30.2 三角形的内切圆 课时练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

30.2 三角形的内切圆 课时练习（含答案详解） 2026-2027学年人教版数学九年级上册 满分：100分　　限时：45分钟 班级：____________　　姓名：____________　　考号：____________ 参考答案与解析 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分；每小题只有一个正确答案） 1. (2024成都中考改编) 下列说法正确的是（　　） 　　A．三角形的内切圆圆心叫做三角形的重心 　　B．三角形的内切圆圆心叫做三角形的内心 　　C．三角形的外接圆圆心叫做三角形的内心 　　D．任意四边形都有内切圆 【答案】B 【解析】与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心。重心是三条中线交点；外接圆圆心是外心。一般四边形不一定有内切圆。故选 B。 【点睛】内切圆↔内心；外接圆↔外心；中线↔重心。 2. (2025杭州模拟) 如图，⊙I 是 △ 的内切圆，D、E、F 为切点。则下列结论一定成立的是（　　） 　　A．ID ⊥ BC 　　B．ID ∥ BC 　　C．IA 一定平分 ∠ 且 　　D． 【答案】A 【解析】内切圆与边相切，由切线性质：过切点的半径垂直于切线，故 ID ⊥ BC（同理 IE ⊥ CA，IF ⊥ AB）。C 中 IA 虽平分 ∠，但 不一定成立。故选 A。 【点睛】见切点先连半径，再标直角。 3. (2024武汉中考改编) 如图，点 I 是 △ 的内心。则点 I 是下列哪组线的交点（　　） 　　A．三条中线　　B．三条高 　　C．三条角平分线　　D．三条边的垂直平分线 【答案】C 【解析】三角形的内心是三角角平分线的交点；重心是中线交点；垂心是高的交点；外心是边的垂直平分线交点。 【点睛】内心=角平分线交点（到三边距离相等）。 4. (2025南京一模) 如图，⊙I 内切于 △，切点为 D、E、F。若 ，，，则 △ 的周长为（　　） 　　A．12　　B．20 　　C．24　　D．30 【答案】C 【解析】由切线长相等：，，。故 ，，。周长=。 【点睛】从同一顶点引出的两条切线长相等；周长=。 5. (2024长沙中考改编) 如图，△ 的内切圆半径为 ，半周长为 ，面积为 S。则一定有（　　） 　　A．　　B． 　　C．　　D． 【答案】B 【解析】把 △ 分成以内心为公共顶点的三个小三角形，面积之和 。 【点睛】牢记：，从而 。 6. (2025苏州模拟) 如图，△ 中，∠°，，。则其内切圆半径 等于（　　） 　　A．1　　B．2 　　C．3　　D．4 【答案】B 【解析】斜边 （ 的 2 倍）。半周长 ，面积 ，故 。也可记直角三角形公式 。 【点睛】直角三角形：两直角边之和−斜边)/2。 7. (2024福州中考改编) 如图，等腰 △ 中，，内切圆与底边 BC 切于点 D。则下列结论正确的是（　　） 　　A．D 一定是 BC 的中点　　B．D 一定不是 BC 的中点 　　C．内心不在对称轴上　　D．两腰上的切线长一定不等 【答案】A 【解析】等腰三角形底边上的高、中线、角平分线合一，内心在对称轴（顶角平分线）上，故内切圆与底边的切点 D 必为 BC 中点。两腰上切线长相等。 【点睛】等腰+内心→对称；切点落在底边中点。 8. (2025郑州一模) 如图，I 为 △ 的内心，ID、IE、IF 分别垂直于 BC、CA、AB，垂足为切点。若 ，则 IE、IF 的长分别为（　　） 　　A．3，3　　B．3，4 　　C．4，5　　D．无法确定 【答案】A 【解析】内心到三边的距离都等于内切圆半径 ，故 。 【点睛】内心的本质：到三边距离相等（=）。 9. (2024金华中考改编) △ 的三边长分别为 6、8、10，则其内切圆半径为（　　） 　　A．1　　B．2 　　C．3　　D．4 【答案】B 【解析】先判断：，为直角三角形。，，。或 。 【点睛】先辨是否直角，再选 或 。 10. (2025合肥模拟) 下列关于三角形内心的说法中，错误的是（　　） 　　A．内心是内切圆的圆心　　B．内心是三角角平分线的交点 　　C．内心到三边的距离相等　　D．内心一定在三角形外部 【答案】D 【解析】任何三角形都有内切圆，内心始终在三角形内部。A、B、C 均正确。故选 D。 【点睛】内心永在形内；钝角三角形外心才可能在形外。 二、填空题（每小题 4 分，共 32 分） 1. (2024重庆中考改编) 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的________；它的圆心叫做三角形的________． 【答案】内切圆；内心 【解析】直接默写定义与名称。 2. (2025宁波模拟) 三角形的内心是三角形________的交点． 【答案】三角角平分线（或三条角平分线） 【解析】内心的作图与性质：三角角平分线交于一点，该点即内心。 3. (2024广州中考改编) 如图，⊙I 是 △ 的内切圆，切点为 D、E、F。若 ，，，则 ________． 【答案】5 【解析】设 ，，。则 ，，。三式相加得 ，，故 （即 ，，）。 【点睛】切线长：从一顶点出发的两段相等；。 4. (2025无锡一模) 若三角形的面积为 30，半周长为 10，则内切圆半径 ________． 【答案】3 【解析】由 得 。 5. (2024西安中考改编) △ 中，∠°，，，则内切圆半径 ________． 【答案】2 【解析】斜边 。。或 ，，。 【点睛】；直角三角 。 6. (2025青岛模拟) 如图，⊙I 内切于 △，∠°。若内切圆半径为 2，两直角边分别为 6、8，则斜边长为________． 【答案】10 【解析】由 得 ⇒ ⇒ 。也可先用勾股验证。 7. (2024贵阳中考改编) 如图，I 为 △ 内心，ID ⊥ BC 于 D。若 ，，则 △ 的面积为________． 【答案】20 【解析】ID 为边 BC 上的高（亦为内切圆半径），S△。 8. (2025长沙模拟) 等边三角形边长为 6，则其内切圆半径 ________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】等边三角形高 ，面积 ，半周长 ，。也可 。 【点睛】等边：，。 三、解答题（共 38 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1. （本小题满分 8 分）(2024绵阳中考改编) 根据三角形内切圆的知识，回答下列问题： （1）什么叫做三角形的内切圆？什么叫做三角形的内心？ （2）三角形的内心是哪三条线的交点？它到三边的距离有什么关系？ （3）若三角形面积为 S，半周长为 ，内切圆半径为 ，写出 S、、 的关系式。 【答案】 （1）与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆；内切圆的圆心叫做三角形的内心。 （2）内心是三角形三条角平分线的交点；内心到三边的距离相等（都等于内切圆半径 ）。 （3）（或 ）。 【解析】 按课本规范语言作答。（3）由三个小三角形面积之和推导即可。 【点睛】概念题写全称谓；关系式记 。 2. （本小题满分 10 分）(2025嘉兴模拟) 如图，⊙I 是 △ 的内切圆，D、E、F 分别是边 BC、CA、AB 上的切点。 （1）求证：，，； （2）若 ，，，设 ，用 、、 表示 ； （3）若 ，，，求 以及内切圆半径 （先求面积可用海伦公式或作高）。 【答案】 （1）因为从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，所以从 A 引的切线 AF、AE 满足 ；同理 ，。 （2）设 ，，，则 ，，。解得 （其中 ）。 （3），。由海伦公式 ，故 。 【解析】 （1）切线长定理。（2）方程组或直接记 。（3）海伦求面积再 。 【点睛】切线长公式：从 A 出发的切线长 = 。 3. （本小题满分 10 分）(2024黄冈中考改编) 如图，在 △ 中，∠°，，，⊙I 为内切圆，切 BC、CA、AB 于 D、E、F。 （1）求斜边 AB 的长及内切圆半径 ； （2）求 AF、BD、CD 的长； （3）求证：四边形 是正方形。 【答案】 （1）。，，。或 。 （2）；；。也可：直角顶点处 。 （3）因为 ⊙I 与 CA、CB 分别切于 E、D，所以 IE ⊥ CA，ID ⊥ CB，且 。又 ∠°，由切线长得 。于是四边形 中，，且 ∠∠∠°，故四边形 是正方形。 【解析】 （1）勾股+ 或直角公式。（2）切线长 边长；直角处切线长=。（3）直角顶点处：两垂直半径与两边围成边长为 的正方形。 【点睛】直角三角形内切圆：直角顶点到两切点的距离都等于 ，与内心构成正方形。 4. （本小题满分 10 分）(2025成都模拟) 如图，△ 中，，，，I 为内心，内切圆分别切 BC、CA、AB 于 D、E、F。 （1）求半周长 及 AF、BD、CD 的长； （2）已知该三角形面积 ，求内切圆半径 ； （3）求 △ 与 △ 的面积之比。 【答案】 （1）。；；。 （2）。 （3）S△，S△，故 S△:S△:a=6:10=3:5。 【解析】 （1）切线长公式。（2）。（3）三个小三角形等高（高都是 ），面积比等于底边比。 【点睛】有内心时，以各边为底、 为高的三个小三角形面积比为边长比。 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.2 三角形的内切圆 课时练习（含答案详解） 2026-2027学年人教版数学九年级上册 满分：100分　　限时：45分钟 班级：____________　　姓名：____________　　考号：____________ 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分；每小题只有一个正确答案） 1. (2024成都中考改编) 下列说法正确的是（　　） 　　A．三角形的内切圆圆心叫做三角形的重心 　　B．三角形的内切圆圆心叫做三角形的内心 　　C．三角形的外接圆圆心叫做三角形的内心 　　D．任意四边形都有内切圆 2. (2025杭州模拟) 如图，⊙I 是 △ 的内切圆，D、E、F 为切点。则下列结论一定成立的是（　　） 　　A．ID ⊥ BC 　　B．ID ∥ BC 　　C．IA 一定平分 ∠ 且 　　D． 3. (2024武汉中考改编) 如图，点 I 是 △ 的内心。则点 I 是下列哪组线的交点（　　） 　　A．三条中线　　B．三条高 　　C．三条角平分线　　D．三条边的垂直平分线 4. (2025南京一模) 如图，⊙I 内切于 △，切点为 D、E、F。若 ，，，则 △ 的周长为（　　） 　　A．12　　B．20 　　C．24　　D．30 5. (2024长沙中考改编) 如图，△ 的内切圆半径为 ，半周长为 ，面积为 S。则一定有（　　） 　　A．　　B． 　　C．　　D． 6. (2025苏州模拟) 如图，△ 中，∠°，，。则其内切圆半径 等于（　　） 　　A．1　　B．2 　　C．3　　D．4 7. (2024福州中考改编) 如图，等腰 △ 中，，内切圆与底边 BC 切于点 D。则下列结论正确的是（　　） 　　A．D 一定是 BC 的中点　　B．D 一定不是 BC 的中点 　　C．内心不在对称轴上　　D．两腰上的切线长一定不等 8. (2025郑州一模) 如图，I 为 △ 的内心，ID、IE、IF 分别垂直于 BC、CA、AB，垂足为切点。若 ，则 IE、IF 的长分别为（　　） 　　A．3，3　　B．3，4 　　C．4，5　　D．无法确定 9. (2024金华中考改编) △ 的三边长分别为 6、8、10，则其内切圆半径为（　　） 　　A．1　　B．2 　　C．3　　D．4 10. (2025合肥模拟) 下列关于三角形内心的说法中，错误的是（　　） 　　A．内心是内切圆的圆心　　B．内心是三角角平分线的交点 　　C．内心到三边的距离相等　　D．内心一定在三角形外部 二、填空题（每小题 4 分，共 32 分） 1. (2024重庆中考改编) 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的________；它的圆心叫做三角形的________． 2. (2025宁波模拟) 三角形的内心是三角形________的交点． 3. (2024广州中考改编) 如图，⊙I 是 △ 的内切圆，切点为 D、E、F。若 ，，，则 ________． 4. (2025无锡一模) 若三角形的面积为 30，半周长为 10，则内切圆半径 ________． 5. (2024西安中考改编) △ 中，∠°，，，则内切圆半径 ________． 6. (2025青岛模拟) 如图，⊙I 内切于 △，∠°。若内切圆半径为 2，两直角边分别为 6、8，则斜边长为________． 7. (2024贵阳中考改编) 如图，I 为 △ 内心，ID ⊥ BC 于 D。若 ，，则 △ 的面积为________． 8. (2025长沙模拟) 等边三角形边长为 6，则其内切圆半径 ________．（结果保留根号） 三、解答题（共 38 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1. （本小题满分 8 分）(2024绵阳中考改编) 根据三角形内切圆的知识，回答下列问题： （1）什么叫做三角形的内切圆？什么叫做三角形的内心？ （2）三角形的内心是哪三条线的交点？它到三边的距离有什么关系？ （3）若三角形面积为 S，半周长为 ，内切圆半径为 ，写出 S、、 的关系式。 2. （本小题满分 10 分）(2025嘉兴模拟) 如图，⊙I 是 △ 的内切圆，D、E、F 分别是边 BC、CA、AB 上的切点。 （1）求证：，，； （2）若 ，，，设 ，用 、、 表示 ； （3）若 ，，，求 以及内切圆半径 （先求面积可用海伦公式或作高）。 3. （本小题满分 10 分）(2024黄冈中考改编) 如图，在 △ 中，∠°，，，⊙I 为内切圆，切 BC、CA、AB 于 D、E、F。 （1）求斜边 AB 的长及内切圆半径 ； （2）求 AF、BD、CD 的长； （3）求证：四边形 是正方形。 4. （本小题满分 10 分）(2025成都模拟) 如图，△ 中，，，，I 为内心，内切圆分别切 BC、CA、AB 于 D、E、F。 （1）求半周长 及 AF、BD、CD 的长； （2）已知该三角形面积 ，求内切圆半径 ； （3）求 △ 与 △ 的面积之比。 学科网（北京）股份有限公司 $