26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

26.2.3　二次函数 y = ax² + bx + c 的图象和性质 学科：数学（人教版·九年级上册） 第二十六章　二次函数（26.2.3） 主讲人：____________　　学校：____________ 一般式 y=ax²+bx+c 既读不出顶点，也看不出对称轴。这一节我们用“配方”把它变成顶点式，问题就全解决了。 学习目标 1. 会用配方法把 y = ax² + bx + c 化成顶点式。 2. 掌握对称轴 x = −b/2a 与顶点公式，并会求最值。 3. 会画一般式的草图，并结合增减性解决简单问题。 重点：配方法与顶点公式。难点：二次项系数不为 1 时的配方，容易漏乘。 一 情境引入 这个式子，读不出顶点 y = 1/2x² − 6x + 21：开口向上（a > 0），但顶点在哪？对称轴在哪？ 它既不是 y = ax²，也不是顶点式，直接读不出来。 思路：想办法把它变成顶点式。 工具：配方法——把含 x 的项凑成一个完全平方。 回顾：x² − 12x + 36 = (x − 6)²，这就是“配一半、写成平方”。 1 2 先制造“读不出来”的困境，学生才有配方的动机。回顾完全平方公式是必要铺垫。 配方法三步　提系数、配一半、写平方 以 y = 1/2x² − 6x + 21 为例： 第一步 提系数：y = 1/2(x² − 12x) + 21（只提前两项的 1/2）。 第二步 配一半：一次项系数 −12 的一半是 −6，平方得 36， 　　在括号内 加 36 再减 36：y = 1/2(x² − 12x + 36 − 36) + 21。 第三步 写平方：y = 1/2(x − 6)² − 18 + 21 = 1/2(x − 6)² + 3。 ∴ 顶点 (6,3)，对称轴 x = 6。 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 “加 36 再减 36”必须写全，很多学生只加不减，式子就不等了。减出来的 36 还要乘以外面的 1/2，这是第二个易错点。 为什么减出来的数要乘以外面的系数 错 y = 1/2(x² − 12x + 36) − 36 + 21（减 36 没乘 1/2） 正 y = 1/2(x² − 12x + 36) − 1/2 ×36 + 21 原因：减号在括号内，去掉括号时要乘以外面的系数。 检验：把结果展开，看是否还原成原式——这是最可靠的验算。 建议：每配完一次方，展开验算一遍，只需 10 秒。 1 2 1 2 1 2 1 2 这一页专治“漏乘”。展开验算的习惯一旦养成，配方的错误率会大幅下降。 二 例题示范 例1　配方求顶点与对称轴 求 y = 2x² − 8x + 5 的对称轴与顶点坐标。 解：y = 2(x² − 4x) + 5 　　 = 2(x² − 4x + 4 − 4) + 5 　　 = 2(x − 2)² − 8 + 5 = 2(x − 2)² − 3。 ∴ 对称轴 x = 2，顶点 (2,−3)，x = 2 时 y 有最小值 − 3。 与上一页同一套动作，只是数字更整。让学生独立做完再对照。 配方之后，图象的样子就清楚了 y = x² − 2x − 3 = (x − 1)² − 4。 顶点 (1,−4)，对称轴 x = 1。 与 x 轴交于 (−1,0)、(3,0)，与 y 轴交于 (0,−3)。 画图三步：定开口 → 定顶点与对称轴 → 找几个对称点。 提醒：草图至少要画出顶点和两个对称点。 x y -2 -1 1 2 3 4 -4 -2 2 4 O 顶点 (1,−4) x = 1 (−1,0) (3,0) (0,−3) y = x² − 2x − 3 这一页把“式子—顶点—图象”三者连起来。画草图不必描很多点，抓住顶点与对称点即可。 对称轴与顶点公式 对 y = ax² + bx + c（a ≠ 0）配方可得： y = a(x + b/2a)² + 4ac−b²/4a ∴ 对称轴是直线 x = −b/2a，顶点是 (−b/2a,4ac−b²/4a)。 实用：求对称轴用 x = −b/2a 最快；顶点纵坐标可把 x 代回原式算。 提醒：公式里的负号别丢，b 是负的时候要变号。 b 2a 4ac − b² 4a b 2a b 2a 4ac − b² 4a b 2a 顶点纵坐标不必强记公式，把横坐标代回原式更稳、更快。这是老教师的经验。 例2　用公式，比配方更快 求 y = −3x² + 6x − 1 的对称轴、顶点与最值。 解：a = −3，b = 6，c = −1。 　　对称轴 x = −b/2a =−6/−6 =1。 　　把 x = 1 代入：y = −3 + 6 − 1 = 2，顶点 (1,2)。 　　a < 0 ⇒ x = 1 时 y 有最大值 2。 b 2a 6 −6 对比例1：数字简单时配方便于理解，数字复杂时公式更快。两种方法都要会。 三 性质梳理 一般式的性质，仍看 a 与顶点 项目 a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 x = −b/2a x = −b/2a 顶点 最低点 最高点 最值 x = −b/2a 时取最小值 x = −b/2a 时取最大值 增减性 轴左侧递减，右侧递增 轴左侧递增，右侧递减 对比：与 y = ax² 的表相比，只有“对称轴”一栏从 y 轴换成了 x = −b/2a。 一句话：变的是位置，不变的是规律。 b 2a b 2a b 2a b 2a b 2a 与 26.2.1 的表结构一致，只是把“y 轴”换成了“x=−b/2a”。让学生看到“变的是位置，不变的是规律”。 四 巩固练习 巩固练习：配方、求轴、求最值 题目 参考答案 1. 配方：y = x² + 4x + 1，写出顶点与对称轴。 2. 用公式求 y = −2x² + 8x − 5 的对称轴与顶点。 3. 求 y = 3x² − 6x + 4 的最小值。 4. y = −x² + 2x + 3 与 x 轴的交点坐标是什么？ 1. y = (x + 2)² − 3，顶点 (−2,−3)，对称轴 x = −2。 2. x = −b/2a =−8/−4 =2，代入得 y = −8 + 16 − 5 = 3，顶点 (2,3)。 3. y = 3(x − 1)² + 1 ⇒ 最小值 1。 4. 令 y = 0： − (x − 1)² + 4 = 0 ⇒ x = 3 或 x = −1，交点 (−1,0)、(3,0)。 b 2a 8 −4 第1题练配方、第2题练公式、第3题练最值、第4题练交点，四题正好覆盖本节三种工具。先让学生独立做 6 分钟再对答案。 易错辨析：配方三误 错1　提系数时只提前两项，却把常数项也除了。 错2　括号内减掉的数，忘了乘以外面的系数。 错3　对称轴写成 x = b/2a，漏掉负号。 对策：配完展开验算；求轴先写 − b/2a 再代数字。 b 2a b 2a 三个错误各配一道“改错题”，让学生当小老师挑错，印象深刻。 课堂检测 题目 参考答案 1. y = x² − 6x + 5 的对称轴是＿＿，顶点是＿＿。 2. y = −x² + 4x 的最大值是＿＿。 3. y = 2x² − 4x + 1 化为顶点式得＿＿。 4. 若 y = x² − 2x + m 的最小值是 3，则 m=＿＿。 1. x = 3，顶点 (3,−4)。 2. y = −(x − 2)² + 4 ⇒ 最大值 4。 3. y = 2(x − 1)² − 1。 4. 配方 y = (x − 1)² + (m − 1)，最小值 m − 1 = 3 ⇒ m = 4。 第4题是“给最值反求字母”，办法是把顶点纵坐标写成含 m 的式子再令其等于 3；学生最常错在直接令 m=3。 画草图：三步就够 第一步 看 a 定开口（a > 0 向上）。 第二步 求对称轴与顶点，先点上顶点。 第三步 取两组对称点（如与 y 轴的交点及其对称点），连线。 示例：y = x² − 2x − 3 → 顶点 (1,−4)，过 (0,−3) 与 (2,−3)。 提醒：草图只需形状对、位置对，不必精确到每一格。 草图能力直接影响后面“读图判号”的题。要求人人能在 30 秒内画出大致形状。 五 课堂小结 这节课我们学了什么？ 一个方法：配方法——提系数、配一半、写平方。 两个公式：对称轴 x = −b/2a，顶点 (−b/2a,4ac−b²/4a)。 一个习惯：配完展开验算，求轴先写负号。 一句话：一般式的“一般”，只是还没化妆的顶点式。 b 2a b 2a 4ac − b² 4a 下一节：把读图、判号、求解析式三件事合起来，做综合训练。 课后作业 参考答案 1. 基础题：教材习题 26.2 第 7、8 题。 2. 配方题：把 y = −1/2x² + 3x − 1 化成顶点式，并求最值。 3. 综合题：已知 y = x² − 4x + 3，求它与坐标轴的交点及顶点，并画草图。 4. 思考题：为什么对称轴是 x = −b/2a？试着用“两根的中点”解释。 1. 见教材习题 26.2 第 7、8 题参考答案。 2. y = −(1/2)(x − 3)² + 3.5，a = −1/2 <0 ⇒ 最大值 3.5。 3. y = (x − 2)² − 1，顶点 (2,−1)；与 y 轴交于 (0,3)，与 x 轴交于 (1,0)、(3,0)；草图开口向上、顶点在第四象限。 4. 设两根 x₁、x₂，则 x₁ + x₂ = −b/a，对称轴过两根的中点，故 x = x₁+x₂/2 =−b/2a。 1 2 b 2a 1 2 1 2 b a x₁ + x₂ 2 b 2a 第4题用韦达定理：两根之和 −b/a，中点即 −b/(2a)，正是“对称轴过两根中点”这一几何事实。 $