30.2 三角形的内切圆 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

30.2 三角形的内切圆 教学设计（新授课）

2026-2027学年人教版（2024）数学九年级上册 · 第1课时

 

一、教材分析

本课是人教版（2024）九年级上册第三十章中 30.2“三角形的内切圆”的核心新授课。学生刚学完圆的切线（定义、性质、判定、切线长定理），已具备“见切点连半径”“同点引出切线长相等”的工具。本课把这些工具收拢到三角形内部：研究与三边都相切的圆——内切圆，以及它的圆心——内心。

教材路径：内切圆与内心的定义 → 内心是角平分线交点 → 切线长相等的应用 → 面积公式 求半径。本课按定义对比 → 内心定位 → 切线长代换 → 面积公式 → 例题应用落实；圆外切四边形对边和相等只点到、不抢讲（选做或下阶段再展开）。

教学时盯住四处易混：①内心与外心、重心、垂心名称混淆；②把“内切圆半径”与“外接圆半径”混用；③切线长只记得“相等”却不会用 、、 或 代换；④求 时半周长 漏除以 2，或把 写成 。

二、学情分析

学生已掌握切线性质与切线长定理，也会用角平分线的性质（到两边距离相等）。进入内切圆时，常见四类困难：

① 名称串台：把内心说成外心或重心；把内切圆说成外接圆。

② 作图不稳：只会“大概画圆”，不会意识到圆心必须落在角平分线上。

③ 切线长不会列式：已知两边或三段切线长时，不会设 、、 或用 。

④ 面积公式用反：知道 却不会求 ，或把周长当半周长代入。

因此本课用“外接对比钉定义 → 角平分线定位内心 → 切线长口令 → 三小三角形拼面积 → 两类例题”把概念链与计算习惯做实。

三、教学目标（核心素养导向）

1. 抽象能力：能说出三角形内切圆与内心的定义；能区分内心与外心；能指出三个切点。

2. 推理能力：理解内心是三角角平分线的交点，并能说明“到三边距离相等”与角平分线性质的联系；能口述 的推导（拆成三个小三角形）。

3. 几何直观与运算能力：会用切线长相等求边长、周长或未知切线长；会用 或直角三角形特例 求内切圆半径。

4. 模型观念：形成“见内切 → 标切点 → 写切线长 → 必要时用面积求 ”的解题路径。

达成可测表现：课末能独立完成——（1）辨认内心/内切圆；（2）用切线长求周长；（3）用 求 ；（4）直角三角形用简捷公式求 。

四、教学重点与难点

重点：内切圆与内心的定义；内心是角平分线交点；切线长相等；面积公式 （从而 ）。

难点：切线长代换（ 等）的灵活使用；半周长 与周长的区分；内心与外心概念辨析；直角三角形 的由来理解。

五、教学准备

教师：投影（或实物展台）、圆规与直尺、三角板、彩色粉笔、本课例题与练习纸、外接圆/内切圆对比图。

学生：圆规、直尺、三角板、笔记本、铅笔。

说明：本设计可独立使用，不依赖某一套课件页码；课堂插图见文中附图，也可改画到黑板大三角形上。

六、教学过程

课时时间分配（参考）

 

（一）创设情境，明确内切圆定义（约 6 分钟）

投影给出同一个三角形的外接圆与内切圆对比图，先不揭“内切圆”三字。

图1　导入：外接圆与内切圆对比

师：左图圆与三角形怎样相交？圆过哪些点？圆心叫什么？

【预设】预设：圆过三个顶点；圆心是外心（三边垂直平分线交点）。

师：右图呢？圆与三边有什么关系？公共点分别叫什么？

【预设】预设：与三边都相切；公共点是切点。

图2　探究1：内切圆定义——切点 D、E、F，半径垂直于边

定义（板书，齐读）： 与三角形三边都相切的圆，叫做三角形的内切圆；内切圆的圆心叫做三角形的内心；内切圆的半径叫做三角形的内切圆半径（常记作 ）。

口令：内切——切三边；内心——圆心名。 对比口令：外接——过三顶点；外心——垂线交。

师：见切点 D、E、F，由切线性质，半径与边有什么关系？

【预设】预设：ID ⊥ BC，IE ⊥ CA，IF ⊥ AB。口令仍是：见切点，连半径。

【设计意图】用外接/内切对照钉死定义，避免名称串台；立刻接上切线性质，承接 30.1.2。

（二）探究活动 2：内心的位置——角平分线交点（约 8 分钟）

1. 操作与猜想

学案：在 △ 中作内切圆（或观察图），连接 AI、BI、CI。

任务 A： 观察 AI 与 ∠、BI 与 ∠、CI 与 ∠ 的关系。

任务 B： 回忆角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。内心到三边距离有什么特点？

图3　探究2：内心是三角角平分线的交点