专题二·期中综合复习·培优提高讲义（第1～3章）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版七年级数学上册

专题二·期中综合复习·培优提高讲义（第1~3章） （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解三角形三边关系、内角和定理与外角性质，会画三角形的高、中线与角平分线 · 掌握命题、定理与证明的含义，能判断命题真假、写出逆命题并举反例 · 熟练运用SAS、ASA、AAS、HL判定三角形全等，能利用全等性质进行线段与角的计算和证明 · 掌握等腰三角形「等边对等角」「三线合一」与等边三角形性质，理解轴对称及其作图 · 掌握勾股定理及其逆定理，能解决折叠、最短路径与实际应用问题，会解一元一次不等式（组） 📚 知识梳理 ☆ 1.三角形的有关线段与角 三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 内角和定理：三角形三个内角和等于180°；外角等于与它不相邻的两个内角之和 重要线段：高、中线、角平分线；中线把三角形分成面积相等的两部分 三角形按角分锐角、直角、钝角三角形；按边分不等边、等腰三角形 概念辨析例题：已知三角形两边长分别为3和7，则第三边x的取值范围是____ 答案：4<x<10 解析：由三边关系，7-3<x<7+3，即4<x<10；同时第三边须为正数，故取交集得4<x<10。 ☆ 2.命题与证明 命题：判断一件事情的语句，由题设和结论两部分组成，可写成「如果……那么……」形式 真命题与假命题：正确的命题叫真命题，错误的叫假命题；判断假命题只需举一个反例 逆命题：把一个命题的题设和结论互换所得的命题；原命题为真，逆命题不一定为真 定理与证明：经过推理证实的真命题叫定理；证明要步步有据 概念辨析例题：命题「对顶角相等」的逆命题是____，它是____命题（填「真」或「假」） 答案：相等的角是对顶角；假 解析：交换题设与结论得逆命题「相等的角是对顶角」；两直线平行时同位角也相等却不是对顶角，故为假命题。 ☆ 3.全等三角形与等腰三角形 全等三角形对应边相等、对应角相等；判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，直角三角形另有HL 等腰三角形：等边对等角；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一） 等边三角形三边相等、三个内角都是60°；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 轴对称图形：沿一条直线对折后直线两旁部分能完全重合；线段垂直平分线上的点到两端点距离相等 概念辨析例题：等腰三角形一个内角为80°，则其顶角为____ 答案：80°或20° 解析：分两种情况：若80°为顶角则顶角即80°；若80°为底角，则顶角=180°-2×80°=20°。故顶角为80°或20°。 ☆ 4.勾股定理与直角三角形 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2 勾股定理逆定理：若三角形三边a、b、c满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形 直角三角形两锐角互余；斜边上的中线等于斜边的一半；30°角所对直角边等于斜边的一半 折叠问题抓住折叠前后对应边相等、对应角相等；最短路径用「两点之间线段最短」结合勾股求解 概念辨析例题：直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边上的中线长为____ 答案：5 解析：由勾股定理斜边c===10；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故中线长为5。 ☆ 5.一元一次不等式（组） 不等式性质：两边同加（减）同一个数，不等号方向不变；同乘（除以）同一个正数方向不变，同乘负数方向改变 一元一次不等式解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1（注意变号） 不等式组解集：各不等式解集的公共部分；口诀「同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到」 列不等式解应用题：抓「至少、至多、不超过、不低于」等关键词，注意实际问题取整数解 概念辨析例题：不等式组 {x-1>0, 2x≤6} 的整数解是____ 答案：2，3 解析：由x-1>0得x>1；由2x≤6得x≤3；公共解集为1<x≤3，其中整数为2和3。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 三角形三边关系 两边之和大于第三边 判断能否构成三角形只需看较小两边之和 内角和/外角 内角和180°；外角=不相邻两内角和 外角大于任一不相邻内角 全等判定 SSS、SAS、ASA、AAS、HL SSA、AAA不能判定全等 等腰三角形 等边对等角；三线合一 求角时须分顶角/底角两种情况 等边三角形 三边相等，内角均60° 有一个60°的等腰三角形是等边三角形 勾股定理 a2+b2=c2 c为斜边，必须是直角三角形 不等式性质 乘除负数要变号 不等式组取公共部分，整数解别漏 ⚠️ 核心考点 【考点1】三角形的基本性质（第1-7题） · 判断第三边范围用「两边之差<第三边<两边之和」，已知两边求第三边即可套不等式 · 内角和180°是求角的核心，常结合外角=不相邻两内角和列方程 · 中线把三角形分成两个等底同高的小三角形，面积各占一半 · 涉及多角计算时设未知数，用内角和或外角性质建立方程求解 1．（23-24九年级下·浙江杭州·期中）如果三角形的两边分别为和，那么第三边可能是(    ) A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河北邢台·阶段检测）如图，是的中线，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在中，已知分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为7，则的面积为（    ）    A．14 B．21 C．28 D．32 4．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，直线，现将一块三角尺的顶点放在直线上，若，则的度数为 ___________． 5．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段检测）等腰三角形的一个底角是，那么顶角是______． 6．（24-25八年级上·广西贺州·期末）已知：如图，，并且，则的度数为______． 7．（2022·浙江温州·三模）如图，是的外角，，若，，则为______． 【考点2】命题与证明（第8-11题） · 判断命题先分清题设与结论，改写成「如果……那么……」形式 · 写逆命题只需交换题设与结论，注意语言通顺 · 判断假命题举反例即可，不必证明；原命题真逆命题未必真 · 证明填空要依据定理，步步有据，不能跳步 8．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．一个角的补角是钝角 C．同位角相等 D．角平分线上的点到角两边的距离相等 9．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）命题“在同一个三角形中，等角对等边”的逆命题是______，此逆命题是______命题（填“真”或“假”）． 10．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）写出“对顶角相等”逆命题：______，其逆命题是______（真/假）命题． 11．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）已知命题“如果，那么．” (1)写出此命题的条件和结论； (2)写出此命题的逆命题； (3)判断此命题的逆命题是真命题还是假命题．如果是真命题，请给以证明；如果是假命题，请举出一个反例． 【考点3】全等三角形的判定与性质（第12-26题） · 证全等先找对应边、对应角相等的条件，缺什么证什么 · 有公共边、公共角、对顶角时优先作为隐含相等条件 · SAS必须是两边夹一角，注意SSA不能判定全等 · 直角三角形优先考虑HL；证线段或角相等常转化为证所在三角形全等 · 辅助线：遇中点可倍长中线，遇等腰可作三线合一的高 12．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，，的延长线交于点，交于点．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24八年级上·浙江金华·期中）如图，的两条直角边．分别以的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为，则的值为（    ）      A．4 B．3 C．2 D．0 14．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，在中，分别是边上的高，与交于点F，连接，过点E作，交于点G．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 15．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点E的对应点为，与边相交于D点，恰好是的角平分线，则_______，若，则的长为_______． 16．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在长方形中，点E是边上一点，将沿折叠，使得点C落在上，连结、，点F是的中点，连结，，且，则的长为____________． 17．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在等边中，，为的中点，，分别是，边上的动点，且满足，以为边向左作等边． (1)当时，则_____； (2)连结、，则最小值为_____． 18．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，点在上，点在上，与相交于点，若，，求证：． 19．（2025·浙江金华·二模）如图，已知，，，在同一条直线上，， ，，与交于点． (1)求证： ． (2)若，，求的度数． 20．（23-24八年级上·浙江湖州·期中）已知：如图，在中，D是的中点，于点E，于点F，且．求证：．    解：∵，（已知）， ∴ 度 ∵D是的中点（已知） ∴_________ 又∵（已知） ∴（ ） ∴ （ ）． ∴（ ） 21．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，与中，与交于点E，且． (1)求证：； (2)当，求的度数． 22．（26-27八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知：如图，点C为的中点，过点C的线段，且． 求证：． 证明：∵点C为的中点 ∴ 在和中 ∵（     ） ∴（     ） ∴___________（     ） ∴（     ） 23．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）已知，如图，在中，是的中点，于点，于点，且，求证：． 完成下面的证明过程 证明：，______ 是的中点 ______ 又 ______ ______ ______． 24．（专题05生活中的轴对称（考点压轴，压轴必刷7题型37题）-2023-2024学年七年级数学下学期期末考点大串讲（北师大版））如图，以的边、为边，向外作等边和等边，连接、，相交于点． (1)； (2)； (3)求的度数． 25．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在和中，，且点，，在同一直线上，点，在同侧，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 26．（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，在直角坐标系中，点，点B为x轴正半轴上一个动点，以为边作，使，且点C在第一象限内． (1)如图1，若，求点C的坐标． (2)如图2，过点B向x轴上方作，且，在点B的运动过程中，探究点之间的距离是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由． (3)如图3，过点B向x轴下方作，且，连结交x轴于点E，当的面积是的面积的3倍时，求的长． 【考点4】等腰三角形与等边三角形（第27-39题） · 等边对等角求角时，遇「等腰三角形一个角为多少」须分顶角、底角两种情况 · 三线合一：作底边上的高即同时得中线与顶角平分线，是常用辅助线 · 等边三角形三边相等、三角均60°，常与全等结合证明 · 轴对称作图先确定对称轴，再找关键点的对称点依次连线 · 线段垂直平分线上的点到两端点距离相等，可用来转化线段 27．（25-26八年级上·浙江·阶段检测）已知等腰三角形的一个内角为，则其顶角为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 28．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在中，，，平分交于点D，点E为的中点，连结，则的周长为（　　）    A．12 B．14 C．16 D．18 29．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，在四边形中，对角线所在的直线是其对称轴，点是直线上的点，下列判断一定正确的是(　　) A． B． C． D． 30．（2024·浙江嘉兴·三模）在中， ， 小豪作图过程如下∶ （1） 以A为圆心， 长为半径作弧交于点 D，连结∶ （2）分别以C，D为圆心，大于 作弧交于点 E： （3） 作射线 交 于点 F． 则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 31．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知等腰三角形一腰上的高线等于另一腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个顶角等于(    ) A．或 B． C． D．或 32．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在中，是BC的中点，若，则______． 33．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，，D为的中点，连接，延长至点E，使，连接，，则的大小为______． 34．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，是等边三角形，在中，，连接交于点E，则的度数为___． 35．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，已知，为的角平分线，E为中点，连接，若，那么_______． 36．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，为的角平分线，过点A作交的延长线于点E．若，则是__________三角形，并写出推理过程． 37．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）图，图，图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，只用无刻度的直尺，在下列个网格里分别画出一个三角形并涂上阴影，使其与关于某条直线成轴对称图形，要求画出图形的位置不同且顶点都在格点上． 38．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，已知线段． (1)利用直尺与圆规作线段的垂直平分线m．（不写做法，保留作图痕迹） (2)在（1）的情况下，利用圆规在直线m上取一点C，使，连接，则的度数为______．（不写做法，保留作图痕迹，直接写出结果） 39．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知和均为等边三角形，点在的延长线上，连结． (1)求证：； (2)求的度数． 【考点5】直角三角形与勾股定理（第40-54题） · 勾股定理只用于直角三角形，先认准斜边再列a2+b2=c2 · 折叠问题抓住折叠前后对应边相等、对应角相等，设未知数后用勾股列方程 · 最短路径：把立体或折线展开成平面，用两点之间线段最短+勾股求解 · 弦图等面积法：同一图形用两种方式表示面积列等式 · 实际应用（如台风影响）先抽象出直角三角形，判断距离与半径关系下结论 40．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示．若，则的值是（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 41．（22-23八年级上·河南郑州·阶段检测）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ） A．10 B． C． D．9 42．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，D为上一点，，，且．记长为x，长为y，当x，y变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 43．（25-26八年级下·四川自贡·期中）如图，一只蚂蚁要沿长为，宽为，高为的长方体表面从顶点爬到上表面的边上的点处，点离点的距离为，蚂蚁爬行的最短距离是（     ） A． B． C． D． 44．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，是斜边上一点，且，为上任意一点，于点，于点，则的值是（    ） A． B． C． D． 45．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，已知，，与交点为点是中点，若，，，则的长为______． 46．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段检测）“赵爽弦图”巧妙地利用了面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的边长为________． 47．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）如图，将长方形纸条沿着折痕折成如图形状，若已知，的度数为______． 48．（20-21七年级下·浙江·期末）如图，长方形纸片，，将纸片沿着折叠，使点落在点处，点落在点处，若，则的度数为___________． 49．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，在长方形中，，，点为边上的一个动点，把沿折叠，若点的对应点刚好落在边上，则的长为_______． 50．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图所示是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，若点刚好为的中点，则正方形的面积与正方形的面积之比为_________． 51．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图①，在中，，动点从点A出发，沿折线运动到点，速度为，其中的长与运动时间的关系如图②．则的面积为______． 52．（24-25七年级下·浙江金华·阶段检测）小明想玩一个折纸游戏，分以下三步进行：第一步，将长方形纸条向上翻折，记点、的对应点分别为、，折痕为，且交于点（如图1）；第二步，将四边形沿向下翻折，记、的对应点分别为、（如图2）；第三步，将长方形向下翻折，记、的对应点分别为、，折痕为（如图3）． （1）若，则______； （2）若，则当时， ______． 53．（2024·浙江台州·一模）尺规作图：如图，请用圆规和无刻度的直尺作出中斜边上的中线．（保留作图痕迹，不要求写作法） 54．（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长； (2)求的长． 【考点6】一元一次不等式（组）（第55-60题） · 解不等式系数化为1时，两边同乘除负数务必改变不等号方向 · 不等式组先分别求解，再在数轴上找公共部分得解集 · 求整数解先定解集范围，再范围内逐一枚举，不漏不重 · 应用题抓「至少、至多、不超过」列不等式，方案问题常需求整数解 55．（25-26八年级上·云南昆明·期末）若关于的方程的解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 56．（22-23八年级上·广东湛江·开学考试）某次知识竞赛共有30道选择题，答对一题得10分，若答错或不答一道题，则扣3分，要使总得分不少于70分则应该至少答对__________道题． 57．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）列不等式：的倍小于______． 58．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）小滨用元钱去购买笔记本和水笔共件．已知每本笔记本元，每支水笔元，则小滨最多能买的笔记本数是______本． 59．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 60．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）某厂租用、两种型号的车给零售商运送货物，已知用辆型车和辆型车装满可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；厂家现有吨货物需要配送，计划租用、两种型号车辆一次配送完货物，且型车至少辆．根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型车和辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮助厂家设计租车方案完成一次配送完吨货物； (3)若型车每辆需租金元每次，型车每辆需租金元每次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 💯 课后巩固 复习建议 · 三角形求角先想内角和180°与外角性质，求边先套三边关系 · 命题要分清题设结论，写逆命题交换二者，判假命题举反例 · 证全等认准对应边、对应角，优先用SAS、ASA、AAS，直角三角形想HL · 等腰求角分顶角底角两种情况，勾股定理先认准斜边再列式 · 不等式组取公共部分，实际问题注意取符合题意的整数解 【作业1】．（25-26八年级上·浙江温州·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【作业2】．（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）由三条线段，，可以组成一个三角形，其中，，那么的长度可以是（     ） A． B． C． D． 【作业3】．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，点D，E是边上两点，，，则是下列哪个三角形的高（    ） A． B． C． D． 【作业4】．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，已知，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ）    A． B． C． D． 【作业5】．（23-24九年级上·河北沧州·期末）已知是非零实数，若对于任意的，都有，则下列不可能的是（    ） A． B． C． D． 【作业6】．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于的不等式组的解集中恰好有两个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【作业7】．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，是边上的中线，点到的距离为2，则___________． 【作业8】．（21-22八年级上·浙江宁波·期末）不等式的正整数解为______． 【作业9】．（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）在中，，则的度数是_________． 【作业10】．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段检测）已知的三个内角度数比为，则这个三角形是______三角形． 【作业11】．（21-22八年级上·浙江温州·开学考试）如图，在中，为的平分线，于E，于F，的面积是30，，，则____________           【作业12】．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为______． 【作业13】．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，以的各边为斜边分别向外作等腰直角三角形，已知点在线段上，，，记面积为，面积为，则的值为________． 【作业14】．（24-25八年级下·甘肃甘南·阶段检测）若是边上的高，，则___________． 【作业15】．（23-24八年级上·浙江温州·期中）解不等式组： 【作业16】．（24-25八年级上·浙江温州·期中）请在下列的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中的三角形经过轴对称变换得到的图形，且所画的三角形的顶点都在格点上（如图），并将所画的三角形涂上阴影．（注：所画的三角形不能重复） 【作业17】．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，已知是的高，E为上一点，交于点F，且，求的度数． 【作业18】．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）在中，，的角平分线，交于点F． (1)【问题呈现】如图1，若，求的度数； (2)【问题推广】如图2，将沿折叠，使得点A与点F重合，若，求的度数； (3)【问题拓展】若P，Q分别是线段，上的点，设，．射线与的平分线所在的直线相交于点H（不与点P重合），直接写出与之间的数量关系（用含α，β的式子表示）． 【作业19】．（22-23八年级下·贵州六盘水·期中）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【作业20】．（2024·广东清远·模拟预测）我市鹰嘴桃果品肉质爽脆、味甜如蜜，现在将一箱鹰嘴桃分给若干名到果园参观的游客品尝，如果每人分4个，则剩下20个鹰嘴桃；如果每人分8个，则有一名游客分得不足8个，求这批游客的人数和这箱鹰嘴桃的个数． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二·期中综合复习·培优提高讲义（第1~3章） （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解三角形三边关系、内角和定理与外角性质，会画三角形的高、中线与角平分线 · 掌握命题、定理与证明的含义，能判断命题真假、写出逆命题并举反例 · 熟练运用SAS、ASA、AAS、HL判定三角形全等，能利用全等性质进行线段与角的计算和证明 · 掌握等腰三角形「等边对等角」「三线合一」与等边三角形性质，理解轴对称及其作图 · 掌握勾股定理及其逆定理，能解决折叠、最短路径与实际应用问题，会解一元一次不等式（组） 📚 知识梳理 ☆ 1.三角形的有关线段与角 三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 内角和定理：三角形三个内角和等于180°；外角等于与它不相邻的两个内角之和 重要线段：高、中线、角平分线；中线把三角形分成面积相等的两部分 三角形按角分锐角、直角、钝角三角形；按边分不等边、等腰三角形 概念辨析例题：已知三角形两边长分别为3和7，则第三边x的取值范围是____ 答案：4<x<10 解析：由三边关系，7-3<x<7+3，即4<x<10；同时第三边须为正数，故取交集得4<x<10。 ☆ 2.命题与证明 命题：判断一件事情的语句，由题设和结论两部分组成，可写成「如果……那么……」形式 真命题与假命题：正确的命题叫真命题，错误的叫假命题；判断假命题只需举一个反例 逆命题：把一个命题的题设和结论互换所得的命题；原命题为真，逆命题不一定为真 定理与证明：经过推理证实的真命题叫定理；证明要步步有据 概念辨析例题：命题「对顶角相等」的逆命题是____，它是____命题（填「真」或「假」） 答案：相等的角是对顶角；假 解析：交换题设与结论得逆命题「相等的角是对顶角」；两直线平行时同位角也相等却不是对顶角，故为假命题。 ☆ 3.全等三角形与等腰三角形 全等三角形对应边相等、对应角相等；判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，直角三角形另有HL 等腰三角形：等边对等角；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一） 等边三角形三边相等、三个内角都是60°；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 轴对称图形：沿一条直线对折后直线两旁部分能完全重合；线段垂直平分线上的点到两端点距离相等 概念辨析例题：等腰三角形一个内角为80°，则其顶角为____ 答案：80°或20° 解析：分两种情况：若80°为顶角则顶角即80°；若80°为底角，则顶角=180°-2×80°=20°。故顶角为80°或20°。 ☆ 4.勾股定理与直角三角形 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2 勾股定理逆定理：若三角形三边a、b、c满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形 直角三角形两锐角互余；斜边上的中线等于斜边的一半；30°角所对直角边等于斜边的一半 折叠问题抓住折叠前后对应边相等、对应角相等；最短路径用「两点之间线段最短」结合勾股求解 概念辨析例题：直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边上的中线长为____ 答案：5 解析：由勾股定理斜边c===10；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故中线长为5。 ☆ 5.一元一次不等式（组） 不等式性质：两边同加（减）同一个数，不等号方向不变；同乘（除以）同一个正数方向不变，同乘负数方向改变 一元一次不等式解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1（注意变号） 不等式组解集：各不等式解集的公共部分；口诀「同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到」 列不等式解应用题：抓「至少、至多、不超过、不低于」等关键词，注意实际问题取整数解 概念辨析例题：不等式组 {x-1>0, 2x≤6} 的整数解是____ 答案：2，3 解析：由x-1>0得x>1；由2x≤6得x≤3；公共解集为1<x≤3，其中整数为2和3。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 三角形三边关系 两边之和大于第三边 判断能否构成三角形只需看较小两边之和 内角和/外角 内角和180°；外角=不相邻两内角和 外角大于任一不相邻内角 全等判定 SSS、SAS、ASA、AAS、HL SSA、AAA不能判定全等 等腰三角形 等边对等角；三线合一 求角时须分顶角/底角两种情况 等边三角形 三边相等，内角均60° 有一个60°的等腰三角形是等边三角形 勾股定理 a2+b2=c2 c为斜边，必须是直角三角形 不等式性质 乘除负数要变号 不等式组取公共部分，整数解别漏 ⚠️ 核心考点 【考点1】三角形的基本性质（第1-7题） · 判断第三边范围用「两边之差<第三边<两边之和」，已知两边求第三边即可套不等式 · 内角和180°是求角的核心，常结合外角=不相邻两内角和列方程 · 中线把三角形分成两个等底同高的小三角形，面积各占一半 · 涉及多角计算时设未知数，用内角和或外角性质建立方程求解 1．（23-24九年级下·浙江杭州·期中）如果三角形的两边分别为和，那么第三边可能是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，设第三边的长为，根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边可得，再解不等式即可． 【详解】解：设第三边的长为，根据三角形的三边关系得：， 即，第三边可以为 故选：A． 2．（23-24七年级下·河北邢台·阶段检测）如图，是的中线，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查三角形的中线的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．根据三角形的中线的定义即可判断． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 故选：B． 3．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在中，已知分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为7，则的面积为（    ）    A．14 B．21 C．28 D．32 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】由是的中点可得，由是的中点可得，，从而得到，再由即可得到答案． 【详解】解：是的中点， ， 是的中点， ，， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了与中线有关的三角形面积的计算，利用题中所给的条件，将面积进行转化是解此题的关键． 4．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，直线，现将一块三角尺的顶点放在直线上，若，则的度数为 ___________． 【答案】/65度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长交直线于点，根据三角形的外角性质可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答． 【详解】解：延长交直线于点， 是的一个外角，， ， ， ， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段检测）等腰三角形的一个底角是，那么顶角是______． 【答案】100 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握等腰三角形的性质成为解题的关键． 先根据等边对等角可得另一个底角为，然后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角是， ∴另一个底角为， ∴顶角是． 故答案为：100． 6．（24-25八年级上·广西贺州·期末）已知：如图，，并且，则的度数为______． 【答案】/度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形外角的性质，分别根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2022·浙江温州·三模）如图，是的外角，，若，，则为______． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】利用三角形内角和定理求出的度数，再根据平行线的性质得出即可求解． 【详解】解：在中，，， ， ， ． 【考点2】命题与证明（第8-11题） · 判断命题先分清题设与结论，改写成「如果……那么……」形式 · 写逆命题只需交换题设与结论，注意语言通顺 · 判断假命题举反例即可，不必证明；原命题真逆命题未必真 · 证明填空要依据定理，步步有据，不能跳步 8．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．一个角的补角是钝角 C．同位角相等 D．角平分线上的点到角两边的距离相等 【答案】D 【知识点】两直线平行同位角相等、判断命题真假、对顶角相等、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了对顶角，平行线的性质，补角及角平分线的定义．根据对顶角，平行线的性质，补角及角平分线的定义依次判断各选项即可． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，本选项不符合题意； B、一个钝角的补角是锐角，本选项不符合题意； C、两直线平行，同位角相等，缺少条件“两直线平行”，本选项不符合题意； D、角平分线上的点到角两边的距离相等，本选项符合题意； 故选：D． 9．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）命题“在同一个三角形中，等角对等边”的逆命题是______，此逆命题是______命题（填“真”或“假”）． 【答案】 在同一个三角形中，等边对等角 真 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了命题，根据互逆命题的定义即可求解，掌握互逆命题的定义是解题的关键． 【详解】解：“在同一个三角形中，等角对等边”的逆命题是“在同一个三角形中，等边对等角”，逆命题是真命题， 故答案为：在同一个三角形中，等边对等角，真． 10．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）写出“对顶角相等”逆命题：______，其逆命题是______（真/假）命题． 【答案】 相等的角是对顶角 假 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题主要考查了逆命题及真假命题的判定，对顶角的定义，解题的关键是熟练掌握对顶角的定义．先写出“对顶角相等”逆命题，然后再进行判断即可． 【详解】解：“对顶角相等”的逆命题是：相等的角是对顶角，此命题为假命题． 故答案为：相等的角是对顶角，假． 11．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）已知命题“如果，那么．” (1)写出此命题的条件和结论； (2)写出此命题的逆命题； (3)判断此命题的逆命题是真命题还是假命题．如果是真命题，请给以证明；如果是假命题，请举出一个反例． 【答案】(1)条件为：，结论为： (2)如果，那么 (3) 此命题的逆命题是假命题， 当，为相反数时，它们的平方相等，但本身不相等， 如，时，，而． 【知识点】举反例、判断命题真假、写出命题的题设与结论、写出命题的逆命题 【分析】本题考查的是命题与定理、逆命题、命题真假的判断； （1）“如果”后面的部分为条件，“那么”后面的部分为结论； （2）交换题目中命题的结论和题设的位置即可； （3）举出反例即可． 【详解】（1）解：此命题的条件为：，结论为：； （2）此命题的逆命题为：如果，那么； （3）略 【考点3】全等三角形的判定与性质（第12-26题） · 证全等先找对应边、对应角相等的条件，缺什么证什么 · 有公共边、公共角、对顶角时优先作为隐含相等条件 · SAS必须是两边夹一角，注意SSA不能判定全等 · 直角三角形优先考虑HL；证线段或角相等常转化为证所在三角形全等 · 辅助线：遇中点可倍长中线，遇等腰可作三线合一的高 12．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，，的延长线交于点，交于点．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等三角形的性质、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形外角的性质，由，则与是一组对应角，与是一组对应角，对于，外角等于除外的两个内角之和，求得，再在中，由三角形内角和即可求得结果． 【详解】解：，，， ，． ∵由三角形外角的性质可得， ． ． ，， ． 故选：B． 13．（23-24八年级上·浙江金华·期中）如图，的两条直角边．分别以的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为，则的值为（    ）      A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】D 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质．证明和得到，设，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由正方形的性质可得，， ， ， ， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 14．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，在中，分别是边上的高，与交于点F，连接，过点E作，交于点G．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，余角的性质，全等三角形的判定与性质． 证明可判断A正确；证明可判断B，C正确；由G不一定是的中点可判断D错误． 【详解】解：∵分别是边上的高， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵ ∴． 在和中，， ∴， ∴，故选项A正确； 在和中，， ∴， ∴，故选项B，C正确； ∵， ∴． ∵G不一定是的中点， ∴，即，故选项D错误． 故选D． 15．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点E的对应点为，与边相交于D点，恰好是的角平分线，则_______，若，则的长为_______． 【答案】 2 【知识点】折叠问题、三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、折叠的性质，由题意可得，由角平分线的定义可得，由折叠的性质可得，，再由三角形内角和定理计算即可得出的度数，延长和延长线相交于点，证明，得出，从而可得，再证明，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵将沿翻折，点E的对应点为， ∴，， ∴， ∴； 如图，延长和延长线相交于点， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：，． 16．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在长方形中，点E是边上一点，将沿折叠，使得点C落在上，连结、，点F是的中点，连结，，且，则的长为____________． 【答案】 【知识点】折叠问题、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查勾股定理与折叠，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质；过作于，连接，由，设，，由折可得，，，，得到，推出，在再证明，得到，得到，，即可证，，设，，由中点得到，，最后在中利用勾股定理列方程计算即可． 【详解】解：过作于，连接， ∵， ∴设，则， ∵在长方形中， ∴，，， ∵将沿折叠，使得点C落在上， ∴， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设，则，， ∵点F是的中点， ∴， ∴，， 在中， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 17．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在等边中，，为的中点，，分别是，边上的动点，且满足，以为边向左作等边． (1)当时，则_____； (2)连结、，则最小值为_____． 【答案】（1）4         （2） 【知识点】最短路径问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由可得，再由，即可求解； （2）连接，过点作于，可得，从而，可证，可得，从而点的轨迹为垂直于的直线，根据将军饮马问题的解决方法即可求解出的最小值． 【详解】（1）解：设，则， ∵在等边中，， ∴ ∴， 解得， ∴， 故答案为：4 （2）解： 过点作于，则， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴点的轨迹为垂直于的直线， 作点关于的对称点，连接，即为的最小值． 连接交于，过点作于，延长交于， ∵， ∴， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，将军饮马问题，勾股定理的应用，灵活运用方程思想，熟练掌握动点轨迹判断，全等三角形的性质与判定，将军饮马问题的解决方法是解题的关键． 18．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，点在上，点在上，与相交于点，若，，求证：． 【答案】 证明：在和中， ， ∴， ∴． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．题中隐含，利用判定方法即可判定，即可证明． 【详解】略 19．（2025·浙江金华·二模）如图，已知，，，在同一条直线上，， ，，与交于点． (1)求证： ． (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ∴； (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由得，根据平行线的性质求出，然后根据可证明； （2）根据全等三角形的性质求出，由三角形内角和定理可得，根据平行线的性质可求的度数． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 20．（23-24八年级上·浙江湖州·期中）已知：如图，在中，D是的中点，于点E，于点F，且．求证：．    解：∵，（已知）， ∴ 度 ∵D是的中点（已知） ∴_________ 又∵（已知） ∴（ ） ∴ （ ）． ∴（ ） 【答案】90，，，，全等三角形的对应角相等，等角对等边 【知识点】根据等角对等边证明边相等、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，先根据证明，再根据全等三角形的对应角相等，得出，最后根据等角对等边，得出． 【详解】解：补全后的证明过程如下所示： ∵，（已知）， ∴度 ∵D是的中点（已知） ∴ 又∵（已知） ∴（） ∴（全等三角形的对应角相等）． ∴（等角对等边） 故答案为：90，，，，全等三角形的对应角相等，等角对等边． 21．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，与中，与交于点E，且． (1)求证：； (2)当，求的度数． 【答案】(1) 证明：在和中， ， ∴； (2) 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】本题考查了三角形外角性质，全等三角形的性质和判定的应用，等边对等角，熟练掌握三角形全等的判断方法是解题的关键． （1）根据即可推出和全等； （2）根据三角形全等得出，根据三角形的外角性质得出，代入求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．（26-27八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知：如图，点C为的中点，过点C的线段，且． 求证：． 证明：∵点C为的中点 ∴ 在和中 ∵（     ） ∴（     ） ∴___________（     ） ∴（     ） 【答案】，对顶角相等，，，（），全等三角形的对应角相等，内错角相等，两直线平行 【知识点】线段中点的有关计算、全等的性质和SAS综合（SAS）、已知证明过程填写理论依据、内错角相等两直线平行 【分析】根据题干信息提示，逐步完善推理过程与推理依据即可． 【详解】略 23．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）已知，如图，在中，是的中点，于点，于点，且，求证：． 完成下面的证明过程 证明：，______ 是的中点 ______ 又 ______ ______ ______． 【答案】已知；；；全等三角形的对应角相等；等角对等边． 【知识点】根据等角对等边证明边相等、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． 由垂直的定义可得，再根据中点的定义可得，然后结合运用可得，根据全等三角形的性质可得，最后根据等角对等边即可解答． 【详解】证明：，（已知）， ， 是的中点， ， 又， ， （全等三角形的对应角相等）， （等角对等边）． 24．（专题05生活中的轴对称（考点压轴，压轴必刷7题型37题）-2023-2024学年七年级数学下学期期末考点大串讲（北师大版））如图，以的边、为边，向外作等边和等边，连接、，相交于点． (1)； (2)； (3)求的度数． 【答案】(1) 证明：和都为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； (2) 证明：， ； (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形的外角的定义及性质、等边三角形的性质 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）由三角形与三角形都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为，利用等式的性质得到，利用可得出，得证； （2）由，利用全等三角形的对应边相等即可得到； （3）由，利用全等三角形的对应角相等得到，而为三角形的外角，利用外角的性质列出关系式，等量代换后即可求出其度数． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， ， 则 ． 25．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在和中，，且点，，在同一直线上，点，在同侧，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：， ∴， 即， 在和中， ， ； (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平角的定义，三角形外角的性质； （1）由，得出，再利用“”即可证明； （2）由，，得出，由外角的性质得出，由全等三角形的性质得出，由外角的性质得出，可得答案. 【详解】（1）略 （2），， ∴. 是的外角， ∴. ， ∴， ∵是的外角， ∴. 26．（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，在直角坐标系中，点，点B为x轴正半轴上一个动点，以为边作，使，且点C在第一象限内． (1)如图1，若，求点C的坐标． (2)如图2，过点B向x轴上方作，且，在点B的运动过程中，探究点之间的距离是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由． (3)如图3，过点B向x轴下方作，且，连结交x轴于点E，当的面积是的面积的3倍时，求的长． 【答案】(1) (2)点之间的距离是定值6， 理由如下： 如图，连接， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； (3)12 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、全等的性质和SAS综合（SAS）、写出直角坐标系中点的坐标、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）过点C作轴于点D，利用直角三角形的两个锐角互余可得，证明，于是可得，，进而即可求出点C的坐标； （2）连接，先证，再证，于是可得； （3）连接，过点C作轴于点F，同（1）可证，推出，，再证，可得，再证，可得，则，由此求出，即可求解． 【详解】（1）解： ，， ，， 如图，过点C作轴于点D， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 点C的坐标为． （2）略 （3）解：如图，连接，过点C作轴于点F， 同（1）可证， ，， ， ， 又 ，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ． 【考点4】等腰三角形与等边三角形（第27-39题） · 等边对等角求角时，遇「等腰三角形一个角为多少」须分顶角、底角两种情况 · 三线合一：作底边上的高即同时得中线与顶角平分线，是常用辅助线 · 等边三角形三边相等、三角均60°，常与全等结合证明 · 轴对称作图先确定对称轴，再找关键点的对称点依次连线 · 线段垂直平分线上的点到两端点距离相等，可用来转化线段 27．（25-26八年级上·浙江·阶段检测）已知等腰三角形的一个内角为，则其顶角为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，已知提供的度数并没有说明其为底角还是顶角，所以需要分类讨论解决． 分两种情况讨论：为顶角或底角，依次计算即可． 【详解】解：分两种情况：①为顶角时，答案是； ②为底角时，则顶角度数为． 故选：C． 28．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在中，，，平分交于点D，点E为的中点，连结，则的周长为（　　）    A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、三线合一 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解． 【详解】解：，平分，， ， ∵点E为的中点， ， ∴的周长． 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 29．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，在四边形中，对角线所在的直线是其对称轴，点是直线上的点，下列判断一定正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．利用轴对称线的性质进行判断即可． 【详解】解：A．依据轴对称的性质，不一定成立，故本选项错误，不合题意； B．依据轴对称的性质，不一定成立，故本选项错误，不合题意； C．依据轴对称的性质，对称点的连线被对称轴垂直平分，故一定成立，本选项正确，符合题意； D．依据轴对称的性质，不一定成立，故本选项错误，不合题意； 故选：C． 30．（2024·浙江嘉兴·三模）在中， ， 小豪作图过程如下∶ （1） 以A为圆心， 长为半径作弧交于点 D，连结∶ （2）分别以C，D为圆心，大于 作弧交于点 E： （3） 作射线 交 于点 F． 则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】作垂线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查作图，作等腰三角形和垂直平分线，根据作图可知，结合垂直即可知射线垂直平分线段，其余选项均无法确定． 【详解】解：∵以A为圆心， 长为半径作弧交于点 D，连结， ∴， 由作图知，点E在线段的垂直平分线上，则射线垂直平分线段， 故D正确； ∵无法确定和的关系， ∴A和D无法确定； 只能确定和的关系，无法确定和的关系，则C无法确定； 故选D． 31．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知等腰三角形一腰上的高线等于另一腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个顶角等于(    ) A．或 B． C． D．或 【答案】D 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、斜边的中线等于斜边的一半、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含度角的直角三角形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的性质与判定以及三角形外角的性质，正确的分类讨论是解答本题的关键． 【详解】解：当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，如图，为等腰三角形腰上的高，并且，取边中点E，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴顶角， 当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，如图， 为等腰三角形腰上的高，并且， 同理可得， ∴顶角， 故选：D． 32．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在中，是BC的中点，若，则______． 【答案】 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线定义斜边一半的性质是解题关键．根据直角三角形斜边中线的性质即可得答案． 【详解】解：∵，是的中点， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 33．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，，D为的中点，连接，延长至点E，使，连接，，则的大小为______． 【答案】110 【知识点】等边对等角、三线合一 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，根据三线合一得到，利用等边对对角得到，再根据求解，即可解题． 【详解】解：在中，，D为的中点， ，即， ，， ， ； 故答案为：． 34．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，是等边三角形，在中，，连接交于点E，则的度数为___． 【答案】/105度 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边三角形的性质、等边对等角 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 根据等边三角形的性质得，再根据得，由此得，再求出，由三角形内角和定理得，然后在中，再由三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中， 即的度数为． 故答案为：． 35．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，已知，为的角平分线，E为中点，连接，若，那么_______． 【答案】/65度 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、根据平行线的性质求角的度数、等边对等角、三线合一 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，直角三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．由已知条件可证，所以，因为E为中点，由等腰三角形三线合一可知，根据直角三角形两锐角互余即可求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵E为中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 36．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，为的角平分线，过点A作交的延长线于点E．若，则是__________三角形，并写出推理过程． 【答案】等边， ， ， 平分， ， ， ，， ， 是等边三角形． 【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等、等边三角形的判定、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定，平行线的性质是解答此题的关键．先由得，再根据角平分线的定义得，然后根据平行线的性质得，，进而得，据此可得出结论． 【详解】略 37．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）图，图，图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，只用无刻度的直尺，在下列个网格里分别画出一个三角形并涂上阴影，使其与关于某条直线成轴对称图形，要求画出图形的位置不同且顶点都在格点上． 【答案】 解：画图如下： 【知识点】画轴对称图形 【分析】本题考查了画轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出图形即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】略 38．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，已知线段． (1)利用直尺与圆规作线段的垂直平分线m．（不写做法，保留作图痕迹） (2)在（1）的情况下，利用圆规在直线m上取一点C，使，连接，则的度数为______．（不写做法，保留作图痕迹，直接写出结果） 【答案】(1) 解：如图，直线即为所求； (2)解:如图所示，点即为所求： 【知识点】作线段(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，作线段等于已知线段，中垂线的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作图是解题的关键： （1）根据尺规作垂线的方法作图即可； （2）以为圆心，的长为半径，画弧，与的交点即为点，连接，根据中垂线的性质，得到，进而得到为等边三角形，进而得出的度数． 【详解】（1）略 （2）如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 故答案为：60． 39．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知和均为等边三角形，点在的延长线上，连结． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1) 证明：∵，为等边三角形， ∴，， ，， ∴， 在和中， ， ∴； (2)． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了等边三角形，全等三角形．熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，是解决本题的关键． （1）根据等边三角形性质推出，根据即可证明； （2）根据（1）结论得到，根据，即得． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∴． 【考点5】直角三角形与勾股定理（第40-54题） · 勾股定理只用于直角三角形，先认准斜边再列a2+b2=c2 · 折叠问题抓住折叠前后对应边相等、对应角相等，设未知数后用勾股列方程 · 最短路径：把立体或折线展开成平面，用两点之间线段最短+勾股求解 · 弦图等面积法：同一图形用两种方式表示面积列等式 · 实际应用（如台风影响）先抽象出直角三角形，判断距离与半径关系下结论 40．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示．若，则的值是（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形面积，根据勾股定理，结合正方形的面积公式即可求解 【详解】解：在中，由勾股定理得，， ∵以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示． ∴, ∴ ∴, 故选：C 41．（22-23八年级上·河南郑州·阶段检测）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ） A．10 B． C． D．9 【答案】A 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图1， ，，， ，， ； 如图2， ，，， ，， ， ， 它需要爬行的最短路程为10． 故选：A． 42．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，D为上一点，，，且．记长为x，长为y，当x，y变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、三线合一 【分析】本题考查的是勾股定理，等腰三角形的性质，过点A作，垂足为E，由等腰三角形三线合一的性质得出，再利用勾股定理建立方程即可得出答案． 【详解】解：过点A作，垂足为E， ， ，， ∴， ， ． 在中， ， 在中， ， ， 即代数式的值不变． 故选B． 43．（25-26八年级下·四川自贡·期中）如图，一只蚂蚁要沿长为，宽为，高为的长方体表面从顶点爬到上表面的边上的点处，点离点的距离为，蚂蚁爬行的最短距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两点之间线段最短、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】把长方体的侧面展开，分三种情况求出线段的长，进而比较即可求解． 【详解】解：∵两点之间，线段最短， ∴蚂蚁沿着线段爬行时，路径最短， 把长方体的侧面展开，有三种情况： 如图①， ∵ ，， ∴； 如图②， ∵ ，， ∴； 如图③， ∵ ，， ∴； ∵， ∴蚂蚁爬行的最短距离是． 44．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，是斜边上一点，且，为上任意一点，于点，于点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题考查的知识点是全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，关键是通过等面积法列式计算．据已知，过C作于H，根据等腰直角三角形的性质求得的长度，计算的面积，再利用转化为与的面积和即可求的的值． 【详解】解：如图所示，过C作于H， ∵D是斜边上一点，且， ∴，点H是的中点 ∴， ∴， ∵ 则 ∴． 故答案为：A． 45．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，已知，，与交点为点是中点，若，，，则的长为______． 【答案】 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、根据平行线的性质求角的度数、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等腰三角形的性质，外角的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等知识，根据，点是中点，可得，再由，可知，，再用勾股定理可求得． 【详解】解：∵，点是中点，， ∴， ∴为等腰三角形，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 46．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段检测）“赵爽弦图”巧妙地利用了面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的边长为________． 【答案】1 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理的背景图中与面积有关的计算，解题关键是发现图中的面积关系与掌握勾股定理的计算公式． 本题利用13减去四个直角三角形的面积等于小正方形的面积即可求解． 【详解】解：∵， ∴小正方形面积为1， ∴小正方形边长为1， 故答案为：1 ． 47．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）如图，将长方形纸条沿着折痕折成如图形状，若已知，的度数为______． 【答案】/48度 【知识点】折叠问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质．熟练掌握平行线的性质，折叠的性质是解题的关键． 如图，延长到，由，可得，折叠可知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，延长到， ∵， ∴， 由折叠可知，， ∴， 故答案为：． 48．（20-21七年级下·浙江·期末）如图，长方形纸片，，将纸片沿着折叠，使点落在点处，点落在点处，若，则的度数为___________． 【答案】/55度 【知识点】折叠问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，，再根据角的和差可得，则可得，然后根据平行线的性质可得，由此即可得． 【详解】解：由折叠的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∵在长方形纸片中，， ∴， ∴， 故答案为：． 49．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，在长方形中，，，点为边上的一个动点，把沿折叠，若点的对应点刚好落在边上，则的长为_______． 【答案】 【知识点】折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理、折叠的性质，由折叠的性质可得：，，计算出，，设，则，由勾股定理可得，，求出的值即可，熟练掌握勾股定理以及折叠的性质是解此题的关键． 【详解】解：在长方形中，，， ，，， 由折叠的性质可得：，， ， ， 设，则， 由勾股定理可得， ， 解得：， ， 故答案为：． 50．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图所示是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，若点刚好为的中点，则正方形的面积与正方形的面积之比为_________． 【答案】 【知识点】以弦图为背景的计算题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查赵爽弦图的性质，勾股定理，结合弦图结构推导边长是解题关键． 设，利用是中点的条件求出和，再根据勾股定理求出，进而求出大正方形面积和小正方形面积，最终算出面积比． 【详解】解：设， ∵点为的中点， ∴， 是直角三角形， ， 正方形的面积为， 正方形的面积为， 正方形的面积与正方形的面积之比为． 故答案为：． 51．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图①，在中，，动点从点A出发，沿折线运动到点，速度为，其中的长与运动时间的关系如图②．则的面积为______． 【答案】48 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形、三线合一 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，勾股定理，直角三角形的性质，解本题的关键是得出和的长．由题意可知，过点A作于点D，由三线合一可得，再根据勾股定理可得，最后根据三角形的面积公式可得结论． 【详解】解：当时，点P与点A重合，则， 当时，， ∴， 过点A作于点D， 则，， 在中，， ∴的面积． 故答案为：48． 52．（24-25七年级下·浙江金华·阶段检测）小明想玩一个折纸游戏，分以下三步进行：第一步，将长方形纸条向上翻折，记点、的对应点分别为、，折痕为，且交于点（如图1）；第二步，将四边形沿向下翻折，记、的对应点分别为、（如图2）；第三步，将长方形向下翻折，记、的对应点分别为、，折痕为（如图3）． （1）若，则______； （2）若，则当时， ______． 【答案】 【知识点】折叠问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由折叠的性质可得：，由平行线的性质可得，，求出，再由折叠的性质即可得解； （2）由折叠的性质可得：，由平行线的性质可得，，求出，再由折叠的性质即可得出，再由平行线的性质计算即可得解． 【详解】解：（1）由折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 再由折叠的性质可得， 故答案为：； （2）由折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 再由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 53．（2024·浙江台州·一模）尺规作图：如图，请用圆规和无刻度的直尺作出中斜边上的中线．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】 如图，线段即为所求． 【知识点】作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了尺规作图——线段垂直平分线，掌握相关尺规作图的作法是解题的关键．尺规作图作出线段的垂直平分线，与交于点O，连接即可． 【详解】略 54．（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质： （1）由线段中点的定义得到的长，再利用勾股定理求解即可； （2）由折叠的性质得到，则可得到，设，则，再由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得； （2）解：由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 【考点6】一元一次不等式（组）（第55-60题） · 解不等式系数化为1时，两边同乘除负数务必改变不等号方向 · 不等式组先分别求解，再在数轴上找公共部分得解集 · 求整数解先定解集范围，再范围内逐一枚举，不漏不重 · 应用题抓「至少、至多、不超过」列不等式，方案问题常需求整数解 55．（25-26八年级上·云南昆明·期末）若关于的方程的解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、求一元一次不等式的解集、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，解分式方程是关键；首先将原方程化简，利用分母关系合并项，然后求解出x关于m的表达式，再根据解为负数的要求得到m的范围，同时考虑分母不为零的约束． 【详解】解：∵原方程为， ∴方程化为， 即， 两边同乘（且），得， 解得：； ∵方程的解为负数，即， ∴， ∴， 解得：， ∵分母，即， ∴， 即， ∴； ∵当时，自动满足， ∴； 故m的取值范围为； 故选：B． 56．（22-23八年级上·广东湛江·开学考试）某次知识竞赛共有30道选择题，答对一题得10分，若答错或不答一道题，则扣3分，要使总得分不少于70分则应该至少答对__________道题． 【答案】13 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次不等式应用，根据题意正确列式是解题关键．设答对道题，根据题意列一元一次不等式，求出，再由为正整数，即可得出答案． 【详解】解：设答对道题，则答错或不答道题， 由题意可知，， 解得：， 为正整数， 最小为13， 即要使总得分不少于70分则应该至少答对13道题， 故答案为：13． 57．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）列不等式：的倍小于______． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，直接表示出的倍为，其结果小于，得出不等式即可，正确列出不等关系是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：． 58．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）小滨用元钱去购买笔记本和水笔共件．已知每本笔记本元，每支水笔元，则小滨最多能买的笔记本数是______本． 【答案】 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小滨购买了本笔记本，则购买了支水笔，根据小滨买笔记本和水笔的钱数最多为元，可列不等式，不等式的解集为，因为笔记本的数量只能为正整数，所以的值应在解集中取最大整数． 【详解】解：设小滨购买了本笔记本，则购买了支水笔， 根据题意可得：， 解得：， 为正整数， ， 答：小滨最多能买的笔记本数是本． 故答案为： ． 59．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，，0，1． 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的整数解，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的的所有整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得：， ∴该不等式组的解集为． ∴该不等式组的整数解为：，0，1． 60．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）某厂租用、两种型号的车给零售商运送货物，已知用辆型车和辆型车装满可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；厂家现有吨货物需要配送，计划租用、两种型号车辆一次配送完货物，且型车至少辆．根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型车和辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮助厂家设计租车方案完成一次配送完吨货物； (3)若型车每辆需租金元每次，型车每辆需租金元每次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)辆型车装满货物一次可运货吨，辆型车装满货物一次可运货吨 (2)共有种租车方案，方案：租用型车辆，型车辆；方案：租用型车辆，型车辆；方案：租用型车辆，型车辆 (3)方案最省钱，即租用型车辆，型车辆，最少租车费为元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、不等式组的方案选择问题、分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算， （1）设辆型车装满货物一次可运货吨，辆型车装满货物一次可运货吨，根据“用辆型车和辆型车装满可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨”可列出关于、的二元一次方程组，求解后即可得出结论； （2）设租用辆型车，则租用辆型车，根据“租用的型车至少辆，且能一次配送完吨货物”，即可得出关于的一元一次不等式组，求解可得出的取值范围，再结合为整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金每辆车的租金租车数量，即可求出选择各租车方案所需租车费，比较后即可得出结论； 解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用“总租金每辆车的租金租车数量”求出选择各租车方案所需租车费． 【详解】（1）解：设辆型车装满货物一次可运货吨，辆型车装满货物一次可运货吨， 依题意得：， 解得：， 答：辆型车装满货物一次可运货吨，辆型车装满货物一次可运货吨； （2）设租用辆型车，则租用辆型车， 依题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴可以取，，， ∴共有种租车方案， 方案：租用型车辆，型车辆； 方案：租用型车辆，型车辆； 方案：租用型车辆，型车辆； （3）选择方案的租车费为（元）； 选择方案的租车费为（元）； 选择方案的租车费为（元）； ∵， ∴方案最省钱，即租用型车辆，型车辆，最少租车费为元． 💯 课后巩固 复习建议 · 三角形求角先想内角和180°与外角性质，求边先套三边关系 · 命题要分清题设结论，写逆命题交换二者，判假命题举反例 · 证全等认准对应边、对应角，优先用SAS、ASA、AAS，直角三角形想HL · 等腰求角分顶角底角两种情况，勾股定理先认准斜边再列式 · 不等式组取公共部分，实际问题注意取符合题意的整数解 【作业1】．（25-26八年级上·浙江温州·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查对轴对称图形的识别．轴对称图形的定义图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合的，根据轴对称图的定义一一判断即可． 【详解】解：．是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：A． 【作业2】．（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）由三条线段，，可以组成一个三角形，其中，，那么的长度可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件、三角形三边关系的应用 【分析】先利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出第三边的取值范围，再匹配选项得到答案． 【详解】解：，， ，解得， 观察选项，只有在此范围内． 【作业3】．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，点D，E是边上两点，，，则是下列哪个三角形的高（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查了三角形的高，根据，则是的高，即可作答． 【详解】解：∵， ∴是的高， 故选：A 【作业4】．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，已知，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴当时，可以判定； 当时，可以判定； 当时，可以判定； 当时，无法判定； 故选A． 【作业5】．（23-24九年级上·河北沧州·期末）已知是非零实数，若对于任意的，都有，则下列不可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】此题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质． 根据题意分3种情况讨论，分别根据不等式的性质求解判断即可． 【详解】∵对于任意的，都有， ∴①当，，时， ∴，， ∵ ∴，， ∴，； ②当，，时， ∴，， ∵ ∴，， ∴，； ③当，，时， ∴，， ∵ ∴，， ∴，， ∴，； 综上所述，不可能的是． 故选：D． 【作业6】．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于的不等式组的解集中恰好有两个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先根据不等式的性质求出两个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后根据不等式组仅有2个整数解求出m的范围即可． 【详解】：解不等式，得， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组的解集中恰好有两个整数， ∴设相邻的两个整数分别为n和， ∴， 整理得， ∴当时，不等式组有解， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【作业7】．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，是边上的中线，点到的距离为2，则___________． 【答案】8 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的中线与面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题关键．先根据三角形的面积公式可得，再根据三角形中线的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵，点到的距离为2， ∴， ∵在中，是边上的中线， ∴， 故答案为：8． 【作业8】．（21-22八年级上·浙江宁波·期末）不等式的正整数解为______． 【答案】，2 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】先按照一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再在解集范围内找出符合条件的正整数即可． 【详解】解： 移项，得， 系数化为，得， ∴原不等式的正整数解为． 【作业9】．（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）在中，，则的度数是_________． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】此题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键．根据直角三角形的性质直接求解即可． 【详解】解：在中，， ， ， ． 故答案为：． 【作业10】．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段检测）已知的三个内角度数比为，则这个三角形是______三角形． 【答案】锐角 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查三角形归类．利用内角度数比分别求出三个内角度数，继而得到本题答案． 【详解】解：∵的三个内角度数比为， ∴三个内角分别为：， ， ， ∵三个内角均小于， ∴这个三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角． 【作业11】．（21-22八年级上·浙江温州·开学考试）如图，在中，为的平分线，于E，于F，的面积是30，，，则____________           【答案】/ 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积公式即可解答． 【详解】为的平分线，，， ， ∵面积是30， ， 即， 解得． 【作业12】．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为______． 【答案】/ 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查了把文字语言转化为数学语言，理解好题意是解题关键． 根据x与5的差不小于x的3倍，可知x与5的差大于等于x的3倍，从而可以用相应的不等式表示出来. 【详解】解：“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为， 故答案为：. 【作业13】．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，以的各边为斜边分别向外作等腰直角三角形，已知点在线段上，，，记面积为，面积为，则的值为________． 【答案】1 【知识点】等腰三角形的定义、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理等知识，根据等腰三角形的定义和勾股定理求出，，，再根据勾股定理求出，，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵是以为边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵是以为边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是以为边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：1． 【作业14】．（24-25八年级下·甘肃甘南·阶段检测）若是边上的高，，则___________． 【答案】7或17 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 依题意有以下两种情况： ①当点D在上时，证明是等腰直角三角形得，在中，由勾股定理得，进而得； ②当点D在的延长线上时，证明是等腰直角三角形得，在中，由勾股定理得，进而得， 综上所述即可得出答案． 【详解】解：依题意有以下两种情况： ①当点D在上时，如图1所示： 是边BC上的高， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，， 由勾股定理得： ， ； ②当点D在的延长线上时，如图2所示： 是边BC上的高， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，， 由勾股定理得：， ， 综上所述：或 故答案为：17或 【作业15】．（23-24八年级上·浙江温州·期中）解不等式组： 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式组．解出每一个不等式，再由不等式组解集的求法“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解”即可得不等式组的解集． 【详解】解：由得； 由得； 原不等式组的解集为． 【作业16】．（24-25八年级上·浙江温州·期中）请在下列的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中的三角形经过轴对称变换得到的图形，且所画的三角形的顶点都在格点上（如图），并将所画的三角形涂上阴影．（注：所画的三角形不能重复） 【答案】 解：如图1和图2所示． 【知识点】设计轴对称图案 【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案．利用轴对称图形的性质，分别选择不同的直线当对称轴，得到相关图形即可． 【详解】略 【作业17】．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，已知是的高，E为上一点，交于点F，且，求的度数． 【答案】 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、等边对等角 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，能够灵活运用其性质是解题的关键．根据证明得，推出是等腰直角三角形，由此即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【作业18】．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）在中，，的角平分线，交于点F． (1)【问题呈现】如图1，若，求的度数； (2)【问题推广】如图2，将沿折叠，使得点A与点F重合，若，求的度数； (3)【问题拓展】若P，Q分别是线段，上的点，设，．射线与的平分线所在的直线相交于点H（不与点P重合），直接写出与之间的数量关系（用含α，β的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)与之间的数量关系是：或． 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由三角形内角和定理结合角平分线的定义可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解； （2）由题意可得，由折叠性质得，，从而可得，由（1）得，从而计算即可得解； （3）依题意分两种情况，分别求解即可得解． 【详解】（1）解：在中， ∵，的角平分线，交于点F， ∴， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴， 由折叠性质得：，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴； （3）解：∵P，Q分别是线段，上的点，射线与的平分线所在的直线相交于点H， ∴有以下两种情况： ①射线与的平分线相交于点H，设射线交于K，如图1所示： 由（1）得：， ∴， ∵平分，平分，， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴， 即， ∵， ∴， ∴； ②射线与的平分线所在的直线相交于点H时，设射线交于K，如图2所示： 同理：， 在中，， ∴． 综上所述：与之间的数量关系是：或． 【作业19】．（22-23八年级下·贵州六盘水·期中）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1) (2) 解：海港C受台风影响，理由如下： 过点C作， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港C受台风影响； (3)4小时 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）依据三角形中三边的关系确定的度数； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：， ， ，， （2）略 （3）解：当，时，正好影响C港口， ，， ， 台风的速度为， 小时， 答：海港C受台风影响的时间会持续4小时． 【作业20】．（2024·广东清远·模拟预测）我市鹰嘴桃果品肉质爽脆、味甜如蜜，现在将一箱鹰嘴桃分给若干名到果园参观的游客品尝，如果每人分4个，则剩下20个鹰嘴桃；如果每人分8个，则有一名游客分得不足8个，求这批游客的人数和这箱鹰嘴桃的个数． 【答案】游客有6名，这箱鹰嘴桃有44个 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题主要考查一元一次不等式组，根据条件列出不等式组是解题的关键． 设设有名游客，则鹰嘴桃有个，根据如果每人分8个，则有一名游客分得不足8个，列出不等式组解出即可得到答案． 【详解】解：设有名游客，则鹰嘴桃有个， 依题意得：， 解得：． ∵游客人数应取整数， ∴． ∴（个）． 答：游客有6名，这箱鹰嘴桃有44个． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $