九上26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.2.1　二次函数 y = ax² 的图象和性质 学科：数学（人教版·九年级上册） 第二十六章　二次函数（26.2.1） 主讲人：____________　　学校：____________ 上一节我们认识了二次函数的“式子”。这一节把它画出来——你会发现它是一条曲线，一条在生活里随处可见的曲线。 学习目标 1. 会用列表、描点、连线画出 y = ax² 的图象，认识抛物线。 2. 理解抛物线的开口方向、对称轴、顶点，并会由 a 的符号判断。 3. 掌握 y = ax² 的增减性与最值，理解 |a| 与开口大小的关系。 重点：图象的画法与性质。难点：把“式子里的 a”和“图象的开口”对应起来。 一 情境引入 一条曲线，能描述喷泉、篮球和桥拱 喷泉的水柱、投篮的轨迹、拱桥的轮廓——它们的形状惊人地相似。 这种曲线叫抛物线，它是二次函数的图象。 问题：y = x² 的图象到底长什么样？ 办法：和画一次函数一样——列表、描点、连线。 提醒：这一次，点连起来不再是直线。 先给三个生活图像（口头描述即可），建立“抛物线”的直观印象，再进入作图。 二 画图 第一步　列表：x 取相反数时，y 的值相同 x −3 −2 −1 0 1 2 3 y = x² 9 4 1 0 1 4 9 让学生自己算一遍再填表。“x 取相反数 y 相同”这一点要他们自己说出来——这就是对称性的来源。 第二步、第三步　描点、连线，得到一条曲线 把表中的点描出来，再用光滑曲线顺次连接。 注意：不能用折线把点直接连起来。 形状：开口向上的“U”形曲线。 名称：这条曲线叫做抛物线。 追问：它为什么左右对称？ x y -3 -2 -1 1 2 3 -2 2 4 6 8 O 对称轴：y 轴 y = x² 顶点 (0,0) y = x² “不能连成折线”要强调：抛物线是光滑的，点与点之间还有无穷多个点。可用几何画板演示加密取点的效果。 抛物线　y = ax² 的顶点与对称轴 抛物线 y = ax² 与它的对称轴的交点，叫做抛物线的顶点。 对于 y = x²：顶点是 (0,0)，对称轴是 y 轴（即直线 x = 0）。 顶点是图象的最低点（a > 0）或最高点（a < 0）。 一句话：顶点是抛物线的“转折点”，也是它的最值点。 顶点、对称轴是后面所有性质的基础。要求学生指着图说出“顶点在哪儿、对称轴是哪条线”。 a＞0：开口向上，顶点是最低点 开口：向上，并向上无限延伸。 顶点：(0,0)，是图象的最低点，即 x = 0 时 y 取得最小值 0。 对称轴：y 轴；图象关于 y 轴对称。 增减性：当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小； 　　　　　当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大。 增减性要结合图象讲“从左往右看，曲线在上升还是下降”，不要让学生背句子。 a＜0：开口向下，顶点成了最高点 把 y = x² 的每一项都取相反数，得到 y = −x²。 对应点：(x,y) → (x,−y)，图象上下翻折。 开口：向下；顶点 (0,0) 变成最高点，最大值 0。 增减性：x < 0 时 y 随 x 增大而增大；x > 0 时 r 随 x 增大而减小。 对比：两条抛物线关于 x 轴 对称。 “翻折”这个动作比死记“a<0 开口向下”有效得多。可以让学生把 y=x² 的表格直接变号，再描点验证。 同一坐标系里看：a 的符号决定开口方向 上方蓝色：y = x²，开口向上，顶点最低。 下方红色：y = −x²，开口向下，顶点最高。 共同点：顶点都是 (0,0)，对称轴都是 y 轴。 记忆：a > 0 向上，a < 0 向下——符号就是方向。 x y -3 -2 -1 1 2 3 -6 -4 -2 2 4 6 O a > 0 向上 a < 0 向下 y = x² y = −x² 两条曲线一次呈现，对比最强烈。让学生说出“哪里一样、哪里不一样”。 |a| 越大，开口越窄——形状也由 a 决定 三条抛物线（红、蓝、绿），解析式分别是： y = 2x²、y = x²、y = 1/2x²。 发现：a 越大，开口越窄；a 越小，开口越宽。 解释：同样 x = 1 时，2x² 的 y 最大，所以它“长得最快”。 注意：比较开口宽窄，要看 |a|，与正负无关。 x y -3 -2 -1 1 2 3 2 4 6 8 O y = 2x² y = x² y = (1/2)x² 1 2 1 2 “长得最快”这个说法很直观：x 每增加一点点，2x² 冲得最高。所以它最“瘦”。 三 性质梳理 y = ax² 的四条性质，一张表说清 项目 a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 顶点 (0,0)，最低点 (0,0)，最高点 对称轴 y 轴（x = 0） y 轴（x = 0） 增减性 x < 0 时递减；x > 0 时递增 x < 0 时递增；x > 0 时递减 最值 x = 0 时，y 最小 = 0 x = 0 时，y 最大 = 0 这张表是全章的地基。“递减”即“y 随 x 增大而减小”。建议让学生合上课本，凭图象把表默写一遍。 四 例题示范 例1　只看表达式，说出四条性质 说出 y = 3x² 的开口方向、顶点、对称轴、增减性与最值。 解：a = 3 > 0 ⇒ 开口向上，顶点 (0,0)，对称轴 y 轴。 　　x < 0 时 y 随 x 增大而减小；x > 0 时 y 随 x 增大而增大。 　　x = 0 时 y 有最小值 0。 变式：y = −1/4x² 呢？（开口向下，顶点 (0,0)，最大值 0） 1 4 “只看表达式”是本节的能力目标。要求学生先找 a，再按表格一路说下来。 例2　已知点，求 a 与函数值 抛物线 y = ax² 经过点 (2,−8)，求 a。 解：把 (2,−8) 代入得 − 8 = a · 4 ⇒ a = −2。 ∴ 函数为 y = −2x²，开口向下，顶点 (0,0)。 再问：点 (−2,−8) 在图象上吗？ 解：x = −2 时 y = −8，在图象上——这就是对称性。 “求 a”是待定系数法的最简形式。第二问顺手把对称性用一次，学生会有“原来如此”的感觉。 五 巩固练习 巩固练习：画、说、算 1. 画 y = 2x² 的图象（列表取 −2、−1、0、1、2）。 2. 说出 y = −3x² 的开口、顶点、对称轴与最值。 3. 抛物线 y = ax² 过点 (3,6)，求 a，并判断开口方向。 4. 比较 y = 4x²、y = 1/4x²、y = −4x² 开口的大小关系。 1 4 答案：2）向下，(0,0)，y 轴，最大值 0；3）a=2/3，开口向上；4）y=4x² 与 y=−4x² 开口一样窄且最窄，y=1/4x² 最宽。 易错辨析：四个高频错误 错1　把描出的点用折线连起来，画成“V”形。 错2　认为 a 越小开口越小（实际看 |a|）。 错3　说“顶点是最低点”，忘了 a < 0 时是最高点。 错4　求增减性时，把 x < 0 与 x > 0 两段写反。 错2 建议现场画 y=−4x² 与 y=1/4x² 对比：一个开口向下但很窄，一个开口向上但很宽。 课堂检测 1. y = −5x² 的开口＿＿，顶点＿＿，对称轴＿＿。 2. 若抛物线 y = ax² 开口向下，则 a＿＿0。 3. 点 (−3,9) 在 y = x² 上，则点 (3,9)＿＿（填“在”或“不在”）。 4. 抛物线 y = (k − 1)x² 有最高点，则 k 的取值范围是＿＿。 答案：1）向下，(0,0)，y 轴；2）<；3）在；4）k<1。第4题把“最高点”翻译成 a<0。 六 课堂小结 这节课我们学了什么？ 一个画法：列表 → 描点 → 连线（光滑曲线）。 两个概念：抛物线、顶点与对称轴。 三条性质：a 的符号定开口，|a| 定宽窄，顶点定最值。 一句提醒：增减性要分 x < 0 与 x > 0 两段说。 下一节：在 y=ax² 后面加上一个常数 k，图象会怎么动？ 课后作业 1. 基础题：教材习题 26.2 第 1、2 题。 2. 作图题：在同一坐标系中画出 y = 1/2x² 与 y = −1/2x²，并写出它们的共同点与不同点。 3. 计算题：抛物线 y = ax² 经过点 (−1,3)，求 a，并求 x = 2 时的函数值。 4. 思考题：若 y = ax² 的图象开口比 y = 3x² 更窄，a 应满足什么条件？ 第3题答案 a=3，x=2 时 y=12。第4题答案 |a|>3，即 a>3 或 a<−3——分类讨论的雏形。 $