26 二次函数章末复习课时练习2026-2027学年人教版数学九年级上册

26 二次函数章末复习 课时练习（含答案详解） 2026-2027学年人教版数学九年级上册 满分：100分　　限时：45分钟 班级：____________　　姓名：____________　　考号：____________ 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分；每小题只有一个正确答案） 1. (2024重庆中考改编) 二次函数 的图象开口方向与顶点分别是（　　） 　　A．开口向上，顶点(0,0)　　B．开口向下，顶点(0,0) 　　C．开口向下，顶点(−3,0)　　D．开口向上，顶点(0,−3) 2. (2025南京模拟) 如图，抛物线 过点 A(1,2)、B(−1,2)，则下列说法正确的是（　　） 　　A．对称轴是 轴 　　B．当 时 随 增大而减小 　　C．顶点为(0,0)，且图象关于 轴对称 　　D．开口向下 3. (2024武汉月考改编) 二次函数 （）的顶点坐标是（　　） 　　A．(h,k)　　B．, 　　C．,　　D．, 4. (2025杭州模拟) 如图，抛物线 的顶点与对称轴分别是（　　） 　　A．顶点(−2,−1)，对称轴 　　B．顶点(2,−1)，对称轴 　　C．顶点(2,1)，对称轴 　　D．顶点(−2,1)，对称轴 5. (2024成都中考改编) 如图，二次函数 的顶点坐标是（　　） 　　A．(2,5)　　B．(−2,5) 　　C．(2,−5)　　D．(4,1) 6. (2025苏州模拟) 若抛物线 与 轴有两个交点，则判别式 Δ= 满足（　　） 　　A．Δ>0　　B．Δ=0 　　C．Δ<0　　D．Δ≥0 7. (2024长沙中考改编) 如图，抛物线 与 轴交于 A、B 两点，则方程 的两根是（　　） 　　A． 与 　　B． 与 　　C． 与 　　D． 与 8. (2025合肥模拟) 如图，用 24 m 篱笆靠墙围成矩形菜地，设垂直于墙的边长为 ，则面积 S（）可表示为（　　） 　　A．　　B． 　　C．　　D． 9. (2024广州模拟) 二次函数 （）的图象（　　） 　　A．有最大值无最小值　　B．有最小值无最大值 　　C．既有最大又有最小　　D．无最值 10. (2025福州月考) 关于二次函数章末知识，下列说法错误的是（　　） 　　A． 的对称轴是 轴 　　B．顶点式的顶点可直接读出为 (h,k) 　　C．抛物线与 轴无交点时，对应方程必有两个实数根 　　D．实际问题求最值时要结合自变量的取值范围 二、填空题（每小题 4 分，共 32 分） 1. (2024天津模拟) 二次函数 的对称轴是______，顶点坐标是______。 2. (2025宁波模拟) 把抛物线 向上平移 3 个单位，得到的函数解析式为 ______。 3. (2024西安月考) 如图，抛物线 的顶点坐标为______；当 ______ 时， 随 的增大而减小。 4. (2025青岛模拟) 二次函数 的对称轴是直线 ______；最大值是______。 5. (2024郑州中考改编) 如图，抛物线 与 轴交点的横坐标是______；顶点坐标是______。 6. (2025长沙模拟) 若抛物线 与 轴只有一个交点，则 ______。 7. (2024沈阳月考) 如图，面积函数 （）的顶点为______；最大面积为______ 。 8. (2025厦门模拟) 已知抛物线过原点与点 (2,−4)，且顶点在原点，开口向下，则解析式为 ______。 三、解答题（共 38 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1. （本小题满分 8 分）(2024济南中考改编) 如图，已知二次函数 。 (1) 求该函数的顶点坐标与对称轴； (2) 说明当 时， 随 的变化情况，并求最大值。 2. （本小题满分 10 分）(2025杭州模拟) 如图，抛物线 与 轴交于 A、B 两点（A 在左，B 在右），顶点为 C。 (1) 求 A、B、C 三点的坐标； (2) 求方程 的解； (3) 当 时，求对应的 值。 3. （本小题满分 10 分）(2024南京中考改编) 如图，用 24 m 篱笆靠墙围成矩形菜地，设垂直于墙的边长为 。 (1) 写出面积 S（）关于 的函数关系式，并写出定义域； (2) 求最大面积及此时各边的长。 4. （本小题满分 10 分）(2025成都模拟) 某商品日利润 （元）与日销量 （件）满足 ，且 ， 为整数。 (1) 求最大日利润及对应的销量； (2) 当销量为 8 件时，日利润是多少？ (3) 若日利润不低于 21 元，求销量 的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $ 26 二次函数章末复习 课时练习（含答案详解） 2026-2027学年人教版数学九年级上册 满分：100分　　限时：45分钟 班级：____________　　姓名：____________　　考号：____________ 参考答案与解析 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分；每小题只有一个正确答案） 1. (2024重庆中考改编) 二次函数 的图象开口方向与顶点分别是（　　） 　　A．开口向上，顶点(0,0)　　B．开口向下，顶点(0,0) 　　C．开口向下，顶点(−3,0)　　D．开口向上，顶点(0,−3) 【答案】B 【解析】 中 ，开口向下；顶点永远是原点 (0,0)。 【点睛】：顶点在原点，开口只看 的正负。 2. (2025南京模拟) 如图，抛物线 过点 A(1,2)、B(−1,2)，则下列说法正确的是（　　） 　　A．对称轴是 轴 　　B．当 时 随 增大而减小 　　C．顶点为(0,0)，且图象关于 轴对称 　　D．开口向下 【答案】C 【解析】 开口向上；顶点(0,0)；对称轴为 轴。 时 随 增大而增大，故只有 C 正确。 【点睛】读图先抓三点：开口、顶点、对称轴。 3. (2024武汉月考改编) 二次函数 （）的顶点坐标是（　　） 　　A．(h,k)　　B．, 　　C．,　　D．, 【答案】A 【解析】顶点式中顶点就是 (h,k)，与 的正负无关。 【点睛】顶点式口诀：看见 ，顶点直接写 (h,k)。 4. (2025杭州模拟) 如图，抛物线 的顶点与对称轴分别是（　　） 　　A．顶点(−2,−1)，对称轴 　　B．顶点(2,−1)，对称轴 　　C．顶点(2,1)，对称轴 　　D．顶点(−2,1)，对称轴 【答案】B 【解析】对照 ：，，顶点(2,−1)，对称轴 。 【点睛】注意 里是减号， 取正的 2，不要写成 −2。 5. (2024成都中考改编) 如图，二次函数 的顶点坐标是（　　） 　　A．(2,5)　　B．(−2,5) 　　C．(2,−5)　　D．(4,1) 【答案】A 【解析】对称轴 ；代入得 ，顶点(2,5)。 【点睛】一般式求顶点：先算 ，再代入求纵坐标。 6. (2025苏州模拟) 若抛物线 与 轴有两个交点，则判别式 Δ= 满足（　　） 　　A．Δ>0　　B．Δ=0 　　C．Δ<0　　D．Δ≥0 【答案】A 【解析】与 轴交点个数对应方程 的实根个数：两交点 ⇔ Δ>0。 【点睛】Δ>0 两交点；Δ=0 一交点（相切）；Δ<0 无交点。 7. (2024长沙中考改编) 如图，抛物线 与 轴交于 A、B 两点，则方程 的两根是（　　） 　　A． 与 　　B． 与 　　C． 与 　　D． 与 【答案】B 【解析】交点横坐标即方程的根。由图知 A(−1,0)、B(3,0)，故两根为 −1 与 3。也可因式分解 验证。 【点睛】抛物线与 轴交点的横坐标 = 对应一元二次方程的根。 8. (2025合肥模拟) 如图，用 24 m 篱笆靠墙围成矩形菜地，设垂直于墙的边长为 ，则面积 S（）可表示为（　　） 　　A．　　B． 　　C．　　D． 【答案】B 【解析】三边用篱笆：两侧共 ，平行于墙的一边为 ，故 。 【点睛】靠墙只围三边：平行墙的边 = 总长 。 9. (2024广州模拟) 二次函数 （）的图象（　　） 　　A．有最大值无最小值　　B．有最小值无最大值 　　C．既有最大又有最小　　D．无最值 【答案】B 【解析】 开口向上，在顶点处取得最小值；定义域为全体实数时无最大值。 【点睛】开口向上 → 有最小值；开口向下 → 有最大值。 10. (2025福州月考) 关于二次函数章末知识，下列说法错误的是（　　） 　　A． 的对称轴是 轴 　　B．顶点式的顶点可直接读出为 (h,k) 　　C．抛物线与 轴无交点时，对应方程必有两个实数根 　　D．实际问题求最值时要结合自变量的取值范围 【答案】C 【解析】与 轴无交点 ⇔ Δ<0 ⇔ 方程无实数根，故 C 错误。A、B、D 均为正确结论。 【点睛】交点 ↔ 根 ↔ Δ，三者要对应清楚。 二、填空题（每小题 4 分，共 32 分） 1. (2024天津模拟) 二次函数 的对称轴是______，顶点坐标是______。 【答案】直线 （或 轴）；(0,0) 【解析】 的对称轴是 轴（），顶点是原点 (0,0)。 2. (2025宁波模拟) 把抛物线 向上平移 3 个单位，得到的函数解析式为 ______。 【答案】 【解析】向上平移 3 个单位：（顶点由 (0,0) 变为 (0,3)）。 3. (2024西安月考) 如图，抛物线 的顶点坐标为______；当 ______ 时， 随 的增大而减小。 【答案】(2,−1)；（或 ） 【解析】顶点(2,−1)； 开口向上，对称轴左侧（）上 随 增大而减小。 4. (2025青岛模拟) 二次函数 的对称轴是直线 ______；最大值是______。 【答案】2；7 【解析】；。 5. (2024郑州中考改编) 如图，抛物线 与 轴交点的横坐标是______；顶点坐标是______。 【答案】−1 和 3；(1,−4) 【解析】令 ： ⇒ ， 或 3。顶点 ，，即 (1,−4)。 6. (2025长沙模拟) 若抛物线 与 轴只有一个交点，则 ______。 【答案】±2 【解析】Δ= ⇒ 。 7. (2024沈阳月考) 如图，面积函数 （）的顶点为______；最大面积为______ 。 【答案】(6,72)；72 【解析】，，顶点(6,72)；6∈(0,12)，故最大面积 72。 8. (2025厦门模拟) 已知抛物线过原点与点 (2,−4)，且顶点在原点，开口向下，则解析式为 ______。 【答案】 【解析】顶点在原点 ⇒ 。过 (2,−4)： ⇒ ，故 。 三、解答题（共 38 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1. （本小题满分 8 分）(2024济南中考改编) 如图，已知二次函数 。 (1) 求该函数的顶点坐标与对称轴； (2) 说明当 时， 随 的变化情况，并求最大值。 【答案】 (1) 顶点(2,5)；对称轴直线 (2) 当 时， 随 的增大而减小；最大值为 5 【解析】 (1) 对称轴 ；，顶点(2,5)。 开口向下，对称轴右侧（）上 随 增大而减小；在 处取得最大值 5。 【点睛】一般式性质题：对称轴 → 顶点 → 结合开口说增减与最值。 2. （本小题满分 10 分）(2025杭州模拟) 如图，抛物线 与 轴交于 A、B 两点（A 在左，B 在右），顶点为 C。 (1) 求 A、B、C 三点的坐标； (2) 求方程 的解； (3) 当 时，求对应的 值。 【答案】 (1) A(−1,0)，B(3,0)，C(1,−4) 或 或 【解析】 (1) 令 ： ⇒ ，A(−1,0)、B(3,0)。顶点横坐标 ，，C(1,−4)。 (2) 由 (1) 知方程的解为 或 。 ⇒ ⇒ ， 或 。 【点睛】26.3 核心：交点横坐标 ↔ 方程的根；水平线 对应方程 。 3. （本小题满分 10 分）(2024南京中考改编) 如图，用 24 m 篱笆靠墙围成矩形菜地，设垂直于墙的边长为 。 (1) 写出面积 S（）关于 的函数关系式，并写出定义域； (2) 求最大面积及此时各边的长。 【答案】 （或 ），定义域 (2) 当 时，平行墙边长为 12 m，最大面积 【解析】 (1) 平行于墙的边长为 ，。由边长为正： 且 ⇒ 。 (2) 对称轴 ∈(0,12)，。此时平行墙边长 。故最大面积 。 【点睛】靠墙三边模型：列 → 求顶点 → 核对定义域。 4. （本小题满分 10 分）(2025成都模拟) 某商品日利润 （元）与日销量 （件）满足 ，且 ， 为整数。 (1) 求最大日利润及对应的销量； (2) 当销量为 8 件时，日利润是多少？ (3) 若日利润不低于 21 元，求销量 的取值范围。 【答案】 (1) 销量为 10 件时，最大日利润 25 元 (2) 21 元 （ 为整数） 【解析】 (1) 顶点 ∈[5,15]，。故销量 10 件时利润最大为 25 元。 ：，日利润 21 元。 ⇒ ⇒ 。因式分解 ⇒ 。结合 与整数，得 。 【点睛】利润短情境：顶点求最大；不等式求范围时扣定义域与整数条件。 学科网（北京）股份有限公司 $