二次函数的综合应用压轴题（5）---其它问题- 2026‑2027学年人教版(2024)九年级数学上册 课时同步练习

专题10 二次函数的综合应用压轴题（5） ---其它问题 题型一 二次函数代数推理综合问题 1．已知抛物线（a为常数）经过点． (1)求a的值． (2)过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值． (3)设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间．若直线之间的距离为16，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象性质，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出对称轴，由题意，可知，关于对称轴对称，的纵坐标均为，中点得到，对称性得到，求出，再代入函数解析式求出的值即可； （3）根据题意，易得要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称，根据直线之间的距离为16，为定值，得到当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，令，求出的值，进而确定的值，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， 解得：； （2）由（1）知：， ∴对称轴为直线， ∵点在轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于两点， ∴关于对称轴对称，的纵坐标均为， 又∵点B为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴代入，得：， ∴； （3）∵， ∴抛物线的顶点坐标， 当抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间时， 为直线与抛物线的交点， ∴要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称， 又∵直线之间的距离为16，为定值， ∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，如图： ∴当时，解得：， 即：， ∴的最大值为：． 2．如图，已知二次函数（，为常数）的图象经过点，． (1)________，________； (2)根据图象，当时，的取值范围是________； (3)当时，的取值范围是________； (4)在抛物线上存在点，使得，求点的坐标； (5)当时，二次函数的最大值为，直接写出的值． 【答案】(1)； (2) (3)或 (4)点D坐标为： 或 (5)或 【分析】（1）先根据二次函数性质得到对称轴，然后再利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数性质求解即可； （3）分别求出当时和当时的取值，然后根据函数性质求解即可； （4）设点D 纵坐标为，先根据面积公式求出的值，然后得到的值，再代入函数解析式求解即可； （5）利用函数性质分三种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数（，为常数）的图象经过点，， ∴二次函数的对称轴为：， ∴， ∴二次函数为， 将点代入得到：， 解得． （2）解：∵二次函数的解析式为：， ∴二次函数的对称轴为，抛物线开口向下，顶点为， 在时，， 在时，， 在时，函数取到最大值， 故当时，的取值范围是． （3）解：当时，得到，解得：或， 当时，或， 又∵二次函数的对称轴为，抛物线开口向下， ∴当时，的取值范围是或． （4）解：∵点，， ∴， 设点D 纵坐标为， ∴， ∴， 又∵二次函数的最大值为，点在抛物线上， ∴， ∴， 解得： 点D坐标为： 或 ． （5）解：二次函数的对称轴为，抛物线开口向下，顶点为，最大值为，在对称轴的左边函数值随自变量的增大而增大，在对称轴的右边函数值随自变量的增大而减小， ①当 （即）时，此时当时，函数取得最大值为：， 解得 ，取负根 ； ② 当（即 ），最大值在顶点处，此时 ， ∴ ， 解得（舍去）； ③当时，此时当时，函数取得最大值为， 解得：， ∴， 综上或 ． 3．已知二次函数，其中． (1)若二次函数的图像经过，求二次函数表达式； (2)若，当时，二次函数图像的最高点为，最低点为，点的纵坐标为6，求点和点的坐标； (3)若，在二次函数图像上任取两点，当时，总有，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入函数解析式中，求出的值，从而解出二次函数解析式； （2）求出二次函数的对称轴，对称轴在内，根据可知二次函数图像开口向上，在顶点处取得最小值，在离对称轴远的端点处取得最大值； （3）根据二次函数图像的增减性，判断的大致位置，从而求出的取值范围． 【详解】（1）解：把代入函数解析式得，， 解得， ∴函数解析式为； （2）解：， ∴拋物线的对称轴为，顶点为， ， ∴抛物线开口向上，且-1到1的距离大于2到1的距离， ∵当时，， ， ∴代入点和点坐标得：； （3）解：当时，如图所示： 则当时随增大而增大， 当时，随增大而减小， 又∵当时，总有， 此时， ． 4．已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． (1)若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）： ①________；②________；③________． (2)若，，求b的取值范围； (3)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 【答案】(1)；；； (2) (3)b的值为或． 【分析】本题考查根与系数的关系，二次函数图像与性质，不等式性质，二次函数最值情况，解题的关键在于熟练掌握二次函数图像与性质． （1）根据根与系数的关系得到，以及，即可判断①，利用二次函数的图像与性质得到，进而得到，利用不等式性质变形，即可判断②③． （2）根据题意得到，结合进行求解，即可解题； （3）根据题意得到抛物线顶点坐标为，对称轴为；当时，，当时，，由最大值与最小值的差为，分以下三种情况：①当在取得最大值，在取得最小值时，②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，③当在取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解： 与x轴交点的坐标分别为，，且， ，且抛物线开口向上， 与x轴交点的坐标分别为，，且． 即向上平移1个单位， ，且， ① ； ， ，即② ； ，即③ ． 故答案为；；；； （2）解： ，， ， ， ； （3）解：抛物线顶点坐标为， 对称轴为； 当时，， 当时，， ①当，则， 那么，在取得最大值，在取得最小值时， 有，解得 （不符合题意，舍去）； ②当，解得， 那么，在取得最大值，在顶点取得最小值时， 有，解得（不符合题意，舍去）或， ③当，解得， 那么，在取得最大值，在顶点取得最小值时， 有，解得（不符合题意，舍去）或； 综上所述，b的值为或． 5．如图，已知二次函数． (1)求证：无论a为任何实数，二次函数的图象与x轴总有两个交点； (2)当时，函数值y随x的增大而减小，求a的取值范围； (3)以二次函数图象的顶点A为一个顶点作该二次函数图象的内接正三角形（M，N两点在二次函数的图象上），请问：的面积是与a无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的面积是与a无关的定值，该定值为 【分析】（1）根据根的判别式进行证明即可； （2）求出二次函数的对称轴，由于抛物线的开口向下，在对称轴的右边y随x的增大而减小，可以求出a的取值范围； （3）由二次函数解析式得到顶点A的坐标为，设抛物线对称轴交于点B，设，根据等边三角形得到，从而，把点M代入解析式，解得，从而可求出的面积，即可解答． 【详解】（1）解：令，则， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴无论a为任何实数，二次函数的图象与x轴总有两个交点． （2）解：∵， ∴该抛物线的开口向下，对称轴为， ∵当时，函数值y随x的增大而减小， ∴． （3）解：∵， ∴抛物线顶点A的坐标为， 设抛物线对称轴交于点B，则， ∵是抛物线的内接正三角形， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵点M在抛物线上， ∴， 整理得， 解得或（不合题意，舍去） ∴，， ∴， ∴的面积是与a无关的定值，该定值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，涉及二次函数图象与x轴的交点，二次函数的图象及性质，等边三角形的性质，解直角三角形等，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 6．抛物线过点，．点，点是抛物线上两点，将此抛物线上，两点之间的部分（包括，两点）记为图象． (1)求抛物线解析式； (2)当点，重合时，求点的坐标； (3)当抛物线的顶点在图象上时，设图象的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为、求与之间的关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数综合、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）由、重合可得，解得，再将代入到抛物线的表达式即可求解； （3）利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴和顶点坐标，由抛物线的顶点在图象上，可得出图象的最低点的纵坐标，再分两种情况讨论：①点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，②点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，表示出对应的最高点的纵坐标，即可求出与之间的关系式． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴将，代入到抛物线得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵、重合， ∴， 解得， ∴， 将代入到抛物线的表达式得， ∴点的坐标为； （3）解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在图象上， ∴图象的最低点的纵坐标为，且点、在抛物线的对称轴的两侧， ①若点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，即， 解得， 此时到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， 又∵， ∴图象的最高点为点， ∴图象最高点的纵坐标为， ∴； ②若点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，即， 解得， 此时到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， 又∵， ∴图象的最高点为点， ∴图象最高点的纵坐标为， ∴； ∴与之间的关系式为． 题型二 二次函数与新定义综合问题 7．数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题． 同学们，请你结合所学的数学解决下列问题． 在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象． (1)求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点； (2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或或或 【分析】（1）分与两种情况讨论论证即可； （2）当时，不符合题意，当时，对于函数，令，得，从而有或，根据整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数，从而有或或或或或或或，解之即可． 【详解】（1）解：当时，，函数为一次函数，此时，令，则，解得， ∴一次函数与轴的交点为； 当时，，函数为二次函数， ∵， ∴ ， ∴当时，与轴总有交点， ∴无论取什么实数，图象与轴总有公共点； （2）解：当时，不符合题意， 当时，对于函数， 令，则， ∴， ∴或 ∴或， ∵，整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数， ∴或或或或或或或， 解得或或（舍去）或（舍去）或或或（舍去）或（舍去）， ∴或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系以及二次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质以及数形相结合的思想是解题的关键． 8．规定：我们把一个函数关于某条直线或者某点作对称后形成的新函数，称之为原函数的“对称函数”． （1）已知一次函数y＝﹣2x+3的图象，求关于直线y＝﹣x的对称函数的解析式； （2）已知二次函数y＝ax2+4ax+4a﹣1的图象为C1； ①求C1关于点R（1，0）的对称函数图象C2的函数解析式； ②若两抛物线与y轴分别交于A、B两点，当AB＝16时，求a的值； （3）若直线y＝﹣2x﹣3关于原点的对称函数的图象上的存在点P，不论m取何值，抛物线y＝mx2+（m﹣）x﹣（2m﹣）都不通过点P，求符合条件的点P坐标． 【答案】（1）y= ，(2) ① ，② 或 （3）（1，1），(-2，7). 【分析】（1）取y=-2x+3上两点（0，3），（ ，0），求出这两点关于y=-x对称点，代入y=kx+b，求出k，b的值则可以得出解析式； （2）①设C2上的点为（x，y），其关于（1，0）的对称点代入C1上，则可以求出C2 的解析式； ②C1与y轴交于（0，4a-1）， C2与y轴交于（0，-16a+1）根据AB=16，列方程求出a的值， （3）求出y=-2x-3关于原点对称函数为y=-2x+3，根据抛物线不通过点P： ，令 ，得出x，将x的值代入y=-2x+3中，由于函数值得唯一性，得出点P的坐标. 【详解】（1）取y=-2x+3上两点（0，3），（ ，0）两点关于y=-x对称点为（-3，0），（0，- ） 设y=x+b，则 ， 解得 ， 则 ， （2）①设C2上的点为（x，y），其关于（1，0）的对称点为（2-x，-y）， (2-x，-y)在C1上，则 C2:， ②C1关于y轴交于（0，4a-1）， C2关于y轴交于（0，-16a+1）， AB=｜(4a-1)-(-16a+1)｜=16， ｜2a-2｜=16，解得a= 或- ， （3）y=-2x-3关于原点对称函数为y=-2x+3， 抛物线: 令 ，得x1=1，x2=-1，则抛物线经过（1， ），（-2， ） 令x=1，y=-2x-3=1，令x=-2，y=-2x+3=7， 点（1，1）（-2，7）在y=-2x+3上 由于函数值的唯一性，上述两点不可能在抛物线上， 故P为(1，1)或(-2，7)． 【点睛】此题是一次函数，二次函数的综合，包含求函数的解析式，函数的对称性，一次函数的点的坐标特征，二次函数图像和性质，以及一次函数与一元一次方程结合，解题的关键是熟悉一次函数，二次函数的图像和性质． 9．某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，．    【基础训练】 (1)请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________； 【技能训练】 (2)如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标； 【能力提升】 (3)如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值； 【拓展延伸】 该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至．抛物线内有一定点，直线l过点且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离． 请阅读上面的材料，探究下题： (4)如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请求出的面积． 【答案】(1)，； (2)； (3) (4) 【分析】（1）根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义求解即可； （2）利用两点间距离公式结合已知条件列式整理得，然后根据，求出，进而可得，问题得解； （3）过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；待定系数法求直线的解析式，求得点的坐标为，根据点是直线和直线m的交点，求得点的坐标为，即可求得和的值，即可求得； （4）根据题意求得抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；求得，即可求得的面积． 【详解】（1）解：∵抛物线中， ∴，， ∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为， 故答案为：，； （2）解：由（1）知抛物线的焦点F的坐标为， ∵点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍， ∴，整理得：， 又∵， ∴ 解得：或（舍去）， ∴， ∴点P的坐标为； （3）解：过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，如图：    若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小； ∵直线与直线垂直，故设直线的解析式为， 将代入解得：， ∴直线的解析式为， ∵点是直线和抛物线的交点， 令，解得：，（舍去）， 故点的坐标为， ∴， ∵点是直线和直线m的交点， 令，解得：， 故点的坐标为， ∴， ． 即的最小值为． （4）解：∵抛物线中， ∴，， ∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为， 过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，如图：    若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；如图：    ∵点的坐标为，准线， ∴点的横坐标为，代入解得， 即，， 则的面积为． 【点睛】本题考查了两点间距离公式结合，两点之间线段最短，三角形的面积，一次函数的交点坐标，一次函数与抛物线的交点坐标等，解决问题的关键是充分利用新知识的结论． 题型三 二次函数与线段、图形交点类综合问题 10．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别交x轴、y轴于，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴的正半轴相交于点C． (1)求k、c的值； (2)求点C的坐标和抛物线的顶点坐标； (3)若点M为直线AB上一动点，将点M向右平移4个单位长度，得到点N．若线段MN与抛物线只有一个公共点，请直接写出点M的横坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2)， (3)或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）令，代入求出点C的坐标，把化成顶点式即可得出顶点坐标； （3）数形结合，分情况讨论确定MN的位置，进而求出点M的横坐标的取值范围． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴， 解得∶． ∵抛物线经过点， ∴， 解得∶． （2）解：在中，令得 ， 解得：，； ∴点的坐标为． ∵， ∴抛物线的顶点坐标为． （3）解：分情况讨论： ①当点M在点A的左侧时，设点M（m，m+3），此时点N（m+4，m+3）恰好在抛物线上，即 -(m+4)2-2(m+4)+3= m+3 解得：m1=-3，m2=-8 结合图象得：时线段MN与抛物线有一个交点； ②当点M在A点时，点M（-3，0）向右移动4个单位得到的N点（1，0）恰好与C点重合，此时线段MN与抛物线有两个交点， ∴≠-3； ③当点M在线段AB上，且M不在A点时， ∵M，N的距离为4，而A、B的水平距离3，故此时线段MN与抛线只有一个公共点， ∴-3<≤0； ④当点M在点B的右侧时，线段MN与抛物线没有公共点； 综上所述，点的横坐标的取值范围为或． 【点睛】此题考查了二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、不等式的性质等，解题的关键是数形结合，第（3）问要注意分情况讨论，不重不漏． 11已知抛物线的对称轴为直线，且经过点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点向左平移5个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线上，求a的值； (3)点在抛物线上，过点C作直线轴，若直线l与抛物线上，两点之间的部分（包含点，）有两个交点，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）首先根据对称轴为直线求出，然后将代入表达式求解即可； （2）首先表示出点B平移后的坐标，然后代入求解即可； （3）令，求出，，然后求出点A关于直线的对称点坐标为，然后根据题意分情况求解即可． 【详解】（1）抛物线的对称轴为直线， ，即． 将点代入中， 得， ， 抛物线表达式为； （2）将点向左平移5个单位长度，再向上平移a个单位长度， 即． 将代入， 得 ； （3）令，即， 解得，， 点A关于直线的对称点坐标为． 当时，点C在点A左侧，仅有1个交点． 当时，点C在点A右侧，对称轴左侧（或对称轴上），仅有1个交点． 当时，点C在对称轴右侧，点D左侧（或与点D重合），有2个交点． 当时，点C在点D右侧，仅有1个交点． 综上所述，若直线l与抛物线上，两点之间的部分（包含点，）有两个交点，m的取值范围为． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与x轴的交点坐标，解题的关键是掌握以上知识点． 12已知，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B． (1)如图，若抛物线经过点A，且与x轴的另一个交点为点C． ①求出这个二次函数的表达式； ②在抛物线上存在点P，使得平分，求点P的坐标； (2)把点B向右平移3个单位长度得到点D，若抛物线与线段只有一个公共点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①先求出抛物线与坐标轴的交点，再把点代入抛物线表达式求解即可； ②先求出，设直线交轴于点，证明，求出，再求出直线的表达式，然后与抛物线表达式联立求解点； （2）找出两个临界位置求解即可． 【详解】（1）解：①对于，当时，； 当时，，解得 ∴， ∵抛物线经过点A， ∴ 解得 ∴二次函数表达式为； ②令， 解得， ∴ 如图，设直线交轴于点， ∵平分， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 设直线， 则， 解得 ∴直线 与抛物线联立得， 解得或 ∴； （2）解：， ∴抛物线顶点为， ∵点向右平移3个单位长度得到点D， ∴， ∴顶点在线段上方， ∴当时，抛物线开口向上，抛物线与线段没有交点； 当时，抛物线经过点时，如图： 则， 解得 此时抛物线与轴交点为，即，在点上方； 当抛物线经过点时，如图： 此时， 解得， ∴要使得抛物线与线段只有一个公共点，实数a的取值范围为． 13．如图，在平面直角坐标系中有一个封闭的形框，其中点，，，，，，抛物线；与轴交于点，． (1)当抛物线G的顶点为点C时，求b，c的值； (2)若抛物线G的顶点总在L形框内或边上，求长的取值范围； (3)若抛物线G仅经过点F，A，B中的两个点，直接写出所有符合条件的c的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)的值为或 【分析】本题考查了二次函数的图形及性质，二次函数与轴的交点、顶点式的化简等知识点的应用是本题的解题关键． （1）设顶点式，代入顶点即可解答； （2）判断出当抛物线顶在时，最大，当抛物线顶在时，最小，分别求出顶点在和上的关系式，再求出相应的即可解答； （3）判断出抛物线可以经过和或和这两种情况，再分别代入求出关系式即可． 【详解】（1）解：设抛物线， ， ， ， ，； （2）解：由题得， 当抛物线顶在时，最大，当抛物线顶点为时， 设抛物线， 令，即， 解得，或5， ， 当抛物线顶在时，最小， 当抛物线顶点为时， 设抛物线， ， ， ， 令，即，解得，， ， ； （3）解：轴， 抛物线可以经过和或和， 把，代入抛物线， 得， ； 把，代入抛物线， 得， ， 的值为或． 14．如图抛物线与轴交于和两点，与轴交于点， (1)求抛物线的解析式； (2)点P是x轴下方抛物线上一点，设点P的横坐标为t，过点P作x轴的平行线交直线BC于点M，过点P作x轴的垂线交x轴于Q，以PM，PQ为邻边的矩形的周长记为l． ①请直接写出l关于t的函数关系式； ②求l的最值； (3)将抛物线向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，若新抛物线的顶点G在内（不含边界），直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②周长l的最大值为 (3) 【分析】（1）将点，代入抛物线解析式即可求解； （2）①对于抛物线，令，得到，采用待定系数法求得直线的解析式为，进而得到，，从而表示出，，矩形的周长为，分两种情况：点P在点M的左侧，即；点P在点M的右侧，即，进行化简即可． ②根据二次函数的性质求解即可； （3）根据二次函数的性质得到原抛物线的顶点为，从而由平移得到，根据点G在内（不含边界），得到点G的横坐标的取值范围，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴，解得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：①对于抛物线，令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵点P是x轴下方抛物线上一点，点P的横坐标为t， ∴， ∵轴， ∴点M的纵坐标为， 把代入函数，得， 解得， ∴， ∴， ∴以PM，PQ为邻边的矩形的周长为， ∴若点P在点M的左侧，即当时， ， 若点P在点M的右侧，即当时， 综上所述，l关于t的函数关系式为． ②当时，， ∴当时，l随着t的增大而减小， 当时，，当时，， ∴； 当时，， ∴当时，l有最大值，为， 当时，，当时，， ∴； 综上所述，周长l的最大值为． （3）解：∵抛物线，顶点坐标为， ∴将该抛物线向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，新抛物线的顶点G为， 由点，可得直线的解析式为， 对于直线，令，则， 解得． 对于直线，令，则， 解得． ∵点G在内（不含边界）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，点的平移，不等式的应用等，综合运用相关知识，掌握数形结合思想是解题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，． (1)求，的值及点的坐标． (2)点在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由． (3)直线交于点，点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半． ①若点与点重合，点恰好落在上，求的值； ②若点为直线与的唯一公共点，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)不能，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了二次函数的综合，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与二次函数交点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意得出，代入抛物线解析式得出或，而经过点和，即可得出结论； （3）①先求得，和代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解； ②根据题意得出直线的解析式为，根据经过点，得出，联立直线解析式，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，将代入，得出①，根据点为直线与的唯一公共点，得出②，联立解得的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，顶点为 ∴ 解得：， ∴ ， ∴； （2）∵点在（第一象限）上，到轴的距离为．则 ∴当时， 解得：或 ∴或 ∵抛物线经过点，对称轴为直线 ∴经过点和 ∴不能经过点, （3）①∵， 当重合时，则 ∵是的中点， ∴, ∵点恰好落在上，经过点 ∴ 解得：； ②∵直线交于点，， ∴， ∴直线的解析式为， ∵经过点， ∴， ∴， ∴ 联立 消去得， ∴，则 ∵点的横坐标是点横坐标的一半． ∴即， 将代入， ∴①， 整理，得， ， 由， 则， 整理得，， 则或， ∵点为直线与的唯一公共点， ∴② 则或， 当时，代入②解得， 或， 当时，交点不在公共点不在第一象限，不符合题意， ∴． 当时，代入②解得，不符合题意， 故 题型四 二次函数与图形变换的综合问题 16抛物线：（m为常数，）交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，顶点为点P． (1)如图1，若点C的坐标为． ①求抛物线的函数解析式及点P的坐标； ②过点P作x轴的垂线，垂足为Q，与直线交于点M，求的长； (2)设点B到直线的距离为，点P到直线的距离为，，判断h是否为定值，如果是，求出h的值；如果不是，说明理由； (3)如图2，将抛物线绕点旋转，得到抛物线，抛物线与y轴交于点F，抛物线，相交于D，E两点，若四边形的面积为，直接写出m的值． 【答案】(1)①，；② (2)h为定值，2 (3)m的值为3 【分析】（1）①将代入求出，即可得到抛物线的解析式；然后配方成顶点式即可求出点P的坐标； ②首先求出，然后利用待定系数法求出直线的函数解析式为，然后求出，进而求解即可； （2）首先求出，，，，直线的函数解析式为，然后求出，然后得到，分别过点P，B作的垂线，垂足为G，H，则，，解直角三角形表示出，，然后代入求解即可； （3）作直线，得到抛物线和抛物线关于原点对称，推出，，四边形为平行四边形，设点，则点，联立求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：①∵点C的坐标为， ∴代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； ∴， ∴点； ②∵抛物线的解析式为 ∴当时， 解得，， 17．如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式； (2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； (3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)是定值，． 【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、函数图象的交点问题、一元二次方程根与系数关系等知识，准确利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出，再根据平移规律即可求出抛物线的表达式； （2）设点P的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为，联立与得到，解得，即可求出答案； （3）由（1）可得，，与联立得到，求出点C的坐标为，又由点M的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式为，与联立得到，则，得到，即可得到，得到定值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴， 解得， ∴， ∵抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线， ∴ 即 （2）解：设点P的坐标为，设直线的解析式为，把点A和点P的坐标代入得到， 则 解得， ∴直线的解析式为， 联立与得到 ， 解得， 则 （3）解：由（1）可得，，与联立得到，， 解得， 此时 ∴点C的坐标为， ∵点M的横坐标为m，且在上， ∴ 即点M的坐标为 设直线的解析式为，把点C和点M的坐标代入得到， 则 解得， ∴直线的解析式为， 与联立得到， ， 整理得到， 则， 即， 即， 即为定值． 18已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (2)已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式． 【答案】(1)①，；②，最大值是 (2)． 【分析】本题考查二次函数和一次函数的解析式，二次函数性质，三角形全等等知识， （1）①把点坐标代入，解得，即可求得抛物线的解析式，当时，解得，，根据题意可求点的坐标； ②设点坐标为（），设直线的解析式为，把，分别代入，即可求得直线的解析式为，过点作轴的垂线，交于点，则得点坐标为，根据可得，即可求解； （2）根据抛物线，可知对称轴是，点坐标为，可知点在抛物线对称轴上，由线段绕点顺时针旋转后对应点是点，得，，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点，则，先证明，得点坐标可表示为，把点坐标代入可求得，即可求解． 【详解】（1）解：①把点坐标代入， 有，解得． 抛物线的解析式为． 当时，有，解得，． 根据题意知点的坐标是 ②设点坐标为（） 设直线的解析式为，把，分别代入， 得，解得 直线的解析式为． 如图，过点作轴的垂线，交于点， 则点坐标为． ． 即． 当时，面积最大，最大值是． 此时点坐标为． （2）解：由抛物线解析式为， 可知其对称轴是直线，点坐标为， 故点在抛物线对称轴上． 线段绕点顺时针旋转后对应点是点， ，． 如图，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点， 则 ． ． ． ， 点坐标可表示为． 把点坐标代入，得， 解得（舍），． 抛物线的解析式为． 19．在平面直角坐标系中，抛物线顶点为． (1)求的值，并用含的式子表示； (2)已知是抛物线上的点，的横坐标为，抛物线的顶点为，且可以由抛物线平移得到（特别地，当是的顶点时，即为）， ①求抛物线的解析式（用含的式子表示）； ②将抛物线向右平移个单位，再向上平移1个单位得抛物线．若无论为何值，抛物线都不经过点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】（1）根据抛物线顶点为，得出顶点式，可得，与一般式对应系数，即可得，； （2）①将点的横坐标代入的解析式，求得顶点的纵坐标为，再根据顶点式结合平移的性质即可写出抛物线的解析式；②先根据“右移个单位、上移1个单位”得到的解析式；将点代入，得到关于的一元二次方程．“无论为何值都不经过”等价于该方程无实数根，通过判别式求出的范围，再结合，分和两类解分式不等式，最终得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴抛物线为 ， 又∵抛物线为， ∴，； （2）解：①∵点在抛物线上，横坐标为， ∴将代入的解析式，得， ∵抛物线由平移得到，且顶点为， ∴的解析式为； ②∵将抛物线向右平移个单位，再向上平移1个单位得抛物线， ∴抛物线为， 若抛物线经过点， 将，代入抛物线，得 ， ， ∵无论为何值，抛物线都不经过点， ∴没有实数根， ∴ ， 令，得， ， 解得， ∵， ∴， ∴， 当（即）时，， ， 解得， 结合，则此时范围为； 当（即）时，， ， 解得， 结合，则此时范围为； 综上所述，的取值范围为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 二次函数的综合应用压轴题（5） ---其它问题 题型一 二次函数代数推理综合问题 1．已知抛物线（a为常数）经过点． (1)求a的值． (2)过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值． (3)设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间．若直线之间的距离为16，求的最大值． 2．如图，已知二次函数（，为常数）的图象经过点，． (1)________，________； (2)根据图象，当时，的取值范围是________； (3)当时，的取值范围是________； (4)在抛物线上存在点，使得，求点的坐标； (5)当时，二次函数的最大值为，直接写出的值． 3．已知二次函数，其中． (1)若二次函数的图像经过，求二次函数表达式； (2)若，当时，二次函数图像的最高点为，最低点为，点的纵坐标为6，求点和点的坐标； (3)若，在二次函数图像上任取两点，当时，总有，请直接写出的取值范围． 4．已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． (1)若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）： ①________；②________；③________． (2)若，，求b的取值范围； (3)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 5．如图，已知二次函数． (1)求证：无论a为任何实数，二次函数的图象与x轴总有两个交点； (2)当时，函数值y随x的增大而减小，求a的取值范围； (3)以二次函数图象的顶点A为一个顶点作该二次函数图象的内接正三角形（M，N两点在二次函数的图象上），请问：的面积是与a无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 6．抛物线过点，．点，点是抛物线上两点，将此抛物线上，两点之间的部分（包括，两点）记为图象． (1)求抛物线解析式； (2)当点，重合时，求点的坐标； (3)当抛物线的顶点在图象上时，设图象的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为、求与之间的关系式． 题型二 二次函数与新定义综合问题 7．数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题． 同学们，请你结合所学的数学解决下列问题． 在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象． (1)求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点； (2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由． 8．规定：我们把一个函数关于某条直线或者某点作对称后形成的新函数，称之为原函数的“对称函数”． （1）已知一次函数y＝﹣2x+3的图象，求关于直线y＝﹣x的对称函数的解析式； （2）已知二次函数y＝ax2+4ax+4a﹣1的图象为C1； ①求C1关于点R（1，0）的对称函数图象C2的函数解析式； ②若两抛物线与y轴分别交于A、B两点，当AB＝16时，求a的值； （3）若直线y＝﹣2x﹣3关于原点的对称函数的图象上的存在点P，不论m取何值，抛物线y＝mx2+（m﹣）x﹣（2m﹣）都不通过点P，求符合条件的点P坐标． 9．某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，．    【基础训练】 (1)请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________； 【技能训练】 (2)如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标； 【能力提升】 (3)如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值； 【拓展延伸】 该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至．抛物线内有一定点，直线l过点且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离． 请阅读上面的材料，探究下题： (4)如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请求出的面积． 题型三 二次函数与线段、图形交点类综合问题 10．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别交x轴、y轴于，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴的正半轴相交于点C． (1)求k、c的值； (2)求点C的坐标和抛物线的顶点坐标； (3)若点M为直线AB上一动点，将点M向右平移4个单位长度，得到点N．若线段MN与抛物线只有一个公共点，请直接写出点M的横坐标的取值范围． 11已知抛物线的对称轴为直线，且经过点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点向左平移5个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线上，求a的值； (3)点在抛物线上，过点C作直线轴，若直线l与抛物线上，两点之间的部分（包含点，）有两个交点，求m的取值范围． 12已知，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B． (1)如图，若抛物线经过点A，且与x轴的另一个交点为点C． ①求出这个二次函数的表达式； ②在抛物线上存在点P，使得平分，求点P的坐标； (2)把点B向右平移3个单位长度得到点D，若抛物线与线段只有一个公共点，求实数a的取值范围． 13．如图，在平面直角坐标系中有一个封闭的形框，其中点，，，，，，抛物线；与轴交于点，． (1)当抛物线G的顶点为点C时，求b，c的值； (2)若抛物线G的顶点总在L形框内或边上，求长的取值范围； (3)若抛物线G仅经过点F，A，B中的两个点，直接写出所有符合条件的c的值． 14．如图抛物线与轴交于和两点，与轴交于点， (1)求抛物线的解析式； (2)点P是x轴下方抛物线上一点，设点P的横坐标为t，过点P作x轴的平行线交直线BC于点M，过点P作x轴的垂线交x轴于Q，以PM，PQ为邻边的矩形的周长记为l． ①请直接写出l关于t的函数关系式； ②求l的最值； (3)将抛物线向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，若新抛物线的顶点G在内（不含边界），直接写出m的取值范围． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，． (1)求，的值及点的坐标． (2)点在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由． (3)直线交于点，点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半． ①若点与点重合，点恰好落在上，求的值； ②若点为直线与的唯一公共点，请直接写出的值． 题型四 二次函数与图形变换的综合问题 16抛物线：（m为常数，）交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，顶点为点P． (1)如图1，若点C的坐标为． ①求抛物线的函数解析式及点P的坐标； ②过点P作x轴的垂线，垂足为Q，与直线交于点M，求的长； (2)设点B到直线的距离为，点P到直线的距离为，，判断h是否为定值，如果是，求出h的值；如果不是，说明理由； (3)如图2，将抛物线绕点旋转，得到抛物线，抛物线与y轴交于点F，抛物线，相交于D，E两点，若四边形的面积为，直接写出m的值． 17．如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式； (2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； (3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 18已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (2)已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式． 19．在平面直角坐标系中，抛物线顶点为． (1)求的值，并用含的式子表示； (2)已知是抛物线上的点，的横坐标为，抛物线的顶点为，且可以由抛物线平移得到（特别地，当是的顶点时，即为）， ①求抛物线的解析式（用含的式子表示）； ②将抛物线向右平移个单位，再向上平移1个单位得抛物线．若无论为何值，抛物线都不经过点，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $