专题23.1 测量、直角三角形的性质（举一反三讲义）数学新教材华东师大版九年级上册

专题23.1 测量、直角三角形的性质（举一反三讲义） 【新教材华东师大版】 题型归纳 【题型1 测量】 1 【题型2 利用直角三角形的两个锐角互余求角度】 5 【题型3 利用有两个角互余的三角形是直角三角形判断三角形的形状】 7 【题型4 利用直角三角形斜边上的中线求线段长度】 10 【题型5 利用直角三角形斜边上的中线求角度大小】 13 【题型6 直角三角形的性质的简单应用】 16 【题型7 构造辅助线利用直角三角形的性质】 19 【题型8 含30°角的直角三角形的性质的简单应用】 23 【题型9 作垂线构造含30°角的直角三角形】 26 【题型1 测量】 【例1】（25-26九年级下·甘肃张掖·开学考试）如图所示，旗杆顶部Q，标杆顶部D，观测者的眼睛B在同一直线上，测得观测者的脚到旗杆底部的距离，观测者的脚到标杆底部的距离，若，标杆的高为，那么旗杆有多高． 【答案】旗杆的高度为 【分析】如图，作于H，交于E，则四边形和四边形为矩形，易得，易证，利用相似三角形的性质可得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图，作于H，交于E，则四边形和四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴． 答：旗杆的高度为． 【变式1-1】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）在阳光下，一名同学测得一根长为0.9米的垂直于地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为3.84米，则树高为（     ） A．6.36米 B．8米 C．11.8米 D．12米 【答案】A 【分析】连接，过点E作于点F，设米，利用“同一时刻，物高和影长成正比”列出方程，解方程求出的长度，进而可得的长度． 【详解】解：如图所示，连接，过点E作于点F， 由题意，米，米，米， 则（米）， 设米， 由题意，得， 解得：， ∴（米）． 【变式1-2】（2026·安徽合肥·一模）如图,小刚正在使用手电筒进行物理学实验，手电筒位于点G处，手电筒的光从平面镜上的点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，现测得米，米，米，米，已知图中点A，B，C，D在同一水平面上（物理学中入射角等于反射角），，，，则的长为______米． 【答案】5 【分析】设，则，证，根据求出，，再证，根据求解即可解答． 【详解】解：设，则， ∵，， ∴， ∵在点B处反射后为， ∴， ∴， ∴即， 解得，即，则， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，即， 解得． 【变式1-3】（2025九年级上·全国·专题练习）小军想利用所学知识测量一建筑物的高度，如图，他拿着一根长为的木棒站在离建筑物的地方（即点到的水平距离为）．他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住建筑物（即，，在一条直线上，、、在一条直线上）时，点到木棒的距离为．已知，，求建筑物的高度． 【答案】建筑物的高度为50米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，延长交于点，利用平行线的性质可得，，从而可得，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点， ， ， 由题意得：厘米，40厘米，米， ， ，， ， ， ， 解得， 答：建筑物的高度为50米 考点1 直角三角形的性质 知识点1 直角三角形的性质 1.直角三角形的两个锐角互余； 2.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）； 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 【题型2 利用直角三角形的两个锐角互余求角度】 【例2】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，，则（   ） A． B． C．140° D．145° 【答案】B 【详解】解：如图，延长交于点， ， ， ， ， 在中，， ． 【变式2-1】（25-26七年级下·四川·期中）如图，在中，，，垂足为．，则________度． 【答案】 【分析】由题意可得，，，则有． 【详解】解：， ， ， 又有， ． 【变式2-2】（2026·广东深圳·二模）如图是一张矩形台球桌面，一个球从桌面的点处滚向桌边，在上的点处反弹后，滚向桌边上的点，再次反弹后滚入点，共反弹两次．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据对称的性质求出，然后根据矩形的性质得到，，然后根据直角三角形两锐角互余求解． 【详解】解：∵ 根据题意得， ∵四边形是矩形 ∵， ∴ 根据题意得， ∵ ∴． 【变式2-3】（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，，，平分交于点，为线段上的一点，过点作交线段的延长线于点，求的度数． 【答案】 【分析】根据三角形内角和为可以求出，根据角平分线定义可知，根据三角形内角和定理即可求出，再根据直角三角形的两个锐角互余求出的度数． 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， 在中，， ， ， ， ． 【题型3 利用有两个角互余的三角形是直角三角形判断三角形的形状】 【例3】如图，平分，，，，则是____三角形． 【答案】直角 【分析】通过三角形的内角和等于，计算，再利用角平分线的定义得到，根据直角三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：， ∵平分， ∴， ∵， ∴是直角三角形． 【变式3-1】（25-26八年级上·湖南常德·期末）下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，锐角互余的三角形是直角三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据三角形内角和定理，锐角互余的三角形是直角三角形等知识点，对四个选项逐一分析，再判断是否存在的角． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， 故A不符合题意； ∵， ∴， ∴是直角三角形， 故B不符合题意； ∵， ∴， ∴是直角三角形， 故C不符合题意； ，仅知道一个角为，无法确定是否存在的角（如等边三角形三个角均为）， 不能判定△ABC为直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． 【变式3-2】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定，掌握这些是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，进而等量代换得到，进一步推出，由此可得结论． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 【变式3-3】（25-26八年级上·贵州黔西南·阶段检测）如图，平分．求证：是直角三角形． 【答案】详见解析 【分析】本题考查直角三角形的证明，角平分线性质和三角形内角和定理，熟练掌握基础知识点是解题关键； 先通过三角形内角和定理求出，再通过角平分线求出，进而可求出，从而可得到，进而得证． 【详解】证明：， ． 平分， ． ， ， ， 是直角三角形． 【题型4 利用直角三角形斜边上的中线求线段长度】 【例4】（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点均在格点（网格线的交点）上，若为的中线，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在网格中由勾股定理求出的三边长，由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，且，最后由直角三角形斜边中线是斜边的一半求解即可． 【详解】解：由网格可知，，，， ， 则是直角三角形，且， 为的中线， ． 【变式4-1】（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点，，对应的刻度分别为1，4，7（单位：cm），则的长度为________． 【答案】 【分析】先根据刻度尺刻度求出的长度，再利用直角三角形斜边中线的性质求出的长度． 【详解】解：由题意可知，． 在中，，是斜边上的中线， ． 【变式4-2】（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在中，为斜边上的中线，点是上方一点，且，连接，若，求的长． 【答案】 【分析】根据斜边中线定理可得，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：在中，为斜边上的中线，， ， ， ， ∴在中，． 【变式4-3】（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，在矩形中，，，E，F，G分别是边，，上的动点，且，，连接，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，作点关于的对称点，连接，根据矩形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，那么，可知当取得最小值时，有最小值，那么当四点共线时，取得最小值，最小值为，接着利用勾股定理求得，即可得出答案． 【详解】解：连接，作点关于的对称点，连接， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，有最小值， ∴当四点共线时，取得最小值，最小值为，此时有最小值，其最小值为，如下图所示： ∵在矩形中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∵的最小值为． 【题型5 利用直角三角形斜边上的中线求角度大小】 【例5】如图，在中，，，将以C为旋转中心，顺时针旋转角度（），若的中点O恰好在AC上，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直角三角形的两个锐角互余得出，再由旋转的性质得出，．最后由直角三角形斜边中线的性质即可得出，从而得出，即． 【详解】∵，， ∴． 由旋转的性质可知，． 又∵的中点O恰好在AC上， ∴， ∴，即 ． 故选A． 【点睛】本题考查直角三角形的两个锐角，旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质．熟练掌握旋转的性质是解题关键． 【变式5-1】如图，已知在中，，． （1）的度数为_____； （2）若是的中点，则的度数为_____． 【答案】 /90度 /60度 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可得结论； （2）根据直角三角形斜边中线的性质可证得为等边三角形，从而得到的度数． 【详解】（1）∵在中，，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形，且． 故答案为：． （2）∵在中，是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、直角三角形斜边中线的性质、等边三角形的性质与判定等知识，能够根据勾股定理的逆定理判定出直角三角形是解题关键． 【变式5-2】（25-26八年级上·上海浦东新·阶段检测）如图，在中，斜边的垂直平分线分别交、于点、，，则的度数为______． 【答案】/36度 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线性质、垂直平分线性质及等腰三角形性质，解题关键是利用这些性质将角度关系转化为方程求解． 利用直角三角形斜边中线性质得，故；结合题设，设，则；由垂直平分线性质得，故；在中，，列方程即可解答． 【详解】在中，斜边的垂直平分线分别交、于点、， ∴D是斜边的中点， ∴，，， 设， ∵， ∴． 在 中，， ∴ 即， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【变式5-3】（25-26九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在四边形中，，为对角线的中点，连接，，．若，则的度数为________度． 【答案】32 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，根据直角三角形斜边上的中线得到，根据等边对等角和三角形的外角得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，E为对角线的中点， ∴， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：32． 【题型6 直角三角形的性质的简单应用】 【例6】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，一根长为8米的钢缆斜拉在竖直的电线杆与地面之间，电线杆与地面垂直，垂足为点．若点是钢缆的中点，则，两点间的距离为（     ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 【答案】C 【分析】连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：连接， ∵电线杆与地面垂直， ∴， ∵点D是的中点， ∴在中，（米）， 即，两点间的距离为4米． 【变式6-1】（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，在中，，为中点，且，则的度数为________． 【答案】60 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，证明是等边三角形，可知的度数． 【详解】解：∵，为中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 【变式6-2】（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置，此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为______． 【答案】/26度 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，根据直角三角形斜边中线的性质，，则有，，再通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，分别是斜边，上的中线， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式6-3】（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，已知：在中，，，点在边的延长线上，，． (1)求证：； (2)如果是的中点，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理得，再结合，，证明； （2）结合，得，又因为三角形内角和性质，得出，根据是的中点，得，即可作答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 则， ∴， ∵，， 即， （2）证明：依题意，如图所示： 由（1）得， ∴， ∵， ∴， 即， ∵是的中点， ∴． 【题型7 构造辅助线利用直角三角形的性质】 【例7】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于G，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质是解答本题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形三线合一的性质，即可得到结论． 【详解】证明：如图，连接， ∵是边上的高线， ∴． ∵是边上的中线， ∴． ∵， ∴． ∵于G， ∴． 【变式7-1】（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，已知在中，于，于，，分别是，的中点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题综合考查了直角三角形斜边上的中线定理； （1）由直角三角形，线段中点的条件和定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到辅助线作法，连接进而得到等腰三角形，再根据定理“三线合一”即可证明． （2）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，根据三角形的周长公式即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接 , , 是的中点， 同理可得, 是的中点, ； （2）， ∴， ∴的周长为． 【变式7-2】（25-26八年级上·广东湛江·期末）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为“黄金三角形”，这条直线称为这个三角形的“黄金分割线”． (1)如图①，在中，，，平分交于点．求证：是“黄金三角形”． (2)如图②，在中，，求证：是“黄金三角形”． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和性质，三角形外角性质，直角三角形的性质． （1）根据等腰三角形的性质与判定，进行角度的推导即可； （2）取的中点连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进行判断可得两个等腰三角形，进而可求出结论． 【详解】（1）证明：，， ． 平分， ． ， 是等腰三角形， ， ，． ， 是等腰三角形， 是“黄金三角形”． （2）证明：如图，取的中点连接， ，点为的中点， ， 和是等腰三角形， 是“黄金三角形”． 【变式7-3】（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在正方形 中，点 是 上一点，连接 ，点 是线段 的中点，连接，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明：连接， ∵正方形， ∴，， ∵点 是线段 的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)． 【分析】（1）连接，求得，推出，得到，利用证明，即可得到； （2）证明是等边三角形，再利用等边对等角求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型8 含30°角的直角三角形的性质的简单应用】 【例8】（25-26八年级下·广东深圳·期中）景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（  ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴． 【变式8-1】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，是等边三角形，点D在边上，过点D作于点E．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】证明，结合，，可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴． 【变式8-2】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，为等边三角形，，，相交于点P，于Q．已知，，则的长是________． 【答案】11 【分析】先证出，则，，进而可得，再根据含角的直角三角形的性质求出的长，由此即可得． 【详解】解：是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式8-3】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使得点B落在点E处，交于点F，若平分，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质和轴对称的性质，求出，然后根据等腰三角形的判定，求出，再根据直角三角形的性质求得，所以，，即可得到答案． 【详解】解：矩形纸片沿对角线折叠， ，，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 【题型9 作垂线构造含30°角的直角三角形】 【例9】（25-26八年级下·江西萍乡·期末）在等腰中，已知，，则的面积为________． 【答案】25 【分析】过点作，交的延长线于点，先求出的度数，得到的长度，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，如图， ，， ， ∴， 的面积为． 【变式9-1】（2026·内蒙古包头·二模）如图，左图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具——“碓（）”的结构简图．已知交于点与水平线相交于点，．若分米，，则点到水平线的距离为___________分米． 【答案】 【分析】作于点，求得，利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴，即点到水平线的距离为分米． 【变式9-2】（2026·四川凉山·中考真题）如图，点P是的平分线上一点，过点P作交于点C，若，，则点P到的距离的长是_______． 【答案】1 【分析】根据角平分线定义和平行线性质证得是等腰三角形，求出的长，过点作于点，求出，根据角平分线的性质得出点到的距离． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴,, ∴， 过点作于点， ∴， ∵平分，， ∴, 即点到的距离为1． 【变式9-3】（2026·上海浦东新·二模）如图是地铁入口双翼闸机示意图．已知双翼边缘，与闸机侧立面夹角，双翼展开时端点、的间距为．当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为_______． 【答案】68 【分析】过点作于点，过点作于点，求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵双翼展开时端点、的间距为， ∴当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题23.1 测量、直角三角形的性质（举一反三讲义） 【新教材华东师大版】 题型归纳 【题型1 测量】 1 【题型2 利用直角三角形的两个锐角互余求角度】 2 【题型3 利用有两个角互余的三角形是直角三角形判断三角形的形状】 3 【题型4 利用直角三角形斜边上的中线求线段长度】 4 【题型5 利用直角三角形斜边上的中线求角度大小】 5 【题型6 直角三角形的性质的简单应用】 6 【题型7 构造辅助线利用直角三角形的性质】 7 【题型8 含30°角的直角三角形的性质的简单应用】 8 【题型9 作垂线构造含30°角的直角三角形】 9 【题型1 测量】 【例1】（25-26九年级下·甘肃张掖·开学考试）如图所示，旗杆顶部Q，标杆顶部D，观测者的眼睛B在同一直线上，测得观测者的脚到旗杆底部的距离，观测者的脚到标杆底部的距离，若，标杆的高为，那么旗杆有多高． 【变式1-1】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）在阳光下，一名同学测得一根长为0.9米的垂直于地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为3.84米，则树高为（     ） A．6.36米 B．8米 C．11.8米 D．12米 【变式1-2】（2026·安徽合肥·一模）如图,小刚正在使用手电筒进行物理学实验，手电筒位于点G处，手电筒的光从平面镜上的点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，现测得米，米，米，米，已知图中点A，B，C，D在同一水平面上（物理学中入射角等于反射角），，，，则的长为______米． 【变式1-3】（2025九年级上·全国·专题练习）小军想利用所学知识测量一建筑物的高度，如图，他拿着一根长为的木棒站在离建筑物的地方（即点到的水平距离为）．他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住建筑物（即，，在一条直线上，、、在一条直线上）时，点到木棒的距离为．已知，，求建筑物的高度． 考点1 直角三角形的性质 知识点1 直角三角形的性质 1.直角三角形的两个锐角互余； 2.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）； 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 【题型2 利用直角三角形的两个锐角互余求角度】 【例2】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，，则（   ） A． B． C．140° D．145° 【变式2-1】（25-26七年级下·四川·期中）如图，在中，，，垂足为．，则________度． 【变式2-2】（2026·广东深圳·二模）如图是一张矩形台球桌面，一个球从桌面的点处滚向桌边，在上的点处反弹后，滚向桌边上的点，再次反弹后滚入点，共反弹两次．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，，，平分交于点，为线段上的一点，过点作交线段的延长线于点，求的度数． 【题型3 利用有两个角互余的三角形是直角三角形判断三角形的形状】 【例3】如图，平分，，，，则是____三角形． 【变式3-1】（25-26八年级上·湖南常德·期末）下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 【变式3-3】（25-26八年级上·贵州黔西南·阶段检测）如图，平分．求证：是直角三角形． 【题型4 利用直角三角形斜边上的中线求线段长度】 【例4】（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点均在格点（网格线的交点）上，若为的中线，则的长为（  ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点，，对应的刻度分别为1，4，7（单位：cm），则的长度为________． 【变式4-2】（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在中，为斜边上的中线，点是上方一点，且，连接，若，求的长． 【变式4-3】（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，在矩形中，，，E，F，G分别是边，，上的动点，且，，连接，，则的最小值为______． 【题型5 利用直角三角形斜边上的中线求角度大小】 【例5】如图，在中，，，将以C为旋转中心，顺时针旋转角度（），若的中点O恰好在AC上，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，已知在中，，． （1）的度数为_____； （2）若是的中点，则的度数为_____． 【变式5-2】（25-26八年级上·上海浦东新·阶段检测）如图，在中，斜边的垂直平分线分别交、于点、，，则的度数为______． 【变式5-3】（25-26九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在四边形中，，为对角线的中点，连接，，．若，则的度数为________度． 【题型6 直角三角形的性质的简单应用】 【例6】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，一根长为8米的钢缆斜拉在竖直的电线杆与地面之间，电线杆与地面垂直，垂足为点．若点是钢缆的中点，则，两点间的距离为（     ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 【变式6-1】（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，在中，，为中点，且，则的度数为________． 【变式6-2】（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置，此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为______． 【变式6-3】（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，已知：在中，，，点在边的延长线上，，． (1)求证：； (2)如果是的中点，求证：． 【题型7 构造辅助线利用直角三角形的性质】 【例7】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于G，．求证：． 【变式7-1】（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，已知在中，于，于，，分别是，的中点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【变式7-2】（25-26八年级上·广东湛江·期末）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为“黄金三角形”，这条直线称为这个三角形的“黄金分割线”． (1)如图①，在中，，，平分交于点．求证：是“黄金三角形”． (2)如图②，在中，，求证：是“黄金三角形”． 【变式7-3】（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在正方形 中，点 是 上一点，连接 ，点 是线段 的中点，连接，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【题型8 含30°角的直角三角形的性质的简单应用】 【例8】（25-26八年级下·广东深圳·期中）景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（  ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式8-1】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，是等边三角形，点D在边上，过点D作于点E．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．4 D．6 【变式8-2】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，为等边三角形，，，相交于点P，于Q．已知，，则的长是________． 【变式8-3】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使得点B落在点E处，交于点F，若平分，，则的长为________． 【题型9 作垂线构造含30°角的直角三角形】 【例9】（25-26八年级下·江西萍乡·期末）在等腰中，已知，，则的面积为________． 【变式9-1】（2026·内蒙古包头·二模）如图，左图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具——“碓（）”的结构简图．已知交于点与水平线相交于点，．若分米，，则点到水平线的距离为___________分米． 【变式9-2】（2026·四川凉山·中考真题）如图，点P是的平分线上一点，过点P作交于点C，若，，则点P到的距离的长是_______． 【变式9-3】（2026·上海浦东新·二模）如图是地铁入口双翼闸机示意图．已知双翼边缘，与闸机侧立面夹角，双翼展开时端点、的间距为．当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为_______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $