专题13二次函数与一元二次方程同步培优讲义2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题13二次函数与一元二次方程同步培优讲义 ✺知识框架 一、核心对应关系：二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)，令y=0，得到一元二次方程 ax2+bx+c=0；抛物线与x轴交点的横坐标，是对应方程的实数根。 二、交点个数判定：利用判别式∆=b2-4ac，建立方程根的情况与抛物线和x轴交点数量的对应关系。 三、拓展模型：抛物线与直线y=m的交点，对应方程ax2+bx+c=m的实数根。 四、图象应用： 1.借助函数图象，用夹逼法估算一元二次方程的近似根； 2.抛物线与x轴有交点时，可写成交点式 y=a(x-)(x-)； 3.利用抛物线的轴对称性，由一个交点坐标求另一交点坐标； 4.根据抛物线开口方向与和x轴交点，确定一元二次不等式的解集。 五、综合方向：运用数形结合思想，解决参数讨论、求值类培优问题。 ✺学习目标 1.理解二次函数与一元二次方程的内在联系，实现函数问题与方程问题的相互转化。 2.会运用根的判别式判断抛物线与x轴的交点个数。 3.掌握利用二次函数图象估算一元二次方程近似根的方法，体会夹逼思想。 4.理解抛物线与水平直线y=m的交点和对应方程根的关系。 5.能熟练使用交点式表示二次函数，结合对称性求解交点与参数。 6.能结合函数图象，判断简单一元二次不等式的解集。 ✺题型归纳 题型1.求抛物线与x轴的交点坐标 题型2.求抛物线与y轴的交点坐标 题型3.已知二次函数的函数值求自变量的值 题型4.抛物线与x轴的交点问题 题型5.求x轴与抛物线的截线长 题型6.图象法确定一元二次方程的近似根 题型7.根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型8.图象法解一元二次不等式 题型9.利用不等式求自变量或函数值的范围 题型10.根据交点确定不等式的解集 题型11.线段周长问题（二次函数综合） 题型12.面积问题（二次函数综合） 题型13.角度问题（二次函数综合） 题型14.特殊三角形问题（二次函数综合） 题型15.特殊四边形（二次函数综合） 题型16.相似三角形问题（二次函数综合） 题型17.其他问题（二次函数综合） 题型18课堂小练 ✺知识清单 知识点01二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系 对于二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)，当函数值y=0时，得到一元二次方程：ax2+bx+c=0 (a≠0)。 记∆=-4ac 1.∆>0：方程有两个不相等实数根，抛物线与x轴有两个交点； 2.∆=0：方程有两个相等实数根，抛物线与x轴仅有一个交点，该交点为抛物线顶点； 3.∆<0：方程无实数根，抛物线与x轴无交点。 知识点02利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤： （1） 画出二次函数y= ax2+bx+c（a≠0）的图象； （2） 确定二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间； （3） 列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值正负交替的地方。 知识点03抛物线与直线y=m的交点问题 抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m交点的横坐标，是方程ax2+bx+c=m的实数根。 将方程整理为ax2+bx+(c-m)=0，再计算判别式，判断交点个数。 知识点04二次函数交点式 若抛物线与x轴交于(,0),(,0)，则解析式可表示为y=a(x-)(x-)(a≠0)。 式中,是方程ax2+bx+c=0的两根，该形式是二次函数的因式分解形式。 知识点05利用图象法解一元二次不等式 画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 不等式ax2+bx+c＞0的解集为图象在x轴上方的点所对应的x的所有值； 不等式ax2+bx+c＜0的解集为图象在x轴下方的点所对应的x的所有值. 知识点06 抛物线与x轴交点的对称性 抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x=﹣。 若抛物线与x轴有两个交点 (,0),(,0)，两点关于对称轴对称，满足中点关系：=﹣。 用途：已知对称轴和一个交点，求另一个交点；已知两个交点，直接求对称轴。 ✺题型精讲 题型1.求抛物线与x轴的交点坐标 1．抛物线与x轴的交点坐标是（     ） A． B．和 C．和 D．没有交点 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，过点作轴交抛物线于点．若，则的值为________． 3．如图，抛物线与轴交于，两点，其中点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上． (1)求A，B的坐标 (2)试写出该抛物线的对称轴和顶点的坐标． 题型2.求抛物线与y轴的交点坐标 1．关于二次函数，下列说法正确的是（     ）． A．图象与轴的交点坐标为 B．图象的对称轴为直线 C．当时，随的增大而减小 D．有最大值 2．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，连接，则的面积为___________． 3．已知二次函数． (1)求证：无论取何值，恒成立； (2)若函数图象与轴交点坐标为，直接写出该函数顶点坐标． 题型3.已知二次函数的函数值求自变量的值 1．已知二次函数（为常数），在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为，则的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”．已知抛物线． （1）当时，该抛物线与直线围成的区域内（不含边界）的整点有_____个； （2）若该抛物线与直线围成的区域内（不含边界）有4个整点，则的范围是_____． 3．已知抛物线经过、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为此抛物线上一点，且纵坐标为5，求点的坐标． 题型4.抛物线与x轴的交点问题 1．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．与轴有两个交点 2．若二次函数与轴有两个交点，则的取值范围是______． 3．已知二次函数， (1)该函数与轴有两个交点，求的范围； (2)该函数图像与轴相交于两点，，求． 题型5.求x轴与抛物线的截线长 1．抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（     ） A． B．2 C． D．4 2．二次函数的图像与轴的交点为，两点，则线段长为________． 3．抛物线上有三点，和． (1)求抛物线的解析式； (2)设抛物线与轴交于和两点，试求的长． 题型6.图象法确定一元二次方程的近似根 1．由下表可知，关于的一元二次方程的一个近似根是（     ） A． B． C． D． 2．在二次函数中，自变量可以取任意实数，与的几组对应值如下： … 0 1 2 … … 13 … 根据以上信息，关于的一元二次方程的两个实数根中，其中一个实数根的整数部分是_______． 3．已知二次函数． (1)求二次函数与坐标轴的交点坐标； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)不解方程，利用此二次函数的图象，直接写出方程的近似根．（精确到0.1） 题型7.根据二次函数图象确定相应方程根的情况 1．如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（） A． B． C． D． 2．二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于的方程的较大的根的取值范围是________． 3．已知二次函数． (1)把函数表达式配方成的形式 (2)当y随x的增大而增大时，x的取值范围是__________ (3)根据图象判断方程无实数根，m的取值范围是__________ 题型8.图象法解一元二次不等式 1．已知二次函数的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使成立的x的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 2．抛物线的部分图象如图所示，且抛物线经过点，对称轴是直线，则当时，x的取值范围是__________． 3．已知二次函数 (1)直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标________，________； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象，在图中标出与y轴交点坐标； (3)结合图象，请回答：当时，y的取值范围是________． 题型9.利用不等式求自变量或函数值的范围 1．已知二次函数，当，则y的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．在二次函数中，当时，的取值范围是___________； 3．已知是二次函数，且当时，随的增大而减小． (1)求的值； (2)若该图象上点的坐标为，则该图象上点的对称点的坐标为________； (3)请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的取值范围． 题型10.根据交点确定不等式的解集 1．如图，二次函数与一次函数的图象交于，，当时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 2．如图，二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是____________． 3．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出不等式的解集； (2)写出随的增大而减小的自变量的取值范围； (3)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 题型11.线段周长问题（二次函数综合 1．已知点，是抛物线上的不同两点，抛物线与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B．下列四个论断：①当时 ，；②若点P 是线段AB上方的点，作轴于点M，交AB于点N，当时，的长度随m增大而减小；③当，时，；④当时，点P 不与点A，B 重合，直线．其中正确的有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围为______． 3．如图，二次函数的图像与x轴交于两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，点C的坐标为，直线经过B、C两点． (1)求该二次函数的表达式； (2)点P在线段上运动（不与重合），过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点，当时，请直接写出点P的坐标； 题型12.面积问题（二次函数综合） 1．如图，已知抛物线，把此抛物线沿y轴向上平移，平移后的抛物线和原抛物线与经过点，且平行于y轴的两条直线所围成的阴影部分的面积为s，平移的距离为m，则下列图像中，能表示s与m的函数关系的大致图像是（     ） A． B． C． D． 2．一条有最高点的抛物线与轴交于点和点，并且两交点与抛物线顶点构成的三角形面积为，这条抛物线的函数表达式为_______________． 3．如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，若在直线上方的抛物线上有一点N，使得，求点N的坐标． 题型13.角度问题（二次函数综合） 1．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，；②若且，则 ；③若，则④若，连接，点 P 在抛物线的对称轴上，且，则． 其中正确的有（    ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 2．如图，抛物线与x轴交于点A、，与y轴交于点C，点Q为抛物线上一点，若，则点Q的坐标是_______． 3．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是坐标原点，点的坐标是，点的坐标是． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求直线的函数表达式和的度数． 题型14.特殊三角形问题（二次函数综合） 1．如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 2．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，在轴上方存在一点，同时点在对称轴上，若以、、为顶点的三角形为等腰三角形，点的坐标为_________． 3．如图，抛物线与轴相交于点和点． (1)求抛物线的解析式、对称轴和顶点坐标； (2)在抛物线的对称轴上有一点，若是等腰三角形，直接写出点的坐标． 题型15.特殊四边形（二次函数综合） 1．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知二次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形，写出此时点P的坐标______． 3．在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，．点在抛物线上，且点的横坐标为． (1)求，的值； (2)若此抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为，求的值； (3)过点作轴的平行线交直线于点，以为边在的左侧作正方形，当此抛物线在正方形内部的图象（含抛物线与正方形的交点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，直接写出的值． 题型16.相似三角形问题（二次函数综合） 1．抛物线与轴的两个交点分别为、，与轴的交点为，若，则点A坐标为___________． 2．已知过点的抛物线与两坐标轴交于点A，C，如图所示，连接，第一象限内有一动点M在抛物线上运动，过点M作交y轴于点P．当点P在点A上方，且与相似时，点M的坐标为______． 3．如图，已知与都是等边三角形，点在边上（不与重合），与相交于点． (1)求证：； (2)若，设； ①求关于的函数解析式及自变量的取值范围； ②当为何值时，？ 题型17.其他问题（二次函数综合） 1．如图，已知点，点，抛物线（，均为常数）与线段交于， 两点，若，抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 2．在如图所示的直角坐标系中，，，若二次函数与线段有且只有一个公共点，则的取值或取值范围是_______． 3．定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．已知二次函数（c为常数） (1)若该函数经过点，求该函数表达式； (2)在（1）的条件下，求出该图象上的“三倍点”坐标； (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，结合图象，求出c的取值范围． ✺课堂小练 一、单选题 1．二次函数的图象在平面直角坐标系中如图所示，则一元二次方程的根的近似值是（     ） A． B． C． D． 2．关于的二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 3．如图，已知矩形的顶点、均在抛物线上，点、在轴上方，顶点、均在轴上，且，则的长为（     ） A．5 B．6 C．6.3 D．7 4．已知二次函数（为常数），在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为，则的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题 5．设函数与轴的交点坐标为，，若函数，则时自变量的取值范围是________． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是________． 7．如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在y轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为_______． 三、解答题 8．如图，某隧道口的截面是抛物线形，隧道宽米，最高点C到地面的距离是4米．以所在直线为x轴、的中点为原点建立平面直角坐标系． (1)求这条抛物线的函数解析式； (2)一辆宽4米、高米的货车能否通过这条隧道？请说明理由； (3)若在隧道内壁距地面2米高处悬挂一排灯带，灯带的最大长度是多少米？ 9．跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为米，到地面的距离和均为米，身高为米的小丽站在距点的水平距离为米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点.以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为． (1)求a、b的值； (2)如果小华站在之间，且离点的距离为米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，求小华的身高； (3)如果身高为米的小丽站在之间，且离点的距离为米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象直接写出的取值范围______． 10．如图①，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图②，连接，点E是第四象限内抛物线上的动点，过点E作于点F，轴交于点G，求面积的最大值及此时点E的坐标； 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13二次函数与一元二次方程同步培优讲义 ✺知识框架 一、核心对应关系：二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)，令y=0，得到一元二次方程 ax2+bx+c=0；抛物线与x轴交点的横坐标，是对应方程的实数根。 二、交点个数判定：利用判别式∆=b2-4ac，建立方程根的情况与抛物线和x轴交点数量的对应关系。 三、拓展模型：抛物线与直线y=m的交点，对应方程ax2+bx+c=m的实数根。 四、图象应用： 1.借助函数图象，用夹逼法估算一元二次方程的近似根； 2.抛物线与x轴有交点时，可写成交点式 y=a(x-)(x-)； 3.利用抛物线的轴对称性，由一个交点坐标求另一交点坐标； 4.根据抛物线开口方向与和x轴交点，确定一元二次不等式的解集。 五、综合方向：运用数形结合思想，解决参数讨论、求值类培优问题。 ✺学习目标 1.理解二次函数与一元二次方程的内在联系，实现函数问题与方程问题的相互转化。 2.会运用根的判别式判断抛物线与x轴的交点个数。 3.掌握利用二次函数图象估算一元二次方程近似根的方法，体会夹逼思想。 4.理解抛物线与水平直线y=m的交点和对应方程根的关系。 5.能熟练使用交点式表示二次函数，结合对称性求解交点与参数。 6.能结合函数图象，判断简单一元二次不等式的解集。 ✺题型归纳 题型1.求抛物线与x轴的交点坐标 题型2.求抛物线与y轴的交点坐标 题型3.已知二次函数的函数值求自变量的值 题型4.抛物线与x轴的交点问题 题型5.求x轴与抛物线的截线长 题型6.图象法确定一元二次方程的近似根 题型7.根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型8.图象法解一元二次不等式 题型9.利用不等式求自变量或函数值的范围 题型10.根据交点确定不等式的解集 题型11.线段周长问题（二次函数综合） 题型12.面积问题（二次函数综合） 题型13.角度问题（二次函数综合） 题型14.特殊三角形问题（二次函数综合） 题型15.特殊四边形（二次函数综合） 题型16.相似三角形问题（二次函数综合） 题型17.其他问题（二次函数综合） 题型18课堂小练 ✺知识清单 知识点01二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系 对于二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)，当函数值y=0时，得到一元二次方程：ax2+bx+c=0 (a≠0)。 记∆=-4ac 1.∆>0：方程有两个不相等实数根，抛物线与x轴有两个交点； 2.∆=0：方程有两个相等实数根，抛物线与x轴仅有一个交点，该交点为抛物线顶点； 3.∆<0：方程无实数根，抛物线与x轴无交点。 知识点02利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤： （1） 画出二次函数y= ax2+bx+c（a≠0）的图象； （2） 确定二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间； （3） 列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值正负交替的地方。 知识点03抛物线与直线y=m的交点问题 抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m交点的横坐标，是方程ax2+bx+c=m的实数根。 将方程整理为ax2+bx+(c-m)=0，再计算判别式，判断交点个数。 知识点04二次函数交点式 若抛物线与x轴交于(,0),(,0)，则解析式可表示为y=a(x-)(x-)(a≠0)。 式中 (,) 是方程ax2+bx+c=0的两根，该形式是二次函数的因式分解形式。 知识点05利用图象法解不等式 直接画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 不等式ax2+bx+c＞0的解集为图象在x轴上方的点所对应的x的所有值； 不等式ax2+bx+c＜0的解集为图象在x轴下方的点所对应的x的所有值. 知识点 06 抛物线与x轴交点的对称性 抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x=﹣。 若抛物线与 x 轴有两个交点 (,0),(,0)，两点关于对称轴对称，满足中点关系：=﹣。 用途：已知对称轴和一个交点，求另一个交点；已知两个交点，直接求对称轴。 ✺题型精讲 题型1.求抛物线与x轴的交点坐标 1．抛物线与x轴的交点坐标是（     ） A． B．和 C．和 D．没有交点 【答案】C 【分析】令，求出x的值，即可得出抛物线与x轴的交点坐标． 【详解】解：当时，， 解得，， 所以抛物线与x轴的交点坐标为和． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，过点作轴交抛物线于点．若，则的值为________． 【答案】 【分析】求出，，则，求出，根据列方程并解方程即可． 【详解】解：令，则， ∴， ∵轴， ∴点的纵坐标为， 令，则， 解得， ∴， ∴， 令，则， 设，， 由根与系数得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得． 3．如图，抛物线与轴交于，两点，其中点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上． (1)求A，B的坐标 (2)试写出该抛物线的对称轴和顶点的坐标． 【答案】(1)，； (2)对称轴为y轴，顶点C的坐标为 【分析】（1）令，求出x的值，进而求解； （2）根据二次函数的顶点式，直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标即可． 【详解】（1）解：令， 解得 ∴； （2） 解：抛物线的对称轴为y轴，顶点C的坐标为． 题型2.求抛物线与y轴的交点坐标 1．关于二次函数，下列说法正确的是（     ）． A．图象与轴的交点坐标为 B．图象的对称轴为直线 C．当时，随的增大而减小 D．有最大值 【答案】B 【分析】当时，得到二次函数与轴的交点坐标，将一般式转化为顶点式，得到二次函数的对称轴和顶点坐标，进而根据二次函数的图象和性质判断各选项得出答案． 【详解】解：∵当时，， ∴图象与轴的交点坐标为，故选项错误； ∵， ∴图象的对称轴为直线，故选项正确； ∵，抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，故选项错误； ∵当时，有最大值，故选项错误． 2．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，连接，则的面积为___________． 【答案】 【分析】令求出点坐标，令求出点坐标，确定、的长度，利用三角形面积公式求解． 【详解】解：令，得， 点的坐标为， ． 令，得， 整理得， 解得， ． 点在轴的负半轴， 点的坐标为， ． ． 3．已知二次函数． (1)求证：无论取何值，恒成立； (2)若函数图象与轴交点坐标为，直接写出该函数顶点坐标． 【答案】(1) 证明：， ∵， ∴， ∴无论取何值，恒成立； (2) 顶点坐标为或 【分析】（1）将二次函数解析式配方为顶点式，结合平方的非负性证明结论； （2）将轴交点坐标代入解析式求出的值，根据顶点式得到顶点坐标； 【详解】（1）略 （2）解：∵函数图象与轴交于点， ∴将，代入，得， 解得或， ∵函数顶点式为，顶点坐标为， ∴当时，顶点坐标为， 当时，顶点坐标为， 综上所述，该函数顶点坐标为或． 题型3.已知二次函数的函数值求自变量的值 1．已知二次函数（为常数），在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为，则的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】由给定区间内函数最小值大于顶点纵坐标，可知对称轴不在范围内，分两类讨论求解即可 【详解】解：该二次函数的顶点坐标为，最小值为4 ∵当时，的最小值为， ∴对称轴不在的范围内， 分两种情况讨论： 当时， ∵，时随增大而增大， ∴时取最小值8， 代入得，整理得， 解得，（不符合，舍去） 当时， ∵，时随增大而减小， ∴时取最小值8， 代入得，整理得， 解得，（不符合，舍去） 综上，的值为或 2．在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”．已知抛物线． （1）当时，该抛物线与直线围成的区域内（不含边界）的整点有_____个； （2）若该抛物线与直线围成的区域内（不含边界）有4个整点，则的范围是_____． 【答案】 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，然后确定抛物线与直线的交点坐标，再结合图象求解． 【详解】解：（1）当时，此时抛物线为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 令得，，即，解得，， 令得，，则整点有，； 令得，，则整点有，，； 令得，，则整点有，； ∴该抛物线与直线围成的区域内（不含边界）的整点有：，共个整点； （2）， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 当抛物线顶点为，即时， 抛物线与直线所围成的区域内（不含边界）有，，，四个整点， 如图：当抛物线顶点为，即时， 抛物线与直线所围成的区域内（不含边界）有一个整点； 结合图象可知，． 3．已知抛物线经过、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为此抛物线上一点，且纵坐标为5，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为和 【分析】（1）待定系数法求函数解析式； （2）通过函数解析式求出点的坐标． 【详解】（1）解：将、代入得， ， 解得， ∴； （2）解：当时，， 解得， ∴点的坐标为和． 题型4.抛物线与x轴的交点问题 1．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．与轴有两个交点 【答案】D 【分析】把函数解析式化为顶点式，运用性质逐一判断即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，故、、选项错误，不符合题意； 令，得， ∵， ∴抛物线与轴有两个交点，故选项正确，符合题意． 2．若二次函数与轴有两个交点，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵二次函数与轴有两个交点， ∴， 解得. 3．已知二次函数， (1)该函数与轴有两个交点，求的范围； (2)该函数图像与轴相交于两点，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）利用二次函数图像与轴交点个数和判别式的关系列不等式求解； （2）结合根与系数的关系与轴上两点距离的计算方法建立方程求解． 【详解】（1） 解：∵二次函数的图像与轴有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得； （2）解：设点，，则方程的两根为，， 由根与系数的关系得：，， ∵， ∴， ∵， ∴ ，即，解得． 题型5.求x轴与抛物线的截线长 1．抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】令，求出x的值，即可求解． 【详解】解：令，得， ∵， ∴， 解得或， ∴抛物线与轴的交点为，， ∴两交点之间的距离为． 2．二次函数的图像与轴的交点为，两点，则线段长为________． 【答案】5 【分析】求出二次函数，当时x的值，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 或， ， 线段长为． 3．抛物线上有三点，和． (1)求抛物线的解析式； (2)设抛物线与轴交于和两点，试求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）令，求出方程的解，再相减即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线上有三点，和， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 解得，， ∴． 题型6.图象法确定一元二次方程的近似根 1．由下表可知，关于的一元二次方程的一个近似根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由表格可知方程的一个根在与之间，再比较对应的函数值哪个更接近，即可得出答案． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴方程的一个根在与之间， ∵，即对应的函数值更接近， ∴该方程的一个近似根为． 2．在二次函数中，自变量可以取任意实数，与的几组对应值如下： … 0 1 2 … … 13 … 根据以上信息，关于的一元二次方程的两个实数根中，其中一个实数根的整数部分是_______． 【答案】1 【分析】一元二次方程的根对应二次函数值为0时的自变量取值，根据表格中相邻自变量对应的函数值的正负变化，确定根所在的区间，即可得到根的整数部分 【详解】解：根据题意得：一元二次方程的实数根是二次函数中函数值时对应的自变量的值， ∵当时，对应的函数值，当时，对应的函数值， ∴函数值由负变正的过程中，存在一个使得，且该的取值范围为， ∴这个实数根的整数部分为． 3．已知二次函数． (1)求二次函数与坐标轴的交点坐标； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)不解方程，利用此二次函数的图象，直接写出方程的近似根．（精确到0.1） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，，进行求解即可； （2）将一般式化为顶点式，求出顶点坐标，五点作图法画出函数图象即可； （3）图象法求出方程的根即可. 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， 当时， ， 解得， ∴二次函数与坐标轴的交点分别为． （2）解：∵， ∴二次函数图象的顶点坐标为； 画图略． （3） 解：由图象可知，，即方程的近似根为. 题型7.根据二次函数图象确定相应方程根的情况 1．如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点情况确定的符号及关系，结合图象与轴交点个数及对称性逐项判断 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，，与轴交于负半轴，. 对称轴为直线， ，即. ， . ，故A选项错误. ， . ， ，故B选项错误. 抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点为， 抛物线与轴的另一个交点为. 当时，，即，故C选项错误. 抛物线与轴有两个不同的交点， ，故D选项正确. 2．二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于的方程的较大的根的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用二次函数对称轴公式求出对称轴，结合图象读出较小根的范围，利用两根关于对称轴对称的性质求出较大根的范围． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 设的两个根分别为，，且， 根据函数图象有： ， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴， 即较大的根的取值范围是． 3．已知二次函数． (1)把函数表达式配方成的形式 (2)当y随x的增大而增大时，x的取值范围是__________ (3)根据图象判断方程无实数根，m的取值范围是__________ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先提出，再配方得出顶点式即可； （2）先确定抛物线的开口方向，对称轴，再根据二次函数的增减性解答； （3）先绘制函数图像，再根据图象无交点解答． 【详解】（1）解：； （2）解：抛物线y中，，对称轴为， ∴抛物线开口向下， 当时，函数值y随着x的增大而增大； （3）解：观察图像可知当时，二次函数与直线有一个交点，即方程有一个解， 所以当时，方程无实数根． 题型8.图象法解一元二次不等式 1．已知二次函数的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使成立的x的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】观察函数图象，找出纵坐标时对应的横坐标x的值，再根据图象在直线下方的部分确定x的取值范围． 【详解】解：由图象知，当时，； 当时，， 由函数图象可得，x的取值范围是． 2．抛物线的部分图象如图所示，且抛物线经过点，对称轴是直线，则当时，x的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了图象法解一元二次不等式，轴对称的性质等知识点，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 利用轴对称的性质求出关于对称轴的对称点，然后结合图象即可得出时的取值范围． 【详解】解：∵对称轴是直线，且抛物线与轴交于点， ∴利用轴对称的性质可得，抛物线与轴的另一个交点为，即， 根据图象可知，当时，， 故答案为：． 3．已知二次函数 (1)直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标________，________； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象，在图中标出与y轴交点坐标； (3)结合图象，请回答：当时，y的取值范围是________． 【答案】(1)直线； (2) (3) 【分析】（1）把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）先列表，再描点并连线画图即可； （3）根据函数图象可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：列表如下： 函数图象见答案； （4） 解：由函数图象可知，当时，y的取值范围是． 题型9.利用不等式求自变量或函数值的范围 1．已知二次函数，当，则y的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将二次函数配方为顶点式，结合开口方向、对称轴与x的取值范围，利用增减性确定y的取值范围． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当时，取得最大值， 当时，； 当时，， ∵当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， ∴当时，． 2．在二次函数中，当时，的取值范围是___________； 【答案】 【分析】先将二次函数配方得到顶点式，确定对称轴和最小值，再计算区间两个端点的函数值，比较得到最大值，即可确定的取值范围． 【详解】解：对二次函数配方得， 二次项系数为，函数开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线， ∵， ∴时，取得最小值， 分别计算区间端点的函数值： 当时，； 当时，， ∵， ∴的最大值为， 因此的取值范围是． 3．已知是二次函数，且当时，随的增大而减小． (1)求的值； (2)若该图象上点的坐标为，则该图象上点的对称点的坐标为________； (3)请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)图象如下： 当时，的取值范围为． 【分析】（1）需同时满足“二次函数”与“增减性”两个条件，前者确定指数为2且二次项系数非零，后者结合对称轴位置判断开口方向，从而筛选k的值； （2）先代入解析式求出点A坐标，再利用关于y轴对称的点的坐标特征求解； （3）依据解析式描点作图，再结合图象在给定区间内的最高与最低位置确定y的取值范围，注意区间端点的开闭对取值范围的影响． 【详解】（1）解：由是二次函数，且当时，随的增大而减小， 得， ，； 由得， ∴的值为． （2）将代入可得二次函数解析式为， 将代入，得， 故点A的坐标为； 函数的图象关于y轴对称，关于y轴对称的两点横坐标互为相反数、纵坐标相等，故点A的对称点坐标为． （3）函数的图象是开口向下、顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线，取关键点描点，并用平滑曲线连接，即得函数图象； 观察图象，在的范围内：当时y取得最大值0； 计算端点函数值：当时，，当时，， 当时，取值范围为． 题型10.根据交点确定不等式的解集 1．如图，二次函数与一次函数的图象交于，，当时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用一次函数解析式求出交点、的横坐标，结合图象确定时的范围． 【详解】解：点，在一次函数的图象上， ， ， 交点、的横坐标分别为、， 由图象可知，当时，即二次函数图象在一次函数图象下方， 的取值范围为． 2．如图，二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是____________． 【答案】或 【分析】观察函数图象，确定二次函数与一次函数交点的横坐标，根据，即抛物线在直线的上方，找出对应的 的取值范围． 【详解】解：由图象可知，二次函数和一次函数的交点横坐标分别为和， 当时，即二次函数图象在一次函数图象的上方， 观察图象可知，当或时，抛物线在直线的上方， 的取值范围是或． 3．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出不等式的解集； (2)写出随的增大而减小的自变量的取值范围； (3)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据二次函数图象在轴上方的部分对应的范围，即可作答； 根据二次函数的增减性，即可作答； 根据二次函数的顶点坐标，结合直线与二次函数有两个交点，即可作答． 【详解】（1）解：由二次函数的图象可知当时，二次函数的值大于， ∴不等式的解集为； （2）解：由图象可知抛物线的对称轴为直线 ∴当随的增大而减小时，自变量的取值范围是； （3）解：由图象可知二次函数的顶点坐标为， 当直线在直线的下边时，一定与抛物线有两个不同的交点， ∴当时，方程有两个不相等的实数根． 题型11.线段周长问题（二次函数综合 1．已知点，是抛物线上的不同两点，抛物线与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B．下列四个论断：①当时 ，；②若点P 是线段AB上方的点，作轴于点M，交AB于点N，当时，的长度随m增大而减小；③当，时，；④当时，点P 不与点A，B 重合，直线．其中正确的有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【分析】由抛物线方程，得到对称轴解析式，、坐标，进而得到直线的解析式，当时，根据中点公式，得到、的对称轴，即可判断①，将分别代入直线与抛物线方程，并配方，根据一元二次方程的增减性，即可判断②，当，时，计算的值，即可判断③，当时，计算的值，结合点P 不与点A，B 重合，即可判断④， 本题考查了，求一次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与一次函数的综合，解题的关键是：熟练掌握二次函数的性质． 【详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线,   ，， ∴设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴，，是关于直线的对称点， ∴，故①正确， 若点P 是线段AB上方的点，则，， 当时，的长度随m增大而减小，故②错误， 当，时，， ∴，故③正确， 时，， ∵点P 不与点A，B 重合，直线，故④正确， 综上所述，①③④正确， 故选：C． 2．已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，与线段交点问题，熟知二次函数的图象和性质及分类讨论思想是解题的关键． 由抛物线的表达式可得出抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，，再利用分类讨论的数学思想即可解答． 【详解】解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴点在抛物线对称轴上， ∵抛物线与线段恰有一个公共点， ∴当时，将代入函数解析式得：，解得， 将代入函数解析式得：，解得， ∴； 当时，， ∴顶点在点A下方， ∴抛物线与线段没有交点， 综上所述，的取值范围为． 故答案为：． 3．如图，二次函数的图像与x轴交于两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，点C的坐标为，直线经过B、C两点． (1)求该二次函数的表达式； (2)点P在线段上运动（不与重合），过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点，当时，请直接写出点P的坐标； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）首先求出直线的解析式为，设，则，则，，由题意可得方程，求解方程即可． 【详解】（1）解：将点代入， ， 解得， ； （2）解：设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，设，则， ∵抛物线对称轴为直线，轴， ∴点M和点N关于对称轴对称， ， ， ， ， 当，即时， 整理得， 解得（舍去）， ； 当，即时，， 整理得， 解得（舍去）， ， ； 综上所述，点P 点坐标为或． 题型12.面积问题（二次函数综合） 1．如图，已知抛物线，把此抛物线沿y轴向上平移，平移后的抛物线和原抛物线与经过点，且平行于y轴的两条直线所围成的阴影部分的面积为s，平移的距离为m，则下列图像中，能表示s与m的函数关系的大致图像是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的平移和几何面积问题，根据题意得到阴影面积为两个平行四边形的面积之和，进而求解即可． 【详解】如图所示， 图中所求阴影的面积相对于抛物线向上平移m个单位时， 抛物线在范围内扫过的面积，即两个平行四边形的面积之和， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴阴影的面积， ∵， ∴能表示S与m的函数关系的图象大致是B． 故选：B． 2．一条有最高点的抛物线与轴交于点和点，并且两交点与抛物线顶点构成的三角形面积为，这条抛物线的函数表达式为_______________． 【答案】 【分析】先根据抛物线与轴的交点得到长度和对称轴位置，再利用三角形面积求出顶点纵坐标，最后利用交点式求出抛物线表达式． 【详解】解：∵抛物线与轴交于和， ∴，对称轴为直线， 设抛物线顶点纵坐标为， ∵抛物线有最高点，且，，顶点构成的三角形面积为， ∴， 代入得， 解得， ∴顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将顶点坐标代入得， 整理得， 解得， 展开得． 3．如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，若在直线上方的抛物线上有一点N，使得，求点N的坐标． 【答案】(1)该抛物线的解析式为； (2)点N的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得，根据，得到，据此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于，两点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：求点的坐标： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点到轴的距离等于， ∵点在直线的上方， ∴， 由题意得， 解得， ∴点N的坐标为或． 题型13.角度问题（二次函数综合） 1．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，；②若且，则 ；③若，则④若，连接，点 P 在抛物线的对称轴上，且，则． 其中正确的有（    ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的性质等等，由抛物线开口向下，对称轴为直线，得到当时，，据此可判断①；根据题意可得直线和直线关于对称轴对称，则，据此可判断②；先由对称轴公式得到，再由，得到，点B的坐标为，把代入抛物线解析式中求出，则点B的坐标为，据此可判断③；先求出，设，利用勾股定理得到，则，解得，据此可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，， ∴当时，，即，故①正确； 当且时，则直线和直线关于对称轴对称， ∴，故②错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B的坐标为， 把代入抛物线解析式中得， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∴，故③正确； ∵， ∴， 设， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴，故④正确； 故选：A． 2．如图，抛物线与x轴交于点A、，与y轴交于点C，点Q为抛物线上一点，若，则点Q的坐标是_______． 【答案】 【分析】将代入，可求，则，令，可求，当时，，即，如图，作于，过作轴于，过作于，设，证明，则，由，可求，则，待定系数法求直线的解析式为，联立，求解作答即可． 【详解】解：将代入得，， 解得，或（舍去）， ∴， 令， 解得，， ∴， 当时，，即， 如图，作于，过作轴于，过作于，设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立， 解得，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与角度综合，一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，二次函数与坐标轴的交点等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数与角度综合，一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，二次函数与坐标轴的交点是解题的关键． 3．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是坐标原点，点的坐标是，点的坐标是． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求直线的函数表达式和的度数． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据待定系数法即可求解； （2）先求出点B的坐标，得到，进而求出，再利用待定系数法求解即可 【详解】（1）解：把点的坐标，点的坐标代入抛物线得 ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：令，则， 解得：， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 把，代入得：，解得：, ∴直线的解析式为： 题型14.特殊三角形问题（二次函数综合） 1．如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，过M点作于H点，如图，先确定，设，易得为等腰直角三角形，所以，则或，利用M点纵坐标的表示方法得到即或，然后分别解方程求出m，从而得到M点的坐标． 【详解】解：过M点作于H点，如图， 当时，， ∴， 设， ∴是以为直角的等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴或， 即或， 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 综上所述，M点的坐标为或． 故选：C． 2．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，在轴上方存在一点，同时点在对称轴上，若以、、为顶点的三角形为等腰三角形，点的坐标为_________． 【答案】或或 【分析】先由二次函数的解析式得到点，点的坐标以及对称轴，由于点在轴上方，且在对称轴上，设点坐标为，再根据以、、为顶点的三角形为等腰三角形的已知条件，讨论三角形哪两条边作为三角形的腰，利用勾股定理表示出两点之间的距离，以等腰三角形两腰相等为等量关系列出式子，计算得到的不同取值，检验是否大于后即可得到点的坐标． 【详解】解：二次函数为，与轴交于点，与轴交于点， 当时，，点的坐标为， 当时，，点的坐标为， 对称轴为直线． 点在对称轴上， 设点的坐标为． 以、、为顶点的三角形为等腰三角形， 需要分三种情况讨论． 当时，由，得， 解得， 点坐标为． 当时，由，得， 解得或（舍去）， 点坐标为． 当时，由，得， 解得或（舍去）， 点坐标为． 综上所述，点坐标为或或． 3．如图，抛物线与轴相交于点和点． (1)求抛物线的解析式、对称轴和顶点坐标； (2)在抛物线的对称轴上有一点，若是等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为． (2)点的坐标为或． 【分析】（1）由题意抛物线与轴交于两点，利用待定系数法求出的值，得出函数解析式，再利用配方法化为顶点式求得对称轴与顶点坐标即可； （2）当为等腰三角形时分两种情况进行讨论：①；②，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得， ∴所求抛物线的解析式为：； ∵， ∴该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：存在． 理由：∵该抛物线的对称轴为直线， ∴设， ∵，， ∴，， 若为等腰三角形， 当时，， 解得：，此时； 当时，， 解得：，此时； 综上所述，点的坐标为或． 题型15.特殊四边形（二次函数综合） 1．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】矩形对角线相等，把求的最小值转化成求抛物线上点到轴的最小距离即可． 【详解】解：四边形为矩形， ， ， 抛物线开口向上，顶点坐标为， 轴， 的最小值为， 的最小值为． 2．如图，已知二次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形，写出此时点P的坐标______． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质． 根据二次函数的性质求出，，设，根据平行四边形的性可知，即，即可求出点P的坐标． 【详解】解：当时，，则， 当时，， 解得：， ∴， 设， ∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即或． 故答案为：或． 3．在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，．点在抛物线上，且点的横坐标为． (1)求，的值； (2)若此抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为，求的值； (3)过点作轴的平行线交直线于点，以为边在的左侧作正方形，当此抛物线在正方形内部的图象（含抛物线与正方形的交点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，直接写出的值． 【答案】(1)抛物线对应的函数表达式为 (2)的值为或 (3)或或 【分析】（1）把点，代入解析式进行求解即可； （2）先求得抛物线顶点为，分两种情况讨论，当时，在点左侧的图象顶点为最低点，则，当时，随的增大而减小，则为最低点，得出，解方程，即可求解； （3）先求出点B坐标，再得到的值，分情况讨论即可； 【详解】（1）解：把，代入， 则， 解得； （2）解：由（1）知抛物线对应的函数表达式为， ， 抛物线顶点为， 当时，在点左侧的图象顶点为最低点， 即， 解得； 当时，随的增大而减小， 为最低点， 即当时，， 解得（舍去），， 综上所述，的值为或． （3）解：∵过点作轴的平行线交直线于点，点的横坐标为， ∴的横坐标为，， ∴， 即 ∴， ∵以为边在的左侧作正方形，设正方形为， ∴正方形边长为， ∵轴， ∴轴， 当A在B上方且时，如图， 此时此抛物线在正方形内部的图象（含抛物线与正方形的交点）的最高点与最低点的纵坐标之差为， 解得：（舍去）； 当A在B上方且即时，如图， 由图可知此时点A到顶点的纵坐标距离，舍去； 当B在A上方且时，如图， 此时此抛物线在正方形内部的图象（含抛物线与正方形的交点）的最高点与最低点的纵坐标之差为 解得：； 当A在B上方且时，如图， 可知抛物线内不存在正方形； 综上所述，的值为或或． 题型16.相似三角形问题（二次函数综合） 1．抛物线与轴的两个交点分别为、，与轴的交点为，若，则点A坐标为___________． 【答案】 【分析】先设抛物线与x轴交点坐标，根据抛物线性质得到与y轴交点C的坐标，再结合推导得到边的关系，结合根与系数的关系求出参数c的值，解方程得到抛物线与x轴交点，确定A点坐标． 【详解】解：设，，且，坐标原点为O， 对于抛物线，令，得，即， 令，得，整理得， 由根与系数的关系得，， 如图， ∵，， ∴，， ∴， 又 ∴， ∴，即， ∵抛物线开口向下，与x轴有两个交点， ∴，且， ∴， ∴， 代入，得，即， 解得或（舍去），不符合抛物线与x轴交于两个点的条件. 将代入得， 解得，， ∵， ∴， ∴点A坐标为 ． 2．已知过点的抛物线与两坐标轴交于点A，C，如图所示，连接，第一象限内有一动点M在抛物线上运动，过点M作交y轴于点P．当点P在点A上方，且与相似时，点M的坐标为______． 【答案】或 【分析】由两点坐标公式可求，由勾股定理可证，分两种情况讨论，由相似三角形的判定和锐角三角函数可求解． 【详解】解：如图，过点M作于E，    ∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴点，抛物线解析式为， 当时，则， ∴， ∴点， ∵点，点，点， ∴， ∵， ∴， 设点， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴点， 当时， ∴， ∴， ∴， ∴点， 综上所述：点M坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定，锐角三角函数，勾股定理的逆定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 3．如图，已知与都是等边三角形，点在边上（不与重合），与相交于点． (1)求证：； (2)若，设； ①求关于的函数解析式及自变量的取值范围； ②当为何值时，？ 【答案】(1)证明：与都是等边三角形， ， ， ， ； (2)①；②当或时， 【分析】（1）由与均为等边三角形，可得，利用角的和差关系推导，两组对应角分别相等，即可证得； （2）①由得比例式，代入、、、，整理得；结合点D不与端点重合，确定自变量取值范围为； ②先证，由面积比，得相似比的平方为；结合等边三角形边相等的性质推得，进而得，代入解析式解方程得到两个符合条件的x值． 【详解】（1）略 （2）解：①， ， ，，， ， ； ②与都是等边三角形， ，， ∴， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 解得，， 当或时，． 题型17.其他问题（二次函数综合） 1．如图，已知点，点，抛物线（，均为常数）与线段交于， 两点，若，抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定，两点的坐标，求出对称轴，再将点的坐标代入函数解析式即可解答． 【详解】解：，点， ， ， ， ，， , , 将代入得， ， ， ∴抛物线的解析式为． 2．在如图所示的直角坐标系中，，，若二次函数与线段有且只有一个公共点，则的取值或取值范围是_______． 【答案】或 【分析】分当抛物线与相切时和当抛物线与相切时两种情况，结合图形求解即可． 【详解】解：∵当时，， ∴抛物线过点． 情况：当抛物线与相切时，如图， ∵线段过， ∴线段在直线上，满足． 联立， ∴， 整理，得， 情况：当一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， 解得或， 当时，方程为，解得，，符合条件． 当时，方程为，解得，不在范围内，舍去． 情况：当抛物线与相交时，如图， 则当时，， ， 解得， 验证：当时，，解得，，两个根都在内，有两个交点，不符合题意，不取等号． 综上，或． 3．定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．已知二次函数（c为常数） (1)若该函数经过点，求该函数表达式； (2)在（1）的条件下，求出该图象上的“三倍点”坐标； (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，结合图象，求出c的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入已知点坐标求解参数，得到函数表达式； （2）根据“三倍点”定义联立方程，求解得到对应坐标； （3）将存在“三倍点”转化为方程在给定区间有解，结合二次函数图象求的取值范围. 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， ∴该函数表达式为； （2）解：设“三倍点”的坐标为，代入，得， 解得， ∴， ∴该图象上的“三倍点”坐标为； （3）解：∵二次函数图象上存在“三倍点”， ∴， ∴， ∴该函数图象开口向上，对称轴为直线，图象上的点离对称轴越远，函数值越大， ∴当时，，当时，； ∵， ∴. ✺课堂小练 一、单选题 1．二次函数的图象在平面直角坐标系中如图所示，则一元二次方程的根的近似值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数与一元二次方程的关系，将方程的根转化为函数图象与 轴交点的横坐标． 【详解】解：由 移项得 ， ∴ 方程 的根即为二次函数 图象与 轴交点的横坐标， 观察图象可知，抛物线与 轴的两个交点横坐标分别约为 和 ， ∴ ． 2．关于的二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对因式分解，求出抛物线固定经过、，再分开口向上、顶点在轴负半轴，开口向下、顶点在轴正半轴，对照四个图像选出． 【详解】解：二次函数解析式为， 整理得， 因式分解：， 令， ， ∵ ， ∴ ． ∴ 抛物线一定与轴交于和两点． ① 当时，抛物线开口向上，顶点纵坐标为，顶点在轴负半轴； ② 当时，抛物线开口向下，顶点纵坐标为，顶点在轴正半轴． 依次判断选项： 选项 A：开口向上，与轴交于两点，顶点在轴负半轴，符合； 选项 B：抛物线和轴没有交点，不符合； 选项 C：对称轴不是轴，不符合； 选项 D：抛物线和轴没有交点，不符合． 故选：． 3．如图，已知矩形的顶点、均在抛物线上，点、在轴上方，顶点、均在轴上，且，则的长为（     ） A．5 B．6 C．6.3 D．7 【答案】B 【分析】由．设，，利用抛物线对称性得到点G坐标，将点代入抛物线解析式求出k，进而求出长． 【详解】解：， 设，． ∵矩形中，，又点D、点G均在抛物线上，且抛物线关于y轴对称， ∴矩形关于y轴对称， 点G的横坐标为k，纵坐标为，即． 把代入， ． 整理得． 解得，（舍去）． ∴． 4．已知二次函数（为常数），在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为，则的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】由给定范围内函数最小值大于顶点纵坐标，可知对称轴不在范围内，分两类求解． 【详解】解：该二次函数的顶点坐标为，最小值为4． ∵当时，的最小值为， ∴对称轴不在的范围内， 分两种情况讨论：当时， ∵，时随增大而增大， ∴时取最小值8， 代入得，整理得， 解得，（不符合，舍去）． 当时， ∵，时随增大而减小， ∴时取最小值8， 代入得，整理得， 解得，（不符合，舍去）． 综上，的值为或． 二、填空题 5．设函数与轴的交点坐标为，，若函数，则时自变量的取值范围是________． 【答案】 【分析】先根据原函数与x轴的交点求出对称轴，计算得到h的值，再结合抛物线平移规律得到与x轴的交点坐标，最后根据开口方向确定时x的取值范围． 【详解】解：∵原函数与轴的交点坐标为、． ∴该函数的对称轴为直线． ∵顶点式二次函数的对称轴为直线． ∴原函数的对称轴满足，解得． ∴函数的对称轴为直线． ∵两个函数的二次项系数、常数项完全一致，仅对称轴位置存在差异． ∴的图象是由原函数图象向右平移个单位长度得到的． ∴与轴的交点坐标为原交点向右平移4个单位，即，． ∵，抛物线开口向上． ∴当时，自变量的取值范围是． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是________． 【答案】或 【分析】将不等式变形为，即找到抛物线在直线下方时的自变量的范围即可． 【详解】解： ∵抛物线与直线交于，两点， ∴两函数图象交点的横坐标分别为2和， ∵， 即寻找抛物线图象位于直线图象下方（包括交点）时自变量x的范围， 由图象可知：当或时，抛物线在直线下方， ∴不等式的解集为：或； 7．如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在y轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为_______． 【答案】 【分析】先由对称轴和点N坐标求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M的坐标；欲使的周长最小，结合的长度一定，所以只需取最小值即可．过点M作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P，进而即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为，点是抛物线上的一点， ， 解得， 该抛物线的解析式为， ， 的周长，且是定值， 当的值最小时，的周长最小， 如图1，过点M作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P， 则， 设直线的解析式为， 则有， 解得， 故该直线的解析式为， 当时，， ∴． 三、解答题 8．如图，某隧道口的截面是抛物线形，隧道宽米，最高点C到地面的距离是4米．以所在直线为x轴、的中点为原点建立平面直角坐标系． (1)求这条抛物线的函数解析式； (2)一辆宽4米、高米的货车能否通过这条隧道？请说明理由； (3)若在隧道内壁距地面2米高处悬挂一排灯带，灯带的最大长度是多少米？ 【答案】(1) (2)货车能通过这条隧道，理由如下： ， 将代入，则， 该位置隧道高度大于货车高度， ∴货车能通过这条隧道； (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意把代入求出函数值，再与比较即可； （3）把代入求出，即可求解灯带的最大长度． 【详解】（1）解：由题意得，，， 根据题意可设函数解析式为， 代入点可得，， 解得， ∴函数解析式为； （2）略 （3）解：由题意得，把代入， 则 解得， ∴灯带的最大长度为． 9．跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为米，到地面的距离和均为米，身高为米的小丽站在距点的水平距离为米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点.以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为． (1)求a、b的值； (2)如果小华站在之间，且离点的距离为米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，求小华的身高； (3)如果身高为米的小丽站在之间，且离点的距离为米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象直接写出的取值范围______． 【答案】(1)， (2)米 (3) 【分析】（1）根据题意，选的点，，利用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中解析式中求解y值即可； （3）求出时对应的x值，再结合图象求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，，代入中，得 ，解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：由题意，当时，， ∵绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶， ∴小华的身高为米； （3）解：当时，即,得或， ∵绳子甩到最高处时超过她的头顶， ∴， 结合函数图象得：． 10．如图①，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图②，连接，点E是第四象限内抛物线上的动点，过点E作于点F，轴交于点G，求面积的最大值及此时点E的坐标； 【答案】(1) (2)解：存在，；理由如下， 点A关于抛物线的对称轴的对称点为点B，连接，交对称轴于点M，连接， ∴， ∴此时的值最小，即的周长最小， 令，则， ， 设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 令，则， ， (3)面积的最大值为，点E的坐标为 【分析】（1）把，代入求解即可； （2）点A关于抛物线的对称轴的对称点为点B，连接，交对称轴于点M，连接，此时的值最小，即的周长最小，再求出直线的解析式为，根据点M在对称轴上，即可求得答案； （3）设点E的坐标为，则，再证明是等腰直角三角形，可进一步求得，最后根据二次函数的图象与性质，即可求得答案． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式是； （2）略 （3）解：设点E的坐标为， 轴交于点G， ， ， 在中，， ， 轴， ， ， ， ， ， 整理得， 当时，取得最大值，此时面积取得最大值，最大值为， 当时，， 此时点E的坐标为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $