精品解析：重庆市开州区文峰教共体 2026-2027学年九年级上学期10月期中数学试题

命学科网命组卷网 文峰初中教共体2026年秋季学期九年级数学学科第一次课堂作业 (全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟) 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成： b 4ac-b2 参考公式：抛物线y=a2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为2a’4a,对称轴为直线x=- 2a. 一、单选题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号 为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对 应的方框涂黑. 1.5的相反数是( ) 、1 A.5 B.-5 D.5 【答案】B 【解析】 【详解】解：只有符号不同的两个数互为相反数， ∴.5的相反数是-5 2.下列方程是一元二次方程的是() 第1页/共37页 6学科网 命组卷网 A.x2-5x=1 B.3x+2y=1 D.ax2+bx+c=0 【答案】A 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可. 【详解】解：A、方程”-5x=是一元二次方程，符合题意， 3x+2y=1 B、方程 中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意： 2、1 =1 C、方程 不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意： D,当a=0时，+br+c=0 不是一元二次方程，因此该方程不一定是一元二次方程，不符合题意 3.据国内AI产品榜统计数据，某款AI搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数(DAU)迅速突破 两千万大关，达22150000.将数据22150000用科学记数法表示为() A.0.2215×107 B.2.215x106 c.22.15×106 D.2.215x107 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法。科学记数法的表示形式为a×10 的形式，其中 ak10,"为 整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.据此求解即可. 【详解】解： 22150000=2.215×10 故选：D, 4关于抛物线y=(x-2+4,下列说法正确的是() A.开口向上 B.对称轴是直线x=-2 C顶点坐标是(2,4) D.x>2时，y随x增大而增大 【答案】C 第2页/共37页 6学科网命组卷网 【解析】 【分析】根据顶点式y=ax-+k 的性质，判断开口方向、对称轴、项点坐标和增减性即可得到答案 【详解】解：y=-(x-2)}2+4 ·顶点坐标为(2,4) 对称轴为直线x=2,故B错误，C正确： .a=-1<0, ,抛物线开口向下，故A错误， 当x>2时，y随x的增大而减小，故D错误. 5.如图，点D,E,F分别是△ABC各边上的中点，∠A=70°，则∠EDF=() 20° A B.400 C 700 D1100 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行线的性质，首先得到DE,DF是△ABC的中位线， 得 DE‖lAC,DF∥AB,然后根据平行线的性质求解即可. 【详解】：点D,E,F分别是△ABC各边上的中点， :DE,DF是△MBC 中位线 :DE AC DFMAB 第3页/共37页 命学科网命组卷网 ∠DEB=∠A=70° :DF∥AB :∠EDF=∠DEB=700 故选：C 6.如图，把小正方形摆成一层、两层、三层…，如果按此规律摆成的图形共有59层，则小正方形的个 数为（) A.1800 B.1770 C.60 D.59 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化类问题，观察前几幅图的小正方形的个数，找到规律，即可求解. 【详解】解：根据图示可知，从左往右： 第1幅图：1个正方形， 第2幅图：3个正方形，3=1+2， 第3幅图：6个正方形，6=1+2+3， 第4幅图：10个正方形，10=1+2+3+4， 1+2+.+59=1+59 ×59=1770 如果按此规律摆成的图形共有59层，则小正方形的个数为 2 故选：B, 7.九年级(1)班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了870份 留言.如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为() x(x-)-870 x(x+1) A.2 B.2 =870 C.x(x-1)=870 D.x(x+1)=870 第4页/共37页 学科网 命组卷网 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是理解题意，找准等量关系. 假设全班有x名学生，根据留言的数量，列出方程即可. 【详解】解：假设全班有x名学生，根据题意得， x(x-1)=870 故选：C &已知二次西数'=+bx+a+0的网象图所示，有下列结论，0b-4ac>0okc>0g b=-2a a+b+c>0 ,下列选项正确的是() A.①②③④ B.①②④ C.①②③ D.①② 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断℃与0的关系，然后根据对 称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断. 【详解】解：①由图可知，抛物线与x轴有两个不同的交点， 则△=b2-4ac>0,故①正确， ②③由图可知，抛物线的开口向上，则a>0, 抛物线的对称轴为x= 201,6=-2a,故③正确： .b=-2a∴b<0 第5页/共37页 学科网 命组卷网 抛物线交y轴于负半轴，可得：C<0, ∴.abc>0 ,故②正确. ④由图可知，当术=1 r-时，y=a+b+c<0 故④不正确。 综上所述：以上结论正确的有①②③. 9.如图，点E为正方形ABCD上一点，2BE=CE,连接AE,点F为点B关于AE的对称点，连接 SAGDH BF并延长，交CD于点G,连接AG,过点B作BH⊥AG于点H,连接DH,则S△MDH的值为( D G 4 7 53 A.3 B.2 c.6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明 CBG≌△BME(ASA),推出CG=BE,设CG=BE=a,求得AG=VI3a,利用等 积法求得BH 1B,利用勾股定理求得H-3a 9V13a 1B,再求得G=73a 13，再利用同高的两个三 角形面积的比等于底的比即可求解. 【详解】解：，正方形ABCD, 第6页/共37页 6学科网6组卷网 .AB=BC,∠ABE=∠C=90°， ,点F为点B关于AE的对称点， .BG⊥AE, .∠CBG=90°-∠AEB=∠BAE. :.△CBG≌△BAE(ASA) .CG=BE, 设CG=BE=a, .CE=2BE=2a .AB=BC=CD=DA=3a. .DG=2a, AG=VAD2+DG2 =13a :H⊥AG,Sm=号4GxBA-xBC 2 BH-ABx BC_3a-3a 9/a AG 13a 13, 0ay 6V13a 13, .GH=AG-AH 3a-613a_73a 1313, SAGDH_GH7 ·SAADH AH6. 第7页/共37页 命学科网命组卷网 10.关于x的一元二次方程r+r+c=0(a+0),有下列四个结论：①若x=c是该方程的一个根，则 一定有ac+b+1= 0成立：②若a+C=b,则方程r+br+C=0有一根为x=-l,®若该方程的解为 1 x=2和X=3,则方程cx2-hr+a=0的解是x=3或=2：④当a<0,b+c>0,b-c<0时，方 程一定有实数根.其中，正确的个数有()个 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程的根的定义验证结论①②，结合根与系数的关系推导结论③，通过根的判别式 结合不等式条件判断结论④. 【详解】解：①将x=C代入方程+hr+c=0,得ac+bc+c=0, 整理得c(ac+b+1)=0 当C=0时等式成立，不一定有aC+b+1=0,故①错误： ②将x=-1代入方程左边，得a-b+C, 由a+c=b,得a-b+c=0, 故尤=一1是方程的根，②正确： 1 x=- ③.方程ax2+bx+c=0的解为x=2和3， 第8页/共37页 6学科网列组卷网 1_7C=2×5 b=2+ 12 .由根与系数的关系，得a33,a33, 6、7 2 -a c=-a 即3“， 3, 2 代入方程cx2-bx+a=0,得3 o+ax+a=0 3 a≠0，两边同乘a得2x2+7x+3=0, 1 解得x=-3或=2，故③错误： ④由b-C<0得b<c, 若C≤0，则b<c≤0，可得b+C<0,与b+c>0矛盾， ∴.c>0 a<0 ∴.-4ac>0 .b2≥0 ∴A=b-4ac>0,方程一定有实数根，故④正确， 综上，正确的结论有2个. 第9页/共37页 6学科网 命组卷网 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡 中对应的横线上. 1.己知方程+mx-8=0 的一个根为4，则”的值为 【答案】2 【解析】 【分析】将己知根代入原方程，即可得到关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值. 【详解】解，x三一4是方程产+-8=0 根， .将x=一4代入原方程得 (-4)2+m(-4)-8=0 计算整理得 8-4m=0 解得m-2, 12将二次函数y=2x 的图像向左平移1个单位，再向上平移了个单位，得到的函数解析式是 (用顶点式表示) 【答案】y=2(x+1)2+5 【解析】 【分析】根据二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”规律，对原解析式进行变换即可得到结果. 【详解】解：二次函数图像平移遵循“左加右减，上加下减”的规律， 原二次函数解析式为'=2x 向左平移个单位，需对自变量x左加，将替换为术+1， ·第一次平移后得到y=2(x+1)2 再向上平移5个单位，需对函数整体上加，在式子后加5， 第10页/供37页 6学科网命组卷网 ·最终得到的函数解析式为y=2(x+1)+5 1,1 13.若一元二次方程x2-2x-1=0的两根为m,n,则mn的值为 【答案】-2 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求式子通分变形后代入计算即 可. 【详解】解：：一元二次方程-2x-1=0。 m,n 的两根为， :m+n=-62 2m=c=1-1 a 1 a I 1,1m+n .'m n mn, 22 “将m+n=2,mn=-l代入得-1 14已知点4(-2，)，B(2,),C(3乃)都在抛物线y=-2x+1上，则片，乃，片的大小关系为 (用<符号连接) 【答案】 y2<3< 【解析】 【分析】将三个点的横坐标分别代入抛物线解析式，计算出对应纵坐标值后比较大小即可. 【详解】解：点1(-2，)，B(2乃），C(3,）都在抛物线y=-2x+1上， :片=(-2)}-2×(-2)+1=9.片=22-2×2+1=1⅓=32-2×3+1=4 .1<4<9, 第11页/共37页 命学科网命组卷网 :为<为<% 15,如果一个四位白然数abcd的各数位上的数字互不相等且均不为0，且满足=b+c+d,那么称这 个四位数为“平方分解数”：例如：四位数3162，因为3=1+6+2 所以3162是“平方分解数”；四 位数4231，因为4≠2+3+1，所以4231不是“平方分解数” (1)若ab52 是“平方分解数”，则这个数最大是 (2)四位自然数M是“平方分解数”，将“平方分解数M”的千位数字与百位数字对调，十位数字与 个位数字对调，得到新数N,若M+N+44能被33整除，则满足条件的M的最大值为 【答案】 ①.4952 ②.4961 【解析】 【分析】(1)根据“平方分解数”的定义得到a=Vb+5+2 ,再结合各数位上的数字取值进行分析，即 可解题； (2)设这个四位数M=ahcd,则N=badc,根据M+N+44 能被33整除，并结合各数位上的数字取 值进行分析，即可解题 理解新定义、正确推理计算是解题关键。 【详解】解：()：b52是“平方分解数”， .a2=b+5+2 即a=Vb+5+2 当时 b=9 4有最大值4， .这个数最大是4952 第12页/供37页 6学科网命组卷网 (2)设这个四位数M=abcd,则V=hadc ∴.M+N+44=1000a+100b+10c+d+1000b+100a+10d+c+44 =1100a+1100b+11c+11d+44 =(1089a+1089b)+11a+11b+11c+11d)+44 =1089(a+b)+11(a+b+c+d)+44 四位数M是“平方分解数”， :.a2=b+c+d ∴.M+N+44=1089(a+b)+11(a+a2)+33+11=1089(a+b)+11a+a2+1+33 .M+N+44 能被33整除， M+N+441089(a+b)+11(a+a2+1)+ 3=3(a+b)+1+a+g+ 33 33 3， :a+a2+1 3的值是整数，又a≠b≠c≠d,0<a≤9,0<b≤9,0<c≤9,0<d≤9， a的可能取值为1,4,7， 当a=l时，b+c+d=1,由于b,c,d为互不相等的非零数字，故a≠1， 当a=7时，b+c+d=49,其和最大为23<49，故a≠7， .满足条件的a的值为4， ∴.b+c+d=a2=16 “要求M的最大值，则 .M b=9c=6d=1 ∴满足条件的M的最大值是4961. 16.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O.∠DAC=45°，BD=2CD,E是 第13页/共37页 6学科网 命组卷网 BC上一点，连接E交BD于点F,AB=ME,连接DE交AC于点P,4C=N2BE,若EC=2 AD 则AE= DE D 3√2 【答案】 ①.2V5 ②.4 【解析】 【分析】作AG⊥BC,利用∠DAC=45°及平行四边形性质证△AGC为等腰直角三角形，结合 AC=2BE 推导线段关系求出BE及AG长，进而求AE:作EH上AD,利用勾股定理求DE,计算 比值. 【详解】解：作AG⊥BC于点G,过点E作EH⊥AD于点H, B G ABCD 四边形 是平行四边形， .ADI/BC AD=BC ∴.∠ACB=∠DAC=45° AG⊥BC, 第14页/供37页 6学科网命组卷网 ..AAGC 是等腰直角三角形， ..AG=GC= AC=2BE ∴.AG=GC=BE .AB=AEAG⊥BC ∴.BG=GE .BE=2GE .GC=GE+EC ∴.2GE=GE+EC .GE=EC=2, ..BG=GE=2 BE=4 AG=GC=4 .BC=BG+GE+EC=6」 在RtAAGE中，AE=VAG2+GE2=V4+2=2V5 BC=6 AD=BC ..AD=BC=6 .ADIIBC AG⊥BCEH⊥AD .∠AGE=∠GEH=∠AHE=90°， 第15页/供37页 6学科网 命组卷网 “四边形 AGEH 是矩形， ∴.EH=AG=4AH=GE=2 ∴.DH=AD-AH=6-2=4 在RtADHE中，DE=VDH+EH2=V4+42=42 :4D-63V2 DE424· 三、解答题（本大题9个小题，第17题、第18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时 每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过 程书写在答题卡中对应的位置上。 17.解下列方程： (1)(x+5)}2=25 (2)x2+2x-3=0 【答案】(1) x1=0x2=-10 (2) x=1x2=-3 【解析】 【小问1详解】 解：(x+5)2=25 开平方得x+5=±5， 第16页/共37页 6学科网 命组卷网 即x+5=5或x+5=-5, 解得=0x=-10 【小问2详解】 解：+2x-3=0 因式分解得(x-1(x+3)=0 即x-1=0或x+3=0, 解得=1书3 x2+2x+1 18.先化简，再求值： x2-x,其中x=2026°+1 x 2 【答案】x+1,3 【解析】 【分析】先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，因式分解后约分得到最简分式；再根据零指数幂求 出x的值，代入最简分式计算结果， 2x_1 x2+2x+1 【详解】解： x-1 x2-x [ 2-x+1 x-1厂x(x+ =x+Ix(x-1) Γx-1(x+1) 第17页供37页 6学科网命组卷网 x+1, 其中七=2026°+1=1+1=2 22 .原式2+13. 19.在学习了平行四边形和特殊的平行四边形后，八年级学习小组受到了启发，认为利用菱形的性质和判 定可以帮助我们完成一些尺规作图，对尺规作图作菱形展开了探究.已知四边形ABCD是平行四边形， (I)尺规作图：作∠B的角平分线交AD于点F,并在BC上作一点E,使CE=DF: (2)连接EF,求证：四边形ABEF是菱形. 【答案】(1)如图所示： FD (2)证明：如图， F D E ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.BC=AD,BC∥AD,即BE∥AF, 第18页/共37页 6学科网 命组卷网 ..CE=DF, .BC-CE=AD-DF,BE=AF, ∴.四边形ABEF是平行四边形， ∴.∠AFB=∠EBF, BF是∠B的平分线， .∠ABF=∠EBF, .∠ABF=∠AFB. .AB=AF, 四边形ABEF是菱形. 【解析】 【分析】(1)根据角平分线的尺规作图步骤作出角平分线BF,再截取CE=DF即可： (2)先根据平行四边形的性质得到BC=AD,BC∥AD,则BE=AF,进而可证明四边形ABEF是 平行四边形，再根据角平分线的定义和平行线的性质得到∠ABF=∠AFB,进而根据等腰三角形的判定 可得AB=AF,然后根据菱形的判定可证得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20.中国剪纸是人类非物质文化遗产，为传承中华优秀传统文化，我校七年级各班开展了“非遗剪纸进校 园”活动， 信息一：学校随机抽取部分学生，以投票的方式（每人一票），从A.窗花、B.人物、C.生肖、D.山 水.四类剪纸主题中，选出学生最喜欢的类型作为活动主题.统计投票结果，整理并绘制了如下不完整的 统计图. 第19页/供37页 命学科网命组卷网 投票结果频数分布直方图 频数 35 35 B 25 m 15 15 2 35% D 5 B C D类别 信息二：在活动中，评委对甲、乙两位同学的剪纸作品进行了打分，打分内容包括以下三项：构图规范、 图案创意、文化寓意（每项满分100分).两人的得分分别如下： 构图规范 图案创意 文化寓意 甲 90 95 87 乙 90 86 92 请解决下列问题： (1)请直接写出统计图中的m= n= ；并补全上面的频数分布直方图： (2)若我校七年级学生共有1200人，请估计最喜欢“C.生肖”主题的学生人数： 0%,40%,30% (3)若将构图规范、图案创意、文化寓意这三项得分依次按 的比例计算各人的成绩，哪 位同学成绩最高？说明理由 【答案】(1)20；15；补全条形统计图如下： 投票结果频数分布直方图 小频数 35 35 30 30 25 20 m (2)420人 (3)解：甲同学成绩最高，理由如下： 1 15 10 0 A B C D 类别 甲同学的成绩为：90×30%+95×40%+87×30%=91.1， 第20页/共37页 6学科网命组卷网 乙同学的成绩为：90×30%+86×40%+92×30%=89， .91.1>89, .甲同学成绩最高 【解析】 【分析】(1)用“C.生肖”的人数除以其人数占比可求出参与调查的学生人数，再根据“A.窗花”和 “D.山水”的人数占比可求出、n的值；再求出“B.人物”的学生人数，然后补全统计图即可： (2)用1200乘以样本中最喜欢“C.生肖”主题的学生人数占比即可解答： (3)分别计算出两位同学的成绩，然后比较即可. 【小问1详解】 解：35÷35%=100（人）， ∴.本次一共抽取的学生人数为100人， .m=100×72-20%=15 ×100%=15% 360 100 “B.人物”的学生人数为100-15-35-20=30（人）. 补全条形统计图略 【小问2详解】 解：1200×35%=420（人）， 答：估计最喜欢“C.生肖”主题的学生人数为420人. 【小问3详解】 略 21.根据素材完成任务， (1)【素材1】生产某款零部件的一间工厂因引入一体化加工，生产效率提升，4月份生产100个零部件， 第21页/供37页 6学科网命组卷网 同年6月份生产144个.求4月份到6月份生产数量的平均增长率： (2)【素材2】该零部件成本为30元/个，当售价为40元个时，月销售量为600个，售价每上涨1元，月 销售量减少10个.批发商为使月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，实际售价应定为每 个多少元？ 【答案】(1)平均增长率为20% (2)实际售价应定为每个50元 【解析】 【分析】(1)设该工厂4月份到6月份生产数量的平均增长率为x,根据题意列方程，解方程即可： (2)设涤价y元，则告价为(40+)元，销量为600-10)个，根据题意列出方程，解方程，再结合要 尽可能让购买方得到实惠，确定y的值，即可 【小问1详解】 解：设平均增长率为x, 100(1+x)2=144 解得x=0.2=20%或x=-2.2(不合实际，舍去)， 答：4月份到6月份生产数量的平均增长率为20%： 【小问2详解】 解：设涨价y元，则售价为(40+月元，销量为(600-10)个， 每个利润为40+y-30)=(10+》元. 由题意得(10+y)(600-10y）=10000 整理得y-50y+400=0 解得少=10y=40 或 尽可能让消费者得到实惠， 第22页/供37页 6学科网命组卷网 ∴.y=10 40+10=50 答：实际售价应定为每个50元. 22.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=6cm,点P从点A出发，以2cm/s的速度沿折线 A→B→ C运动，同时点巴从点B出发，以cm的造度沿线段BC运动.当点P到达点C时，P, BC P 2停止运动.设点P运动的时间为x(),△MP的面积为(cm) y/cm 10 7 6 5 3 2 D O12345678910x/秒 (1)请直接写出片与的函数关系式，并注明自变量x的取值范围： (2)在平面直角坐标系中，画出八的函数图象，并写出这个函数的一条性质： (3)若片与x的函数图象与直线片= 3+n 有两个交点，则n的取值范围是 [x2 (0<x≤3) 【答案】(1)%= 18-3x(3<x≤6) (2)如图所示： 第23页/供37页 可学科网命组卷网 y/cm 10 9 8 6 5 2 1 O12345678910x/秒 性质任写其一： 当0<x≤3时，随x增大而增大： 当3<x≤6时，y随x增大而减小： x=3y1 .9 时， 取得最大值. (3)2≤n<10 【解析】 【分折】第（)问整体上需先根据P的运动路径确定分界时刻x=3,再逐段用不同方法求面积： 第（②）问体现分段函数的图象与性质必须限定区间： 第(3)问片与x的函数图象与直线乃有两个交点时，求出过点(6,0)和点(3,9)的直线的函数关系式，即 可解答： 【小问1详解】 解：P到B用时： 6÷2=3(s) P到C(全程)用时：12÷2=6(S),故0<x≤6 当0<x≤3，P在AB上：MP=2x,B0=x 第24页/共37页 命学科网组卷网 为-2A0-B0=)2xx= 1 当3<x≤6，P在BC上.P0都在BC上.BP=2x-6,B0=x 上， 底PO=B0-BP=6-x ，高 =AB=6 %-号mB6-6=18-x 「x2 (0<x≤3) ∴.y= 18-3x(3<x≤6) 【小问2详解】 解：图见答案： 性质任写其一： 当0<x≤3时，随x增大而增大： 当3<x≤6时，少随x增大而减小： x=3,y1 9 时，取得最大值. 【小问3详解】 解：如图所示：片与少有两个交点，其图象应在如图所示的和之间，不与重合，但可与重合： ◆y/cm l210 9 8 6 5 O123456T8910/秒 将(6,0)，(39)代入五， 第25页/供37页 6学科网命组卷网 1 ×6+n=0 1 ×3+n=9 3 和3 解得：%=2乃=10 .2≤n<l0 23.开州区某快递公司设有中转站A,以及三个配送点B,C,D.如图，A,B,C,D在同一平面内.已 知配送点B位于中转站A的北偏西60°方向3km处，配送点C位于中转站A的正北方向，且位于配送点B 北偏东30°方向，配送点D位于中转站A的正东方向，经测量，C、D两配送点间的距离为10km, 北 西 》东 309 60 A (1)求AC与AD的距离： (2)快递员甲从中转站A出发到配送点C送快递，快递员乙从配送点D出发到中转站A取快递.已知快 递员甲和快递员乙的速度之比是1：2，当两快递员的直线距离恰好等于4km时，求快递员甲离中转站A的 距离. 【答案】(1)AC=6km,AD=8km. 12 km (2)快递员甲离中转站的距离为4km或5 【解析】 【分析】(1)求得∠ABC=90°，利用直角三角形的性质得到AC的长，最终在Rt△CDA中利用勾股定 第26页/共37页 6学科网列组卷网 理求解即可； (2)设甲快递员所在的位置为点G,乙快递员所在的位置为H时，根据快递员甲和快递员乙的速度之比 为1：2，得到路程之比为1：2，即DH=2AG,设快递员甲离中转站的距离AG=x,则DH=2x, AH=8-2x,Rt△AGH ，在 中，利用勾股定理列方程求解，进而求得快递员甲离中转站“的距离. 【小问1详解】 解：由题意得∠ACB=30°，∠CAB=60°， .∠ABC=180°-60°-30°=90°， AB=3, .AC=2AB=6. 在Rt△CDA中，AD=VCD2-AC2=102-62=8 .AC=6km,AD=8km 【小问2详解】 解：如图所示，设甲快递员所在的位置为点G，乙快递员所在的位置为H时，两快递员直线距离为4km, 北 西 →东 南 30 B 60 H D 1:2 快递员甲和快递员乙的速度之比为， .1:2DH=2AG 相同时间内快递员甲和快递员乙的路程之比为，即 第27页/供37页 学科网命组卷网 设快递员甲离中转站的距离AG=x,则DH=2x, .AH=AD-DH=8-2x 在RtAGH中，AG+AF=GH :x2+(8-2x)2=4 12 解得：七=4= 5. 12m 答：当两快递员直线距离为4km时，快递员甲离中转站的距离为4km或5 24如图，已知抛物线y=m+c+5经过C(-,0,B(4,-3)两点，与轴的另-个交点为A,顶点 为D,连接CD (1)求该抛物线的表达式： (2)当点P为直线BC下方抛物线上一动点（与点B，,C不重合），求△PBC的面积的最大值及点P 的坐标： (3)该抛物线上是否存在点P,使得∠PBC=∠BCD？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在， 请说明理由 【答案】(1)y=x2+6x+5 第28页/供37页 6学科网命组卷网 四.P) 【解析】 【分析】第0间把己知两点C、B的坐标代入一2+b+5,得到关于a、b的二元一次方程组，解 方程组即可 第(2)间用“铅锤高”把斜三角形面积化为关于横坐标的二次函数求最值， 第(3)问把“∠PBC=∠BCD”转化为两条直线的位置关系（平行或关于BC对称），分类求解析式后 再与抛物线联立求交点 【小问1详解】 解：将C(l,0),B(-4,-3)代入y=am2+bx+5: a-b+5=0 16a-46+5=-3 a=1 解得b=6 小抛物线解析式：y=r+6x+5 【小问2详解】 解：设直线BC:y=c+m,代入C(-l,0),B(-4,-3) 「k=1 得m=1, BC:y=x+1 直线 第29页/供37页 6学科网列组卷网 设P,+6+5列，4<1<-1， 如图所示：过P作竖直线交BC于F(,1+I). PF=(+1)-(2+61+5)=-2-51-4 5m方PF(-x,)-5-4小x3=++ 3 <0 27 当=-2时，88， -(+6(+5= 3) 【小问3详解】 解：由y=r+6x+5=(c+3-4,得顶点D(-3,4) 设CD直线解折式为：y=+b 将C(-1,0),D(-3,4),代入直线CD解析式， 第30页/共37页 6学科网列组卷网 -k+b=0 -3k+b=-4 [k=2 解得b=2 ∴.CD 直线解析式为'=2x+2 ①BPICD,则∠PBC=∠BCD(内错)角， kgp =2 BP:y=2x+5 直线 「y=2x+5 联立y=x2+6x+5, 得+4x=0,X=0或X=4X=4为点B,合去)， 得(0,5) ②BPCD BC ∠PBC=∠BCD 与 关于直线对称，亦满足 1 由对称求得 F2, 1 BP:y 直线 2t1 1 y= x-1 联立 y=x2+6x+5 得2x+11x+12=0 (2x+3)(x+4)=0 第31页/共37页 6学科网命组卷网 =一-4（点B,舍去）或r) :1.点p华标为@5.（用. 1 【点睛】本组题综合待定系数法、面积最值与角度存在性三类高频考点， 已知两点求解析式用待定系 1 S=-× 数法（普通式）；己知顶点优先顶点式；②斜三角形面积最值，铅锤高（°一2铅锤高×水平宽）是中 考标准解法，配方后注意对称轴三一2在定义域(4，-)内；③角度相等问题必分两类：同位内错角相 ④ 等（平行）、对称关系，二者都做才不漏解； 联立求交点后，务必剔除与己知点B重合的解，并检验 结果确在原抛物线上. 25.如图，在矩形ABCD中，点E为直线BC上一动点，连接AE,作等腰直角三角形AEF,使 ∠AEF=90°，AE=EF,连接DF D B B 图1 图2 图3 )如图1，若∠BAE=30°，B=5,求AF的长： 第32页/供37页 学科网命组卷网 (2)如图2，若点E为线段BC的中点，求证：DF=V2(AB-CE), (3)如图3，若AB=6,BC=8.请思考AF+DF是否存在最小值，若存在，请直接写出AF+DF 的最小值，若不存在，请说明理由 【答案】(1)2V2 (2)证明：如图2：过点F作FG⊥BC的延长线于点G,作FH⊥CD于点H, E 图2 .∠AEF=90°， ∴.∠AEB+∠FEG=90°， .FG⊥BC,FH⊥CD. :.∠ABE=∠FGE=90°，∠EFG+∠FEG=90°， .∠AEB=∠EFG. :在△ABE△EGF 和 中， ∠AEB=∠EFG ∠ABE=∠EGF AE=EF :.△ABE≌aEGF(AAS) .EG=AB=CD,BE=GF, ,点E为线段BC的中点， 第33页/供37页 6学科网组卷网 .BE=CE, .EC=FG .∠CHF=∠CGF=∠GCH=90° ∴四边形FHCG是矩形， ∴.CH=FG,FH=CG, .DH=CD-CH=AB-FG=EG-CE=CG. .DH=FH, “.△DHF为等腰直角三角形， DF=DH2+FH2=2DH2=2DH=(CD-CH)=(AB-CE) (3)解：MF+DF存在最小值：最小值为40：理自如下： 如图3：在AB的延长线上截取BG=BE,连接EG,在BC上截取BM=AB=6,连接FM, E B 图3 BG=BE,BM=AB=6,BC=8, .AB+BG=BM+BE,CM=BC-BM=8-6=2,∠BEG=∠G=45°， .AG=EM. 第34页/供37页 6学科网列组卷网 .∠ABE=90°， .∠AEB+∠EAG=90°， ∠AEF=90°，AE=EF, :.∠AEB+∠FEM=90°， .∠EAG=∠FEM, 在△AEG和△EFM中， AG=EM ∠EAG=∠FEM AE=EF :.△MEG≌aEFM(SAS) .∠G=∠EMF=45° .∠NMC=∠EMF=45°， .∠WMC=∠MNC=45°. .CM=CN=2, ∴点F的轨迹在如图4与CD夹角为45°的直线1上，作点D关于直线1的对称点D',延长AD交直线1 于点P,连接D'P,D'F, 第35页/供37页 6学科网组卷网 D E -MO 图4 :DF=D'F DP=D'P 在△DFP和△D'FP中， DF=D'F PD=PD' PF=PF :.△DFP≌aD'FP(SSS) .∠DPF=∠DPF, AF+DF=AF+D'F 当AF+DF取最小值时，A、F、D'三点共线，最小值为AD', .DN=CD-CN=6-2=4,∠MWC=∠DNP=45°， .∠DWP=∠DPF=∠D'PF=45°， .DN=DP=4,∠DPD'=∠DPF+∠D'PF=45°+45°=90°， .PD'=PD=4,AP=AD+DP=8+4=12, ∴在Rt△MPD中，AD=VAP2+PD2=V22+4?=40 【解析】 【分析】(1)利用含30°的角直角三角形的性质设BE=x,则AE=2BE=2x,利用勾股定理可求得 BE,进而求得AE,最后再利用勾股定理求得AF即可： 第36页/供37页 学科网命组卷网 (2)如图2：过点F作FG⊥BC的延长线于点G,作FH⊥CD于点H,证明△ABE2△EGF, 得到EG=AB=CD,BE=GF,证明四边形FHCG是矩形，得到CH=FG,FH=CG,即可证出 △DHF为等腰直角三角形，再利用勾股定理建立关系即可证明结论： (3)如图3：在AB的延长线上截取BG=BE,连接EG,在BC上截取BM=AB=6,连接FM,证 明△AEG≌△EFM可得到∠G=∠EMF=45°，即可推出点F的轨迹在如图4与CD夹角为45°的直线 I上，作点D关于直线I的对称点D',延长AD交直线I于点P,连接D'P、D'F,由 AF+DF=AF+D'F,可得到当AF+DF取最小值时，A、F、D'三点共线，最小值为AD',利用勾 股定理运算求解即可. 【小问1详解】 解：矩形ABCD. .∠ABE=90°， ·∠BAE=30°」 .设BE=x,则AE=2BE=2x, AE2=BE2+AB2 :(2x2=x2+(5,解得：x=1 BE=1,AE= 2,即B=EF=2 :.AF=VAE2+EF2=V22+22=2√2 【小问2详解】 略。 【小问3详解】 略。 第37页/供37页 文峰初中教共体2026年秋季学期九年级数学学科第一次课堂作业 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、单选题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 5的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，随增大而增大 5. 如图，点，，分别是各边上的中点，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，把小正方形摆成一层、两层、三层……，如果按此规律摆成的图形共有59层，则小正方形的个数为（ ） A. 1800 B. 1770 C. 60 D. 59 7. 九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为  （ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①②③④，下列选项正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①② 9. 如图，点为正方形上一点，，连接，点为点关于的对称点，连接并延长，交于点，连接，过点作于点，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 关于的一元二次方程，有下列四个结论：①若是该方程的一个根，则一定有成立；②若，则方程有一根为；③若该方程的解为和，则方程的解是或；④当，，时，方程一定有实数根．其中，正确的个数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 已知方程的一个根为，则的值为__________． 12. 将二次函数的图像向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的函数解析式是______．（用顶点式表示） 13. 若一元二次方程的两根为m，n，则的值为______． 14. 已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系为___________．（用符号连接） 15. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，且满足，那么称这个四位数为“平方分解数”；例如：四位数3162，因为，所以3162是“平方分解数”；四位数4231，因为，所以4231不是“平方分解数”． （1）若是“平方分解数”，则这个数最大是_____________； （2）四位自然数是“平方分解数”，将“平方分解数”的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数，若能被33整除，则满足条件的的最大值为_____________． 16. 如图，平行四边形中，对角线，相交于点．，，是上一点，连接交于点，，连接交于点，，若，则___________，___________． 三、解答题（本大题9个小题，第17题、第18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解下列方程： （1） （2） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 在学习了平行四边形和特殊的平行四边形后，八年级学习小组受到了启发，认为利用菱形的性质和判定可以帮助我们完成一些尺规作图，对尺规作图作菱形展开了探究．已知四边形是平行四边形． （1）尺规作图：作的角平分线交于点F，并在上作一点E，使； （2）连接，求证：四边形是菱形． 20. 中国剪纸是人类非物质文化遗产，为传承中华优秀传统文化，我校七年级各班开展了“非遗剪纸进校园”活动． 信息一：学校随机抽取部分学生，以投票的方式（每人一票），从A．窗花、B．人物、C．生肖、D．山水．四类剪纸主题中，选出学生最喜欢的类型作为活动主题．统计投票结果，整理并绘制了如下不完整的统计图． 信息二：在活动中，评委对甲、乙两位同学的剪纸作品进行了打分，打分内容包括以下三项：构图规范、图案创意、文化寓意（每项满分100分）．两人的得分分别如下： 构图规范 图案创意 文化寓意 甲 90 95 87 乙 90 86 92 请解决下列问题： （1）请直接写出统计图中的______，______；并补全上面的频数分布直方图； （2）若我校七年级学生共有1200人，请估计最喜欢“C．生肖”主题的学生人数； （3）若将构图规范、图案创意、文化寓意这三项得分依次按的比例计算各人的成绩，哪位同学成绩最高？说明理由． 21. 根据素材完成任务． （1）【素材1】生产某款零部件的一间工厂因引入一体化加工，生产效率提升，4月份生产100个零部件，同年6月份生产144个．求4月份到6月份生产数量的平均增长率； （2）【素材2】该零部件成本为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上涨1元，月销售量减少10个．批发商为使月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，实际售价应定为每个多少元？ 22. 如图，在中，，cm，点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动．当点到达点时，，停止运动．设点运动的时间为，的面积为． （1）请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质； （3）若与的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是________． 23. 开州区某快递公司设有中转站A，以及三个配送点B，C，D．如图，A，B，C，D在同一平面内．已知配送点B位于中转站A的北偏西方向处，配送点C位于中转站A的正北方向，且位于配送点B北偏东方向，配送点D位于中转站A的正东方向，经测量，C、D两配送点间的距离为． （1）求与的距离； （2）快递员甲从中转站A出发到配送点C送快递，快递员乙从配送点D出发到中转站A取快递．已知快递员甲和快递员乙的速度之比是，当两快递员的直线距离恰好等于时，求快递员甲离中转站A的距离． 24. 如图，已知抛物线经过两点，与轴的另一个交点为，顶点为，连接． （1）求该抛物线的表达式； （2）当点为直线下方抛物线上一动点（与点，不重合），求的面积的最大值及点的坐标； （3）该抛物线上是否存在点，使得？若存在，直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 如图，在矩形中，点为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形，使，，连接． （1）如图1．若，，求的长； （2）如图2，若点为线段的中点，求证：； （3）如图3，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $