30.2 三角形的内切圆 教学设计 2026—2027学年数学人教版九年级上册

30.2 三角形的内切圆 教学设计 课题 三角形的内切圆 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第4课时（30.1共3课时、30.2共1课时、30.3共1课时；本章共7课时） 课型 新授课 教学目标 1. 理解三角形的内切圆、内心及圆的外切三角形的概念，掌握三角形内切圆的作法；2. 经历“画图—猜想—作图—归纳”的探究过程，掌握“作角平分线定圆心、作垂线定半径”的作图方法，培养作图能力；3. 类比三角形的外接圆与外心，辨析内心与外心的区别和联系，体会类比的数学思想；4. 能运用内心的性质解决相关计算与实际问题，培养应用意识. 教学重点 三角形内切圆的作法及三角形内心的概念. 教学难点 三角形内心性质的运用（如 ∠BIC＝90°+∠A 的一半的推导与应用）. 教学方法 操作探究、类比教学、讲练结合 教学准备 多媒体课件、圆规、直尺、量角器、三角形硬纸片 课后练习 教材本节课后练习及习题 30.2 中与三角形的内切圆相关的题目。 板书设计 见“板书设计”部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、创设情境 引入课题 一、创设情境，引入课题 【问题】如图，有一块三角形的材料，木工师傅想从中剪下一个面积最大的圆，如何裁剪呢？你能帮忙设计吗？ 【师生活动】学生结合“圆与三角形的位置关系”展开讨论：圆越“贴近”三边，剪下的圆就越大. 由此引出本课任务——研究与三角形三边都相切的圆，板书课题. 学生结合生活经验讨论“怎样剪圆才最大”，意识到圆的大小与它和三边的位置关系有关，带着问题进入新课. 通过实际情境引入，让学生感受到数学和实际生活的紧密联系，提高学习兴趣；将“剪最大圆”问题转化为“圆与三边都相切”的数学问题，渗透转化思想. 二、类比探究 学习新知 二、类比探究，学习新知 1. 合作探究，明确目标 【合作探究】请你动手画一画：当圆与三角形有怎样的位置关系时，剪下的圆面积最大？（小组合作：独立画图，两人一组交流思路） 下面是木工师傅设计的几种方案，请你帮忙看一看，哪一种设计的圆面积最大？ 【分析】图(1) 的⊙O 与三边都不相切，图(2) 的⊙O 只与一边相切，图(3) 的⊙O 与两边相切，图(4) 的⊙O 与三边都相切. 图(1)(2)(3) 中的圆面积都不是最大的，由此猜想：要使剪下的圆面积最大，这个圆应与三角形的三边都相切. 2. 探究内切圆的作法 【探究】如何作一个圆，使它与三角形的各边都相切？ 思考：(1) 作圆的关键是什么？——确定圆心和半径； (2) 怎样确定圆心的位置？——作两条角平分线，其交点就是圆心的位置； (3) 圆心的位置确定后，怎样确定圆的半径？——过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长就是圆的半径. 【操作】已知△ABC，求作一个圆，使它与△ABC 的三条边都相切. 作法：(1)作△ABC 的∠B、∠C 的平分线 BE、CF，设它们交于点 I； (2)过点 I 作 ID⊥BC 于点 D； (3)以 I 为圆心、ID 为半径作⊙I. 则⊙I 即为所作. 【注意】任意三角形有且只有一个内切圆——三角形的三条角平分线交于一点，且这点到各边的距离是唯一的定长. 3. 归纳概念 【归纳】能否类比三角形的外接圆，写出三角形的内切圆的相关概念？ 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形. 三角形的内心到三角形三边的距离相等. 【延伸】类比三角形的外接圆与内切圆，填写下表并辨析：“外”与“内”、“接”与“切”的区别. 【注意】外心不一定在三角形内部（锐角三角形在内部、直角三角形在斜边中点、钝角三角形在外部），而内心一定在三角形内部. 学生动手画图、观察四种方案并归纳猜想；在教师逐问引导下确定“圆心—半径”的作图思路并规范完成尺规作图；类比外接圆填写对比表，辨析内心与外心的位置特点. 通过画图、观察、合理猜测得出结论，将实际问题转化为数学问题；通过动手操作培养作图能力与说理能力；类比三角形的外接圆建立新旧知识之间的联系，让学生体会类比的数学思想；对比表帮助学生辨析“外与内、接与切”，预防概念混淆. 三、学以致用 应用新知 三、学以致用，应用新知 【例1】如图，在△ABC 中，∠B＝43°，∠C＝61°，点 I 是△ABC 的内心，求∠BIC 的度数. 提示：过三角形内心与顶点的连线平分三角形的内角. 解：如图，连接 IB、IC. ∵点 I 是△ABC 的内心，∴IB、IC 分别平分∠B、∠C，即，． ∴． 【拓展】把上式一般化： ． 即三角形的内心与两顶点连线所成的角 ∠BIC＝90°+∠A 的一半（常用结论）. 【变式训练】(1)若∠A＝60°，则∠BIC＝　　　　　　　　；(2)若∠BIC＝100°，则∠A＝　　　　　　　　． 答案：(1)120°（90°+30°）；(2)20°（∠A=2×(100°−90°)）. 【例2】如图，△ABC 的内切圆⊙O 与 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F，且 AB＝9，BC＝14，CA＝13，求 AF、BD、CE 的长. 解：设 AF＝x，由切线长定理得 AE＝x. ∴CE＝CD＝CA−AE＝13−x；BF＝BD＝AB−AF＝9−x. 由 BD+CD＝BC，可得 (9−x)+(13−x)＝14，解得 x＝4. ∴AF＝4，BD＝5，CE＝9. 【验算】AF+BF＝4+5＝9＝AB，BD+CD＝5+9＝14＝BC，AE+CE＝4+9＝13＝CA，全部吻合. 【方法点拨】切点分三边成对出现等长线段（切线长定理），设一条切线段为 x、用“两段之和等于第三边”列方程是通法；也可直接用公式 AF＝(AB+CA−BC)÷2＝4 快速求出从顶点 A 出发的切线段. 学生在提示下连接 IB、IC，完成 ∠BIC 的计算并推导一般化结论；独立完成变式训练；例2 中设切线段为 x、依据切线长定理列方程求解，并用三边关系验算. 通过拓展推导常用关系式 ∠BIC＝90°+∠A 的一半，培养学生反思总结的能力，并通过变式训练巩固提升；例2 渗透设未知数列方程的思想，让学生在解题中体会切线长定理与整体思想的结合，发展应用意识与推理能力. 四、随堂训练 巩固新知 四、随堂训练，巩固新知 （1）在△ABC 中，AB＝AC＝4cm，以点 A 为圆心、2cm 为半径的圆与 BC 相切，求∠BAC 的度数. 解：如图，设切点为 D，连接 AD. ∵BC 与⊙A 相切，∴AD⊥BC. 又∵AB＝AC＝4cm，AD＝2cm，∴在 Rt△ADB 中 AB＝2AD，∴∠B＝30°（30°角所对的直角边等于斜边的一半），∠C＝∠B＝30°， ∴∠BAC＝180°−30°−30°＝120°. （2）在△ABC 中，∠A＝80°，点 I 是内心，求∠BIC 的度数. 解：∵I 是△ABC 的内心，∴，． ∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°−∠A＝100°， ∴，即∠IBC+∠ICB＝50°， ∴∠BIC＝180°−(∠IBC+∠ICB)＝130°. 【快捷点评】也可直接用拓展结论：∠BIC＝90°+∠A 的一半＝90°+40°＝130°. （3）在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，求这个三角形的内切圆半径. 解：如图，设△ABC 的内切圆半径是 r，切点是 D、E、F，连接 OD、OE、OF， 则 OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB，且 OD＝OE＝OF＝r. 在 Rt△ABC 中，． ∵S△ABC＝S△OAC+S△OBC+S△OAB， ， 两边同乘 2，得 3×4＝3r+4r+5r，∴r＝1，即内切圆半径为 1. 【点拨】直角三角形的内切圆半径还可用公式快速求得：（a、b 为直角边，c 为斜边）. 学生独立完成（1）（2），（3）先独立思考再板演交流；教师针对“30°角与斜边一半的关系”“用拓展结论提速”“面积法求内切圆半径”关键步骤点拨. 通过随堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯；（1）题综合切线性质与直角三角形；（2）题巩固内心的角平分性质与拓展结论；（3）题用面积法求内切圆半径，渗透数形结合与整体思想. 五、课堂小结 自我完善 五、课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）什么是三角形的内切圆？什么是三角形的内心？ （3）三角形的内心是如何确定的？它有什么重要性质？ （4）若已知三角形的三边长度，如何求内切圆的半径？ 【归纳】①概念：与三边都相切的圆是内切圆，圆心（三条角平分线的交点）是内心，三角形是外切三角形；②性质：内心到三边距离相等，连顶点平分内角；③常用结论：∠BIC＝90°+∠A 的一半；④求半径：面积法 r＝2S÷周长，直角三角形还可用 (a+b−c)÷2. 学生复述内切圆、内心的概念与性质，对比外接圆说出区别，总结求内切圆半径的两种方法，同桌互查. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 六、布置作业 深化提高 六、布置作业，深化提高 教材本节课后练习及习题 30.2 中与三角形的内切圆相关的题目. 提示：见“内心”连顶点得角平分线、连切点得垂直；求内切圆半径优先想面积法；内心与外心的区别常作判断要点. 课后独立完成，计算题写明推理依据，作图题保留作图痕迹. 加深认识，深化提高，课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 三角形的内切圆 一、概念 内切圆（与三边都相切）；内心（三条角平分线的交点）；外切三角形 二、作法 作角平分线定圆心 → 作垂线定半径 → 作圆 三、内心的性质 ①内心到三边的距离相等；②连顶点平分内角；③∠BIC＝90°+∠A的一半 四、求内切圆半径 面积法 r＝2S÷周长；直角三角形 r＝(a+b−c)÷2 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $