第12讲·测量、直角三角形的性质·培优讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年华东师大版九年级数学上册
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精品
内容正文：
第12讲·测量、直角三角形的性质·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026年华东师大版九年级数学上册
参考答案与试题解析
🍔 思维导图
🍟 课程目标
· 掌握直角三角形的性质：两锐角互余、斜边上的中线等于斜边的一半
· 掌握含 30° 角的直角三角形的性质：30° 角所对的直角边等于斜边的一半
· 会综合运用斜边中线定理解决矩形、菱形、旋转、折叠等图形中的计算与证明
· 会运用勾股定理及逆定理求线段长、判定直角三角形
· 能将屋架、梯子靠墙、交通测量等实际问题转化为直角三角形模型求解
· 会综合角平分线、垂直平分线、旋转、动点等知识解决直角三角形压轴问题
🍗 知识梳理
✅️ 1.直角三角形的基本性质
直角三角形的两个锐角互余：∠A + ∠B = 90°
斜边上的中线等于斜边的一半：直角三角形斜边上的中线 CD = AB
斜边中线定理的逆用：若三角形一边上的中线等于这条边的一半，则该边所对角为直角
斜边中线的等价转化：中线分出的两个等腰三角形（AD = CD = BD），常配合等边对等角使用
30° 角所对的直角边等于斜边的一半：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，则 BC = AB
概念辨析例题：在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是斜边 AB 上的中线，若 ∠A = 35°，则 ∠BDC 的度数为（ ）
答案：70°
解析：斜边中线 CD = AD = BD，所以 △ACD 是等腰三角形，∠ACD = ∠A = 35°。由三角形外角性质，∠BDC = ∠A + ∠ACD = 70°。斜边中线把直角三角形分成两个等腰三角形是高频辅助思路。
✅️ 2.含30°角的直角三角形
性质：30° 角所对的直角边等于斜边的一半，反之，直角边等于斜边一半则该直角边所对角为 30°
常见模型：等边三角形的高线把它分成两个含 30° 角的直角三角形
与等边三角形结合：等边三角形边长为 a，则高为 a，面积为 a²
与折叠、旋转结合：折叠前后的对应边相等，旋转前后的对应边相等，往往构造出 30° 角
求解时先确认斜边（直角所对边），再看哪条直角边对 30° 角
概念辨析例题：一架梯子长 8 米，斜靠在竖直墙上，梯子与墙的夹角为 30°，则墙脚到梯子底端的水平距离为（ ）
答案：4 米
解析：梯子长为斜边 AB = 8，梯子与墙的夹角 30° 所对的直角边是墙脚到梯子底端的水平距离 BC，故 BC = × 8 = 4 米。先找 30° 角的对边，再套「对边 = 斜边的一半」。
✅️ 3.直角三角形与特殊四边形综合
矩形：对角线相等且互相平分，对角线交点到四顶点距离相等，常与斜边中线联动
菱形：对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角，一半对角线 + 半边构成直角三角形
折叠：折痕是对应点连线的垂直平分线，折叠前后对应边、对应角相等
旋转：旋转前后对应边相等、对应角相等，旋转角相等，常产生等腰三角形
含 30° 角 + 特殊四边形：往往在菱形（矩形）中分割出含 30° 角的直角三角形求线段
概念辨析例题：在菱形 ABCD 中，∠BAD = 60°，对角线 AC、BD 相交于点 O，则 BD 与 AC 的比值为（ ）
答案： : 3
解析：∠BAO = 30°，在 Rt△ABO 中，BO = AB，AO = AB，所以 BD : AC = 2BO : 2AO = BO : AO = : = : 3。菱形被对角线分成四个含 30° 角的直角三角形。
✅️ 4.勾股定理及其逆定理
勾股定理：直角三角形两直角边 a、b，斜边 c，则 a² + b² = c²
逆定理：若 a² + b² = c²，则该三角形是直角三角形（c 所对角为直角）
常见勾股数：3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25 及其倍数
求点到直线的距离常作垂线构造直角三角形，用勾股计算
实际测量问题（测距、测高）先抽象出直角三角形，再标注已知量求解
概念辨析例题：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 4，则 AB 的长为（ ）
答案：8
解析：30° 角所对直角边 BC = AB，所以 AB = 2BC = 8。也可以用勾股定理：AC = 4，AB = = 8。含 30° 角时用倍数关系比勾股更快。
✅️ 5.直角三角形的实际应用与压轴综合
实际模型：屋架（等腰三角形）、梯子靠墙、单摆、交通测速、区域面积分割
建模步骤：抽象出直角三角形 → 标注已知量 → 选定性质（30°角/斜边中线/勾股）→ 求解
动点问题：设时间 t 表示线段，结合 30° 角或斜边中线列方程
探究题常串联多个性质：斜边中线 + 等腰 + 全等/相似 + 勾股逐步推进
尺规作图（角平分线、垂直平分线）与性质联动：作图产生等腰三角形
概念辨析例题：在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 6，BC = 8，点 P 从 A 出发沿 A→C→B 运动，速度为每秒 2 个单位，当 CP 把 △ABC 的面积平分时，t =（ ）
答案：1.5 秒
解析：CP 平分面积时 P 为 AB 中点，AB = 10，AP = 5。路径 A→C 长 6，P 在 CB 上时 CP 路程 = 6 + (8 - BP)，BP = 5，路程 = 6 + 3 = 9，t = 9 ÷ 2 = 4.5 秒。动点问题先找关键位置（中点），再分段算路程。
🧀 知识总结表
核心定理
内容
用途
两锐角互余
∠A + ∠B = 90°
求第三个角
斜边中线
中线 = 斜边的一半
构造等腰三角形
30°角性质
对边 = 斜边的一半
求线段长
勾股定理
a² + b² = c²
求边长
勾股逆定理
a²+b²=c² → 直角三角形
判定直角
等边三角形
高 = 边长
分割出30°直角三角形
📩 核心考点
【考点1】直角三角形的性质与含30°角（第1-13题）
· 两锐角互余求角度；30° 角对边 = 斜边一半求线段
· 斜边上的中线分出两个等腰三角形，等腰三角形两底角相等联动
· 屋架、梯子靠墙等模型先抽象出直角三角形并标注
· 含 30° 角的图形（等边三角形高线）优先考虑倍半关系
1．
【答案】B
【知识点】含30度角的直角三角形
【详解】解：∵，，，
∴在中，．
2．
【答案】D
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理的应用，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关的知识．由特殊角即目标距离构造直角三角形，利用含特殊角中边的比例关系设未知数表示线段长度，利用勾股定理建立等量关系解之即可．
【详解】解：如图，过点作，
，
，
设，则，
在中，，即，
在中，有，即，
解得：（负值舍去），
，
木箱点距离地面高度为，
故选：D．
3．
【答案】A
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可．
【详解】解：由题意可知：，
在中，是的中线，
，
故选：A．
4．
【答案】A
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质和判定
【分析】首先根据“直角三角形两锐角互余”可得，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，然后根据等腰三角形的性质即可获得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵点为的中点，
∴，
∴．
5．
【答案】D
【知识点】根据三角形中线求长度、斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的证明
【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半．根据是边的中线得出，结合各选项，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：在中，是边的中线，则
A. 如果，那么，不能得出，故该选项不正确，不符合题意；
B. 如果，则，那么，不能得出，故该选项不正确，不符合题意；
C. 如果，不能得出，故该选项不正确，不符合题意；
D. 如果，
∴
又∵
∴
∴
又∵
∴
那么，故D选项正确，
故选：D．
6．
【答案】5
【知识点】含30度角的直角三角形、根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理的应用，含角的直角三角形的性质．根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，进而求出．
【详解】解：在中，，，
则米，
四边形为矩形，
，，
，
∴，
∴，
，
故答案为：5．
7．
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形
【分析】本题考查了直角三角形的角所对的边等于斜边的一半．先根据点 D是的中点，，求出，再根据直角三角形的角所对的边等于斜边的一半求出．
【详解】解：∵点 D是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
8．
【答案】4
【知识点】含30度角的直角三角形
【分析】本题考查了30度角的直角三角形，根据30度角所对的直角边是斜边的一半，进行分析，即可作答．
【详解】解：依题意，米，
∵一架梯子斜靠在与地平面垂直的墙上，梯子与墙的夹角，
∴（米），
故答案为：4．
9．
【答案】 6
【知识点】含30度角的直角三角形
【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，由直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，求出AB的长，即可解决问题．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵，
∴AP的长的取值范围是．
故答案为：．
10．
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、与三角形的高有关的计算问题、直角三角形的两个锐角互余
【分析】先求出，可求出的长，再求出的长，即可得到答案．
【详解】解：，，
，
是高，
，
，
，
．
11．
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、与三角形的高有关的计算问题、直角三角形的两个锐角互余、斜边的中线等于斜边的一半、实数的混合运算、用勾股定理解三角形
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，斜边上的中线的性质，等积法逐一进行求解即可.
【详解】解：在中，，，
，
，，
，
由勾股定理得：；
三角形面积：；
是斜边上的中线，
；
是斜边上的高线，由三角形面积相等得：；
代入得：，解得.
12．
【答案】3
【知识点】含30度角的直角三角形
【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质、平行线的性质，由题意可得，和中均含30度角，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可求解．
【详解】解： 中，，，
，
又 ，
，
，
，
在中，，
，
，
，，
，
又 ，
．
13．
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形
【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质、平行线的性质，由题意可得，和中均含30度角，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可求解．
【详解】∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【考点2】斜边中线定理及应用（第14-26题）
· 见到「直角 + 中点」优先连斜边中线，得 CD = AB
· 中线 = 半边 → 等腰三角形 → 等边对等角 → 角度转化
· 逆用：一边上的中线等于该边一半 → 该边对角为 90°
· 与中位线、方程结合求复杂线段
14．
【答案】C
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质求面积、根据正方形的性质求线段长
【分析】利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半和正方形面积公式求解即可．
【详解】解：在中，D是斜边的中点，，
，
正方形的面积为．
15．
【答案】A
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题考查了直角三角形的性质，关键是熟练应用知识点解题；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，为的中点，
∴，
故选：A．
16．
【答案】C
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．
【详解】解：∵在中，，，点为的中点，
∴．
17．
【答案】B
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形中位线定理，由直角三角形的性质得出，结合得出，再由三角形中位线定理即可得出．
【详解】解： ，点是的中点，，
，
，
，
，
分别是的中点，
是的中位线，
，
故选：B．
18．
【答案】C
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形
【分析】根据旋转的性质可得，可得，，再由等腰直角三角形的性质可得，，从而得到，，然后在中，根据勾股定理，求得的长，再利用三角形的性质即可求解．
【详解】解：根据旋转的性质得，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
在中，，
∵是的中点，
∴．
19．
【答案】
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】设斜边长为，则斜边中线长为，根据题意列一元一次方程求解即可．
【详解】解：设斜边长为，则斜边中线长为，
由题意得，
解得，
∴斜边长为．
20．
【答案】
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、等边对等角，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再结合等腰三角形性质，外角性质，推出为等腰直角三角形，最后利用勾股定理求解，即可解题．
【详解】解： ，点为的中点，，
，
，
，
，
于点，
，
，
，
，
，
解得或（负值舍去）；
故答案为：．
21．
【答案】(1)
证明：∵，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴；
(2)
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查斜边上的中线，中垂线的性质，熟练掌握相关性质，是解题的关键：
（1）根据斜边上的中线得到，中垂线的性质，得到，即可得证；
（2）根据等边对等角，结合三角形的外角的性质，进行求解即可．
【详解】（1）略
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．
【答案】
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．
根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解作答即可．
【详解】解：由题意可知，，
又∵，且为边的中点，
∴，
∴的长为．
23．
【答案】(1)
(2)证明：延长交的延长线于M，在上取一点N，使得，连接．
∵，
∴，
在和 中，
，
∴，
∴，
∵，E是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，即，
又∵，
∴
∴，
∴，
即．
【知识点】利用平行四边形的性质求解、斜边的中线等于斜边的一半、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】（1）利用勾股定理求出，再利用直角三角形的斜边的中线的性质即可解决问题；
（2）延长交的延长线于M，在上取一点N，使得，连接．想办法证明是的中位线即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）略
24．
【答案】(1)
(2)
如图②，当时，点，，共线，，，共线，
∵，且为等腰直角三角形，是的中点，
∴，
∴，，
∵，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、根据旋转的性质求解、求点到坐标轴的距离、用勾股定理解三角形
【分析】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
（1）如图①中，过点M作于D．解直角三角形求出，即可解决问题．
（2）如图②，当时，点B，A，N共线，O，A，M共线，利用直角三角形斜边中线定理即可解决问题．
【详解】（1）解：如图①中，过点作于．
∵点，点，
∴，
∵是的中点，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，
∴当时，点在上，
由旋转可知：，
．，
∴，
∴．
（2）略
25．
【答案】(1)证明：如图，连接，
∵，为中点，
∴，
∴，
∵三点共线，
∴，
∵绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
(2) ； ；
(3)面积的最大值为．
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、根据旋转的性质求解、全等的性质和HL综合（HL）、根据等角对等边求边长、用勾股定理解三角形
【分析】（1）连接，由中位线定理可得，则，然后证明即可；
（2）由中位线定理得，，进而求勾股定理得，再利用平行线及等腰三角形的判定可得，，进而求得在利用线段的和差求出即可得解；
先证进而设，在中，由勾股定理得，然后代入求解即可；
（3）为定线段，所以面积问题转化为点到最大距离问题，很明显当三点共线时，此时即为点到的最大距离，即可得解．
【详解】（1）略
（2）解：如图，记交于点，
∵，，为中点，
∴，，
在中，由勾股定理，得，
∵绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
∵绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
∵，，三点共线,
∴，
∴，
∴，
设，
在中，由勾股定理，得，
则，
解得，
∴；
（3）解：如图，过作于点，
∵为定值，
∴当上的高线最大时，则面积最大，即求出到的最大距离即可，
∵，
当点和点重合时，且旋转到外侧时，此时最大，
∵，
∴此时三点共线，
在中，为斜边的中点，则有，
即，
∴，
即面积最大值为．
26．
【答案】(1)证明：∵是等腰直角三角形，为斜边上的中线，
∴，，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
(2)；
证明：如图，
∵是等腰直角三角形，为斜边上的中线，
∴，，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一
【分析】（1）首先证明，再证明，可利用定理判定，进而得到；
（2）方法与（1）类似，证明，可得．
【详解】（1）略
（2）略
【考点3】含30°角与特殊四边形综合（第27-39题）
· 矩形对角线交点与各顶点等距，常与斜边中线联动
· 菱形对角线互相垂直，一半对角线与半边构成含 30° 角直角三角形
· 折叠问题：对应边相等，折痕为垂直平分线，常列方程求线段
· 菱形 ∠120°/60° 与等边三角形、30° 直角三角形互化
27．
【答案】D
【知识点】含30度角的直角三角形、利用菱形的性质求线段长、实数与数轴、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理．作于点，利用菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理计算即可．
【详解】解：作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵点E表示的数是3，
∴点A表示的数是，
故选：D．
28．
【答案】C
【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．解题的关键是利用矩形对角线的性质得出为等边三角形，进而求出相关角度和线段长度．
【详解】∵，
∴是等边三角形，，
在矩形中，，于是在中，
根据直角三角形中所对的直角边是斜边的一半，可得，
再由勾股定理得解得，
故选：C．
29．
【答案】D
【知识点】含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质；连接，，根据线段垂直平分线的性质可知，，，故可得出，即，再由三角形外角的性质求出的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：连接，，
中，，，
．
是的垂直平分线，，
，，
，即．
是的垂直平分线，
，
，
，
在中，
，
，即．
故选：D．
30．
【答案】B
【知识点】含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理
【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质．根据已知得出，根据角平分线的性质可得，再根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴
∴
又∵
∴
∴
∵，平分，
∴
∴
故选：B．
31．
【答案】C
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形
【分析】根据矩形的性质及勾股定理得出，，，利用之间三角形斜边上的中线性质得出，，结合图形，根据相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】解：∵矩形中，，，点E为的中点，
∴，，，，
∴．
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，点E为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定以及性质，直角三角形的性质，以及勾股定理，掌握这些性质与定理是解题的关键.
32．
【答案】
1
【知识点】含30度角的直角三角形、根据矩形的性质求线段长
【分析】利用矩形的对角线相等且互相平分求出的长，再利用含角的直角三角形的性质求出的长．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，
，
，
在中，，
．
33．
【答案】 /30度
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长
【分析】本题考查的是正方形的性质、直角三角形的性质和勾股定理．根据正方形的性质得到，求出，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；．
34．
【答案】6
【知识点】垂线段最短、含30度角的直角三角形、利用菱形的性质求线段长、线段垂直平分线的性质
【分析】本题考查了菱形的性质，线段的垂直平分线性质，含角的直角三角形，垂线段最短，先得，，然后连接，过点P作，得，，则，即可作答．
【详解】解：∵P为菱形的对角线上的一定点，，的最小值为3，
∴，，
连接，过点P作，
则，，
∴，
∴
∴，
故答案为：6．
35．
【答案】18
【知识点】折叠问题、含30度角的直角三角形、根据等角对等边证明边相等
【分析】本题考查了翻折变换，含30度的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
由三角形内角和定理可得，根据折叠可得，则，即可求解．
【详解】解：∵，
，
∵折叠该纸片使得点落在边上的点处，
，
，
，
故答案为：18．
36．
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质
【分析】根据等边三角形的性质以及线段间的关系求出的长，然后根据正方形性质以及角度关系得到，利用“直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质计算求出中边上的高，最后根据三角形面积公式求解．
【详解】解：如图，过点F作于Q，
则，即是直角三角形．
∵是等边三角形，，
∴，．
∵，，
∴是等边三角形，且边长为1，
∴，，
∴．
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
37．
【答案】
【知识点】折叠问题、含30度角的直角三角形、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，直角三角形的特征，勾股定理等；过作交的延长线于，由菱形的性质得，，由角三角形的特征得，设，由折叠得：，由勾股定理得，即可求解；掌握折叠的性质，菱形的性质，直角三角形的特征，能构建直角三角形，熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键．
【详解】解：过作交的延长线于，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
点为中点，
，
，
，
设，
则，，
由折叠得：，
，
，
解得：，
，
故答案为：．
38．
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、利用平行四边形的性质求解、根据菱形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形
【分析】首先证明平行四边形是菱形，再利用直角三角形的性质，勾股定理求解即可；
【详解】解：∵平行四边形的对角线相交于点，且，
∴平行四边形是菱形，
∴,，
∵，，
∴，
根据勾股定理，得，
∴．
39．
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、角平分线的性质定理、根据平行线判定与性质求角度、根据等角对等边证明边相等
【分析】本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，角平分线的性质，以及平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等可得，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半和角平分线的性质解答．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴．
故答案为：4．
【考点4】旋转、动点与实际应用（第40-52题）
· 旋转产生等腰三角形：对应边相等，旋转角已知则底角可求
· 30° 角旋转模型：旋转 60° 常构造等边三角形
· 动点问题设时间 t，分段表示线段长，用方程求解
· 实际问题（测速、摆动、面积）先建模为直角三角形再计算
40．
【答案】C
【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了作图-基本作图，等边三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，正确地判断出是直角三角形是解题的关键．连接，由作图知，，根据等边三角形的性质和直角三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论．
【详解】解：连接，
由作图知，，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
41．
【答案】C
【知识点】含30度角的直角三角形、作角平分线(尺规作图)
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，平行线的判定及性质，垂线定义．由直角三角形的性质得，由作图知平分，，进而证明，得，，从而得．
【详解】解：∵，，，
∴，
由作图知平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
42．
【答案】B
【知识点】含30度角的直角三角形、角平分线的性质定理
【分析】本题考查角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，过点作，角平分线的性质，得到，平行线的性质，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长即可．
【详解】解：过点作，
∵P为平分线上一点，，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴；
故选B．
43．
【答案】D
【知识点】含30度角的直角三角形、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，平行四边形的性质．过点E作于点F，根据直角三角形的性质可得，再根据平行四边形的性质以及平分可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：如图，过点E作于点F，
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
故选：D
44．
【答案】B
【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、求点到坐标轴的距离、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了坐标与图形，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理．过点E作轴于点H，，根据题意可得，再由点E的坐标为，可得，，然后根据直角三角形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求解．
【详解】解：如图，过点E作轴于点H，，
根据题意得：，
∴，
∴，
∵点E的坐标为，轴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
45．
【答案】A
【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质
【分析】根据等边三角形的性质得出，，由中点的定义得出的长，在中利用角所对的直角边等于斜边的一半求出的长，最后根据计算即可．
【详解】解：∵是边长为1的等边三角形，
∴，，
∵D是的中点，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴．
故选：A．
46．
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，先根据，可得，再根据勾股定理求出，然后根据直角三角形的性质得出可得答案．
【详解】∵，，点D是边的中点，
∴
∵．
∴
即
在中，，，
根据勾股定理，得．
在中，点D是边的中点，
∴．
故答案为：．
47．
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、作角平分线(尺规作图)、角平分线的性质定理、根据等角对等边证明边相等
【分析】本题考查基本作图—作角平分线，含30度角的直角三角形，等角对等边.
根据题意，得到平分，进而得到，利用含30度角的直角三角形的性质以及等角对等边得到，即可．
【详解】解：∵，
∴，
由题意，得：平分，
∴，
∴，
在中，，
∴.
故答案为：．
48．
【答案】能
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的运用，掌握勾股定理是关键．
根据题意可得，米，结合题意得到米，则米，由此得到行驶速度，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴米，
∵，
∴，
∴米，
∴（米），
∴米，
米/秒千米/时千米/时，
∴能判定此车超速．
故答案为：能
49．
【答案】3
【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、三线合一
【分析】过点作于，先根据含的直角三角形的性质求出，再根据等腰三角形的三线合一性质求出，即可得出．本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含的直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：过点作于；如图所示：
则，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，，
，
；
故答案为：3．
50．
【答案】/
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是过点作交于点，根据，，，求出，根据勾股定理，求出，最后根据三角形的面积公式计算即可求解．
【详解】解：过点作交于点，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
51．
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，利用旋转的性质判定等边三角形是解题的关键．
利用旋转的性质证出为等边三角形，从而推出为等边三角形，得到，即可通过勾股定理求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵绕点按逆时针方向旋转得到，
∴，，
∵，，
∴∠，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
设，则，
∴在中，，
∴，
解得：，
故答案为：．
52．
【答案】或
【知识点】折叠问题、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，分情况讨论：①当时，根据含角的直角三角形的性质和折叠的性质可得出，根据勾股定理可求出，然后结合线段的和差求解即可；②当时，根据含角的直角三角形的性质和折叠的性质可得出，然后结合线段的和差求解即可．
【详解】解：∵折叠，
∴
①当时，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
②当时
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
综上，的长为或．
📊 课后巩固
🍬 复习建议
· 直角三角形三大性质：两锐角互余、斜边中线等于斜边一半、30°角对边等于斜边一半
· 见「直角 + 中点」就连斜边中线，构造等腰三角形转化角度
· 菱形被对角线分成四个直角三角形，60° 内角时出现含 30° 角直角三角形
· 折叠与旋转都产生等线段：对应边相等是列方程的桥梁
· 勾股定理求线段，逆定理判直角；常见勾股数要熟记
【作业1】
【答案】60
【知识点】利用菱形的性质求线段长、斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质求面积、用勾股定理解三角形
【分析】先根据菱形及直角三角形的性质求出的长，再用勾股定理求的长，进而求出，即可解答．
【详解】解：四边形为菱形，
，，，
，，
，，
，
，
菱形的面积为．
【作业2】
【答案】7
【知识点】折叠问题、含30度角的直角三角形、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，解决本题的关键是确定点E在上时，的值最小．作于H，如图，根据菱形的性质可求得，，在中，利用勾股定理计算出，再根据两点间线段最短得到当点E在上时，的值最小，然后证明即可．
【详解】解：作于H，如图，
∵菱形的边，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
在中，，
∵四边形沿直线翻折，点C对应点为E，，
∴，
∵，
∴，
∴当点在上时，的值最小，
由折叠的性质得，
而，
∴，
∴，
∴．
故答案为：7．
【作业3】
【答案】/
【知识点】含30度角的直角三角形、利用菱形的性质求线段长、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及垂线段最短问题．设Q是的中点，连接，先证得，得出，根据点到直线的距离可知当时，最小，然后根据直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：设Q是的中点，连接，
∵四边形是菱形，且，
∴，
∴，
∴，即，
∵，M为中点，Q是的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵点N在直线上运动，
∴当时，最小，
∵是等腰三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴线段的最小值是为．
故答案为：．
【作业4】
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角的直角三角形的性质，勾股定理，构造辅助线是解题的关键．
过点A作于点D，利用等腰三角形的三线合一性质，可得，再根据直角三角形的边角关系求解．
【详解】如图，过点A作于点D，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
故答案为：．
【作业5】
【答案】/
【知识点】含30度角的直角三角形、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长
【分析】连接，在上截取，使，连接，过点作于点，证明，得出，点在直线上运动，当点与重合时，的值最小，求出最小值即可．
【详解】解：由旋转得，
连接，在上截取，使，连接，过点作于点，如图所示：
∵四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在和中
，
∴，
∴，
∴点在直线上运动，当点与重合时，的值最小，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，垂线段最短，直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，得出点在直线上运动，当点与重合时，的值最小，是解题的关键．
【作业6】
【答案】的面积为．
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式．作交直线于点，求得，利用直角三角形的性质求得，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：过点B作交直线于点，
∵，∴，则，
∵，
∴，，
∴的面积．
【作业7】
【答案】的长为．
【知识点】含30度角的直角三角形、利用菱形的性质求线段长、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、含角的直角三角形的性质以及三角形的外角性质等知识．由菱形的性质得，，再证，进而由直角三角形斜边上的中线性质得，则，得，然后证，即可解决问题．
【详解】解：四边形为菱形，
∴，，
，
，
，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
即的长为．
【作业8】
【答案】
没有超速，理由如下：
过点C作于点H．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴小车平均速度，
∵
∴
∴，
∴此车没有超速．
【知识点】含30度角的直角三角形、无理数的大小估算、等腰三角形的性质和判定、判断汽车是否超速(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了30度的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点C作于点H．结合，得，即，运用勾股定理列式得，再证明是等腰直角三角形，然后算出的长度，以及小车平均速度，再进行比较，即可作答．
【详解】略
【作业9】
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理，30度角所对的直角边是斜边的一半，先过点作于点，得出，运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：过点作于点，
∵，
在中，，，
则，
由勾股定理可知：，
则，
∴点相对于点升高的长度为
【作业10】
【答案】在该空地上种植草皮大约需要元
【知识点】含30度角的直角三角形、勾股定理逆定理的实际应用、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查勾股定理的应用，关键是直角三角形性质和勾股定理逆定理．
利用直角三角形性质求出和，再利用勾股定理逆定理判定是直角三角形，即可求解．
【详解】解：∵，，，∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，，
∴，∴，
∴，
∴种植草皮所需金额为：（元）．
答：在该空地上种植草皮大约需要元．
【作业11】
【答案】(1)
证明：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
(2)
(3)
【知识点】含30度角的直角三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，证明是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质和即可证明结论；
（2）求出的度数，再由全等三角形的性质即可得到答案；
（3）根据（2）所求，结合等边三角形的性质即可得到答案．
【详解】（1）略
（2）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，即，
∴．
【作业12】
【答案】(1)
证明：∵，
∴与都是直角三角形，
在和中，
，
；
(2)
∵，
∴，
∵是的外角，
∴
∴，
∵，
∴．
【知识点】含30度角的直角三角形、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和HL综合（HL）、用HL证全等（HL）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，所对直角边是斜边的一半，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用证明，即可作答．
（2）先得，因为是的外角，故，则，所以．
【详解】（1）略
（2）略
【作业13】
【答案】(1)60
(2)2
(3)或
【知识点】含30度角的直角三角形、动点问题（一元一次方程的应用）、二次根式的应用、等边三角形的判定和性质
【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
（1）利用勾股定理求解即可；
（2）利用直角三角形斜边中线的性质求得，求出，易证为等边三角形，得到，分当点Q在上和点Q在上时，两种情况讨论，分别求得，，据此求解即可；
（3）根据题意分当点Q在上和点Q在上时两种情况讨论，利用勾股定理结合直角三角形的性质分别求出，列式一元一次方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵D为中点，
∴，
∵，
∴机器人乙运动的路线长为，
故答案为：60；
（2）解：在中，，，
∵点D为中点，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴为等边三角形，
∴．
如图，当Q在上时，，
在中，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，解得：，
当点Q在上时，作，垂足为H（如图），
同理，得，
∴；
（3）解：由（2）可知，
在中，，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
如图，当点Q在上时，
，，则，
∴，，
∴，
∴，解得：．
如图，当Q在上时，
同上可得，，
∴，解得：．
综上所述：或．
【作业14】
【答案】如图，
【知识点】含30度角的直角三角形、作角平分线(尺规作图)
【分析】本题考查作图—复杂作图、含30度角的直角三角形、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．作的平分线，交于点，结合题意可得，即点为所求．
【详解】解：作的平分线，交于点．
，，
，
，
，
．
在中，，
，
，即
∴点即为所求．
【作业15】
【答案】(1)
(2)
证明：如下图所示，连接、，
为中点，
，
，
四边形是菱形，
,
,
四边形是平行四边形；
(3)32
【知识点】证明四边形是平行四边形、含30度角的直角三角形、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形
【分析】（1）连接，交于点，先证明为等边三角形求出，再根据勾股定理求出即可求出，最后根据菱形的面积公式即可求得答案；
（2）根据E是中点证明，再证明,，即可证得四边形是平行四边形；
（3）过点C作，垂足为H，设，先证明，再证明，从而得到，进一步得到的表达式，再求出的表达式和的值，最后利用勾股定理建立等式进行变形即可求得答案．
【详解】（1）如图，连接，交于点，
四边形是菱形，
为等边三角形
在中，
∴菱形的面积
（2）略
（3）过点C作，垂足为H，设，如图所示，
四边形是菱形
，
，
在中，
，
，
，
在中，，，
，即，
整理得：
．
【点睛】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是利用勾股定理建立等式．
【作业16】
【答案】(1)，
，
，
，
，是的中线，
，
，
，
又，
．
(2)
【知识点】利用两角对应相等判定相似、斜边的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形
【分析】（1）先说明、，再利用直角三角形中线的性质以及等边对等角可得，即；再根据两种对应角相等的两个三角形相似即可证明结论；
（2）根据勾股定理可得，利用相似三角形的性质可求得． 再证明，最后利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：在中，根据勾股定理，得，即，
，
由（1）知：，
，
，
．
是的中线，
，
．
，
，
，
，
．
【作业17】
【答案】(1)60
(2)2
【知识点】证明四边形是平行四边形、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解
【分析】（1）先根据旋转的性质得到，，再证明为等边三角形得到，从而得的值；
（2）先根据旋转的性得到，，再证明，根据平行四边形的判定方法，当时，四边形为平行四边形，接着中利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，所以，从而得到的值．
【详解】（1）解： 绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上，
，，
，
为等边三角形，
，
即的值为60；
（2）解： 绕点顺时针旋转得到，
，，，
，
，
当时，四边形为平行四边形，
在中，，，
，
，
，
．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度角的直角三角形三边的关系和平行四边形的判定．
【作业18】
【答案】(1)
证明：如图，延长到点，使得，连接，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，；
(2)
(3)
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质证明、利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的证明
【分析】（）证明四边形是平行四边形即可求证；
（）取的中点，连接，延长交于点，证明，得，，得到是中位线，再利用中位线的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可求解；
（）取的中点，连接，延长到点，使得，连接，证明，得，，过点作，交的延长线于点，连接，由，可得，，得到是等腰直角三角形，再利用勾股定理可得，得到，即得到，最后利用中位线的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：如图，取的中点，连接，延长交于点，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，取的中点，连接，延长到点，使得，连接，
∵，
∴，
∴，，
过点作，交的延长线于点，连接，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的中位线，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键．
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第12讲·测量、直角三角形的性质·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026年华东师大版九年级数学上册
🍔 思维导图
🍟 课程目标
· 掌握直角三角形的性质：两锐角互余、斜边上的中线等于斜边的一半
· 掌握含 30° 角的直角三角形的性质：30° 角所对的直角边等于斜边的一半
· 会综合运用斜边中线定理解决矩形、菱形、旋转、折叠等图形中的计算与证明
· 会运用勾股定理及逆定理求线段长、判定直角三角形
· 能将屋架、梯子靠墙、交通测量等实际问题转化为直角三角形模型求解
· 会综合角平分线、垂直平分线、旋转、动点等知识解决直角三角形压轴问题
🍗 知识梳理
✅️ 1.直角三角形的基本性质
直角三角形的两个锐角互余：∠A + ∠B = 90°
斜边上的中线等于斜边的一半：直角三角形斜边上的中线 CD = AB
斜边中线定理的逆用：若三角形一边上的中线等于这条边的一半，则该边所对角为直角
斜边中线的等价转化：中线分出的两个等腰三角形（AD = CD = BD），常配合等边对等角使用
30° 角所对的直角边等于斜边的一半：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，则 BC = AB
概念辨析例题：在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是斜边 AB 上的中线，若 ∠A = 35°，则 ∠BDC 的度数为（ ）
答案：70°
解析：斜边中线 CD = AD = BD，所以 △ACD 是等腰三角形，∠ACD = ∠A = 35°。由三角形外角性质，∠BDC = ∠A + ∠ACD = 70°。斜边中线把直角三角形分成两个等腰三角形是高频辅助思路。
✅️ 2.含30°角的直角三角形
性质：30° 角所对的直角边等于斜边的一半，反之，直角边等于斜边一半则该直角边所对角为 30°
常见模型：等边三角形的高线把它分成两个含 30° 角的直角三角形
与等边三角形结合：等边三角形边长为 a，则高为 a，面积为 a²
与折叠、旋转结合：折叠前后的对应边相等，旋转前后的对应边相等，往往构造出 30° 角
求解时先确认斜边（直角所对边），再看哪条直角边对 30° 角
概念辨析例题：一架梯子长 8 米，斜靠在竖直墙上，梯子与墙的夹角为 30°，则墙脚到梯子底端的水平距离为（ ）
答案：4 米
解析：梯子长为斜边 AB = 8，梯子与墙的夹角 30° 所对的直角边是墙脚到梯子底端的水平距离 BC，故 BC = × 8 = 4 米。先找 30° 角的对边，再套「对边 = 斜边的一半」。
✅️ 3.直角三角形与特殊四边形综合
矩形：对角线相等且互相平分，对角线交点到四顶点距离相等，常与斜边中线联动
菱形：对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角，一半对角线 + 半边构成直角三角形
折叠：折痕是对应点连线的垂直平分线，折叠前后对应边、对应角相等
旋转：旋转前后对应边相等、对应角相等，旋转角相等，常产生等腰三角形
含 30° 角 + 特殊四边形：往往在菱形（矩形）中分割出含 30° 角的直角三角形求线段
概念辨析例题：在菱形 ABCD 中，∠BAD = 60°，对角线 AC、BD 相交于点 O，则 BD 与 AC 的比值为（ ）
答案： : 3
解析：∠BAO = 30°，在 Rt△ABO 中，BO = AB，AO = AB，所以 BD : AC = 2BO : 2AO = BO : AO = : = : 3。菱形被对角线分成四个含 30° 角的直角三角形。
✅️ 4.勾股定理及其逆定理
勾股定理：直角三角形两直角边 a、b，斜边 c，则 a² + b² = c²
逆定理：若 a² + b² = c²，则该三角形是直角三角形（c 所对角为直角）
常见勾股数：3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25 及其倍数
求点到直线的距离常作垂线构造直角三角形，用勾股计算
实际测量问题（测距、测高）先抽象出直角三角形，再标注已知量求解
概念辨析例题：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 4，则 AB 的长为（ ）
答案：8
解析：30° 角所对直角边 BC = AB，所以 AB = 2BC = 8。也可以用勾股定理：AC = 4，AB = = 8。含 30° 角时用倍数关系比勾股更快。
✅️ 5.直角三角形的实际应用与压轴综合
实际模型：屋架（等腰三角形）、梯子靠墙、单摆、交通测速、区域面积分割
建模步骤：抽象出直角三角形 → 标注已知量 → 选定性质（30°角/斜边中线/勾股）→ 求解
动点问题：设时间 t 表示线段，结合 30° 角或斜边中线列方程
探究题常串联多个性质：斜边中线 + 等腰 + 全等/相似 + 勾股逐步推进
尺规作图（角平分线、垂直平分线）与性质联动：作图产生等腰三角形
概念辨析例题：在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 6，BC = 8，点 P 从 A 出发沿 A→C→B 运动，速度为每秒 2 个单位，当 CP 把 △ABC 的面积平分时，t =（ ）
答案：1.5 秒
解析：CP 平分面积时 P 为 AB 中点，AB = 10，AP = 5。路径 A→C 长 6，P 在 CB 上时 CP 路程 = 6 + (8 - BP)，BP = 5，路程 = 6 + 3 = 9，t = 9 ÷ 2 = 4.5 秒。动点问题先找关键位置（中点），再分段算路程。
🧀 知识总结表
核心定理
内容
用途
两锐角互余
∠A + ∠B = 90°
求第三个角
斜边中线
中线 = 斜边的一半
构造等腰三角形
30°角性质
对边 = 斜边的一半
求线段长
勾股定理
a² + b² = c²
求边长
勾股逆定理
a²+b²=c² → 直角三角形
判定直角
等边三角形
高 = 边长
分割出30°直角三角形
📩 核心考点
【考点1】直角三角形的性质与含30°角（第1-13题）
· 两锐角互余求角度；30° 角对边 = 斜边一半求线段
· 斜边上的中线分出两个等腰三角形，等腰三角形两底角相等联动
· 屋架、梯子靠墙等模型先抽象出直角三角形并标注
· 含 30° 角的图形（等边三角形高线）优先考虑倍半关系
1．（25-26八年级下·山东枣庄·期末）景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
2．（2024·浙江杭州·二模）为抬高水平放置的长方体木箱的一侧（其中），在下方垫入扇形木块，其中木块的横截面是圆心角为的扇形，假设扇形半径足够长，将木块推至如图所示位置，，则此时木箱点距离地面高度为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）如图，在Rt中，，点为的中点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，是边的中线，下列说法正确的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
6．（23-24九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，矩形是供一辆机动车停放的车位示意图，已知，，，则车位所占的宽度为________米．，结果精确到
7．（23-24八年级上·云南文山·阶段检测）如图是屋架设计图的一部分，点 D是的中点，，，, 则 __________．
8．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如图，一架梯子斜靠在与地平面垂直的墙上，梯子与墙的夹角，梯子的长为8米，则的长为______米．
9．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，那么_____．若P是边上一动点，连接，则的长的取值范围为 ___________．
10．（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，是高，，则_________．
11．（22-23八年级上·全国·期末）在中，，则____．若，则____，____，____．若是斜边上的中线，则____．若是斜边上的高线，则____．
12．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）如图，在中，，，于点，交于点，如果，求的长．
13．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，，，于点D，如果，求的长．
【考点2】斜边中线定理及应用（第14-26题）
· 见到「直角 + 中点」优先连斜边中线，得 CD = AB
· 中线 = 半边 → 等腰三角形 → 等边对等角 → 角度转化
· 逆用：一边上的中线等于该边一半 → 该边对角为 90°
· 与中位线、方程结合求复杂线段
14．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，D是斜边的中点，以为边作正方形．若，则正方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
15．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，公路，互相垂直，笔直公路的中点与点被湖面隔开．若测得长为，则点、之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
16．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，在中，，，点为的中点，则的长度为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
17．（2024·广西钦州·一模）如图，在中，分别是的中点，，是线段上一点，连接，．若，则的长度是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
18．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在中，，，是边上一点，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接，是的中点，连接．若，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
19．（22-23八年级上·全国·期末）在直角三角形中，若斜边与斜边上的中线之和为，则斜边长为______．
20．（24-25八年级上·北京·期末）如图，在中，，，于点，点为的中点，连接，若，则的长为________．
21．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知中，，E是的中点，垂直平分．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
22．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在中，，为边的中点，顶点，分别对应刻度尺上的和，求的长．
23．（2022·湖南怀化·模拟预测）如图，在平行四边形 中，，点E是的中点，连接，作，交于点F．
(1)若，，求的长；
(2)若G为延长线上一点，且，求证：．
24．（25-26九年级上·全国·期中）在直角坐标系中，O为坐标原点，点，点，是中点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，记旋转角为，点，的对应点分别是，．连接，是中点，连接，．
(1)如图，当时，求点 M 的坐标 ．(直接写出答案)
(2)如图，当时，求证∶，且；
25．（2025·广西来宾·一模）以“图形的旋转”为主题的数学活动课上，同学们尝试使用三角形纸板开展探究活动．如图，在中，，，，取，中点，，将沿剪开，得到四边形和，将绕点顺时针旋转得到．
(1)【操作发现】若交于点，求证：；
(2)【深入探索】在（）的条件下，同学们发现将旋转到一些特殊位置时，可以进一步探索线段长度．
如图，若，求的长；
如图，若，，三点共线，求的长；
(3)【拓展延伸】在旋转的过程中，请直接写出面积的最大值．
26．（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）如图（1），已知等腰直角中，为斜边上的中线，为上的一点，且于，交于．
(1)求证：；
(2)如图（2）若点在的延长线上，且于，与的延长线交于，问与能相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．
【考点3】含30°角与特殊四边形综合（第27-39题）
· 矩形对角线交点与各顶点等距，常与斜边中线联动
· 菱形对角线互相垂直，一半对角线与半边构成含 30° 角直角三角形
· 折叠问题：对应边相等，折痕为垂直平分线，常列方程求线段
· 菱形 ∠120°/60° 与等边三角形、30° 直角三角形互化
27．（2024·海南·中考真题）如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，将绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（ ）
A．1 B． C．0 D．
28．（24-25八年级下·甘肃武威·期末）如图， 在矩形中， 对角线相交于点O，若， 则的长是（ ）
A．2 B． C． D．4
29．（23-24八年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，中，，，、的中垂线、分别交、、于、、、．若，则的长度是( )
A．4 B．6 C．7 D．8
30．（2026八年级上·陕西西安·专题练习）如图，在中，，平分，垂直平分，垂足是，如果，则的长为（ ）
A． B． C． D．
31．（22-23九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，矩形中，，，点E为的中点，点G为上一点，连结、交于点 F，连结，当 时，线段的长度是 （ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
32．（25-26八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在矩形中，于点．若，，则的长为__________．
33．（24-25八年级下·海南·期末）如图，已知正方形的边长为4，对角线与相交于点，点在边的延长线上．若，则______，______．
34．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，P为菱形的对角线上的一定点，Q为边上的一个动点，的垂直平分线分别交， 于点E，G，，若的长的最小值为3，则的长为________．
35．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在直角三角形纸片中，，，折叠该纸片使得点落在边上的点处，折痕为（点在上），若，则的长为______．
36．（20-21八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，等边与正方形重叠，其中D、E两点分别在、上，且，若，，则的面积为________．
37．（2025·浙江·一模）如图，在菱形中，，，点为中点，将菱形沿折叠，使点与点重合，连结、，则_____．
38．（25-26八年级下·山西大同·期末）如图，平行四边形的对角线相交于点，且．若，则的长为___________．
39．（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）如图， ，，，， 若， _____．
【考点4】旋转、动点与实际应用（第40-52题）
· 旋转产生等腰三角形：对应边相等，旋转角已知则底角可求
· 30° 角旋转模型：旋转 60° 常构造等边三角形
· 动点问题设时间 t，分段表示线段长，用方程求解
· 实际问题（测速、摆动、面积）先建模为直角三角形再计算
40．（2024·贵州遵义·二模）如图，已知线段，小欣进行了如下操作：以线段的中点O为圆心，的长为半径画弧，再以点A为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点C，连接，则的长为（ ）
A．1.5 B．3 C． D．6
41．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，，以点A为圆心，小于的长为半径作弧交，于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点，过点作交于点，若，，则的长为（ ）
A．8 B．8.5 C．9 D．9.5
42．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图所示，，P为平分线上一点，交于点C，于点D，若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
43．（2025·四川广安·模拟预测）如图，在中，点在上，且平分．若，，则的面积为（ ）
A． B． C．16 D．32
44．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，将一副直角三角板如图所示放置在平面直角坐标系中，轴，若点E的坐标为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
45．（21-22八年级上·海南海口·期末）如图，是边长为1的等边三角形，是的中点，于，延长到点F，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
46．（23-24八年级上·上海金山·期末）如图，在中，，点是边的中点，，，，则的长为____．
47．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，连接并延长交于点D，若，则_____．
48．（24-25八年级下·全国·期中）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路l旁选取一点P，在公路l上确定点O，B，使得，米，．这时，一辆轿车在公路l上由B处向A处匀速行驶，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，且．若此路段限速80千米/时，则______判定此车超速．（参考数据：，；填“能”或“不能”）
49．（23-24八年级上·四川泸州·开学考试）如图，在等边中，，是延长线上一点，且，是上一点，且，则的长为_____．
50．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在中，，，，则点到边的距离为_________
51．（24-25九年级上·重庆巫山·期末）如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好落在边上，若点与点之间的距离为，则的长为________
52．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，，点，分别是，边上的动点，沿所在直线折叠，使点的对应点始终落在边上，若是直角三角形时，则的长为________．
📊 课后巩固
🍬 复习建议
· 直角三角形三大性质：两锐角互余、斜边中线等于斜边一半、30°角对边等于斜边一半
· 见「直角 + 中点」就连斜边中线，构造等腰三角形转化角度
· 菱形被对角线分成四个直角三角形，60° 内角时出现含 30° 角直角三角形
· 折叠与旋转都产生等线段：对应边相等是列方程的桥梁
· 勾股定理求线段，逆定理判直角；常见勾股数要熟记
【作业 1】（2025·河南周口·三模）如图，菱形中，，对角线与相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，若，则菱形的面积为 __ ．
【作业 2】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在菱形中，，，M是上，，N是点上一动点，四边形沿直线翻折，点C对应点为E，当最小时， ___________．
【作业 3】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，点N在直线上运动，以为边向的右侧作菱形，且，M为中点，连接，则点N在运动过程中，的最小值为________．
【作业 4】（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知为等腰三角形，，，若，则________．
【作业 5】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，正方形的边长为4，，点E是直线上一点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，则线段长度的最小值等于_______．
【作业 6】（23-24九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在中，，，，求的面积．
【作业 7】（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图：在菱形中，，过点作于点，交于点，点为的中点，若，求的长．
【作业 8】（23-24八年级下·湖南湘西·期中）学生安全是近几年社会关注的重大问题，其中交通安全隐患主要是超速．如图，某校门前一条直线公路建成通车，在该路段限速，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观点C测得一小车从点A到达点B行驶了．若测得，，．此车超速了吗？请说明理由．（，）
【作业 9】（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，单摆绕点左右摆动，摆绳长度为．处于水平位置，为单摆停止运动后的静止位置．摆动过程中为某一瞬时状态，此时，求点相对于点升高的长度．
【作业 10】（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，四边形是某公园的一块空地，已知，，，，，现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需元，则在该空地上种植草皮共需多少元？（，结果保留整数）
【作业 11】（25-26八年级上·全国·期末）如图，是等边三角形，是边上一点，以为一边向上作等边，连接．
(1)求证：
(2)若，求的度数
(3)在（2）的条件下，若，求的长
【作业 12】（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，已知，，与相交于点，过点作，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，，求的值并说明理由．
【作业 13】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）两个智能机器人在如图所示的区域工作，，，，直线为生产流水线，且平分的面积（即D为中点）．机器人甲从点A出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点P表示，机器人乙从点B出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点Q表示．两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为，记点P到的距离（即垂线段的长）为，点Q到的距离（即垂线段的长）为．当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时．与t的部分对应数值如表：
0
6
0
0
(1)机器人乙运动的路线长为______m；
(2)求的值；
(3)当机器人甲、乙到生产流水线的距离相等（即）时，求t的值．
【作业 14】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，．用尺规作图法，在边上求作一点，使得（保留作图痕迹，不要求写作法）．
【作业 15】（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在菱形中，，，点为边上一个动点，延长到点，使，且，相交于点．
(1)求菱形的面积；
(2)若点运动到中点时，求证：四边形是平行四边形；
(3)若时，探究的值．
【作业 16】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，是的中线，作于点E，交BD于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【作业 17】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点D恰好落在边上．
(1)求a的值；
(2)点F是边上一点，，连接．当_________时，四边形为平行四边形．
【作业 18】（2026·湖北襄阳·一模）探究：【证法回顾】
(1)证明：三角形中位线定理．
已知：是的中位线，求证：．
证明：添加辅助线，如图，在中，延长（点分别是的中点）至点，使得，连接．请继续完成证明过程；
【问题解决】
(2)如图，在正方形中，点为的中点，点分别为边上的点，若，求的长；
【拓展研究】
(3)如图，在四边形中，，点为的中点，点分别为边上的点，若，求的长．
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