精品解析：甘肃省兰州西北中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试卷

2026—2027学年度第一学期期中考试 高一数学试卷 时间：120分钟　　　　　分值：150分 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，集合，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 又，所以. 2. 下列各组函数中，表示同一函数的是． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】对选项逐一分析函数的定义域、值域和对应关系，由此判断出正确选项. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为，故不是同一函数. 对于B选项，函数的定义域为，函数的定义域为，故不是同一函数. 对于C选项，函数的定义域为，函数的定义域为，且，故是同一函数. 对于D选项，函数的定义域为，函数的定义域为，故不是同一函数. 故选C 【点睛】本小题主要考查两个函数是否是同一函数的判断，考查函数的定义域、值域和对应关系，属于基础题. 3. 已知函数，且，则的值等于（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用换元法求出，再代入即可求出的值. 【详解】由，令， ，． ． ．． 4. 若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，若，则，即，正确； 对于B，若，当时，；当时，，错误； 对于C，若，则，所以，所以，所以，错误； 对于D，若即，所以即， 又，所以，所以，所以，错误. 故选：A. 5. 已知函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由可得： 当时，有， 当时，有， 说明在上单调递减. 已知， 可知时，是一个斜率为的一次函数，在上单调递减， 时，是一个开口向下的二次函数，对称轴为轴， 在上单调递减， 要使在上单调递减，则，上单调递减，即，解得. 6. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】参变分离计算可得，再利用充分不必要条件定义即可判断. 【详解】由，因为，所以， 要想该命题为真命题，只需，四个选项中只有A符合充分不必要的性质. 故选：A. 7. 函数的图象为（ 　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过判断函数的奇偶性排除部分选项，再根据函数值的正负确定最终选项. 【详解】由，得，故函数的定义域为 ，关于原点对称，因为 ， 所以函数 为偶函数，其图象关于 轴对称，排除选项 B、D； 当 时，，，即 ， 所以 ，排除选项 C. 8. 常熟“叫花鸡”，又称“富贵鸡”，既是常熟的特产，也是闻名四海的佳肴，以其鲜美、香喷、酥嫩著称.双十一购物节来临，某店铺制作了300只“叫花鸡”，若每只“叫花鸡”的定价是40元，则均可被卖出；若每只“叫花鸡”在定价40元的基础上提高（）元，则被卖出的“叫花鸡”会减少只.要使该店铺的“叫花鸡”销售收入超过12495元，则该店铺的“叫花鸡”每只定价应为（ ） A. 48元 B. 49元 C. 51元 D. 50元 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列出不等式求解即可. 【详解】根据题意可得，整理得， 解得，又，所以，该店铺的“叫花鸡”每只定价应为. 故选：D. 二、多选题（每小题6分，全部选对的6分，选对但不全得部分分，有错选得0分） 9. 下列函数中，既是偶函数又在区间单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】首先根据奇偶函数的定义判断奇偶性；然后再根据函数单调性的定义来判断函数在区间上的单调性即可. 【详解】对于A选项，函数，其定义域为，， 所以是偶函数；函数的对称轴为， 所以在区间上单调递减，故A正确； 对于B选项，函数，其定义域为，，， 所以不是偶函数，故B错误； 对于C选项，函数，其定义域为，， 所以是偶函数，在区间上单调递减，故C正确. 对于D选项，函数，其定义域为，， 所以是奇函数，不是偶函数，故D错误； 故选：AC. 10. 下列选项不正确的是（ 　） A. 若，则的最小值为4 B. 若，则的最小值为2 C. 若正实数，满足，则的最小值为8 D. 若，则的最小值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式及其最值取等条件依次验证选项即可，对于C，使用换1法即可求解. 【详解】对于A，显然当时，故A错误， 对于B，因为，所以均大于， 所以，当且仅当，即时等号成立，故B正确， 对于C，，由题意得均大于， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故C错误， 对于D，令，因为，所以，即， 原式转化为求函数在的最小值， ，当且仅当，即时等号成立， 但，即，所以取不到，故D错误. 11. 设是定义在上的奇函数且在上单调递减，，则（ ） A. 在上单调递减 B. C. 不等式的解集为 D. 的图象与轴只有2个公共点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据奇函数特征，画出的大致图象，结合图象分析四个选项. 【详解】 对于A，因为是定义在上的奇函数且在上单调递减，， 根据奇函数特征，所以在上单调递减，，， 故A正确； 对于B，画出大致图象如图，根据图象可知，故B错误； 对于C，如图可知，不等式的解集为，故C正确； 对于D，的图象与轴只有3个公共点，分别是，，，故D错误， 故选：AC. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 函数的定义域为_________.（写成区间形式） 【答案】 【解析】 【分析】根据偶次根式被开方数非负、分式分母不为零的要求列不等式组，求解解集的交集即可得到定义域. 【详解】要使函数有意义，需同时满足以下约束条件： 对于偶次根式，要求被开方数非负：，解得； 对于分式，要求分母不为零：，解得. 取两个解集的交集，可得函数的定义域为. 13. 已知函数，若，的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】对分段函数按三段定义域分别列方程求解，求出解后检验解是否落在对应区间内，保留符合条件的． 【详解】当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 所以的值是． 14. 若是一次函数，且，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】设，利用待定系数法求出即可. 【详解】设， 则， 故，解得或， 故或． 四、解答题（共5小题，共77分） 15. （1）比较与的大小； （2）解不等式． 【答案】（1）当时，当时 （2） 【解析】 【分析】（1）通过作差法将两式相减并配方为完全平方式，利用实数平方的非负性来比较大小. （2）将分式不等式转化为分子与分母相乘大于等于零的整式不等式，并结合分母不为零的条件求出解集. 【详解】（1）作差得， 所以当时，当时. （2）由题意得，解得或， 即解集为. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （2）求函数的解析式. 【答案】（1）在上单调递增，证明如下： 设，则 ， 由，可得，，则，即， 故在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）设出后判断的正负并依据函数的增减性即可得解； （2）设，则，将代回解析式后依据函数的奇偶性即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则，， 又函数是定义在上的奇函数，则，且， . 17. 已知函数 （1）判断函数的奇偶性并用定义证明； （2）用分段函数的形式表示函数的解析式，并直接在本题给出的坐标系中画出函数的图象 【答案】（1）是奇函数，证明如下： 函数的定义域是， ， 所以是奇函数. （2），图象: 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断和证明. （2）根据绝对值的知识化简的解析式，并画出图象. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意， 由此画出的图象如下图所示： 18. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若集合为非空集合且，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式得到集合，代入求出，算出的补集，再和取交集； （2）由推出，结合为非空集合，列出不等式组求出的取值范围． 【小问1详解】 当时， ， 所以或， ， 所以 【小问2详解】 由，得 因为集合为非空集合，且， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为． 19. （1）用篱笆围成一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆长多少？ （2）用长为的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1）长、宽都为时，最短的篱笆长 （2）长、宽都为时，面积最大为 【解析】 【分析】（1）设矩形的长为，则宽为，设所用篱笆的长为，从而有，再利用基本不等式求得最小值即可； （2）设矩形的长宽分别为，，结合题意得到，从而有，再利用基本不等式求得最大值即可． 【小问1详解】 设矩形的长为，则宽为， 所以所用篱笆的长为， 当且仅当，即时，等号成立， 故这个矩形的长、宽都为时，最短的篱笆长． 【小问2详解】 设矩形的长宽分别为，， 则有，得， 所以菜园的面积为， 当且仅当时，等号成立， 故这个矩形的长、宽都为时，面积最大为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期期中考试 高一数学试卷 时间：120分钟　　　　　分值：150分 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，集合，那么（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组函数中，表示同一函数的是． A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数，且，则的值等于（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 4. 若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象为（ 　） A. B. C. D. 8. 常熟“叫花鸡”，又称“富贵鸡”，既是常熟的特产，也是闻名四海的佳肴，以其鲜美、香喷、酥嫩著称.双十一购物节来临，某店铺制作了300只“叫花鸡”，若每只“叫花鸡”的定价是40元，则均可被卖出；若每只“叫花鸡”在定价40元的基础上提高（）元，则被卖出的“叫花鸡”会减少只.要使该店铺的“叫花鸡”销售收入超过12495元，则该店铺的“叫花鸡”每只定价应为（ ） A. 48元 B. 49元 C. 51元 D. 50元 二、多选题（每小题6分，全部选对的6分，选对但不全得部分分，有错选得0分） 9. 下列函数中，既是偶函数又在区间单调递减的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列选项不正确的是（ 　） A. 若，则的最小值为4 B. 若，则的最小值为2 C. 若正实数，满足，则的最小值为8 D. 若，则的最小值为2 11. 设是定义在上的奇函数且在上单调递减，，则（ ） A. 在上单调递减 B. C. 不等式的解集为 D. 的图象与轴只有2个公共点 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 函数的定义域为_________.（写成区间形式） 13. 已知函数，若，的值是____________． 14. 若是一次函数，且，则______． 四、解答题（共5小题，共77分） 15. （1）比较与的大小； （2）解不等式． 16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （2）求函数的解析式. 17. 已知函数 （1）判断函数的奇偶性并用定义证明； （2）用分段函数的形式表示函数的解析式，并直接在本题给出的坐标系中画出函数的图象 18. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若集合为非空集合且，求实数的取值范围． 19. （1）用篱笆围成一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆长多少？ （2）用长为的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $