精品解析：重庆市开州初中教育集团2024-2025学年九年级上期中测试数学试卷

开州初中教育集团2024-2025上九年级期中测试 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成． 参考公式：抛物线的顶点坐标，对称轴：直线． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确答案的代号填涂在答题卡上． 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小进行比较即可． 【详解】解：∵-2＜-＜0＜2， ∴最大的数是2； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了实数的大小比较，关键是掌握比较大小的法则． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判断即可． 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键． 【详解】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 3. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程叫做一元二次方程判断． 本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. ，是一元二次方程，不符合题意； B. ，不是整式方程，不符合题意； C. ，最高次数是3，不是2次，不符合题意； D. ，是一元二次方程，符合题意； 故选D． 4. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 当时，随的增大而增大 C. 顶点的坐标为 D. 图象与轴的交点坐标是 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为，当时，图象开口向上，当时，图象开口向下．据此判断即可求解． 【详解】解：，， 该二次函数图象开口向下，对称轴是直线， 当时，随的增大而增大， 顶点坐标为， 当时，， ∴图象与轴的交点坐标是 观察四个选项，选项B正确，符合题意． 故选：B． 5. 估算的结果（ ） A. 在6和7之间 B. 在7和8之间 C. 在8和9之间 D. 在9和10之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确进行二次根式的计算是关键；首先进行二次根式的混合运算，再对无理数进行估算即可． 【详解】解：， 而， ∴， ∴； 故选：C． 6. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式及二次函数的图象的问题，解题的关键是根据一元二次方程的根的判别式确定k的取值范围，难度不大．首先根据一元二次方程没有实数根确定k的取值范围，然后根据二次函数的性质确定其图象的位置． 【详解】解：∵方程没有实数根， ∴， 解得：， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，与y轴的交点在y轴正半轴，且关于y轴对称， 四个选项中，只有选项C符合， 故选：C． 7. 如图，点，，在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是求出度数和得出． 根据圆周角定理求出，根据等腰三角形性质得出，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 8. 将一些完全相同的梅花按如图所示的规律摆放，第1个图形有5朵梅花，第2个图形有8朵梅花，第3个图形有13朵梅花，…按此规律，则第7个图形中共有梅花的朵数是（ ） A. 39 B. 40 C. 53 D. 68 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得第1个图形有朵梅花，第2个图形有朵梅花，第3个图形有朵梅花，据此得出规律，进行解答即可． 【详解】解：∵第1个图形有朵梅花， 第2个图形有朵梅花， 第3个图形有朵梅花， ．．． ∴第个图形有朵梅花， ∴第7个图形中共有梅花的朵数是朵， 故选：C． 【点睛】本题考查了图形的变化规律，根据题意得出第个图形有朵梅花是解本题的关键． 9. 如图，为正方形的对角线上的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落到边上，线段交对角线于点，且为的中点．若正方形的边长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，过点作于点，先证明是等腰直角三角形，得到，再证明得到，，求出，得到，明，得到，求出（负值舍去），则 ，即可得到． 【详解】解：如图，过点作 于点， ∵四边形是正方形， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴ ∴， ∵正方形的边长为 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴ （负值舍去）， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 10. 已知多项式，多项式，则下列结论正确的有（ ） ①若，则代数式的值为； ②当，时，代数式的最小值为； ③当时，若，则关于的方程有两个实数根； ④当时，若，则的取值范围是． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用、含绝对值的式子的化简、解一元二次方程，整式的加减，熟练掌握相关方法是解题的关键． ①令解出的值，代入代数式即可； ②把代入，再配方求最小值； ③把代入求解； ④根据绝对值的意义求解． 【详解】解：①若，则，解得，； 当时，；当时，；故①正确； ②当时，，， 当时，的最小值取在，此时值为；故②正确； ③当时，，，则，解得，；故③正确； ④当时，，，，． 当且，即时，； 当且，即时，； 当且，即时，； 综上，的取值范围是．故④错误； ∴正确的有三个． 故选：C． 二、填空题：本大题8个小题，每小题4分，共32分，把答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握绝对值的化简、有理数乘方的运算是解题的关键．由可得，进而完成其余计算即可解答． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 12. 已知一个正多边形的每个内角都比它相邻的外角多，则它是正______边形． 【答案】九 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和与外角和的综合问题，利用方程思想解答是解题的关键．设外角为，则内角为，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设外角为，则内角为， 由题意，得， 解得， ∴， ∴这个正多边形是正九边形． 故答案为：九． 13. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场），每个组共安排场比赛．设每个组邀请个球队参加比赛，则可列方程得为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键，利用每组安排比赛的场数每组邀请球队数（每组邀请球队数），即可列出关于的一元二次方程，进而得到答案． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 14. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；由题意易得，然后根据整体思想进行求解即可． 【详解】解：由题意得：，则有， ∴； 故答案为5． 15. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（用“<”连接）______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质，把在抛物线对称轴两侧的点全部转化到对称轴的一侧是解题的关键；确定出抛物线的对称轴为直线，求出点A关于对称轴对称的点的坐标，利用二次函数的增减性质即可确定函数值的大小关系． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴点A关于对称轴对称的点的坐标为， ∵二次函数的二次项系数为正数， ∴当时，函数值y随自变量x的增大而增大， ∵， ∴； 故答案为：． 16. 若关于的不等式组有且仅有五个整数解，且关于的分式方程有整数解，求所有满足条件的整数的值之和为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】不等式组整理后，由题意确定出的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，检验即可． 【详解】， 不等式组整理得：， 由不等式组有且仅有五个整数解，得到， 解得：， ， 分式方程去分母得：， 解得：， 关于的分式方程的解为整数， 为整数，且， 解得：是的倍数，且． 则所有满足条件的为：，， 所有满足条件的和为：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 17. 矩形中，平分交于点，把绕点逆时针旋转交于点，过点作于点，连接，若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得：，，结合平分，可推出，进而得到，根据，可得到，推出，得到，推出，得到是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用相关知识． 18. 一个四位自然数，若满足，且，，则称四位数为“神奇数”．例如：四位自然数4312，因为，，，所以4312是“神奇数”．若是一个“神奇数”，且，则满足条件的的个数有______个，若是一个“神奇数”，设，，，和都是整数，则的值为______． 【答案】 ①. 5 ②. 9909 【解析】 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，解不等式组，新定义运算，先根据是一个“神奇数”，且，得出，，根据，得出，求出，即可得出满足条件的的个数；根据是一个“神奇数”，得出，，求出，，求出，，根据和都是整数，得出与都能被9整除，从而得出能被9整除，然后再整理得出答案即可． 【详解】解：∵是一个“神奇数”，且， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵c为整数， ∴，，2，3，4， ∴满足条件的的个数有5个； ∵是一个“神奇数”， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ， ∵和都是整数， ∴与都能被9整除， ∴能被9整除， ∵ ， ∵， ∴能被9整除， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵能被9整除， ∴， ∵，，， ∴， ∴当，时，，，，符合题意，此时； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 综上分析可知：． 故答案为：，． 三、解答题：本大题8个小题，19小题8分，其余每小题10分，共78分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上． 19. 解下列方程 （1）（用公式法解） （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）先求出，再利用求解即可； （2）先移项，再利用提取公因式分解，即可求解． 【小问1详解】 解：，， ，； 【小问2详解】 解： ，． 20. 为了了解同学们的安全意识，我区某中学开展了“安全知识竞赛”，现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的比赛成绩（成绩为百分制，学生得分均为整数且用表示，）进行整理、描述和分析，并将其共分成四组：（：，：，：，：）．下面给出了部分信息： 七年级名学生的比赛成绩是：，，，，，，，，，． 八年级名学生的比赛成绩在组中的数据是：，，． 七、八年级抽取的学生比赛成绩统计表： 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级安全意识更强？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级有名学生、八年级有名学生参加了此次“安全知识竞赛”，请估计参加此次比赛成绩不低于分的学生人数是多少？ 【答案】（1）；； （2） 八年级安全意识更强，理由如下： 七、八年级学生安全知识竞赛成绩的平均数相同，但八年级学生安全知识竞赛成绩中位数高于七年级学生安全知识竞赛成绩中位数，八年级学生安全知识竞赛成绩众数高于七年级学生安全知识竞赛成绩众数． （3）估计参加此次比赛成绩不低于分的学生人数是人 【解析】 【分析】本题考查统计图，结合了数据的分析，样本估计总体，熟练地能从统计图表中获取数据，并掌握平均数、中位数和众数的定义和意义是解题的关键． （1）先求出八年级名学生组人数所占百分比，再求出组人数所占百分比，即可求；先求出八年级组和组人数，再结合组数据和中位数定义求；利用众数的定义求； （2）利用平均数、中位数和众数的意义即可得出结论； （3）利用样本估计总体即可解决． 【小问1详解】 解：八年级名学生组人数所占百分比为， ∴组人数所占百分比为， 故； 八年级组人数为（人），组人数为（人）， 又∵组中的数据是：，，， ∴八年级学生成绩从小到大排列的第、个数据分别为、， ∴八年级学生成绩中位数， ∵七年级成绩出现次数最多的是， ∴七年级成绩的众数， 故答案为：；；． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计参加此次比赛成绩不低于分的学生人数是人． 21. 在学习了等腰三角形的相关知识后，小丽同学进行了更深入的研究，她发现等腰三角形两底角的角平分线的交点到两底角角平分线与腰的交点的距离相等，可利用证三角形全等得此结论根据她的想法与思路，完成以下作图与填空． （1）如图，在等腰中，是的角平分线．用尺规作的角平分线分别交、于点、（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知是等腰三角形，平分交于点，平分交于点，且、交于点．求证：． 证明：∵是等腰三角形， ∴________， ∵平分，平分， ∴_____，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴_____， ∴． 再进一步研究发现，等腰三角形两底角的外角角平分线所在直线的交点到外角平分线所在直线与两腰所在直线的交点的距离也满足该特点．即等腰三角形两底角的外角角平分线所在直线的交点到外角平分线所在直线与两腰所在直线的交点的距离______． 【答案】（1） 如下图所示 （2）；；；ASA；相等 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）以点为圆心作弧，分别交于点，再分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧并交于点，作射线并分别交、于点、，即可获得答案； （2）首先根据等腰三角形的性质和角平分线的定义可得，进而可得，再利用“”证明，由全等三角形的性质可得，并由此得出结论． 【小问1详解】 解：用尺规作的角平分线分别交、于点、； 【小问2详解】 已知是等腰三角形，平分交于点，平分交于点，且、交于点．求证：． 证明：∵是等腰三角形， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 再进一步研究发现，等腰三角形两底角的外角角平分线所在直线的交点到外角平分线所在直线与两腰所在直线的交点的距离也满足该特点．即等腰三角形两底角的外角角平分线所在直线的交点到外角平分线所在直线与两腰所在直线的交点的距离相等． 故答案为：；；；ASA；相等． 22. 如图1．在中，，，，为上一点，，动点以每秒1个单位长度的速度，沿着的路线运动．设点运动的时间为秒，的面积为，请解答下列问题： （1）请直接写出与之间的函数解析式及的取值范围，并在如图2所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）观察该函数的图象，写出该函数的一条性质：__________________________________________． （3）根据图象，直接写出当时，的取值范围______________________________． 【答案】（1）， 图象如下； （2）当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 （3）当时，或 【解析】 【分析】本题考查了含的直角三角形，一次函数的图象与性质．数形结合是解题的关键． （1）由题意知，，由题意知，分当时，当时，两种情况求解即可；然后画函数图象即可； （2）根据图象中随着的变化情况作答即可； （3）利用时，函数图像在的下方或上，求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， 由题意知，当时，， ∴； 当时，如图1，作于， ∴， 由题意知，， ∴，， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； 故答案为：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； 【小问3详解】 解：如图， 时，函数图像在的下方或上， 由图可得时，或， 故答案为：或． 23. 双“十一”期间，商店纷纷搞促销活动，小亮发现某店有、两种玩具正在参加活动，已知每个款玩具的售价是每个款玩具售价的2倍，顾客用160元购买款玩具的数量比用160元购买款玩具的数量少1个． （1）求每个款玩具的售价为多少元？ （2）经统计，该店每月卖出款玩具100个，每个款玩具的利润为50元．为了尽快减少库存，该店决定采取适当的降价措施．调查发现，每个款玩具的售价每降低5元，那么平均每月可多售出15个，该店想每月销售款玩具的利润达到5200元，则每个款玩具应降价多少元？ 【答案】（1）每个款玩具的售价为80元 （2）每个款玩具应降价10元 【解析】 【分析】（1）设每个款玩具的售价为元．由题意得，，解方程即可． （2）设每个款玩具应降价元．由题意得，，解方程，合理对方程根进行取舍． 本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列出方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设每个款玩具的售价为元． 由题意得， 解得 经检验：是原分式方程的解，且符合题意 答：每个款玩具的售价为80元． 【小问2详解】 解：设每个款玩具应降价元． 由题意得，， 解得，， 为了尽快减少库存， ， 答：每个款玩具应降价10元． 24. 周日早上，爷爷和小明约定到公园去锻炼身体，公园在小明家A的正东方向的处，但是由于AE道路施工，爷爷先沿正北方向走了300米到达处，再从处沿北偏东方向行走300米到达处，从处沿正东方向走了150米到达处，最后沿方向到达处，已知点在点的南偏东方向．爷爷先出发3分钟后小明从家选择另一路线步行前往处，已知点在点的南偏东方向，且点在点的正南方向． （1）求AE的长度（结果保留根号）； （2）若爷爷步行速度为50米/分，小明步行速度为70米/分，小明和爷爷始终保持匀速行驶，请计算说明小明和爷爷谁先到达公园？（参考数据：；） 【答案】（1）AE的长度为米 （2） 解：在中，，米， （米）， 在中，，米， ∴， 由勾股定理得：米， ∴米， 爷爷到达所用时间： （分钟）， 小明到达所用时间： （分钟）， ， 小明先到达公园． 【解析】 【分析】（1）延长AB、DC交于点，过点作于点．易得四边形是矩形，则有；在中，可求得，进而求得；在中可求得，由即可求解； （2）在中，可求得（米），在中，由含30度角直角三角形的性质及勾股定理可求得，则可求得爷爷与小明到达公园所用时间，再比较即可． 【小问1详解】 解：延长AB、DC交于点，过点作于点． 则， ∴四边形是矩形， ∴； 由题意得，米，米，，． 在中，米，， ∴， 米，由勾股定理得：米， 米； 在中，， ∴， 米， 米； 答：AE的长度为米． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，矩形的判定与性质，理解题意，构造辅助线得到直角三角形是解题的关键． 25. 如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）若点是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； （3）在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内的是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时，的面积有最大值为1，此时 （3）存在，、、 、 【解析】 【分析】本题综合考查了二次函数的解析式、二次函数与面积以及特殊四边形问题，掌握二次函数的相关性质是解题关键． （1）将点和点代入即可求解； （2）求出直线的解析式，设设点，则 ，根据即可建立函数关系式求解； （3）设，分类讨论为对角线时，为对角线时，为对角线时，三种情况即可求解； 【小问1详解】 解：将点和点代入得： ，解得， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：过点作轴，如图所示： 由得点， 设直线的解析式为：， 将代入可得： 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点，则 ∴当，即点时，有最大值，且最大值为； 【小问3详解】 解：设， 为对角线时， ， 解得：（舍去的情况）， ∴； 为对角线时， ， 解得：或 ∴、； 为对角线时， ， 解得：（舍去的情况）， ∴； 综上所述：符合条件的所有点的坐标为、、 、 26. 在中，，为中点，为平面内一点． （1）如图1，点在边上，连接，，若，，，求的值； （2）如图2，连接，将绕点A逆时针旋转到，使得，连接，恰好过点，若，证明：； （3）如图3，点在边上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，若，，请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2） 证明：在线段上截取，连接， ∵， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转到，， ，， ，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 为中点， ， ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ； （3） 【解析】 【分析】（1）过点A作于H，过点F作于G，求出，，，可得，进而问题可求解； （2）在线段上截取，连接，则有，证明，根据全等三角形的性质得，再证明，可得，证明，得出，即可得出结论； （3）延长，使得，连接并延长交于点M，由题意易得，则有，然后可得点P在垂直于的直线上，进而根据含30度直角三角形的性质及点到直线垂线段最短可进行求解． 【小问1详解】 解：过点A作于H，过点F作于G， ∵， ∴，， ∵，， ， ∴， ∵点F为中点， ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长，使得，连接并延长交于点M，交如图所示： ∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴点P在垂直于的直线上， ∴当时，线段取得最小值，如图， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开州初中教育集团2024-2025上九年级期中测试 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成． 参考公式：抛物线的顶点坐标，对称轴：直线． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确答案的代号填涂在答题卡上． 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 当时，随的增大而增大 C. 顶点的坐标为 D. 图象与轴的交点坐标是 5. 估算的结果（ ） A. 在6和7之间 B. 在7和8之间 C. 在8和9之间 D. 在9和10之间 6. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点，，在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 将一些完全相同的梅花按如图所示的规律摆放，第1个图形有5朵梅花，第2个图形有8朵梅花，第3个图形有13朵梅花，…按此规律，则第7个图形中共有梅花的朵数是（ ） A. 39 B. 40 C. 53 D. 68 9. 如图，为正方形的对角线上的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落到边上，线段交对角线于点，且为的中点．若正方形的边长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知多项式，多项式，则下列结论正确的有（ ） ①若，则代数式的值为； ②当，时，代数式的最小值为； ③当时，若，则关于的方程有两个实数根； ④当时，若，则的取值范围是． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题8个小题，每小题4分，共32分，把答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 计算：______． 12. 已知一个正多边形的每个内角都比它相邻的外角多，则它是正______边形． 13. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场），每个组共安排场比赛．设每个组邀请个球队参加比赛，则可列方程得为______． 14. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为______． 15. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（用“<”连接）______． 16. 若关于的不等式组有且仅有五个整数解，且关于的分式方程有整数解，求所有满足条件的整数的值之和为______ ． 17. 矩形中，平分交于点，把绕点逆时针旋转交于点，过点作于点，连接，若，，则_______． 18. 一个四位自然数，若满足，且，，则称四位数为“神奇数”．例如：四位自然数4312，因为，，，所以4312是“神奇数”．若是一个“神奇数”，且，则满足条件的的个数有______个，若是一个“神奇数”，设，，，和都是整数，则的值为______． 三、解答题：本大题8个小题，19小题8分，其余每小题10分，共78分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上． 19. 解下列方程 （1）（用公式法解） （2）． 20. 为了了解同学们的安全意识，我区某中学开展了“安全知识竞赛”，现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的比赛成绩（成绩为百分制，学生得分均为整数且用表示，）进行整理、描述和分析，并将其共分成四组：（：，：，：，：）．下面给出了部分信息： 七年级名学生的比赛成绩是：，，，，，，，，，． 八年级名学生的比赛成绩在组中的数据是：，，． 七、八年级抽取的学生比赛成绩统计表： 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级安全意识更强？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级有名学生、八年级有名学生参加了此次“安全知识竞赛”，请估计参加此次比赛成绩不低于分的学生人数是多少？ 21. 在学习了等腰三角形的相关知识后，小丽同学进行了更深入的研究，她发现等腰三角形两底角的角平分线的交点到两底角角平分线与腰的交点的距离相等，可利用证三角形全等得此结论根据她的想法与思路，完成以下作图与填空． （1）如图，在等腰中，是的角平分线．用尺规作的角平分线分别交、于点、（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知是等腰三角形，平分交于点，平分交于点，且、交于点．求证：． 证明：∵是等腰三角形， ∴________， ∵平分，平分， ∴_____，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴_____， ∴． 再进一步研究发现，等腰三角形两底角的外角角平分线所在直线的交点到外角平分线所在直线与两腰所在直线的交点的距离也满足该特点．即等腰三角形两底角的外角角平分线所在直线的交点到外角平分线所在直线与两腰所在直线的交点的距离______． 22. 如图1．在中，，，，为上一点，，动点以每秒1个单位长度的速度，沿着的路线运动．设点运动的时间为秒，的面积为，请解答下列问题： （1）请直接写出与之间的函数解析式及的取值范围，并在如图2所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）观察该函数的图象，写出该函数的一条性质：__________________________________________． （3）根据图象，直接写出当时，的取值范围______________________________． 23. 双“十一”期间，商店纷纷搞促销活动，小亮发现某店有、两种玩具正在参加活动，已知每个款玩具的售价是每个款玩具售价的2倍，顾客用160元购买款玩具的数量比用160元购买款玩具的数量少1个． （1）求每个款玩具的售价为多少元？ （2）经统计，该店每月卖出款玩具100个，每个款玩具的利润为50元．为了尽快减少库存，该店决定采取适当的降价措施．调查发现，每个款玩具的售价每降低5元，那么平均每月可多售出15个，该店想每月销售款玩具的利润达到5200元，则每个款玩具应降价多少元？ 24. 周日早上，爷爷和小明约定到公园去锻炼身体，公园在小明家A的正东方向的处，但是由于AE道路施工，爷爷先沿正北方向走了300米到达处，再从处沿北偏东方向行走300米到达处，从处沿正东方向走了150米到达处，最后沿方向到达处，已知点在点的南偏东方向．爷爷先出发3分钟后小明从家选择另一路线步行前往处，已知点在点的南偏东方向，且点在点的正南方向． （1）求AE的长度（结果保留根号）； （2）若爷爷步行速度为50米/分，小明步行速度为70米/分，小明和爷爷始终保持匀速行驶，请计算说明小明和爷爷谁先到达公园？（参考数据：；） 25. 如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）若点是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； （3）在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内的是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 在中，，为中点，为平面内一点． （1）如图1，点在边上，连接，，若，，，求的值； （2）如图2，连接，将绕点A逆时针旋转到，使得，连接，恰好过点，若，证明：； （3）如图3，点在边上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，若，，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $