26.2.2 第2课时 y=a(x-h)²+k的图象与顶点式 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.2.2　第 2 课时　y = a(x − h)² + k 与顶点式 学科：数学（人教版·九年级上册） 第二十六章　二次函数（26.2.2 第 2 课时） 主讲人：____________　　学校：____________ 上一节我们分别研究了“上下移”和“左右移”。把它们合在一起，就是二次函数最重要的一种写法——顶点式。 学习目标 1. 理解 y = a(x − h)² + k 是把两步平移合成的结果。 2. 会由顶点式直接读出顶点 (h,k)、对称轴 x = h 与最值。 3. 会根据顶点和平移写出解析式，解决简单的实际问题。 重点：顶点式的读法。难点：h 的符号；由“顶点＋另一点”确定 a。 一 情境引入 两步平移合在一起，式子会变成什么样 把 y = x² 向右平移 1 个单位，得 y = (x − 1)²。 再向上平移 2 个单位，得 y = (x − 1)² + 2。 观察：这个式子既有“括号”，又有“末尾”。 猜想：它的顶点应当是 (1,2)——括号给横坐标，末尾给纵坐标。 验证：令括号为 0，得 x = 1；再把 x = 1 代入，得 y = 2。 “令括号为 0 求横坐标，代回求纵坐标”是一个万能读法，比背结论更牢。 二 探究 顶点从原点搬到 (1,2) 图象是 y = (x − 1)² + 2，顶点 (1,2)。 对称轴是直线 x = 1（红色虚线）。 形状：与 y = x² 完全一样，只是整体挪了位置。 读图：x = 1 时 y 最小，最小值就是 2。 验证：(x − 1)² ≥ 0 ⇒ y ≥ 2。 x y -2 -1 1 2 3 4 -2 2 4 6 8 O (1,2) 顶点 x = 1 y = (x − 1)² + 2 “平方非负”这个不等式解释，是理解最值最干净的办法，比看图象更本质。 顶点式　y = a(x − h)² + k y = a(x − h)² + k 叫做二次函数的顶点式。 顶点坐标 (h,k)，对称轴是直线 x = h。 最值：a > 0 时，x = h 处取最小值 k；a < 0 时取最大值 k。 读法：括号里“x 减几”得 h，末尾“加几”得 k（注意符号）。 特例：k = 0 退化为 y = a(x − h)²；h = 0 退化为 y = ax² + k。 顶点式是二次函数的“身份证”：看到它，顶点、对称轴、最值三样立刻到手。 三 梳理 四种写法，一张表对照 解析式 顶点 对称轴 最值 y = ax² (0, 0) y 轴 0 y = ax² + k (0, k) y 轴 k y = a(x − h)² (h, 0) x = h 0 y = a(x − h)² + k (h, k) x = h k 选哪一行：给顶点用顶点式，给两个交点用交点式，其余用一般式。 一句话：写法不同，指向的都是同一条抛物线。 四行其实是“h 取不取 0、k 取不取 0”的组合。让学生看出结构，而不是四句孤立的话。 所有的抛物线，都是 y = ax² 平移来的 把 y = ax² 向右（h > 0）或向左（h < 0）平移 |h| 个单位， 再向上（k > 0）或向下（k < 0）平移 |k| 个单位，就得到 y = a(x − h)² + k。 于是：a 管形状（开口方向与宽窄），h、k 管位置（顶点在哪）。 反过来：拿到 y = 2(x − 3)² − 5，就知道它是 y = 2x² 右移 3、下移 5。 一句话：二次函数的图象，只有一个形状家族。 这一页把三节课串成一条线：a 定形状，h、k 定位置。学生记住这句，后面配方、读图、求式都不慌。 四 例题示范 例1　读顶点式：三步到位 说出 y = −2(x + 3)² + 5 的开口、顶点、对称轴与最值。 解：a = −2 < 0 ⇒ 开口向下； 　　括号 x + 3 = x − (−3) ⇒ h = −3；末尾 k = 5； 　　顶点 (−3,5)，对称轴 x = −3； 　　x = −3 时 y 有最大值 5。 （x+3）要写成 x−(−3)，这一步写在黑板上，学生才不会把 h 读成 3。 例2　由平移写解析式（两步合一） 把 y = 1/2x² 先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位， 求所得抛物线的顶点式，并说出最值。 解：左移 2 ⇒ y = 1/2(x + 2)²；下移 3 ⇒ y = 1/2(x + 2)² − 3。 顶点 (−2,−3)，对称轴 x = −2； x = −2 时 y 有最小值 −3。 1 2 1 2 1 2 答完再追问：如果先下移再左移，结果一样吗？让学生自己验证“平移可交换”。 例3　给顶点和一点，求解析式 已知抛物线的顶点是 (1,−4)，且经过点 (3,0)，求解析式。 解：设 y = a(x − 1)² − 4（有顶点就用顶点式）。 　　把 (3,0) 代入：0 = a(3 − 1)² − 4 ⇒ 4 = 4a ⇒ a = 1。 　　∴ y = (x − 1)² − 4。 对比：若用一般式要解三元方程组，用顶点式只需一个方程。 这一页点出“选式”的价值：给顶点就用顶点式，一个未知数一个方程，快且不易错。 五 应用 拱桥的最高点，就是顶点式的 k 某拱桥的拱顶在水面上方 4 m，跨度 10 m，建立如图坐标系。 设 y = ax²，则 (5,−4) 在图象上 ⇒ a = −4/25。 ∴ y = −0.16x²，拱顶就是顶点 (0,0)。 思考：若把原点建在水面中央，解析式会变成什么？ 提示：那就是 y = −0.16x² + 4——顶点式的一种。 x y -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 O -5 5 水面 跨度 10 m 拱顶 O(0,0) 拱高 4 m y = −0.16x² 4 25 同一座桥，建系不同解析式就不同，但顶点高度不变。这是下一节“抛物线型问题”的预演。 六 巩固练习 巩固练习：读、写、求 题目 参考答案 1. 说出 y = 3(x − 2)² − 1 的顶点、对称轴与最值。 2. 把 y = −(x + 1)² + 4 的图象与 y = −x² 相比，作了怎样的平移？ 3. 顶点为 (0,3) 且过点 (2,−1)，求解析式。 4. y = 2(x − 1)² + 3 在 x 取何值时有最小值？最小值是多少？ 1. 顶点 (2,−1)，对称轴 x = 2，a = 3 > 0 ⇒ 最小值 −1。 2. 向左 1 个单位、向上 4 个单位：y = −x²→y = −(x + 1)² + 4。 3. 设 y = a(x − 0)² + 3，代入 (2,−1)： − 1 = 4a + 3 ⇒ a = −1，y = −x² + 3。 4. x = 1 时取最小值 3（a = 2 > 0）。 第3题是“给顶点＋给一点”的标准套路，设式一步到位；提醒学生顶点在 y 轴上时 h=0。 易错辨析：顶点式三误 错1　把 y = (x − 2)² + 3 的顶点写成 (−2,3)。 错2　认为 k 就是“最大值”，不管 a 的正负。 错3　看到 y = (x + 1)² 就说“向右平移 1 个单位”。 正　括号令其为 0 求 h；k 是最值但要看 a 定“最大”还是“最小”；加号是向左。 三个错误都集中在符号上。建议每题做完都做一次“代回检验”。 课堂检测 题目 参考答案 1. y = −4(x − 3)² + 2 的顶点是＿＿，对称轴是＿＿。 2. 抛物线 y = a(x + 2)² − 5 的顶点是＿＿。 3. 把 y = x² 右移 3、下移 2，得＿＿。 4. 顶点为 (2,1) 且过原点的抛物线解析式是＿＿。 1. 顶点 (3,2)，对称轴 x = 3。 2. 顶点 (−2,−5)。 3. y = (x − 3)² − 2。 4. 设 y = a(x − 2)² + 1，过 (0,0)：0 = 4a + 1 ⇒ a = −1/4，y = −(1/4)(x − 2)² + 1。 1 4 1 4 第4题是本节最易错的一题：容易漏设 k=1，或把“过原点”当成“顶点在原点”。讲评时把设式过程写全。 七 课堂小结 这节课我们学了什么？ 一个式子：顶点式 y = a(x − h)² + k。 三个直接读出：顶点 (h,k)、对称轴 x = h、最值 k。 一种选择：有顶点，就用顶点式设解析式。 一句提醒：h 的符号看括号里“减几”，加号要写成减负数。 下一节：把一般式 y=ax²+bx+c 化成顶点式——配方。 课后作业 参考答案 1. 基础题：教材习题 26.2 第 5、6 题。 2. 读图题：写出 y = −3(x + 1)² + 2 的开口、顶点、对称轴、最值。 3. 求式题：顶点为 (−1,2)，且与 y 轴交于 (0,5)，求解析式。 4. 思考题：为什么“给顶点”时用顶点式比一般式省事？举例说明。 1. 见教材习题 26.2 第 5、6 题参考答案。 2. 开口向下；顶点 (−1,2)；对称轴 x = −1；x = −1 时取最大值 2。 3. 设 y = a(x + 1)² + 2，过 (0,5)：5 = a + 2 ⇒ a = 3，y = 3(x + 1)² + 2。 4. 顶点式只有 a 一个未知数，代一个点即可解出；一般式要解三元方程组，计算量大且易错。 第4题让学生比较两种设法所需方程的个数：顶点式 1 个未知数 1 个方程，一般式 3 个未知数要 3 个方程。 $