精品解析：河南周口市鹿邑县高级中学校2026-2027学年高二上学期11月学情调研数学试题

2026—2027学年高二上期学情调研 数学试题 第一部分（选择题 共58分） 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 圆和的位置关系是（ ） A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 2. 如果且，那么直线不通过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图所示，空间四边形中，，，，点在上，且，N为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与圆相离，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，，过点的直线与线段相交，则直线的斜率k的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 6. 已知点，，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 7. 如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P(x，y)是阴影部分(包括边界)的动点，则值不可能是（ ） A. - B. -1 C. 0 D. 1 8. 若在直线：上存在一点，使得过点作圆：的两条切线可以相互垂直，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 直线的一个方向向量为 B. 直线的倾斜角为 C. 直线在轴上的截距为 D. 原点到的距离为 10. 已知直线，，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则直线，之间的距离为 C. 直线过定点 D. 若直线在两坐标轴的截距相等，则 11. 已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，则（ ） A. 的方程为 B. 在上存在点，使得到点的距离为3 C. 在上不存在点，使得 D. 上的点到直线的最小距离为1 第二部分（非选择题 共92分） 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 两平行直线与之间的距离为______． 13. 已知直线：，圆．若圆C上恰有三个点到直线l的距离为，则______． 14. 已知点，动点满足，则的取值范围为___________． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点、是圆的一条直径的两个端点． （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆C的切线，求切线所在的直线方程． 16. 已知圆的圆心在原点，半径为，，，，点在圆上运动． （1）求圆的方程和外接圆的方程； （2）求的最大值和最小值； 17. （1）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求圆的标准方程并判断点与圆的位置关系； （2）若圆关于直线（，）对称，求的最小值． 18. 如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，，为的中点，为的中点． （1）求的长； （2）求点到直线的距离； （3）若点在线段上（与端点不重合），且，当时，求实数的值． 19. 已知圆：，为圆上任意一点． （1）求的最大值和最小值； （2）求的最大值和最小值； （3）求的最大值和最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年高二上期学情调研 数学试题 第一部分（选择题 共58分） 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 圆和的位置关系是（ ） A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【解析】 【详解】圆的标准方程为，其圆心为，半径， 圆的标准方程为，其圆心为，半径， 故，故， 故两圆相交. 2. 如果且，那么直线不通过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得， 因为，所以，因为，所以，即， 所以方程不经过第一象限. 3. 如图所示，空间四边形中，，，，点在上，且，N为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知，，，. 因为点  在  上，且 ， 所以 . 又因为  为  中点， 根据向量加法的平行四边形法则（或中点公式），可得 . 在  中，由向量减法的三角形法则可得：  . 4. 已知直线与圆相离，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】将圆的方程配方得,所以圆心为,半径,且需,即. 圆心到直线的距离. 因为直线与圆相离,所以,即,两边平方得,解得. 与取交集,得,即的取值范围为. 5. 已知点，，过点的直线与线段相交，则直线的斜率k的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算直线PA、PB的斜率，再结合直线与线段相交的几何特征确定斜率的取值范围. 【详解】已知，，，得，， 由于直线过点且与线段相交，因此斜率的取值范围为或. 6. 已知点，，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对称求关于直线对称点为，结合将军饮马模型求最小值. 【详解】令关于直线对称点为，则，解得， 即， 由，则， 当且仅当三点共线时取等号，故最小值为. 7. 如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P(x，y)是阴影部分(包括边界)的动点，则值不可能是（ ） A. - B. -1 C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】设 ，其几何意义为阴影部分内的点 与定点 连线的斜率，结合图形求出斜率 的取值范围即可判断. 【详解】由题意可知， 表示阴影部分内的动点 与定点 连线的斜率，记为. 观察图形可知，大圆方程为，定点 为大圆与轴正半轴的交点. 阴影部分主要由三部分边界围成，分别讨论斜率的取值范围： ①当点位于第一象限的阴影部分（即半圆 ）时： 设直线的方程为，即 . 当直线与该半圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即， 化简得，解得 或 . 结合图形可知，当切点在第一象限时， 取得最小值 ； 当点为原点 时，. 故此部分 的取值范围是 . ②当点位于第二象限的阴影部分时：此时 ，则 . 当点在轴上时，； 当点为时，. 结合图形连续性，此部分 的取值范围是 . ③当点位于第三象限的阴影部分时：此时 ，则 ，故 . 当点 在 轴上时，； 当点 为 时（该点为大圆与小圆的公共点），. 故此部分 的取值范围是 . 综上所述， 的取值范围是 . 因为 ，所以 的值不可能是 . 8. 若在直线：上存在一点，使得过点作圆：的两条切线可以相互垂直，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由切线垂直推出点到圆心的距离为定值，将问题转化为"直线与半径为2的圆有公共点"，利用圆心到直线的距离不大于半径列不等式求解. 【详解】圆的标准方程为，可得圆心，半径, 设过点的两条切线的切点分别为、，连接、、, 根据圆的切线性质,切线垂直于过切点的半径，因此，，即, 若两条切线互相垂直，即，则四边形有三个内角为直角，且邻边，因此四边形是正方形, 所以， 即所有满足条件的点，都在以为圆心、半径为的圆上， 因为直线上存在点，使过的两条切线垂直，所以直线与以为圆心、半径为的圆有公共点， 所以圆心到直线的距离，得，即， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 直线的一个方向向量为 B. 直线的倾斜角为 C. 直线在轴上的截距为 D. 原点到的距离为 【答案】BCD 【解析】 【详解】由题意得，取两点，， 对于A，可得，则直线的一个方向向量为， 因为，所以与不平行，故A错误， 对于B，对于，可得， 设直线的倾斜角为，，而，得到，故B正确， 对于C，令，则，解得， 可得直线在轴上的截距为，故C正确， 对于D，设原点到的距离为，由点到直线的距离公式得，故D正确. 10. 已知直线，，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则直线，之间的距离为 C. 直线过定点 D. 若直线在两坐标轴的截距相等，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由两条直线垂直的性质、结合平行线间的距离公式、直线的点斜式方程、截距的定义以及逐一判断即可. 【详解】对于A，直线的斜率为，若，则直线的斜率为， 则，所以不垂直，故A错误； 对于B，若，可得，则直线， 由两平行直线距离公式可得，故B正确； 对于C，可化为， 所以直线恒过，故C正确； 对于D，当时，直线与轴无截距，不满足条件， 当时，在两坐标轴的截距相等，分别令， 可求出与轴截距为与轴截距，即 解之可得或，故D错误. 11. 已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，则（ ） A. 的方程为 B. 在上存在点，使得到点的距离为3 C. 在上不存在点，使得 D. 上的点到直线的最小距离为1 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，根据两点间距离公式代入整理化简即可；对于B，求出点到圆上点距离的范围，判断即可；对于C，设，利用两点间距离公式得到方程和联立，求得，，无实数解，判断即可；对于D，求出的圆心到直线的距离，即可求出上的点到直线的最小距离. 【详解】对于A，由题意可设点， 由，，，得， 整理得，即，故A正确； 对于B，点到圆心的距离为， 所以圆上的点到点的距离范围为，因为，故B正确； 对于C，设，由，得，即. 又，联立整理得，此时，无实数解， 故不存在点，使得，C正确； 对于D，的圆心到直线的距离为， 所以上的点到直线的最小距离为，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 两平行直线与之间的距离为______． 【答案】3 【解析】 【分析】利用平行线间的距离公式可求解. 【详解】由平行线间的距离公式可得：, 所以两平行直线与之间的距离为3. 13. 已知直线：，圆．若圆C上恰有三个点到直线l的距离为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，再结合圆上恰有三个点到直线距离为的几何性质推导半径的取值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 由圆C上恰有三个点到直线l的距离为， 圆心到直线的距离， 故与平行且距离为的两条直线中，一条过圆心与圆相交（交于2个点）， 另一条与圆相切（交于1个点）， 此时满足半径. 14. 已知点，动点满足，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出点的轨迹并令，再利用几何意义列式求出范围. 【详解】由，得，整理得， 即，则动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 令，则，表示过点，且斜率为的直线， 显然直线与圆有公共点， 因此，即，解得， 所以的取值范围是. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点、是圆的一条直径的两个端点． （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆C的切线，求切线所在的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直径端点坐标求得圆心和半径得到圆的标准方程； （2）分切线斜率存在、不存在两类，利用圆心到切线的距离等于半径求解切线方程. 【小问1详解】 由点、是圆的一条直径的两个端点， 则点为中点，故，又， 则圆半径为，故圆的标准方程为； 【小问2详解】 当切线斜率存在时，设为，即， 则有，解得， 即切线所在的直线方程为； 当切线斜率不存在时，直线方程为， 点到直线的距离为，符合切线定义； 综上所述：切线的直线方程为或. 16. 已知圆的圆心在原点，半径为，，，，点在圆上运动． （1）求圆的方程和外接圆的方程； （2）求的最大值和最小值； 【答案】（1）， （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据题中的三点设出方程分别代入求解即可； （2）先把所求式子用单变量表示出来，再根据变量范围求解. 【16题详解】 因为圆的圆心在原点，半径为，所以圆的方程为． 设外接圆的方程为， 代入，，得 ，解得， 所以外接圆的方程为． 【17题详解】 设，则， ， 因为，所以， 即的最大值为，最小值为． 17. （1）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求圆的标准方程并判断点与圆的位置关系； （2）若圆关于直线（，）对称，求的最小值． 【答案】（1）圆的标准方程为，点在圆外；（2）的最小值为. 【解析】 【分析】（1）设出圆的标准方程，代入点和，求出圆的方程，并判断点与圆的位置关系； （2）根据对称性可得圆心在直线上，代入可得，利用基本不等式“1”的代换求出最小值 【详解】（1）因为圆心在直线上，所以设圆心为， 设圆的标准方程为， 将点和代入上式可得， 解得，所以圆的标准方程为， 将代入可得，故点在圆外； （2）圆关于直线（，）对称， 故圆心在直线上，即， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 18. 如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，，为的中点，为的中点． （1）求的长； （2）求点到直线的距离； （3）若点在线段上（与端点不重合），且，当时，求实数的值． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【小问1详解】 以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，． 因为为的中点，所以．因为为的中点，所以． 所以，所以． 【小问2详解】 连接．由已知得平面，平面，所以． 在中，，，， 所以点到直线的距离为． 【小问3详解】 因为点在线段上，且，所以． 又，， 所以． 又，所以． 因为，所以， 即，即，解得． 19. 已知圆：，为圆上任意一点． （1）求的最大值和最小值； （2）求的最大值和最小值； （3）求的最大值和最小值． 【答案】（1）最大值为，最小值为． （2）最大值为，的最小值为． （3）最大值为，最小值为． 【解析】 【分析】（1）将转化为圆上点与定点连线的斜率，利用圆心到切线的距离等于半径，求出斜率的最值； （2）将转化为直线在轴截距的线性函数，利用圆心到直线的距离等于半径，求出截距的最值，进而得到所求； （3）将转化为圆上点到定点的距离的平方，利用定点到圆心的距离与半径的和、差，求出距离平方的最值. 【小问1详解】 表示圆上的点与点连线的斜率， 设为，圆心，则过点的圆的切线方程为，即， 由圆心到切线的距离等于半径，可得，求得， 故的最大值为，最小值为． 【小问2详解】 令，即，表示斜率为、在轴上的截距为的直线， 故当此直线和圆相切时，取最值． 圆心到直线的距离为半径， 可得，求得，或， 故的最大值为，的最小值为． 【小问3详解】 与的距离为， 所以的最大值为，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $