6.2 二次函数的图象与性质（分层作业·练题型）数学新教材苏科版九年级下册

分层作业 6.2 二次函数的图象与性质 目 录 A组 巩固过关 题型01 y=ax2的图象和性质 题型02 y=ax2+k的图象和性质 题型03 y=a(x-h)2的图象和性质 题型04 y=a(x-h)2+k的图象和性质 题型05 y=ax2+bx+c的图象和性质 题型06 二次函数图象与各项系数的符号 题型07 多个函数图象综合判断 题型08 二次函数的对称性 题型09 二次函数的平移 题型10 二次函数的最值 B组 能力进阶 C组 思维拔高 D组 链接中考 y=ax2的图象和性质题型01 1．（25-26九年级上·江苏南通·期中）抛物线的对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．轴 D．x轴 2．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（   ）． A． B． C． D． 3．（江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，连接，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知点， 在函数图像上，则______．（填“”、“”或“”） y=ax2+k的图象和性质题型02 1．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．关于二次函数，下列说法错误的是（ ） A．y的最大值为1 B．开口向上 C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．图象的对称轴是y轴 3．点，在抛物线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 4．如图，已知P是函数y1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为 _____． y=a(x-h)2的图象和性质题型03 1．已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（江苏苏州·阶段检测）关于抛物线y＝（x+3）2，以下说法正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标是（0，0） D．当x＞﹣3时，y随x的增大而减小 3．（江苏泰州·阶段检测）已知抛物线（a＞0）经过点（－4，y1），（1，y2），则y1___________y2（填“＞”“＝”或“＜”）． 4．（九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知二次函数，函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 4 1 0 m n …    (1)m=___________，n=___________，顶点坐标为___________． (2)在图中画出二次函数的图像． (3)当x___________时，y随x增大而减小，当x___________时，y随x增大而增大． y=a(x-h)2+k的图象和性质题型04 1．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）已知二次函数（为常数），当自变量的值满足时，其对应的函数值y的最小值是，则常数的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（九年级上·江苏苏州·期中）对于抛物线下列结论：①抛物线的开口向上；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④当时，y随x的增大而减小．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 4．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知二次函数． (1)直接写出抛物线的开口方向及顶点坐标； (2)当在什么范围内，随的增大而减小？ (3)把此抛物线向左平移3个单位，再向下平移7个单位后，得到的新抛物线是否过点，请说明理由． y=ax2+bx+c的图象和性质题型05 1．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）函数的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数（为常数），函数与自变量的部分对应值如下表，则___________（填“>”、“<”或“=”）． 1 3 4 m 5 5 3．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）若，，为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是_______（用 < 连接）． 4．已知二次函数，当时，的最大值为______，最小值是______． 二次函数图象与各项系数的符号题型06 1．二次函数的图象如图所示，下列说法中正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．若二次函数的图象如图所示，则的图象大致是（　　） A． B．C． D． 3．（九年级上·江苏无锡·期末）二次函数 的部分图像如图所示，其对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为．下列结论： ①； ②； ③； ④当函数值时，自变量x的取值范围是． 其中正确结论的序号是（  ） A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 4．（九年级上·江苏宿迁·期末）已知二次函数、、为常数的图象如图所示，下列个结论． ；；；为常数，且． 其中正确的结论有___________（填写序号）． 多个函数图象综合判断题型07 1．在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 2．已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内的图象如图所示，则二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象如图所示，则二次函数与正比例函数的图象大致为（    ）    A．  B．    C．   D．   4．（九年级上·江苏连云港·阶段检测）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．  B．C． D．   二次函数的对称性题型08 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知二次函数，当分别取，时，所得的函数值相等，则当取时，函数值为（   ） A． B． C． D． 2．（九年级下·江苏南京·开学考试）在函数中，y与x的部分对应值如表，此抛物线的对称轴是直线（　　） x … 1 3 4 … y … … A． B． C． D． 3．在二次函数中，与的部分对应值如表： 0 1 2 3 则的大小关系为（    ） A． B． C． D．不确定 4．（九年级下·江苏苏州·阶段检测）已知抛物线经过点和点，则的最大值是______． 二次函数的平移题型09 1．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 2．（江苏淮安·一模）将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线解析式是（　　） A． B． C． D． 3．（九年级上·江苏苏州·期中）将抛物线，先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，所得新抛物线的函数关系式为_________． 4．将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为________． 二次函数的最值题型10 1．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）当时，函数的最小值为，则的值为_____． 2．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）已知实数a、b满足，则代数式的最小值是________． 3．已知二次函数在时有最大值3，则的值为__________． 4．（九年级上·江苏常州·期末）已知二次函数的图像如图所示，交轴于点、两点，若该函数在的范围内有最小值为，最大值为12，则的取值范围是______． 1．（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．如图，抛物线的顶点在直线上，对称轴为直线，下面四个结论：①，②，③，④当时，．其中错误的结论是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 3．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为_____． 4．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）先将抛物线所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得到的抛物线沿轴向右平移个单位长度，得到抛物线，则原抛物线为________． 5．（九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为，，二次函数（a，b是常数）的图像的顶点在线段上，则的最小值为______． 6．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，有以下结论：①；②；③（m为任意实数）；④若方程的两根为，，且，则，⑤，其中说法正确的有 ． 7．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知二次函数（m是常数）． (1)若． ①该函数的顶点坐标为　　　　　　；②当时，该函数的最大值　　　　　　； (2)求证：不论m为何值，该函数图像顶点始终在二次函数上； (3)已知该函数上有两点、，当时，总有，则m的取值范围是　　　　　　． 1．二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 2．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）当时，二次函数有最大值4，则实数m的值是（   ） A．2或 B．2或或或 C．2或或 D．2或 3．（九年级上·江苏苏州·期中）已知，在同一直角坐标系中一次函数，二次函数，一平行于x轴的直线与一次函数交于点，与二次函数图像交于、两点，若、、三点的横坐标分别为、、，且，则的值（   ） A． B． C． D． 4．已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（    ） A． B． C．周长的最小值是 D．是的一个根 5．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知两点、均在抛物线上，点是抛物线的顶点，若，则的取值范围是________． 6．如图，在平面直角坐标系中有，两点，如果抛物线与线段没有公共点，则a的取值范围是_______． 7．（九年级上·江苏无锡·期末）某网店经营一种热销的小商品，若该商品的售价为每件元，第天（为正整数）的每件进价为元，与的对应关系如下（已知是的一次函数）： 第天 …… 每件进价（单位：元） …… (1)直接写出与的函数关系式； (2)统计发现该网店每天卖掉的件数，设该店每天的利润为元； ①求该店每天利润的最大值； ②若该店每卖一件小商品就捐元给某慈善组织，该店若想在第天获得最大利润，求的取值范围． 1．（2026·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 3．（2026·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（，，为常数，）的图像过点，则下列说法正确的是__________．（填写所有正确说法的序号） ①；②若，则当时，随的增大而增大；③若，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 4．（2026·四川攀枝花·中考真题）已知二次函数，其中为常数． (1)若，求此函数图象的顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 6.2二次函数的图象与性质 目录 A组巩固过送 题型01Yax2的图象和性质 题型02yax2+k的图象和性质 题型03y=a(xh)2的图象和性质 题型04y=ax-h)2+k的图象和性质 题型05y=ax2+bx+c的图象和性质 题型06二次函数图象与各项系数的符号 题型07多个函数图象综合判断 题型08二次函数的对称性 题型09二次函数的平移 题型10二次函数的最值 B组能力进阶 C组思维拔高 D组链接中考 A组 巩固过关 颗型01 y=ax2的图象和性质 1.C 2.B 3.D 1/4 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.< 颗型02 y=ax+k的图象和性质 1.B 2.A 3.A 4.2 颗型03 y=a(xh)2的图象和性质 1.A 2.B 3.> 4.(1)1,4,1,0(2)图略：(3)<1；>1 题型04 y=a(xh)2+的图象和性质 1.C 2.B 3.B 4.(1)抛物线开口向上，顶点坐标为1,3)：(2)当x<1时，y随x的增大而减小；(3)新抛物线不经过点 P(1,-5 颗型05 y=ax2+bx+c的图象和性质 1.C 2.< 3.y3<y9<y 4.3 -5 题型06 二次函数图象与各项系数的符号 1.B 2.B 3.C 4.①③ 2/4 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 颗型07 多个函数图象综合判断 1.D 2.D 3.B 4.D 颗型08 二次函数的对称性 1.B 2.A 3.A 4.1 颗型09 二次函数的平移 1.B 2.A 3.y=(x+1)+1 4.2,-2 题型10 二次函数的最值 1.2 2.-3 3 3.8或-3 4.3≤m≤7 B组 能力进阶 1.C 2.B 3. 4或6 314 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.y=2x+x 4 1 5.4 6.②③⑤ 7.1)①-1,2：②2：(2)证明略：(3)m≤1 C组 思维拔高 1.D 2.D 3.B 4.C 5. 6.a>2或0<a<1 3 7.(1)y=0.5x+11.5:(2)①当x=11时，该店每天利润的最大值512元；②5.5<n<6.5 拓展 链接中考 1.B 2.< 3.①③④ 4.(1)1,1:(2)6≤a≤12 414 分层作业 6.2 二次函数的图象与性质 目 录 A组 巩固过关 题型01 y=ax2的图象和性质 题型02 y=ax2+k的图象和性质 题型03 y=a(x-h)2的图象和性质 题型04 y=a(x-h)2+k的图象和性质 题型05 y=ax2+bx+c的图象和性质 题型06 二次函数图象与各项系数的符号 题型07 多个函数图象综合判断 题型08 二次函数的对称性 题型09 二次函数的平移 题型10 二次函数的最值 B组 能力进阶 C组 思维拔高 D组 链接中考 y=ax2的图象和性质题型01 1．（25-26九年级上·江苏南通·期中）抛物线的对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．轴 D．x轴 【答案】C 【详解】解：∵ 抛物线的解析式为，该抛物线符合的形式， ∴ 其对称轴为y轴， 故选：C． 2．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．函数图像可得，则 开口方向向下正确，但顶点坐标应交于原点，而不是交轴正半轴，故选项A不正确； B．函数图像可得，则 开口方向向下正确，顶点坐标为，故选项B正确； C．函数图像可得，则 开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项C不正确； D．函数图像可得，则 开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项D不正确； 故选：B． 3．（江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，连接，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将点代入抛物线得：，解得， 将点代入抛物线得：， 如图，若抛物线与线段恰有一个公共点， 则的取值范围是， 故选：D． 4．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知点， 在函数图像上，则______．（填“”、“”或“”） 【答案】< 【详解】解：由函数（），点在图像上，代入得；点在图像上，代入得， 因为，所以，即； 故答案为<． y=ax2+k的图象和性质题型02 1．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 2．关于二次函数，下列说法错误的是（ ） A．y的最大值为1 B．开口向上 C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．图象的对称轴是y轴 【答案】A 【详解】A．函数中，二次项系数，抛物线开口向上，顶点为最低点，其纵坐标为，即函数有最小值1，而非最大值，说法错误； B．，抛物线开口向上，说法正确； C．对称轴为轴（），当时（对称轴左侧），函数值随的增大而减小，说法正确； D．二次函数的对称轴是y轴，说法正确； 故选：A． 3．点，在抛物线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧y随x的增大而增大， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴． 故选：A． 4．如图，已知P是函数y1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为 _____． 【答案】2 【详解】解：设p(x，x2-1)，则OH=|x|，PH=|x2-1|， 当点P在x轴上方时，∴x2-1>0, ∴PH=|x2-1|=x2-1， 在Rt△OHP中，由勾股定理，得 OP2=OH2+PH2=x2+(x2-1)2=(x2+1)2， ∴OP=x2+1， ∴OP-PH=（x2+1）-（x2-1）=2， 故答案为：2． y=a(x-h)2的图象和性质题型03 1．已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：二次函数， ， 函数图象开口向下，对称轴为， 时，函数值随自变量的增大而减小， 故选：A． 2．（江苏苏州·阶段检测）关于抛物线y＝（x+3）2，以下说法正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标是（0，0） D．当x＞﹣3时，y随x的增大而减小 【答案】B 【详解】解：∵y＝（x+3）2， ∴抛物线开口向上、对称轴为直线x＝﹣3、顶点坐标为（﹣3，0）， ∴当x＞﹣3时，y随x的增大而增大， 故A、C、D说法是错误的，B说法是正确的； 故选：B． 3．（江苏泰州·阶段检测）已知抛物线（a＞0）经过点（－4，y1），（1，y2），则y1___________y2（填“＞”“＝”或“＜”）． 【答案】＞ 【详解】解：∵抛物线（a＞0） ∴抛物线的开口方向向上，对称轴为直线x＝-1， ∴点（﹣4，），（1，）到直线x＝-1的距离分别为3和2， ∵3＞2， ∴＞． 故答案为：＞． 4．（九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知二次函数，函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 4 1 0 m n …    (1)m=___________，n=___________，顶点坐标为___________． (2)在图中画出二次函数的图像． (3)当x___________时，y随x增大而减小，当x___________时，y随x增大而增大． 【答案】(1)，，(2)图略；(3)； 【详解】（1）解：当时，，即； 当时，，即， 由二次函数得，顶点坐标为：， 故答案为：，，； （2）如图，    （3）观察问题（2）图像可知： 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大． 故答案为：；． y=a(x-h)2+k的图象和性质题型04 1．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而减小， ． 2．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）已知二次函数（为常数），当自变量的值满足时，其对应的函数值y的最小值是，则常数的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，的最小值为． ∵当时，的最小值为，且， ∴不在的范围内． 当时，在中，随的增大而增大， ∴时取最小值， 代入得， 整理得， 解得，（不符合，舍去）． 当时，在中，随的增大而减小， ∴时取最小值， 代入得， 整理得， 解得（不符合，舍去），． 综上可知，常数的值为或． 3．（九年级上·江苏苏州·期中）对于抛物线下列结论：①抛物线的开口向上；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④当时，y随x的增大而减小．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】解：抛物线， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， 故①③正确， 故选：B． 4．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知二次函数． (1)直接写出抛物线的开口方向及顶点坐标； (2)当在什么范围内，随的增大而减小？ (3)把此抛物线向左平移3个单位，再向下平移7个单位后，得到的新抛物线是否过点，请说明理由． 【答案】(1)抛物线开口向上，顶点坐标为；(2)当时，随的增大而减小；(3)新抛物线不经过点 【详解】（1）解：二次函数解析式为，二次项系数为，， 抛物线开口向上，顶点坐标为； （2）解：抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小； （3）新抛物线不经过点 理由：平移后新抛物线解析式为 即为， 将代入得 ， 新抛物线不经过点． y=ax2+bx+c的图象和性质题型05 1．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）函数的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，函数的图象是A选项中的图象，A选项不符合题意， 当时，函数的图象是B选项中的图象，B选项不符合题意， C选项中二次函数图象的对称轴为轴，则， ∴，图象不符，C选项符合题意， 当时，函数的图象是D选项中的图象，D选项不符合题意， 故选：C． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数（为常数），函数与自变量的部分对应值如下表，则___________（填“>”、“<”或“=”）． 1 3 4 m 5 5 【答案】< 【详解】解：由表可得，二次函数的对称轴为， ∵二次项系数， ∴函数图象上的点离对称轴越近，对应的函数值越大， ∵，，， ∴． 故答案为：<． 3．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）若，，为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是_______（用 < 连接）． 【答案】 【详解】解：∵二次函数解析式为，其中，， ∴，抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵开口向上的抛物线，点的横坐标到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， 分别计算三个点到对称轴的距离： 点横坐标为，距离为， 点横坐标为，距离为， 点横坐标为，距离为， ∵， ∴． 4．已知二次函数，当时，的最大值为______，最小值是______． 【答案】 【详解】解：将二次函数化为顶点式， ， 因此顶点坐标为，二次项系数为负，抛物线开口向下； 顶点横坐标在区间内，故最大值为3； 计算区间端点函数值： 当时，； 当时，； 比较函数值，最小值为． 故答案为：3，． 二次函数图象与各项系数的符号题型06 1．二次函数的图象如图所示，下列说法中正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】∵抛物线的开口向上， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴． 故选：B． 2．若二次函数的图象如图所示，则的图象大致是（　　） A． B．C． D． 【答案】B 【详解】解：根据二次函数图象与轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在轴左边可得同号，故， 所以的图象大致是：抛物线开口向上，图象与轴的负半轴相交，对称轴在轴右边，故选项B符合题意． 故选：B． 3．（九年级上·江苏无锡·期末）二次函数 的部分图像如图所示，其对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为．下列结论： ①； ②； ③； ④当函数值时，自变量x的取值范围是． 其中正确结论的序号是（  ） A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【详解】解：由所给函数图象可知， ， 所以． 故①错误． 因为抛物线的对称轴为直线， 所以， 则 因为抛物线与x轴的一个交点坐标为， 所以， 则， 即． 故②正确． 由上述过程可知， ， 即，故③错误． 因为抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， 所以抛物线与x轴的另一个交点的坐标为． 又因为抛物线的开口向上， 所以当时，函数图象在x轴下方，即． 所以当函数值时，自变量x的取值范围是． 故④正确． 故选：C． 4．（九年级上·江苏宿迁·期末）已知二次函数、、为常数的图象如图所示，下列个结论． ；；；为常数，且． 其中正确的结论有___________（填写序号）． 【答案】 【详解】解：由图象可知：， ， ， ，故正确； 当时，， 故，故错误； 当时函数值小于，且， 即，代入得，得， ， ，故正确； 当时，的值最大．此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故错误． 故正确． 故答案为：． 多个函数图象综合判断题型07 1．在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．抛物线开口向下，则；一次函数图象上升，，两函数矛盾，故选项错误； B．抛物线开口向上，则；一次函数图象下降，，两函数矛盾，故选项错误； C．抛物线开口向上，则；一次函数图象下降，，两函数矛盾，故选项错误； D．抛物线开口向下，则；一次函数图象下降，，故选项正确． 故选D． 2．已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内的图象如图所示，则二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵一次函数图象过第一、二、三象限， ∴， 对于二次函数， ∴对称轴为， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧；排除选项A和B； ∵反比例函数的图象在第二象限内， ∴，则， ∴二次函数的图象与轴交点在轴下方， 满足上述条件的函数图象只有选项D． 故选：D． 3．已知二次函数的图象如图所示，则二次函数与正比例函数的图象大致为（    ）    A．  B．    C．   D．   【答案】B 【详解】解：由二次函数的图象可知，， ∴二次函数的开口向下，与轴交于正半轴， ∵二次函数的图象与x轴交于， ∴方程的两个根为， ∴二次函数与正比例函数的交点的横坐标为，1， 综上所述，只有B选项中的函数图象符合题意， 故选B． 4．（九年级上·江苏连云港·阶段检测）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．  B．C． D．   【答案】D 【详解】解：由函数可知抛物线的顶点为，故A、C不合题意； B、由抛物线可知，，由双曲线可知，，故B不合题意； D、由抛物线可知，，由双曲线可知，，故D符合题意； 故选：D． 二次函数的对称性题型08 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知二次函数，当分别取，时，所得的函数值相等，则当取时，函数值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在中，抛物线的对称轴是y轴， 当分别取，时，函数值相等， ∴，互为相反数， ∴， 当时，． 故选：B． 2．（九年级下·江苏南京·开学考试）在函数中，y与x的部分对应值如表，此抛物线的对称轴是直线（　　） x … 1 3 4 … y … … A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵和时的函数值相同都是， ∴抛物线的对称轴为直线x． 故选：A． 3．在二次函数中，与的部分对应值如表： 0 1 2 3 则的大小关系为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【详解】抛物线过，， 抛物线的对称轴为直线，当，， 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， m，n分别为点和的纵坐标， ， 故选：A 4．（九年级下·江苏苏州·阶段检测）已知抛物线经过点和点，则的最大值是______． 【答案】1 【详解】解：抛物线， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线经过点和点， 点和点关于对称轴对称，， ，即， ， ， ， 时，有最大值为：． 故答案为：1． 二次函数的平移题型09 1．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，得，再向下平移3个单位长度，得． 2．（江苏淮安·一模）将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线解析式是， 故选：A． 3．（九年级上·江苏苏州·期中）将抛物线，先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，所得新抛物线的函数关系式为_________． 【答案】 【详解】解：将抛物线，先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，所得新抛物线的函数关系式为，即． 故答案为：． 4．将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴抛物线向右平移3个单位后得到， ∴新抛物线的顶点作为：． 故答案为：． 二次函数的最值题型10 1．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）当时，函数的最小值为，则的值为_____． 【答案】2 【详解】解：∵函数 ∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 在中： 当时，y随x的增大而增大， 当时，函数的最小值为， ∴ ∴，不符合题意，舍去； 在中： 当时，当时，函数的最小值为， ∴ 解得或（舍去）； 在中： 当时，y随x的增大而减小， 当时，函数的最小值为， ∴ ∴，不符合题意，舍去； 综上所述，． 2．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）已知实数a、b满足，则代数式的最小值是________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵二次项系数是， ∴当时，代数式取得最小值，最小值是． 故答案为： 3．已知二次函数在时有最大值3，则的值为__________． 【答案】或 【详解】∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为，顶点坐标为， 当时，抛物线开口向上，函数有最小值，且与对称轴距离越大，函数值越大， ∵， ∴时，函数局部有最大值，此时函数值为， ∵二次函数在时有最大值3， ∴， 解得；符合题意； 当时，抛物线开口向下，函数有最大值，且与对称轴距离越大，函数值越小， ∵，抛物线的对称轴为，在局部范围内， ∴时，函数局部有最大值，此时函数值为， ∵二次函数在时有最大值3， ∴， 解得；符合题意； 故答案为：或． 4．（九年级上·江苏常州·期末）已知二次函数的图像如图所示，交轴于点、两点，若该函数在的范围内有最小值为，最大值为12，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴抛物线解析式为， 即， ∵， ∴当时，y有最小值为， 当时，， 解得，， ∵该函数在的范围内有最小值为，最大值为12， ∴． 故答案为：． 1．（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：二次函数，其二次项系数，故抛物线开口向上． ∵开口向上的二次函数，在对称轴左侧随的增大而减小，且该函数的对称轴为， 又∵当时，随的增大而减小， ∴对称轴需满足． 故选：C． 2．如图，抛物线的顶点在直线上，对称轴为直线，下面四个结论：①，②，③，④当时，．其中错误的结论是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，， ∴，结论①正确； 由函数图象可知，当时，， ∴， ∴，结论②错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， ∴，即，结论③正确； 由函数图象可知，当时，抛物线位于直线的上方， ∴， ∴， 不等式的两边同除以得：，则结论④正确； 故选：B． 3．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为_____． 【答案】或6 【详解】解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，在，函数有最小值， ∵的最小值为， ∴， ∴； 当时，离对称轴越远，函数值越小， 在，，， ∴当时，函数有最小值， ∴， 解得； 综上所述：的值为6或． 故答案为：6或． 4．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）先将抛物线所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得到的抛物线沿轴向右平移个单位长度，得到抛物线，则原抛物线为________． 【答案】 【详解】解：将沿轴向左平移2个单位，根据平移规则“左加右减”，将原式中替换为， 计算得：， 将所得抛物线横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，将式子中的替换为， 计算得：， 经验证，该抛物线经过题目要求的变换后可得到，因此原抛物线为． 5．（九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为，，二次函数（a，b是常数）的图像的顶点在线段上，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵二次函数， ∴顶点坐标为， ∵二次函数 （a，b是常数）的图象的顶点在线段上， ∴， 即， ∴当时，b取最小值． 故答案为：． 6．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，有以下结论：①；②；③（m为任意实数）；④若方程的两根为，，且，则，⑤，其中说法正确的有 ． 【答案】②③⑤ 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线， ，则， ∴，所以⑤正确； 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①错误； 抛物线对称轴是直线，且过点， 抛物线过点， 时，， ，所以②正确； 抛物线的对称轴为直线， 当时，有最小值， （为任意实数）， 则，所以③正确； 方程即的两根为，，且， 抛物线与直线有两个交点，， 由图象可知，所以④错误． 故答案为：②③⑤． 7．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知二次函数（m是常数）． (1)若． ①该函数的顶点坐标为　　　　　　；②当时，该函数的最大值　　　　　　； (2)求证：不论m为何值，该函数图像顶点始终在二次函数上； (3)已知该函数上有两点、，当时，总有，则m的取值范围是　　　　　　． 【答案】(1)①；②2；(2)证明略；(3) 【详解】（1）解：当时，二次函数， ①该函数的顶点坐标为， 故答案为：； ②由①知该函数的顶点坐标为， 由于， 则当时，该函数的最大值为2， 故答案为：2； (2)证明：二次函数， 则顶点坐标为， 将代入得， 因此，不论m为何值，该函数图像顶点始终在二次函数上； （3）解：由（2）可知该二次函数的顶点坐标为， 当时，总有， 则当时，随的增大而减小， 由于该二次函数开口向下，对称轴为， 则， 故答案为：． 1．二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】二次函数 的大致图象如下： ①当时, 当时，取最小值，即， 解得：（正数舍去）， 当时，取最大值，即， 解得：或(均不合题意，舍去)； ②当时, 当时，取最小值，即， 解得：（正数舍去）， 当时，取最大值，即, 解得： 或时，取最小值， 时取最大值， ， ， ， ∴此种情形不合题意， 所以， 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）当时，二次函数有最大值4，则实数m的值是（   ） A．2或 B．2或或或 C．2或或 D．2或 【答案】D 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ①时，时二次函数有最大值， 此时， 解得，与矛盾，故m值不存在； ②当时，时，二次函数有最大值，此时， 解得， (舍去)； ③当时，时二次函数有最大值， 此时， 解得， 综上所述，的值为2或， 故选：D． 3．（九年级上·江苏苏州·期中）已知，在同一直角坐标系中一次函数，二次函数，一平行于x轴的直线与一次函数交于点，与二次函数图像交于、两点，若、、三点的横坐标分别为、、，且，则的值（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：直线与一次函数交于点，点的横坐标为， 点，且满足， 即． 直线与二次函数图像交于、两点，、两点的横坐标分别为、，且， ， 解得，． ． 一次函数与二次函数相交， ， 解得，， 当时，，当时，， 一次函数与二次函数相交于，． 的对称轴为，且开口向下，最大值， ， ， ． 故选：B． 4．已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（    ） A． B． C．周长的最小值是 D．是的一个根 【答案】C 【详解】A．根据图象知，对称轴是直线x=-=1，则b=-2a，即2a+b=0，故A正确； B．根据图象知，点A的坐标为(-1,0)，对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0)， ∴x=3时，y=9a+3b+3=0， ∴9a-6a+3=0, ∴3a+3=0， ∴2a+3=-a， ∵抛物线开口向下，则a<0， ∴2a+3=-a＞0， ∴a>-，故B正确； C．点A关于x=1对称的点是A´(3,0)，即抛物线与x轴的另一个交点， 连接BA´与直线x=1的交点即为点P， 则△PAB的周长的最小值是(BA´+AB)的长度， ∵A(-1,0)，B(0,3)，A´(3,0)， ∴AB=，BA´=， 即△PAB周长的最小值为+，故C错误； D．根据图象知，点A的坐标为(-1,0)，对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(3,0)，所以是的一个根，故D正确． 故选C． 5．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知两点、均在抛物线上，点是抛物线的顶点，若，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：∵，是抛物线的顶点， ∴抛物线开口向下，顶点纵坐标是函数的最大值；开口向下时，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小， ∵， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 即， 两边同时平方，得， 展开整理，得， 解得． 6．如图，在平面直角坐标系中有，两点，如果抛物线与线段没有公共点，则a的取值范围是_______． 【答案】或 【详解】解：点M在抛物线上时，将代入得， 时，抛物线开口变小，符合题意， 点N在抛物线上时，将代入得， 解得， 时，抛物线开口变大，符合题意． 结合，可知a的取值范围是或 故答案为：或． 7．（九年级上·江苏无锡·期末）某网店经营一种热销的小商品，若该商品的售价为每件元，第天（为正整数）的每件进价为元，与的对应关系如下（已知是的一次函数）： 第天 …… 每件进价（单位：元） …… (1)直接写出与的函数关系式； (2)统计发现该网店每天卖掉的件数，设该店每天的利润为元； ①求该店每天利润的最大值； ②若该店每卖一件小商品就捐元给某慈善组织，该店若想在第天获得最大利润，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)①当时，该店每天利润的最大值元；② 【详解】（1）解：∵已知是的一次函数， ∴设代入与的对应值得， 解得， ∴与的函数关系式为； （2）解：①该店每天的利润为 当时，该店每天利润的最大值元； ②该店每天的利润为 ， ∵，函数图像的开口方向向下， ∵该店若想在第天获得最大利润， 满足不等式组，整理得解得， 解得． 1．（2026·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 2．（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【详解】解：对函数解析式配方得， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ， ， ． 3．（2026·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（，，为常数，）的图像过点，则下列说法正确的是__________．（填写所有正确说法的序号） ①；②若，则当时，随的增大而增大；③若，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 【答案】①③④ 【详解】解：①将代入，得， ∵函数图像过点， ∴，故①正确． ②，∵， ∴二次函数开口向下，对称轴为，若，则对称轴，若，则在区间，随增大而减小，如：取，，得对称轴，在时递减，故②错误． ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴，因此，即，故③正确． ④整理方程得，方程有两个相等的实数根，因此判别式， ∴， 整理得， ∴， 因此， ∵， ∴，即，故④正确． 综上所述：①③④正确． 4．（2026·四川攀枝花·中考真题）已知二次函数，其中为常数． (1)若，求此函数图象的顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为； （2）解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴，解得； ∵当时，随的增大而增大， ∴，解得， ∴的取值范围是． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $