22.3.3 相似三角形的性质（教学设计）-2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦相似三角形的性质，涵盖对应角相等，对应边、高、中线、角平分线、周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方。通过复习相似判定旧知，提问除边角外其他元素比例关系，衔接“判定—性质—应用”知识闭环，搭建学习支架。 此资料以探究式教学为主线，引导学生经历猜想、推理、归纳、验证过程，结合分层练习与易错点专项训练突破面积比平方关系难点。通过几何推理培养数学思维，结合A型/X型模型强化几何直观，助力学生系统掌握性质，提升教师教学效率与学生解题信心。

3.相似三角形的性质相似三角形的性质 教案 一、教材分析 《相似三角形的性质》是相似三角形模块的收尾核心课时，承接前面相似三角形的三种判定定理，完成“判定—性质—应用”的完整知识闭环。前面课时重点解决“如何证明三角形相似”，本节课重点解决“三角形相似后可以得到哪些数量关系”，是几何计算、线段求值、面积求解、几何综合证明的核心依据。相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线、周长、面积的比例性质是中考高频考点，常结合几何模型、动点问题、二次函数几何综合题考查，是学生从“定性判定”走向“定量计算”的关键一课，在初中相似几何体系中具有不可替代的衔接作用。 二、学情分析 九年级学生已经熟练掌握相似三角形的定义、相似比以及三种判定方法，具备良好的几何识图能力和比例运算能力，能够快速判定三角形相似、求解基础相似比。但学生存在明显认知短板：仅记住对应角相等、对应边成比例的基础性质，对高线、中线、角平分线、周长、面积的比例性质陌生；极易混淆面积比与相似比的关系，普遍记错“面积比等于相似比”，忽略平方关系；在综合题型中不会灵活搭配判定与性质解题，难以根据已知条件选用对应性质求解线段、周长、面积。 三、教学目标 1. 知识与技能：系统掌握相似三角形的全部性质；理解相似三角形对应线段、周长、面积与相似比的关系；能熟练运用性质进行线段长度、线段比值、周长、面积的计算与几何证明。 2. 过程与方法：经历猜想、推理、归纳、验证的探究过程，掌握从基础性质延伸到综合性质的推导思路，培养学生代数比例运算、几何推理、数形结合的综合能力，提升几何定量计算思维。 3. 情感态度与价值观：体会几何知识的逻辑性、系统性和统一性，感受图形相似中的数量规律，通过严谨推导、规范解题培养求真务实的学习态度，增强学生解决几何综合计算题的信心。 四、教学重难点 重点：掌握相似三角形对应线段、周长、面积的比例性质，能利用性质完成基础计算与简单证明。 难点：理解面积比等于相似比的平方；区分线段、周长、面积三类比例关系；在复杂几何图形中综合运用相似性质解题。 五、教学准备 多媒体课件、相似三角形对比示意图、分层练习题、易错点专项素材、几何模型图 六、教学过程 （一）复习旧知，导入新课（5分钟） 回顾旧知：复习相似三角形的定义、相似比概念、三种相似判定定理。提问学生：两个三角形相似，我们可以直接得到哪些结论？学生回答对应角相等、对应边成比例。教师顺势追问：除了边角关系，三角形的高线、中线、角平分线、周长、面积是否也存在固定比例关系？以此引发学生思考，导入本节课课题：相似三角形的性质。 （二）探究新知，归纳性质（22分钟） 1. 基础性质回顾 归纳核心基础性质：若两个三角形相似，则对应角相等，对应边成比例，对应边的比值为相似比。强调性质的前提是找准对应关系，顶点顺序对应是正确应用性质的基础，规避对应元素找错的问题。 2. 对应线段性质推导 通过几何推理证明，归纳拓展性质：相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比。教师简单演示高线相似推导过程，让学生理解性质来源，而非机械记忆，明确所有“对应线段”的比例均与相似比一致。 3. 周长与面积性质突破 结合边长比例关系推导：相似三角形的周长比等于相似比；重点突破难点性质：面积比等于相似比的平方。通过具体数值举例验证，让学生直观区分线段、周长、面积三者比例差异，解决学生最核心的记忆误区。同时反向推导：已知面积比，可开方得到相似比，完善双向应用思维。 4. 性质体系汇总 整理完整性质口诀：对应角相等；对应边、对应高、中线、角平分线、周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。帮助学生系统记忆、快速区分。 5. 例题精讲与易错辨析 基础例题：已知相似比，求对应线段长、周长、面积；提升例题：已知面积比反求边长、相似比。重点纠正高频易错点：混淆面积比与相似比、忘记平方或开方、对应线段找错、相似比前后颠倒。规范“先定相似、再找比、后代入计算”的解题流程。 （三）分层练习，巩固提升（10分钟） 基础练习：直接利用性质求线段、周长、面积，夯实基础性质；提升练习：面积比与相似比双向转化计算，突破难点；拓展练习：结合A型、X型模型的综合计算题，先判定相似再利用性质求值。学生独立完成后小组互评，教师针对平方遗漏、比例错乱等共性问题集中讲评，规范书写步骤。 （四）课堂小结，梳理体系（3分钟） 引导学生自主总结相似三角形全套性质、三类比例关系差异、核心易错点。教师升华：相似判定用于证关系，相似性质用于算数值，判定与性质结合是解决几何综合题的核心思路，完善相似几何知识体系。 （五）布置作业（2分钟） 基础作业：教材课后习题，熟练掌握相似三角形性质的基础计算；拓展作业：整理相似性质口诀与易错点，完成面积比专项练习题，积累综合题型解题思路。 七、板书设计 相似三角形的性质 1. 基础性质：对应角相等，对应边成比例 2. 对应线段：高、中线、角平分线比 = 相似比 3. 周长比 = 相似比 4. 面积比 = 相似比的平方（核心难点） 5. 易错：面积比忘记平方、双向转换出错 6. 思路：先证相似 → 找准比 → 代入计算 八、教学反思 本节课依托相似判定旧知导入，知识衔接顺畅，由基础性质到拓展性质层层递进，符合学生认知规律。通过推导、归纳、口诀记忆、分层训练，多数学生能够掌握相似三角形的全套性质，可独立完成线段、周长、面积的基础计算。课堂反馈显示，学生最大的问题是对“面积比为相似比平方”记忆不牢，双向转换容易出错，在复杂图形中无法快速结合判定和性质解题。后续教学中，需强化面积比例专项训练，多设置正反对比题型，固化学生思维，同时加强判定与性质的综合应用练习，提升学生几何综合解题能力。 1．理解相似三角形的性质；(重点) 2．会利用相似三角形的性质解决简单的问题．(难点) 一、情境导入 两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结论．例如，在图中，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么AD、A′D′之间有什么关系？ 二、合作探究 探究点一： 相似三角形的性质 【类型一】 利用相似比求三角形的周长和面积 如图所示，平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，且BE＝EC，BD、AE相交于F点． (1)求△BEF与△AFD的周长之比； (2)若S△BEF＝6cm2，求S△AFD. 解析：利用相似三角形的对应边的比可以得到周长和面积之比，然后再进一步求解． 解：(1)∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，∴△BEF∽△AFD.又∵BE＝BC，∴＝＝＝，∴△BEF与△AFD的周长之比为＝； (2)由(1)可知△BEF∽△DAF，且相似比为，∴＝()2，∴S△AFD＝4S△BEF＝4×6＝24cm2. 方法总结：理解相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决问题的关键． 【类型二】 利用相似三角形的周长或面积比求相似比 若△ABC∽△A′B′C′，其面积比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的相似比为(　　) A．1∶2 B.∶2 C．1∶4 D.∶1 解析：∵△ABC∽△A′B′C′，其面积比为1∶2，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶＝∶2.故选B. 方法总结：解决问题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方． 【类型三】 利用相似三角形的性质和判定进行计算 如图所示，在锐角三角形ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别为18和8，DE＝3，求AC边上的高． 解析：求AC边上的高，先将高线作出，由△ABC的面积为18，求出AC的长，即可求出AC边上的高．　　解：过点B作BF⊥AC，垂足为点F.∵AD⊥BC, CE⊥AB，∴Rt△ADB∽Rt△CEB，∴＝，即＝，且∠ABC＝∠DBE，∴△EBD∽△CBA, ∴＝()2＝.又∵DE＝3，∴AC＝4.5.∵S△ABC＝AC·BF＝18, ∴BF＝8. 方法总结：解决此类问题，可利用相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方来解答． 【类型四】 利用相似三角形线段的比等于相似比解决问题 如图所示，PN∥BC，AD⊥BC交PN于E，交BC于D. (1)若AP∶PB＝1∶2，S△ABC＝18，求S△APN； (2)若S△APN∶S四边形PBCN＝1∶2，求的值． 解析：(1)由相似三角形面积比等于对应边的平方比即可求解；(2)由△APN与四边形PBCN的面积比可得△APN与△ABC的面积比，进而可得其对应边的比． 解：(1)因为PN∥BC，所以∠APN＝∠B，∠ANP＝∠C，△APN∽△ABC，所以＝()2.因为AP∶PB＝1∶2，所以AP∶AB＝1∶3.又因为S△ABC＝18，所以＝()2＝，所以S△APN＝2； (2)因为PN∥BC，所以∠APE＝∠B，∠AEP＝∠ADB，所以△APE∽△ABD，所以＝，＝()2＝()2.因为S△APN∶S四边形PBCN＝1∶2，所以＝＝()2，所以＝＝. 方法总结：利用相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 【类型五】 利用相似三角形的性质解决动点问题 如图，已知△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，P点在AC上(与A、C不重合)，Q点在BC上． (1)当△PQC的面积是四边形PABQ面积的时，求CP的长； (2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长． 解析：(1)由于PQ∥AB，故△PQC∽△ABC，当△PQC的面积是四边形PABQ面积的时，△CPQ与△CAB的面积比为1∶4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出CP的长；(2)由于△PQC∽△ABC，根据相似三角形的性质，可用CP表示出PQ和CQ的长，进而可表示出AP、BQ的长．根据△CPQ和四边形PABQ的周长相等，可将相关的各边相加，即可求出CP的长． 解：(1)∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC，∵S△PQC＝S四边形PABQ，∴S△PQC∶S△ABC＝1∶4，∵＝，∴CP＝CA＝2； (2)∵△PQC∽△ABC，∴＝＝，∴＝，∴CQ＝CP.同理可知PQ＝CP，∴C△PCQ＝CP＋PQ＋CQ＝CP＋CP＋CP＝3CP，C四边形PABQ＝PA＋AB＋BQ＋PQ＝(4－CP)＋AB＋(3－CQ)＋PQ＝4－CP＋5＋3－CP＋CP＝12－CP，∴12－CP＝3CP，∴CP＝12，∴CP＝. 方法总结：由相似三角形得出线段的比例关系，再根据线段的比例关系解决面积、线段的问题是解题的关键． 三、板书设计 1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； 2．相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比； 3．相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 本节教学过程中，学生们都主动地参与了课堂活动，积极地交流探讨，发现的问题较多：相似三角形的周长比，面积比，相似比在书写时要注意对应关系，不对应时，计算结果正好相反；这两个性质使用的前提条件是相似三角形等等．同学们讨论非常激烈，本节课堂教学取得了明显的效果. 学科网（北京）股份有限公司 $