第2讲·定义与命题、证明·培优讲义（知识梳理+典例+练习）·2026--2027学年浙教版八年级数学上册

第2讲·定义与命题、证明·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026--2027学年浙教版八年级数学上册 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解定义、命题的概念，会区分命题与非命题，会把命题改写成「如果…那么…」的形式 · 理解真命题与假命题，会通过举反例说明一个命题是假命题 · 理解证明的必要性，会按规范格式书写简单的几何证明过程 · 掌握三角形内角和定理、外角性质的证明与应用 · 会综合运用平行线的性质与判定、角平分线、高线进行角度计算与证明 · 会解决折叠、旋转、逻辑推理等情境中的说理与综合证明问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.定义与命题 定义：能明确指出一个概念含义或特征的句子，是判断的依据 命题：判断一件事情的句子（可以判断真假的陈述句） 命题都由题设（条件）和结论两部分组成，可改写为「如果…，那么…」 疑问句、祈使句、感叹句、没有作出判断的陈述句都不是命题 正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题 概念辨析例题：下列语句中，不是命题的是（　　）A．两点之间线段最短　B．画一条线段　C．对顶角相等　D．负数大于正数 答案：B 解析：命题要「判断一件事情」：A、C、D 都作出了判断（对或错均可）；B 是祈使句（描述做法），没有判断，不是命题。判断是否为命题的关键是「能否判断真假」。 ✅️ 2.真命题、假命题与举反例 真命题：题设成立时结论一定成立；假命题：题设成立时结论不保证成立 说明假命题的方法：举一个反例（满足题设但不满足结论的例子） 举反例只需一个，且必须同时满足题设条件、否定结论 反例常见形式：特殊数值、特殊图形（如钝角三角形的高在形外） 真命题的确认需要推理证明，不能靠举例子 概念辨析例题：能说明命题「两个锐角的和是钝角」是假命题的反例是（　　） 答案：两个锐角分别为 20° 与 30°，和为 50° 是锐角 解析：反例要满足题设（两角都是锐角）但结论不成立（和不是钝角）。取 20° 与 30° 即可。举反例只需一个特例，但必须同时「合题设、否结论」。 ✅️ 3.证明与推理格式 证明：从命题的题设出发，根据已知的定义、基本事实、定理，推出结论的过程 证明书写要求：按「因为…（依据）…所以…」的推理链，步步有据 证明的一般步骤：根据题意画图 → 写已知、求证 → 写证明过程 反证法：先假设命题结论不成立，推出矛盾，从而肯定原结论 常用依据：平行线性质与判定、三角形内角和、外角性质、等腰与全等 概念辨析例题：求证：三角形三个内角的和等于 180°。 答案：过点 A 作 DE ∥ BC，用两直线平行内错角相等转化 解析：证明：过 A 作 DE ∥ BC，则 ∠B = ∠1、∠C = ∠2（两直线平行，内错角相等）。∵ ∠1 + ∠BAC + ∠2 = 180°（平角），∴ ∠BAC + ∠B + ∠C = 180°。辅助线把三个角「搬」到一起，是内角和定理的标准证明。 ✅️ 4.三角形的外角性质 外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，每个顶点处有两个相等的外角 外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 推论：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 n 边形外角和恒为 360°（任意多边形），内角和 = (n-2)×180° 常见应用：飞镖型、8 字型、折线模型中求角度 概念辨析例题：如图，在 △ABC 中，∠B = 50°，∠C = 70°，AD 是 BC 延长线上的外角平分线，则 ∠CAD = （　　） 答案：60° 解析：外角 ∠DAC（整体）= ∠B + ∠C = 120°，其平分线把它分成两个 60°。外角等于不相邻两内角之和，平分后再取半，是外角问题的基本套路。 ✅️ 5.角度计算的综合模型 平行线模型：拐点问题（M 型、铅笔型）过拐点作平行线 角平分线模型：内角平分线夹角 = 90° + 半底角等定值结论 高线与平分线交角：∠DAC = 90° - ½∠B（或 ∠AEB = 90° + ½∠C 类） 折叠模型：折痕平分角，折叠前后对应角相等 方程法：设一个角为 x，把其余角用 x 表示，由平角或内角和列方程 概念辨析例题：在 △ABC 中，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于 D，AE ⊥ BC 于 E（E 在 BD 上），若 ∠B = 40°，∠C = 60°，则 ∠DAE = （　　） 答案：10° 解析：∠BAC = 80°，∠DAC（平分后）= 40°；由外角 ∠AEC（即 AE 与 BC 交点处）= ∠B + ∠BAE……直接算：∠AEB = 90° + ∠C 的补角路径较繁，用「高线与平分线夹角 = 两底角差的一半」：|∠C - ∠B| ÷ 2 = 10°。记住这个定值结论可秒解。 🧀 知识总结表 概念 要点 易错点 命题 能判断真假的陈述句 祈使/疑问句不是命题 真命题 题设成立结论必成立 需推理证明 假命题 题设成立结论不保证 举一个反例即可 证明 步步有据的推理 画图+已知求证+过程 外角性质 外角=不相邻两内角和 大于任一不相邻内角 多边形外角和 恒为 360° 与边数无关 📩 核心考点 【考点1】命题与真假判断（第1-13题） · 命题识别：能否判断真假，祈使句疑问句不是命题 · 真假判断靠已学定理与事实，如「相等的角是对顶角」是假命题 · 命题改写：题设写「如果」后，结论写「那么」后 · 圆、三角形等概念辨析结合新章节知识 1．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）下列语句不是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．连结，并延长至点 C．两直线平行，内错角相等 D．等角的补角相等 2．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）下列命题为假命题的是（    ）． A．对顶角相等 B．等角的补角相等 C．同旁内角互补 D．两直线平行，同位角相等 3．（23-24七年级下·山东东营·阶段检测）下列句子，是命题的是（ ） A．今天的空气好清新 B．年月日，神舟十二号发射升空 C．作一条长为 的线段 D．同旁内角互补 4．（25-26八年级上·浙江·阶段检测）下列命题中，属于假命题的是（   ） A．三角形三个内角的和等于 B．两直线平行，同位角相等 C．全等三角形的对应边相等 D．相等的两个角是对顶角 5．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）下列命题中，真命题是（    ） A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．过三点一定可以作圆 C．优弧一定大于劣弧 D．任意三角形一定有一个外接圆 6．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）对于命题“如果，那么”，能说明该命题为假命题的反例是（　　） A．， B．， C．， D．， 7．（26-27八年级上·浙江·单元测试）把命题“等角的余角相等”改写成：“如果____________，那么____________”． 8．（21-22八年级上·浙江宁波·期末）命题“三角形的外角一定大于它的内角”，这是_____命题．（填“真”或“假”） 9．（25-26七年级下·北京·课后作业）有下列语句：①植物生长都需要水；②负数大于正数；③零既不是正数，也不是负数；④画直角三角形；⑤因为，所以．其中，是命题的是_______（填序号）． 10．（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）“相等的角是对顶角”是_______（填“真”或“假”）命题． 11．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）命题“实数的平方是正数”是假命题，可以举反例_________． 12．（24-25七年级下·河北唐山·阶段检测）黑板上写有3个命题： ①若，则； ②若是有理数，则； ③若与都是锐角，则这两个角的和是钝角． (1)上述命题是真命题的是______（填序号），该命题的条件是______，结论是______； (2)对于上述命题中的假命题，请各写出一个反例． 13．（26-27八年级上·全国·课后作业）指出下列命题中的真命题和假命题，若是假命题，请举出反例： (1)两个锐角的和等于； (2)当时，一定成立． 【考点2】举反例与命题改写（第14-26题） · 反例三要素：合题设、否结论、只需一个 · 反例常用特殊值或特殊图形（钝角三角形高在形外） · 「平方是正数」的 0 是最常用反例 · 逻辑推理题（供词、日历）用假设法逐个排除 14．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）能说明“三角形的高线一定在三角形的内部含边界”是假命题的反例是（　　） A．   B．   C．   D．   15．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）下列选项中的a、b的值，可以作为命题“若，则”是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 16．（23-24八年级上·浙江温州·期中）对于命题“如果与互余，那么”，能说明这个命题是假命题的反例是（    ） A．， B． C． D． 17．（23-24七年级下·北京通州·期末）已知有理数a，b，下列命题中是真命题的有（    ） ①如果，那么或； ②如果，那么； ③如果，那么； ④如果，那么的符号与a的符号相同； ⑤如果，那么． A．①②④ B．②③⑤ C．①③④ D．①④⑤ 18．（22-23九年级上·浙江温州·开学考试）若要举反例来说明命题“如果，那么”是假命题，则可取______（写出一种即可）． 19．（25-26八年级上·河南郑州·阶段检测）请给假命题“两个锐角的和是钝角”举一个反例：______． 20．（23-24七年级下·河南周口·阶段检测）（1）判断下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一反例． ①两个锐角的和是锐角； ②0既不是正数，也不是负数． （2）如图，已知钝角，点在射线上，画直线及，垂足为．    21．（23-24七年级下·河北邯郸·阶段检测）已知命题“两直线平行，同旁内角互补”． (1)写出该命题的题设和结论，并将其改写成“如果……那么……”的形式； (2)嘉淇想证明该命题，下面是她的解题过程，请将其补全，并在括号内填上推理的根据． 如图，已知直线，直线截，于点M，N． 求证　　． 证明：∵（已知）， ∴（ 　　）． ∵　　（平角的定义）， ∴　　（ 　　）． 22．（23-24七年级下·广西防城港·阶段检测）已知①， ②， ③， ④， 请选 2个作为题设， 1个作为结论，构成一个真命题，并证明． 题设： ___________， 结论___________． 证明： 23．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，现有以下三个论断：①；②；③．请以其中两个论断为条件，第三个论断为结论构造新的命题． (1)请写出所有的命题．（可以写成“如果……那么……”的形式） (2)请选择其中一个真命题进行论证． 24．（25-26九年级上·湖南·阶段检测）小明和小李研究某一年阳历6月份的日历，并且分别发表了自己的研究结论： 小明：这个月有5个星期二； 小李：这个月所有星期二的日期之和不为75； 请根据小明和小李两位同学的研究结论，判断这个月第三个星期二是6月___________号．（填日期） 25．（22-23九年级上·浙江台州·自主招生）甲、乙、丙、丁、戊、己是六名嫌疑犯，审讯他们时，他们的供词如下： 甲：“乙、戊作案了”； 乙：“甲、丁作案了”； 丙：“乙、己作案了”； 丁：“甲、丙作案了”； 戊：“甲、己作案了”． 已知案件是由两人共同作案的，这些供词中有一人是假话，其余四人都是一半真一半假．则作案的两人是（   ） A．甲、丙 B．乙、戊 C．丁、己 D．甲、戊 26．（23-24七年级上·山东淄博·阶段检测）在学习了平行线的性质以后，我们可以用几何推理的方法证明三角形的内角和等于．如图，已知，求证：． 【考点3】三角形外角与角度计算（第27-39题） · 外角 = 不相邻两内角和，大于任一不相邻内角 · 飞镖型、8 字型、折叠模型按外角性质转化 · 三角板拼角、正五边形等结合内角和与外角和 · 等腰三角形外角问题注意底角范围限制 27．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（   ） A． B． C． D． 28．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）将一副三角板按照如图方式摆放，点C、B、E共线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 29．（2023·浙江金华·模拟预测）一艘轮船从港出发，沿着北偏东的方向航行，行驶至处时发现前方有暗礁，所以转向北偏西方向航行，到达后需要把航向恢复到出发时的航向，此时轮船航行的航向向顺时针方向转过角度的度数为（   ）    A． B． C． D． 30．（23-24八年级上·浙江衢州·期中）如图，在中，，沿图中虚线截去，则的度数为（    ） A． B． C． D． 31．（2024·江苏苏州·一模）在数学活动课上，小丽同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺的一边上，测得，则的度数是（    ） A． B． C． D． 32．（2024·西藏日喀则·一模）如图 ， 为的角平分线，，则的度数是（     ）． A． B． C． D． 33．（24-25八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 34．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，，，将其折叠，使点A落在边上处，折痕为，则为（    ） A． B． C． D． 35．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的序号是（   ） A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 36．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，则________． 37．（22-23九年级下·四川攀枝花·阶段检测）如图，已知，点E在线段上（不与点A，点D重合），连接．若，，则______． 38．（25-26八年级上·浙江·阶段检测）如图，在中，，，点D在的延长线上，则__________． 39．（22-23八年级上·浙江绍兴·期中）如图所示，，，，则的度数为______度．    【考点4】角平分线与综合证明（第40-52题） · 高线与平分线夹角 = 两底角差的一半 · 双角平分线夹角 = 90° + 半底角等定值 · 证明书写步步有据，常用平行线判定与性质互逆 · 探究题分情况讨论位置关系 40．（2025·山东德州·一模）一副三角板按如图所示的方式摆放，，，，若，则的度数为_______． 41．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，为的高，为的角平分线，若，则______． 42．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，是一条角平分线，是边上的高线，相交于点F，若，则______． 43．（24-25七年级下·浙江金华·阶段检测）如图1是义乌某商铺销售的一款落地的平板支撑架，是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板． （1）则_______； （2）现将支撑杆调整至图3所示位置，调整过程中大小不变，，再顺时针调整平板至，使得 ，则_______． 44．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，平分，于点E，若，，则的度数为__________． 45．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，，平分，是射线上一定点，是射线上的动点，交于点．，．在点的运动过程中，当时，______度．（用含的代数式表示） 46．（25-26七年级下·江苏常州·期中）如图，与、分别交于点、，则______ 47．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，点在上，连接．根据图中标出的度数可知____． 48．（23-24七年级下·山西晋城·期中）如图，在中，，平分交于点，点为的延长线上一点，过点作于点，若，则_____________________． 49．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，点在上，且的平分线交于点，外角的平分线交延长线于点，若，则度数是__________． 50．（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图是可调躺椅示意图，与的交点为，，，，为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为__________度.    51．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）若等腰三角形的一个外角是，则其底角为____． 52．（20-21七年级下·江苏徐州·期中）如图，从△ABC的纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE．若，则______°． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 命题是能判断真假的陈述句，疑问句祈使句不是命题 · 假命题用反例说明：合题设、否结论，一个就够 · 证明书写：画图 → 已知求证 → 因为（依据）所以步步有据 · 外角等于不相邻两内角之和，大于任一不相邻内角 · 多边形外角和恒为 360°，内角和 = (n-2)×180° 【作业 1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，正五边形，F为的中点，连结，与对角线交于点G，则度数为______． 【作业 2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知：如图，，若为平面内一点．当点在直线之间时，于平分，连接，使，设，请写出与之间的数量关系________． 【作业 3】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图1，将一条两边互相平行的长方形纸带沿折叠，设度． 图1                                图2 （1）若，则______度． （2）将图1纸带继续沿折叠成图2，则______度．（用含的代数式表示） 【作业 4】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，点D在上，点E在上，相交于点O． (1)若，求的度数； (2)试猜想与之间的关系，并证明你的猜想． 【作业 5】（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，在中，是边上的高线，是一条角平分线，它们相交于点F．已知，，求和的度数． 【作业 6】（23-24七年级下·河南濮阳·期末）如图，直线DE经过点A，． 填空： ∵， ∴______（______），______（______）， ∵直线过点A ∴，∴____________． 于是，我们证明了结论：______． 【作业 7】（23-24八年级上·安徽合肥·期末）在中，，D，E分别是边和延长线上的点，连接，，． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，已知，判断是否平分，并说明理由． 【作业 8】（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图，，点E，P，F分别在，，上，连结，，且满足． (1)若，求的度数． (2)若度，度，探索m，n之间的数量关系，并说明理由． 【作业 9】（23-24八年级上·浙江·周测）如图①，在中，沿的平分线折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿的平分线折叠，剪掉重复部分……将余下部分沿的平分线折叠，点与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，则称是的好玩角． 小马展示了确定是的好玩角的两种情形． 情形一：如图②，沿等腰三角形顶角的平分线折叠，点B与点C重合； 情形二：如图③，沿的平分线折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿的平分线折叠，此时点与点C重合．    探究发现： (1)在中，，，经过两次折叠，是的好玩角，求的度数． (2)小马经过三次折叠发现了是的好玩角，请探究与（不妨设）之间的等量关系为________．根据以上内容猜想：若经过n次折叠是的好玩角，则与（不妨设）之间的等量关系为________． 应用提升： (3)小马找到一个三角形，三个角分别为，，，发现和的两个角都是此三角形的好玩角．请你完成，如果一个三角形的最小角是，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好玩角． 【作业 10】（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图，在中，D，E，F三点分别在，，上，过点D的直线与线段的交点为点M，已知，． (1)试说明的理由； (2)若，，求的度数． 【作业 11】（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图1，平分，，，． (1)求的度数； (2)如图2，若把“”变成“点在的延长线上，”，，（），请用、的代数式表示． 【作业 12】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，中，是边上的高线，是的角平分线，与交于F，已知．求与的度数． 【作业 13】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，是边上的高． (1)若是的平分线，，，求的度数； (2)若是边上的中线，，，求． 【作业 14】（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与探究 【感知】如图1，在中，分别是和的角平分线． 【应用】 (1)若，则 ；若，则 ； (2)求与之间的关系并证明； 【拓展】 (3)如图2，在四边形中，分别是和的角平分线，求与的数量关系． 【作业 15】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想，与的数量关系，并证明． 【作业 16】（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，是边上的高，的平分线交于点．求的度数． 【作业 17】（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，等腰中，，点P是边上的一个动点不与B，C重合，连接，在边上取一点Q，使得，连接， (1)若，，求的度数； (2)若，，请用含x的代数式表示的度数； (3)由（1）（2）的结论，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲·定义与命题、证明·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026--2027学年浙教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解定义、命题的概念，会区分命题与非命题，会把命题改写成「如果…那么…」的形式 · 理解真命题与假命题，会通过举反例说明一个命题是假命题 · 理解证明的必要性，会按规范格式书写简单的几何证明过程 · 掌握三角形内角和定理、外角性质的证明与应用 · 会综合运用平行线的性质与判定、角平分线、高线进行角度计算与证明 · 会解决折叠、旋转、逻辑推理等情境中的说理与综合证明问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.定义与命题 定义：能明确指出一个概念含义或特征的句子，是判断的依据 命题：判断一件事情的句子（可以判断真假的陈述句） 命题都由题设（条件）和结论两部分组成，可改写为「如果…，那么…」 疑问句、祈使句、感叹句、没有作出判断的陈述句都不是命题 正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题 概念辨析例题：下列语句中，不是命题的是（　　）A．两点之间线段最短　B．画一条线段　C．对顶角相等　D．负数大于正数 答案：B 解析：命题要「判断一件事情」：A、C、D 都作出了判断（对或错均可）；B 是祈使句（描述做法），没有判断，不是命题。判断是否为命题的关键是「能否判断真假」。 ✅️ 2.真命题、假命题与举反例 真命题：题设成立时结论一定成立；假命题：题设成立时结论不保证成立 说明假命题的方法：举一个反例（满足题设但不满足结论的例子） 举反例只需一个，且必须同时满足题设条件、否定结论 反例常见形式：特殊数值、特殊图形（如钝角三角形的高在形外） 真命题的确认需要推理证明，不能靠举例子 概念辨析例题：能说明命题「两个锐角的和是钝角」是假命题的反例是（　　） 答案：两个锐角分别为 20° 与 30°，和为 50° 是锐角 解析：反例要满足题设（两角都是锐角）但结论不成立（和不是钝角）。取 20° 与 30° 即可。举反例只需一个特例，但必须同时「合题设、否结论」。 ✅️ 3.证明与推理格式 证明：从命题的题设出发，根据已知的定义、基本事实、定理，推出结论的过程 证明书写要求：按「因为…（依据）…所以…」的推理链，步步有据 证明的一般步骤：根据题意画图 → 写已知、求证 → 写证明过程 反证法：先假设命题结论不成立，推出矛盾，从而肯定原结论 常用依据：平行线性质与判定、三角形内角和、外角性质、等腰与全等 概念辨析例题：求证：三角形三个内角的和等于 180°。 答案：过点 A 作 DE ∥ BC，用两直线平行内错角相等转化 解析：证明：过 A 作 DE ∥ BC，则 ∠B = ∠1、∠C = ∠2（两直线平行，内错角相等）。∵ ∠1 + ∠BAC + ∠2 = 180°（平角），∴ ∠BAC + ∠B + ∠C = 180°。辅助线把三个角「搬」到一起，是内角和定理的标准证明。 ✅️ 4.三角形的外角性质 外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，每个顶点处有两个相等的外角 外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 推论：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 n 边形外角和恒为 360°（任意多边形），内角和 = (n-2)×180° 常见应用：飞镖型、8 字型、折线模型中求角度 概念辨析例题：如图，在 △ABC 中，∠B = 50°，∠C = 70°，AD 是 BC 延长线上的外角平分线，则 ∠CAD = （　　） 答案：60° 解析：外角 ∠DAC（整体）= ∠B + ∠C = 120°，其平分线把它分成两个 60°。外角等于不相邻两内角之和，平分后再取半，是外角问题的基本套路。 ✅️ 5.角度计算的综合模型 平行线模型：拐点问题（M 型、铅笔型）过拐点作平行线 角平分线模型：内角平分线夹角 = 90° + 半底角等定值结论 高线与平分线交角：∠DAC = 90° - ½∠B（或 ∠AEB = 90° + ½∠C 类） 折叠模型：折痕平分角，折叠前后对应角相等 方程法：设一个角为 x，把其余角用 x 表示，由平角或内角和列方程 概念辨析例题：在 △ABC 中，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于 D，AE ⊥ BC 于 E（E 在 BD 上），若 ∠B = 40°，∠C = 60°，则 ∠DAE = （　　） 答案：10° 解析：∠BAC = 80°，∠DAC（平分后）= 40°；由外角 ∠AEC（即 AE 与 BC 交点处）= ∠B + ∠BAE……直接算：∠AEB = 90° + ∠C 的补角路径较繁，用「高线与平分线夹角 = 两底角差的一半」：|∠C - ∠B| ÷ 2 = 10°。记住这个定值结论可秒解。 🧀 知识总结表 概念 要点 易错点 命题 能判断真假的陈述句 祈使/疑问句不是命题 真命题 题设成立结论必成立 需推理证明 假命题 题设成立结论不保证 举一个反例即可 证明 步步有据的推理 画图+已知求证+过程 外角性质 外角=不相邻两内角和 大于任一不相邻内角 多边形外角和 恒为 360° 与边数无关 📩 核心考点 【考点1】命题与真假判断（第1-13题） · 命题识别：能否判断真假，祈使句疑问句不是命题 · 真假判断靠已学定理与事实，如「相等的角是对顶角」是假命题 · 命题改写：题设写「如果」后，结论写「那么」后 · 圆、三角形等概念辨析结合新章节知识 1． 【答案】B 【知识点】判断是否是命题 【分析】此题考查了命题，命题是能判断真假的陈述句．B选项是描述作图过程的语句，不是陈述句，因此不是命题． 【详解】解：∵ 命题是能判断真假的陈述句； A、C、D均为几何真命题，是陈述句； B为作图指令，不是陈述句，无法判断真假； ∴ B不是命题． 故选：B 2． 【答案】C 【知识点】对顶角相等、两直线平行同位角相等、两直线平行同旁内角互补、判断命题真假 【分析】本题考查命题，命题是由题设和结论两部分组成的陈述句，正确的命题叫真命题；错误的命题叫假命题，熟记对顶角、补角及平行线的性质是解决问题的关键． 根据对顶角、补角、平行线的性质逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、对顶角相等，选项命题是真命题，不符合题意； B、等角的补角相等，选项命题是真命题，不符合题意； C、两直线平行、同旁内角互补，选项命题是假命题，符合题意； D、两直线平行，同位角相等，选项命题是真命题，不符合题意； 故选：C． 3． 【答案】D 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题考查命题的判断，熟知命题的定义：判断一件事情的句子叫做命题，数学中的命题常可以写成：如果…，那么…，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、今天的空气好清新，没有作出判断，不是命题，不符合题意； B、年月日，神舟十二号发射升空，没有作出判断，不是命题，不符合题意； C、作一条长为 的线段，没有作出判断，不是命题，不符合题意； D、同旁内角互补，作出判断，是命题，符合题意； 故选：D． 4． 【答案】D 【知识点】对顶角相等、两直线平行同位角相等、三角形内角和定理的应用、判断命题真假 【分析】本此题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、平行线的性质及判定及三角形的内角和，难度不大. 利用对顶角的性质、平行线的性质及判定及三角形的内角和等知识分别判断后即可确定答案． 【详解】解：A、三角形三个内角和等于，正确，是真命题； B、两直线平行，同位角相等，正确，是真命题； C、全等三角形的对应边相等，正确，是真命题； D、相等的两个角不一定是对顶角，故错误，是假命题； 故选：D． 5． 【答案】D 【知识点】圆的基本概念辨析、 三角形外接圆的概念辨析、判断确定圆的条件、判断命题真假 【分析】本题考查判断命题的真假，涉及切线的判定、圆的确定、弧的定义、三角形的外接圆，熟练掌握相关知识是解答的关键．根据相关知识逐项判断即可． 【详解】解：A、垂直于半径并且垂足在圆上的直线是圆的切线，故本选项假命题，不符合题意； B、过不在同一直线上的三点一定可以作圆，故本选项假命题，不符合题意； C、在等圆或同圆中，优弧一定大于劣弧，故本选项假命题，不符合题意； D、任意三角形一定有一个外接圆，故本选项真命题，符合题意； 故选：D． 6． 【答案】D 【知识点】举反例、判断命题真假 【分析】本题主要考查了命题的真假，反例的定义，解题的关键是掌握反例． 根据反例的定义，结合命题逐项进行判断即可． 【详解】解：A．当时，且，命题成立，不符合题意； B． 当时，且，命题成立，不符合题意； C． 当时，， ，，不满足条件，不符合题意； D．当 时，，，所以，但，该命题为假命题，该选项符合题意； 故选：D． 7． 【答案】 两个角是相等的角的余角 这两个角相等 【知识点】写出命题的题设与结论 【详解】解：命题“等角的余角相等”中，“等角的余角”是题设；“相等”是结论．因此改写成“如果两个角是相等的角的余角，那么这两个角相等”． 8． 【答案】假 【知识点】三角形的外角的定义及性质、判断命题真假 【详解】解：∵三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，与相邻的内角互补；若相邻的内角为钝角，则该外角为锐角，此时三角形的外角小于相邻的内角， ∴命题“三角形的外角一定大于它的内角”是假命题． 9． 【答案】①②③⑤ 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题考查命题的判断，根据命题的定义，对某一事件作出判断的语句叫做命题，逐一进行判断即可． 【详解】解：植物生长都需要水，是命题，故①符合题意； 负数大于正数，是命题，故②符合题意； 零既不是正数，也不是负数，是命题，故③符合题意； 画直角三角形，不是命题，故④不符合题意； 因为，所以，是命题，故⑤符合题意； 故答案为：①②③⑤． 10． 【答案】假 【知识点】对顶角的定义、判断命题真假 【详解】解：∵相等的角不一定是对顶角， ∴“相等的角是对顶角”是假命题． 11． 【答案】0 【知识点】举反例 【分析】此题考查了举反例，举反例，此时，不是正数，故命题为假命题． 【详解】解：当时，，0不是正数， 因此命题“实数a的平方是正数”是假命题． 故答案为：0． 12． 【答案】(1)①，， (2)②当时，， ③当，时，与都是锐角， 【知识点】绝对值的几何意义、判断命题真假、举例说明假（真）命题、写出命题的题设与结论 【分析】本题主要考查了命题的判定，掌握相关知识的运算，命题真假的判定是关键． （1）根据平方，绝对值的性质，锐角、钝角的数量关系判定即可； （2）根据命题的特点分别举出反例即可． 【详解】（1）解：若，则，是真命题，命题的条件是：，结论是：； 若是有理数，则不一定成立，是假命题； 若与都是锐角，则这两个角的和不一定是钝角，是假命题； 故答案为：①，，； （2）解：反例： ②当时，，； ③当，时，与都是锐角，． 13． 【答案】(1)假命题． 反例：两个锐角分别为和，它们的和为，不等于（反例不唯一）． (2)真命题 【知识点】不等式的性质、举反例、判断命题真假 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∴． 【考点2】举反例与命题改写（第14-26题） · 反例三要素：合题设、否结论、只需一个 · 反例常用特殊值或特殊图形（钝角三角形高在形外） · 「平方是正数」的 0 是最常用反例 · 逻辑推理题（供词、日历）用假设法逐个排除 14． 【答案】C 【知识点】画三角形的高、举例说明假（真）命题 【分析】本题考查了三角形的高，根据锐角三角形三条高线在三角形的内部；直角三角形两条高线为直角边、一条高线在三角形的内部；钝角三角形两条高线在三角形的外部、一条高线在三角形的内部，即可解答. 【详解】解：“三角形的高线一定在三角形的内部(含边界) ”是一个假命题，反例如下： 钝角三角形有两条高在外部，一条在内部.也就是说，当一个三角形为钝角三角形时，其高线并不都在三角形的内部或边界上. 故选：C. 15． 【答案】C 【知识点】举反例、举例说明假（真）命题 【分析】本题考查的是命题的真假判断，要证明命题“若，则”为假，需找到反例，即成立但不成立，逐一验证各选项即可解答． 【详解】解：选项A：，，成立，，结论成立，不符合反例； 选项B：，，成立，，结论成立，不符合反例； 选项C：，，成立，结论不成立，符合反例； 选项D：，，不成立，不符合反例条件． 故选：C． 16． 【答案】D 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，由此逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、满足条件，也满足结论，故A选项错误，不符合题意； B、不满足条件，故B选项错误，不符合题意； C、不满足条件，故C选项错误，不符合题意； D、满足条件，不满足结论，故D选择正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键． 17． 【答案】C 【知识点】有理数大小比较、两个有理数的乘法运算、有理数的乘方运算、判断命题真假 【分析】本题考查了命题真假的判定，解题的关键是掌握有理数加法、乘法、乘方法则，有理数大小的比较，难度一般． 根据有理数加法、乘法、乘方法则，有理数大小的比较，逐个判断即可． 【详解】解：①如果，那么或，正确，故①是真命题； ②如果，那么或，原命题错误，故②假命题； ③如果，那么，正确，故③是真命题； ④如果，那么的符号与a的符号相同，正确，故④是真命题； ⑤如果，那么，如果，那么，原命题错误，故⑤假命题； ∴是真命题的有①③④． 故选：C． 18． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】本题主要考查了命题的定义，深刻理解命题的定义是解题的关键．必须牢记：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”的形式．判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 找出一个满足，但不满足即可． 【详解】解：要说明“如果，那么”是假命题，可以举一个反例为， 因为时，， 故答案为：（答案不唯一）． 19． 【答案】，，（答案不唯一） 【知识点】举反例、举例说明假（真）命题 【分析】本题考查反例的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 反例需满足两个锐角之和不是钝角，而是锐角或直角，据此解答即可． 【详解】解：锐角是指小于的角，钝角指大于且小于的角，当两个锐角均较小时，其和可能小于，例如，，，结果为锐角而非钝角，故该命题为假命题， 故答案为，，（答案不唯一）． 20． 【答案】 解：（1）①假命题， 反例：，但，是钝角， ②真命题． （2）如图，，即为所求． ． 【知识点】画垂线、举例说明假（真）命题 【分析】本题考查的是真假命题的判断，画已知直线的垂线，掌握判断命题真假的方法与熟练的利用工具画已知直线的垂线是解本题的关键． （1）①举反例判断两个锐角的和是锐角是假命题即可，②根据0的特点可判断； （2）利用三角板或其他含有直角的工具画图即可． 【详解】略 21． 【答案】(1)该命题的题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”，改成“如果……那么……”的形式是：如果两直线平行，那么同旁内角互补 (2)；两直线平行，同位角相等；；；等量代换 【知识点】两直线平行同位角相等、写出命题的题设与结论 【分析】本题考查了命题，平行线的性质等知识， （1）确定题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”，按要求表述即可； （2）根据两直线平行，同位角相等可得，再结合平角的定义，即可证明． 【详解】（1）该命题的题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”， 改成“如果……那么……”的形式是：如果两直线平行，那么同旁内角互补； （2）如图，已知直线，直线截，于点M，N． 求证． 证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（平角的定义）， ∴（等量代换）． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；；；等量代换． 22． 【答案】 题设：②， ③， 结论：④， 证明：∵， ， ∴， ∴．（答案不唯一） 【知识点】根据平行线判定与性质证明、写出命题的题设与结论 【分析】本题考查了命题与定理的知识，平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质，结合所给条件即可作出判断． 【详解】略． 23． 【答案】(1) 解：第一种：如果，，那么； 第二种：如果，那么； 第三种：如果，那么． (2) 解：证明第一种：∵， ， ∵，， ∴， ∴； 证明第二种：， ， ， ， ， ； 证明第三种：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【知识点】根据平行线判定与性质证明、写出命题的题设与结论 【分析】本题考查的是命题、平行线的判定和性质，掌握命题的概念、平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据命题的概念按要求解答； （2）根据平行线的性质定理、判定定理证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 24． 【答案】16 【知识点】有理数加法在生活中的应用、逻辑推理与论证 【分析】本题考查推理与论证和有理数加法的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据6月有30天，再由小明条件可知，若有5个星期二，则第一个星期二必须在1日或2日；分别计算两种情况下星期二日期之和，判断是否满足小李条件（和不为75），从而确定第一个星期二为2日，进而找到第三个星期二日期即可． 【详解】解：6月有30天，若有5个星期二，则第一个星期二可能为1日或2日， 若1日为星期二，则星期二日期为1、8、15、22、29， 和为，与小李条件矛盾； 若2日为星期二，则星期二日期为2、9、16、23、30， 和为，符合小李条件． ∴第一个星期二为2日，第三个星期二为16日． 故答案为：16． 25． 【答案】D 【知识点】逻辑推理与论证 【分析】本题考查了推理与论证，合理的分析与推理排除是解题关键．根据证词中各人出现次数，判断出只能是甲与丙或甲与丁或甲与戊或乙与己合伙作案，再逐一判断，最终确定答案． 【详解】解：根据条件，5份供词中一份假的，其余都是一真一假，且这4份供词都有一个罪犯的名字． 两个罪犯的名字在五份供词中一共出现了四次． 在供词中，甲出现了3次，乙出现了2次，丙出现了1次，丁出现了1次，戊出现了1次，己出现了2次， 因此只能是甲与丙或甲与丁或甲与戊或乙与己合伙作案， 当甲与丙合伙作案时，则丁的供词全对，与已知矛盾； 当甲与丁合伙作案时，则乙的供词全对，与已知矛盾； 当乙与己合伙作案时，则丙的供词全对，与已知矛盾； 当甲与戊为作案人时，丙的供词为全假，甲、乙、丁、戊的供词均为一真一假，符合题意． 只能是甲与戊合伙作案． 故选：D． 26． 【答案】 证明：过作， ， ，， ， ． 【知识点】两直线平行内错角相等、三角形内角和定理的证明 【分析】过作，根据平行线的性质和平角定义即可完成证明．本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线构造出平行线是解题的关键． 【详解】略 【考点3】三角形外角与角度计算（第27-39题） · 外角 = 不相邻两内角和，大于任一不相邻内角 · 飞镖型、8 字型、折叠模型按外角性质转化 · 三角板拼角、正五边形等结合内角和与外角和 · 等腰三角形外角问题注意底角范围限制 27． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了角平分线的定义和三角形外角的性质，熟练掌握角平分线、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 先利用角平分线得到相关角的度数，再结合三角形外角性质求出． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵平分的外角，， ∴, ∵是的外角, ∴, ∴． 故选：． 28． 【答案】B 【知识点】三角板中角度计算问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角板中角度的计算，三角形的外角，根据角的和差关系求出，根据三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∵， ∴； 故选B． 29． 【答案】C 【知识点】与方向角有关的计算题、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】此题考查平行线的性质及方向角的定义，三角形的外角性质，正确理解方向角是关键． 根据平行线的性质以及三角形的外角性质解答即可． 【详解】解：如图，    由题意可知，，， ，， ， ． 故选：C． 30． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角的性质，熟悉掌握三角形的内角和定理和三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解本题的关键． 【详解】解：对图形进行角标注， 则， ∴， ∵，， ∴， 故选C． 31． 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，根据上述性质得到，即可解答，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，三角板与直尺分别交于点、． ， ． ， ． 故选：D． 32． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，掌握三角形外角的性质成为解题的关键． 由三角形的外角的性质可得，进而得到，最后根据三角形内角和即可解答． 【详解】解：∵是的外角， ∴，即， ∵ 为的角平分线， ∴， ∴． 故选A． 33． 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查角的n等分线，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质．掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和‌是解题关键．由题意得出，，结合三角形外角的性质可求出，从而可求出，，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵的三等分线分别与的平分线交于点，， ∴，． ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选C． 34． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查图形的折叠变化及三角形的外角性质．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．解答此题的关键是要明白图形折叠后与折叠前所对应的角相等． 由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得，又由于折叠前后图形的形状和大小不变，，易求，从而根据三角形外角性质求出的度数． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵将其折叠，使点落在边上处，折痕为，则， ∵是的外角， ∴． 故选：B． 35． 【答案】D 【知识点】与余角、补角有关的计算、与三角形的高有关的计算问题、三角形的外角的定义及性质、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了余角性质，三角形的角平分线和高，三角形外角的性质，根据等角的余角相等可证明结论①；根据角平分线的定义可证明结论②；证明，再结合①的结论可证明结论③；证明，再由，，可以证明结论④，正确识图是解题的关键． 【详解】解：如图，设交于点， ①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ②∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①得，， ∴，故③正确； ④∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的序号是①②③④， 故选：． 36． 【答案】/62度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理，以及基本图形是解题的关键． 先分别求出与的度数，即可求得的度数． 【详解】解：∵， ， ， ， ， 故答案为：． 37． 【答案】 【知识点】两直线平行内错角相等、三角形的外角的定义及性质 【分析】此题考查了平行线的性质，以及外角性质．由为的外角，利用外角性质求出的度数，再利用两直线平行内错角相等即可求出的度数． 【详解】解：∵为的外角，且，， ， 即， ， ， ， 故答案为：． 38． 【答案】100 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和计算． 【详解】解：是的一个外角， ∴， 故答案为：100． 39． 【答案】12 【知识点】两直线平行同位角相等、三角形的外角的定义及性质 【分析】这道题主要考查了平行线的性质和三角形外角的性质．熟练掌握两直线平行，同位角相等，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，是解题的关键． 根据平行线的性质得出，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得出． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：12． 【考点4】角平分线与综合证明（第40-52题） · 高线与平分线夹角 = 两底角差的一半 · 双角平分线夹角 = 90° + 半底角等定值 · 证明书写步步有据，常用平行线判定与性质互逆 · 探究题分情况讨论位置关系 40． 【答案】 【知识点】对顶角相等、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角相等，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据三角板得出，，根据，得出，再根据三角形外角的性质和对顶角相等即可求解． 【详解】如图； ，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 41． 【答案】/80度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形角平分线的定义 【分析】根据角平分线的定义求出，再利用三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：∵为的角平分线，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形外角的性质，解题的关键是利用外角表示出． 42． 【答案】/40度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，关键是掌握以上知识点． 先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵是边上的高线， ， ， ， ， ， 故答案为：． 43． 【答案】 /度 /度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等是解题的关键． （1）如图2，过点B作，则，利用平行线的性质求出，再利用平行线的性质即可求出； （2）如图3，延长交于H，利用三角形外角的性质求出，利用平行线的性质求出，然后根据的度数列式计算即可． 【详解】解：（1）如图2，过点B作，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）如图3，延长交于H，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 44． 【答案】53°/53度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识，解题关键是牢记相关概念．本题先求出，再利用角平分线的定义求出后即可求解． 【详解】解：∵于点E， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 故答案为： ． 45． 【答案】或 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，角平分线的定义，分两种情况，即点在上方和点在下方两种，熟练掌握以上内容并进行推理是解题关键． 【详解】解：当点在上方时，设交于点， ，，平分， ，． ， ． ， ， ， ， ． 当点在下方时，如图所示， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：或． 46． 【答案】 180 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】根据三角形外角的性质可得，再根据平角的定义和三角形内角和定理即可得答案． 【详解】解：∵和分别是和的外角， ∴， ∴， ∵， ∴． 47． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】由三角形的外角和定理得，结合的内角和求出的值，从而求出的值． 【详解】解：， ， ， ， ． 48． 【答案】/20度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，再根据三角形外角的性质求出的度数，最后根据直角三角形两锐角互余即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， 平分， ， 是的一个外角， ， ， ， ， 故答案为：． 49． 【答案】/55度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，由角平分线的定义得到，则可证明，进而求出，根据三角形外角的性质可推出，据此可得答案． 【详解】解：∵的平分线交于点，外角的平分线交延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵，且， ∴， 故答案为：． 50． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质，根据各角之间的关系，找出与之间的关系是解题的关键．连接并延长至点，在中，利用三角形内角和定理，可得出的度数，结合对顶角相等，可得出的度数，利用三角形外角的性质，可得出，，二者相加后，可求出的度数，即可求出结论． 【详解】解：连接并延长至点，如图所示．       在中，，， ， ． ，， ， 即， ， 故答案为：． 51． 【答案】或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理的应用，掌握等腰三角形的两底角相等和三角形三个内角的和为是解题的关键．分这个外角为底角的外角和顶角的外角，分别求解即可． 【详解】解：当外角为底角的外角时，则其底角为：； 当外角为顶角的外角时，则其顶角为：，则其底角为：， 故答案为：或． 52． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形的内角与外角，掌握“三角形内角和是180度”是解题关键． 根据分别为的一个外角，，，然后根据，结合三角形内角和为180度得出即可． 【详解】解：∵分别为的一个外角， ∴，， ∴， 故答案为：． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 命题是能判断真假的陈述句，疑问句祈使句不是命题 · 假命题用反例说明：合题设、否结论，一个就够 · 证明书写：画图 → 已知求证 → 因为（依据）所以步步有据 · 外角等于不相邻两内角之和，大于任一不相邻内角 · 多边形外角和恒为 360°，内角和 = (n-2)×180° 【作业1】 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形与圆，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 连接，，根据题意得，，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】解：连接，， 在正五边形中， ，， ， ， 为的中点， ， ，， ， ， 故答案为：． 【作业2】 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形外角的性质、平行线的性质、角平分线的定义． 延长交延长线于M，延长交于E，根据平行线的性质和三角形的内角和定理得到，结合平角定义和角平分线的定义得到，根据三角形外交的性质求出，列等式计算即可． 【详解】解：如图，延长交延长线于M，延长交于E， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∵，， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 【作业3】 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与平行线有关的三角形内角和问题、三角形折叠中的角度问题 【分析】（1）由平行线的性质得，，折叠和三角形的外角得'， ，最后计算出 ； （2）由折叠和平角的定义求出 ，再次折叠经计算求出 ． 【详解】解：（1）如图1所示， ， ，， 又'， '， 又'， ， 又 ， ， 故答案为：； （2）如图2所示， ， ， 又 ， ， 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了平行线的性质，折叠问题，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，平角的定义以及角的和差等相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是折叠前后的变及不变的问题，二次折叠角的前后大小等量关系． 【作业4】 【答案】(1) (2) 解：猜想，理由如下： ，， ． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据三角形的外角性质求出，根据三角形内角和定理求出的度数； （2）根据三角形的外角性质证明即可． 本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，熟记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【详解】（1）解： ，， ， ； （2）略 【作业5】 【答案】， 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的定义和性质，三角形角平分线和高线的定义，先根据三角形内角和为180度求出，结合，可求出，再根据求出，最后根据角平分线的定义可求的度数． 【详解】解： ，， ，即， 是边上的高线， ， ， ， ， 是平分， ． 【作业6】 【答案】，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，内错角相等，，，三角形的内角和等于； 【知识点】三角形内角和定理的证明 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的证明，平行线的性质，根据题干信息逐步完善推理过程与推理依据即可； 【详解】解：， ∴（两直线平行，内错角相等），（两直线平行，内错角相等）， ∵直线过点A ∴， ∴ ． 于是，我们证明了结论：三角形的内角和等于． 【作业7】 【答案】(1) (2) 平分， 理由如下： ，且，， ， ， ， 平分． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和的应用以及外角的性质，解题关键：能利用这些知识点和性质推出角与角之间的等量关系． （1）根据题意可知，由外角性质可推出：，将两角的度数代入即可求出； （2）利用可推出，因为，所以，即可证出平分； 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）略 【作业8】 【答案】(1)； (2) 解：，理由如下： 延长交反向延长线于K， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质． （1）由平行线当性质推出，即可求出． （2）延长交反向延长线于K，由平行线的性质推出，由垂直的定义得到，由三角形外角的性质得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）略 【作业9】 【答案】(1) (2)； (3)和或和 【知识点】图形类规律探索、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形折叠中的角度问题 【分析】（1）设，根据好玩角的定义可得，再由三角形外角的性质，可得，即可求解； （2）根据好玩角的定义以及三角形外角的性质，即可求解； （3）由题意可设另外两个的度数分别为和，其中m，n为正整数，根据三角形内角和定理可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图③，设， ∵经过两次折叠，是的好玩角， ∴， 又∵是的外角， ∴， 由题意， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，    ∵经过三次折叠是的好玩角， ∴第三次折叠的， ∵，， ∴， 由此可猜想经过n次折叠是的好玩角，则； 故答案为：；； （3）解：由题意可设另外两个的度数分别为和，其中m，n为正整数，根据题意： ， ∴， ∴m，n均为正整数， ∴有两种情况： ①，， 此时三角形的另外两个角的度数分别为：和； ②，， 此时三角形的另外两个角的度数分别为：和； 综上所述：三角形另外两个角的度数和或和． 【点睛】本题主要考查了折叠问题的综合题，涉及了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，图形类规律题，根据题意得到规律是解题的关键． 【作业10】 【答案】(1) 解：由题意，得 解得： ∴， ∴， ∴； (2) 【知识点】代入消元法、根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查三角形外角的定义和性质，平行线的判定和性质以及解二元一次方程组的知识，掌握这些判定和性质是解题的关键． （1）解二元一次方程组得出和的度数，再根据平角的定义可得出，进而可得出，即可判定． （2）由三角形外角的定义和性质可得出，由平行线的性质可得出，再利用三角形外角的定义即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【作业11】 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键： （1）三角形的内角和定理求出的度数，角平分线求出的度数，再利用角的和差关系进行求解即可； （2）三角形的内角和定理结合角平分线求出的度数，三角形的外角求出的度数，再利用三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ， ∴， ∴； （2）解：，， ， 平分， 是的外角， ， ， ， ． 【作业12】 【答案】， 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，等边对等角，根据高线的定义得到，等边对等角得到，角平分线的定义，得到，三角形的外角和三角形的内角和定理求出与的度数即可． 【详解】解：∵是边上的高线，是的角平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴，． 【作业13】 【答案】(1) (2) 【知识点】根据三角形中线求面积、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形面积、三角形内角和定理、三角形的外角性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求出，再由角平分线性质求出的度数，三角形外角与内角的关系可求出的度数，在直角三角形中进而求出的大小． （2）根据三角形中线平分三角形的面积，得出，再结合即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， 是边上的高， ， ． （2）解：是边上的中线，， ， ，， ． 【作业14】 【答案】(1) (2) ；理由见解析 (3) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可； （2）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解； （3）结合（2）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解． 【详解】（1）解：若， 由条件可知 ， ∴； 若， ∵分别是和的平分线， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴； （2）解：；理由如下： ∵分别是和的平分线， ∴ ， ∴ ； （3）解：． 如图，延长，交于点E，由（2）知， ， 由条件可知， ∴， ∴ ， 即． 【作业15】 【答案】(1)的度数是 (2) ， 证明：∵，平分， ∴， ∴， ∵交的延长线于点E， ∴， ∴， 即． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理及外角性质、角平分线的定义，特别注意第（2）小题，根据第（1）小题的思路即可推导． （1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵交的延长线于点E， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． （2）略 【作业16】 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义以及三角形的外角，关键是三角形内角和定理的应用．先根据三角形的内角和定理得到的度数，然后根据角平分线的定义得到的值，然后利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和解题即可． 【详解】解：在中，，， ， 又是的平分线， ， 又是边上的高， ， ． 【作业17】 【答案】(1) (2) (3)，理由如下： 由题意，设， 是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 【知识点】列代数式、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）依据题意，由是的一个外角，则，故，又是的一个外角，则，又，故，可得，结合，从而，最后可得，进而可以得解； （2）依据题意，类似（1），结合，，从而可以判断得解； （3）依据题意，结合（1）（2），设，类似（2）分析判断可以得解． 本题主要考查了三角形内角和定理、列代数式、三角形的外角性质，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 【详解】（1）解：是的一个外角， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ； （3）略 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $