正数也不是负数，故A错误； B．当m为负数时，﹣m为正数，此时﹣m＞m，故B错误； C．互为相反数的两个数之和为0，故C正确； D．绝对值等于本身的数是正数和0，而不是负数，故D错误； 故选：C． 【点评】本题考查了正负数、相反数、绝对值的基本概念． 35．（2025秋•大庆校级期末）若|a﹣4|＝|a|+|4|，则a的值是（　　） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个负数 D．任意一个非正数 【分析】根据题意分情况讨论，当a≥4时，当0≤a＜4时，当a＜0时，结合绝对值性质求解． 【解答】解：∵|4|＝4， ∴|a﹣4|＝|a|+|4|为|a﹣4|＝|a|+4． 当a≥4时，|a﹣4|＝a﹣4，|a|＝a， ∴a﹣4≠a+4，不成立； 当a＜0时，|a﹣4|＝4﹣a，|a|＝﹣a， ∴4﹣a＝﹣a+4，恒成立； 当0≤a＜4时，|a﹣4|＝4﹣a，|a|＝a， ∴4﹣a＝a+4，解得a＝0； 综上，当a≤0时等式成立，故a是任意一个非正数； 故选：D． 【点评】本题考查绝对值性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 36．（2024秋•嘉兴期末）已知实数a，b满足|a﹣b|＝﹣a﹣b，且a≠b，则下列说法中正确的是（　　） A．若a＝0，则a＜b B．若b＝0，则a＞b C．若a＞b，则a＝0 D．若a＜b，则a＝0 【分析】根据绝对值的定义逐项进行判断即可． 【解答】解：A．若a＝0，则|a﹣b|＝|﹣b|＝﹣b，即﹣b＞0，也就是b＜0，所以a＞b，因此选项A不符合题意； B．若b＝0，则|a﹣b|＝|a|＝﹣a，即a＜0，所以a＜b，因此选项B不符合题意； C．若a＞b，则|a﹣b|＝a﹣b＝﹣a﹣b，即a＝﹣a，所以a＝0，因此选项C符合题意； D．若a＜b，则|a﹣b|＝﹣a+b＝﹣a﹣b，即b＝﹣b，所以b＝0，a＜0，因此选项D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查绝对值，连接绝对值的定义是正确解答的关键． 37．（2026•朝阳区校级模拟）在，﹣π，﹣2三个数中，最大的是　　 ． 【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：∵﹣π＜﹣2， ∴最大的数是：． 故答案为：． 【点评】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 38．（2026春•官渡区校级期中）比较大小：4　＞　 ．（填“＞”或“＜”） 【分析】本题利用平方法比较两个正实数的大小，分别计算两数的平方，通过比较平方的大小得到两数的大小关系，再结合不等式的性质即可得出结果． 【解答】解：∵3＜4， ∴， ∴， ∴． 故答案为：＞． 【点评】本题主要考查实数大小比较，熟练掌握此方法是解题的关键． 39．（2025秋•未央区校级期末）比较大小：　＞　 ． 【分析】先把根号外的因数移入根号内，再比较被开方数即可． 【解答】解：，， ∵， ∴， 故答案为：＞． 【点评】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较的方法是解题的关键． 40．（2025秋•江宁区月考）绝对值大于4而小于7的所有整数之和是　0　 ． 【分析】根据绝对值是表示一个数的点到原点的距离，而距离不分正负，所以要从正、负两个方向上找符合条件的数，特别不要遗漏负方向上的数． 【解答】解：∵绝对值大于4而小于7的所有整数有：﹣6，﹣5，6，5， ∴它们的和为：﹣6﹣5+6+5＝0． 故答案为：0． 【点评】本题考查了绝对值的几何意义，正确记忆相关知识点是解题关键． 41．（2025春•秦淮区校级月考）比较与的大小，并证明． 【分析】将原式进行分母有理化可得，2，再根据实数比较大小的方法即可求解． 【解答】解：， 证明：将原式进行分母有理化可得：，2， ∵2， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的混合运算，实数大小比较，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 42．（2022秋•乐清市校级期中）在数轴上表示下列各数（无理数近似表示即可），并用“＜”连接起来． ﹣|﹣4.5|，0，， 【分析】先在数轴上表示各点，再按从小到大的顺序进行排列即可． 【解答】解：各数表示在数轴上为： 从小到大的顺序排列为：﹣|﹣4.5|0． 【点评】本题考查实数大小比较和数轴，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 43．比较实数的大小： （1）与0.25； （2）与． 【分析】（1）利用比较实数大小的方法解答即可； （2）利用比较实数大小的方法解答即可． 【解答】解：0.25， ∵81＝7， 又∵， ∴0， ∴81， ∴， ∴0.25； （2）∵8﹣（）＝9， 又∵， ∴， ∴8﹣（）＞0， ∴81， ∴． 【点评】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较的法则是解题的关键． 【考点5】实数运算（第44-52题） · 按运算法则与顺序 · 先化简根式再合并 · 运算律适用 · 注意符号 44．（2025秋•浦东新区校级期末）下列选项正确的是（　　） A．的平方根是±4 B． C．有理数除以无理数的商一定是无理数 D． 【分析】根据算术平方根、立方根、有理数、无理数的运算法则计算判断即可． 【解答】解：A、4，4的平方根是±2，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、有理数除以无理数的商不一定是无理数，如0除以任何不等于0的数都得0，故此选项不符合题意； D、5，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 45．（2026春•沭阳县校级期末）规定一种新的定义：a★ba2，若a＝3，b＝49，则（a★b）★b＝　3　 ． 【分析】根据题中给到的新运算，先计算a★b然后直接代入数据计算（a★b）★b即可． 【解答】解：∵a★ba2 32 ＝7﹣9 ＝﹣2， ∴（a★b）★b ＝7﹣4 ＝3． 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是关键． 46．（2026春•虹口区校级月考）方程的解为x＝1　 ． 【分析】先设a，b将原方程变形为：a+b＝1，再分别计算a3和b3，然后利用立方和公式（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2将原方程化为：8x3+15x2+6x﹣29＝0，再根据试根法求出方程的一个根是x＝1，将原方程变形为（x﹣1）（8x2+23x+29）＝0，再判断方程8x2+23x+29＝0的根的情况即可． 【解答】解：设a，b，则原方程可化为：a+b＝1， 且a3，b3， ab． ∴a3+b3＝（）+（）＝2x， ∵（a+b）3＝a3+b3+3ab（a+b）， ∴13＝2x+31， 即：2x+31， ∴31﹣2x， ∴， 两边同时立方得：， ∴， 化简，得：8x3+15x2+6x﹣29＝0， 通过试根法，x＝1是方程8x3+15x2+6x﹣29＝0的一个根， ∴8x3+15x2+6x﹣29＝0可变形为： （x﹣1）（8x2+23x+29）＝0， 对于二次方程8x2+23x+29＝0， ∵Δ＝232﹣4×8×29＝﹣399＜0， ∴此方程无实数根． ∴原方程的解为x＝1． 故答案为：x＝1． 【点评】本题考查立方根和实数的运算，将原方程变形和熟练运用立方根公式是关键． 47．（2026•温州一模）计算的结果为　5　 ． 【分析】根据绝对值的性质和算术平方根的定义分别化简两项，再求和得到最终结果． 【解答】解：原式＝3+2＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是关键． 48．（2025秋•万州区期末）﹣12026　1　 ． 【分析】先根据有理数的乘方、算术平方根的定义计算，再根据有理数加法法则计算即可． 【解答】解：﹣120261+2＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 49．（2025秋•连云港期末）计算与解方程： （1）． （2）2（x+1）2＝8． 【分析】（1）先求立方根，平方根，乘方运算，然后再进行加减法即可． （2）利用平方根解方程即可． 【解答】解：（1）原式＝2﹣3+5 ＝4； （2）2（x+1）2＝8， （x+1）2＝4， ∴x+1＝2或x+1＝﹣2， ∴x1＝1，x2＝﹣3． 【点评】本题主要考查了实数的混合运算，正确进行计算是解题关键． 50．（2025秋•博山区期末）计算 （1） （2） 【分析】（1）先计算平方根，立方根，然后按顺序计算即可； （2）先计算绝对值、平方根、幂运算，然后按顺序计算即可． 【解答】解：（1）原式＝2﹣3＝﹣1； （2）原式． 【点评】本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是关键． 51．（2025秋•合江县校级期末）计算：． 【分析】先化简绝对值，计算算术平方根、立方根及乘方，再计算加减法． 【解答】解： ＝3﹣4（﹣2）+4 ＝3﹣4+（﹣1）+4 ＝2． 【点评】此题考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 52．（2025秋•浦东新区期中）我们定义：如果一个数的平方等于﹣1，记作i2＝﹣1，那么这个i就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为a+bi（a，b均为实数）的形式，其中a叫做它的实部，b叫做它的虚部．复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似． 例如计算：（6+i）+（2﹣3i）＝（6+2）+（i﹣3i）＝8﹣2i． 根据上述材料，将化为a+bi（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含i的形式）　1+i ． 【分析】分子分母同乘以（2+i）后，把分母化为不含i的数后计算． 【解答】解：由题意得：， 即将化为a+bi（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含i的形式）为：1+i， 故答案为：1+i． 【点评】此题考查了新定义运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【考点6】近似数和科学计数法（第53-59题） · 科学记数法a×10n格式 · 精确度看末位所在位 · n=整数位数−1 · 小数n取负值 53．如果用四舍五入法得到的近似数是78，那么该数不可能是下列各数中的（　　） A．78.01 B．77.99 C．77.50 D．77.49 【分析】根据近似数的精确度得到在77.5与78.5之间的数（含77.5，不含78.5）四舍五入法得到近似数78． 【解答】解：设a由四舍五入法得到近似数78，则77.5≤a＜78.5． 故选：D． 【点评】本题考查了近似数和有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字；近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． 54．（2024秋•常州期末）“2024年潮州半程马拉松”赛道全长21.0975km．将21.0975精确到十分位的近似值是 　21.1　 ． 【分析】按要求将百分位上的数四舍五入即可解答． 【解答】解：21.0975百分位上的数是9，在由四舍五入法知：21.0975精确到十分位的近似值是21.1． 故答案为：21.1 【点评】本题考查近似数，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位． 55．（2025秋•扬州校级期末）2025年6月29日，第五轮“苏超”联赛在泰州举行，本场比赛观众人数为24986人，用四舍五入法将24986人精确到1000人，所得的近似数为　2.5×104 ． 【分析】根据科学记数法的一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此求解即可． 【解答】解：24986≈25000＝2.5×104， 故答案为：2.5×104． 【点评】本题考查了近似数，“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式． 56．（2025秋•新抚区期末）0.6808用四舍五入法精确到百分位是　0.68　 ． 【分析】精确到百分位，需观察千分位数字，依据四舍五入规则确定百分位的数值． 【解答】解：精确到百分位，需观察千分位数字， ∵0.6808精确到百分位，需看千分位数字0，0＜5， ∴舍去千分位及后面的数，得到0.68， 故答案为：0.68． 【点评】本题主要考查了近似数的四舍五入法，熟练掌握“精确到某一位时，需观察其下一位数字并依据四舍五入规则判断”是解题的关键． 57．（2026•于洪区一模）据2026年1月文旅部数据，全国重点博物馆自2016年以来，累计推出线上云展超5200场，吸引观众超6500万人次．数据65000000用科学记数法表示为　6.5×107 ． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：65000000＝6.5×107， 故答案为：6.5×107． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 58．（2025秋•龙江县期末）我国一款手机的芯片采用了先进的8nm制造工艺，已知8nm＝0.000000008m，将0.000000008用科学记数法表示为　8×10﹣9 ． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：0.000000008＝8×10﹣9． 故答案为：8×10﹣9． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 59．（2026•龙沙区三模）据统计，今年国庆节期间累计全社会跨区域人员流动量约2432000000次．将数据2432000000用科学记数法表示为　2.432×109 ． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：2432000000＝2.432×109． 故答案为：2.432×109． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 💯 课后巩固 复习建议 · 实数=有理数+无理数：有理数是有限或无限循环小数，无理数是无限不循环小数 · 带根号的数不一定是无理数（=2），π是最常考的无理数 · 实数与数轴上的点一一对应，数轴上右大左小 · 无理数比较大小常用平方法；绝对值结果恒非负 · 科学记数法a×10n要求1≤|a|＜10，n由小数点移动确定 学科网（北京）股份有限公司 $