26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 (课件) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.2 二次函数的图象和性质 第二十六章 二次函数 26.2.3 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 人教版九年级上册 y=a(x−h)2+k a>0 a<0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 向上 向下 (h ,k) (h ,k) x=h x=h 当x<h时，y随着x的增大而减小；当x>h时，y随着x的增大而增大. 当x<h时,y随着x的增大而增大；当x>h时， y随着x的增大而减小. x=h时，y最小=k x=h时，y最大=k 抛物线y=a(x−h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的. 回顾导入 顶点坐标 对称轴 最值 y=−2x2 y=−2x2−5 y=−2(x+2)2 y=−2(x+2)2−4 y=(x−4)2+3 y=−x2+2x y=3x2+x−6 (0，0) y轴 0 (0，−5) y轴 −5 (−2，0) 直线x=−2 0 (−2，−4) 直线x=−2 −4 (4，3) 直线x=4 3 ? ? ? ? ? ? 回顾导入 问题 怎样将 化成y=a(x−h)2+k的形式？ （1）x2-12x+36=_____________; 填一填 （2）x2-12x=_____________ . (x−6)2 (x−6)2−36 探究点1： 二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x−h)2+k的关系 新知探究 (1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成完全平方； (3)“化”：化成顶点式. 想一想：配方的方法及步骤是什么？ 方法指导：配方后的解析式通常称为配方式或顶点式. 探究点1： 二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x−h)2+k的关系 新知探究 问题 我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c(a≠0)化成顶点式y=a(x−h)2+k？ y=ax²+bx+c 探究点1： 二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x−h)2+k的关系 新知探究 将下列二次函数的一般式用配方法化成顶点式y=a(x-h)2+k的形式，并指出其顶点坐标． （1）y=x2-2x+1； （2）y=2x2-4x+6． 解：(1)y=x2−2x+1=(x−1)2，顶点坐标为(1，0)； (2)y=2x2−4x+6=2(x−1)2+4，顶点坐标为(1，4). 探究点1： 二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x−h)2+k的关系 【练一练】 新知探究 想一想 我们已经知道y=a(x−h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？ 将 配成顶点式 探究点2： 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 新知探究 问题1 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？ 答：对称轴是直线x=6，顶点坐标是（6，3）. 问题2 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？ 答：平移方法1： 先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的； 平移方法2： 先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的. 探究点2： 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 新知探究 5 10 x y 5 10 问题3 如何画二次函数 的图象？ … … … … 9 8 7 6 5 4 3 x 先利用图形的对称性列表 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 然后描点画图， 得到图象如右图. O 探究点2： 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 新知探究 问题4 结合二次函数 的图象，说出其性质. 5 10 x y 5 10 x=6 当x<6时，y随x的增大而减小； 当x>6时，y随x的增大而增大. O 探究点2： 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 新知探究 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 一般地，二次函数y=ax2+bx+c可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即 因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是： 对称轴是：直线 探究点2： 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 【归纳探究】 新知探究 (1) (2) x y O x y O 如果a>0，当x< 时，y随x的增大而减小；当 x> 时，y随x的增大而增大. 如果a<0，当x< 时，y随x的增大而增大；当 x> 时，y随x的增大而减小. 探究点2： 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 新知探究   x ··· −4 −3 −2 −1 0 1 2 ··· y ··· ··· −15 −5 1 3   1 −5 −15 探究点2： 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 新知探究 2 x y -2 O 4 -2 -4 -4 -6 -8 然后描点、连线，得到图象如下图. 由图象可知，这个函数具有如下性质： 当x＜-1时，函数值y随x的增大而增大； 当x＞-1时，函数值y随x的增大而减小； 当x=-1时，函数取得最大值，最大值y=3. 探究点2： 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 新知探究 已知二次函数y＝x2﹣6x+5． （1）将y＝x2﹣6x+5化成y＝a(x﹣h)2+k的形式； （2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （3）当x取何值时，y随x的增大而减小． （3）∵抛物线的开口向上，对称轴是x＝3， ∴当x≤3时，y随x的增大而减小． 解：（1）y＝x2﹣6x+5＝(x﹣3)2﹣4. （2）二次函数的图象的对称轴是x＝3，顶点坐标是（3，﹣4）. 探究点2： 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 【练一练】 新知探究 问题1 一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空： x y O y=k1x+b1 x y O y=k2x+b2 y=k3x+b3 k1 ___ 0 b1 ___ 0 k2 ___ 0 b2 ___ 0 ＜ ＞ ＞ ＜ k3 ___ 0 b3 ___ 0 ＞ ＞ 探究点3： 二次函数y=ax2+bx+c的图象的变换 新知探究 x y O 问题2 二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空： a1 ___ 0 b1___ 0 c1___ 0 a2___ 0 b2___ 0 c2___ 0 ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ ＝ 开口向上，a＞0 对称轴在y轴左侧，x＜0 对称轴在y轴右侧，x＞0 x=0时，y=c. ＞0 ＜0 探究点3： 二次函数y=ax2+bx+c的图象的变换 新知探究 x y O a3___ 0 b3___ 0 c3___ 0 a4___ 0 b4___ 0 c4___ 0 ＜ ＝ ＞ ＜ ＞ ＜ 开口向下，a＜0 对称轴是y轴，x=0 对称轴在y轴右侧，x＞0 x=0时，y=c. 探究点3： 二次函数y=ax2+bx+c的图象的变换 新知探究 二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系 字母符号 图象的特征 a＞0 开口_____________________ a＜0 开口_____________________ b=0 对称轴为_____轴 a、b同号 对称轴在y轴的____侧 a、b异号 对称轴在y轴的____侧 c=0 经过原点 c＞0 与y轴交于_____半轴 c＜0 与y轴交于_____半轴 向上 向下 y 左 右 正 负 探究点3： 二次函数y=ax2+bx+c的图象的变换 新知探究 例2 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　) A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4 D 由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确； 由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确． 解析：由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故①正确； 由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确； 探究点3： 二次函数y=ax2+bx+c的图象的变换 新知探究 1. 二次函数y＝－x2＋2x－3的图象的开口方向、顶点坐标分别是 （　D　） A. 开口向上，顶点坐标为（1，－2） B. 开口向下，顶点坐标为（－1，2） C. 开口向上，顶点坐标为（－1，2） D. 开口向下，顶点坐标为（1，－2） D 随堂练习 2. 二次函数y＝－2x2－3x＋1的图象大致是（　B　） 3. 把抛物线y＝x2＋3x先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的抛物线对应的函数解析式为 　y＝x2＋5x＋1　. B y＝x2＋5x＋1　 （1） y＝－2x2＋4x＋5； 解：（1） 对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，7） （2） y＝x2－5x＋6. 解：（2） 对称轴为直线x＝ ，顶点坐标为 4. 教材变式题 写出下面抛物线的对称轴和顶点坐标. 5. 已知点（－1，y1），（4，y2），（－3，y3）都在二次函数y＝x2－2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　A　） A. y1＜y2＜y3 B. y1＜y3＜y2 C. y2＜y3＜y1 D. y2＜y1＜y3 6. 已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－1，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　C　） A. m＝1 B. m＞1 C. m≥1 D. m≤1 A C 7. 若点（x1，y1），（x2，y2）在二次函数y＝x2＋4x＋3的图象上，且－2＜x1＜x2，则y1  　＜　y2（填“＞”“＜”或“＝”）. ＜　 8. 二次函数y＝2x2＋4x＋3的最值情况是（　C　） A. 有最大值1 B. 有最大值－1 C. 有最小值1 D. 有最小值－1 9. 已知二次函数y＝－x2＋6x－5，当1≤x≤4时，函数的最小值为 　　. C 0　 （1） 抛物线的对称轴是直线 　x＝1　； （2） 若抛物线经过点（4，9），求a的值； 解：（2） 把（4，9）代入y＝ax2－2ax＋2（a≠0），得9＝16a－8a＋2，解得a＝ x＝1　 10. 已知抛物线y＝ax2－2ax＋2（a≠0）. （3） 当a＜0，0≤x≤3时，函数y＝ax2－2ax＋2（a≠0）的最大值是6，求a的值. 解：（3） ∵ a＜0，0≤x≤3，对称轴为直线x＝1，∴ 当x＝1时，函数有最大值，即a－2a＋2＝6，解得a＝－4 11. 函数y＝x2＋2x－3（－2≤x≤2）的最大值和最小值分别是 （　C　） A. 4和－3 B. －3和－4 C. 5和－4 D. 5和－3 C 12. 对于二次函数y＝－x2＋2x－4，下列说法正确的是（　B　） A. 当x＞0时，y随x的增大而减小 B. 当x＝1时，y有最大值－3 C. 其图象的顶点为（－1，－3） D. 其图象与x轴有两个交点 B 13. 如图，若抛物线y＝ax2＋bx＋c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴直线x＝1对称，则点Q的坐标为 　（－2，0）　. （－2，0）　 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的一边AB在x轴上，顶点B在x轴正半轴上.若抛物线y＝x2－5x＋4经过点C，D（0，4），则点B的坐标为 　（2，0）　. （2，0）　 15. 已知抛物线y＝－x2＋4x的顶点横坐标比抛物线y＝－x2＋ax（a为常数）的顶点横坐标大1. （1） 求a的值. 解：（1） ∵ y＝－x2＋4x＝－（x－2）2＋4，∴ 抛物线y＝－x2＋4x的顶点坐标为（2，4）.∵ y＝－x2＋ax＝－ ＋ ， ∴ 抛物线y＝－x2＋ax的顶点坐标为 .∵ 抛物线y＝－x2＋4x的顶点横坐标比抛物线y＝－x2＋ax的顶点横坐标大1，∴ 2＝ ＋1，解得a＝2 （2） 抛物线y＝－x2＋ax（a为常数）是否可以由抛物线y＝－x2＋4x平移得到？如果可以，请说出如何平移；如果不可以，请说明理由. 解：（2） 可以　由（1）可知，y＝－x2＋4x＝－（x－2）2＋4，y＝－x2＋2x＝－（x－1）2＋1，∴ 抛物线y＝－x2＋2x可以由抛物线y＝－x2＋4x向左平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到 微专题 同一直角坐标系中一次函数与二次函数的图象 【方法归纳】 先假设一个函数图象成立，再根据这个函数图象的位置、形状等确定待定系数的取值范围，再看求出的待定系数的范围是否满足另一个函数图象. 在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝x2－2ax＋a2与一次函数y＝ax＋a的图象可能是（　D　） D 顶点： 对称轴： y=ax2+bx+c(a ≠0) (一般式) 配方法 公式法 (顶点式) 课堂小结 $