26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

# 26.2.1 二次函数 $\boldsymbol{y=ax^2}$ 的图象和性质（人教版） ## 一、图像 函数$\boldsymbol{y=ax^2}$（$a≠0$）的图象是**抛物线**。 1. 画法：描点法（列表→描点→连线） 2. 对称轴：**y轴（直线$\boldsymbol{(\boldsymbol{((x=)0)})}$）** 3. 顶点：**原点$\boldsymbol{(\boldsymbol{((0,0))})}$**（抛物线与对称轴的交点） ## 二、性质（分两种情况） ### ① $\boldsymbol{(\boldsymbol{a>0})}$，开口**向上** - 顶点$(\boldsymbol{((0,0))})$是**最低点**，函数有**最小值0**； - 对称轴：$(\boldsymbol{((x=)0)})$； - 增减性： - $(x>0)$（y轴右侧）：$y$随$x$增大**而增大**； - $(x<0)$（y轴左侧）：$y$随$x$增大**而减小**。 ### ② $\boldsymbol{(\boldsymbol{a<0})}$，开口**向下** - 顶点$(\boldsymbol{((0,0))})$是**最高点**，函数有**最大值0**； - 对称轴：$(\boldsymbol{((x=)0)})$； - 增减性： - $(x>0)$（y轴右侧）：$y$随$x$增大**而减小**； - $(x<0)$（y轴左侧）：$y$随$x$增大**而增大**。 ### ✅ 补充重要结论 $\boldsymbol{|a|}$决定开口大小： $|a|$越大 → 开口越**小**； $|a|$越小 → 开口越**大**。 例：$y=3x^2$ 和 $y=0.5x^2$，$|3|>|0.5|$，所以$y=3x^2$开口更窄。 ## 三、基础过关 1. 抛物线$y=2x^2$，开口____，顶点____，对称轴____，当$(x=)$**时，最小值**。 2. 抛物线$y=-5x^2$，开口____，顶点____，对称轴____，当$(x=)$**时，最大值**。 3. $y=\dfrac13x^2$和$y=2x^2$，哪一个开口更大？________。 答案 1. 向上；$\(\boldsymbol{\((0,0)\)}\)$；直线$\(\boldsymbol{\(\(x=\)0\)}\)$；$0$；$0$ 2. 向下；$\(\boldsymbol{\((0,0)\)}\)$；直线$\(\boldsymbol{\(\(x=\)0\)}\)$；$0$；$0$ 3.$y=\dfrac13x^2$ ## 四、易错题 判断√/× 1. 抛物线$y=-2x^2$，$(x>0)$时，y随x增大而增大（×，向下，右侧递减） 2. $|a|$越大，抛物线开口越大（×，开口越小） 3. $y=ax^2$顶点一定是原点$(\boldsymbol{((0,0))})$（√） ## 五、题型总结 1. 判断开口方向、对称轴、顶点； 2. 判断增减性，比较函数值大小； 3. 根据开口大小比较$|a|$； 4. 求最大/最小值。 要不要继续下一节 $\boldsymbol{y=ax^2+k}$ 的图像与性质？ 人教版（新教材）数学九年级上册 26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十六章 二次函数 1 2 3 会用描点法画出二次函数 的图象；理解抛物线的有关概念； 掌握二次函数 的图象 和性质，并能运用性质解决简单问题； 通过观察、对比、归纳，探究二次函数 的图象和性质，体会数形结合和从特殊到一般的数学思想. 学习目标 思考 上节课我们学习了二次函数的概念，根据二次函数的一般形式，你能否说出二次函数的解析式有几种吗？ ④ ③ ② 二次函数的解析式形式 想一想 我们学过哪些函数图象？ ① 一次函数的图象，其形状为一条直线 已学 作图步骤 列表、描点、连线 本节课我们解了一次函数图象的研究过程，研究二次函数 的图象和性质. 情境导入 3 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 画出 y = x2 的图象. x … −2 −1 0 1 2 … y = x2 … 　 　 　 　 　 …　 4 1 0 1 4 1. 列表：在 y = x2 中自变量 x 可以取任意实数. 列表表示几组对应值： 2. 描点：根据表中 x，y 的数值在坐标平面中 描点 (x，y). 3. 连线：如图，再用平滑的曲线顺次连接各点， 就得到 y = x2 的图象． 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 当取更多个点时，二次函数 y = x2 的图象如下： 二次函数 y =x2 的图象是一条曲线，形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线 y = x2. 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 1.抛物线是轴对称图形吗？ 如果是，对称轴是什么？ 2.这个二次函数有最小值或者最大值吗？如果有，是多少？ 3.二次函数的最值与图象有何联系？ y = x2 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 y = x2 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点， 它是抛物线的最低点，为 (0，0). 这条抛物线关于 y 轴对称，y 轴就是它的对称轴. 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 观察二次函数 y = x2 的图象，y 随 x 的如何变化？ y = x2 从二次函数 y = x2 的图象可以看出： 当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大. 二次函数 y = ax2(a>0)的图象的性质 1. y＝ ax2 的图象是一条抛物线； 2. 图象开口向上； 3. 图象关于 y 轴对称； 4. 顶点 (0 ，0)； 5. 图象有最低点． 6.当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大. O −2 2 2 4 6 4 −4 8 x y y = ax2(a>0) 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． x ··· −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· ··· 16 9 4 1 0 1 4 9 16 ··· ··· ··· 列表如下： 8 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 4.5 32 8 2 0 32 18 8 2 18 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 O −2 2 2 4 6 4 −4 8 描点、连线，如图所示： x y y = 2x2 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． 观察三个函数的图象，归纳出他们的共同点和不同点. 二次函数 y = ax2(a>0)的图象的性质 O −2 2 2 4 6 4 −4 8 x y y = 2x2 共同点 开口向上，对称轴是 y 轴， 顶点是原点，也是抛物线的最低点. 不同点 开口大小不同， 二次项系数大的开口反而小. 当 a＞0 时，a 越大，开口越小. 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解：列表如下： x ··· −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· ··· −16 −9 −4 −1 0 1 4 9 16 ··· ··· ··· 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． −8 −2 −0.5 0 −8 −4.5 −2 −0.5 −4.5 −32 −8 −2 0 −32 −18 −8 −2 −18 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 描点、连线，如图所示： 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． 观察三个函数的图象，归纳出他们的共同点和不同点. O −2 2 −2 −4 −6 4 −4 −8 x y y = −2x2 二次函数 y = ax2(a<0)的图象的性质 共同点 开口向下，对称轴是 y 轴， 顶点是原点，也是抛物线的最高点. 不同点 开口大小不同， 二次项系数小的开口反而小. 当 a<0 时，a 越小，开口越小. O −2 2 −2 −4 −6 4 −4 −8 x y y = −2x2 二次函数 y = ax2(a<0)的图象的性质 1. y＝ax2 的图象是一条抛物线； 2. 图象开口向下； 3. 图象关于 y 轴对称； 4. 顶点 (0 ，0)； 5. 图象有最高点． 6.当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小. x y O y = ax2(a<0) 二次函数 y = ax2(a≠0)的图象的性质 y＝ax2 a > 0 a < 0 图象 开口方向与大小 对称性 顶点与最值 增减性 开口向上 开口向下 | a | 越大，开口越小 关于 y 轴对称，对称轴是 x＝0 顶点坐标是原点(0，0) 当 x = 0 时，y最小值 = 0 当 x = 0 时，y最大值 = 0 在对称轴左侧递减，右侧递增 在对称轴左侧递增，右侧递减 x y O x y O 1. 返回 二次函数y＝x2的图象大致是(　　) A 举一反三 18 返回 2. 抛物线y＝－2x2的开口(　　) A．向上 B．向左 C．向右 D．向下 D 举一反三 返回 3. 抛物线y＝3x2的对称轴是(　　) A．直线x＝3 B．直线x＝－3 C．直线x＝0 D．直线y＝0 C 举一反三 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． 观察两个函数的图象，归纳出他们的共同点和不同点. 二次函数 y = ax2(a<0) 与 y = ax2(a>0)的 图象关于x轴对称. 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 把图中图象的号码，填在它的函数式后面：(填序号) (1)y=3x2的图象是_______； (2)y= x2的图象是_______； (3)y=−x2的图象是_______；(4)y=x2的图象是_______． ③ ① ④ ② a>0时，二次函数 y = ax2的图象开口向上，a<0时，二次函数 y = ax2的图象开口向下，①③对应的二次函数a>0，②④对应的二次函数a<0;又| a | 越大，开口越小，因此③④对应的二次函数的| a | 更大. 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知 y = (m + 1)x 是二次函数，且其图象开口向上，求 m 的值和函数解析式. m2−2m−1 解：依题意有 m + 1 > 0， ① m2 −2m−1= 2. ② 解②得 m1 = −1，m2 = 3. 由①得 m > −1. ∴ m = 3. 此时，二次函数的解析式为 y = 4x2. 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知抛物线y=ax2经过点A(−2,−8). (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点B(−1,−4)是否在此抛物线上. 解：(1)把A(−2，−8)代入y=ax2, 得−8=a(−2)2,解出a= −2, 所求函数解析式为y= −2x2. (2)把x=−1代入y = −2x2, 解得y=−2, 因为−2≠−4， 所以点B(−1 ，−4)不在此抛物线上. 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，四边形OABC是正方形，且点A,C恰好在抛物线 上点B在y轴上， 求OB的长. 解：根据正方形的性质可得 ，∴直线的解析式为 ， 联立 ，解得 或 ，∴ ， ∴ ， 在正方形 中， ∴ ． 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知二次函数 y = ax2的图象与直线 y = 2x−3交于点 ． (1)求a和b的值； (1)解：在 y = 2x−3中，当 时， ， ∴ ，即 ， 把点A的坐标代入 y = ax2得 ， ∴ ； 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)当x取何值时，二次函数 y = ax2中的函数值y随x值的增大而增大？ (3)求抛物线 y = ax2与直线 y = 2x−3的另一个交点 B的坐标． (2)解：由(1)得二次函数的解析式为 ， ∴对称轴为y轴，函数图象开口向下， ∴当 时，二次函数的函数值随的增大而增大； (3)解：联立 ，解得 或 ， ∴点B的坐标为(−3,−9)． 返回 4. 抛物线y＝－2x2的顶点坐标是(　　) A．(2，0) B．(－2，0) C．(0，0) D．(0，－2) C 举一反三 [教材P35练习T1变式](1)在同一平面直角坐标系(如图)中，画出函数y＝2x2，y＝ x2，y＝－2x2与y＝－ x2的图象． 返回 5. 解：如图所示． 举一反三 (2)观察(1)中所画的图象，回答下列问题： ①抛物线y＝2x2与抛物线__________的形状相同，且两抛物线关于______对称；同样地，抛物线y＝ x2与抛物线________的形状相同，也关于________对称． ②抛物线y＝2x2的开口比抛物线y＝ x2的开口________(填“大”或“小”)，抛物线y＝－2x2的开口比抛物线y＝－ x2的开口________(填“大”或“小”)． 返回 y＝－2x2 x轴 x轴 小 小 举一反三 ③在抛物线y＝ax2中，当|a|相同时，抛物线开口大小________；|a|越大，抛物线开口越________；|a|越小，抛物线开口越________． ④应用：抛物线y＝3x2与y＝x2中，开口较小的是抛物线________． 返回 相同 小 大 y＝3x2 举一反三 二次函数y＝－5x2的图象，在y轴右侧，y随x的增大而(　　) A．增大 B．减小 C．先减小后增大 D．先增大后减小 返回 6. B 举一反三 返回 7. 已知二次函数y＝(a－1)x2，当x＞0时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是(　　) A．a＞0 B．a＞1 C．a≠1 D．a＜1 B 举一反三 返回 8. 若点(1，y1)，(2，y2)都在二次函数y＝x2的图象上，则(　　) A．y1＞y2＞0 B．0＜y1＜y2 C．y1＞0＞y2 D．y1＜0＜y2 B 举一反三 返回 9. 根据下列条件求a的值或取值范围． (1)函数y＝(a－2)x2，当x>0时，y随x的增大而减小，当x<0时，y随x的增大而增大； (2)函数y＝(3a－2)x2有最大值； (3)函数y＝axa2＋a的图象是开口向上的抛物线． 解：(1)由题意可得，a－2<0，解得a<2. (2) 由题意可得，3a－2<0，解得a< 举一反三 35 返回 10. [保定一模点M(m，2 027)在函数y＝x2的图象上，已知452＝2 025，则下列选项正确的是(　　) A．m>45 B．m<45 C．|m|>45 D．|m|<45 C 举一反三 36 11. [唐山期末]夕夕用软件绘制二次函数y＝4x2的图象时，将“4”按成了“5”，和原图象相比，发生改变的是(　　) A．开口方向 B．开口大小 C．对称轴 D．顶点坐标 B 返回 举一反三 37 返回 12. 如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数①y＝2x2；②y＝x2；③y＝ x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数为(　　) A．①②③ B．①③② C．②③① D．③②① A 举一反三 38 13. 一次函数y＝ax＋a与二次函数y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) 返回 D 举一反三 14. 如图，以点O为圆心的圆的半径为2，C1是函数y＝x2的图象，C2是函数y＝－x2的图象，则阴影部分的面积是(　　) A．π B．2π C．4π D．无法确定 返回 B 举一反三 15. 已知函数 是关于x的二次函数． (1)求m的值； 返回 解：∵函数 是关于x的二次函数， ∴m2＋m－4＝2，且m＋2≠0， 解得m1＝－3，m2＝2， ∴m的值为2或－3. 举一反三 (2)当m为何值时，二次函数的图象有最低点？求出这个最低点的坐标，此时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 返回 解：当m＝2时，二次函数的图象有最低点， 此时y＝4x2，其图象最低点的坐标为(0，0)， 当x＞0时，y随x的增大而增大． 举一反三 (3)当m为何值时，二次函数有最大值，最大值是多少？此时当x为何值时，y随x的增大而减小？ 解：当m＝－3时，二次函数有最大值，此时y＝－x2， 二次函数的最大值为0， 当x＞0时，y随x的增大而减小． 返回 举一反三 16. 【新考法 临界问题】如图，抛物线y＝ax2与四条直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2围成的正方形ABCD有公共点． (1)求a的取值范围； 解：∵正方形ABCD是由直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2围成的， ∴A(1，2)，C(2，1)， 把点A(1，2)的坐标代入y＝ax2，得a＝2， 返回 举一反三 (2)若a为整数，求该抛物线的解析式． 返回 解：∵a为整数且 ≤a≤2，∴a＝1或2， ∴该抛物线的解析式为y＝x2或y＝2x2. 举一反三 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 二次函数 y = ax2的 图象的性质 画法 描点法 在对称轴两侧对称取点 图象 抛物线 轴对称图形 性质 重点关注 开口方向及大小 对称轴 顶点坐标 增减性 谢谢观看 THANKS y＝－x2 . (3) 解：由题意可得，解得a＝1. y＝(m＋2)xm2＋m－4 y＝(m＋2)xm2＋m－4 把点C(2，1)的坐标代入y＝ax2，得a＝， ∴a的取值范围为≤a≤2. $