专题 4.5 数据的集中趋势与离散程度全章复习讲义【知识梳理+题型精析+中考链接】- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题4.5 数据的集中趋势与离散程度 全章复习讲义【知识梳理+题型精析+同步检测】 ——2026-2027学年苏科版九年级数学上册 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】平均数 1 【知识点二】中位数和四分位数 2 【知识点三】众数 2 【知识点四】离差平方和、方差和标准差 2 【知识点五】数据的分析与决策 3 二.基础题型精析 4 【题型1】平均数的计算与应用 4 【题型2】中位数、众数的计算与应用 5 【题型3】四分位线计算与画箱线图 7 【题型4】离差平方和与方差的计算与应用 11 【题型5】统计量的综合应用与决策 13 四.综合培优题型精析 16 【题型1】加权平均数的综合应用 16 【题型2】统计量的选择与综合分析 19 【题型3】实际问题中的数据分析与决策 22 五.同步检测 26 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 26 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 32 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 35 一.知识梳理与解读 【知识点一】平均数 1. 算术平均数 一般地，对于，我们把 叫作这个数据的算术平均数，简称平均数，记作，读作“x拔”。 2. 加权平均数 若出现次，出现次，…，出现次（其中），则这组数据的平均数为 这个平均数叫作加权平均数，其中f₁, f₂, …, fₖ叫作权。权越大，对应的数据对平均数的影响越大。 【要点提示】平均数反映的是一组数据的“平均水平”，是最常用的描述数据集中趋势的统计量，但容易受极端数据的影响。当数据中有极端值时，平均数可能不能很好地代表数据的一般水平。 【知识点二】中位数和四分位数 1. 中位数 将一组数据按大小顺序排列，如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数叫作这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，那么中间两个数据的平均数叫作这组数据的中位数。 【要点提示】中位数的优点是不受极端数据的影响。当一组数据中有极端数据时，用中位数描述数据的集中趋势比平均数更合理。中位数只有一个。 2. 四分位数 将一组数据按大小顺序排列，把数据分成四等份的三个分割点对应的数值，分别叫作第一四分位数（下四分位数）、第二四分位数（即中位数）、第三四分位数（上四分位数）。 四分位数可以将数据按百分位分组，反映数据的分布情况。箱线图是展示四分位数的直观工具，它由最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数和最大值五个统计量组成。 【要点提示】箱线图可以直观地反映数据的分布范围、集中趋势和离散程度。箱体越短，说明中间50%的数据越集中； whisker（须）越长，说明数据的分布范围越广。 【知识点三】众数 一组数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数。 【要点提示】众数反映的是一组数据中出现最频繁的数值，不受极端数据的影响。一组数据的众数可能不止一个，也可能没有众数（当每个数据出现的次数都相同时）。众数在描述“最受欢迎”“最常见”等场景时特别有用。 【知识点四】离差平方和、方差和标准差 1. 离差平方和 将一组数据中各数据与平均数的差的平方和称为离差平方和。设的平均数为，则这组数据的离差平方和为： 【要点提示】离差平方和反映的是一组数据与其平均数之间的总的偏差程度。离差平方和越大，说明数据偏离平均数的总程度越大。但离差平方和受数据个数的影响，当两组数据的个数不同时，不能直接用离差平方和比较离散程度，需要用方差（离差平方和的平均数）来比较。 2. 方差 各数据与平均数的差的平方的平均数叫作这组数据的方差，记作。即 方差是离差平方和的平均数，即。方差消除了数据个数对离散程度比较的影响。 3. 标准差 方差的算术平方根叫作这组数据的标准差，即 【要点提示】离差平方和、方差和标准差都是刻画数据离散程度的统计量。离差平方和是基础，方差是离差平方和的平均数（消除数据个数影响），标准差是方差的算术平方根（单位与原数据一致）。方差（标准差）越大，说明数据的离散程度越大，数据越不稳定；方差（标准差）越小，说明数据越集中、越稳定。 【知识点五】数据的分析与决策 在实际问题中，我们常常需要综合运用平均数、中位数、众数、方差、标准差等统计量来分析数据，并做出合理的决策。 （1）比较数据的集中趋势：用平均数、中位数、众数； （2）比较数据的离散程度：用方差、标准差、箱线图； （3）综合决策：结合集中趋势和离散程度，根据实际问题的需要选择合适的统计量进行分析。 【要点提示】用统计方法解决实际问题时，要关注数据的真实性和抽样的合理性，选择合适的统计量描述数据。不同的统计量从不同角度描述数据，要根据问题的实际需要选择使用。平均数和方差配合使用，可以同时反映数据的集中趋势与离散程度。 二.基础题型精析 【题型1】平均数的计算与应用 【例题1】（25-26八年级下·陕西西安·期末）某次演讲比赛中，评委从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，各项成绩均为百分制，然后按演讲内容占、演讲能力占、演讲效果占计算选手的综合成绩．已知选手小明的演讲内容成绩为分，演讲能力与演讲效果成绩均为分，求小明的综合成绩． 【答案】小明的综合成绩为分． 【分析】本题考查加权平均数的计算，根据各项成绩及其权重，使用加权平均数公式求解． 解： （分） 答：小明的综合成绩为分． 【变式1】（25-26八年级下·广西玉林·期末）样本数据1，9，13，17，20的平均数是（     ） A．8 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【分析】根据算术平均数的定义，用所有数据的和除以数据总个数即可得到结果． 解：平均数是． 【变式2】（26-27九年级上·湖南衡阳·开学考试）2026年4月，湖南省首届版画展中，某参展的作品在“视觉吸引”、“启发思考”、“社会责任”三方面的具体评比成绩（百分制：分）如表所示： 视觉吸引 启发思考 社会责任 90 80 70 如果按照“视觉吸引”占，“启发思考”占，“社会责任”占计算总成绩，那么该作品得分是______分． 【答案】81 解：由题意，该作品得分是（分）． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）在一次英语口试中，已知50分1人、60分2人、70分5人、90分5人、100分1人，其余为85分，已知该班平均成绩为80分，问该班有多少人？ 【答案】24 【分析】设该班有x人，然后根据平均数的计算公式进行计算即可． 解：设该班有x人， 由题意得：， 解得， 经检验是原方程的解， ∴该班有24人． 答：该班有24人． 【点拨】本题主要考查了平均数的计算方法和分式方程，解题的关键在于能够熟练掌握平均数的计算方法． 【解题归纳】求加权平均数时，要先求出数据总和与总次数（总权重），再用总和除以总次数。本题中上午和下午的运送次数不同，属于加权平均数的应用。 【题型2】中位数、众数的计算与应用 【例题2】（26-27八年级下·全国·课后作业）甲、乙两组同学的跳绳成绩 （单位：次/min）如下： 甲组 182 194 143 185 156 乙组 199 148 242 170 141 王芳在记录乙组同学的跳绳成绩时，把242错记成了224，此时乙组跳绳成绩的平均数和中位数是否都受影响？请你解释其中的原因． 【答案】乙组跳绳成绩的平均数和中位数不是都受影响，其中平均数受影响，中位数不受影响， ∵乙组原始成绩（单位：次）从小到大排列为：141，148，170，199，242， ∴原始平均数为 ， 原始中位数为排序后第3个数据，即170， ∵错记242为224后，成绩从小到大排列为：141，148，170，199，224， ∴错记后的平均数为 ， 错记后的中位数为排序后第3个数据，即170， ∵，， ∴记录错误影响平均数，不影响中位数． 【分析】分别计算乙组原始成绩与错记成绩的平均数和中位数，对比判断二者是否受记录错误影响． 解：略 【变式1】（2026·山东临沂·模拟预测）表中是某一天云南省8个市的气温预报，则这8个市的最高温度的众数与最低温度的中位数分别是（     ） 城市 昆明 玉溪 丽江 普洱 保山 曲靖 昭通 临沧 温度 A．， B．， C．， D．， 【答案】C 解：8个市的最高温度依次为． ∵出现的次数最多， ∴最高温度的众数为． 8个市的最低温度依次为， 将最低温度从小到大排序为， ∵共有个数据，中位数为中间两个数据的平均数， ∴最低温度的中位数为． 【变式2】（25-26八年级下·吉林·期末）某公司10名员工的月工资（单位：元）数据如下：．则这10名员工月工资的中位数是_______________元，众数是_______________元． 【答案】 4900 4500，4800，5200 解：个数据已排序，中位数是第5和第6个数的平均数， 中位数． 众数：4500、4800、5200均出现2次，故众数为4500、4800、5200． 【变式3】（25-26八年级上·河北保定·阶段检测）为推动学习贯彻新时代中国特色社会主义思想的主题教育走深走实，见行见效，八年级（一）班、（二）班各选出5名代表进行主题教育知识竞赛，两班代表的成绩（单位：分）如下表所示： （一）班 80 85 100 75 85 （二）班 90 79 85 90 81 （1）根据两班代表的成绩将下表补充完整． 班级 平均数 中位数 众数 （一）班 85 85 （二）班 85 （2）请结合平均数，中位数，众数等统计量进行分析，你认为哪个班级的成绩更好？并简述理由． 【答案】（1），，；（2）平均数角度：（一）班代表的成绩和（二）班代表的成绩的平均数相等； 中位数角度：（一）班代表的成绩和（二）班代表的成绩的中位数相等； 众数角度：（二）班代表的成绩的众数比（一）班代表的成绩的众数高， 总体上看，（二）班代表的成绩比（一）班代表的成绩好． 【分析】本题考查了中位数、众数以及算术平均数，明确题意，掌握相关统计量的意义是解答本题的关键． （1）根据中位数，平均数，众数的相关概念，由表格中的数据分别计算，得到答案． （2）利用中位数，平均数，众数的意义，比较（一）班和（二）班的成绩，得到答案． （1）解：根据题意，由表中的数据得： 将（一）班代表的成绩从小到大排列为： 、、、、，故中位数为：； 由表中数据得（二）班代表的成绩的平均数为： ； 由表中数据得（二）班代表的成绩的众数为：； 故答案为：，，． （2）略． 【解题归纳】求中位数时，必须先将数据按大小顺序排列。当数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均数。众数是出现次数最多的数据，一组数据可能有多个众数，也可能没有众数。 【题型3】四分位线计算与画箱线图 【例题3】（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）学校的“数据实践社”数学兴趣小组为比较甲地和乙地2025年2月份的日均气温，收集了两地该月每天的平均气温，制作了如下统计图（不完整），其中甲地每天平均气温依次如下：（单位：） 根据以上信息回答下列问题： （1）甲地2月日均气温的中位数为___________； （2）请在表示甲地“2月每天平均气温”的箱线图中画出该地中位数所对应的横线； （3）结合箱线图，请从数据的集中趋势或离散程度分析这个月甲、乙两地气温的特点． 【答案】（1）5；（2）如图所示，即为所求； （3） 由题意得，甲地这28天的日均气温有接近一半的天数的气温不高于，乙地这28天的日均气温有接近一半的天数的气温不高于． 【分析】本题主要考查了求中位数，箱线图，熟知中位数和箱线图的知识是解题的关键． （1）根据中位数的定义求解即可； （2）根据（1）所求结合箱线图的知识作图即可； （3）根据箱线图结合题意言之有理即可． （1）解：∵2025年2月一共有28天， ∴将甲地这28天的日均气温按照从低到高的顺序排列，第14名和第15名的气温的平均数为甲地2月日均气温的中位数，即为； （2）略 （3）略 【变式1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）某中学随机抽取名八年级学生开展一分钟跳绳体能测试，统计每位学生的跳绳次数后，整理数据并绘制成如图所示的箱线图，则这名学生一分钟跳绳次数的上四分位数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：由箱线图可知：这名学生一分钟跳绳次数的上四分位数是． 【变式2】（25-26八年级下·贵州安顺·期末）我市2026年五月份某8天的空气质量指数分别为23，27，36，18，22，26，28，27，则这组数据的第三四分位数是_______． 【答案】27.5 【分析】先将数据从小到大排序，根据第三四分位数的计算规则确定位置，再计算最终结果． 解：方法一：将这组数据从小到大排列为：，，，，，，，． 第三四分位数的位置：，位置为整数， ∴第三四分位数是排列后第个数与第个数的平均数． 计算得． 方法二：先将这8个数据从小到大排序：18，22，23，26，27，27，28，36。 前是前4个数，后是后4个数：27，27，28，36， 取后一半数据的中位数，也就是后4个数的中位数为， 结果为27.5． 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·期末）某校为了解八年级学生的身体健康情况，现从中随机抽取部分学生进行体育测试，并将成绩统计如图所示．请根据图表中所提供的信息，解答下列问题： 八年级学生体育测试成绩 体育成绩（分） 人数（人） 百分比（%） （1）本次测试抽取的总人数为______人；______； （2）本次测试成绩的中位数为______分，并在如图的箱线图中画出该中位数对应的线段； （3）已知该校八年级共有名学生，如果体育成绩达分以上（含分）为身体健康，请估计该校八年级学生身体健康的总人数． 【答案】（1），；（2）如图所示： （3）约人 【分析】本题考查了频数与频率、中位数以及用样本估计总体的统计知识，熟练掌握相关概念和计算方法是解答本题的关键． （1）利用已知频数和对应百分比，通过除法求出抽取的总人数，再根据总人数和指定百分比计算对应频数； （2）将所有成绩按顺序排列后，根据数据个数确定中位数的位置，进而求出中位数； （3）先计算样本中体育成绩达分以上（含分）的人数所占比例，再用该比例乘以八年级总人数，估计身体健康的总人数． （1）解：本次测试抽取的总人数为：（人）， ； （2）解：把人的成绩从小到大排列，排在中间的两个数为分和分，故本次测试成绩的中位数为：（分）， （3）解：（人）， 答：估计该校八年级学生身体健康的总人数约人． 【题型4】离差平方和与方差的计算与应用 【例题4】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）北京时间8月5日分，巴黎奥运射击男子25米手枪速射决赛正式开始，中国选手李越宏40枪得到32分，领先第二名7分，拿到金牌，在连续两届奥运会获得铜牌后，终于圆梦，这也是中国射击本届奥运会的第五枚金牌，也是中国代表团的第20枚金牌，比赛分为8轮，每轮5枪，9.7环以上视为命中，命中1枪得1分．李越宏的8轮成绩分别为5分，3分，4分，2分，4分，5分，4分，5分 （1）李越宏的8轮成绩的众数为 ； （2）求李越宏8轮得分的方差． 【答案】（1）5和4；（2）李越宏轮得分的方差为分 【分析】本题考查了众数，方差，平均数，熟练掌握方差公式是解题的关键． （）根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数求解即可； （）先求得数据的平均数，再利用方差公式求解即可． （1）解：李越宏的8轮成绩分别为5分，3分，4分，2分，4分，5分，4分，5分， 其中数据5和4各出现了3次，且出现次数最多， ∴众数为5和4， 故答案为：5和4； （2）解：∵平均得分为：（分）， ∴ （分）， 答：李越宏轮得分的方差为分． 【变式1】（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）把数据2，4，6，9，10分成与两组，则组内离差平方和是（     ） A．8.2 B．8.5 C．8.7 D．8.8 【答案】B 【分析】组内离差平方和为每组数据中各数据与本组均值的差的平方的总和，分别计算两组的离差平方和后再求和． 解：第一组的平均数为，组内离差平方和为； 第二组的平均数为，组内离差平方和为； ∴总组内离差平方和为． 【变式2】（25-26八年级下·云南临沧·期末）一组数据3，4，5，6，7的方差为__________． 【答案】2 【分析】先求出这组数据的平均数，再代入方差公式计算方差． 解：计算这组数据的平均数： ， 代入方差公式计算得：， 即这组数据的方差为2． 【变式3】（25-26八年级下·陕西延安·期末）有五名学生某次英语口语测试的成绩（单位：分）分别为：，，，，，将他们按本次测试的成绩分成一个两人组和一个三人组展开小组学习，按照组内离差平方和最小的原则，初步筛选了两种分法．分法一：和，分法二：和．已知分法二的组内离差平方和为，请计算并说明应该选用哪种分法． 【答案】应该选用分法一． 【分析】先求出分法一中组内离差平方和，然后比较大小即可． 解：分法一中，这一组的平均数为（分）， ∴这一组的离差平方和为， 这一组的平均数为（分）， ∴这一组的离差平方和为， ∴分法一的组内离差平方和为， ∵， ∴应该选用分法一． 【解题归纳】求方差的步骤：①求平均数；②求各数据与平均数的差；③求差的平方；④求平方的平均数。标准差是方差的算术平方根。当数据为等差数列时，方差有简便计算方法。 【题型5】统计量的综合应用与决策 【例题5】（25-26八年级下·山西吕梁·期末）从2024年开始，山西省将八年级信息技术考试成绩计入中考总分．根据山西省招生考试管理中心公布的复习题（满分15分），某校组织了一次适应性考试，“腾飞小组”和“希望小组”的同学的成绩如下：（每组10名学生，单位：分）． 腾飞小组 15 15 14 12 15 13 14 15 12 15 希望小组 14 13 15 14 13 15 12 15 15 14 （1）腾飞小组成绩的中位数是_____分，希望小组成绩的众数是_____分； （2）计算希望小组的平均成绩； （3）已知小宇所在小组成绩的中位数比另一个小组成绩的中位数小，则小宇所在的小组是______． 【答案】（1），15；（2）14分；（3）希望小组 【分析】本题主要考查了中位数，众数，平均数，解题的关键是熟练掌握以上定义和公式． （1）利用中位数和众数定义进行求解即可； （2）利用平均数的公式进行求解即可； （3）求出希望小组的中位数对比即可． （1）解：腾飞小组成绩的中位数取排序后的第5位和第6位的平均数， ∴中位数为（分）， 希望小组成绩的众数是15， 故答案为：，15； （2）解：希望小组的平均成绩为：（分）； （3）解：希望小组成绩中位数取排序后的第5位和第6位的平均数， ∴中位数为（分）， ， ∴小宇所在的小组是希望小组． 故答案为：希望小组． 【变式1】（25-26八年级下·云南曲靖·期末）某公司招聘职员，对甲、乙两名应聘者进行了笔试和面试，笔试成绩分别为85分、90分，面试成绩分别为92分、88分．若按笔试成绩占、面试成绩占计算综合成绩，则（     ） A．甲的综合成绩更高 B．乙的综合成绩更高 C．甲、乙综合成绩相同 D．无法确定 【答案】A 【分析】分别求出两人的综合成绩，再比较大小即可． 解：甲的综合成绩为分， 乙的综合成绩为分， ∵， ∴甲的综合成绩更高． 【变式2】（25-26八年级下·福建泉州·期末）某校篮球队对名队员进行定点投篮测试，每人投篮次，统计如下表：若教练希望选出“命中数高且发挥稳定”的队员，应选择________． 队员 甲 乙 丙 丁 平均命中数 15 16 16 14 方差 【答案】丙 【分析】需要选出同时满足命中数高和发挥稳定的队员，先筛选平均命中数较高的队员，再比较对应队员的方差，方差越小发挥越稳定，据此得到结果． 解：从表格可知，四名队员的平均命中数分别为，，，，可得乙和丙的平均命中数高于甲和丁，满足命中数高的要求， 比较乙和丙的方差，乙的方差为，丙的方差为，可得，根据方差的意义，方差越小，数据波动越小，发挥越稳定， 丙满足发挥稳定的要求， 综上，“命中数高且发挥稳定”的队员应选择丙． 【变式3】（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）在学校组织的汉字听写大赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为90分，80分，70分，60分，学校将八年级（1）班和（2）班的成绩整理并绘制成如图所示的统计图： （1）根据图中提供的数据列出如下统计表： 班级 平均数 中位数 众数 方差 八（1）班 80 b 八（2）班 a 90 则______，______． （2）此次大赛中八（2）班成绩在70分以上（含70分）的人数是多少？ （3）八（1）班的同学认为他们班的成绩更好，你能写出一条支持该班同学的理由吗？ 【答案】（1）70，80；（2）21人；（3）①平均数相同的情况下，八班中位数大，故八班的成绩更好一些． ②八班的方差小，成绩稳定． 【分析】本题主要考查中位数、众数和方差，解题的关键是掌握众数的定义、中位数和方差的意义． 对于，根据中位数的定义和众数的概念求解可得； 对于，用班级总人数乘以成绩在70分以上含70分的人数所占百分比即可得； 对于，从中位数和方差的角度求解可得答案． （1）解：∵八班A、B等级的百分比之和为， 而A、B、C等级所占百分比之和， 八班成绩的中位数在C组， 八班成绩的中位数， 八班的众数； 故答案为：70，80； （2）解：每班参加比赛的人数为：（人），（人）， 答：此次大赛中八班成绩在70分以上含（70分）的人数是21人； （3）略 【解题归纳】在实际决策中，要综合考虑平均数和方差：平均数反映整体水平，方差反映稳定性。当两个统计量的结论一致时，决策比较明确；当结论不一致时，要根据实际问题的侧重点（更看重水平还是稳定性）做出选择。 四.综合培优题型精析 【题型1】加权平均数的综合应用 【例题1】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）某校举办了创意编程挑战赛，只有甲、乙两位同学进入最终决赛．决赛对创意设计、代码实现、答辩展示三项进行评分（每项满分均为10分），甲、乙两位同学的各项得分如下： 同学 创意设计/分 代码实现/分 答辩展示/分 甲 8 8 9 乙 8 9 8 如果将创意设计、代码实现、答辩展示三项成绩按照的比例计算个人最终决赛成绩，请通过计算说明哪位同学会获得第一名． 【答案】解：甲同学的最终决赛成绩为（分）， 乙同学的最终决赛成绩为（分）． ， 甲同学会获得第一名． 【分析】用对应项目的得分乘以其对应权重得到各项目加权得分，求和后再除以权重总和得到两人的综合成绩，比较综合成绩即可得到结论． 解：略 【变式1】（2026·河南·二模）在一次射击训练中，某小组的成绩如下表．已知该小组的平均成绩为7.9环，那么成绩为8环的人数为（    ） 环数 7 8 9 人数 2 1 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】设成绩为8环的有x人，根据平均数的定义可得关于x的方程，解方程即得答案． 解：设成绩为8环的有x人，根据题意得： ，解得：x=7， 经检验：x=7是上述方程的解． 故选：C． 【点拨】本题考查了平均数的定义和解分式方程，属于基础题型，熟练掌握平均数的概念是关键． 【变式2】（25-26八年级下·福建厦门·期末）八（1）班若干名学生1分钟跳绳次数的频数分布直方图如图所示，则这若干名学生平均1分钟跳绳的次数是________． 【答案】 【分析】从频数分布直方图中读出各组的频数，取各组的组中值作为该组数据的代表值，利用加权平均数公式进行计算． 解：由图可知，各组的组中值分别为：，，，， 对应的频数分别为，，，， ∴这若干名学生平均分钟跳绳的次数是：． 【变式3】（25-26八年级下·吉林·期末）某校八年级学生开展数学竞赛活动，教研人员随机抽取名参赛学生的竞赛成绩（单位：分）做抽样统计，分数区间与对应频数如下表（竞赛卷面满分分，分组区间左闭右开）： 分数区间 分 分 分 分 频数 4 8 15 13 （1）求抽取的这名学生竞赛成绩的平均数； （2）竞赛划定评判标准：分数不低于分判定为成绩优秀，依据本次抽样结果，估算本校八年级全体名参赛学生里，成绩达到优秀等次的大约有多少人？ 【答案】（1）抽取的这名学生竞赛成绩的平均数为分；（2）八年级名学生中成绩优秀的预估为人 【分析】（1）先确定每组对应的组中值，再依据加权平均数公式求解即可； （2）先得到样本中成绩达到优秀等次的频率，再乘以八年级总人数即可求解． （1）解：每组对应的组中值分别为：组中值，组中值，组中值，组中值 ， 则， ， ， （分）； 答：抽取的这名学生竞赛成绩的平均数为分； （2）解：抽样里优秀样本频数为，样本优秀频率：， ∴总体预估优秀人数：（人）． 答：八年级名学生中成绩优秀的预估为人． 【解题归纳】加权平均数的关键是确定各数据的“权”。权可以是次数、比例、百分比等。在实际问题中，不同的权重分配会影响最终的加权平均数，要根据问题的实际意义正确确定权重。 【题型2】统计量的选择与综合分析 【例题2】（26-27九年级上·浙江绍兴·开学考试）某校八年级（1）班开展了“双减”政策下学生每周课外阅读时间调查，随机抽取了10名同学，统计他们一周内课外阅读的总时长（单位：小时）如下： 4，6，5，8，4，7，6，5，9，6 （1）求这组数据的平均数、中位数和众数． （2）若该班共有40名学生，请估计全班一周课外阅读总时长超过6小时的人数． （3）从稳定性的角度判断：若增加一名阅读时间为7小时的同学，新数据的方差与原来相比是变大还是变小？请说明理由． 【答案】（1）平均数为小时，中位数为小时，众数为小时；（2）估计全班一周课外阅读总时长超过小时的人数为人；（3）新数据的方差与原来相比变小，理由如下： 将原数据从小到大排列为4，4，5，5，6，6，6，7，8，9， 原数据的平均数为， 原数据的方差为， 加入个阅读时间为小时的数据后，新数据的平均数为， 新数据的方差为：， ， 新数据的方差变小． 【分析】本题考查了平均数、中位数、方差和众数的定义，利用样本估计总体等知识． （1）根据平均数、中位数和众数的定义求解即可； （2）先求出样本中一周课外阅读总时长超过6小时的人数的占比，再乘以全班人数即可求解； （3）分别求出前后两组的数的方差，再比较即可求解． （1）解：将数据从小到大排列为4，4，5，5，6，6，6，7，8，9， 数据的平均数为：（小时），中位数为：（小时）， 该组数据中6出现的次数最多，所以众数为6小时； （2）样本中一周课外阅读总时长超过6小时的人数为3人， 即：（人）， 则估计全班一周课外阅读总时长超过小时的人数为人； （3）详解见答案 【变式1】（2026·河北石家庄·模拟预测）某企业1－6月份利润的变化情况如图所示，以下说法与图中反映的信息相符的是（     ） A．1－6月份利润的众数是130万元 B．1－6月份利润的中位数是120万元 C．1－6月份利润的平均数是130万元 D．1－6月份利润的最大值与最小值的差是40万元 【答案】D 【分析】首先根据统计图得到月份的利润分别为：110万元，120万元，120万元，130万元，140万元，150万元，再根据中位数，众数，平均数，极差逐一分析选项即可． 解：选项A：众数是一组数据中出现次数最多的数，这里120万元出现2次，次数最多，因此众数是120万元，A错误，不符合题意； 选项B：将数据从小到大排列后，6个数据的中位数为第3、4个数的平均数：万元，B错误，不符合题意； 选项C：平均数为万元，不是130万元，C错误，不符合题意； 选项D：利润最大值是150万元，最小值是110万元，差为万元，D正确． 【变式2】（25-26八年级下·北京·期末）A组数据为，，…，，B组数据为，，…，．分别计算这两组数据的统计量：①平均数、②中位数、③众数、④离差平方和、⑤方差、⑥下四分位数，A组和B组结果一样的统计量序号为________． 【答案】④⑤ 【分析】本题考查数据同时加上同一个常数后各统计量的变化规律，位置统计量（平均数，中位数，众数，分位数）会随数据增加同一个常数，衡量离散程度的离差平方和与方差不受常数平移影响，由此逐一判断各统计量即可. 解：设A组数据的平均数为，则， B组数据的平均数为：，因此①平均数结果不同； ②中位数：将A组数据从小到大排序后，中位数为，B组每个数据同时加，数据排序顺序不变，中位数，因此中位数结果不同； ③众数：A组数据的众数为，B组每个数据同时加，众数，因此众数结果不同； ④离差平方和：A组离差平方和，对B组有 因此；因此离差平方和结果相同； ⑤方差：根据方差公式，两组数据个数相同，且，因此，方差结果相同； ⑥下四分位数：下四分位数属于位置分位数，每个数据加，下四分位数，因此下四分位数结果不同. 【变式3】（26-27九年级上·河南信阳·开学考试）2026年2月17日（大年初一），《惊蛰无声》在各大影院同时上映．这不只是一部电影，更是一堂生动的国家安全教育课、一次对无名英雄的致敬．为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，98，70，89，60，70，100，80，92，98 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数 众数 中位数 方差 甲 70 171.45 乙 86.3 90 73.41 根据以上信息，回答下列问题： （1）________，________，________； （2）求甲组学生竞赛成绩的第一四分位数为________，第三四分位数为________； （3）根据以上信息，对甲、乙两组学生的竞赛成绩进行比较，并简述理由．（可以从平均数，四分位数，方差等方面进行比较，写出一条合理的理由即可）． 【答案】（1）84.8，90，92；（2）70，98；（3）乙组学生的竞赛成绩比甲组好，理由：乙组的平均数比甲组高，方差比甲小，所以乙组学生的竞赛成绩比甲组好（答案不唯一） 解：（1）甲组平均数， 甲组中位数， 乙组众数； （2）将甲组数据按从小到大的顺序排序为：60，70，70，80，89，91，92，98，98，100， 方法一：甲组学生竞赛成绩的前5个数据的中位数即第一四分位数为70，后5个数据的中位数即第三四分位数为； 方法二：，第3个数即第一四分位数为70，，第8个数即第三四分位数为； （3）略 【解题归纳】比较两种方案的优劣时，要综合考虑平均数（反映整体水平）和方差（反映稳定性）。当两个统计量都指向同一方案时，结论明确。本题中方式二在平均产量和稳定性两方面都优于方式一。 【题型3】实际问题中的数据分析与决策 【例题3】（25-26八年级下·北京丰台·期末）某班要从甲、乙、丙、丁四名学生中选取一名学生代表班级参加年级一分钟跳绳“班超”联赛、每人测试10次，对这四名学生的10次测试成绩的数据进行了整理、描述和分析，给出了部分信息． a．甲、乙两名学生10次测试成绩的折线图： b．学生丙10次测试成绩： 180  182  184  188  188  188  190  192  194  194 c．学生丁10次测试成绩的第三四分位数是189； d．四名学生10次测试成绩的平均数、中位数．方差如下： 甲 乙 丙 丁 平均数 188 188 188 中位数 188 188 188 方差 4.8 20.8 4.8 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的值为_________，的值为_________； （2）表中的_________4.8（填“>”“=”或“<”）； （3）根据这10次测试成绩，按如下方式评估这四名学生的实力强弱：首先比较平均数，平均数较大者实力更强；若平均数相等，则比较发挥的稳定性、成绩越稳定者实力更强；若平均数、稳定性分别相同，则比较第三四分位数，第三四分位数越大者实力更强．最终当选正式参赛队员的是_________．其10次测试成绩的第三四分位数是_________． 【答案】（1）188，188；（2）>；（3）甲，190 【分析】（1）根据中位数及平均数定义计算即可； （2）根据折线图可知，学生乙成绩明显比学生甲成绩波动大，据此得出结论； （3）先比较平均数、中位数，再比较方差，最后比较第三四分位数即可得出结论． （1）解：学生甲10次测试成绩按从小到大顺序排列：184，186，186，188，188，188，188，190，190，192； 则学生甲10次测试成绩的中位数是； 学生丙10次测试成绩的平均数； （2）解：由甲、乙两名学生10次测试成绩的折线图可知，学生乙成绩明显比学生甲成绩波动大， ∴学生乙成绩的方差大于学生甲成绩的方差， 即表中的； （3）解：甲、乙、丙、丁四名学生成绩的平均数、中位数都相同，且甲、丁两名学生成绩的方差较小，都为，需要比较这两位同学10次测试成绩的第三四分位数， 解法一：学生甲10次测试成绩按从小到大顺序排列：184，186，186，188，188，188，188，190，190，192； 第三四分位数为后5个数据的中位数， ∴第三四分位数为； 解法二：学生甲10次测试成绩按从小到大顺序排列：184，186，186，188，188，188，188，190，190，192； ∵， ∴第三四分位数为第8个数：； ∵学生丁10次测试成绩的第三四分位数是； ∴最终当选正式参赛队员的是甲，其10次测试成绩的第三四分位数是190． 【变式1】（25-26八年级下·福建厦门·期末）一个数据分组方案，如果其组内离差平方和很大，说明（     ） A．分组非常成功 B．组间差异很明显 C．同一组内的数据差异很大 D．分组数目太多了 【答案】C 【分析】组内离差平方和是同一组内各数据与该组平均数的差的平方和，反映同一组内数据的离散程度． 解：组内离差平方和越大，说明同一组内的数据差异越大． 【变式2】（25-26八年级下·山东聊城·期末）为检测一批电动车的续航里程，随机抽查40辆测试，分组数据如下： 续航里程 车辆数 4 7 11 13 5 则这批电动车平均续航里程_________． 【答案】 【分析】分组数据计算平均数，用每组组中值代表该组数据，再根据加权平均数公式计算即可． 解：先计算每组的组中值， 的组中值为，频数为， 的组中值为，频数为， 的组中值为，频数为， 的组中值为，频数为， 的组中值为，频数为， 根据加权平均数公式，平均续航里程为： ． 【变式3】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）浙BA联赛开展技术对比测试，对温州队和杭州队各抽取10场比赛，统计替补球员单场总得分情况，得到以下数据： 温州队10场得分：17，18，18，19，20，21，21，21，22，23； 杭州队10场得分：11，12，15，16，19，22，24，25，25，25． 整理数据，绘制以下统计表和箱线图： 10场比赛数据统计表（单位：分） 球队 平均数 中位数 众数 温州队 a 20.5 21 杭州队 18.4 b 25 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________． （2）若单场得分不低于20分记为发挥优秀，请估计温州队替补球员出战80场，发挥优秀的场次？ （3）根据以上统计量，结合箱线图，请评价温州队和杭州队替补球员的得分水平． 【答案】（1）20；20.5；（2）48场；（3）温州队的平均水平比杭州队好；两个队的中等水平一样；杭州队大多数的水平比温州队好；温州队比杭州队的得分更集中． 【分析】（1）根据平均数和中位数的求法即可求解； （2）根据样本估计总体求解即可； （3）根据平均数、中位数、众数和箱线图的角度来分析即可． （1）解：； 杭州队得分11，12，15，16，19，22，24，25，25，25， 一共10个数据，中位数是第5、6个数的平均数， ； （2）解：（场） （3）解：从平均数的角度来分析，，说明温州队的平均水平比杭州队好； 从中位数的角度来分析，温州队的中位数与杭州队的中位数一样，说明两个队的中等水平一样； 从众数的角度来分析，杭州队的众数高于温州队的众数，说明杭州队大多数的水平比温州队好； 从箱线图的角度来分析，温州队比杭州队的得分更集中． 【解题归纳】在实际问题中，常常需要根据问题的需要设计合理的评价指标（如本题的“综合得分”），将多个统计量按不同权重组合起来进行综合评价。解题时要仔细阅读题目，理解评价规则，再按规则进行计算。 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2025·福建漳州·模拟预测）小丽参加某公司招聘考试，笔试成绩、面试成绩分别是85分、90分，若依次按的比例确定成绩，则小丽的考试成绩是（    ） A．86分 B．87分 C．87.5分 D．88分 【答案】B 【分析】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数是解题的关键． 根据题意及加权平均数直接进行求解即可． 解：由题意得： 小丽的成绩为：（分）； 故选：B． 2．（2025·江苏无锡·中考真题）一组数据：13，14，14，16，18，这组数据的平均数和众数分别是（　　） A．15，14 B．14，15 C．14，14 D．15，15 【答案】A 【分析】本题考查平均数和众数，根据平均数和众数的定义进行计算即可． 解：平均数为：， 5个数据中，14出现了2次，出现的次数最多，因此众数为：14， 故选：A． 3．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（    ） A． B．168 C．124 D．150 【答案】C 【分析】本题考查第一四分位数的计算，解题思路为先对数据从小到大排序，第一四分位数为前一半数据的中位数，计算即可得到结果． 解：将原数据从小到大排序得：， ∵总共有8个数据，第一四分位数是前4个数据的中位数，前4个数据为， ∴第一四分位数是． 4．（2026·云南大理·一模）某校举行啦啦操比赛，从甲、乙、丙三个班的参赛学生中各随机抽取10名学生进行身高测量，三个班抽取的学生平均身高都为1.68米，身高数据的方差分别是，，，则估计参赛学生的身高比较整齐的班级为（   ） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查方差的意义，方差越小，数据的波动越小，身高越整齐，只需比较三个班身高数据的方差大小即可得出结论． 解：∵ ，，，且 ， ∴ ． ∵ 方差越小，数据的波动越小，身高越整齐， ∴ 参赛学生的身高比较整齐的班级是丙班． 5．（23-24八年级下·全国·暑假作业）若的平均数是的平均数是20，则的平均数是（　　） A．10 B．20 C．15 D． 【答案】D 【分析】本题考查了平均数，求出总数是解题的关键． 先求总数，再求平均数即可． 解：的平均数是的平均数是20， ∴总数， ∴的平均数是， 故选：D． 6．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知A组七人的成绩分别为90，60，75,75，75，90，60，B组七人的成绩分别为70，80，75，75，75，80，70．用下列哪个统计量来分析两组的成绩更恰当（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】D 【分析】本题需分别计算两组的四个统计量，判断哪个统计量可以区分两组成绩，方差反映数据波动程度，若前三个统计量均相同，可选用方差区别两组成绩，据此即可解答． 解：A．A组的平均数为，B组的平均数为， ∴二者平均数相等，无法区别两组成绩，故A选项不符合题意； B．将两组数据排序：A组：60，60，75，75，75，90，90；B组：70，70，75，75，75，80，80； ∵两组均有7个数据，中位数为排序后第4个数据， ∴A组中位数为75，B组中位数也为75，即二者中位数相等，无法区别两组成绩，故B选项不符合题意； C．A组中75出现3次，次数最多，B组中75也出现3次，次数最多， ∴两组众数都是75，二者众数相等，无法区别两组成绩，故C选项不符合题意； D．A组数据波动更大，B组数据波动更小，两组方差不相等，因此可以用方差分析区别两组成绩，故D选项符合题意． 7．（25-26八年级下·重庆·期中）八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（     ） A．甲组跳绳次数的波动比乙组大 B．乙组跳绳次数的中位数比甲组小 C．甲组跳绳次数的下四分位数大于180 D．乙组跳绳次数的最大值大于190 【答案】C 【分析】根据箱线图的特征，分别观察甲、乙两组数据的极差（波动情况）、中位数位置、下四分位数位置及最大值位置，结合选项逐一判断即可． 解：由箱线图可知：甲组数据的极差约为，乙组数据的极差约为，且甲组箱体长度大于乙组， 则甲组跳绳次数的波动比乙组大， 故A选项说法正确； 甲组中位数（箱体内横线）约为180，乙组中位数约为170， ， 乙组跳绳次数的中位数比甲组小， 故B选项说法正确； 甲组下四分位数（箱体下边缘）对应数值约为170， 甲组跳绳次数的下四分位数小于180， 故C选项说法错误； 乙组最大值（上须顶端）对应数值约为195， 乙组跳绳次数的最大值大于190， 故D选项说法正确． 8．（2026·广东深圳·二模）甲、乙两名同学一周内五次引体向上的测试成绩（单位：个）如图所示，则下列结论中错误的是（    ） A．乙的成绩的方差比甲的小 B．乙的最好成绩比甲的最好成绩好 C．乙的后三次测试成绩都比甲高 D．该周测试中乙的总成绩与甲的总成绩一样高 【答案】A 【分析】根据方差的运算方法结合题干图逐一判断即可． 解：甲同学的成绩依次是：7，8，8，8，9， 则总成绩为：，平均数为：，方差为：， 乙同学的成绩依次是：6，7，8，9，10， 则总成绩为：，平均数为：，方差为：， ∴该周测试中乙的总成绩与甲的总成绩一样高，故D选项正确； ∵， ∴乙的成绩的方差比甲的大，故A选项错误； 由图可知，乙的最好成绩为10个，比甲的最好成绩9个好，故B选项正确； 由图可知，乙的后三次测试成绩都比甲高，故C选项正确． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）某中学数学教师共有20人，他们的年龄分布如表所示： 年龄 62 50 43 32 30 28 25 人数 2 3 3 5 2 4 1 下列说法正确的是（    ） A．29是这20人年龄的第一四分位数 B．29是这20人年龄的第三四分位数 C．31是这20人年龄的中位数 D．这20人年龄的众数是5 【答案】A 【分析】本题考查了四分位数，众数，中位数．根据第一四分位数、第三四分位数、中位数、众数的定义及计算方法，逐一验证各选项即可． 解：依题意，第一四分位数即分位数， 需取年龄从小到大排列后第5个和第6个数据的平均数， 则年龄从小到大排列后，得 ∴第5个数据为28，第6个数据为30， ∴ 第一四分位数为，故A选项正确 依题意，第三四分位数即分位数，， ∴需取年龄从小到大排列后第15个和第16个数据的平均数， 则第15个数据为43，第16个数据为50，平均数为，故B选项错误， 依题意，中位数即分位数，， ∴ 需取年龄从小到大排列后第10个和第11个数据的平均数，第10个和第11个数据均为32，平均数为32，故C选项错误 ∵ 众数是出现次数最多的年龄，32出现的次数最多（5次）， ∴众数是32，故D选项错误， 故选：A． 10．（25-26八年级上·福建漳州·期末）小颖根据一组数据画出如图所示的箱线图，则下列说法不正确的是（   ）． A．最小值为47 B．中位数为73 C．上四分位数为83 D．平均数为73 【答案】D 【分析】本题考查箱线图和中位数的定义，根据箱线图逐项分析即可． 解：对于A：由图可知，这组数据的最小值为47，故A正确； 对于B：由图可知，这组数据的中位数为73，故B正确； 对于C：由图可知，这组数据的上四分位数为83，故C正确； 对于D：根据箱线图不能直接得到平均数，故D不正确． 故选：D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是某班20名同学在“献爱心”活动中捐赠图书的情况．该班级人均捐赠了____________本书． 【答案】2.8 【分析】本题考查了条形统计图、平均数，解题的关键是结合条形统计图求出捐本书的人数． 根据条形统计图可算出捐本书的人数，再利用书的总本数除以总人数即可算出该班人均捐书本数． 解：捐本书的人数为：（人）， 该班人均捐书本数为： （本） 故答案为：． 12．（25-26八年级下·重庆·期末）某茶叶专卖店春茶上市后连续七天的销量（盒）为：43，50，46，53，50，56，50，这组数据的众数为______． 【答案】 【分析】统计每个数据出现的次数，找出出现次数最多的数据即可得到结果． 解：根据题意，统计各数据出现次数： 出现次，出现次，出现次，出现次，出现次， 因此这组数据的众数为． 13．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）两名射击运动员进行了八次射击训练，测试成绩（最高为10环）如下图，则射击水平比较突出的运动员是______． 【答案】甲 【分析】本题考查箱线图，根据箱线图获取信息，进行判断即可． 解：由箱线图可知：甲的测试成绩的中位数高于乙的测试成绩的中位数，且甲的测试成绩的波动较小， 故射击水平比较突出的运动员是甲； 故答案为：甲 14．（2026·内蒙古通辽·三模）某学校开展“铸牢中华民族共同体意识”主题知识竞赛，5名参赛学生的成绩（单位：分）如下：88，92，90，94，96，则这组数据的方差是_______． 【答案】8 【分析】先计算这组数据的平均数，再根据方差的计算公式代入计算即可得到结果． 解：这组数据的平均数， 方差． 15．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）某学生记录了家中六个月的用电情况，六个月缴纳的电费依次为（单位：元）：69，77，85，90，73，98，这组数据的中位数是___________，极差是___________，平均数是___________． 【答案】 【分析】根据中位数、平均数、极差的定义分别求解即可； 解：把这组数据从小到大排列为：， 所以这组数据的中位数是； 极差是； 平均数是； 故答案为： 【点拨】本题考查了极差、平均数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值． 16．（2024·北京门头沟·二模）某校抽测了某班级的10名学生竞赛成绩（均为整数），从低到高排序如下：，，，，，，，，，，如果，，该组数据的中位数是85，则______． 【答案】84或85 【分析】本题考查了求中位数，正确理解中位数的定义是解题的关键．由中位数的定义可知，，再根据，，即可得出答案． 解：由已知，10个成绩从低到高排列，居中的两个成绩为和,且该组数据的中位数是85， ，， ，，或，， 故答案为：84或85． 17．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图是某两个理财团队负责的产品的收益率的箱线图，现有一笔资金想要投入理财账户中，则从总体经营效益与稳健度方面，应该选择团队______.（填“A”或“B”） 【答案】B 【分析】本题考查了箱线图等知识，理解箱线图是解题关键．根据箱线图可得团队A的收益率波动更大，稳定性差；团队B的收益率波动更小，更稳健，同时收益率整体水平更高，据此即可求解． 解：由箱线图可得，团队A的收益率范围是2.02到4.89，波动更大，稳定性差；团队B的收益率范围是3.18到4.44，波动更小，更稳健，同时收益率整体水平更高，总体效益更好． 故答案为：B． 18．（25-26八年级下·北京平谷·期末）车间4名工人单日加工零件的个数分别为9，12，18，9，若将这4名工人按照完成的个数大小排序后分成两组，共有以下3种情况，分别计算组内离差平方和，可以得到表中的结果： 分组情况 组内离差平方和 和 和 和 分组情况和的组内离差平方和是________，依据以上计算结果，合理的分组情况是________． 【答案】 和 【分析】根据离差平方和的定义，分别计算待求分组两个组的离差平方和，求和得到总组内离差平方和，再比较三个分组的组内离差平方和，组内离差平方和越小，组内数据差异越小，分组越合理． 解：分组的离差平方和：该组平均数，离差平方和为． 分组的离差平方和：该组平均数，离差平方和为． 因此该分组的总组内离差平方和为． 比较三个分组的组内离差平方和得，组内离差平方和越小，分组越合理， 因此合理分组为和． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·吉林长春·期末）在自由式滑雪空中技巧比赛中，裁判根据运动员的腾空高度、空中姿态、落地稳定性分别打出三项分数，每项的满分值均为30分，然后按照以下权重计算“动作完成分”：腾空高度占，空中姿态占，落地稳定性占．某选手在最后一跳中，三项得分为：腾空高度分，空中姿态25分，落地稳定性27分，求该选手这一跳的动作完成分． 【答案】分 【分析】分别计算各项的动作完成分再求和即可． 解：（分） 答：该选手这一跳的动作完成分为分． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·陕西渭南·期末）某校射箭社团准备在甲、乙两名学生中选出一人参加集训，现对他们进行了5次测试，将他们5次射箭命中的环数记录如下（单位：环）： 【数据收集】 甲：7，8，8，8，9； 乙：7，7，7，9，10． 【数据分析】 学生 平均数/环 中位数/环 众数/环 离差平方和 甲 8 2 乙 8 7 根据上述收集、分析的结果，解答下列问题： （1）上表中_____________，_____________； （2）求学生甲这5次射箭命中环数的平均数； （3）如果要选出一个成绩较为稳定的人参加集训，请你判断选谁参加集训更合适，并说明理由． 【答案】（1）7，8；（2）8；（3）解：选择甲，理由如下： 由表格和（2）可知，甲乙两人的平均数相同； ∵； ； ∴， ∴甲的成绩较稳定， 故应该选择甲． 【分析】本题考查求平均数，中位数，众数和方差，熟练掌握各数的计算方法是解题的关键： （1）根据众数和中位数的确定方法进行计算即可； （2）根据平均数的计算方法进行计算即可； （3）利用方差作决策即可． （1）解：甲中数据出现次数最多的是8，故； 乙中数据排序后位于中间的一位是7，故； 故答案为：7，8； （2）解：； 答：学生甲这5次射箭命中环数的平均数为8； （3）略 21．（本小题满分10分）（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）某校开展航天知识竞赛，记分员分别记录了甲，乙两组同学的得分情况（单位：分）．相关信息如下： 甲组：，，，，，，，． 乙组：，，，，，，，． 甲、乙两组竞赛成绩的箱线图如图． （1）甲组的中位数是________分，下四分位数是________分，乙组的上四分位数是________分． （2）请结合箱线图评价这两组同学的成绩． 【答案】（1），，；（2）①甲组的最小值与四分位数均大于乙组；②从箱线图看，甲组中间的数据更集中，稳定性更好．综上，甲组同学的成绩整体优于乙组． 【分析】（1）根据中位数、下四分位数、上四分位数的计算方法分别计算即可； （2）根据箱线图和四分位数比较两组数据即可． （1）解：甲组的中位数为， 甲组下四分位数，方法一、∵甲组的中位数为， ∴下四分位数是中位数左侧四个数据的中位数，即， 方法二、∵， ∴下四分位数是第、个数据的平均数，即， 乙组的上四分位数：方法一、乙组的中位数是， ∴乙组的上四分位数是中位数右侧四个数的中位数，即， 方法二、∵， ∴上四分位数是第、个数据的平均数，即． （2）解：略 22．（本小题满分10分）（2026·北京·中考真题）若干名学生参加编程比赛，比赛共8轮，每轮有3道题，每人每轮的得分为该轮答对题目的数量（得分为整数）．已知甲、乙两名学生8轮得分的情况如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲8轮得分的平均数为________，乙8轮得分的平均数为________； （2）记甲、乙8轮得分的方差分别为和，则________（填“”“”或“”）； （3）如果丙8轮得分的中位数为，那么丙8轮得分的平均数是不是一定大于乙8轮得分的平均数？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【答案】（1）2；2；（2）；（3）不是，当丙8轮的得分分别为0，0，0，2，3，3，3，3时，丙8轮得分的中位数为，但平均数为，小于乙8轮得分的平均数． 【分析】（1）根据统计图得出甲、乙的得分，进而求得平均数； （2）利用方差公式即可求解； （3）举例子说明． （1）解：甲8轮得分的平均数为：； 乙8轮得分的平均数为：； （2）解： ， ． （3）略 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·全国·随堂练习）某银行有A和B两个理财经营团队．2024年上半年这两个理财团队分别负责经营12项理财产品，收益率（单位：）如下： A：4.77  3.98  4.88  4.89  2.15  3.85  3.64  3.21  3.18  2.02  4.11  4.10 B：3.18  3.84  3.99  3.67  3.40  3.60  4.10  4.21  4.15  4.44  3.87  3.91 某同学想要利用四分位数分析A，B两个团队的经营水平．下表为他绘制的两个团队理财产品收益率数据的四分位数． 两个团队理财产品收益率数据的四分位数（单位：） 团队 A 3.195 3.915 4.440 B a 3.890 b    请根据以上信息，完成下列问题： （1）表中______，______； （2）该同学基于四分位数绘制了团队A的箱线图如图所示，获得了团队A数据的直观表示．请你根据团队A的箱线图在图中补全团队B的箱线图，并根据箱线图对A，B两个团队的经营水平从总体经营效益，稳健度方面作出评价． 【答案】（1）3.635，4.125；（2）如图所示， 通过箱线图可知，团队A产品收益率的中位数与团队B的几乎相等， 故可知两个团队的经营效益基本一样， 但团队A的产品收益率明显比团队B的收益率的波动大， 即团队B的经营水平更稳健， 故对于稳健型的投资者， 选择团队B的理财产品更合适． 【分析】（1）首先将B团队负责经营12项理财产品收益率从小到大排列，然后根据和的定义求解即可； （2）作出图形，根据数据分析即可． 解：（1）B团队负责经营12项理财产品收益率从小到大排列为： ∴3.18，3.40，3.60，3.67，3.84，3.87，3.91，3.99，4.10，4.15，4.21，4.44     ∴a为前6个数据的中位数，b为后6个数据的中位数 ∴，； （2）略 【点拨】本题考查统计图，统计表，中位数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·安徽滁州·期末）随着人工智能技术在环保领域的应用拓展，某科创团队开发了一款智能垃圾分类设备，计划从甲、乙两家算法测评平台中选择一家合作，以优化设备的算法性能．为此，团队收集了甲、乙两家各10组测试得分，对两家平台的算法评估结果进行整理，分析这两家平台在算法创新性呈现、实际场景适配度评估两方面的优劣势，制作了统计图表如下（不完整）． 算法创新性和实际场景适配度得分统计表： 统计量/平台 算法创新性得分 实际场景适配度得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 a 7 1 乙 8 8 7 （1）计算：______，扇形统计图中______，并补全频数分布直方图； （2）计算表格中乙的方差，即的值； （3）在算法测评合作中，该科创团队将算法创新性的整体水平作为首要选择标准，同时兼顾实际场景适配度的稳定性．请结合表中的统计量，为该团队推荐合适的合作平台，并说明理由． 【答案】（1），； （2）；（3）解：选择乙平台，理由如下： 因为乙平台的算法创新性得分的平均数高于甲平台，两家平台的实际场景适配度得分的平均数相同，虽然乙平台的方差略高于甲平台，但整体仍然能满足实际场景适配度的基本要求，所以选择乙平台． 【分析】（1）根据中位数的定义可得第一空的答案，用360度乘以乙算法测评平台算法创新性得分为7分的占比可得第二空的答案；求出甲算法测评平台算法创新性得分为9分的频数，再补全对应的频数分布直方图即可； （2）根据方差的定义求解即可； （3）乙算法测评平台算法创新性得分的平均数高于甲算法测评平台算法创新性得分的平均数，且二者实际场景适配度得分的平均数相同，据此可得结论． （1）解：把甲算法测评平台算法创新性得分按照从低到高的顺序排列，第5个数据和第6个数据分别是7分，8分， ∴甲算法测评平台算法创新性得分的中位数为分，即； 由题意得，； 甲算法测评平台算法创新性得分为9分的频数为， 补全频数分布直方图见答案； （2）解： ； （3）略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.5 数据的集中趋势与离散程度 全章复习讲义【知识梳理+题型精析+同步检测】 ——2026-2027学年苏科版九年级数学上册 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】平均数 1 【知识点二】中位数和四分位数 2 【知识点三】众数 2 【知识点四】离差平方和、方差和标准差 2 【知识点五】数据的分析与决策 3 二.基础题型精析 4 【题型1】平均数的计算与应用 4 【题型2】中位数、众数的计算与应用 4 【题型3】四分位线计算与画箱线图 5 【题型4】离差平方和与方差的计算与应用 7 【题型5】统计量的综合应用与决策 8 四.综合培优题型精析 9 【题型1】加权平均数的综合应用 9 【题型2】统计量的选择与综合分析 11 【题型3】实际问题中的数据分析与决策 12 五.同步检测 14 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 14 （二） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 16 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 18 一.知识梳理与解读 【知识点一】平均数 1. 算术平均数 一般地，对于，我们把 叫作这个数据的算术平均数，简称平均数，记作，读作“x拔”。 2. 加权平均数 若出现次，出现次，…，出现次（其中），则这组数据的平均数为 这个平均数叫作加权平均数，其中f₁, f₂, …, fₖ叫作权。权越大，对应的数据对平均数的影响越大。 【要点提示】平均数反映的是一组数据的“平均水平”，是最常用的描述数据集中趋势的统计量，但容易受极端数据的影响。当数据中有极端值时，平均数可能不能很好地代表数据的一般水平。 【知识点二】中位数和四分位数 1. 中位数 将一组数据按大小顺序排列，如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数叫作这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，那么中间两个数据的平均数叫作这组数据的中位数。 【要点提示】中位数的优点是不受极端数据的影响。当一组数据中有极端数据时，用中位数描述数据的集中趋势比平均数更合理。中位数只有一个。 2. 四分位数 将一组数据按大小顺序排列，把数据分成四等份的三个分割点对应的数值，分别叫作第一四分位数（下四分位数）、第二四分位数（即中位数）、第三四分位数（上四分位数）。 四分位数可以将数据按百分位分组，反映数据的分布情况。箱线图是展示四分位数的直观工具，它由最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数和最大值五个统计量组成。 【要点提示】箱线图可以直观地反映数据的分布范围、集中趋势和离散程度。箱体越短，说明中间50%的数据越集中； whisker（须）越长，说明数据的分布范围越广。 【知识点三】众数 一组数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数。 【要点提示】众数反映的是一组数据中出现最频繁的数值，不受极端数据的影响。一组数据的众数可能不止一个，也可能没有众数（当每个数据出现的次数都相同时）。众数在描述“最受欢迎”“最常见”等场景时特别有用。 【知识点四】离差平方和、方差和标准差 1. 离差平方和 将一组数据中各数据与平均数的差的平方和称为离差平方和。设的平均数为，则这组数据的离差平方和为： 【要点提示】离差平方和反映的是一组数据与其平均数之间的总的偏差程度。离差平方和越大，说明数据偏离平均数的总程度越大。但离差平方和受数据个数的影响，当两组数据的个数不同时，不能直接用离差平方和比较离散程度，需要用方差（离差平方和的平均数）来比较。 2. 方差 各数据与平均数的差的平方的平均数叫作这组数据的方差，记作。即 方差是离差平方和的平均数，即。方差消除了数据个数对离散程度比较的影响。 3. 标准差 方差的算术平方根叫作这组数据的标准差，即 【要点提示】离差平方和、方差和标准差都是刻画数据离散程度的统计量。离差平方和是基础，方差是离差平方和的平均数（消除数据个数影响），标准差是方差的算术平方根（单位与原数据一致）。方差（标准差）越大，说明数据的离散程度越大，数据越不稳定；方差（标准差）越小，说明数据越集中、越稳定。 【知识点五】数据的分析与决策 在实际问题中，我们常常需要综合运用平均数、中位数、众数、方差、标准差等统计量来分析数据，并做出合理的决策。 （1）比较数据的集中趋势：用平均数、中位数、众数； （2）比较数据的离散程度：用方差、标准差、箱线图； （3）综合决策：结合集中趋势和离散程度，根据实际问题的需要选择合适的统计量进行分析。 【要点提示】用统计方法解决实际问题时，要关注数据的真实性和抽样的合理性，选择合适的统计量描述数据。不同的统计量从不同角度描述数据，要根据问题的实际需要选择使用。平均数和方差配合使用，可以同时反映数据的集中趋势与离散程度。 二.基础题型精析 【题型1】平均数的计算与应用 【例题1】（25-26八年级下·陕西西安·期末）某次演讲比赛中，评委从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，各项成绩均为百分制，然后按演讲内容占、演讲能力占、演讲效果占计算选手的综合成绩．已知选手小明的演讲内容成绩为分，演讲能力与演讲效果成绩均为分，求小明的综合成绩． 【变式1】（25-26八年级下·广西玉林·期末）样本数据1，9，13，17，20的平均数是（     ） A．8 B．9 C．12 D．18 【变式2】（26-27九年级上·湖南衡阳·开学考试）2026年4月，湖南省首届版画展中，某参展的作品在“视觉吸引”、“启发思考”、“社会责任”三方面的具体评比成绩（百分制：分）如表所示： 视觉吸引 启发思考 社会责任 90 80 70 如果按照“视觉吸引”占，“启发思考”占，“社会责任”占计算总成绩，那么该作品得分是______分． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）在一次英语口试中，已知50分1人、60分2人、70分5人、90分5人、100分1人，其余为85分，已知该班平均成绩为80分，问该班有多少人？ 【解题归纳】求加权平均数时，要先求出数据总和与总次数（总权重），再用总和除以总次数。本题中上午和下午的运送次数不同，属于加权平均数的应用。 【题型2】中位数、众数的计算与应用 【例题2】（26-27八年级下·全国·课后作业）甲、乙两组同学的跳绳成绩 （单位：次/min）如下： 甲组 182 194 143 185 156 乙组 199 148 242 170 141 王芳在记录乙组同学的跳绳成绩时，把242错记成了224，此时乙组跳绳成绩的平均数和中位数是否都受影响？请你解释其中的原因． 【变式1】（2026·山东临沂·模拟预测）表中是某一天云南省8个市的气温预报，则这8个市的最高温度的众数与最低温度的中位数分别是（     ） 城市 昆明 玉溪 丽江 普洱 保山 曲靖 昭通 临沧 温度 A．， B．， C．， D．， 【变式2】（25-26八年级下·吉林·期末）某公司10名员工的月工资（单位：元）数据如下：．则这10名员工月工资的中位数是_______________元，众数是_______________元． 【变式3】（25-26八年级上·河北保定·阶段检测）为推动学习贯彻新时代中国特色社会主义思想的主题教育走深走实，见行见效，八年级（一）班、（二）班各选出5名代表进行主题教育知识竞赛，两班代表的成绩（单位：分）如下表所示： （一）班 80 85 100 75 85 （二）班 90 79 85 90 81 （1）根据两班代表的成绩将下表补充完整． 班级 平均数 中位数 众数 （一）班 85 85 （二）班 85 （2）请结合平均数，中位数，众数等统计量进行分析，你认为哪个班级的成绩更好？并简述理由． 【解题归纳】求中位数时，必须先将数据按大小顺序排列。当数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均数。众数是出现次数最多的数据，一组数据可能有多个众数，也可能没有众数。 【题型3】四分位线计算与画箱线图 【例题3】（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）学校的“数据实践社”数学兴趣小组为比较甲地和乙地2025年2月份的日均气温，收集了两地该月每天的平均气温，制作了如下统计图（不完整），其中甲地每天平均气温依次如下：（单位：） 根据以上信息回答下列问题： （1）甲地2月日均气温的中位数为___________； （2）请在表示甲地“2月每天平均气温”的箱线图中画出该地中位数所对应的横线； （3）结合箱线图，请从数据的集中趋势或离散程度分析这个月甲、乙两地气温的特点． 【变式1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）某中学随机抽取名八年级学生开展一分钟跳绳体能测试，统计每位学生的跳绳次数后，整理数据并绘制成如图所示的箱线图，则这名学生一分钟跳绳次数的上四分位数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·贵州安顺·期末）我市2026年五月份某8天的空气质量指数分别为23，27，36，18，22，26，28，27，则这组数据的第三四分位数是_______． 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·期末）某校为了解八年级学生的身体健康情况，现从中随机抽取部分学生进行体育测试，并将成绩统计如图所示．请根据图表中所提供的信息，解答下列问题： 八年级学生体育测试成绩 体育成绩（分） 人数（人） 百分比（%） （1）本次测试抽取的总人数为______人；______； （2）本次测试成绩的中位数为______分，并在如图的箱线图中画出该中位数对应的线段； （3）已知该校八年级共有名学生，如果体育成绩达分以上（含分）为身体健康，请估计该校八年级学生身体健康的总人数． 【题型4】离差平方和与方差的计算与应用 【例题4】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）北京时间8月5日分，巴黎奥运射击男子25米手枪速射决赛正式开始，中国选手李越宏40枪得到32分，领先第二名7分，拿到金牌，在连续两届奥运会获得铜牌后，终于圆梦，这也是中国射击本届奥运会的第五枚金牌，也是中国代表团的第20枚金牌，比赛分为8轮，每轮5枪，9.7环以上视为命中，命中1枪得1分．李越宏的8轮成绩分别为5分，3分，4分，2分，4分，5分，4分，5分 （1）李越宏的8轮成绩的众数为 ； （2）求李越宏8轮得分的方差． 【变式1】（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）把数据2，4，6，9，10分成与两组，则组内离差平方和是（     ） A．8.2 B．8.5 C．8.7 D．8.8 【变式2】（25-26八年级下·云南临沧·期末）一组数据3，4，5，6，7的方差为__________． 【变式3】（25-26八年级下·陕西延安·期末）有五名学生某次英语口语测试的成绩（单位：分）分别为：，，，，，将他们按本次测试的成绩分成一个两人组和一个三人组展开小组学习，按照组内离差平方和最小的原则，初步筛选了两种分法．分法一：和，分法二：和．已知分法二的组内离差平方和为，请计算并说明应该选用哪种分法． 【解题归纳】求方差的步骤：①求平均数；②求各数据与平均数的差；③求差的平方；④求平方的平均数。标准差是方差的算术平方根。当数据为等差数列时，方差有简便计算方法。 【题型5】统计量的综合应用与决策 【例题5】（25-26八年级下·山西吕梁·期末）从2024年开始，山西省将八年级信息技术考试成绩计入中考总分．根据山西省招生考试管理中心公布的复习题（满分15分），某校组织了一次适应性考试，“腾飞小组”和“希望小组”的同学的成绩如下：（每组10名学生，单位：分）． 腾飞小组 15 15 14 12 15 13 14 15 12 15 希望小组 14 13 15 14 13 15 12 15 15 14 （1）腾飞小组成绩的中位数是_____分，希望小组成绩的众数是_____分； （2）计算希望小组的平均成绩； （3）已知小宇所在小组成绩的中位数比另一个小组成绩的中位数小，则小宇所在的小组是______． 【变式1】（25-26八年级下·云南曲靖·期末）某公司招聘职员，对甲、乙两名应聘者进行了笔试和面试，笔试成绩分别为85分、90分，面试成绩分别为92分、88分．若按笔试成绩占、面试成绩占计算综合成绩，则（     ） A．甲的综合成绩更高 B．乙的综合成绩更高 C．甲、乙综合成绩相同 D．无法确定 【变式2】（25-26八年级下·福建泉州·期末）某校篮球队对名队员进行定点投篮测试，每人投篮次，统计如下表：若教练希望选出“命中数高且发挥稳定”的队员，应选择________． 队员 甲 乙 丙 丁 平均命中数 15 16 16 14 方差 【变式3】（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）在学校组织的汉字听写大赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为90分，80分，70分，60分，学校将八年级（1）班和（2）班的成绩整理并绘制成如图所示的统计图： （1）根据图中提供的数据列出如下统计表： 班级 平均数 中位数 众数 方差 八（1）班 80 b 八（2）班 a 90 则______，______． （2）此次大赛中八（2）班成绩在70分以上（含70分）的人数是多少？ （3）八（1）班的同学认为他们班的成绩更好，你能写出一条支持该班同学的理由吗？ 【解题归纳】在实际决策中，要综合考虑平均数和方差：平均数反映整体水平，方差反映稳定性。当两个统计量的结论一致时，决策比较明确；当结论不一致时，要根据实际问题的侧重点（更看重水平还是稳定性）做出选择。 四.综合培优题型精析 【题型1】加权平均数的综合应用 【例题1】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）某校举办了创意编程挑战赛，只有甲、乙两位同学进入最终决赛．决赛对创意设计、代码实现、答辩展示三项进行评分（每项满分均为10分），甲、乙两位同学的各项得分如下： 同学 创意设计/分 代码实现/分 答辩展示/分 甲 8 8 9 乙 8 9 8 如果将创意设计、代码实现、答辩展示三项成绩按照的比例计算个人最终决赛成绩，请通过计算说明哪位同学会获得第一名． 【变式1】（2026·河南·二模）在一次射击训练中，某小组的成绩如下表．已知该小组的平均成绩为7.9环，那么成绩为8环的人数为（    ） 环数 7 8 9 人数 2 1 A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】（25-26八年级下·福建厦门·期末）八（1）班若干名学生1分钟跳绳次数的频数分布直方图如图所示，则这若干名学生平均1分钟跳绳的次数是________． 【变式3】（25-26八年级下·吉林·期末）某校八年级学生开展数学竞赛活动，教研人员随机抽取名参赛学生的竞赛成绩（单位：分）做抽样统计，分数区间与对应频数如下表（竞赛卷面满分分，分组区间左闭右开）： 分数区间 分 分 分 分 频数 4 8 15 13 （1）求抽取的这名学生竞赛成绩的平均数； （2）竞赛划定评判标准：分数不低于分判定为成绩优秀，依据本次抽样结果，估算本校八年级全体名参赛学生里，成绩达到优秀等次的大约有多少人？ 【解题归纳】加权平均数的关键是确定各数据的“权”。权可以是次数、比例、百分比等。在实际问题中，不同的权重分配会影响最终的加权平均数，要根据问题的实际意义正确确定权重。 【题型2】统计量的选择与综合分析 【例题2】（26-27九年级上·浙江绍兴·开学考试）某校八年级（1）班开展了“双减”政策下学生每周课外阅读时间调查，随机抽取了10名同学，统计他们一周内课外阅读的总时长（单位：小时）如下： 4，6，5，8，4，7，6，5，9，6 （1）求这组数据的平均数、中位数和众数． （2）若该班共有40名学生，请估计全班一周课外阅读总时长超过6小时的人数． （3）从稳定性的角度判断：若增加一名阅读时间为7小时的同学，新数据的方差与原来相比是变大还是变小？请说明理由． 【变式1】（2026·河北石家庄·模拟预测）某企业1－6月份利润的变化情况如图所示，以下说法与图中反映的信息相符的是（     ） A．1－6月份利润的众数是130万元 B．1－6月份利润的中位数是120万元 C．1－6月份利润的平均数是130万元 D．1－6月份利润的最大值与最小值的差是40万元 【变式2】（25-26八年级下·北京·期末）A组数据为，，…，，B组数据为，，…，．分别计算这两组数据的统计量：①平均数、②中位数、③众数、④离差平方和、⑤方差、⑥下四分位数，A组和B组结果一样的统计量序号为________． 【变式3】（26-27九年级上·河南信阳·开学考试）2026年2月17日（大年初一），《惊蛰无声》在各大影院同时上映．这不只是一部电影，更是一堂生动的国家安全教育课、一次对无名英雄的致敬．为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，98，70，89，60，70，100，80，92，98 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数 众数 中位数 方差 甲 70 171.45 乙 86.3 90 73.41 根据以上信息，回答下列问题： （1）________，________，________； （2）求甲组学生竞赛成绩的第一四分位数为________，第三四分位数为________； （3）根据以上信息，对甲、乙两组学生的竞赛成绩进行比较，并简述理由．（可以从平均数，四分位数，方差等方面进行比较，写出一条合理的理由即可）． 【解题归纳】比较两种方案的优劣时，要综合考虑平均数（反映整体水平）和方差（反映稳定性）。当两个统计量都指向同一方案时，结论明确。本题中方式二在平均产量和稳定性两方面都优于方式一。 【题型3】实际问题中的数据分析与决策 【例题3】（25-26八年级下·北京丰台·期末）某班要从甲、乙、丙、丁四名学生中选取一名学生代表班级参加年级一分钟跳绳“班超”联赛、每人测试10次，对这四名学生的10次测试成绩的数据进行了整理、描述和分析，给出了部分信息． a．甲、乙两名学生10次测试成绩的折线图： b．学生丙10次测试成绩： 180  182  184  188  188  188  190  192  194  194 c．学生丁10次测试成绩的第三四分位数是189； d．四名学生10次测试成绩的平均数、中位数．方差如下： 甲 乙 丙 丁 平均数 188 188 188 中位数 188 188 188 方差 4.8 20.8 4.8 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的值为_________，的值为_________； （2）表中的_________4.8（填“>”“=”或“<”）； （3）根据这10次测试成绩，按如下方式评估这四名学生的实力强弱：首先比较平均数，平均数较大者实力更强；若平均数相等，则比较发挥的稳定性、成绩越稳定者实力更强；若平均数、稳定性分别相同，则比较第三四分位数，第三四分位数越大者实力更强．最终当选正式参赛队员的是_________．其10次测试成绩的第三四分位数是_________． 【变式1】（25-26八年级下·福建厦门·期末）一个数据分组方案，如果其组内离差平方和很大，说明（     ） A．分组非常成功 B．组间差异很明显 C．同一组内的数据差异很大 D．分组数目太多了 【变式2】（25-26八年级下·山东聊城·期末）为检测一批电动车的续航里程，随机抽查40辆测试，分组数据如下： 续航里程 车辆数 4 7 11 13 5 则这批电动车平均续航里程_________． 【变式3】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）浙BA联赛开展技术对比测试，对温州队和杭州队各抽取10场比赛，统计替补球员单场总得分情况，得到以下数据： 温州队10场得分：17，18，18，19，20，21，21，21，22，23； 杭州队10场得分：11，12，15，16，19，22，24，25，25，25． 整理数据，绘制以下统计表和箱线图： 10场比赛数据统计表（单位：分） 球队 平均数 中位数 众数 温州队 a 20.5 21 杭州队 18.4 b 25 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________． （2）若单场得分不低于20分记为发挥优秀，请估计温州队替补球员出战80场，发挥优秀的场次？ （3）根据以上统计量，结合箱线图，请评价温州队和杭州队替补球员的得分水平． 【解题归纳】在实际问题中，常常需要根据问题的需要设计合理的评价指标（如本题的“综合得分”），将多个统计量按不同权重组合起来进行综合评价。解题时要仔细阅读题目，理解评价规则，再按规则进行计算。 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2025·福建漳州·模拟预测）小丽参加某公司招聘考试，笔试成绩、面试成绩分别是85分、90分，若依次按的比例确定成绩，则小丽的考试成绩是（    ） A．86分 B．87分 C．87.5分 D．88分 2．（2025·江苏无锡·中考真题）一组数据：13，14，14，16，18，这组数据的平均数和众数分别是（　　） A．15，14 B．14，15 C．14，14 D．15，15 3．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（    ） A． B．168 C．124 D．150 4．（2026·云南大理·一模）某校举行啦啦操比赛，从甲、乙、丙三个班的参赛学生中各随机抽取10名学生进行身高测量，三个班抽取的学生平均身高都为1.68米，身高数据的方差分别是，，，则估计参赛学生的身高比较整齐的班级为（   ） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．无法确定 5．（23-24八年级下·全国·暑假作业）若的平均数是的平均数是20，则的平均数是（　　） A．10 B．20 C．15 D． 6．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知A组七人的成绩分别为90，60，75,75，75，90，60，B组七人的成绩分别为70，80，75，75，75，80，70．用下列哪个统计量来分析两组的成绩更恰当（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 7．（25-26八年级下·重庆·期中）八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（     ） A．甲组跳绳次数的波动比乙组大 B．乙组跳绳次数的中位数比甲组小 C．甲组跳绳次数的下四分位数大于180 D．乙组跳绳次数的最大值大于190 8．（2026·广东深圳·二模）甲、乙两名同学一周内五次引体向上的测试成绩（单位：个）如图所示，则下列结论中错误的是（    ） A．乙的成绩的方差比甲的小 B．乙的最好成绩比甲的最好成绩好 C．乙的后三次测试成绩都比甲高 D．该周测试中乙的总成绩与甲的总成绩一样高 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）某中学数学教师共有20人，他们的年龄分布如表所示： 年龄 62 50 43 32 30 28 25 人数 2 3 3 5 2 4 1 下列说法正确的是（    ） A．29是这20人年龄的第一四分位数 B．29是这20人年龄的第三四分位数 C．31是这20人年龄的中位数 D．这20人年龄的众数是5 10．（25-26八年级上·福建漳州·期末）小颖根据一组数据画出如图所示的箱线图，则下列说法不正确的是（   ）． A．最小值为47 B．中位数为73 C．上四分位数为83 D．平均数为73 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是某班20名同学在“献爱心”活动中捐赠图书的情况．该班级人均捐赠了____________本书． 12．（25-26八年级下·重庆·期末）某茶叶专卖店春茶上市后连续七天的销量（盒）为：43，50，46，53，50，56，50，这组数据的众数为______． 13．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）两名射击运动员进行了八次射击训练，测试成绩（最高为10环）如下图，则射击水平比较突出的运动员是______． 14．（2026·内蒙古通辽·三模）某学校开展“铸牢中华民族共同体意识”主题知识竞赛，5名参赛学生的成绩（单位：分）如下：88，92，90，94，96，则这组数据的方差是_______． 15．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）某学生记录了家中六个月的用电情况，六个月缴纳的电费依次为（单位：元）：69，77，85，90，73，98，这组数据的中位数是___________，极差是___________，平均数是___________． 16．（2024·北京门头沟·二模）某校抽测了某班级的10名学生竞赛成绩（均为整数），从低到高排序如下：，，，，，，，，，，如果，，该组数据的中位数是85，则______． 17．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图是某两个理财团队负责的产品的收益率的箱线图，现有一笔资金想要投入理财账户中，则从总体经营效益与稳健度方面，应该选择团队______.（填“A”或“B”） 18．（25-26八年级下·北京平谷·期末）车间4名工人单日加工零件的个数分别为9，12，18，9，若将这4名工人按照完成的个数大小排序后分成两组，共有以下3种情况，分别计算组内离差平方和，可以得到表中的结果： 分组情况 组内离差平方和 和 和 和 分组情况和的组内离差平方和是________，依据以上计算结果，合理的分组情况是________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·吉林长春·期末）在自由式滑雪空中技巧比赛中，裁判根据运动员的腾空高度、空中姿态、落地稳定性分别打出三项分数，每项的满分值均为30分，然后按照以下权重计算“动作完成分”：腾空高度占，空中姿态占，落地稳定性占．某选手在最后一跳中，三项得分为：腾空高度分，空中姿态25分，落地稳定性27分，求该选手这一跳的动作完成分． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·陕西渭南·期末）某校射箭社团准备在甲、乙两名学生中选出一人参加集训，现对他们进行了5次测试，将他们5次射箭命中的环数记录如下（单位：环）： 【数据收集】 甲：7，8，8，8，9； 乙：7，7，7，9，10． 【数据分析】 学生 平均数/环 中位数/环 众数/环 离差平方和 甲 8 2 乙 8 7 根据上述收集、分析的结果，解答下列问题： （1）上表中_____________，_____________； （2）求学生甲这5次射箭命中环数的平均数； （3）如果要选出一个成绩较为稳定的人参加集训，请你判断选谁参加集训更合适，并说明理由． 【答案】（1）7，8；（2）8；（3）解：选择甲，理由如下： 21．（本小题满分10分）（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）某校开展航天知识竞赛，记分员分别记录了甲，乙两组同学的得分情况（单位：分）．相关信息如下： 甲组：，，，，，，，． 乙组：，，，，，，，． 甲、乙两组竞赛成绩的箱线图如图． （1）甲组的中位数是________分，下四分位数是________分，乙组的上四分位数是________分． （2）请结合箱线图评价这两组同学的成绩． 22．（本小题满分10分）（2026·北京·中考真题）若干名学生参加编程比赛，比赛共8轮，每轮有3道题，每人每轮的得分为该轮答对题目的数量（得分为整数）．已知甲、乙两名学生8轮得分的情况如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲8轮得分的平均数为________，乙8轮得分的平均数为________； （2）记甲、乙8轮得分的方差分别为和，则________（填“”“”或“”）； （3）如果丙8轮得分的中位数为，那么丙8轮得分的平均数是不是一定大于乙8轮得分的平均数？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·全国·随堂练习）某银行有A和B两个理财经营团队．2024年上半年这两个理财团队分别负责经营12项理财产品，收益率（单位：）如下： A：4.77  3.98  4.88  4.89  2.15  3.85  3.64  3.21  3.18  2.02  4.11  4.10 B：3.18  3.84  3.99  3.67  3.40  3.60  4.10  4.21  4.15  4.44  3.87  3.91 某同学想要利用四分位数分析A，B两个团队的经营水平．下表为他绘制的两个团队理财产品收益率数据的四分位数． 两个团队理财产品收益率数据的四分位数（单位：） 团队 A 3.195 3.915 4.440 B a 3.890 b    请根据以上信息，完成下列问题： （1）表中______，______； （2）该同学基于四分位数绘制了团队A的箱线图如图所示，获得了团队A数据的直观表示．请你根据团队A的箱线图在图中补全团队B的箱线图，并根据箱线图对A，B两个团队的经营水平从总体经营效益，稳健度方面作出评价． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·安徽滁州·期末）随着人工智能技术在环保领域的应用拓展，某科创团队开发了一款智能垃圾分类设备，计划从甲、乙两家算法测评平台中选择一家合作，以优化设备的算法性能．为此，团队收集了甲、乙两家各10组测试得分，对两家平台的算法评估结果进行整理，分析这两家平台在算法创新性呈现、实际场景适配度评估两方面的优劣势，制作了统计图表如下（不完整）． 算法创新性和实际场景适配度得分统计表： 统计量/平台 算法创新性得分 实际场景适配度得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 a 7 1 乙 8 8 7 （1）计算：______，扇形统计图中______，并补全频数分布直方图； （2）计算表格中乙的方差，即的值； （3）在算法测评合作中，该科创团队将算法创新性的整体水平作为首要选择标准，同时兼顾实际场景适配度的稳定性．请结合表中的统计量，为该团队推荐合适的合作平台，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $