专题12二次函数与一元二次方程知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题12二次函数与一元二次方程知题通关讲义 知识点 01 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程是二次函数的函数值y=0时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标。 （1）若抛物线 y = ax2 + bx + c(a0) 与 x 轴两交点的横坐标分别为 x1，x2，则x1，x2为一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a 0)的两个根。 （2）二次函数图象与 x 轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系： 知识点 2：用图象法求一元二次方程的近似解 1. 图象法的基本原理 利用二次函数的图象与x轴的交点，来确定一元二次方程的根。由于作图和观察存在误差，求得的解一般是近似的。 2. 常用的图象法 3. 确定近似根的方法 第一步：观察图象，确定根在哪两个连续整数之间 第二步：利用 “取平均数” 的方法，不断缩小根所在的范围 第三步：当根所在的范围满足题目要求的精确度时，即可得到近似解 知识点 03二次函数与一元二次不等式的关系 利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤： 1.将一元二次不等式化为 ax2+bx+c>0或<0的形式； 2.明确二次项系数 a 的正负、对称轴在 y 轴哪侧，并计算 b2-4ac的值； 3.作出不等式对应的二次函数 y=ax2+bx+c 的草图； 4.二次函数在 x 轴上方的图象对应的函数值大于零，在 x 轴下方的图象对应的函数值小于零。以 y=ax2+bx+c(a>0) 为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： 知识点04：三种二次函数解析式互化（结合方程根） 三种解析式互相转化总结 知识点 05 典型综合题型解题模板 题型 1：判断抛物线与 x 轴交点个数 步骤：写出a、b、c → 计算Δ=b2-4ac → 根据Δ正负判断交点数量。 例：y=x2-2x+3，a=1,b=-2,c=3 Δ=4-12=-8<0，抛物线与x轴无交点。 题型 2：已知交点个数，求参数取值范围 核心：根据交点个数列Δ不等式，同时保证a≠0（二次函数） 例：y=(m-1)x2+2x+1与x轴有两个交点 题型 3：已知两交点，求线段长度 题型 4：图像解不等式 先求抛物线零点，再看开口方向，确定x取值区间，注意边界是否取等(≥、≤)包含零点）。 题型 5：直线与抛物线交点问题 联立直线、抛物线解析式，消元得一元二次方程，用Δ判断交点个数： Δ>0：2 个交点；Δ=0：相切 1 个交点；Δ<0：无交点。 1、抛物线与x轴交点个数和一元二次方程根的关系混淆 提醒：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数由判别式=b2-4ac确定。>0，2个交点；=0，1个交点；<0，无交点。抛物线与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的实数根，厘清函数图像与方程之间的对应关系。 2、运用判别式时忽略二次项系数a≠0的前提 提醒：判别式适用于二次函数、一元二次方程，前提条件为a≠0。题目含有字母参数时，必须单独讨论a=0的情况，此时原式降为一次方程，不可直接套用判别式进行判断。 3、误将抛物线与y轴交点当作一元二次方程的实数根 提醒：一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根对应抛物线与x轴交点的横坐标；抛物线与y轴交点坐标为(0,c)，该坐标不属于方程的根，不能作为方程的解使用。 4、借助函数图像估算一元二次方程近似根区间判断错误 提醒：估算方程近似根，应当查找函数值y发生正负切换对应的x区间；实数根落在y一正一负的区间之内；不能选取两端函数值同为正或者同为负的区间。 5、求解二次函数相关不等式忽略抛物线开口方向 提醒：求解ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，需要同时参考抛物线开口方向以及抛物线与x轴交点坐标；开口向上和开口向下得到的自变量取值区间不同，不可以直接复制区间结论。 6、函数值等于非零常数时判别式选用错误 提醒：当ax2+bx+c=k\ (k≠0)，先移项整理得到ax2+bx+(ck)=0之后再计算判别式；不能直接使用原式判别式=b24ac判定解的个数。 7、抛物线交点坐标与方程根书写格式混用 提醒：抛物线与x轴交点书写为坐标形式(x1,0)；一元二次方程的根直接写解x=x1；两类结果书写格式不可互相替代。 8、审题混淆“抛物线与x轴有交点”和“有两个交点” 提醒：“抛物线与x轴有交点”包含一个交点、两个交点两种情形，判别式满足0；“抛物线与x轴有两个交点”要求>0}；做题仔细分辨题干文字描述。 题型 考察方向 难度 题型一 求抛物线与 x 轴的交点坐标 ★ 题型二 求抛物线与 y 轴的交点坐标 ★ 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 ★ 题型四 抛物线与 x 轴的交点问题 ★★ 题型五 求 x 轴与抛物线的截线长 ★★ 题型六 图象法确定一元二次方程的近似根 ★★ 题型七 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 ★★ 题型八 图象法解一元二次不等式 ★★★ 题型九 利用不等式求自变量或函数值的范围 ★★★ 题型十 根据交点确定不等式的解集 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 求抛物线与 x 轴的交点坐标 1．若一元二次方程的根为，，则二次函数的图象与轴的交点坐标为______． 【答案】， 【分析】一元二次方程的根就是二次函数的图象与轴交点的横坐标，轴上的点纵坐标为，据此可得交点坐标． 【详解】解：二次函数与轴有交点， ． 一元二次方程的根为，， 一元二次方程的两根就是二次函数的图象与轴交点的横坐标，且轴上点的纵坐标为， 二次函数的图象与轴的交点坐标为，． 2．若一元二次方程的根分别为，，则二次函数的图象与x轴的交点坐标分别是_______________． 【答案】和/和 【分析】一元二次方程的根就是二次函数的图象与轴交点的横坐标，轴上点的纵坐标为，据此可直接写出交点坐标． 【详解】解：∵一元二次方程的两根是，，一元二次方程的两根就是二次函数的图象与轴交点的横坐标，且轴上点的纵坐标为， ∴二次函数的图象与轴的交点坐标为． 3．二次函数的图象大致是（     ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线解析式求开口方向，与y轴的交点，可确定抛物线的大致位置． 【详解】解：二次函数二次项系数，所以抛物线开口向上，选项C、D错误； 令，则， 解得，， 所以抛物线过点和，故选项A正确，B错误． 4．如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D与点C关于x轴对称，点P从点A出发向点D运动，点Q在DB上，且∠PCQ＝45°，则图中阴影部分的面积变化情况是（    ） A．一直增大 B．始终不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】C 【分析】先证明四边形是正方形，将绕点顺时针旋转，得到进而证得△，得到，当点是中点时，最短，当最短时，的面积最小，即阴影部分的面积最小，故可得到阴影部分的面积先减小后增大． 【详解】解：令，解得，， ，， 令，解得， ， ∵点D与点C关于x轴对称，故， ，， 则四边形是正方形， 将绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， 又，， △， ，阴影部分的面积=的面积， 当点是中点时，最短，即最短时，的面积最小， 故可得到阴影部分的面积先减小后增大． 故选：C． 【点睛】此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知二次函数的图像及正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质． 题型二 求抛物线与 y 轴的交点坐标 5．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的纵坐标是（     ） A． B．3 C． D．9 【答案】D 【分析】y轴上的点横坐标为0，代入抛物线解析式即可求得交点纵坐标． 【详解】解：当时， ． 6．对于二次函数 ，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．当时，y随x的增大而减小 D．抛物线与y轴的交点为 【答案】D 【分析】利用二次函数顶点式的性质及与轴交点的求法判断选项． 【详解】解：二次函数为，， A、抛物线的对称轴为直线，不符合题意； B、抛物线的顶点坐标为，不符合题意； C、∵开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，不符合题意； D、令，则， 即抛物线与轴的交点为，符合题意． 7．已知二次函数的图象与y轴交于点C，且经过点，． （1）点C的坐标为______； （2）当时，二次函数的值是______． 【答案】 3 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质是解题的关键 （1）当时，，可得点C的坐标为； （2）由，是二次函数的图象上的两点，可知点A，B关于对称轴直线对称，则，即．由，将代入，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴点C的坐标为， 故答案：． （2）解：∵，是二次函数的图象上的两点， ∴点A，B关于对称轴直线对称， ∴，即． ∵， ∴将代入，得，即， ∴二次函数的值是3， 故答案为：3． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，点C的坐标为，则当线段最短时a的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当轴时，线段最短．根据点C的坐标求得点D的坐标，将点D的坐标代入二次函数解析式即可求a的值． 【详解】解：根据题意知，当轴时，线段最短． ∵点C的坐标为， ∴点D的坐标为． 将其代入，得， 解得． 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 9．已知二次函数，当y＝0时，x的值是（　　） A．2或 B．或6 C．或1 D．或 【答案】B 【分析】此题考查了抛物线与轴的交点，列出关于的方程是解本题的关键．令得到关于的一元二次方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：令，得到， 即， 解得：或6． 故选：B 10．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表： … 0 1 2 3 … … 10 5 2 1 2 … 则当时，x的值为_____． 【答案】4或0 【分析】本题考查用待定系数法求函数表达式、已知函数值求二次函数自变量的值，先利用待定系数法求得二次函数表达式为，再把代入求解即可． 【详解】解：把点、、代入得， ，解得， ∴二次函数表达式为， 当时，， 解得，， 当时，x的值为4或0， 故答案为：4或0． 11．已知抛物线经过点，则代数式的值为（    ） A．24 B．6 C．31 D．19 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数点的坐标特征，已知式子的值求代数式的值，熟练掌握该知识点是解题的关键．由题意可知，，整理为，然后代入求值即可． 【详解】解：抛物线经过点， 故选：C ． 题型四 抛物线与 x 轴的交点问题 12．若关于x的函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值是________． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数和二次函数的性质：当函数为一次函数时满足题意，当函数为二次函数时，，据此即可求解． 【详解】解：当，即时，函数为，是一次函数，与x轴只有一个交点，满足题意，故； 当，即时，函数为二次函数，要使其与x轴只有一个交点， 则，即，解得； 综上所述，a的值为或． 故答案为：或． 13．若抛物线与直线有两个交点，则常数应满足（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据判别式判断抛物线与直线的交点情况．联立得，根据判别式判断抛物线与直线的交点情况即可得解． 【详解】解：∵抛物线与直线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， 即方程有两个不相等的实数根， ∴． 故选：A． 14．已知点，，若线段与抛物线恰有一个交点，则的取值范围是________． 【答案】或或 【分析】本题考查的是线段与抛物线的位置关系，坐标轴上点的特征，分情况讨论是解题的关键． 根据的取值范围分情况画图进行分析即可． 【详解】解：抛物线与x轴的交点可以通过解方程得到． 分解因式：． 解得或． 当时， ∴抛物线与y轴的交点为，抛物线与轴的交点为和． ∵点，， ∴若，则， 此时线段与抛物线恰有一个交点， 若，则， 此时线段与抛物线没有交点， ∴若，则， 此时线段与抛物线恰有一个交点， 若，则， 此时线段与抛物线没有交点， 若，则， 此时线段与抛物线恰有一个交点， 综上可知，或或． 综上故答案为： 或或． 15．二次函数的图象与x轴有两个公共点，a取满足条件的最小整数，将图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象，当直线与新图象恰有三个公共点时，则k的值不可能是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】由二次函数的图象与x轴有两个公共点，则且，得到．①当时，直线与新图象恰有三个公共点时，此时直线过点B、C，故将点B的坐标代入，即可求解；②当时，直线与新图象恰有三个公共点时，则此时直线过A、C点或直线与只有一个交点，进而求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有两个公共点， 则且， 当时，解得， ∵a取满足条件的最小整数，而， 故， 当时，， 设原抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C，将图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象，如下图所示， 对于， 令，则， 解得或2， 令，则， 故点A、B、C的坐标分别为、、， 由直线知，该直线过点C， ①当时， ∵直线与新图象恰有三个公共点时， 则此时直线过点B、C， 将点B的坐标代入得：， 解得； ②当时， ∵直线与新图象恰有三个公共点时， 则此时直线过A、C点或直线与只有一个交点， 当直线过点A、C时， 将点A的坐标代入直线表达式得：， 解得； 当直线与只有一个交点时， 联立直线和抛物线的表达式得：，即， 则， 解得， 综上，或或， 故选：D． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，涉及到一次函数、根的判别式等知识点，分类求解是本题解题的关键． 题型五 求 x 轴与抛物线的截线长 16．二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，通过求解二次方程得到与轴的交点坐标，然后计算两点间的距离，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点， ∴令，则， 解得：，， ∴线段的长度为， 故选：C． 17．如图，抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线，与x轴交于点A，点B，则的长度为_________． 【答案】 【分析】本题考查了求抛物线与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，根据对称轴求得的值，解方程，即可求解． 【详解】解：∵抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线， ∴ 解得：， ∴抛物线解析式为：， 令，即， 解得：， ∴, ∴， ∴, 故答案为：． 18．已知二次函数（为常数）的图象与轴交于、两点．若线段的长为4，则的值为_________． 【答案】 【分析】设、的横坐标为、，利用结合根与系数的关系列方程求解即可. 【详解】解：设，，则，是方程的两个实数根， ∴，， ∵线段的长为4， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得. 题型六 图象法确定一元二次方程的近似根 19．已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如下表： 判断方程的一个解的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】仔细看表，可发现的值和0.09最接近0，再看对应的的值即可得．本题考查了同学们的估算能力，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的． 【详解】解：由表可以看出，∵当时，；当时，； ∴当取3.25与3.26之间的某个数时，，即这个数是的一个根． 则的一个解的取值范围为． 故选：D． 20．根据下列表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程（，，，为常数）的一个解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数值的正负变化确定方程解的区间，再对比选项判断． 【详解】解：时，，时，， 方程的一个解在之间，选项中只有在该区间内． 故C符合题意． 21．如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（  ） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为时，的取值应在所给的自变量两个值之间． 【详解】解：∵点，在二次函数的图象上， ∴当时，，当时，， ∴当时，， ∴选项C符合， 故选：C． 题型七 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 22．在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于x的方程根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意可把方程变为，此时可把方程看作是二次函数与直线的交点问题，进而问题可求解． 【详解】解：把方程变为，则二次函数与直线的交点即为方程的解，如图所示： 由图象可知：方程根的情况是有两个不相等的实数根； 故选A． 23．二次函数的图象如图，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为______________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图象与一元二次方程的关系，掌握二次函数图象与直线交点的个数与一元二次方程根的个数的关系是解题的关键．方程有实数根，相当于与有交点，结合图象可得答案． 【详解】解：方程有实数根，相当于与有交点， 由图象可得：． 故答案为：． 24．已知，若关于的方程的解为，关于的方程的解为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与一元二次方程的关系，把，看做是直线与抛物线交点的横坐标，把，看做是直线与抛物线交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键． 【详解】解：如图所示，设直线与抛物线交于两点，直线与抛物线交于两点， ∵，若关于的方程的解为，关于的方程的解为， ∴，，，分别是的横坐标， ∴根据图象可知：， 故选：． 题型八 图象法解一元二次不等式 25．如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查利用二次函数图象求不等式的解集，求出点关于对称轴的对称点，结合函数图象即可得出的解集． 【详解】解：由图可知二次函数的图象的对称轴为，与y轴的交点坐标为， 由二次函数图象的对称性可知，点也在函数的图象上， 由图可知，当或时，对应的y值小于3， 因此的解集为：或． 故选：D． 26．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 27．抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与轴的另一个交点坐标为，然后结合二次函数图象，写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴是直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 抛物线开口向下， 当时，． 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质以及图象法解一元二次方程． 题型九 利用不等式求自变量或函数值的范围 28．在二次函数图像上的两点、，若，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将、代入二次函数求解即可． 【详解】将、代入二次函数， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式． 29．二次函数的图象如图所示．若关于的一元二次方程有实数根，则的最大值为(    ) A． B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】一元二次方程有实数根，则二次函数的图象与直线有交点，结合图象即可求解． 【详解】解：一元二次方程有实数根，则二次函数的图象与直线有交点， 由图象得，，解得， ∴的最大值为， 故选：B． 【点睛】此题考查了图象法求一元二次方程的解，解题的关键是用函数图象来处理方程根的问题． 30．在平面直角坐标系中，函数，其中a为常数，且，点和在函数的图象上，且，则a的取值范围为___________________． 【答案】 【分析】根据函数，其中a为常数，且，点和在函数的图象上，且，得到，解不等式即可． 本题考查了图象与点的关系，函数的增减性，解不等式，熟练掌握增减性，解不等式是解题的关键． 【详解】解：∵函数，其中a为常数，且，点和在函数的图象上，且， ∴， 整理，得， 解得， 故答案为：． 题型十 根据交点确定不等式的解集 31．抛物线与直线相交于点和点.则当时，的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】此题考查二次函数与不等式．先求得抛物线与直线的解析式，联立求得点的坐标，再根据时，即为抛物线在直线下方，根据图象得出取值范围即可． 【详解】解：∵直线经过点， ∴，解得， ∴直线， ∵抛物线经过点， ∴，解得， ∴抛物线， 联立得， 解得或， 当时，， ∴， ∴抛物线与直线相交于点和点两点， ∴当时，， 故选：B． 32．如图，抛物线与直线的交点为，，则当时，的取值范围是____________． 【答案】或 【分析】根据图象判断抛物线高于直线的区间即可． 【详解】解：由图象可知，在点的左侧和点的右侧，抛物线高于直线， ∴当或时，． 33．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】将不等式变形为，结合图象找出二次函数图象在一次函数图象下方对应的取值范围即可． 【详解】解：不等式移项，得， ∵二次函数与一次函数的交点为及轴上的点， ∴交点横坐标分别为和， 由图象可知，当时，抛物线在直线下方或重合， ∴不等式的解集为． 解答题 1．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，且与轴交于点、，与轴正半轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得点A、B、C的坐标，再利用坐标与图形性质和三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将点代入中，得， 解得， ∴抛物线的解析式是； （2）解：当时，，则, ∴， 令，由得，， ∴，， ∴， ∴． 2．已知二次函数． (1)求证：无论 取何值，该抛物线与 轴总有交点； (2)若该抛物线与 轴的两个交点之间的距离为 ，求 的值． 【答案】(1)证明：令， 则 ， ∵ ∴无论 取何值，方程 总有实数根， 即该抛物线与 轴总有交点； (2)或 【分析】（1）通过计算判别式并证明其非负，说明抛物线与轴总有交点； （2）先求出抛物线与轴的交点坐标，再根据两点距离公式构建关于的方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：解方程 ， 得 ， ∴抛物线与 轴的两个交点分别为 和 ， ∴它们之间的距离为：， ∵抛物线与 轴的两个交点之间的距离为 ， ∴， ∴解得或. 3．利用二次函数的图象求下列一元二次方程的近似根： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设，根据图象与x轴的交点横坐标求解； （2）设，根据图象与x轴的交点横坐标求解． 【详解】（1）解：设，方程的根就是抛物线与轴交点的横坐标， 由图像，可知，； （2）解：设，方程的根就是抛物线与轴交点的横坐标， 由图象可知． 4．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． (1)写出方程的两个根：__________； (2)写出不等式的解集：__________； (3)写出随的增大而减小的自变量的取值范围__________； (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围：__________． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】（1）根据函数图象与x轴的两个交点的横坐标进行解答即可； （2）根据函数图象找出在x轴下方的部分所对的x值即可； （3）根据抛物线的开口方向和对称轴进行解答即可； （4）根据函数图象进行解答即可． 【详解】（1）解：抛物线的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和， 一元二次方程的两个根分别是，； （2）解：由图象可知，当时，抛物线的图象在轴的下方， 不等式的解集为； （3）解：由图象可知，抛物线开口向上，对称轴为， 在对称轴的左侧随的增大而减小， 随的增大而减小的自变量的取值范围是； （4）解：由图象可知，当时， 抛物线与直线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根时，． 5．在平面直角坐标系中，点，为抛物线上的两点． (1)当时，求抛物线的对称轴； (2)若对于，，都有，求h的取值范围． 【答案】(1) 直线 (2) 或 【分析】（1）先将抛物线一般式配方为顶点式，因为抛物线顶点式可直接得到对称轴表达式，所以代入即可计算对称轴． （2）首先明确时抛物线开口向下，所以抛物线上的点到对称轴的距离越近，函数值越大．问题转化为：取值范围内的所有点到对称轴的距离，都小于等于取值范围内的所有点到对称轴的距离，由此建立关于h的不等式组求解． 【详解】（1）解： ， 对称轴为直线． 当时，对称轴为． （2）解：，抛物线开口向下， 抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大． 对任意，，都有， 将 代入顶点式得：， ， ， 要对所有范围内的 都满足这个不等式，只需要让范围内 的最大值小于等于 范围内 的最小值即可． 是开口向上的二次函数，范围内的最大值一定出现在端点处： 端点 处：， 端点 处：， 当 时，，最大值为 ； 当 时，，最大值为 ； 的范围是，令，则的范围是，开口向上，对称轴为； 当 时，，全为正，最小值在左端点，为 ； 当 时，，在范围内，最小值为； 当 时，，全为负，最小值在右端点，为； 情况1：当时，，展开整理得：，恒成立， 因此所有 都满足条件． 情况2：当 时，，展开整理得：， 解得 或 ，结合当前范围得． 情况3：当时，正数（ 的平方最大值），不可能成立，无解． 情况4：当时，，展开整理得：，解得 或 ，结合当前范围得 ． 综上所述 的取值范围是：或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12二次函数与一元二次方程知题通关讲义 知识点 01 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程是二次函数的函数值y=0时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标。 （1）若抛物线 y = ax2 + bx + c(a0) 与 x 轴两交点的横坐标分别为 x1，x2，则x1，x2为一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a 0)的两个根。 （2）二次函数图象与 x 轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系： 知识点 2：用图象法求一元二次方程的近似解 1. 图象法的基本原理 利用二次函数的图象与x轴的交点，来确定一元二次方程的根。由于作图和观察存在误差，求得的解一般是近似的。 2. 常用的图象法 3. 确定近似根的方法 第一步：观察图象，确定根在哪两个连续整数之间 第二步：利用 “取平均数” 的方法，不断缩小根所在的范围 第三步：当根所在的范围满足题目要求的精确度时，即可得到近似解 知识点 03二次函数与一元二次不等式的关系 利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤： 1.将一元二次不等式化为 ax2+bx+c>0或<0的形式； 2.明确二次项系数 a 的正负、对称轴在 y 轴哪侧，并计算 b2-4ac的值； 3.作出不等式对应的二次函数 y=ax2+bx+c 的草图； 4.二次函数在 x 轴上方的图象对应的函数值大于零，在 x 轴下方的图象对应的函数值小于零。以 y=ax2+bx+c(a>0) 为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： 知识点04：三种二次函数解析式互化（结合方程根） 三种解析式互相转化总结 知识点 05 典型综合题型解题模板 题型 1：判断抛物线与 x 轴交点个数 步骤：写出a、b、c → 计算Δ=b2-4ac → 根据Δ正负判断交点数量。 例：y=x2-2x+3，a=1,b=-2,c=3 Δ=4-12=-8<0，抛物线与x轴无交点。 题型 2：已知交点个数，求参数取值范围 核心：根据交点个数列Δ不等式，同时保证a≠0（二次函数） 例：y=(m-1)x2+2x+1与x轴有两个交点 题型 3：已知两交点，求线段长度 题型 4：图像解不等式 先求抛物线零点，再看开口方向，确定x取值区间，注意边界是否取等(≥、≤)包含零点）。 题型 5：直线与抛物线交点问题 联立直线、抛物线解析式，消元得一元二次方程，用Δ判断交点个数： Δ>0：2 个交点；Δ=0：相切 1 个交点；Δ<0：无交点。 1、抛物线与x轴交点个数和一元二次方程根的关系混淆 提醒：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数由判别式=b2-4ac确定。>0，2个交点；=0，1个交点；<0，无交点。抛物线与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的实数根，厘清函数图像与方程之间的对应关系。 2、运用判别式时忽略二次项系数a≠0的前提 提醒：判别式适用于二次函数、一元二次方程，前提条件为a≠0。题目含有字母参数时，必须单独讨论a=0的情况，此时原式降为一次方程，不可直接套用判别式进行判断。 3、误将抛物线与y轴交点当作一元二次方程的实数根 提醒：一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根对应抛物线与x轴交点的横坐标；抛物线与y轴交点坐标为(0,c)，该坐标不属于方程的根，不能作为方程的解使用。 4、借助函数图像估算一元二次方程近似根区间判断错误 提醒：估算方程近似根，应当查找函数值y发生正负切换对应的x区间；实数根落在y一正一负的区间之内；不能选取两端函数值同为正或者同为负的区间。 5、求解二次函数相关不等式忽略抛物线开口方向 提醒：求解ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，需要同时参考抛物线开口方向以及抛物线与x轴交点坐标；开口向上和开口向下得到的自变量取值区间不同，不可以直接复制区间结论。 6、函数值等于非零常数时判别式选用错误 提醒：当ax2+bx+c=k\ (k≠0)，先移项整理得到ax2+bx+(ck)=0之后再计算判别式；不能直接使用原式判别式=b24ac判定解的个数。 7、抛物线交点坐标与方程根书写格式混用 提醒：抛物线与x轴交点书写为坐标形式(x1,0)；一元二次方程的根直接写解x=x1；两类结果书写格式不可互相替代。 8、审题混淆“抛物线与x轴有交点”和“有两个交点” 提醒：“抛物线与x轴有交点”包含一个交点、两个交点两种情形，判别式满足0；“抛物线与x轴有两个交点”要求>0}；做题仔细分辨题干文字描述。 题型 考察方向 难度 题型一 求抛物线与 x 轴的交点坐标 ★ 题型二 求抛物线与 y 轴的交点坐标 ★ 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 ★ 题型四 抛物线与 x 轴的交点问题 ★★ 题型五 求 x 轴与抛物线的截线长 ★★ 题型六 图象法确定一元二次方程的近似根 ★★ 题型七 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 ★★ 题型八 图象法解一元二次不等式 ★★★ 题型九 利用不等式求自变量或函数值的范围 ★★★ 题型十 根据交点确定不等式的解集 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 求抛物线与 x 轴的交点坐标 1．若一元二次方程的根为，，则二次函数的图象与轴的交点坐标为______． 2．若一元二次方程的根分别为，，则二次函数的图象与x轴的交点坐标分别是_______________． 3．二次函数的图象大致是（     ） A．B． C． D． 4．如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D与点C关于x轴对称，点P从点A出发向点D运动，点Q在DB上，且∠PCQ＝45°，则图中阴影部分的面积变化情况是（    ） A．一直增大 B．始终不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 题型二 求抛物线与 y 轴的交点坐标 5．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的纵坐标是（     ） A． B．3 C． D．9 6．对于二次函数 ，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．当时，y随x的增大而减小 D．抛物线与y轴的交点为 7．已知二次函数的图象与y轴交于点C，且经过点，． （1）点C的坐标为______； （2）当时，二次函数的值是______． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，点C的坐标为，则当线段最短时a的值是（     ） A． B． C． D． 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 9．已知二次函数，当y＝0时，x的值是（　　） A．2或 B．或6 C．或1 D．或 10．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表： … 0 1 2 3 … … 10 5 2 1 2 … 则当时，x的值为_____． 11．已知抛物线经过点，则代数式的值为（    ） A．24 B．6 C．31 D．19 题型四 抛物线与 x 轴的交点问题 12．若关于x的函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值是________． 13．若抛物线与直线有两个交点，则常数应满足（　　） A． B． C． D． 14．已知点，，若线段与抛物线恰有一个交点，则的取值范围是________． 15．二次函数的图象与x轴有两个公共点，a取满足条件的最小整数，将图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象，当直线与新图象恰有三个公共点时，则k的值不可能是（    ） A． B． C．1 D．2 题型五 求 x 轴与抛物线的截线长 16．二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 17．如图，抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线，与x轴交于点A，点B，则的长度为_________． 18．已知二次函数（为常数）的图象与轴交于、两点．若线段的长为4，则的值为_________． 题型六 图象法确定一元二次方程的近似根 19．已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如下表： 判断方程的一个解的取值范围是（  ） A． B． C． D． 20．根据下列表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程（，，，为常数）的一个解是（     ） A． B． C． D． 21．如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（  ） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 题型七 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 22．在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于x的方程根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 23．二次函数的图象如图，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为______________． 24．已知，若关于的方程的解为，关于的方程的解为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型八 图象法解一元二次不等式 25．如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 26．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 27．抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型九 利用不等式求自变量或函数值的范围 28．在二次函数图像上的两点、，若，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．二次函数的图象如图所示．若关于的一元二次方程有实数根，则的最大值为(    ) A． B．3 C． D．6 30．在平面直角坐标系中，函数，其中a为常数，且，点和在函数的图象上，且，则a的取值范围为___________________． 题型十 根据交点确定不等式的解集 31．抛物线与直线相交于点和点.则当时，的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 32．如图，抛物线与直线的交点为，，则当时，的取值范围是____________． 33．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 解答题 1．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，且与轴交于点、，与轴正半轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积． 2．已知二次函数． (1)求证：无论 取何值，该抛物线与 轴总有交点； (2)若该抛物线与 轴的两个交点之间的距离为 ，求 的值． 3．利用二次函数的图象求下列一元二次方程的近似根： (1)； (2)． 4．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． (1)写出方程的两个根：__________； (2)写出不等式的解集：__________； (3)写出随的增大而减小的自变量的取值范围__________； (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围：__________． 5．在平面直角坐标系中，点，为抛物线上的两点． (1)当时，求抛物线的对称轴； (2)若对于，，都有，求h的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $