26.2.2 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 第2课时 y=a(x-h)² 的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数\( y = a(x - h)^2 \)的图象、性质及与\( y = ax^2 \)的关系，通过回顾上节课\( y = ax^2 + k \)（\( h = 0 \)），自然过渡到本节课\( h ≠ 0 \)的情况，搭建知识支架帮助学生衔接前后内容。 其亮点在于通过探究活动（如描点画\( y = ±\frac{1}{2}(x±1)^2 \)图象）培养几何直观，对比平移关系（“左加右减自变量”）发展空间观念，例题和分层练习（当堂小练、对接中考）强化推理意识。学生能提升直观理解与逻辑推理能力，教师可利用系统资源高效教学。

第二十六章 二次函数 26.2.2 二次函数的图象和性质 第2课时 的图象和性质 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 二次函数 的图象 7. 课堂小结 8. 当堂小练 CONTENTS 10. 拓展与延伸 3. 新课导入 2. 知识回顾 5. 知识点2 二次函数 的性质 9. 对接中考 6. 知识点3 抛物线 与 间的关系 1. 会画二次函数 的图象. 2. 掌握二次函数 的性质并会应用. 3. 理解 与 之间的联系. 学习目标 知识回顾 a，k的符号 a>0，k>0 a>0，k<0 a<0，k>0 a<0，k<0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的 增减性 最值 向上 向下 y轴（直线 x=0） （0，k） 当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x>0 时，y 随 x的增大而增大. 当 x<0 时，y 随 x的增大而增大；当 x> 0时，y 随 x的增大而减小. x=0时，y最小值=k. x=0时，y最大值=k. 二次函数 y=ax2+k(a≠0) 的图象和性质 O y x O y x O y x O y x 新课导入 上节课我们研究了，，今天再来讨论当，时，二次函数 的图象和性质. 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 O x y -2 2 -2 -4 -6 4 -4 新课讲解 知识点1 二次函数 的图象 探究1 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数，的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. x … −4 −3 −2 −1 0 1 2 … … −4.5 −2 −0.5 0 −0.5 −2 −4.5 … x … −2 −1 0 1 2 3 4 … … −4.5 −2 −0.5 0 −0.5 −2 −4.5 … 描点连线 向下 直线x=-1 ( -1，0 ) 直线x=1 向下 ( 1，0 ) 新课讲解 探究2 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数，的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. 如图所示 可以看出，抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点是 (，0)；抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点是 (1，0). O x y -2 2 3 1 -1 4 -4 5 新课讲解 一般地，当 a>0 时，抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点是(h，)，顶点是抛物线的最低点. 一般地，当 a<0 时，抛物线的开口向下，对称轴是直线；顶点是(h，) ，顶点是抛物线的最高点. 越大，抛物线的开口越小. 归纳 新课讲解 例 ①开口向上； ②顶点坐标为； ③对称轴为直线 ； ④与轴的交点坐标为 . A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 1. 对于抛物线 ，下列说法正确的有 ( ) C 新课讲解 练一练 1. 二次函数 的图象大致是 ( ) A. B. C. D. B 新课讲解 练一练 2. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数 的图象可能是 ( ) B A. B. C. D. 新课讲解 知识点2 二次函数 的性质 从二次函数的图象可以看出： 在对称轴的_____，抛物线从左到右下降； 在对称轴的_____，抛物线从左到右上升. 也就是说，当时，y随x的增大而_____； 当时，y随x的增大而_____. 左侧 右侧 减小 增大 你还能从图象中看出什么？ 思考 O x y -2 2 3 1 -1 4 -4 5 新课讲解 从二次函数的图象可以看出： 在对称轴的_____，抛物线从左到右上升； 在对称轴的_____，抛物线从左到右下降. 也就是说，当时，y随x的增大而_____； 当时，y随x的增大而_____. 左侧 右侧 减小 增大 你还能从图象中看出什么？ 思考 一般地，当 a>0 且 x<h 时，y随x的增大而减小；当 x>h 时，y 随 x 的增大而增大. 一般地，当 a<0 且 x<h 时，y随x的增大而增大；当 x>h 时，y 随 x 的增大而减小. 归纳 O x y -2 2 -2 -4 -6 4 -4 新课讲解 例 A. B. C. D. 2. 若抛物线 上有三个点，，，则，， 的大小关系为 ( ) B 解：由 知，抛物线开口向上，对称轴为直线 ， 越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小. 抛物线上有三个点 ，，， 则， ，，， . 新课讲解 练一练 1. 关于二次函数 ，下列说法正确的是 ( ) B A. 函数图象的开口向 B. 函数图象的对称轴为直线 C. 该函数有最大值，最大值是0 D. 当时，随 的增大而减小 解：在函数中，图象开口向上，对称轴为直线 ， 该函数有最小值，最小值是0，当时，随 的增大而增大．故选B. 新课讲解 练一练 A. B. 12 C. 32 D. 2. 已知二次函数，当时，随 的增大而增大；当时，随的增大而减小，则当时， 的值为 ( ) D 新课讲解 总结 a，h的符号 a>0，h>0 a>0，h<0 a<0，h>0 a<0，h<0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 向上 向下 直线 x=h （h，0） 当 x<h 时，y 随 x 的增大而减小；当 x>h 时，y 随 x的增大而增大. 当 x<h 时，y 随 x的增大而增大；当 x>h 时，y 随 x的增大而减小. x=h 时，y最小值=0. x=h 时，y最大值=0. 二次函数 y=a(x-h)2 的图象和性质 O x y O y x O y x O y x 新课讲解 知识点3 抛物线 与 间的关系 思考 抛物线，与抛物线有什么关系？ 可以发现，把抛物线（图中的虚线图形）向左平移 1 个单位长度，就得到抛物线 ； 把抛物线向右平移 1 个单位长度，就得到抛物线 O x y -2 2 -2 -4 -6 4 -4 新课讲解 你能归纳出二次函数 的图象特征和性质吗？ 思考 抛物线 y=a(x-h)2 抛物线y=a 沿 x 轴向左平移|h|个单位长度 抛物线 y=a(x-h)2 抛物线y=a 沿 x 轴向右平移 h 个单位长度 1. 当h>0时： 2. 当h<0时： 简记为“左加右减自变量” 新课讲解 例 A. B. C. D. 3. 把抛物线 向右平移2个单位长度，则平移后所得抛物线对应的函数解析式为 ( ) D 新课讲解 练一练 A. 向上平移3个单位长度 B. 向下平移3个单位长度 C. 向左平移3个单位长度 D. 向右平移3个单位长度 1. 在平面直角坐标系中，若抛物线平移后经过原点 ，则平移的方式可能是 ( ) D 新课讲解 练一练 2. 若二次函数 的图象如图所示，则坐标原点可能是 ( ) C A.点 B.点 C.点 D. 点 课堂小结 增减性结合开口方向和对称轴才能确定 二次函数y=a(x-h)2 的图象和性质 图象 性质 与抛物线y=ax2的关系 1. 开口方向由a的符号决定； 2. h决定对称轴的位置； 3. 顶点坐标 (h，0) 平移规律： 左加右减自变量 当堂小练 1. 对于二次函数y＝3(x＋2)2，下列说法正确的是( 　 ) D A．图象的开口向下 B．图象的对称轴是直线x＝2 C．当x＞－2时，y随x的增大而减小 D．函数有最小值0 当堂小练 D 2. 抛物线 的顶点坐标为 ( ) A. B. C. D. 当堂小练 3. 已知二次函数，当时，随 的增大而增大，则 的取值范围是_______. 解：二次函数的图象的对称轴为直线 ，且当时，随的增大而增大. 当时，随的增大而增大， . 当堂小练 3. 点，在二次函数 的图象上，若 ，则 ( ) B A. B. C. D. 当堂小练 4. 在同一平面直角坐标系中，一次函数 和二次函数 的图象大致为 ( ) B A. B. C. D. 解：当 时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象过第一、第三象限，排除D项； 当 时，二次函数的图象开口向下，一次函数的图象过第二、第四象限，排除A项； 当， 时，二次函数的图象的顶点在 轴负半轴上，一次函数的图象过第一、第二、第三象限，排除C项.故选B. 当堂小练 5. 某抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为 ，开口向下，则该抛物线的解析式为 ( ) C A. B. C. D. 解：因为所求抛物线与抛物线 的形状相同， 所以该抛物线的解析式的二次项系数的绝对值为 . 又因为该抛物线开口向下，所以该抛物线的解析式的二次项系数小于0， 所以二次项系数为 . 又因为抛物线的顶点坐标为，所以该抛物线的解析式为 . 当堂小练 6. 已知二次函数图象上的两点和 ，则与的大小关系是_______.（用“ ”连接） 解：二次函数的图象的开口向上， 函数有最小值，且当时，取最小值， 为最低点， . 当堂小练 7. 若点在抛物线 上，则下列各点在抛物线 上的是 ( ) D 解：易知将抛物线 向左平移1个单位长度得到抛物线， 点 向左平移1个单位长度后得到的点的坐标为， 点在抛物线 上. A. B. C. D. 当堂小练 解：(1) 抛物线的对称轴是直线 ， ， 抛物线的解析式为 . 将点的坐标代入，得，解得 . 抛物线的解析式为，顶点坐标为 . 8. 抛物线的对称轴是直线 ，且过点 . (1) 求抛物线的解析式和顶点坐标. (2) 当在什么范围内时，随的增大而减小？当 取何值时，函数有最大（或最小）值，并求出相应的最大（或最小）值？ (3) 当时，求函数值 的取值范围. (2) ， 抛物线开口向下，在对称轴的右侧，随 的增大而减小， 当时，随 的增大而减小. 抛物线的顶点坐标为 ， 当 时，函数取最大值，最大值为0. (3) 当时， ； 当时， ；当时， . 当时，函数值的取值范围为 . 对接中考 把抛物线 y=-x2 沿着 x 轴方向平移 3 个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是 . y=-(x+3)2 或 y=-(x-3)2 解：因为原抛物线的顶点为(0，0)，所以沿着 x 轴向右平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点为(3，0)，所以新抛物线为 y=-(x-3)2．若抛物线沿着 x 轴向左平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点为(-3，0)， 所以新抛物线为 y=-(x+3)2． 未指明平移方向，需分类讨论 拓展与延伸 1. 如图，抛物线的顶点为，与 轴的负半轴交于点，且 . (1) 求抛物线的解析式； (2) 若点在该抛物线上，求 的面积． 解：(1) 由题意，得， ， ， . 将代入，得 ， 抛物线的解析式为 . (2) 如图，过点作轴的垂线，交于点 . 将代入，得， . 设直线的解析式为 . 将点， 的坐标分别代入， 得 解得 . 令，则，， ， . 拓展与延伸 2. 如图，抛物线 的顶点为，过点左侧抛物线上一点作轴于点，且 ． (1) 求 的长； 解：设 ， 抛物线的顶点的坐标是 ， 点的坐标是 . 当时，， . ， ，解得或 （不符合题意，舍去）， . 拓展与延伸 2. 如图，抛物线 的顶点为，过点左侧抛物线上一点作轴于点，且 ． (1) 求 的长； (2) 若是抛物线上的一点，且 ，求点 的坐标. 解：如图，过点作，延长，交于点 ， 过点作轴于点 ， ， . 轴， ， ， . ， ， 是等腰直角三角形， . 拓展与延伸 在和中， ，， . 由（1）可知，， . ，， . 由（1）可知，， . 设直线的解析式是 ， 把点的坐标和点的坐标分别代入 ， 得解得 直线的解析式是 . 联立抛物线与直线的解析式得 解得（与点重合，舍去）， 点的坐标是, ． $