精品解析：河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）2026-2027学年高二上期10月自主检测（一）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2026-2027学年高二上期10月自主检测（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 2. 直线经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，若，，共面，则实数的值为（ ） A. B. 14 C. 12 D. 4. 已知平面α和平面β，直线，直线 则下列结论一定成立的是 （ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若m与n是异面直线，则 5. 在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，且，则的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 7. 由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 3 8. 已知圆与圆相交于、两点，若四边形的面积为，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 10. 已知动点满足，则（ ） A. 点的轨迹长度为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 如图，是正四棱台的底面中心，上底面边长是，下底面边长是，侧棱长是，是棱上的动点．下列选项中说法正确的是（ ） A. 将四棱锥翻起，其底面与该正四棱台底面重合，恰好拼成一个正四棱锥 B. 平面与平面所成锐二面角的余弦值是 C. 当取得最大值时，三棱锥的体积是 D. 当取得最小值时，二面角平面角的正切值是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线：，：，若，则实数a的值是______. 13. 已知是奇函数，则实数a的值为________． 14. 已知椭圆的左焦点为F，过F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D．若，则椭圆离心率的最大值为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点边上的高所在的直线的方程为，角的平分线所在直线的方程为． （1）求直线的方程； （2）求点的坐标． 16. 如图，在中，，，点在线段上． （1）若，求的长； （2）若，的面积为，求的值． 17. 为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对名青年选手进行专项成绩考核（满分分），考核成绩的频率分布直方图如图所示． （1）从得分在中，按，分层，采用分层随机抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人进行考核，求至少有人分数低于分的概率； （2）现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为三个等级．若在两项考核中，至少一项为级，且另一项不低于级，则获得参赛资格．已知甲、乙的考核结果互相不受影响，且甲在每项考核中取得等级的概率分别是；乙在每项考核中取得等级的概率分别是．求甲、乙能同时获得参赛资格的概率． 18. 已知圆的半径为，圆心在直线上，且直线与圆相切. （1）求圆的标准方程； （2）若圆位于第一象限内，直线被圆截得的弦的长度为，求实数的值. （3）若圆位于第四象限内，过作圆的两条切线，为实数，设这两条切线与轴分别交于两点，求的最小值. 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，平面平面，平面平面，点E是棱的中点，点F是棱上的一点（不包含端点）． （1）求证：平面； （2）若，且平面与平面的夹角的余弦值为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）记平面交于点G，点H在平面上，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2026-2027学年高二上期10月自主检测（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由的斜率为，其范围是， 设倾斜角为，则，解得， 因为倾斜角的范围是，所以. 2. 直线经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写成斜截式，由斜率和与轴交点纵坐标确定直线经过的象限. 【详解】若，则直线不会经过三个象限，所以， 所以， 因为直线经过第一、二、四象限， 所以斜率，与轴交点纵坐标， 解得， 故选：A 3. 已知，，，若，，共面，则实数的值为（ ） A. B. 14 C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，存在实数满足，从而得到方程组，解得即可． 【详解】因为，，，且，，共面， 则存在实数满足，即， 所以，解得 故选：B． 4. 已知平面α和平面β，直线，直线 则下列结论一定成立的是 （ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若m与n是异面直线，则 【答案】B 【解析】 【分析】由空间点、线、面的位置关系，逐项判断即可 【详解】对于A，直线，直线，若，则或平面和平面相交，故A错误； 对于B，直线，直线，若，则，故B正确； 对于C，直线，直线，若，则或平面和平面相交，故C错误； 对于D，直线，直线，若与为异面直线，则或平面和平面相交，故D错误. 故选：B 5. 在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过 三点共线，即可求解. 【详解】由，可得： ，即， ， 因为 共线，则 . 6. 已知，，，且，则的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】将因式分解得到，且，利用基本不等式即可得出答案. 【详解】由题意得，，，又， 故， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为9. 7. 由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】圆即为，可知圆心为，半径， 在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A，连接CA， 在中，．要使最小，则应最小． 又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为． 故的最小值为． 8. 已知圆与圆相交于、两点，若四边形的面积为，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则为的中点，由四边形的面积为，可得出的表达式，利用勾股定理可得出关于的方程，解出的值，即可求得． 【详解】圆，即， 则圆心为，半径为1，， 设，由题意可知，为的中点，，， 故四边形的面积为， 则，故， 所以， 所以， 又因为， 所以，得，解得， 因此． 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于BCD：设，，根据复数的运算和几何意义分析判断. 【详解】对于选项A：例如，，则， 但，不能比较大小，故A错误； 对于选项BCD：设，， 则，，， 所以，故B正确； 因为，， 若，则， 整理可得，所以，故C正确； 因为， 且， 则， 所以，D正确． 10. 已知动点满足，则（ ） A. 点的轨迹长度为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】易知动点的轨迹为圆.对于A，利用圆的周长公式即可判断；对于B，先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定点的最短距离即可判断；对于C，先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定点的连线所在直线的斜率最大值即可；对于D：先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定直线的最短距离即可判断. 【详解】可整理为，设，故点的轨迹为以为圆心，半径的圆. 对于A：点的轨迹长度即为圆的周长，，故A正确； 对于B：的几何意义为动点（即圆上一点）到点的距离. 易知，当点位于点与点的连线与圆的交点时，此时点到点的距离最短，最短距离， 即的最小值为，故的最小值为，故B错误； 对于C：的几何意义为动点（即圆上一点）与连线所在直线的斜率. 设，易知，当直线过点且与圆相切于轴上方时，动点与连线所在直线的斜率最大，即最大， 易知此时，又由相切可知，， 故，故，， 因此的最大值为，故C正确； 对于D：的几何意义是动点（即圆上一点）到直线的距离. 易知，动点到直线距离的最小值为圆心到直线的距离，再减半径，即， 因此的最小值为，故的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，是正四棱台的底面中心，上底面边长是，下底面边长是，侧棱长是，是棱上的动点．下列选项中说法正确的是（ ） A. 将四棱锥翻起，其底面与该正四棱台底面重合，恰好拼成一个正四棱锥 B. 平面与平面所成锐二面角的余弦值是 C. 当取得最大值时，三棱锥的体积是 D. 当取得最小值时，二面角平面角的正切值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】计算出四棱锥各侧棱的长，可判断A选项；利用空间向量法可判断B选项；分析可得，当取最小值时，确定点的位置，利用三棱锥的体积公式可判断C选项；当取最大值时，确定点的位置，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，连接、，则为的中点， 由正四棱台的几何性质可知四边形为等腰梯形， 在等腰梯形中，，，， 又因为为的中点，则且， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 同理可知，， 所以，将四棱锥翻起，其底面与该正四棱台底面重合，恰好拼成一个正四棱锥，A对； 对于B选项，设上底面的中心为， 由正四棱台的几何性质可知平面， 又因为四边形为正方形，，则， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、 、、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 所以，， 故平面与平面所成锐二面角的余弦值是，B对； 对于C选项，， 由A选项可知，，则为等腰三角形， 故当点与点或点重合时，取最大值，此时取最大值， 当点与点重合时，三棱锥不存在，C错； 对于D选项，当点为线段的中点时，取最小值，此时取最小值， 此时点， 设平面的法向量为，，， 则，取，则， 易知平面的一个法向量为， 所以，， 则，故， 由图可知，二面角为锐角，故二面角的正切值为，D对. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线：，：，若，则实数a的值是______. 【答案】 【解析】 【分析】由两直线平行的公式求参数可得结果. 【详解】因为，所以，解得或. 当时，，两直线重合，不合题意， 当时，，符合题意. 综上，. 故答案为：. 13. 已知是奇函数，则实数a的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】主要依据奇函数的性质得到等式，然后通过对数运算性质化简等式，最后求解方程并检验得到符合条件的值. 【详解】不确定0是否在定义域内，故不能令， 由 得 ，即， 恒成立．故，解得． 14. 已知椭圆的左焦点为F，过F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D．若，则椭圆离心率的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设直线，与椭圆方程联立，结合韦达定理利用弦长公式求解，进而求出线段AB的中垂线所在直线方程，求出和，利用得，即可得解. 【详解】设椭圆的左焦点为，，，则直线， 联立方程，消去y得：， ，则， ，， 则， 设线段AB的中点，则，，即， 线段AB的中垂线所在直线方程为， 令，则，解得， 即，则， 由题意可得：，即， 整理得，则，即椭圆离心率的最大值为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点边上的高所在的直线的方程为，角的平分线所在直线的方程为． （1）求直线的方程； （2）求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用直线垂直的充要条件的应用求出直线的斜率，进一步求出直线 的方程． （2）利用二元一次方程组的应用求出交点的坐标． 【小问1详解】 边上的高所在的直线的方程为， 所以直线上的高的斜率，直线的斜率为． 所以直线的方程为，整理得． 【小问2详解】 角的平分线所在直线的方程为． 所以，解得故． 16. 如图，在中，，，点在线段上． （1）若，求的长； （2）若，的面积为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为对应角的正弦，化简求解的值，进而得到的值，再结合正弦定理即可求解的长度； （2）结合已知的面积、长度和，求解的长度，再根据得到、的长度，进而分别在和中使用正弦定理，结合与互补、正弦值相等的性质求解正弦比值. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得：， 即， 因为，则，故，则为锐角， 所以， 因为，则， 在中，由正弦定理得， 所以，解得． 【小问2详解】 ，则 由，得，. 由余弦定理可得： . 在中，由正弦定理可得， 故， 在中，由正弦定理可得， 故， 因为， 所以． 17. 为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对名青年选手进行专项成绩考核（满分分），考核成绩的频率分布直方图如图所示． （1）从得分在中，按，分层，采用分层随机抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人进行考核，求至少有人分数低于分的概率； （2）现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为三个等级．若在两项考核中，至少一项为级，且另一项不低于级，则获得参赛资格．已知甲、乙的考核结果互相不受影响，且甲在每项考核中取得等级的概率分别是；乙在每项考核中取得等级的概率分别是．求甲、乙能同时获得参赛资格的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图计算得出，再利用分层抽样求出各层人数，利用古典概型计算公式可求得概率； （2）利用独立事件乘法公式计算可得结果. 【小问1详解】 由题意得，， 解得． 因为按、分2层，采用分层随机抽样的方法抽取5人， 所以从成绩在中抽出的人数为，分别记为M、N、Q， 从成绩在中抽出的人数为：，分别记为m、n， 从5人中抽取2人进行考核，样本空间为， 则，记“至少有1人分数低于80分”为事件R， 则． 即，因此． 故5人中至少有1人分数低于80分的概率为． 【小问2详解】 记甲获得参赛资格的概率为，乙获得参赛资格的概率为， 由题意可得，， ． 由于甲、乙的考核结果互相不受影响，所以甲获得参赛资格与乙获得参赛资格相互独立． 则甲、乙能同时获得参赛资格的概率为． 18. 已知圆的半径为，圆心在直线上，且直线与圆相切. （1）求圆的标准方程； （2）若圆位于第一象限内，直线被圆截得的弦的长度为，求实数的值. （3）若圆位于第四象限内，过作圆的两条切线，为实数，设这两条切线与轴分别交于两点，求的最小值. 【答案】（1）或 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目要求，列方程求圆心即可； （2）求出圆心到直线的距离，由勾股定理表示弦长，解方程即可； （3）设切线方程，由相切关系得到切线距离等于圆的半径可列等式；得到关于的二次函数，根据韦达定理求出，，再根据弦长公式将表示出来，结合，，将转化为关于的函数，即可求最小值. 【小问1详解】 因为圆心在直线上，设圆心为， 由题意得，解得或， 故圆的标准方程为或. 【小问2详解】 圆位于第一象限内，故圆心为， 所以圆心到直线的距离为，半径， 因为直线被圆截得的弦的长度为， 所以， 整理得，解得或. 故的值为或. 【小问3详解】 因为圆位于第四象限内，所以圆心为， 易知切线斜率均存在，设过作圆的切线方程为， 两切线的斜率分别为，，由圆心到切线的距离， 整理得， 所以，， 在切线方程中，令，则， 不妨取，， 则， 当时，取得最小值，为. 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，平面平面，平面平面，点E是棱的中点，点F是棱上的一点（不包含端点）． （1）求证：平面； （2）若，且平面与平面的夹角的余弦值为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）记平面交于点G，点H在平面上，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）证明：因为底面是边长为6的正方形，所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面． （2）（ⅰ）6（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直可证明线面垂直，从而可证明线面垂直； （2）（ⅰ）利用空间向量法来求两平面夹角的余弦值，再计算空间体积即可； （ⅱ）利用空间向量法来求线面角的正弦值，再通过二次函数值域即可求线面角正弦值的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知平面，又，平面，所以，，又， 则以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 可得：，，，，， 所以，，， 设， 则． 设平面的法向量为，则 即， 取，解得，，则， 因为平面，所以是平面的一个法向量． 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以， 解得或（舍），所以， 所以三棱锥的体积 ． （ⅱ）设，则， 由（i）可知为平面的一个法向量，所以， 所以，解得， 所以， 因为在平面上，所以， 所以． 设平面的法向量，则 即， 取得，，则， 设与平面所成角为， 则． 因为，所以， 即与平面所成角的正弦值的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $