专题一·期中综合复习·基础巩固讲义（第20～22章）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

专题一·期中综合复习·基础巩固讲义 （第20~22章）（知识梳理+典例+练习）·2026年华东师大九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 梳理二次根式有意义的条件与四则运算法则，能准确进行化简与混合运算 · 掌握一元二次方程的四种解法，能根据方程特征选择最优解法 · 理解根的判别式与根与系数关系，会由根的情况求参数取值范围 · 掌握成比例线段、平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质 · 认识位似图形的坐标特征，能运用相似与方程模型解决实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.二次根式 形如（a≥0）的式子叫二次根式，被开方数必须非负 性质：(=a（a≥0），=|a| 乘法：=（a≥0,b≥0）；除法：=（a≥0,b>0） 加减先化为最简二次根式，再合并同类二次根式；分母有理化是化简的常用手段 概念辨析例题：若式子 在实数范围内有意义，求 x 的取值范围；并化简 。 答案：x≥2；=|-3|=3。 解析：二次根式有意义的条件是被开方数非负：x-2≥0，即 x≥2。由性质 =|a|，得 =|-3|=3，注意结果不能写成 -3。 ☆ 2.一元二次方程及其解法 只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0） 直接开平方法：形如 (x+m)2=n（n≥0）的方程 配方法：配方成 (x+m)2=n 后开方 公式法：x=；因式分解法：化为 (x-x1)(x-x2)=0 概念辨析例题：用配方法解方程 x2-6x+5=0。 答案：x1=1，x2=5。 解析：移项得 x2-6x=-5，两边加一次项系数一半的平方 32=9，得 (x-3)2=4，开方 x-3=±2，所以 x1=1，x2=5。 ☆ 3.根的判别式与根与系数关系 Δ=b2-4ac：Δ>0 两不等实根；Δ=0 两相等实根；Δ<0 无实根 由根的情况反求参数时，不要忘记二次项系数 a≠0 的隐含条件 根与系数关系（韦达定理）：x1+x2=-，x1x2= 求含两根的代数式的值，常用 x1+x2 与 x1x2 整体代入 概念辨析例题：已知关于 x 的方程 x2-3x+k=0 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围。 答案：k<。 解析：由 Δ>0 得 (-3)2-4k>0，即 9-4k>0，解得 k<。本题二次项系数为1，无需额外限制。 ☆ 4.图形的相似 四条线段 a,b,c,d 成比例：a:b=c:d；黄金分割中较长段与全段之比为 平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例 相似三角形判定：两角分别相等；两边成比例且夹角相等；三边成比例 相似三角形对应高、对应中线、周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方；位似图形对应点连线交于位似中心 概念辨析例题：两个相似三角形的相似比为 2:3，较小三角形面积为 12，求较大三角形的面积。 答案：面积比为 (2:3)2=4:9，较大三角形面积为 12÷=27。 解析：相似三角形面积比等于相似比的平方，不能误用相似比直接计算。由 4:9=12:S，解得 S=27。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次根式 （a≥0） 被开方数非负；=|a| 一元二次方程 ax2+bx+c=0 必须满足 a≠0 判别式 Δ=b2-4ac Δ<0 时无实数根 韦达定理 x1+x2=-，x1x2= 前提是方程有实根 Δ≥0 相似三角形 对应角相等、对应边成比例 面积比=相似比的平方 黄金分割 较全段=≈0.618 较长段与全段之比 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次根式的概念与运算（第1-13题） · 先看被开方数是否非负，再决定运算能否进行 · 乘除运算尽量合并根号后再开方，最后化为最简 · 分母有理化时分子分母同乘分母的有理化因式 · 混合运算顺序：先乘方开方，再乘除，最后加减 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）计算的结果是（   ） A．4 B．2 C．3 D． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）若成立，则的值可以是（   ） A． B． C．1 D．2 3．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫作分母有理化．化简_______． 4．（2026·山东临沂·模拟预测）如果式子有意义，那么的取值范围是_______． 5．（24-25八年级下·广东惠州·期中）若和都是最简二次根式，则_____，_____． 6．（23-24八年级下·贵州遵义·阶段检测）比较大小：______5（填“”“”或“”）． 7．（24-25八年级下·天津静海·阶段检测）计算：______． 8．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）计算：． 9．（12.1二次根式（1）八年级数学下册苏教版）要使下列各式有意义，应是怎样的实数？ (1)； (2)； (3)； (4)． 10．（26-27八年级上·北京·课后作业）计算、化简 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)． 11．（22-23七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点2】一元二次方程的概念与解法（第14-27题） · 缺一次项用直接开平方法，易分解用因式分解法 · 配方法关键是两边加一次项系数一半的平方 · 公式法先化一般式再代入，防止符号出错 · 判断方程是否为一元二次方程须看二次项系数是否为0 12．（24-25九年级上·河北保定·期中）能使方程成立的的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 13．（25-26八年级下·浙江湖州·期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是（     ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级下·北京平谷·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（       ） A． B． C． D． 15．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）小李解方程的步骤如图所示，则下列说法正确的是（    ） 解方程：． 解：，① ，② ，③ ． A．小李解方程的过程正确 B．也是该方程的一个解 C．小李解方程的方法是配方法 D．解方程的过程是从第②步到第③步时出现错误 16．（22-23八年级下·浙江宁波·阶段检测）一元二次方程的根的判别式的值为________． 17．（25-26八年级下·北京·期中）用配方法解一元二次方程时，配方后所得方程为_____． 18．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为_____． 19．（22-23九年级上·全国·单元测试）一元二次方程的根是 _________，___________． 20．（25-26八年级下·河南开封·期末）将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是________． 21．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段检测）关于的一元二次方程根的判别式的值是，则此方程的解为_______________． 22．（22-23九年级上·甘肃定西·期末）下列图形都是由完全相同的圆点“●”和五角星“★”按一定规律组成的．已知第个图形中有个“●”和个“★”，第个图形中有个“●”和个“★”，第个图形中有个“●”和个“★”，，则第______个图形中“★”的个数是“●”的个数的倍． 23．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段检测）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 24．（23-24九年级上·全国·课后作业）． 25．（24-25九年级上·广东佛山·期中）解下列方程：． 【考点3】根的判别式与根与系数关系（第28-30题） · 由根的情况列 Δ 的不等式时先确认 a≠0 · 求两根代数式的值先算 x1+x2 与 x1x2 · 整体代入可避免求根带来的繁琐计算 · 注意 Δ≥0 是使用韦达定理的前提 26．（2025·安徽合肥·一模）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m值为（   ） A．2 B． C．1 D． 27．（25-26九年级下·江苏南通·阶段检测）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为______． 28．（2024·广东·模拟预测）已知：关于x的方程． (1)求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根． (2)若等腰三角形的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【考点4】一元二次方程的实际应用（第31-33题） · 增长率模型：a(1+x)2=b · 传播、握手问题注意每轮参与量的变化 · 检验根是否符合实际意义，不合题意的根舍去 29．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段检测）如图，中，，一动点P从C出发沿着边以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为．当t为几秒时，的面积是面积的（    ） A．1.5 B．2 C．3或1.5 D．3 30．（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）有一种流感病毒，刚开始有1人患了流感，经过两轮传染后共有64人患流感，如果设每轮传染中一个人平均传染x个人，那么可列方程为____________ 31．（25-26九年级上·江西·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售个，6月份销售个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【考点5】成比例线段与黄金分割（第34-36题） · 比例的基本性质：内项积等于外项积 · 黄金比为 ≈0.618 · 设未知数时按比例份数设元更简便 32．（23-24九年级上·四川成都·期末）若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则d是（    ） A．8 B．0.5 C．2 D．20 33．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 34．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知线段，点是线段的黄金分割点，且，那么的长为________． 【考点6】平行线分线段成比例（第37-40题） · 找平行线所截的对应线段，按「上比下」写比例 · 相似与平行截线常联合求线段长 · 注意比例式中各线段的对应位置 35．（23-24九年级上·上海·期中）如图，直线 ，已知，，，___________． 36．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，则__________． 37．（2025·甘肃白银·二模）如图，，，，，，则线段的长是___________． 38．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，直线，直线和被、、所截．如果，，，求的长． 【考点7】相似三角形的判定与性质（第41-46题） · 有平行先想两角相等，有直角想射影型 · 周长比等于相似比，面积比等于相似比平方 · 求线段长常设未知线段，用比例列方程 · 动点问题先找不变的相似关系 39．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，由尺规作图痕迹可知，下列两个三角形一定相似的是（   ） A． B． C． D．以上都不对 40．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论中一定正确的是（   ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 41．（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图，在四边形中，，对角线交于点，则图中相似的三角形是（   ） A． B． C． D． 42．（21-22九年级下·青海西宁·开学考试）两个相似三角形面积比为，则对应高的比为______． 43．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知在和中，，，，，，，则与的关系是________（填“相似”或“不相似”）． 44．（23-24九年级上·福建泉州·阶段检测）如图，在中，分别是边上的点，连接，且，．求证：．    【考点8】相似多边形与位似图形（第47-57题） · 位似是特殊的相似，对应点连线过位似中心 · 坐标系中以原点为位似中心时坐标乘 ±k · 相似多边形对应角相等、对应边成比例 · 注意位似图形有同向与反向两种位置 45．（24-25九年级下·重庆九龙坡·开学考试）如图，与位似，点为位似中心，若，则（　　） A． B． C． D． 46．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，和是以点 P 为位似中心的位似图形，若 ，的周长为 6，则 的周长是（    ） A．12 B．8 C．6 D．3 47．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为 ，以原点为位似中心，将放大后得到，若点的坐标为的周长为4，则的周长为（   ） A．7 B．8 C．12 D．16 48．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图所示的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 49．（23-24九年级上·四川巴中·期末）如图，与位似，点是位似中心，若，的周长为3，则的周长为（   ） A．9 B．12 C．16 D．27 50．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，四边形四边形，则的度数是 ________°． 51．（25-26九年级上·甘肃天水·期末）如图，已知五边形五边形，且五边形与五边形的面积比为，若五边形的周长为，则五边形的周长为______． 52．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (2)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； (3)判断和是否是位似图形（直接写结果），如果是，请写出位似中心M的坐标． 53．（21-22九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系． (1)将先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到，请在网格内画出； (2)以为位似中心，将放大，使变换后得到的与对应边的比为，请在网格内画出． 54．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）在如图的方格纸中，与是以点为位似中心的位似图形． (1)点的坐标为______； (2)以原点为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的相似比为． 55．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，四边形四边形． (1)______． (2)求边，的长度． 【考点9】图形与坐标（第58-62题） · 写坐标先看横纵位置，注意象限符号 · 方位角问题用方向角和距离共同确定位置 · 平移作图按坐标变化规律逐点描点 56．（23-24七年级下·北京密云·期末）下图是北京地铁部分线路图．若崇文门站的坐标为，北海北站的坐标为，则东四站的坐标为________． 　 57．（24-25七年级下·北京·期中）在参观北京世园会的过程中，小欣发现可以利用平面直角坐标系表示景点的地理位置，在正方形网格中，她以正东、正北方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，如果这时表示丝路花雨的点坐标为，表示九州花境的点坐标为，那么该坐标系原点所在的景点的地理位置一定是___________，写出此时在第一象限的一个景点的坐标___________． 58．（25-26八年级下·湖南永州·期末）在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，三角形的三个顶点都在格点上，点，请解答下列问题： (1)先将三角形向左平移5个单位，再向下平移6个单位后得到三角形，请画出三角形； (2)请画出三角形关于y轴对称的三角形； (3)请直接写出、的坐标． 59．（24-25七年级下·河北唐山·期中）【问题提出】小明想准确描述学校各建筑物的位置，应该怎样操作呢？ 【动手操作】如图是小明把学校以的比例尺绘制而成的平面示意图，每个小方格的单位长度是，小明以正东为轴的正方向，正北为轴的正方向建立平面直角坐标系后，得到实验室的坐标是，高中楼的坐标是． 【问题解决】 （1）平面直角坐标系的原点应为___________的位置（填写建筑名称）； （2）在图中画出此平面直角坐标系并标出初中楼的坐标是___________； （3）用方向与距离表示校门相对于操场的位置是___________．（小方格的相对两顶点的距离取140米） 【拓广延伸】 （4）下午放学后，在初中楼下的小明同学以4米/秒的平均速度向操场跑去，参加体育锻炼，问：小明需要多少秒到达操场？ 60．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，以公园的湖心亭为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，如果取比例尺为而且取实际长度100米为图中的1个单位长度，解答下面的问题： (1)请写出西门、中心广场、音乐台的坐标． (2)若一个点的坐标是，描述它的位置． (3)若东门的坐标是，请在图中描出坐标系． (4)若望春亭的坐标是，它是以谁为坐标原点呢？ 💯 课后巩固 复习建议 · 二次根式化简勿忘 =|a|，结果必须非负 · 解一元二次方程先观察特征，优先选因式分解与直接开方 · 判别式与韦达定理使用前先确认方程有实根 · 相似问题抓对应边、对应角，面积比勿忘平方 · 实际应用问题解方程后必须检验根的实际意义 【作业1】．（26-27八年级上·北京·课后作业）计算的结果是（    ） A． B．2 C． D． 【作业2】．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，，，，，则的值为（    ） A． B．4 C． D．5 【作业3】．（23-24九年级上·上海·阶段检测）下列各数能组成比例的是（   ） A． B．0.2，0.8，12，30 C．1，3，4，6 D．1，2，3，4 【作业4】．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【作业5】．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【作业6】．（2026·河北张家口·一模）若，则（   ） A．1 B． C．3 D． 【作业7】．（25-26八年级上·全国·随堂练习）化简：______． 【作业8】．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在中，点D，E分别为，上的点，若，，则________． 【作业9】．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知方程的两根为，，则________，________． 【作业10】．（2024·北京门头沟·二模）如图，在平面直角坐标系内，某图象上的点A、B为整数点，以点O为位似中心将该图象扩大为原来的2倍，则点A的对应点的坐标为______． 【作业11】．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）若方程的两个实数根为，则的值为______． 【作业12】．（22-23八年级下·贵州毕节·期末）已知实数满足，则m的值为______． 【作业13】．（24-25九年级上·甘肃武威·开学考试）已知，，求代数式的值； 【作业14】．（25-26九年级上·四川·阶段检测）国际会议中心是亚洲最大的单体木制结构建筑．小明利用硬纸板自制测量国际会议中心的高度，他们通过调整位置，使斜边与点B在同一直线上 （如图所示），另一条直角边与会议中心顶点A在同一直线上，目测点到地面的距离米，到会议中心的水平距离米．已知米，米，求会议中心的高度． 【作业15】．（24-25九年级上·四川眉山·期中）若将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段之比等于长段的长度与全长之比，即，则可得出这一比值等于，这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点，黄金分割总能给人以美的享受，从人体审美学的角度看，若一个人上半身长与下半身长之比满足黄金比的话，则此人符合和谐完美的身体比例．一芭蕾舞演员的身高为，但其上半身长与下半身长之比大于黄金比，当其表演时掂起脚尖，身高就可以增加，这时上半身长与下半身长之比就恰好满足黄金比，那么该演员的上半身长为______．（结果保留根号）． 【作业16】．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简______． 【作业17】．（25-26九年级上·广东佛山·期末）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．南海区某运动商城的自行车销售量自2025年起逐月增加，据统计，该商城2月份销售自行车100辆，4月份销售了144辆．求该商城2月到4月自行车销售量的月均增长率． 【作业18】．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？请说明理由． （1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ； （6） ；（7） ． 【作业19】．（23-24九年级上·江西南昌·期末）如图，已知，在中，，，点P从A点出发，沿以的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿以的速度向A点运动，设运动时间为x， (1)当时，x为何值？ (2)能否与相似，若能，求出的长，若不能，请说明理由． (3)当时，求．（直接写答案） 【作业20】．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是三艘舰艇的位置示意图，试用方向和距离描述处的两艘舰艇相对于C处舰艇的位置． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一·期中综合复习·基础巩固讲义 （第20~22章）（知识梳理+典例+练习）·2026年华东师大九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 梳理二次根式有意义的条件与四则运算法则，能准确进行化简与混合运算 · 掌握一元二次方程的四种解法，能根据方程特征选择最优解法 · 理解根的判别式与根与系数关系，会由根的情况求参数取值范围 · 掌握成比例线段、平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质 · 认识位似图形的坐标特征，能运用相似与方程模型解决实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.二次根式 形如（a≥0）的式子叫二次根式，被开方数必须非负 性质：(=a（a≥0），=|a| 乘法：=（a≥0,b≥0）；除法：=（a≥0,b>0） 加减先化为最简二次根式，再合并同类二次根式；分母有理化是化简的常用手段 概念辨析例题：若式子 在实数范围内有意义，求 x 的取值范围；并化简 。 答案：x≥2；=|-3|=3。 解析：二次根式有意义的条件是被开方数非负：x-2≥0，即 x≥2。由性质 =|a|，得 =|-3|=3，注意结果不能写成 -3。 ☆ 2.一元二次方程及其解法 只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0） 直接开平方法：形如 (x+m)2=n（n≥0）的方程 配方法：配方成 (x+m)2=n 后开方 公式法：x=；因式分解法：化为 (x-x1)(x-x2)=0 概念辨析例题：用配方法解方程 x2-6x+5=0。 答案：x1=1，x2=5。 解析：移项得 x2-6x=-5，两边加一次项系数一半的平方 32=9，得 (x-3)2=4，开方 x-3=±2，所以 x1=1，x2=5。 ☆ 3.根的判别式与根与系数关系 Δ=b2-4ac：Δ>0 两不等实根；Δ=0 两相等实根；Δ<0 无实根 由根的情况反求参数时，不要忘记二次项系数 a≠0 的隐含条件 根与系数关系（韦达定理）：x1+x2=-，x1x2= 求含两根的代数式的值，常用 x1+x2 与 x1x2 整体代入 概念辨析例题：已知关于 x 的方程 x2-3x+k=0 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围。 答案：k<。 解析：由 Δ>0 得 (-3)2-4k>0，即 9-4k>0，解得 k<。本题二次项系数为1，无需额外限制。 ☆ 4.图形的相似 四条线段 a,b,c,d 成比例：a:b=c:d；黄金分割中较长段与全段之比为 平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例 相似三角形判定：两角分别相等；两边成比例且夹角相等；三边成比例 相似三角形对应高、对应中线、周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方；位似图形对应点连线交于位似中心 概念辨析例题：两个相似三角形的相似比为 2:3，较小三角形面积为 12，求较大三角形的面积。 答案：面积比为 (2:3)2=4:9，较大三角形面积为 12÷=27。 解析：相似三角形面积比等于相似比的平方，不能误用相似比直接计算。由 4:9=12:S，解得 S=27。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次根式 （a≥0） 被开方数非负；=|a| 一元二次方程 ax2+bx+c=0 必须满足 a≠0 判别式 Δ=b2-4ac Δ<0 时无实数根 韦达定理 x1+x2=-，x1x2= 前提是方程有实根 Δ≥0 相似三角形 对应角相等、对应边成比例 面积比=相似比的平方 黄金分割 较全段=≈0.618 较长段与全段之比 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次根式的概念与运算（第1-13题） · 先看被开方数是否非负，再决定运算能否进行 · 乘除运算尽量合并根号后再开方，最后化为最简 · 分母有理化时分子分母同乘分母的有理化因式 · 混合运算顺序：先乘方开方，再乘除，最后加减 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）计算的结果是（   ） A．4 B．2 C．3 D． 【答案】B 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的除法运算法则直接计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）若成立，则的值可以是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【知识点】二次根式的除法、二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查二次根式除法法则的成立条件，二次根式有意义的条件，需根据被开方数的非负性及分母不为0确定x的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵等式成立 ∴根据二次根式除法法则的成立条件，需满足， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴x的取值范围是， 结合选项，只有1在此范围内， 故选：C． 3．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫作分母有理化．化简_______． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、分母有理化 【分析】根据提供的解题方法，解答即可． 本题考查了分母有理化，利用平方差公式正确找到有理化因式是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（2026·山东临沂·模拟预测）如果式子有意义，那么的取值范围是_______． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为零，且二次根式中被开方数非负，列出不等式组求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·广东惠州·期中）若和都是最简二次根式，则_____，_____． 【答案】 1 2 【知识点】代入消元法、已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查了最简二次根式，解二元一次方程组，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此得到关于m、n的二元一次方程组，解之即可． 【详解】解：∵和都是最简二次根式， ∴， 解得， 故答案为：1；2． 6．（23-24八年级下·贵州遵义·阶段检测）比较大小：______5（填“”“”或“”）． 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查二次根式比较大小，熟练掌握二次根式比较大小的方法是解决问题的关键．由，可得即可得到答案． 【详解】解：， ，即， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·天津静海·阶段检测）计算：______． 【答案】 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题考查二次根式的除法，解题的关键是熟练掌握运算法则． 根据二次根式的除法法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为： 8．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是将二次根式进行化简，成为最简二次根式． 先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】解： ． 9．（12.1二次根式（1）八年级数学下册苏教版）要使下列各式有意义，应是怎样的实数？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)任意实数 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式有意义的条件是解题关键． （1）根据二次根式中的被开方数是非负数，即可得出答案． （2）根据二次根式中的被开方数是非负数，即可得出答案． （3）根据二次根式中的被开方数是非负数，即可得出答案． （4）根据二次根式中的被开方数是非负数，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得：，解得：； （2）解：根据题意可得：，解得：； （3）解：根据题意可得：，解得：； （4）解：根据题意可得：，故应是任意实数． 10．（26-27八年级上·北京·课后作业）计算、化简 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4)6 (5) (6) (7) (8) 【知识点】二次根式的乘除混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的乘除混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）把化成，； （2）根据二次根式乘法法则：进行计算，结果要化成最简二次根式； （3）根据二次根式乘法法则：进行计算，结果要化成最简二次根式； （4）根据二次根式除法法则：进行计算，结果要化成最简二次根式； （5）先把被开方数分解因式，再化简； （6）根据商的算术平方根的性质：，进行计算，结果要化成最简二次根式； （7）根据二次根式的除法法则进行计算； （8）根据二次根式的乘除法法则进行计算； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：， ， ， ， （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 11．（22-23七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3； (2)-2； (3)5； (4)＋1 【知识点】二次根式的混合运算、实数的混合运算 【详解】（1）原式＝＝3 （2）原式＝＝－1－1＝－2 （3）原式＝2＋－2＋5－＝5 （4）原式＝＋3＋1－3＝＋1 【考点2】一元二次方程的概念与解法（第14-27题） · 缺一次项用直接开平方法，易分解用因式分解法 · 配方法关键是两边加一次项系数一半的平方 · 公式法先化一般式再代入，防止符号出错 · 判断方程是否为一元二次方程须看二次项系数是否为0 12．（24-25九年级上·河北保定·期中）能使方程成立的的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把各个选项的值分别代入方程，若方程左右两边的值相等，即为方程的解，进行作答即可． 【详解】解：A、把代入，则，故该选项不符合题意； B、把代入，则，故该选项不符合题意； C、把代入，则，故该选项符合题意； D、把代入，则，故该选项不符合题意； 故选：C． 13．（25-26八年级下·浙江湖州·期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元二次方程——配方法 【详解】解：配方得， 整理得． 14．（25-26八年级下·北京平谷·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由一元二次方程的解求参数、一元二次方程的定义 【分析】先将已知根代入方程求出的可能取值，再结合一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，舍去不符合条件的解，得到的正确值． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴把代入方程得， 解得或， 又∵该方程是一元二次方程， ∴二次项系数满足，即， ∴． 15．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）小李解方程的步骤如图所示，则下列说法正确的是（    ） 解方程：． 解：，① ，② ，③ ． A．小李解方程的过程正确 B．也是该方程的一个解 C．小李解方程的方法是配方法 D．解方程的过程是从第②步到第③步时出现错误 【答案】B 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程的方法步骤．根据解方程的步骤，由，得到，解得或，进而逐一判断即可． 【详解】解：． ，① ，② ，③ 或 解得或． A、小李解方程的过程错误，不符合题意； B、也是该方程的一个解，符合题意； C、小李解方程的方法是因式分解法，不符合题意； D、解方程的过程是从第③步时出现错误，不符合题意； 故选：B． 16．（22-23八年级下·浙江宁波·阶段检测）一元二次方程的根的判别式的值为________． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】先确定一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项，再根据一元二次方程根的判别式公式代入计算即可． 【详解】解：一元二次方程中，，，， 则． 17．（25-26八年级下·北京·期中）用配方法解一元二次方程时，配方后所得方程为_____． 【答案】 12 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题关键，方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行计算即可. 【详解】解：方程，两边加上，得 ， 即. 18．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为_____． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】将配方后的方程展开整理为一元二次方程的一般形式，与原方程对比系数得到m和n的值，代入计算即可． 【详解】解：， ∴， 即， ∵方程通过配方可变形为， ∴， ∴． 19．（22-23九年级上·全国·单元测试）一元二次方程的根是 _________，___________． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，利用公式法求出方程的根即可． 【详解】解： ， ∴， ∴； 故答案为：， 20．（25-26八年级下·河南开封·期末）将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是________． 【答案】 ，， 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】先将给定的一元二次方程整理为一般形式，再分别确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将一元二次方程移项整理为一般形式，得 ， ∴该方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 21．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段检测）关于的一元二次方程根的判别式的值是，则此方程的解为_______________． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，直接利用求根公式进行求解即可． 【详解】解：∵根的判别式的值是， ∴， ∴； 故答案为：． 22．（22-23九年级上·甘肃定西·期末）下列图形都是由完全相同的圆点“●”和五角星“★”按一定规律组成的．已知第个图形中有个“●”和个“★”，第个图形中有个“●”和个“★”，第个图形中有个“●”和个“★”，，则第______个图形中“★”的个数是“●”的个数的倍． 【答案】 【知识点】图形类规律探索、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了规律型——图形的变化类，解一元二次方程，根据图形的变化寻找规律即可，解题的关键是根据图形的变化寻找规律，总结规律及掌握解一元二次方程． 【详解】解：由第个图形中有个“●”和个“★”， 第个图形中有个“●”和个“★”， 第个图形中有个“●”和个“★”， ， ∴第个图形中有个“●”和个“★”， ∵图形中“★”的个数是“●”的个数的倍， ∴，解得：，（舍去）， 故答案为：． 23．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段检测）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2)且 【知识点】一元一次方程的定义、一元二次方程的定义 【分析】（1）根据一元一次方程的定义可以解答本题； （2）根据一元二次方程的定义可以解答本题 【详解】（1）解：， 如果此方程是一元一次方程， 则， 解得：， 即时，此方程是一元一次方程； （2）解：， 如果此方程是一元二次方程， 则， 解得，且， 即且，方程是一元二次方程． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元一次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义和一元一次方程的定义． 24．（23-24九年级上·全国·课后作业）． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】利用直接开平方法解方程即可．本题主要考查了利用直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：两边同时除以2，得． 开方，得． 即或， 解得，． 25．（24-25九年级上·广东佛山·期中）解下列方程：． 【答案】或． 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了解一元二次方程．运用直接开平方法解一元二次方程，即可作答． 【详解】解：整理得， ∴， 即或， 解得：或． 【考点3】根的判别式与根与系数关系（第28-30题） · 由根的情况列 Δ 的不等式时先确认 a≠0 · 求两根代数式的值先算 x1+x2 与 x1x2 · 整体代入可避免求根带来的繁琐计算 · 注意 Δ≥0 是使用韦达定理的前提 26．（2025·安徽合肥·一模）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有2个相等的实数根，得到，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵有两个相等的实数根， ∴， ∴； 故选A． 27．（25-26九年级下·江苏南通·阶段检测）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式的值为0，整理得到的值，再化简所求代数式，利用整体代入法计算即可． 【详解】解：由题意得，， 整理得，， ． 28．（2024·广东·模拟预测）已知：关于x的方程． (1)求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根． (2)若等腰三角形的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1) 证明： ， ∵， ∴， ∴无论k取任何实数值，方程总有实数根； (2)5 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、根据判别式判断一元二次方程根的情况、等腰三角形的定义、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：①当，方程有两个不相等的实数根；②当，方程有两个相等的实数根；③当，方程没有实数根． （1）先计算出，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况； （2）依题意有，则，再把k代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长． 【详解】（1）略 （2）解：依题意有，则， 方程化为， 解得：， ∵等腰三角形的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根， ∴的周长． 【考点4】一元二次方程的实际应用（第31-33题） · 增长率模型：a(1+x)2=b · 传播、握手问题注意每轮参与量的变化 · 检验根是否符合实际意义，不合题意的根舍去 29．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段检测）如图，中，，一动点P从C出发沿着边以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为．当t为几秒时，的面积是面积的（    ） A．1.5 B．2 C．3或1.5 D．3 【答案】B 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用动点问题，根据题意列出方程是解题的关键． 根据题意，求得的长，进而求得，根据的面积是面积的，列出方程，解方程即可解决问题． 【详解】解： ， ， 依题意，， ． 的面积是面积的， ， 解得． 答：当s时，的面积是面积的． 故选B． 30．（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）有一种流感病毒，刚开始有1人患了流感，经过两轮传染后共有64人患流感，如果设每轮传染中一个人平均传染x个人，那么可列方程为____________ 【答案】 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是注意两轮传染后患流感的人数为总共患流感的人数．先列出一轮传染后患流感的人数，再根据一轮后患流感的人数写出二轮传染的人数的代数式，两者相加等于64即可． 【详解】解：设每轮传染中一个人平均传染x个人，则一轮传染后患流感的人数为， 则二轮传染后患流感的人数为： 故答案为：． 31．（25-26九年级上·江西·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售个，6月份销售个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一元二次方程、二次函数的实际应用，正确理解题意是解题关键； （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意得：，即可求解； （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为，则，即可求解； 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为， 则， ∵， ∴当时，月销售利润最大； 故：为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为元/个； 【考点5】成比例线段与黄金分割（第34-36题） · 比例的基本性质：内项积等于外项积 · 黄金比为 ≈0.618 · 设未知数时按比例份数设元更简便 32．（23-24九年级上·四川成都·期末）若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则d是（    ） A．8 B．0.5 C．2 D．20 【答案】C 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例线段，四条线段a、b、c、d， 若，这四条线段叫成比例的线段．正确理解成比例线段的定义是解决问题的关键． 利用成比例线段的定义得到，然后利用比例的性质求出d的值即可． 【详解】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：C． 33．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查比例的基本性质．将已知等式代入比中化简即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 34．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知线段，点是线段的黄金分割点，且，那么的长为________． 【答案】 【知识点】黄金分割 【详解】解：由题意得，， ∵黄金分割比为，且， 即 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解， 即的长为． 【考点6】平行线分线段成比例（第37-40题） · 找平行线所截的对应线段，按「上比下」写比例 · 相似与平行截线常联合求线段长 · 注意比例式中各线段的对应位置 35．（23-24九年级上·上海·期中）如图，直线 ，已知，，，___________． 【答案】 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】此题考查平行线分线段成比例定理，能根据定理得出正确的比例式是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 【详解】解： ， ， ，，， ， ， ， 故答案为：． 36．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，则__________． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 37．（2025·甘肃白银·二模）如图，，，，，，则线段的长是___________． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】此题考查平行线分线段成比例，根据平行四边形的判定和平行线分线段成比例解答即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 38．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，直线，直线和被、、所截．如果，，，求的长． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，根据条件可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 把，，代入， 得， 解得：． 【考点7】相似三角形的判定与性质（第41-46题） · 有平行先想两角相等，有直角想射影型 · 周长比等于相似比，面积比等于相似比平方 · 求线段长常设未知线段，用比例列方程 · 动点问题先找不变的相似关系 39．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，由尺规作图痕迹可知，下列两个三角形一定相似的是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【知识点】尺规作一个角等于已知角、利用两角对应相等判定相似 【分析】该题主要考查了尺规作相等角、相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定． 根据作图可知，即可证明． 【详解】解：根据作图可知， 又， ∴， 故选：C． 40．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论中一定正确的是（   ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】由得到，结合，根据三角形相似的判定解答即可． 本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：由得到， 又， 故， 故选：B． 41．（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图，在四边形中，，对角线交于点，则图中相似的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用两角对应相等判定相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故D选项正确，符合题意； 根据题意无法得到，，，故A，B，C选项不正确，不符合题意； 故选：D 42．（21-22九年级下·青海西宁·开学考试）两个相似三角形面积比为，则对应高的比为______． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】两个相似三角形的面积之比等于相似比的平方． 【详解】解：两个相似三角形的面积之比为， 两个相似三角形的相似比为， 这两个三角形对应高比为． 43．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知在和中，，，，，，，则与的关系是________（填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【知识点】利用三边对应成比例判定相似 【分析】计算两个三角形三边的对应比值，根据三边是否对应成比例即可判定两个三角形是否相似． 【详解】解：∵，，，，，， ∴，，， ∴， ∴． 44．（23-24九年级上·福建泉州·阶段检测）如图，在中，分别是边上的点，连接，且，．求证：．    【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【知识点】相似三角形的判定综合、三角形内角和定理的应用 【分析】根据三角形内角和定理可得，即可证明． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【考点8】相似多边形与位似图形（第47-57题） · 位似是特殊的相似，对应点连线过位似中心 · 坐标系中以原点为位似中心时坐标乘 ±k · 相似多边形对应角相等、对应边成比例 · 注意位似图形有同向与反向两种位置 45．（24-25九年级下·重庆九龙坡·开学考试）如图，与位似，点为位似中心，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，根据位似图形的概念、相似三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，， ∴与位似比为，与相似，相似比为， ∴， 故选：B． 46．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，和是以点 P 为位似中心的位似图形，若 ，的周长为 6，则 的周长是（    ） A．12 B．8 C．6 D．3 【答案】A 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】根据位似图形的周长之比等于相似比，列式计算即可． 本题主要考查相似三角形及位似图形的性质，掌握相似三角形和位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵和是以点 P 为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， 设三角形的周长用字母C表示， ∴， 解得， 故选：A． 47．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为 ，以原点为位似中心，将放大后得到，若点的坐标为的周长为4，则的周长为（   ） A．7 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、求两个位似图形的相似比 【分析】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，得出两图形的位似比是解题关键． 【详解】解：∵点的坐标为，以原点为位似中心，将放大后得到，点的坐标为  ， ∴与的位似比为：，     ∴，则， ∴的周长为：8， 故选：B. 48．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图所示的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【知识点】判断位似中心 【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上，据此即可求解． 此题主要考查了位似变换的性质，利用位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上是解题关键． 【详解】解：∵位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点A、B为对应点， ∴位似中心在A、B所在的直线上， ∵点D在直线上， ∴点D为位似中心． 故选：D． 49．（23-24九年级上·四川巴中·期末）如图，与位似，点是位似中心，若，的周长为3，则的周长为（   ） A．9 B．12 C．16 D．27 【答案】A 【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查了位似变换，利用位似的性质得，，然后根据相似三角形的性质解决问题． 【详解】∵与位似，点为位似中心． ，， ∴的周长：的周长， ∴的周长为． 故选：A． 50．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，四边形四边形，则的度数是 ________°． 【答案】95 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质、四边形的内角和等知识点，掌握相似多边形的对应角相等、对应边的比相等是解题的关键． 根据相似多边形的性质可得，再根据四边形的内角和求出即可． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∴． 故答案为：95． 51．（25-26九年级上·甘肃天水·期末）如图，已知五边形五边形，且五边形与五边形的面积比为，若五边形的周长为，则五边形的周长为______． 【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据面积比求出相似比，再根据周长比等于相似比列出比例式解答即可求解，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：设五边形的周长为， ∵五边形与五边形的面积比为， ∴相似比为， ∴五边形与五边形的周长比为， 即， 解得， ∴五边形的周长为， 故答案为：． 52．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (2)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； (3)判断和是否是位似图形（直接写结果），如果是，请写出位似中心M的坐标． 【答案】(1)如图所示，即为所求； (2)如图所示：即为所求； (3)是， 【知识点】平移(作图)、判断位似中心、在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查了平移作图，位似作图，求位似中心． （1）先画出平移后各点的对应点，再依次连接即可； （2）先画出位似的对应点，再依次连接即可； （3）连接并反向延长，相交于点M，点M即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由图可知，和是位似图形，位似中心M的坐标为． 53．（21-22九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系． (1)将先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到，请在网格内画出； (2)以为位似中心，将放大，使变换后得到的与对应边的比为，请在网格内画出． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、平移(作图) 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可； （2）利用位似变换的性质，分别作出的对应点即可． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求； （2）解：如图所示： 即为所求． 54．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）在如图的方格纸中，与是以点为位似中心的位似图形． (1)点的坐标为______； (2)以原点为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的相似比为． 【答案】(1) (2) 即为所求． 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、在坐标系中画位似中心 【分析】本题考查位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）分别连接、并延长交于点P，则点P即为所求； （2）根据位似图形的性质作出即可． 【详解】（1）解：连接、并延长交于点P，如图： 则点的坐标为； （2）略 55．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，四边形四边形． (1)______． (2)求边，的长度． 【答案】(1) (2)， 【知识点】相似多边形的性质 【分析】（）根据相似多边形的对应角相等可得，再根据四边形内角和即可求解； （）根据相似多边形的对应边成比例可得，解比例式即可求解； 此题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ， ， 故答案为：； （2）解：∵四边形四边形， ∴， 解得，． 【考点9】图形与坐标（第58-62题） · 写坐标先看横纵位置，注意象限符号 · 方位角问题用方向角和距离共同确定位置 · 平移作图按坐标变化规律逐点描点 56．（23-24七年级下·北京密云·期末）下图是北京地铁部分线路图．若崇文门站的坐标为，北海北站的坐标为，则东四站的坐标为________． 　 【答案】 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，根据崇文门站和北海北站的坐标可确定原点位置和坐标轴位置，据此建立坐标系即可得到答案． 【详解】解：根据题意可建立如下坐标系，则东四站的坐标为， 故答案为：． 57．（24-25七年级下·北京·期中）在参观北京世园会的过程中，小欣发现可以利用平面直角坐标系表示景点的地理位置，在正方形网格中，她以正东、正北方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，如果这时表示丝路花雨的点坐标为，表示九州花境的点坐标为，那么该坐标系原点所在的景点的地理位置一定是___________，写出此时在第一象限的一个景点的坐标___________． 【答案】 丝路驿站 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查了用坐标表示位置，确定点表示的坐标；由题意建立平面直角坐标系，即可表示出一个景点在第一象限的坐标． 【详解】解：坐标系如图，该坐标系原点所在的景点的地理位置一定是丝路驿站，在第一象限的一个景点是清杨洲，它的坐标为； 故答案为：丝路驿站；． 58．（25-26八年级下·湖南永州·期末）在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，三角形的三个顶点都在格点上，点，请解答下列问题： (1)先将三角形向左平移5个单位，再向下平移6个单位后得到三角形，请画出三角形； (2)请画出三角形关于y轴对称的三角形； (3)请直接写出、的坐标． 【答案】(1)解：如图所示即为所求， (2)解：如图所示即为所求， (3)解：（2）可得，， 【知识点】画轴对称图形、写出直角坐标系中点的坐标、平移(作图)、坐标与图形变化——轴对称、由平移方式确定点的坐标 【分析】（1）利用平移的性质“上加下减，左减右加”得出，，的坐标，画图即可； （2）利用关于y轴对称的点“横坐标相反，纵坐标相同”得出，，的坐标，画图即可； （3）由（2）可得，的坐标． 【详解】（1）解：由题意得，，， 由平移的性质得，即， ，即， ，即， 图略； （2）解：根据关于y轴对称的点坐标性质得，即， ，即， ，即， 图略； （3）略． 59．（24-25七年级下·河北唐山·期中）【问题提出】小明想准确描述学校各建筑物的位置，应该怎样操作呢？ 【动手操作】如图是小明把学校以的比例尺绘制而成的平面示意图，每个小方格的单位长度是，小明以正东为轴的正方向，正北为轴的正方向建立平面直角坐标系后，得到实验室的坐标是，高中楼的坐标是． 【问题解决】 （1）平面直角坐标系的原点应为___________的位置（填写建筑名称）； （2）在图中画出此平面直角坐标系并标出初中楼的坐标是___________； （3）用方向与距离表示校门相对于操场的位置是___________．（小方格的相对两顶点的距离取140米） 【拓广延伸】 （4）下午放学后，在初中楼下的小明同学以4米/秒的平均速度向操场跑去，参加体育锻炼，问：小明需要多少秒到达操场？ 【答案】（1）图书馆； （2）由题意得，可以建立如下坐标系； 初中楼的坐标是； （3）校门在操场的南偏东，距离米； （4）小明需要100秒到达操场 【知识点】用方向角和距离确定物体的位置、写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，正确建立坐标系是解题的关键． （1）即可得到平面直角坐标系的原点的位置； （2）根据高中楼和实验楼的坐标，建立坐标系即可得到答案； （3）根据方向角的表示方法，进行解答即可； （4）根据题意列式计算即可． 【详解】解：（1）∵实验室的坐标是，高中楼的坐标是， ∴平面直角坐标系的原点应为图书馆的位置； （2）略 （3）根据图可知：校门在操场的南偏东，距离（米）； （4）， （秒）， 答：小明需要100秒到达操场． 60．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，以公园的湖心亭为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，如果取比例尺为而且取实际长度100米为图中的1个单位长度，解答下面的问题： (1)请写出西门、中心广场、音乐台的坐标． (2)若一个点的坐标是，描述它的位置． (3)若东门的坐标是，请在图中描出坐标系． (4)若望春亭的坐标是，它是以谁为坐标原点呢？ 【答案】(1)，， (2)望春亭的位置 (3) 作图如下： (4)西门的位置 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题主要考查了直角坐标系，用点坐标表示位置等知识． （1）确定坐标系后，即第一象限：，；第二象限：，；第三象限：，；第四象限：，，即可作答． （2）根据题意和该点的坐标，即可解答． （3）根据东门的坐标是，先找到原点的位置，即原点在东门向左4个单位的位置，该点为中心广场，再描出坐标系即可． （4）望春亭的坐标是，所以原点的位置在望春亭向左3个单位，向上1个单位的位置． 【详解】（1）解：以公园的湖心亭为原点，即以湖心亭为点O即为平面直角坐标系原点， 以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系， 所以根据图片可知，西门在第三象限，其坐标为， 中心广场在第四象限，其坐标为， 音乐台在第一象限，其坐标为． （2）解：根据题意可知，以湖心亭为点O即为平面直角坐标系原点，以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系， 所以一个点的坐标是，则该点在湖心亭向右1个单位，再向下3个单位的位置．即望春亭的位置． （3）解：若东门的坐标是，原点在东门向左4个单位的位置，该点为中心广场． （4）解：因为望春亭的坐标是，所以原点的位置在望春亭向左3个单位，向上1个单位的位置，即这个点为西门． 💯 课后巩固 复习建议 · 二次根式化简勿忘 =|a|，结果必须非负 · 解一元二次方程先观察特征，优先选因式分解与直接开方 · 判别式与韦达定理使用前先确认方程有实根 · 相似问题抓对应边、对应角，面积比勿忘平方 · 实际应用问题解方程后必须检验根的实际意义 【作业1】．（26-27八年级上·北京·课后作业）计算的结果是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的除法 【分析】题目主要考查二次根式的除法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据二次根式除法的运算法则计算即可得答案． 【详解】解：． 故选：A． 【作业2】．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，，，，，则的值为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】D 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线截线段成比例，掌握其比例的计算方法是关键． 根据平行线截线段成比例得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故选：D ． 【作业3】．（23-24九年级上·上海·阶段检测）下列各数能组成比例的是（   ） A． B．0.2，0.8，12，30 C．1，3，4，6 D．1，2，3，4 【答案】A 【知识点】成比例线段、 比例的基本性质 【分析】本题主要考查比例的意义和性质的运用，掌握比例的基本性质“两外项的积等于两内项的积”成为解题的关键． 根据比例的性质“两外项的积等于两内项的积”，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、因为，所以0.4，0.6，1，1.5能组成比例，符合题意； B、因为，所以不能组成比例，不符合题意； C、因为，所以1，3，4，6不能组成比例，不合题意； D、因为，所以1，2，3，4不能组成比例，不合题意． 故选：A． 【作业4】．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 【作业5】．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，正确配方是关键；通过配方法将方程转化为完全平方形式，进而求解． 【详解】解：原方程变形为， 配方得：， 即； 故选：D． 【作业6】．（2026·河北张家口·一模）若，则（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【知识点】二次根式的除法 【详解】解：若，则． 【作业7】．（25-26八年级上·全国·随堂练习）化简：______． 【答案】1 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，化简二次根式； 先根据二次根式有意义的条件求出，再利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件可知， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【作业8】．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在中，点D，E分别为，上的点，若，，则________． 【答案】/0.5 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、利用相似三角形的性质求解 【分析】由平行得到，那么得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 【作业9】．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知方程的两根为，，则________，________． 【答案】 4 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】对于一元二次方程，若两根为，，根据根与系数的关系可得 ，． 【详解】解：∵方程为， ∴，，， ∴，． 【作业10】．（2024·北京门头沟·二模）如图，在平面直角坐标系内，某图象上的点A、B为整数点，以点O为位似中心将该图象扩大为原来的2倍，则点A的对应点的坐标为______． 【答案】或 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据位似变换的性质作图，运用数形结合思想，即可作答． 【详解】解：如图所示： ； ∴， 点A的对应点的坐标为， 或如图所示： ； ∴， 此时点A的对应点的坐标为， 故答案为：或． 【作业11】．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）若方程的两个实数根为，则的值为______． 【答案】1 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入所求代数式计算即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程， 由根与系数的关系可得，， 则． 【作业12】．（22-23八年级下·贵州毕节·期末）已知实数满足，则m的值为______． 【答案】1 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查解一元二次方程，一元二次方程根的判别式；根据题意得到，结合解一元二次方程的方法和一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 时， ， ， ； 时， ， ， ∴方程无解； ∴； 故答案为：1． 【作业13】．（24-25九年级上·甘肃武威·开学考试）已知，，求代数式的值； 【答案】24 【知识点】已知字母的值，化简求值、二次根式的乘法、通过对完全平方公式变形求值、二次根式的加减运算 【分析】此题考查了二次根式的乘法和加法，完全平方公式，代数式求值等知识，解题的关键是求出，． 首先求出，，然后利用完全平方公式变形代数求解即可． 【详解】解：因为 所以， 所以． 【作业14】．（25-26九年级上·四川·阶段检测）国际会议中心是亚洲最大的单体木制结构建筑．小明利用硬纸板自制测量国际会议中心的高度，他们通过调整位置，使斜边与点B在同一直线上 （如图所示），另一条直角边与会议中心顶点A在同一直线上，目测点到地面的距离米，到会议中心的水平距离米．已知米，米，求会议中心的高度． 【答案】26米 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形实际应用、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质的应用，勾股定理，矩形的性质和判定， 根据勾股定理求出，再说明四边形是矩形，可得，然后证明，根据相似三角形的对应边成比例求出，最后根据得出答案. 【详解】解：在中，米，米， ∴米. ∵， ∴四边形是矩形， ∴. ∵， ∴， ∴， 即， 解得米， ∴米. 所以会议中心的高度为26米. 【作业15】．（24-25九年级上·四川眉山·期中）若将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段之比等于长段的长度与全长之比，即，则可得出这一比值等于，这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点，黄金分割总能给人以美的享受，从人体审美学的角度看，若一个人上半身长与下半身长之比满足黄金比的话，则此人符合和谐完美的身体比例．一芭蕾舞演员的身高为，但其上半身长与下半身长之比大于黄金比，当其表演时掂起脚尖，身高就可以增加，这时上半身长与下半身长之比就恰好满足黄金比，那么该演员的上半身长为______．（结果保留根号）． 【答案】/ 【知识点】黄金分割、分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查黄金分割比例的实际应用、解分式方程．理解题意，掌握“黄金比”的定义是解题关键．设演员的上半身长为，则掂起脚尖身高为，下半身长为．根据“黄金比”可列出关于x的方程，求解即可． 【详解】解：设演员的上半身长为， ∵芭蕾舞演员的身高为， ∴掂起脚尖身高为，下半身长为． ∵此时上半身长与下半身长之比恰好满足黄金比， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解． ∴该演员的上半身长为． 故答案为：． 【作业16】．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简______． 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、利用二次根式的性质化简、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查数轴的应用，二次根式的化简，绝对值的化简，根据数轴判断字母的符号是解题关键． 根据数轴可知，，，据此进行化简即可． 【详解】解：根据数轴可知，，，则， ∴． 故答案为： 【作业17】．（25-26九年级上·广东佛山·期末）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．南海区某运动商城的自行车销售量自2025年起逐月增加，据统计，该商城2月份销售自行车100辆，4月份销售了144辆．求该商城2月到4月自行车销售量的月均增长率． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】设该商城自行车销量的月均增长率为，根据题意得：，解方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用---增长率，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：设该商城自行车销量的月均增长率为，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：该商城自行车销量的月均增长率为． 【作业18】．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？请说明理由． （1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ； （6） ；（7） ． 【答案】，，，是二次根式；，），不是二次根式． 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式的定义逐一排除即可，解题的关键是正确理解满足二次根式的条件有三个：含有根号；根指数是；被开方数是非负数，三个条件缺一不可． 【详解】解：（）是二次根式； （）中，不是二次根式； （）中，是二次根式； （）立方根，不是二次根式； （）中，是二次根式； （）中，是二次根式； （）中，不是二次根式； ∴，，，是二次根式；，，不是二次根式． 【作业19】．（23-24九年级上·江西南昌·期末）如图，已知，在中，，，点P从A点出发，沿以的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿以的速度向A点运动，设运动时间为x， (1)当时，x为何值？ (2)能否与相似，若能，求出的长，若不能，请说明理由． (3)当时，求．（直接写答案） 【答案】(1) (2)能，的长为或 (3) 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合、相似三角形——动点问题 【分析】本题考查了几何中的动点问题，涉及了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据平行线分线段成比例得即可求解； （2）根据，分类讨论 ，即可求解； （3）根据题意可得，，进而求得，；推出，据此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴， （2）解：存在．理由如下： ， ， 时： ． 即： 解得：， ∴ 时： ， 即： 解得：（舍去） ， ∴的长为或 （3）解：∵， ，， ∴ ∴， ∴，， ∴ ∴ 【作业20】．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是三艘舰艇的位置示意图，试用方向和距离描述处的两艘舰艇相对于C处舰艇的位置． 【答案】 经测量， 的长为，的长为， 则的实际长度为， 的实际长度为， 故A处舰艇在C处舰艇的正东方向的处，B处舰艇在C处舰艇的北偏东的处． 【知识点】用方向角和距离确定物体的位置 【分析】本题考查了方向角的知识点，解答本题的关键是理解确定一个点的位置需要两个量应该是方向角，一个是距离．先测量图上长度再算出实际长度，再结合方向角和距离来表示物体的位置，即可作答． 【详解】略 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $