第14讲·图形的初步知识 ·尖子生学案 2026--2027学年浙教版七年级数学上册

第14讲·图形的初步知识【2】·尖子生学案 （考点突破+分层训练）·2026年浙教版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握角的静态与动态两种定义，会用字母、数字、希腊字母正确表示角 · 掌握度、分、秒的换算关系，能进行角度的加减乘除四则运算 · 理解余角与补角的概念，会用方程思想求一个角的余角或补角 · 掌握角平分线的定义与性质，能进行角平分线与 n 等分线的相关计算 · 会计算三角板拼接、钟面指针、方向标定中的角度 · 能结合几何图形与一元一次方程解决角的综合计算问题 📚 知识梳理 ☆ 1.角的概念与表示 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形；动态定义：一条射线绕端点旋转而成的图形 角的表示：∠AOB、∠O（顶点处只有一个角时）、∠1、∠α 等 平角 = 180°，周角 = 360°；角按大小分为锐角、直角、钝角、平角、周角 角的比较：度量法（用量角器量度数）与叠合法（顶点与一边重合比较另一边） 注意：角的度数与所画边的长短无关，只与两边张开的程度有关 概念辨析例题：下列图形中，能用 ∠1、∠AOB、∠O 三种方法表示同一个角的是（　　） 答案：顶点 O 处只有一个角的情况 解析：当以 O 为顶点的角只有一个时，∠O 的表示才不产生歧义；若以 O 为顶点有多个角，∠O 无法区分是哪一个角。用三个字母表示角时，顶点字母必须写在中间。 ☆ 2.度、分、秒的换算与角度运算 换算进率：1° = 60′，1′ = 60″，度分秒之间是六十进制 由度化分秒：把不足 1° 的部分乘 60 逐级换算；由分秒化度：逐级除以 60 角度的加法：度加度、分加分、秒加秒，满 60 向上一级进 1 角度的减法：从高位借 1 当作 60，再逐位相减 角度的乘除法：逐级乘（或除），乘后满 60 进位，除后余数降级乘 60 继续除 概念辨析例题：把 45.32° 化成度、分、秒为（　　） 答案：45°19′12″ 解析：45.32° = 45° + 0.32°；0.32°×60 = 19.2′，取 19′；0.2′×60 = 12″。故 45.32° = 45°19′12″。换算时牢记 1°=60′、1′=60″ 的六十进制关系。 ☆ 3.余角与补角 余角：两角之和为 90°，这两个角互为余角；补角：两角之和为 180°，互为补角 求余角补角：∠α 的余角 = 90° − ∠α，补角 = 180° − ∠α 性质：同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等 列方程：设未知角为 x，由「x + 余角 = 90°」或「x + 补角 = 180°」建立方程 互余互补只与数量有关，与角的位置无关 概念辨析例题：一个角的补角比这个角的余角大（　　） 答案：90° 解析：设这个角为 x，则补角 = 180°−x，余角 = 90°−x，补角 − 余角 = (180°−x) − (90°−x) = 90°。任意一个角的补角总比它的余角大 90°，这是常考结论。 ☆ 4.角平分线与 n 等分线 角平分线：从角的顶点出发、把角分成两个相等角的一条射线 角平分线三式：若 OC 平分 ∠AOB，则 ∠AOC = ∠BOC = ½∠AOB，∠AOB = 2∠AOC n 等分线：把角分成 n 个相等的小角，每个小角 = 原角 ÷ n 计算思路：先标出所有相等的小角，再用和差关系表示目标角 分类讨论：角的内部有多条射线时，按射线在角的内部或外部分别画图 概念辨析例题：∠AOB = 60°，OC 平分 ∠AOB，OD 平分 ∠AOC，则 ∠BOD 的度数为（　　） 答案：45° 解析：OC 平分 ∠AOB 得 ∠AOC = ∠BOC = 30°；OD 平分 ∠AOC 得 ∠AOD = ∠DOC = 15°。∠BOD = ∠BOC + ∠COD = 30° + 15° = 45°。逐级平分后按图形叠加各小角。 ☆ 5.三角板、钟面角与方向角 一副三角板：30°、60°、90° 与 45°、45°、90°，可拼出 15° 的整数倍角 钟面角：分针每分钟走 6°，时针每分钟走 0.5°，夹角 = |分针角度 − 时针角度| 方向角：以正北、正南为基准，如「北偏东 30°」表示从正北向东转 30° 钟面整点角：相邻两个大格之间是 30°，整点时两针夹角 = 格数 × 30° 方程解钟面角：设经过 x 分钟，由两针位置差建立方程 概念辨析例题：钟面上 3 点 30 分时，时针与分针所夹的较小角为（　　） 答案：75° 解析：3:30 时分针指向 6，角度为 30×6 = 180°；时针从 3 走了 30 分钟，即 0.5°×30 = 15°，时针角度 = 90°+15° = 105°。夹角 = 180°−105° = 75°。钟面角先算两针各自从 12 点起转过的角度再作差。 📋 知识总结表 内容 数值 / 关系 要点 应用 角的换算 1°=60′，1′=60″ 六十进制 度分秒互化 余角 两角和为 90° ∠α 余角 = 90°−∠α 求余角列方程 补角 两角和为 180° ∠α 补角 = 180°−∠α 补角比余角大 90° 角平分线 ∠AOC=∠BOC=½∠AOB 三式等价 角计算核心 钟面角 分针 6°/分，时针 0.5°/分 夹角=|两针角度差| 钟面角度计算 三角板 30°、60°、45°、90° 可拼 15° 整数倍 拼接角度题 ⚠️ 核心考点 【考点1】角的概念、度量与角度运算（第1-14题） · 角的三要素：顶点、两边、大小；表示时顶点字母居中 · 度分秒六十进制：满 60 进 1，借 1 当 60 · 角度四则运算逐级进行，结果规范写成度分秒形式 · 角的比较用度量法或叠合法 1．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）已知：，，那么下列各式正确的是（） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·山东青岛·阶段检测）已知，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 3．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图，下列说法中不正确的是（    ）    A．与是同一个角 B．也可以用表示 C． D．可以看作射线绕着它的端点O旋转至而形成的图形，也可看作由有公共端点O的两条射线组成的图形 4．（25-26七年级上·河南濮阳·期中）如图，能用三种表示方法表示同一个角的是（   ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲和乙都不可以 5．（24-25七年级上·全国·课后作业）可化为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段检测）若，则______． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的图形中有______个小于平角的角，写出以为一边的所有角：______． 8．（22-23九年级下·浙江杭州·阶段检测）若，则的补角为________． 9．（23-24七年级上·浙江金华·阶段检测）已知，则的补角的度数是______． 10．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）用度表示________ 11．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知，与互余，则_________． 12．（24-25七年级上·广东佛山·阶段检测）如图所示，在已知锐角内部，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；按此规律，画条射线，共有________个角． 13．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）比较大小：______，______． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，写出符合下列条件的角（题中所有的角均指小于平角的角）． (1)能用一个大写字母表示的角； (2)以点A为顶点的角； (3)图中所有的角（可用简便方法表示）． 【考点2】余角、补角与角平分线计算（第15-40题） · 余角补角看数量：和为 90° 互余、和为 180° 互补 · 求角设 x，由互余互补列一元一次方程 · 角平分线三式等价：∠AOC=∠BOC=½∠AOB，∠AOB=2∠AOC · 同角（等角）的余角、补角分别相等，用于等量代换 15．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）如图，点在直线上，，分别是，的平分线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 16．（2024·山东德州·二模）如果一个角是它的余角的一半，则这个角是的度数是（    ） A． B． C． D． 17．（22-23七年级下·浙江·开学考试）如图，点在直线上，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）一个角的补角是这个角的余角的3倍，则这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25七年级上·吉林长春·阶段检测）如图①、图②、图③和图④，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中的图形为（  ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 20．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，点是直线上一点，平分，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则．其中正确的是（　　） A．①④ B．③④ C．①③④ D．①②③④ 21．（23-24七年级上·北京朝阳·期末）已知与互为补角，并且的倍比大，则分别为（  ） A． B． C． D． 22．（23-24七年级上·陕西榆林·期末）如图，平分，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，，在内作两条射线和，且平分平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 24．（22-23七年级上·浙江台州·期末）若，则的补角等于________°． 25．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）已知与 互余，若，则的度数为___________ 26．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）如果一个角的补角是，那么这个角的余角是_____． 27．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，平分，平分．若，，则_____度 28．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，，、、分别平分，，，下列结论：①；②；③；④；其中正确的是______________． 29．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，直线两两相交于点平分平分．点在直线上，且．则下列结论：①图中总共有9条线段：②：③与互为余角：④．正确的是___________．（填相应的序号） 30．（24-25六年级下·山东东营·期中）如图，是直线上一点，平分， ，若， 则 _____ 31．（24-25七年级上·吉林长春·阶段检测）如图，，是其内部一条射线，以为一边作直角，点与点在边同侧，给出下列四个结论：①只与互余；②与互补；③平分，则平分；④的平分线与的平分线的夹角是直角．其中正确的是_____（填序号）． 32．（24-25七年级上·河北邢台·期中）一位同学利用如图所示的量角器、采用如图1所示的方法测量锐角的度数，其中量角器有两条刻度线分别在射线、上、则的度数为_____，另外一位同学用同样的方法，测量的余角的度数，如图2所示，已知射线所指示的度数为，则射线所指示的度数为_____． 33．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知是的补角．是的补角，若，则的度数为________． 34．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，是直线上一点，射线绕点顺时针旋转，从出发，每秒旋转，射线绕点逆时针旋转，以相同的速度从出发，射线与同时旋转，设旋转的时间为秒，当旋转到与重合时，都停止运动． (1)猜想：__________，并说明理由； (2)已知射线始终平分，射线在内，且满足与互余． ①当秒时，__________； ②在运动过程中，试探究与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 35．（23-24七年级上·河北承德·期中）如图，，平分，且，求度数． 36．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）已知，在内部，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若平分，请说明：； (3)如图③，分别作，，其中，，试探究，，三者之间的数量关系，并说明理由． 37．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，射线与位于直线异侧，射线平分． (1)当时，求的度数； (2)如图2，在直线下方作，若，求的度数． 38．（22-23七年级上·云南昆明·期末）如图，O为直线上一点，平分，． (1)若，求的度数； (2)试判断和有怎样的数量关系，说说你的理由． 39．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，O是直线上一点，在的内部，是的平分线 (1)若，求的度数． (2)若与互余，请说明是的平分线 40．（20-21七年级上·浙江金华·阶段检测）将一副直角三角板按如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转t秒． (1)如图2，当 秒时，平分，此时 ； (2)继续旋转三角板，如图3，使得、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由（数量关系中不能含t）； (3)直线的位置不变，若在三角板开始顺时针旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至射线上时，两个三角板同时停止运动． ①当 秒时，； ②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系（数量关系中不能含t）． 【考点3】三角板、钟面角与角度综合应用（第41-54题） · 三角板拼角：30°、45°、60°、90° 组合加减 · 钟面角：分针 6°/分、时针 0.5°/分，夹角取两针角度差的绝对值 · 方向角以正北正南为基准表述 · 复杂图形角度设元，用方程沟通已知与未知 41．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，的顶点O在直线上，射线在内，且，那么下列式子中错误的是（    ） A． B． C． D． 42．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）一副三角板按如图方式摆放，已知，则（   ） A． B． C． D． 43．（24-25七年级下·山东青岛·期中）将三张直角三角形纸片按如图所示的方式放置，使它们的直角顶点重合，则，，三个角的数量关系是（    ） A． B． C． D． 44．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，时钟在2点时，分针与时针所夹的角为．从12时到15时的3个小时中，分针与时针能构成的角时刻有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 45．（25-26七年级上·河南安阳·阶段检测）如图，将一副三角板如图放置，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 46．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）如图，已知，，是的平分线，，则（     ） A．射线的方向为北偏东 B．射线的方向为北偏东 C．射线的方向为南偏西 D．射线的方向为南偏西 47．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）四点钟后，从时针与分针第一次成到第二次成，共经过（    ） A．分钟 B．33分钟 C．分钟 D．28分钟 48．（23-24七年级上·浙江台州·期末）如图，两个正方形有一个顶点重合，且重合顶点在直线上，则的度数为_______． 49．（24-25六年级下·山东泰安·期中）如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时时，时针走过的度数是______． 50．（6.8余角和补角（5大题型题分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（浙教版2024））如图，射线表示方向是 ___________． 51．（23-24六年级下·全国·单元测试）如图，已知， ，那么_______度． 52．（23-24七年级上·浙江温州·期末）如图，五个形状大小相同的四边形组成了一个五角星，则图中的度数是 __．    53．（24-25七年级上·江西南昌·期末）如图，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“平衡线”．若，且射线是的“平衡线”，则的度数为 _________． 54．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）已知，以O为端点作射线OC，使，则的度数为___________． 💯 课后巩固 复习建议 · 角看两边与顶点，表示方法四选一，顶点字母写中间 · 度分秒六十进制，满 60 进 1、借 1 当 60 · 互余和为 90°、互补和为 180°，补角比余角大 90° · 角平分线三式等价，n 等分线设每份 x 列方程 · 钟面角：分针 6°/分、时针 0.5°/分，夹角取差值 【作业 1】（15-16七年级上·江苏无锡·阶段检测）当时间为10时30分时，钟表的时针和分针所成的角的度数是______． 【作业 2】（25-26七年级下·浙江温州·期中）汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代科学的重要文献，书中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律，探清井底情况的方法，如图是一口深井的平面示意图，，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即）射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角__________． 【作业 3】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知，，当在的外部时，分别在内部和内部画射线，，使，，则的度数为______． 【作业 4】（23-24七年级下·山东潍坊·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【作业 5】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【作业 6】（2025七年级上·河北·专题练习）计算： (1)； (2)． 【作业 7】（23-24七年级上·北京海淀·期末）如图，，是内部的两条射线，，，，求的度数． 【作业 8】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)（结果用度、分、秒表示）． (2)（结果用度表示）． 【作业 9】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面上有三个点A，B，C，根据下列要求画图并作答： (1)作直线，射线； (2)作线段，延长至点，使得； (3)比较线段长短：_______，比较角的大小：_______（填“”，“”或“”）． 【作业 10】（24-25六年级下·山东淄博·期中）（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数． _______              _______                 _______                    _______ （2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？ （3）当时钟指向上午，时针与分针的夹角是多少度？ 【作业 11】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）如图1，一副含和角的三角板和叠合在一起，边与重合，，分别是，的平分线，现将三角板绕点B按逆时针方向旋转（如图2），且． (1)当时， ①若，求的度数； ②试猜想与的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【作业 12】（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）数学活动课上，老师以直线上一点为端点作射线，使平分，平分． (1)如图1，“兴趣小组”将一个三角尺的直角顶点放在点处，即，则的度数为___________； (2)受“兴趣小组”的启发，如图2，“智慧小组”将三角尺角的顶点放在点处，即，求的度数； (3)如图3，已知，求的度数（用含的式子表示）． 【作业 13】（24-25七年级上·全国·期末）（1）时分时，时钟的时针与分针的夹角是多少度？时分时，时钟的时针与分针的夹角又是多少度？ （2）从时分到时分，时钟的分针与时针各转过了多少度？ （3）时钟的分针从时整的位置起，按顺时针方向旋转多少度时与时针第次重合？ 【作业 14】（23-24七年级上·湖南娄底·期末）定义：如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为垂角，例如：，，则和互为垂角． (1)如图1，O为直线上的一点，，直接写出图中一对垂角； (2)如果一个锐角的垂角等于这个角的余角的3倍，求这个角的度数； (3)如图2，O为直线上的一点，若，且射线绕O以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，两条射线同时运动，运动时间为t秒（），试求当t为何值时，和互为垂角？ 【作业 15】（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）综合与实践 【特例感知】 （1）如图1，线段， ，分别是的中点，则______cm． 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图2，已知在的内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，求的度数． ②请你猜想，和之间有怎样的数量关系？并说明理由． 【类比探究】 （3）如图3，在的内部转动，若，，，，求的度数．（用含的式子表示） 【作业 16】（23-24七年级上·辽宁大连·期末）如图，点为直线一点，，，若是的平分线， (1)求的度数； (2)若点是平面内一点，连接射线，且，求的度数． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲·图形的初步知识【2】·尖子生学案 （考点突破+分层训练）·2026年浙教版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握角的静态与动态两种定义，会用字母、数字、希腊字母正确表示角 · 掌握度、分、秒的换算关系，能进行角度的加减乘除四则运算 · 理解余角与补角的概念，会用方程思想求一个角的余角或补角 · 掌握角平分线的定义与性质，能进行角平分线与 n 等分线的相关计算 · 会计算三角板拼接、钟面指针、方向标定中的角度 · 能结合几何图形与一元一次方程解决角的综合计算问题 📚 知识梳理 ☆ 1.角的概念与表示 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形；动态定义：一条射线绕端点旋转而成的图形 角的表示：∠AOB、∠O（顶点处只有一个角时）、∠1、∠α 等 平角 = 180°，周角 = 360°；角按大小分为锐角、直角、钝角、平角、周角 角的比较：度量法（用量角器量度数）与叠合法（顶点与一边重合比较另一边） 注意：角的度数与所画边的长短无关，只与两边张开的程度有关 概念辨析例题：下列图形中，能用 ∠1、∠AOB、∠O 三种方法表示同一个角的是（　　） 答案：顶点 O 处只有一个角的情况 解析：当以 O 为顶点的角只有一个时，∠O 的表示才不产生歧义；若以 O 为顶点有多个角，∠O 无法区分是哪一个角。用三个字母表示角时，顶点字母必须写在中间。 ☆ 2.度、分、秒的换算与角度运算 换算进率：1° = 60′，1′ = 60″，度分秒之间是六十进制 由度化分秒：把不足 1° 的部分乘 60 逐级换算；由分秒化度：逐级除以 60 角度的加法：度加度、分加分、秒加秒，满 60 向上一级进 1 角度的减法：从高位借 1 当作 60，再逐位相减 角度的乘除法：逐级乘（或除），乘后满 60 进位，除后余数降级乘 60 继续除 概念辨析例题：把 45.32° 化成度、分、秒为（　　） 答案：45°19′12″ 解析：45.32° = 45° + 0.32°；0.32°×60 = 19.2′，取 19′；0.2′×60 = 12″。故 45.32° = 45°19′12″。换算时牢记 1°=60′、1′=60″ 的六十进制关系。 ☆ 3.余角与补角 余角：两角之和为 90°，这两个角互为余角；补角：两角之和为 180°，互为补角 求余角补角：∠α 的余角 = 90° − ∠α，补角 = 180° − ∠α 性质：同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等 列方程：设未知角为 x，由「x + 余角 = 90°」或「x + 补角 = 180°」建立方程 互余互补只与数量有关，与角的位置无关 概念辨析例题：一个角的补角比这个角的余角大（　　） 答案：90° 解析：设这个角为 x，则补角 = 180°−x，余角 = 90°−x，补角 − 余角 = (180°−x) − (90°−x) = 90°。任意一个角的补角总比它的余角大 90°，这是常考结论。 ☆ 4.角平分线与 n 等分线 角平分线：从角的顶点出发、把角分成两个相等角的一条射线 角平分线三式：若 OC 平分 ∠AOB，则 ∠AOC = ∠BOC = ½∠AOB，∠AOB = 2∠AOC n 等分线：把角分成 n 个相等的小角，每个小角 = 原角 ÷ n 计算思路：先标出所有相等的小角，再用和差关系表示目标角 分类讨论：角的内部有多条射线时，按射线在角的内部或外部分别画图 概念辨析例题：∠AOB = 60°，OC 平分 ∠AOB，OD 平分 ∠AOC，则 ∠BOD 的度数为（　　） 答案：45° 解析：OC 平分 ∠AOB 得 ∠AOC = ∠BOC = 30°；OD 平分 ∠AOC 得 ∠AOD = ∠DOC = 15°。∠BOD = ∠BOC + ∠COD = 30° + 15° = 45°。逐级平分后按图形叠加各小角。 ☆ 5.三角板、钟面角与方向角 一副三角板：30°、60°、90° 与 45°、45°、90°，可拼出 15° 的整数倍角 钟面角：分针每分钟走 6°，时针每分钟走 0.5°，夹角 = |分针角度 − 时针角度| 方向角：以正北、正南为基准，如「北偏东 30°」表示从正北向东转 30° 钟面整点角：相邻两个大格之间是 30°，整点时两针夹角 = 格数 × 30° 方程解钟面角：设经过 x 分钟，由两针位置差建立方程 概念辨析例题：钟面上 3 点 30 分时，时针与分针所夹的较小角为（　　） 答案：75° 解析：3:30 时分针指向 6，角度为 30×6 = 180°；时针从 3 走了 30 分钟，即 0.5°×30 = 15°，时针角度 = 90°+15° = 105°。夹角 = 180°−105° = 75°。钟面角先算两针各自从 12 点起转过的角度再作差。 📋 知识总结表 内容 数值 / 关系 要点 应用 角的换算 1°=60′，1′=60″ 六十进制 度分秒互化 余角 两角和为 90° ∠α 余角 = 90°−∠α 求余角列方程 补角 两角和为 180° ∠α 补角 = 180°−∠α 补角比余角大 90° 角平分线 ∠AOC=∠BOC=½∠AOB 三式等价 角计算核心 钟面角 分针 6°/分，时针 0.5°/分 夹角=|两针角度差| 钟面角度计算 三角板 30°、60°、45°、90° 可拼 15° 整数倍 拼接角度题 ⚠️ 核心考点 【考点1】角的概念、度量与角度运算（第1-14题） · 角的三要素：顶点、两边、大小；表示时顶点字母居中 · 度分秒六十进制：满 60 进 1，借 1 当 60 · 角度四则运算逐级进行，结果规范写成度分秒形式 · 角的比较用度量法或叠合法 1． 【答案】B 【知识点】角的单位与角度制、角的度数大小比较 【分析】本题考查度、分、秒的互化，角的大小比较，掌握相关知识是解决问题的关键．将三个角统一转换为以度为单位的角，再比较大小即可． 【详解】解：∵ ； ； ∵， ∵， ∴． 故选：B． 2． 【答案】B 【知识点】角的单位与角度制、角的度数大小比较 【分析】本题主要考查了角的大小比较，将两角单位统一是解题关键．将、的单位统一，继而可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 3． 【答案】B 【知识点】角的概念理解、角的表示方法 【分析】本题主要考查了角的表示方法．根据角的表示方法即可得出结果． 【详解】解：A、与是同一个角，说法正确，故本选项不符合题意； B、不可以用表示，原说法错误，故本选项符合题意； C、，说法正确，故本选项不符合题意； D、可以看作射线绕着它的端点O旋转至而形成的图形，也可看作由有公共端点O的两条射线组成的图形，说法正确，故本选项不符合题意； 故选：B． 4． 【答案】A 【知识点】角的表示方法 【分析】本题考查的是角的表示方法．根据角的表示方法逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：甲：能用，，是同一个角，故符合题意； 乙：，是同一个角，不能用表示一个角，故不符合题意； 故选：A． 5． 【答案】D 【知识点】角的单位与角度制 【分析】本题考查度分秒的换算，解题的关键是熟练掌握度分秒的换算进制； 根据，进行计算即可． 【详解】解：， 故选：D 6． 【答案】/ 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题考查角度的加减，根据，度减度，分减分即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 7． 【答案】 7 ，，， 【知识点】角的表示方法、角的分类 【分析】本题考查了角的表示及分类熟练掌握角的表示及分类是解答本题的关键．根据角的表示方法及角的分类，即可得到答案． 【详解】题图中小于平角的角有，，，，，，，共7个；其中以为一边的角有，，，． 故答案为：7； ，，，． 8． 【答案】 【知识点】角的单位与角度制、求一个角的补角 【分析】若两个角的和等于 ，则这两个角互为补角，根据定义结合度分的换算规则计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 的补角为． 9． 【答案】 【知识点】角度的四则运算、求一个角的补角 【分析】本题考查的是补角的概念：“如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角”．依据补角的定义求解即可． 【详解】解：的补角的度数是． 故答案为：． 10． 【答案】 【知识点】角的单位与角度制 【分析】本题考查了角度的单位换算，根据角度单位换算关系，将分转换为度后与度部分相加即可求解，正确计算是解题的关键 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 11． 【答案】 【知识点】角度的四则运算、求一个角的余角 【分析】此题考查了余角．两个角的和为90度，则这两个角互为余角，据此进行解答即可． 【详解】解：∵，与互余， ∴， 故答案为：． 12． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、角的表示方法 【分析】本题考查了对角的概念的应用，关键是能根据求出结果得出规律．根据图形数出即可得出前三个空的答案，根据结果得出规律． 【详解】解：在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角； 画2条射线，图中共有6个角； 画3条射线，图中共有10个角； 画条射线，图中共有个角， 故答案为：． 13． 【答案】 【知识点】有理数大小比较、角的比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较、角度的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较法则和角度的单位制是解题关键．根据负数的绝对值大的反而小、求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴． ∵ ， ∴， 故答案为：，． 14． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】角的表示方法 【分析】本题主要考查了角的表示方法，熟知角的表示方法是解题的关键． （1）根据角的表示方法进行求解即可； （2）根据角的表示方法进行求解即可； （3）根据角的表示方法进行求解即可． 【详解】（1）解：能用一个大写字母表示的角为． （2）解：由题意得，以点为顶点的角有； （3）解：由题意得，图中所有小于平角的角有． 【考点2】余角、补角与角平分线计算（第15-40题） · 余角补角看数量：和为 90° 互余、和为 180° 互补 · 求角设 x，由互余互补列一元一次方程 · 角平分线三式等价：∠AOC=∠BOC=½∠AOB，∠AOB=2∠AOC · 同角（等角）的余角、补角分别相等，用于等量代换 15． 【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，根据平角的定义结合角平分线的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∵，分别是，的平分线， ∴， ∴； 故选B． 16． 【答案】B 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、求一个角的余角 【分析】本题考查余角的计算，一元一次方程的应用．根据题意，设这个角的度数为，则它的余角的度数为，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为，则它的余角的度数为，依题得 解得． 故选：B． 17． 【答案】B 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角和补角的定义，熟练掌握余角和补角定义是解答本题的关键． 根据余角和补角定义求解即可得出答案． 【详解】解：，， ， 由补角的定义可得，， 故答案为：B． 18． 【答案】B 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余、补角的定义，解一元一次方程． 设这个角的度数为，根据补角和余角的定义，补角为，余角为．根据题意，补角是余角的3倍，建立方程求解． 【详解】设这个角的度数为，则其补角为，余角为． 根据题意，补角是余角的3倍，列方程： 解得 故选：B． 19． 【答案】D 【知识点】三角板中角度计算问题、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查了直角三角板中的角度的关系，同角的余角相等，根据直角三角板中的角度分别求出和逐项求解即可． 【详解】图①，， ∴，符合题意； 图②，， ∴，不符合题意； 图③，根据同角的余角相等可得，符合题意； 图④，， ∴，符合题意； 综上所述，摆放位置中的图形为①③④． 故选：D． 20． 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，理解题意，弄清各角之间的关系是解题关键． 由余角得定义即可判断①；设，则，那么，则，即可判断②③；由于则 ，进而得到，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∴与互为余角，故①正确； 设， ∵， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故③正确，②错误； ∵，即， ∴， ∴，故④正确， ∴正确的有①③④， 故选：C． 21． 【答案】A 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了补角的定义，根据补角的定义可得，然后根据的倍比大列得方程并解得的度数，再将其代入中计算即可，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键． 【详解】解：∵与互为补角， ∴， ∵的倍比大， ∴， 解得， ∴， 故选：． 22． 【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查角的和差关系、角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系、角平分线的定义是解决本题的关键； 根据角的倍数关系求出，依据角平分线的定义求出，即可得到答案． 【详解】解： ，， ， 平分， ， ， 故选：B 23． 【答案】A 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角的计算，角平分线定义，掌握角的计算，角平分线定义是解题的关键． 根据题意，可设，由，即可得出，求出x的值，即可得出的度数，进而得出的度数，再根据平分平分，由角平分线定义可得出：，，最后由进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴可设， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， 又∵平分平分， ∴，， ∴． 故选：A． 24． 【答案】50 【知识点】求一个角的补角 【分析】此题主要考查了余角和补角，正确得出余角和补角的关系是解题关键． 根据互为补角的两个角的和等于列式计算即可得解． 【详解】解：的补角， 故答案为：． 25． 【答案】 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题考查了互余的定义，互余的两角之和为，据此作答即可． 【详解】∵与 互余， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 26． 【答案】 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查了与余角和补角有关的计算，度数之和为的两个角互补，据此求出这个角的度数，再根据度数之和为的两个角互余，据此可求出这个角的余角的度数． 【详解】解：一个角的补角是， 这个角的度数是． 这个角的余角是． 故答案为：． 27． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，根据角的和差关系可得，由角平分线的定义可得，再根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴ ， 故答案为：． 28． 【答案】①②③ 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了几何图中的角度计算，角平分线的定义，由角平分线的定义得出， ，，结合已知条件可得出，，即可判断①②，再由平角的定义和角度的和差即可得出，即可判断③，由角的等量代换可得出，由即可得出，即可判断④． 【详解】解：①如图所示， ∵平分，平分， ∴， ， ∵， ∴ ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∴， ∴， ，故③正确； ∵ ∵ ∴，故④错误． 故答案为：①②③． 29． 【答案】②③④ 【知识点】角平分线的有关计算、直线、线段、射线的数量问题、求一个角的余角 【分析】本题考查线段的数量，与角平分线有关的计算，数出线段的条数，判断①；根据角平分线的定义，平角的定义推出，根据同角的余角相等判断②，求出，判断③；根据②和③判断④即可． 【详解】解：图中线段有，，故①错误； ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；故②正确； ∵， ∴与互为余角；故③正确； ∵，故④正确； 故答案为：②③④． 30． 【答案】/50度 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，几何图形中角度计算，正确计算角度是解题关键． 由题意知，求得，角平分线的定义得，再根据平角的定义得出的角度． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 31． 【答案】②③④ 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题、求一个角的补角、求一个角的余角 【分析】本题考查几何图形中角的数量关系，根据互余的概念即可判断①；根据互补的概念即可判断②；说明，即可判断③；说明即可判断④．解题的关键是掌握互余、互补、角平分线的定义． 【详解】解：①∵，， ∴，， ∴分别与、互余，故结论①错误； ②∵，， ∴， ∴ ， ∴与互补，故结论②正确； ③∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故结论③正确； ④如图，为的平分线，为的平分线， ∴，， ∴ ， ∴的平分线与的平分线的夹角是直角，故结论④正确； ∴正确的是②③④． 故答案为：②③④． 32． 【答案】 /50度 或 【知识点】几何图形中角度计算问题、求一个角的余角 【分析】本题考查了量角器中的角度计算，互余等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 根据图1可得，射线所对的数字为、所对的数字为，即可求出的度数，从而得出的余角的度数，再根据射线所指示的度数为，即可求解． 【详解】解：根据图1可得，射线所对的数字为、所对的数字为， ∴， 则的余角的度数为， 根据图2可得，射线所指示的度数为， ∴射线所指示的度数为，射线所指示的度数为， 故答案为：或． 33． 【答案】/150度 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】根据题意得和的度数相等，解出n的值，求出的度数，再根据互为补角的两个角的和为，即可求出的度数． 本题考查了余角和补角的计算，关键是知道一个角与另外两个角互为补角，则这两个角相等． 【详解】∵是的补角，是的补角， ∴， 解得， ， 。 故答案为： 34． 【答案】(1) 解：，理由如下： 根据题意得：， ∵， ∴； 故答案为：180 (2)①60； ②，理由如下： 如图， 根据题意得：， ∵射线始终平分， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴， ∴． 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，余角的定义： （1）根据题意可得，再由，即可求解； （2）①根据题意可得，再由余角的定义，即可求解；②根据题意可得，再根据角平分线的定义可得，再由余角的定义，可得，然后分别求出与的度数，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①当秒时，， ∵与互余， ∴； 故答案为：60 ②略 35． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查角平分线的性质和求一个角的余角，题目较为简单，先利用角平分线的定义求出，再求其余角即可，运用数形结合思想是解题的关键． 【详解】∵平分，且 ∴， ∵， ∴， 36． 【答案】(1) (2) 解：设， ， 平分， ， ， ， ； (3) 解：，，三者之间的数量关系是：，理由如下： 设，则， ， ， 又， ． 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了角平分线的定义，余角的定义，几何图形中角度的计算等知识点，掌握消元的思想将无关的角消除，得到所求角的数量关系是关键． （1）根据即可得出答案； （2）设，根据平分可得，，然后表示出，再进行求解即可； （3）设，则，根据题意得，，结合，即可得出，，三者之间的数量关系． 【详解】（1）解：在内部，， ， ， ； （2）略 （3）略 37． 【答案】(1) (2)或 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查角的和差，角平分线，互余的定义．熟练掌握以上知识点是关键． （1）求出，由平分可得，可得； （2）设，则，求出，根据列方程求出，从而可求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分, ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，且 ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴ 或：． 38． 【答案】(1) (2) 解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴． 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查了几何图中的角度计算，角平分线的有关计算，补角的计算等知识． （1）根据角平分线的定义得出，再根据补角的定义求解即可． （2）根据角平分线的定义得出，再根据，可得出，，进而可得出． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）略 39． 【答案】(1) (2) 解：∵与互余， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴是的平分线． 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了角平分线的定义，余角的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． （1）由题意得到的度数，结合角平分线定义，得到结果； （2）由已知条件，得到，利用等角的余角相等，得到，即可证得结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的平分线， （2）略 40． 【答案】(1)； (2) (3)①或；② 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了角的计算，解题的关键是理解题意并找到各个量之间的关系求出角的度数， （1）根据角平分线的定义得到，于是得到，由于，，即可得到， （2）根据题意得，求得，即可得到结论； （3）①根据题意得，，求得，列方程即可得到结论；②根据角的和差即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：， ∵， ∴， ∵， ∴， （3）解：①∵，， ∴ ∴或， 解得：或， ② ∵，，，， ，， ∴， ∴， ∴． 【考点3】三角板、钟面角与角度综合应用（第41-54题） · 三角板拼角：30°、45°、60°、90° 组合加减 · 钟面角：分针 6°/分、时针 0.5°/分，夹角取两针角度差的绝对值 · 方向角以正北正南为基准表述 · 复杂图形角度设元，用方程沟通已知与未知 41． 【答案】C 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，根据角之间的和差关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：，的顶点O在直线上， ∴，故D选项正确； ∴，故A选项正确； ，故B选项正确； 无法得到，故C选项错误； 故选C． 42． 【答案】A 【知识点】三角板中角度计算问题、几何图形中角度计算问题、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了三角板中的角度的和差计算，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握各角度之间的数量关系． 可得，则，再代入，然后解方程即可． 【详解】解：由题意得， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， 故选：A． 43． 【答案】C 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握三角板中的角度计算是解题关键．如图（见解析），根据题意可得，，，再求出，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：①，②，③， 由②③得：， ∴④， 将④代入①得：， ∴， 故选：C． 44． 【答案】C 【知识点】钟面角、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了钟面角、一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．先求出分针每分钟转动的角度为，时针每分钟转动的角度为，时钟在13点时，分针与时针所夹的角为；时钟在14点时，分针与时针所夹的角为；时钟在15点时，分针与时针所夹的角为，再分四种情况：①在12时到13时之间，②在13时到14时之间，③在14点时，④在14时到15时之间，分别建立方程，解方程即可得． 【详解】解：分针每分钟转动的角度为，时针每分钟转动的角度为，时钟在13点时，分针与时针所夹的角为；时钟在14点时，分针与时针所夹的角为；时钟在15点时，分针与时针所夹的角为． 设分钟后，分针与时针能构成的角， ①在12时到13时之间， 则和， 解得和， 所以在12时分和12时分的时刻，分针与时针能构成的角； ②在13时到14时之间， 则， 解得， 所以在13时分的时刻，分针与时针能构成的角； ③在14点时，分针与时针所夹的角为； ④在14时到15时之间， 则， 解得， 所以在14时分的时刻，分针与时针能构成的角； 综上，从12时到15时的3个小时中，分针与时针能构成的角的时刻共有5个， 故选：C． 45． 【答案】C 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题考查三角板中角度计算问题． 根据三角板的性质得，可得，结合图形即可求解． 【详解】解：∵这是一副三角板， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 46． 【答案】D 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题、与方向角有关的计算题 【分析】根据角之间的关系分别求出和的度数，即可求出射线和射线的方位角，根据求出的方位角判断正误即可． 【详解】解：，， ， 是的平分线， ， ， 射线的方向为北偏东， 故A、B选项错误； ， ， ， ， ， ， 射线的方向为南偏西， 故C选项错误，D选项正确． 47． 【答案】A 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、钟面角 【分析】本题考查时钟追及问题，需先明确时针与分针的转速，再根据两次成时分针比时针多走的角度列方程求解． 【详解】解：∵分针每分钟转的角度为，时针每分钟转的角度为， 从第一次成到第二次成，分针比时针多转 设经过分钟，根据题意列方程： ， 解得， ∴共经过分钟． 故选：A 48． 【答案】 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角的有关计算，根据题意正确列式计算是解题的关键． 根据题意得出，计算即可． 【详解】解：由题得， ， 故答案为： ． 49． 【答案】 【知识点】钟面角 【分析】本题考查了钟面角，掌握时针每分钟走是解题的关键．整个钟面分为12个格，每个大格为，时针每分钟走，据此即可解答． 【详解】解：整个钟面分为12个格，每个大格为，时针每分钟走， 从10时40分到11时经过了20分钟， ， 时针走过的度数是． 故答案为：． 50． 【答案】东北方向或北偏东 【知识点】方向角的表示 【详解】解：射线所指方向为东北方向或北偏东． 故答案为：东北方向或北偏东． 51． 【答案】133 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了几何图形中角度计算问题，结合图形得出，代数进行计算，得出的值，然后把的值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴， 则把代入， ∴， 故答案为：133． 52． 【答案】 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角度的计算，根据等于个周角，即可求解． 【详解】解：由题意可得， 故答案为：． 53． 【答案】或或 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角的和差，分①，②，③，④四种情况，再根据角的和差进行计算即可得． 【详解】解：由题意，分以下四种情况： ①当时，射线是的“平衡线”， ∵， ∴； ②当时，射线是的“平衡线”， ∵， ∴， ∴； ③当时，射线是的“平衡线”， ∵，， ∴， 解得； ④当时，射线是的“平衡线”， ∵，， ∴， 解得； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 54． 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角的和差，分两种情况：射线在内部时和射线在外部时，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当射线在内部时， ， 当射线在外部时， ， 故答案为：或． 💯 课后巩固 复习建议 · 角看两边与顶点，表示方法四选一，顶点字母写中间 · 度分秒六十进制，满 60 进 1、借 1 当 60 · 互余和为 90°、互补和为 180°，补角比余角大 90° · 角平分线三式等价，n 等分线设每份 x 列方程 · 钟面角：分针 6°/分、时针 0.5°/分，夹角取差值 【作业1】 【答案】/135度 【知识点】钟面角 【分析】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是是解题的关键． 根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案． 【详解】解：10点30分时的时针和分针相距的份数是， 10点30分时的时针和分针所成的角的度数为 故答案为：． 【作业2】 【答案】/度 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】利用角的和差进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【作业3】 【答案】/75度 【知识点】几何图形中角度计算问题、角n等分线的有关计算 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算，解题的关键是熟练掌握角度间的关系，数形结合．设，结合已知可求 ，，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：设，则， ， ∴， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【作业4】 【答案】(1) (2) 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题考查了角的四则运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据角的四则运算法则求解即可． （2）根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【作业5】 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】角度的四则运算、去括号、合并同类项、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减及度分秒的换算，解决此类题目的关键是熟练掌握去括号法则，熟练运用合并同类项的法则，度分秒的换算． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可； （3）利用度分秒的进制，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【作业6】 【答案】(1) (2) 【知识点】角度的四则运算 【分析】此题考查了进行度、分、秒的混合运算，是角度计算中的一个难点，注意以60为进制即可． （1）进行度、分、秒的加减混合运算即可； （2）先进行度、分、秒的乘法计算，再算减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【作业7】 【答案】 【知识点】几何图形中角度计算问题、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，几何图形中角度计算问题，设的度数为．结合，，，列式进行计算，即可作答． 【详解】解：设的度数为． ∵，，， ∴， 解得：， 【作业8】 【答案】(1) (2) 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题考查了角度的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据度分秒的进制进行计算，即可解答； （2）根据度分秒的进制进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【作业9】 【答案】(1) 如图所示； (2) 如图所示； (3)， 【知识点】线段的和与差、作线段(尺规作图)、画出直线、射线、线段、角的比较 【分析】本题考查直线，射线，线段的作图，三角形外角的性质等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据直线，射线的定义进行作图即可； （2）以为圆心，以的长为半径画弧交延长线于，点即为所求，连接即可； （3）根据，三角形外角的性质即可判定． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由题意得，． 故填：，． 【作业10】 【答案】（1）；；；；（2）时针每经过1小时，转过，分针每分钟转过；（3） 【知识点】钟面角 【分析】本题主要考查了钟面角的计算，熟知钟面角的计算方法是解题的关键． （1）时针12小时转一圈，转一圈转360度，则可求出时针每小时转的度数，据此求解即可； （2）时针12小时转一圈，转一圈转360度，分针每60分钟转一圈，转一圈转360度，据此求解即可； （3）先求出10点整时时针与分针的夹角，再求出十分钟分针所转的度数与时针所转的度数之差即可得到答案． 【详解】解：（1）巴黎时间是1点，则时针和分针的夹角为； 伦敦时间是12点，则时针和分针的夹角为； 北京时间是8点，则时针和分针的夹角为； 东京时间是9点，则时针和分针的夹角为； 故答案为：；；；； （2）∵时针12小时转一圈，转一圈转360度， ∴时针每经过1小时，转过， ∵分针每60分钟转一圈，转一圈转360度， ∴分针每分钟转过； （3）， ∴当时钟指向上午，时针与分针的夹角是． 【作业11】 【答案】(1)① ②；理由如下： ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； (2)或 【知识点】角平分线的有关计算、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查与三角板有关的计算，与角平分线有关的计算： （1）①根据角平分线的定义结合角的和差关系进行求解即可；②根据角平分线的定义结合角的和差关系进行求解即可； （2）分在的内部和在的外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：①由题意，可知：， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②略 （2）①当在的内部时， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：； ②当在的外部时， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【作业12】 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】角平分线的有关计算、三角板中角度计算问题、几何图形中角度计算问题 【分析】（1）根据角的平分线定义，平角的定义，角的和的定义解答即可． （2）仿照（1）的思路解答即可． （3）仿照（1）的思路解答即可． 本题考查了角的和差，角的平分线，平角的定义，熟练掌握平角定义，角的平分线是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：根据题意，得， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴． （3）解：根据题意，得， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴． 【作业13】 【答案】（）时分时，时针与分针的夹角是，时分时，时针与分针的夹角是；（）分针转过的角度是，时针转过的角度是；（）分针按顺时针旋转时与时针第一次重合． 【知识点】钟面角、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（）根据分针每分钟走小格，时针每分钟走小格即可求解； （）根据钟表分针和时针每走一分钟度数即可求解； （）设经过分针可与时针第次重合（即追上时针），根据题意列出方程，然后解方程即可； 本题考查了钟表分针和时针所转过的角度计算，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：（）因为分针每分钟走小格，时针每分钟走小格， 所以时分时，时针与分针的夹角是， 时分时，时针与分针的夹角是． （）从时分到时分，，经过了， 所以分针转过的角度是， 时针转过的角度是； （）设经过分针可与时针第次重合（即追上时针）． 因为时整时针与分针的夹角是， 所以列方程得， 解得， 所以， 所以分针按顺时针旋转时与时针第一次重合． 【作业14】 【答案】(1)和互为垂角 (2) (3)2 【知识点】几何图形中角度计算问题、几何问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算 【分析】此题考查了互为垂角和余角的概念以及运用，一元一次方程的应用，解题的关键是能准确的从图中找到角之间的数量关系，从而计算出结果． （1）根据垂角定义即可得到答案； （2）设这个锐角的度数为，根据一个锐角的垂角等于这个角的余角的3倍列方程解答； （3）分情况：当时，当时，分别求出和，根据互为垂角列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴和互为垂角； （2）解：设这个锐角的度数为，则，它的垂角是， ， 解得， ∴这个角的度数是； （3）解：当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得（舍去）； 综上，当t的值为2时，和互为垂角． 【作业15】 【答案】（1）；（2）①； ②． 理由：∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∴ ． （3）． 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段中点和角平分线的定义，熟练掌握线段和角的计算是解题的关键，注意角转动后角的位置变化； （1）根据线段中点，得出，，再根据的关系得出，最后求得的长度； （2）①由和已知条件，需要求出，由和分别平分和，得出，进而求出此题； ②与①同理； （3）由，，可得，，所以，根据即可得出结论． 【详解】解：（1）∵，分别是的中点， ∴，， ∴， ∵， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）①∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ②略 （3）∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 【作业16】 【答案】(1) (2)或 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了几何图中角度的计算、角平分线的定义，找准角之间的关系，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用角的和差关系可得，然后利用角平分线的定义进行计算即可得出答案； （2）分两种情况：当在右侧时，当在左侧时，分别计算即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 是的平分线， （2）解： ，， ， 当在右侧时，， 当在左侧时，． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $