精品解析：甘肃省兰州东方中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试卷

兰州东方中学 2026-2027 学年度第一学期期中考试 高一数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、单项选择题：（本大题共 8 小题，共 40 分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集的定义计算. 【详解】根据补集定义，，， 则 故选：B 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“”的否定是. 3. 若，且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质推导相关结论. 【详解】对A：当时，由不能推出，所以A错误； 对B：当，时，由不能推出，所以B错误； 对C：当时，由不能推出，所以C错误； 对D：由，又，所以，所以D正确. 故选：D 4. 函数 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，及时的符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，有，解得， 即函数的定义域为， ，即函数为奇函数，排除BD选项， 当时，，则，排除C选项，A选项符合题意. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由的定义域得的定义域，进而得，解出即可求解. 【详解】由函数的定义域为，所以， 所以的定义域为，所以， 则的定义域为，故A正确. 故选：A. 6. 已知 ，则函数 的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元法求解函数解析式，同时注意确定换元后新变量的取值范围，即所求函数的定义域. 【详解】 令，由于，因此， 由可得，所以， 由，可得 ， 即 ， 所以解析式为. 7. 已知函数的定义域是一切实数，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：因为函数的定义域是一切实数，所以当时，函数对定义域上的一切实数恒成立；当时，则，解得，综上所述，可知实数的取值范围是，故选D. 考点：函数的定义域. 8. 若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由分段函数的单调性和二次函数的单调性以及一次函数的单调性判断即可. 【详解】二次函数的对称轴是， 当时，二次函数在为递减函数，此时，一次函数也为递减函数， 即，且处的函数值， 所以， 当时，由二次函数的单调性和题意判断不符合题意， 综上实数的取值范围是. 故选：D. 二、多项选择题：（本大题共 3 小题，共 18 分） 9. 下列命题中正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “且”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的充要条件 D. “”是“”的充要条件 【答案】AB 【解析】 【分析】根据充要条件的性质即可判断求解也可以利用集合之间的关系更方便理解求解. 【详解】对于A：因为可以推出，但是不可以推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对于B：因为且可以推出， 但是不可以推出且， 所以“且”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于C：因为，解得或， 所以“”可以推出“”， 但是“”不可以推出“” 所以“”是“”的充分不必要条件，故C错误； 对于D：当时，， 所以“”不可以推出“”， 但是“”可以推出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误. 故选：AB. 10. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由不等式的性质及特殊值逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，显然不成立，错误； 对于B，由，可知，所以，正确； 对于C，取，此时，错误； 对于D，取，此时，错误； 故选：ACD 11. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 由所确定的实数集合为 B. 同时满足的整数解的集合为 C. 集合可以化简为 D. 中含有三个元素 【答案】BC 【解析】 【分析】利用绝对值的意义，去绝对值符号，即可判定A；解不等式得到x的取值范围，用列举法表示出整数解的集合即可判定B；由，，，用列举法可判定C；用试根的方式找出满足条件的元素可判断D. 【详解】解：对于选项A， 当都是正数时，原式 当都是负数时，原式 当两正一负时，原式 当两负一正时，原式故A错误； 对于选项B，由，得， 所以符合条件的整数解的集合为，故B正确； 对于选项C，由，，， 可以得到符合条件的数对有，，，故C正确； 对于选项D，当时，；当时， 当时，；当时，； 当时，；当时，， 所以集合A含有四个元素2，1，0，，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：（本大题共 3 小题，共 15 分） 12. 含有三个实数的集合，若且，求______． 【答案】 【解析】 【分析】利用集合元素的互异性求参数的值，然后代入求解即可． 【详解】因为中，为分母，所以． 又因为，所以． 因为，且，所以或． 当时，不满足集合的互异性，故舍去． 当时，集合为． 综上所述，，． 所以． 13. 已知函数，则_____. 【答案】5 【解析】 【分析】根据解析式，将自变量代入求值即可. 【详解】由解析式知，则. 故答案为：5 14. 若正数、满足，且恒成立，则的取值范围为 ____________． 【答案】 【解析】 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值，根据恒成立思想可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为正数、满足，则， 当且仅当时，即，等号成立，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，即，解得， 故实数的取值范围是. 四、解答题：（本大题共 5 小题，共 77 分） 15. 若关于x的不等式的解集是 （1）求a的值； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）﹣2；（2）{x|﹣＜x＜1}． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由题意可知，1，是方程ax2+3x﹣1=0的两根，通过韦达定理可求出a的值；（2）将（1）中的a代入不等式ax2﹣3x+a2+1＞0，解这个一元二次不等式即可；（注意二次项系数小于0要变形求解） 试题解析： （1）依题意，可知方程ax2+3x﹣1=0的两个实数根为和1， ∴+1=﹣且×1=，解得a=﹣2， ∴a的值为﹣2； （2）由（1）可知，不等式为﹣2x2﹣3x+5＞，即2x2+3x﹣5＜0， ∵方程2x2+3x﹣5=0的两根为x1=1，x2=﹣， ∴不等式ax2﹣3x+a2+1＞0的解集为{x|﹣＜x＜1}． 考点：1.一元二次方程中韦达定理应用；2.一元二次不等式求解集． 16. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用集合并运算求结果； （2）由题设，讨论、列不等式求参数范围. 【小问1详解】 由题设，则 【小问2详解】 由， 若，则，满足题设； 若，则，满足题设； 综上，. 17. 已知二次函数的最大值为2，图象的顶点在一次函数的图像上，并且这个二次函数图象经过点． （1）求二次函数的解析式； （2）当时，求二次函数的最大值与最小值，并求此时的值． 【答案】（1） （2） 当时，；即当时，. 【解析】 【分析】（1）将二次函数的解析式设为顶点式，再利用二次函数的最大值以及图象的顶点在直线上，可求得顶点的坐标，再将点代入即可求解； （2）根据二次函数的单调性得出二次函数最小值和最大值. 【小问1详解】 设二次函数解析式为， 因为二次函数的最大值为2，， 因为图象的顶点在直线上，，则， 所以二次函数顶点坐标为， 将其代入得，， 再将点代入解得， 所以二次函数解析式为：． 【小问2详解】 由（1）知：单调递增；单调递减； 当时，；当时，；当时，； 即当时，. 18. 十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本） （2）当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1） （2）百辆，最大利润为万 【解析】 【分析】（1）根据题意分情况列式即可； （2）根据分段函数的性质分别计算最值. 【小问1详解】 由题意得当时，， 当时，， 所以, 【小问2详解】 由（1）得当时，， 当时，， 当时， ，当且仅当，即时等号成立， ，时，，， 时，即年产量为百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为万元. 19. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）当时，求的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若对于恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）单调递增，证明如下： 设任意的，且， ， 因为，且，，， 则，即，所以函数在单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性即可； （2）利用特殊值判断，定义证明； （3）利用函数的奇偶性判断在单调递增，再利用单调性解不等式即可. 【小问1详解】 当时，，， 又因为为奇函数，则，则. 【小问2详解】 函数在单调递增，证明略； 【小问3详解】 由（2）可得函数在单调递增，又因为是奇函数， 则在单调递增，由对恒成立， 等价于对恒成立， 则，即对恒成立， 令， 任取，， 由，，，，即， 所以当时，单调递减，则当时，， 则，所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州东方中学 2026-2027 学年度第一学期期中考试 高一数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、单项选择题：（本大题共 8 小题，共 40 分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 若，且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知 ，则函数 的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域是一切实数，则的取值范围是 A. B. C. D. 8. 若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本大题共 3 小题，共 18 分） 9. 下列命题中正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “且”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的充要条件 D. “”是“”的充要条件 10. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 由所确定的实数集合为 B. 同时满足的整数解的集合为 C. 集合可以化简为 D. 中含有三个元素 三、填空题：（本大题共 3 小题，共 15 分） 12. 含有三个实数的集合，若且，求______． 13. 已知函数，则_____. 14. 若正数、满足，且恒成立，则的取值范围为 ____________． 四、解答题：（本大题共 5 小题，共 77 分） 15. 若关于x的不等式的解集是 （1）求a的值； （2）求不等式的解集． 16. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围. 17. 已知二次函数的最大值为2，图象的顶点在一次函数的图像上，并且这个二次函数图象经过点． （1）求二次函数的解析式； （2）当时，求二次函数的最大值与最小值，并求此时的值． 18. 十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本） （2）当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 19. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）当时，求的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若对于恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $