第12讲·数据的离散程度·培优讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版九年级数学上册

第12讲·数据的离散程度·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年苏科版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解极差、方差的概念，会计算一组数据的极差与方差 · 理解方差的意义：方差越小数据越稳定，方差越大波动越大 · 会用样本方差估计总体方差，会用方差比较两组数据的稳定性 · 掌握方差的变换规律：数据同加 a 方差不变，同乘 k 方差变为 k² 倍 · 理解离差平方和及其在数据分组中的应用 · 能综合平均数、中位数、众数与方差对实际问题进行分析并作出决策 📚 知识梳理 ☆ 1.极差与方差的概念 极差 = 最大值 - 最小值，反映数据的最大波动范围，计算简单但粗略 方差 s² = (1/n)[(x₁-x̄)² + (x₂-x̄)² + … + (xₙ-x̄)²]，反映数据的整体波动 方差单位是数据单位的平方，比较波动时只比大小 方差公式可记为：s² = (1/n)Σx²ᵢ - x̄²（各数据平方的平均减去平均的平方） 离差平方和 = Σ(xᵢ - x̄)² = n·s²，分组后各小组离差平方和之和 = 总离差平方和 概念辨析例题：数据 -1，0，1，2，7 的极差为（　　） 答案：8 解析：极差 = 最大值 - 最小值 = 7 - (-1) = 8。极差只看两端，不反映中间数据的分布情况。 ☆ 2.方差的计算与变换规律 计算方差三步：求平均 → 求各数据与平均数之差的平方 → 取平均 每个数据加 a：平均数加 a，方差不变（波动不变） 每个数据乘 k：平均数乘 k，方差变为 k² 倍 由新组方差反推原组方差：先看变换，再逆运算（除以 k²） 已知方差公式求具体数值：把公式展开对照数据（如 s² = Σ(xᵢ-2)² 知平均数是 2） 概念辨析例题：数据 a₁, a₂, …, a₅ 的方差为 3，则数据 2a₁+1, 2a₂+1, …, 2a₅+1 的方差为（　　） 答案：12 解析：数据乘 2 加 1：方差变为 2² × 3 = 12，加 1 不改变方差。「加常数不动方差、乘常数平方方差」是处理这类问题的口诀。 ☆ 3.方差与稳定性比较 比较稳定性两步走：先比平均数（水平相同或接近），再比方差（小者稳定） 「最整齐」「最稳定」即找最小方差 折线图判断波动：图象起伏越大方差越大 从统计表读数据后先求平均再求方差，注意数据个数相同 方差相同的两组：平均数大的整体水平高 概念辨析例题：甲、乙、丙、丁四人成绩的平均数都是 96，方差分别为 0.8、2.5、0.8、1.6，则成绩最稳定的是（　　） 答案：甲和丙 解析：平均数相同比方差，甲与丙方差同为 0.8 最小，故甲、丙最稳定。若题目问「最稳定的同学」，两个并列都可答。 ☆ 4.离差平方和及其应用 离差：每个数据与平均数的差 xᵢ - x̄；离差之和恒为 0 离差平方和 = Σ(xᵢ - x̄)²，是方差分子部分；方差 = 离差平方和 ÷ n 数据分两组时：总离差平方和 = 各组离差平方和 + 组间交叉项（初中常考分组后再合并） 「使离差平方和最小」的平均数是最小二乘意义下的代表值 离差平方和比较：平均数相同的一组数据，离差平方和小则更集中 概念辨析例题：数据 13，15，7，9，11 的平均数为 11，则这组数据的离差平方和为（　　） 答案：40 解析：离差分别为 2、4、-4、-2、0，平方和 = 4 + 16 + 16 + 4 + 0 = 40；方差 = 40 ÷ 5 = 8。离差平方和与方差只差一个「除以 n」。 ☆ 5.用方差做决策 决策三步：算平均数比水平 → 算方差比稳定 → 结合实际意义下结论 选人问题：平均分高且方差小者优先；平均分相同看方差 样本估计总体：样本方差估计总体波动（样本容量足够大时） 结论表述：必须指明用了哪个统计量以及实际意义（产量、成绩、用时） 有时「平均数高但方差大」需权衡：追求高分潜力还是稳定发挥，依情境作答 概念辨析例题：甲、乙两车床加工直径 20mm 的零件，样本平均数均为 20，方差 s²甲 = 0.06，s²乙 = 0.15，则（　　） 答案：甲车床更稳定，选甲 解析：平均数相同，甲的方差小，加工精度更稳定，选甲车床。方差决策题的完整表述：①平均数相同；②方差小的波动小；③结合加工精度要求作出选择。 📋 知识总结表 统计量 计算 意义 极差 最大值 - 最小值 最大波动范围 离差平方和 Σ(xᵢ - x̄)² 方差的分子 方差 s² 离差平方和 ÷ n 越小越稳定 数据加 a 均值 +a，方差不变 平移不改变波动 数据乘 k 均值 ×k，方差 ×k² 缩放波动 样本方差 估计总体波动 决策依据 ⚠️ 核心考点 【考点1】方差与极差的计算（第1-12题） · 极差 = 最大 - 最小，数据无序时先找两端 · 方差三步：均值 → 离差平方 → 平均 · 由方差公式反推平均数与数据个数 · 新定义「区间极差」按定义代入函数求最值差 1．（23-24八年级下·江苏南通·阶段检测）一组数据的方差为，如果把这组数据中的每个数据都扩大为原来的3倍再加上1，那么所得到的一组新数据的方差为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·江苏南通·模拟预测）已知一组数据：、、、、、、，这组数据极差是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·单元测试）已知数据的方差计算公式为，则这组数据的（   ） A．方差为40 B．中位数为4 C．平均数为4 D．众数为2 4．（23-24八年级下·江苏南通·期中）已知一组数据：，，，…，，小明用，计算这一组数据的方差，那么_____． 5．（25-26八年级下·江苏淮安·阶段检测）一组数据，0，1，2，7的极差是__________． 6．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）计算方差的过程中有：，则________． 7．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知数据，，，，的方差为3，则数据，，，，的方差为______． 8．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）已知某体能训练小组成员每周锻炼身体的时长（单位：）分别为3，5，8，10，老师按照锻炼身体的时长将该训练小组的成员分成和两组，则这样分组的组内离差平方和为________． 9．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）已知一组数据：的极差是3，则整数可以是___________（只写一个）． 10．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）一组数据，其中最大值是，最小值是，对这组数据进行整理时，打算将组距定为，则组数是 __ ． 11．（25-26八年级下·江苏南通·期末）若把1，3，5，7分成1，3和5，7两组，则它们的组内离差平方和为_______． 12．（25-26九年级上·山东滨州·期中）我们现定义函数在上的最大值和最小值的差为区间极差，比如一次函数在上的最大值为3，最小值为1，所以一次函数在上的区间极差为．若二次函数在上的区间极差为4，则的取值范围是_____． 【考点2】方差与稳定性比较（第13-24题） · 「最稳定」「最整齐」找最小方差 · 先比平均数再比方差，缺一不可 · 方差变换：加 a 不变、乘 k 变 k² 倍 · 由新组方差逆推原组方差先除 k² 13．（2025·江苏扬州·中考真题）下列说法不正确的是（   ） A．明天下雨是随机事件 B．调查长江中现有鱼的种类，适宜采用普查的方式 C．描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图 D．若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据更稳定 14．（23-24九年级上·江苏南京·期末）若一组数据1、3、5、7、x的方差比另一组数据11、13、15、17、19的方差小，则x不可以是（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 15．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）在全国少年乒乓球锦标赛的准备阶段，甲、乙、丙、丁四名选手各进行了10次训练测试，他们的平均得分相同，方差分别是，，，，则这四名选手中成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 16．（21-22九年级上·江苏苏州·阶段检测）若甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是96分，它们的方差分别是，，，，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是________． 17．（23-24八年级上·山东淄博·期中）为迎接全市的禁毒知识竞赛，某校进行了相关知识测试，经过层层预赛，小洋和小亮进入了最后的决赛，如图，是他们6次的测试成绩，若要从中选一名测试成绩稳定的同学去参加竞赛，则应选______.（填“小洋”或“小亮”）． 18．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）学校为选拔英才班选手，对甲、乙两名同学进行了4次模拟测试．已知两人成绩的方差分别为：，，且两人4次测试成绩如下：甲平均数乙平均数，根据平均数和方差，应选_________同学参赛．（填“甲”或“乙”） 19．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的同学是________．（填写甲或乙或丙或丁） 20．（23-24九年级上·广西南宁·期中）甲、乙、丙、丁四名同学进行跳高测试，每人10次跳高成绩的平均数都是1.28m，方差分别是，，，，则这四名同学跳高成绩最稳定的是________． 21．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）甲、乙两名同学进行次模拟测试，已知两人测试成绩的平均分完全相同，甲成绩的离差平方和为，乙成绩的离差平方和为．若甲的成绩波动比乙更小，则整数的最大值为______． 22．（25-26八年级上·山东威海·阶段检测）一组数据，，的平均数是90，方差是13.5，则，，，的平均数是___________，方差是___________．如果这组数据再加上一个数90，那么这11个数的方差___________（“变大”、“变小”或者“不变”）？ 23．（24-25九年级上·山东德州·开学考试）某校老师承担了对甲、乙两名学生每周“送教上门”的任务甲、乙两名学生某十周每周接受“送教上门”的时间（单位：小时）如下： 甲：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9； 乙：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9． 从接受“送教上门”的时间波动大小来看，______学生每周接受送教的时间更稳定（填“甲”或“乙”）． 24．（26-27九年级上·福建福州·开学考试）某校八年级共有200名学生，平均年龄为14岁，年龄的方差为3，则该校八年级200名学生年龄的离差平方和为（     ） A．0 B．3 C．42 D．600 【考点3】离差平方和与数据的分组（第25-36题） · 离差之和恒为 0；离差平方和 = n·方差 · 分组数据：总离差平方和与各组平方和的关系 · 「使离差平方和最小」即为平均数 · 两组平均数相同时，离差平方和小者更集中 25．（26-27九年级上·福建福州·开学考试）在引体向上测试中，名同学完成的个数分别为，，，，．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）．根据组内离差平方和最小原则，把这名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（     ） 分组情况 组内离差平方和 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 A．和{ B．和 C．和 D．和 26．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）把数据2，4，6，9，10分成与两组，则组内离差平方和是（     ） A．8.2 B．8.5 C．8.7 D．8.8 27．（25-26八年级上·江苏南通·期末）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 28．（2024·山西阳泉·三模）某校九年级有A，B，C和D四名同学参加坐位体前屈训练（满分15分）．他们的平均成绩分别是：分，分，分，分，方差分别是：，，，，则成绩好且发挥稳定的是______同学． 29．（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．教练计划将队员分成两组进行分层训练，先将五名同学成绩按照从小到大的顺序排列为：7，9，12，13，15．再分成两组分别计算各组的离差平方和（结果保留小数点后一位），结果如下表所示，则最合理的分组方式为第________个间隔． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 总离差平方和 第1个间隔 0 18.8 18.8 第2个间隔 2 4.7 6.7 第3个间隔 12.7 2 14.7 第4个间隔 22.8 0 22.8 30．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）运用方差公式对一组数据进行计算的过程中有：，根据该信息，下列说法错误的是（   ） A．样本的容量是3 B．样本的中位数是3 C．样本的众数是2 D．样本的平均数是 31．（2025·江苏南京·二模）若第一组数据各不相等）的平均数为，则第二组数据，b，c，d，e，m与第一组数据相比（   ） A．平均数变大，方差变小 B．平均数不变，方差变大 C．平均数变大，方差不变 D．平均数不变，方差变小 32．（23-24九年级下·四川乐山·期中）数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段。请根据如下某组数据的方差计算式：．你不能得到的有效信息是（    ）． A．这组数据的中位数是 B．这组数据的平均数是 C．这组数据的众数是 D．这组数据的方差是 33．（2026·福建福州·二模）甲，乙，丙，丁四名学生参加“中学生科学素养”选拔赛，图中显示了这四名学生在选拔赛中的方差与平均分数．学校需从中选出一名成绩较好且发挥稳定的学生参加后续比赛，则最合适的学生是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 34．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图是15名学生A，B两门课程成绩的统计图，若记这15名学生A课程成绩的方差为，B课程成绩的方差为，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．不确定 35．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻的亩产量（单位：）并整理如下表： 亩产量 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（   ） A．100块稻田中亩产量的中位数小于 B．100块稻田中亩产量低于的稻田所占比例超过 C．100块稻田中亩产量的极差介于至之间 D．100块稻田中亩产量的平均值介于至 36．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读时间（单位：），分别为：，，，，．这组数据的方差是_______． 【考点4】统计决策综合（第37-48题） · 决策三步：比平均、比方差、结合实际 · 选人、选车床、选航线都套用此流程 · 结论写明统计量与实际意义 · 样本方差估计总体，注意样本容量 37．（24-25九年级上·江苏南京·期中）小明在处理一组数据“12，12，28，15，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 38．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图． 根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（    ） A．平均数为72分钟 B．众数67分钟 C．中位数为67分钟 D．方差为0 39．（2022·江苏无锡·模拟预测）下列说法中，正确的是（     ） A．一组数据，，0，2的方差是 B．质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，应当采用普查的调查方式 C．购买一张福利彩票中奖是一个确定事件 D．分别写有三个数字，，4的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，则卡片上的两数之积为正数的概率为 40．（2024·山东滨州·模拟预测）某班30位同学阅读课外读物的本数统计如表所示，其中两个数据被遮盖，下列关于阅读课外读物的统计是中，与被遮盖的数据无关的是（   ） 本数 2 3 4 5 6 7 8 人数 ■ ■ 2 3 6 7 9 A．平均数，方差 B．中位数，方差 C．平均数，众数 D．中位数，众数 41．（25-26九年级上·全国·单元复习）工人师傅用车床加工一种直径为20mm的零件，从某天加工的零件中随机抽取了10件，测得直径（单位：mm）如下：20.1，19.9，20.3，20.2，19.8，19.7，19.9，20.3，20.0，19.8． (1)计算样本平均数和样本方差． (2)试估计总体平均数和总体方差． (3)规定当加工零件的方差不超过时，车床生产情况为正常．请判断这台车床的生产情况是否正常． 42．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）为提高同学们的宪法意识，学校将组织“弘扬宪法精神，共筑法治校园”知识竞赛，共100道单选题，每题1分，满分为100分．王老师为了从甲、乙两名同学中选择一名同学代表班级参赛，对他们进行了培训和指导，期间甲、乙完成了十次模拟答题．为了比较这两名同学的成绩，绘制了如下的统计图和统计表： 甲、乙成绩统计表 平均成绩/分 中位数/分 方差/分2 甲 96 8.6 乙 96 96 (1)_______，________； (2)你认为王老师会选择哪位同学代表班级参赛？请说明理由； (3)若将每题1分改为每题0.5分，其余不变，则甲这10次成绩的方差将_________（填“变大”、“变小”或“不变”）． 43．（25-26八年级上·全国·单元复习）甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（单位：个）如图所示 分别求出两名同学测试成绩的平均数和方差，并判断哪名同学的成绩更稳定． 44．（2024·陕西西安·模拟预测）【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动． 【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长（单位：），宽（单位：）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 芒果树叶的长宽比 荔枝树叶的长宽比 2.0 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 芒果树叶的长宽比 荔枝树叶的长宽比 【问题解决】 (1)上述表格中：______，______； (2)①同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．” ②同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．” 上面两位同学的说法中，合理的是______（填序号）； (3)现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自芒果、荔枝中的哪种树？并说明理由． 45．（2025·广东潮州·模拟预测）为了弘扬和传承中华优秀传统文化，东北育才学校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）： 甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6． 乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5． 根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 6 2.6 乙组 7 2 (1)在以上成绩统计表中，=_______，=______，=______． (2)小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面的统计表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因． (3)从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 46．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）“校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，大丰区主管部门就学生对“阳光定食校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从初中、高中各随机抽取10名学生，统计他们对“阳光定食校园餐”的满意度的打分情况如下单位：分： 初中：7，7，7，8，8，8，8，8，9，高中：9，7，9，6，10，6，8，m，9， 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 初中 8 a b 高中 8 9 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：______，______． (2)求m的值． (3)综合表中数据，从离散程度方差看，______填“初中”或“高中”学生打分更稳定；从集中趋势平均数、中位数、众数看，是初中学生还是高中学生对“阳光定食校园餐”的总体满意度更高？请简要说明理由． 47．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段检测）为助力新冠肺炎疫情后经济的复苏，天天快餐公司积极投入到复工复产中．现有A、B两家农副产品加工厂到该公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近．该公司决定通过检查质量来确定选购哪家的鸡腿．检查人员从两家分别抽取100个鸡腿，然后再从中随机各抽取10个，记录它们的质量（单位：克）如表： A：74，75，75，75，73，77，78，72，76，75； B：78，74，78，73，74，75，74，74，75，75． (1)整理数据，得到如下表： 平均数 中位数 众数 方差 A 75 75 75 2.8 B 75 a b c 其中： ， ； ； (2)估计B加工厂这100个鸡腿中，质量为75克的鸡腿有多少个？ (3)根据鸡腿质量的稳定性，该快餐公司应选购哪家加工厂的鸡腿？ 48．（25-26八年级上·山东青岛·期末）甲、乙两名运动员在相同条件下进行了10次射击训练，成绩如下表： 靶次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲的成绩/环 6 7 6 8 7 6 8 6 9 7 乙的成绩/环 5 5 7 7 5 8 6 9 8 10 将成绩绘制成如下折线统计图： 根据上述图表可求甲、乙两名运动员的平均成绩均为7环，在此基础上解答下列问题： (1)若设甲、乙两运动员成绩的方差分别为，，则与的大小关系是___________（填“>”“<”或“=”）； (2)求甲运动员成绩的方差； (3)如果乙再射击1次，命中7环，那么乙射击成绩的方差将___________（填“变大”“变小”或“不变”） 💯 课后巩固 复习建议 · 极差 = 最大值 - 最小值，粗略反映波动 · 方差三步算：平均 → 离差平方 → 平均；离差之和恒为 0 · 数据加 a 方差不变、乘 k 方差变 k² 倍 · 比稳定性两步走：先平均数后方差，方差小者稳定 · 离差平方和 = n·方差，分组后可拆分计算 【作业 1】（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）某超市对近四周西红柿和黄瓜的销售情况进行了统计，并将销售单价和销售量分别制成如下统计图． (1)这四周西红柿销售单价的众数为 ，黄瓜销售单价的中位数为 ； (2)分别求这四周西红柿、黄瓜周销量的方差； (3)结合上述两幅统计图写出一条正确的结论． 【作业 2】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）北京时间8月5日分，巴黎奥运射击男子25米手枪速射决赛正式开始，中国选手李越宏40枪得到32分，领先第二名7分，拿到金牌，在连续两届奥运会获得铜牌后，终于圆梦，这也是中国射击本届奥运会的第五枚金牌，也是中国代表团的第20枚金牌，比赛分为8轮，每轮5枪，9.7环以上视为命中，命中1枪得1分．李越宏的8轮成绩分别为5分，3分，4分，2分，4分，5分，4分，5分 (1)李越宏的8轮成绩的众数为 ； (2)求李越宏8轮得分的方差． 【作业 3】（25-26九年级下·江苏南通·阶段检测）某校为加强学生安全教育，开展了防溺水安全知识竞赛．现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示），将学生竞赛成绩分为三个等级： ．下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩为：； 八年级名学生的竞赛成绩在等级中的数据为：； 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示： 学生 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：___________，___________，___________； (2)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； (3)该校七年级共有人参赛，八年级共有人参赛，请估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”（）的总共有多少人？ 【作业 4】（2025·江苏泰州·二模）某校为了普及消防安全知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加消防安全知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息：根据以上信息，回答下列问题： 学生消防安全知识竞赛得分统计表 平均数 众数 中位数 七年级参赛学生成绩 a 80 c 八年级参赛学生成绩 85.5 b 86 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：______，______ (2)若七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为、，则______；（用“>”“<”或“=”填空） (3)结合统计数据进行分析，哪个年级参赛学生的成绩较好．（写出一条即可） 【作业 5】（25-26八年级下·陕西西安·期末）随着人工智能的快速发展，智能机器人的应用越来越广泛．某景区引入了一款智能导游机器人，让其与景区人工导游开展“景点讲解”项目比拼，邀请5位游客分别对智能导游机器人和人工导游打分，打分成绩采用百分制（单位：分）． 【收集数据】 智能导游机器人得分：95，96，96，96，97， 人工导游得分：94，95，95，97，99． 【分析数据】 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 智能导游机器人 96 0.4 人工导游 96 95 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：上表中____________，____________； (2)求智能导游机器人得分的平均数；（写出计算过程） (3)【应用数据】根据以上数据分析，你认为智能导游机器人和人工导游在“景点讲解”项目比拼中谁的得分波动性较小，请说明理由． 【作业 6】（2024·广东东莞·模拟预测）某校提倡数学学习与生活紧密结合，数学问题要源于生活，用于生活．为此学校开展了 以“生活中的数学”为主题的知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩(百分制)进行整理、描述和分析(成绩得分用x 表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．)，下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是： 八年级10名学生的竞赛成绩是： (部分数据被污染) 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 七年级 92 93 a 52 八年级 92 b 100 50.4 八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出      ，并补全条形统计图． (2)该校七、八年级参加此次竞赛活动的人数分别为人和人，估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀() 的学生共有多少人? (3)分析上述信息，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“生活中的数学”知识较好?请说明理由(一条即可)． 【作业 7】（25-26九年级上·江苏南京·期末）为了解A，B两款品质相近的无人机在一次充满电后运行的最长时间，分别随 机调查了A，B两款无人机各10架，记录它们运行的最长时间（单位：），并对数据进行整理． (1)填空： 平均数 中位数 众数 方差 A 70 B 72 69 14 (2)根据以上信息，你认为哪款无人机运行时间更有优势？请说明理由． (3)如果A款无人机再实验1次，运行最长时间为，那么A款无人机最长运行时间的方差将 （填“变大”，“变小”或“不变”） 【作业 8】（24-25九年级下·江苏泰州·阶段检测）小红家到学校有两条公共汽车线路，为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周（5个工作日）选择线路，第二周（5个工作日）选择线路，每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间．数据统计如下：（单位：） 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 线路所用时间 15 32 15 16 34 18 21 14 35 20 线路所用时间 21 24 15 21 23 22 24 24 26 20 平均数 中位数 众数 方差 线路所用时间 22 线路所用时间 根据以上信息解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)应用你所学的统计知识，帮助小红分析如何选择乘车线路． 【作业 9】（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段检测）某中学举行“中国梦”校园好声音歌手比赛，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，根据这10人的决赛成绩（满分为100分），制作了下列统计图和数据分析表． 平均数 中位数 众数 方差 初中部 85 85 70 高中部 100 160 根据以上信息，解答下面的问题： (1)______，______； (2)求高中部这5人决赛成绩的平均数的值； (3)分析上述数据，说明哪个代表队的成绩比较稳定？ 【作业 10】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）某校进行环保知识测试．测试成绩分为A，B，C，D四个等级，依次记为10分，9分，8分，7分．学校随机抽取了20名男生和20名女生的成绩进行整理，得到了如下所示的统计图和统计表： 统计量 中位数 众数 男生 a 9 女生 8 b (1)根据以上图表信息，直接写出表中a，b的值：_____，_____； (2)请分别计算被抽查男生与女生的平均成绩； (3)请选用（1）与（2）中的一个统计量说明该校男生成绩与女生成绩哪个更好？ (4)被抽查的20名男生成绩的方差为_____． 【作业 11】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 乙 (1)根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是_________环，乙的平均成绩是_________环； (2)已知甲六次测试成绩的方差，请计算乙六次测试成绩的方差； (3)根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由． 【作业 12】（24-25八年级下·甘肃天水·期末）为了加强安全教育，某校组织七、八年级开展了以“急救安全注意事项”为主题的知识竞赛，为了解竞赛情况，王老师从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩．收集整理数据如表： 分数 70 75 80 85 90 95 100 七年级 2人 3人 2人 4人 5人 3人 1人 八年级 0人 2人 5人 8人 2人 人 1人 分析数据： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 90 八年级 85 85 40 根据以上信息回答下列问题： (1)__________，__________，__________，__________． (2)通过对两个年级学生成绩的平均数和方差的比较，两个年级中哪个年级的学生成绩更稳定？并说明理由． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲·数据的离散程度·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年苏科版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解极差、方差的概念，会计算一组数据的极差与方差 · 理解方差的意义：方差越小数据越稳定，方差越大波动越大 · 会用样本方差估计总体方差，会用方差比较两组数据的稳定性 · 掌握方差的变换规律：数据同加 a 方差不变，同乘 k 方差变为 k² 倍 · 理解离差平方和及其在数据分组中的应用 · 能综合平均数、中位数、众数与方差对实际问题进行分析并作出决策 📚 知识梳理 ☆ 1.极差与方差的概念 极差 = 最大值 - 最小值，反映数据的最大波动范围，计算简单但粗略 方差 s² = (1/n)[(x₁-x̄)² + (x₂-x̄)² + … + (xₙ-x̄)²]，反映数据的整体波动 方差单位是数据单位的平方，比较波动时只比大小 方差公式可记为：s² = (1/n)Σx²ᵢ - x̄²（各数据平方的平均减去平均的平方） 离差平方和 = Σ(xᵢ - x̄)² = n·s²，分组后各小组离差平方和之和 = 总离差平方和 概念辨析例题：数据 -1，0，1，2，7 的极差为（　　） 答案：8 解析：极差 = 最大值 - 最小值 = 7 - (-1) = 8。极差只看两端，不反映中间数据的分布情况。 ☆ 2.方差的计算与变换规律 计算方差三步：求平均 → 求各数据与平均数之差的平方 → 取平均 每个数据加 a：平均数加 a，方差不变（波动不变） 每个数据乘 k：平均数乘 k，方差变为 k² 倍 由新组方差反推原组方差：先看变换，再逆运算（除以 k²） 已知方差公式求具体数值：把公式展开对照数据（如 s² = Σ(xᵢ-2)² 知平均数是 2） 概念辨析例题：数据 a₁, a₂, …, a₅ 的方差为 3，则数据 2a₁+1, 2a₂+1, …, 2a₅+1 的方差为（　　） 答案：12 解析：数据乘 2 加 1：方差变为 2² × 3 = 12，加 1 不改变方差。「加常数不动方差、乘常数平方方差」是处理这类问题的口诀。 ☆ 3.方差与稳定性比较 比较稳定性两步走：先比平均数（水平相同或接近），再比方差（小者稳定） 「最整齐」「最稳定」即找最小方差 折线图判断波动：图象起伏越大方差越大 从统计表读数据后先求平均再求方差，注意数据个数相同 方差相同的两组：平均数大的整体水平高 概念辨析例题：甲、乙、丙、丁四人成绩的平均数都是 96，方差分别为 0.8、2.5、0.8、1.6，则成绩最稳定的是（　　） 答案：甲和丙 解析：平均数相同比方差，甲与丙方差同为 0.8 最小，故甲、丙最稳定。若题目问「最稳定的同学」，两个并列都可答。 ☆ 4.离差平方和及其应用 离差：每个数据与平均数的差 xᵢ - x̄；离差之和恒为 0 离差平方和 = Σ(xᵢ - x̄)²，是方差分子部分；方差 = 离差平方和 ÷ n 数据分两组时：总离差平方和 = 各组离差平方和 + 组间交叉项（初中常考分组后再合并） 「使离差平方和最小」的平均数是最小二乘意义下的代表值 离差平方和比较：平均数相同的一组数据，离差平方和小则更集中 概念辨析例题：数据 13，15，7，9，11 的平均数为 11，则这组数据的离差平方和为（　　） 答案：40 解析：离差分别为 2、4、-4、-2、0，平方和 = 4 + 16 + 16 + 4 + 0 = 40；方差 = 40 ÷ 5 = 8。离差平方和与方差只差一个「除以 n」。 ☆ 5.用方差做决策 决策三步：算平均数比水平 → 算方差比稳定 → 结合实际意义下结论 选人问题：平均分高且方差小者优先；平均分相同看方差 样本估计总体：样本方差估计总体波动（样本容量足够大时） 结论表述：必须指明用了哪个统计量以及实际意义（产量、成绩、用时） 有时「平均数高但方差大」需权衡：追求高分潜力还是稳定发挥，依情境作答 概念辨析例题：甲、乙两车床加工直径 20mm 的零件，样本平均数均为 20，方差 s²甲 = 0.06，s²乙 = 0.15，则（　　） 答案：甲车床更稳定，选甲 解析：平均数相同，甲的方差小，加工精度更稳定，选甲车床。方差决策题的完整表述：①平均数相同；②方差小的波动小；③结合加工精度要求作出选择。 📋 知识总结表 统计量 计算 意义 极差 最大值 - 最小值 最大波动范围 离差平方和 Σ(xᵢ - x̄)² 方差的分子 方差 s² 离差平方和 ÷ n 越小越稳定 数据加 a 均值 +a，方差不变 平移不改变波动 数据乘 k 均值 ×k，方差 ×k² 缩放波动 样本方差 估计总体波动 决策依据 ⚠️ 核心考点 【考点1】方差与极差的计算（第1-12题） · 极差 = 最大 - 最小，数据无序时先找两端 · 方差三步：均值 → 离差平方 → 平均 · 由方差公式反推平均数与数据个数 · 新定义「区间极差」按定义代入函数求最值差 1． 【答案】D 【知识点】求方差 【分析】本题考查方差．根据方差的公式进行分析即可得到答案． 【详解】解：如果把这组数据中的每个数据都扩大为原来的3倍再加上1，那么所得到的一组新数据的方差为， 故选D． 2． 【答案】D 【知识点】求极差 【详解】解：该组数据最大值为，最小值为，极差为. 3． 【答案】C 【知识点】求方差 【详解】解：由题意知，这组数据的平均数为4，样本容量为10．无法确定方差、中位数和众数 4． 【答案】 【知识点】 利用方差求未知数据的值 【分析】本题考查了方差的定义：一般地设个数据，，，，…，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，根据方差公式可以确定这组数据的平均数和数据个数，相乘即可得出答案，解题的关键是熟记方差计算公式，根据公式确定平均数与数据个数． 【详解】解：由，可知这个数据的平均数为， ∴， 故答案为：． 5． 【答案】 【知识点】求极差 【分析】极差是一组数据中最大值与最小值的差，准确找出这组数据的最大值和最小值，再代入定义式计算即可． 【详解】解：在数据，0，1，2，7中，最大值为，最小值为， ∴极差为． 6． 【答案】4 【知识点】求方差 【分析】本题主要考查了方差的定义，方差的计算公式为，其中n表示样本数据的个数，据此可得答案． 【详解】解：由方差公式可得这组数据为2，4，3，5，一共4个数， ∴， 故答案为：4． 7． 【答案】3 【知识点】求方差 【分析】本题主要考查了确定一组数据的方差，理解方差的意义是解题关键． 方差的意义：方差反映的是一组数据的波动大小，方差越大，波动越大．据此即可获得答案． 【详解】解：∵一组数据，，，，的方差为3，数据，，，，与数据，，，，的波动大小一样， ∴数据，，，，的方差是3． 故答案为：3． 8． 【答案】4 【知识点】求一组数据的平均数、求离差平方和 【分析】先分别求出两组的平均数，再计算两组的离差平方和，然后把两组的离差平方和相加． 【详解】解：的组内平均数为，组内离差平方和为； 的组内平均数为，组内离差平方和为； 所以这种分组情况的组内离差平方和为． 9． 【答案】（答案不唯一，其中一个） 【知识点】求极差 【分析】此题考查了极差，分情况讨论，当𝑥是数据中最小的数时，当x是数据中最大的数时，当𝑥是数据中既非最大也非最小的数时，根据极差的定义解答即可．熟知极差的定义是关键． 【详解】解：①当𝑥是数据中最小的数时，，解得； ②当𝑥是数据中最大的数时，解得； ③当𝑥是数据中既非最大也非最小的数时，此时这组数据的极差为也符合题意， ∴此时整数可以是0或1． 故答案为：（其中一个）． 10． 【答案】8 【知识点】频数分布直方图、求极差 【分析】本题考查了频数分布直方图，掌握极差、组距与组数之间的关系是解题的关键．根据频数分布直方图的组数的确定方法，用极差除以组距，然后根据组数比商的整数部分大1确定组数，据此即可求解． 【详解】解：极差为，组距为， ， 则组数是8， 故答案为：8． 11． 【答案】4 【知识点】求离差平方和 【分析】根据组内离差平方和的定义，分别计算两组的离差平方和，再求和得到最终结果． 【详解】解：第一组数据为，，计算本组平均值为， 第一组的离差平方和 第二组数据为，，计算本组平均值， 第二组的离差平方和 ； 总组内离差平方和为：． 12． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、求极差 【分析】本题主要考查了新定义“区间极差”、二次函数的图像与性质等知识，正确解得二次函数在时的最大值与最小值是解题关键． 根据二次函数的性质，确定函数在上的最大值和最小值，令其差为4，解出的范围． 【详解】二次函数化为顶点式为，顶点 ，开口向下，且都在该二次函数的图像上，且两点关于对称轴对称， ①当时，函数在上随增大，也增大， 当时，最小值， 当时，最大值， 区间极差为， 令区间极差等于4，得，即，解得； ②当 时，当时，最大值， 当时，取得最小值， 此时，区间极差为，符合题意 ③当时，当时，最大值， 最小值为， 区间极差为， 令区间极差等于4，得，解得或，均不满足，无解； 综上，当时，区间极差为4． 故答案为：． 【考点2】方差与稳定性比较（第13-24题） · 「最稳定」「最整齐」找最小方差 · 先比平均数再比方差，缺一不可 · 方差变换：加 a 不变、乘 k 变 k² 倍 · 由新组方差逆推原组方差先除 k² 13． 【答案】B 【知识点】折线统计图、判断全面调查与抽样调查、根据方差判断稳定性、事件的分类 【分析】本题考查了随机事件、调查方式、统计图选择及方差的意义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关知识点进行判断即可． 【详解】A：明天下雨的结果不确定，属于随机事件，正确，故该选项不符合题意； B：长江鱼种类调查范围广、个体多，应采用抽样调查，错误，故该选项符合题意； C：折线统计图适用于展示数据变化趋势，描述气温变化合适，正确，故该选项不符合题意； D：方差越小数据越稳定，乙方差更小，更稳定，正确，故该选项不符合题意． 故选：B． 14． 【答案】A 【知识点】 利用方差求未知数据的值 【分析】本题主要考查方差，观察两组数据分布特点，根据方差表示的是数据波动大小求解． 【详解】数据11、13、15、17、19中，相邻两个数相差为2，一组数据1，3，5，7，前4个数据也是相差2，数据波动一致， ∴若或时，两组数据方差相等， 当时1，3，5，7，的数据波动比11、13、15、17、19小，即方差更小， 当或时1，3，5，7，的数据波动比11、13、15、17、19大，即方差更大， 则的值不可能是10． 故选：A． 15． 【答案】D 【知识点】根据方差判断稳定性 【分析】本题主要考查了根据方差判断稳定性，方差是衡量数据波动程度的量，方差越小，成绩越稳定．比较四名选手的方差即可得出结论． 【详解】解：甲、乙、丙、丁四人的方差分别为1.5、2.3、1.8、0.8． 方差越小，表示测试成绩的波动越小，稳定性越高． 其中丁的方差最小，因此成绩最稳定． 故选D． 16． 【答案】乙同学 【知识点】根据方差判断稳定性 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个指标．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 根据方差的意义求解可得． 【详解】解：∵，，，， ∴最小， ∴乙同学成绩最稳定， 故答案为：乙同学． 17． 【答案】小亮 【知识点】折线统计图、运用方差做决策 【分析】本题考查方差与折线统计图，掌握折线统计图的意义是解答本题的关键． 根据折线统计图的波动情况可判断两名同学谁的成绩更加稳定． 【详解】解：由折线统计图可得， 小洋的波动大，小亮的波动小， 小亮的成绩更加稳定， 应选小亮． 故答案为：小亮． 18． 【答案】乙 【知识点】运用方差做决策 【分析】本题考查了方差的意义，两人平均成绩相同，乙方差较小，成绩更稳定，即可求解． 【详解】解：甲和乙的平均成绩相等， ，，， 乙的成绩方差小，更稳定， 因此应选乙同学参赛． 故答案为乙． 19． 【答案】丁 【知识点】根据方差判断稳定性 【分析】本题考查根据方差判断稳定性，方差越小，成绩越稳定，由此可解． 【详解】解：甲、乙、丙、丁成绩的平均数相同，， 成绩最稳定的同学是丁， 故答案为：丁． 20． 【答案】丁 【知识点】根据方差判断稳定性 【分析】此题主要考查了方差，掌握方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，是解题关键． 利用方差是反映一组数据的波动大小的一个量逐项判断即可解答． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴这四名同学跳高成绩最稳定的是丁， 故答案为：丁． 21． 【答案】 【知识点】根据方差判断稳定性、离差平方和的应用 【分析】甲成绩波动更小说明甲的方差更小，两人测试次数相同，平均分相同，因此甲的离差平方和小于乙的离差平方和，结合离差平方和非负，求出整数的取值范围即可求解． 【详解】解：∵两人都进行次测试，平均分相同，甲的成绩波动比乙更小，且方差越小数据波动越小，方差等于离差平方和除以测试次数， ∴甲的离差平方和小于乙的离差平方和， ∴， 解得， ∵离差平方和为非负数， ∴， 解得， ∴的取值范围是 ， ∴整数的最大值为． 22． 【答案】 190 121.5 变小 【知识点】 利用已知的平均数求相关数据的平均数、求方差 【分析】此题考查了平均数和方差，利用平均数和方差的计算方法求新数据的平均数和方差；通过计算加数后的新方差与原方差比较变化． 【详解】∵一组数据，，的平均数是90， ∴ ∴ ∴，，，的平均数是190； ∵一组数据，，的方差是13.5， ∴ ∴ ∴ ∴，，，的方差是121.5， 如果这组数据再加上一个数90， ∴平均数为 ∴ ∴这11个数的方差变小． 故答案为：190，121.5，变小． 23． 【答案】甲 【知识点】求方差、根据方差判断稳定性 【分析】本题主要考查方差，先算出甲、乙送教上门时间的平均数，进而求出方差，方差越小，则接受送教的时间更稳定． 【详解】平均数： ， ， 方差： ， ， ∵， ∴甲学生每周接受送教的时间更稳定， 故答案为：甲． 24． 【答案】D 【知识点】求离差平方和 【详解】解：设200名学生年龄的离差平方和为， 数据个数，方差， ∵ ， ∴ ． 【考点3】离差平方和与数据的分组（第25-36题） · 离差之和恒为 0；离差平方和 = n·方差 · 分组数据：总离差平方和与各组平方和的关系 · 「使离差平方和最小」即为平均数 · 两组平均数相同时，离差平方和小者更集中 25． 【答案】B 【知识点】求离差平方和、离差平方和的应用 【分析】先比较组内离差平方和，再分组即可． 【详解】解：将名同学的引体向上个数从小到大排列为. 比较组内离差平方和：， 最小值对应第一组个、第二组个的分法， 要使组内个数相差较小，需将连续的数分为一组，即分组为和． 26． 【答案】B 【知识点】求一组数据的平均数、求离差平方和 【分析】组内离差平方和为每组数据中各数据与本组均值的差的平方的总和，分别计算两组的离差平方和后再求和． 【详解】解：第一组的平均数为，组内离差平方和为； 第二组的平均数为，组内离差平方和为； ∴总组内离差平方和为． 27． 【答案】B 【知识点】求离差平方和、离差平方和的应用 【分析】本题主要考查了利用离差平方和进行分组，解题的关键是掌握离差平方和的定义． 根据组内离差平方和最小原则，选取间隔，然后根据离差平方和逐项进行验证即可． 【详解】解：根据组内离差平方和最小原则，选取第2个间隔， A. 的平均数为7，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； B. 的平均数为，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； C. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； D. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数是15，离差平方和为， 组内离差平方和为； 根据组内离差平方和最小原则，可知B符合题意，其余均不符合题意， 故选：B． 28． 【答案】D 【知识点】利用平均数做决策、运用方差做决策 【分析】本题主要考查了方差和平均数的应用，先根据方差一定比较平均数，再根据平均数一定比较方差可得答案． 【详解】根据题意可知A，B两名同学的方差相同，B同学的平均数高，可知B同学的成绩好，由C，D两名同学的方差一定，D同学的平均数高，可知D同学的成绩高． 又因为B，D两名同学的平均数一定，D同学的方差小，所以D同学的成绩好且最稳定． 故答案为：D． 29． 【答案】2 【知识点】求离差平方和、离差平方和的应用 【分析】最合理的分组满足总离差平方和最小，只需找到表格中总离差平方和最小对应的间隔序号即可． 【详解】解：∵ 离差平方和总和越小，组内数据越集中，分组越合理， ∴ 比较表格中各组的离差平方和：，，，， 可得最小的总离差平方和为，其对应的分组为第个间隔． 30． 【答案】A 【知识点】总体、个体、样本、样本容量、求一组数据的平均数、求中位数、 利用方差求未知数据的值 【分析】本题考查了方差、样本容量、中位数与众数、平均数，熟练掌握方差公式是解题关键．先根据方差公式可得这组数据为，再根据样本容量的定义、中位数与众数的定义、平均数公式逐项判断即可得． 【详解】解：由方差公式可知，数据3出现了2次，数据4出现了2次，数据2出现了3次， 所以这组数据为． A、样本的容量是，则此项错误； B、样本的中位数是3，则此项正确； C、样本的众数是2，则此项正确； D、样本的平均数是，则此项正确； 故选：A． 31． 【答案】D 【知识点】 利用已知的平均数求相关数据的平均数、求方差 【分析】本题主要考查了算术平均数和方差．根据算术平均数和方差的定义解答即可． 【详解】解：由题意可知，第二组数据，，，，，与第一组数据相比，平均数不变， 设第一组数据的方差为，第二组数据的方差为， 则， ， ， ， 若第一组数据，，，，的平均数为，则第二组数据，，，，，与第一组数据相比平均数不变，方差变小． 故选：D． 32． 【答案】D 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、求众数、求方差 【分析】本题考查了中位数，平均数，众数和方差，根据方差公式可得这一组数据为，，，，，再由中位数，平均数，众数和方差的定义逐项即可求解，熟练掌握相关概念是解题的关键． 【详解】根据方差公式可得这一组数据为，，，，， 、这组数据的中位数是，原选项不符合题意； 、这组数据的平均数是，原选项不符合题意； 、由于出现次数最多，则这组数据的众数是，原选项不符合题意； 、∵这组数据的平均数是， ∴， ∴原选项符合题意； 故选：． 33． 【答案】C 【知识点】利用平均数做决策、运用方差做决策 【分析】首先比较平均数，再比较方差即可得出结论． 【详解】解：从平均分数看：， 从方差看：， 所以丙的平均分数最大（成绩最好），且方差最小（发挥最稳定），因此最合适的学生是丙． 34． 【答案】A 【知识点】根据方差判断稳定性 【分析】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差的意义求解．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【详解】解：方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大， 由图可知，课程成绩的波动大，课程成绩的波动小， ； 故选：A 35． 【答案】C 【知识点】求加权平均数、求中位数、求极差 【分析】本题考查求中位数，极差和平均数，熟练掌握各数的计算方法是解题的关键，求出中位数，极差和平均值，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由题意，中位数为第50块和第51块的亩产量的平均值，由图可知，第50块和第51块的亩产量的范围均在上，故中位数大于或等于，原结论错误，不符合题意； B、100块稻田中亩产量低于的稻田所占比例为；原结论错误，不符合题意； C、最小亩产量在至950之间，最大亩产量在至1200之间，，极差最小为，最大为，原结论正确，符合题意； D、，原结论错误，不符合题意； 故选C 36． 【答案】 【知识点】求一组数据的平均数、求方差 【详解】解：平均数， 各数与平均数的差的平方和为， 方差． 【考点4】统计决策综合（第37-48题） · 决策三步：比平均、比方差、结合实际 · 选人、选车床、选航线都套用此流程 · 结论写明统计量与实际意义 · 样本方差估计总体，注意样本容量 37． 【答案】B 【知识点】运用中位数做决策、运用众数做决策、运用方差做决策 【分析】本题考查了平均数，众数，中位数，方差．关键是运用平均数，众数，中位数，方差的定义，比较各量是否变化．根据平均数，众数，中位数，方差定义，判断四个数据中只改变一个数据，各统计量的是否变化． 【详解】解：一组数据“12，12，28，15，■”，该数据■在之间， 四个数据的和随数据■的变化而变化，所以平均数是变化的，选项A错误． 中位数是15，不变，选项B正确． 数据12出现两次，其余数据均只出现一次，当"■"≠28时众数恒为12；但当"■"=28时，28也出现两次，众数变为12和28，众数并非对所有取值都保持不变，选项C错误． 因为平均数改变，方差随着改变，选项D错误． 故选：B． 38． 【答案】B 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、求众数、求方差 【分析】此题考查了平均数、众数、中位数、方差，熟练掌握各量的求解方法是解题的关键． 分别求出平均数、众数、中位数、方差，即可进行判断． 【详解】解：A．平均数为（分钟），故选项错误，不符合题意； B．在7个数据中，67出现的次数最多，为2次，则众数为67分钟，故选项正确，符合题意； C．7个数据按照从小到大排列为：，中位数是70分钟，故选项错误，不符合题意； D．平均数为， 方差为，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 39． 【答案】D 【知识点】判断全面调查与抽样调查、求方差、事件的分类、列表法或树状图法求概率 【分析】先求出平均数再利用方差公式求出结果判断选项A；灯泡使用寿命的调查具有破坏性即需要抽样性调查，进而判断出选项B；彩票中奖是随机事件来判断选项C；选项D采用画树状图求概率的方法求解判断即可． 【详解】解：A、数据，，0，2的平均数为， 方差为，故选项A错误，不符合题意； B、质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，应当采用抽样调查方式，故选项B错误，不符合题意； C、购买一张福利彩票中奖是一个随机事件，故选项C错误，不符合题意； D、画树状图如图： 共有6种等可能的结果，卡片上的两数之积为正数的结果有2种， 卡片上的两数之积为正数的概率为，故选项D正确，符合题意． 40． 【答案】D 【知识点】求加权平均数、求中位数、求众数、求方差 【分析】本题考查了中位数、众数、方差、平均数的意义和计算方法．通过计算本数为2、3的人数和，判断不影响成绩出现次数最多的结果，因此不影响众数，同时将这组数据按顺序排列，不影响找第15、16位数据，因此不影响中位数的计算，但影响数据的平均数和方差，即可解题． 【详解】解：这组数据中本数为2、3的人数和为：， 则这组数据中出现次数最多的本数为8本，即众数为8，与遮盖的数据无关； 将这组数据按从小到大的顺序排列，第15、16个数据分别为7、7，则中位数为7，与被遮盖的数据无关； 但影响数据的平均数和方差； 故选：D． 41． 【答案】(1)样本平均数为20.0mm，样本方差为 (2)总体平均数为20.0mm，总体方差为 (3)这台车床的生产情况正常 【知识点】用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差）、求方差、根据方差判断稳定性 【分析】本题考查了平均数，方差以及用样本估计总体，解决本题的关键是熟练掌握方差的计算公式. （1）根据平均数和方差的计算公式计算即可. （2）用样本平均数和方差估计总体平均数和方差. （3）根据方差做出判断即可. 【详解】（1）解：样本平均数：（mm）， 样本方差： （）， 即样本平均数为，样本方差为． （2）答：估计总体平均数为，总体方差为． （3）解 ∴这台车床的生产情况正常． 42． 【答案】(1)，； (2) 解：选择甲，甲的成绩呈上升趋势，甲的最好成绩比乙高，甲比乙的高分次数多；选择乙，乙的方差较小，乙的成绩更稳定（答案不唯一，言之有理即可）； (3)变小 【知识点】求中位数、求方差、根据方差判断稳定性、运用方差做决策 【分析】本题考查中位数，方差等知识点，熟练掌握基本公式和知识点是解题关键； （1）先列出甲的所有成绩，然后找到中位数即可；直接利用方差的计算公式直接计算乙的方差即可； （2）可通过成绩的上升趋势或者方差进行选择，言之有理即可； （3）根据方差的公式可知，当每个数与平均数的差值变小时，方差也会减小，即可答题． 【详解】（1）解：甲的成绩从低到高依次为：， 其中位数为：， 乙的所有成绩为：， ∴其方差为： （2）略 （3）解：若将每题1分改为每题0.5分，其余不变，则所有的成绩离平均成绩的差都会减少，故甲这10次成绩的方差将变小． 43． 【答案】甲同学的测试成绩的平均数为个，方差为；乙同学的测试成绩的平均数为个，方差为；甲的成绩比乙稳定 【知识点】求一组数据的平均数、求方差、根据方差判断稳定性 【分析】本题考查了方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均数的离散程度越小，稳定性越好；也考查了平均数，分别计算出两人成绩的平均数、方差并进行判断，即可得出答案． 【详解】解：甲同学的测试成绩的平均数为：个， 方差为， 乙同学的测试成绩的平均数为个， 方差为． 所以甲的成绩比乙稳定． 44． 【答案】(1)； (2)B (3) 这片树叶更可能是荔枝树叶，理由如下： ， 这片树叶更可能是荔枝树叶． 【知识点】利用平均数做决策、求中位数、求众数、根据方差判断稳定性 【分析】本题考查了中位数、众数、方差、平均数： （1）根据数据中的中位数及众数的概念即可求解； （2）①根据方差判断数据稳定性的方法即可求解；②根据平均数、众数、中位数的性质即可求解； （3）求出树叶的长宽比，根据表格中数据对比即可求解； 【详解】（1）解；把10片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为， ∴中位数； ∵这10片荔枝树叶的长宽比中长宽比为出现了四次，出现的次数最多， ∴众数, 故答案为：；； （2）解：， 芒果树叶的形状差别小，故同学说法不合理； 荔枝树叶的长宽比的平均数，中位数是，众数是， 同学说法合理． 故答案为：； （3）略 45． 【答案】(1)6，7，7 (2) 小明可能是甲组的学生，理由如下： ∵甲组的中位数是6分，而小明得了7分， ∴小明在小组中属中游略偏上． (3) 选乙组参加决赛．理由如下： ∵甲、乙两组学生平均数相同， 而， ∴乙组的成绩比较稳定， 故选乙组参加决赛． 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、求众数、运用方差做决策 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数及方差的意义，关键是熟练应用特征数做决策． （1）根据方差、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案； （2）根据中位数的意义即可得出答案； （3）根据平均数与方差的意义即可得出答案． 【详解】（1）解：∵甲组数据重新排列为：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10． ∴中间两个数的平均数是，则中位数； ∵乙组数据重新排列为：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10． ∴， ∵乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多， ∴众数． 故答案为：6，7，7 （2）略 （3）略 46． 【答案】(1)8，8 (2)9 (3)初中，高中学生对“阳光定食校园餐”的总体满意度更高，理由： 初中部打分的方差为0.8，高中部打分的方差为1.8， 从离散程度（方差）看，初中部学生打分更稳定； 故答案为：初中． 高中学生对“阳光定食校园餐”的总体满意度更高，理由如下： 初中部和高中部打分的平均数都是8，但高中部的打分的中位数和众数均高于初中部， 高中学生对“阳光定食校园餐”的总体满意度更高． 【知识点】已知 平均数求未知数据的值、求中位数、求众数、运用方差做决策 【分析】本题考查了求中位数，众数，平均数，方差的意义，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据高中部平均数即可求解； （3）根据方差的意义以及平均数、中位数、众数的意义求解即可． 【详解】（1）解：初中部打分排在中间位置的两个数都是8，则中位数， 打分出现次数最多的是8，则众数， 故答案为：8，8； （2）解：高中部打分的平均分为8分， 则， 即， ； （3）略 47． 【答案】(1)74.5；74；2.6 (2)30 (3)B加工厂 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求方差、根据方差判断稳定性、运用方差做决策 【分析】本题考查了方差、平均数、中位数、众数，熟悉计算公式和意义是解题的关键． （1）根据中位数、方差，众数和平均数的计算公式分别进行解答即可； （2）用总数乘以质量为75克的鸡腿所占的百分比即可； （3）根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案． 【详解】（1）解：把这些数从小到大排列，最中间的数是第5和第6个数的平均数， 则中位数 因为74出现了4次，出现的次数最多， 所以众数b是74克； B的方差是： ∴ （2）解：根据题意得：（个）， 答：质量为75克的鸡腿有30个； （3）解：选B加工厂的鸡腿． A的方差是：；平均数是75 B的方差是：2.6；的平均数是75， ∵平均值一样，B的方差比A的方差小，B更稳定， ∴选B加工厂的鸡腿． 48． 【答案】(1)< (2)1 (3)变小 【知识点】折线统计图、求方差、根据方差判断稳定性 【分析】本题考查了方差，熟练掌握方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键． （1）结合折线统计图，根据方差的意义即可得出结论； （2）根据方差的公式计算即可； （3）先计算乙运动员10次射击训练成绩的方差，再计算乙再射击1次，命中7环后的方差，比较二者的大小即可得出结论． 【详解】（1）解：由折线统计图可知，甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定， 又∵设甲、乙两运动员成绩的方差分别为，， ∴， 故答案为：<； （2）解： ， ∴甲运动员成绩的方差为1； （3）解：乙运动员10次射击训练成绩的方差 ， 如果乙再射击1次，命中7环，那么乙射击成绩的方差为， ∴乙射击成绩的方差将变小． 故答案为：变小． 💯 课后巩固 复习建议 · 极差 = 最大值 - 最小值，粗略反映波动 · 方差三步算：平均 → 离差平方 → 平均；离差之和恒为 0 · 数据加 a 方差不变、乘 k 方差变 k² 倍 · 比稳定性两步走：先平均数后方差，方差小者稳定 · 离差平方和 = n·方差，分组后可拆分计算 【作业1】 【答案】(1)6，5.5 (2)西红柿销量的方差为462.5，黄瓜销量的方差为350 (3)西红柿和黄瓜的销量随着价格的减少而增加 【知识点】折线统计图、求中位数、求方差 【分析】此题考查了条形统计图，折线统计图，中位数，众数以及方差，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． （1）分别根据众数和中位数的定义解答即可； （2）根据方差的公式计算即可； （3）根据统计图数据解答即可． 【详解】（1）由题意得，这四周西红柿销售单价的众数为6，黄瓜销售单价的中位数为：； 故答案为：6，5.5； （2）西红柿销量的平均数， 黄瓜销量的平均数， 西红柿销量的方差， 黄瓜销量的方差； （3）答案不唯一，如：西红柿和黄瓜的销量随着价格的减少而增加． 【作业2】 【答案】(1)5和4 (2)李越宏轮得分的方差为分 【知识点】求众数、求方差 【分析】本题考查了众数，方差，平均数，熟练掌握方差公式是解题的关键． （）根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数求解即可； （）先求得数据的平均数，再利用方差公式求解即可． 【详解】（1）解：李越宏的8轮成绩分别为5分，3分，4分，2分，4分，5分，4分，5分， 其中数据5和4各出现了3次，且出现次数最多， ∴众数为5和4， 故答案为：5和4； （2）解：∵平均得分为：（分）， ∴ （分）， 答：李越宏轮得分的方差为分． 【作业3】 【答案】(1)，， (2) 解：八年级的成绩更好，理由如下： 因为两个年级的平均数相同，但八年级成绩的方差小于七年级的，成绩更稳定，所以八年级的成绩更好； (3)人 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求中位数、求众数、运用方差做决策 【分析】（）根据扇形统计图、中位数和众数的定义解答即可求解； （）根据平均数和方差的意义分析判断即可求解； （）利用样本估计总体的方法解答即可求解； 本题考查了扇形统计图，平均数、中位数、众数和方差，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：由扇形统计图可得，八年级竞赛成绩在组的人数为人， ∴八年级竞赛成绩由低到高排列，第位和第位学生的成绩为，， ∴中位数， ∵七年级名学生竞赛成绩中分出现的人数最多， ∴众数， ∵八年级竞赛成绩组人数人，组人数人， ∴组人数为人， ∴， ∴， 故答案为：，，； （2）略 （3）解：（人）， 答：估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”的总共有人． 【作业4】 【答案】(1)85；86.5 (2) (3) 解：由（1）得，七年级的10个数据为：74，80，80，80，86，87，88，89，93，98， 平均数． 七年级参赛学生成绩的平均数． ∵七年级和八年级的平均成绩相同，且七年级的中位数比八年级的中位数大，所以七年级参赛学生的成绩较好． 【知识点】求中位数、求众数、根据方差判断稳定性、运用方差做决策 【分析】本题考查了求中位数、求众数、求平均数、方差的意义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）找到八年级学生的10个数据中出现次数最多的即为的值，将七年级的10个数据进行排序，第5和第6个数据的平均数即为的值； （2）根据折线统计图得到七年级的数据波动较大，根据方差的意义，即可得出结论； （3）利用平均数和中位数分析即可判断． 【详解】（1）解：由图可得，八年级的10个数据中出现次数最多的是85， ， 将七年级的10个数据进行排序：74，80，80，80，86，87，88，89，93，98， ， 故答案为：85；86.5； （2）解：由图可得，七年级的成绩波动程度较大， 方差越小，数据越稳定， ， 故答案为：； （3）略 【作业5】 【答案】(1)96；95 (2)解：智能导游机器人得分的平均数为（分）， 即； (3)解：智能导游机器人的得分波动性较小．理由如下： 人工导游得分的方差， ∵， ∴智能导游机器人的得分波动性较小． 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、求众数、求方差、根据方差判断稳定性 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解； （2）根据平均数的计算公式求解； （3）先根据方差公式计算出人工导游得分的方差，然后比较两方差的大小，则根据方差的意义进行判断． 【详解】（1）解：∵智能导游机器人得分中96出现了3次，出现次数最多， ∴智能导游机器人得分的众数为96，即； 人工导游得分的中位数为95， 即； （2）略 （3）略 【作业6】 【答案】(1)， (2)人； (3)八年级成绩较好，虽然七、八年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，因此八年级的成绩较好．（答案不唯一） 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、画条形统计图、求众数、运用方差做决策 【分析】本题考查了中位数，众数，用样本估计总体，掌握计算方法是解题关键． （1）找出七年级成绩出现次数最多的数即为七年级成绩的众数，找出八年级成绩处在中间位置的两个数的平均数即为中位数，根据各个组的频数之和为10，可求出的八年级B组的人数，补全统计图即可； （3）根据样本中七、八年级成绩的优秀率，估计总体的优秀率，进而计算七、八年级的优秀的人数即可． （3）从中位数、众数的角度得出八年级的成绩较好； 【详解】（1）解：七年级10名学生的竞赛成绩中出现次数最多的是99，共出现3次， 故众数为99，即， 八年级B组的人数为， 八年级10名学生的竞赛成绩的中位数应该是从小大大排列后的第5个和第6个学生竞赛成绩的平均数，即处在C组：，由题意可知，C组共三个数据，分别是， ∴中位数是， 即， 补全统计图如下： 故答案为：， （2）由题意可得，（人） 答：估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀() 的学生共有人； （3）八年级成绩较好，虽然七、八年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，因此八年级的成绩较好． 【作业7】 【答案】(1)72；；71； (2) B款无人机运行时间更有优势， 款无人机运行时间的平均时间大于A款无人机， 款无人机运行时间更有优势（答案不唯一，合理均可）． (3)变小 【知识点】求中位数、求众数、求方差 【分析】题目主要考查统计量的计算，熟练掌握计算方法是解题关键． （1）根据众数、方差、中位数的计算方法求解即可； （2）运用平均数或其他统计量进行比较即可； （3）根据方差的计算方法判断即可． 【详解】（1）解：A组数据为66、72、64、70、72、69、80、67、72、68， 72出现的次数最多，故众数为72； 方差为， B组数据为68、69、69、69、70、72、72、74、77、80， 所以其中位数为， 故答案为：72；；71；． （2）略 （3）变小 ，理由如下： 新增数据70与A款无人机的平均数相等，加入后会减小数据的方差． 【作业8】 【答案】(1)，， (2) 选择线路，理由：根据表格可知：两条线路用时的平均数相同，但是B线路用时的方差小，波动就小，时间可控，故选择B线路． 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、求众数、运用方差做决策 【分析】本题考查求平均数，中位数和众数，方差，以及根据统计量做决策等知识，掌握统计量的求法是解题的关键． （1）根据中位数定义将线路所用时间按从小到大的顺序排列，求中间两个数的平均数即为线路所用时间的中位数，利用平均数的定义求出线路所用时间的平均数，找出线路所用时间中出现次数最多的数据即为线路所用时间的众数，从而得解； （2）根据平均数和方差的大小，得出结论进而提出建议即可． 【详解】（1）解：将线路所用时间按从小到大顺序排列得：，，，，，，，，，，中间两个数是，， ∴线路所用时间的中位数为：， 由题意可知线路所用时间得平均数为： ， ∵线路所用时间中，出现次数最多的数据是， ∴线路所用时间的众数为：， 故答案为：，，． （2）略 【作业9】 【答案】(1) (2)85 (3)初中部 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、求众数、根据方差判断稳定性 【分析】（1）根据中位数、众数的定义求解； （2）拿5人的总成绩除以个数即可求解； （3）通过比较方差确定． 【详解】（1）解：将高中代表队的成绩由低到高排列70，75，80，100，100， ∴中位数为80， ∵初中代表队85分的有2个选手，出现次数最多，所以众数是85． 故答案为：； （2）解：， ∴高中部这5人决赛成绩的平均数的值为85； （3）解：∵初中部代表队的方差70小于高中部代表队的方差160， ∴初中部代表队的成绩比较稳定． 【点睛】本题考查了方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好也考查了平均数、中位数和众数． 【作业10】 【答案】(1)8.5，8 (2)8.4；8.2 (3) 男生的成绩较好，理由如下： 男生的成绩的平均数比女生高，中位数，众数都比女生高， 所以男生的成绩较好． (4) 【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、求中位数、求众数、求方差 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图信息关联，求众数，中位数，平均数，方差等知识点，正确读懂统计图是解题的关键． （1）根据众数和中位数的定义解答； （2）根据平均数的定义解答即可； （3）通过分析中位数、众数、平均数，比较可得答案． （4）根据方差的计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由扇形统计图可得，男生的成绩从小到大排列排在中间的两个数是8，9，所以男生成绩的中位数是； 由条形统计图可得，女生成绩的众数是8． 故答案为：8.5，8； （2）解：被抽查的男生的平均成绩是； 被抽查的女生的平均成绩是； （3）略 （4）解：方差为< 故答案为：． 【作业11】 【答案】(1)； (2) (3)解：推荐甲． 理由：∵两人平均成绩相同，且甲的方差小于乙的方差， ∴甲成绩更稳定， ∴推荐甲参加全国比赛更合适． 【知识点】求一组数据的平均数、求方差、根据方差判断稳定性、运用方差做决策 【分析】（1）根据平均数的计算方法求解即可； （2）由（1）结果及方差公式计算即可； （3）根据方差进行分析即可． 【详解】（1）解：甲的平均成绩是：（环）， 乙的平均成绩是：（环）； （2）解：； （3）略． 【作业12】 【答案】(1)2；85；85；85 (2)解：八年级的学生成绩更稳定，理由如下： ∵七年级的平均数为85，八年级的平均数为85，七年级方差为，八年级方差为， ∴两个年级的学生成绩平均数相同，而八年级的学生成绩的方差更小，根据方差越小，数据波动程度越小，成绩越稳定，因此八年级学生成绩更稳定． 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、求众数、根据方差判断稳定性 【分析】先依据总人数求出的值，再利用加权平均数公式计算七年级平均分，排序取中间两数平均值得到中位数，统计出现频次最高分数得到八年级众数；对比两组方差数值大小判断成绩稳定性． 【详解】（1）解：∵抽取八年级一共20人， ∴， ∴． 七年级平均数， 将七年级20名成绩从小到大排列，中位数为第10、11个数的平均数， ∵，， ∴第10、11个数均为85， ∴中位数， 八年级得分85分的有人，人数最多，故众数． （2）略 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $