30.2 三角形的内切圆-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（人教版·新教材）

数学 九年级上册（人教版） 9.(1)证明：连接0E, OF,ON,OG,在矩形ABCD b-2=c,解得=+b-巴.故答案为+b-c 2 2 中，∠A=∠B=90°，CD=AB=4. AD,AB,BC分别与⊙0相切 1.D2.B3.A469°5.Y36.8 3 于E,F,G三点，∠AEO= 7.(1)证明：如图1，连接BECD=CD, ∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，∴. ∠DAC=∠DBC,:点E是△ABC的内心，AE平分 四边形AFOE,FBGO均是正方 第9题答图 形，AF=OF,BF=OF,∴AE=BF ∠BAC,BE平分LABC,LBAE=∠CAE=号∠BAC, (2)解：：四边形AFOE是正方形，∴AE=OF=2. AF=BF=AE=BG=2,∴DE=3.DM,AD,BM是⊙O的 ∠CBE=-∠ABE=号∠ABC,ZDBC=∠DAC,∠BAE 切线，.DN=DE=3,MN=MG,.CM=5-2-MW=3-MN ∠DBC,:∠BED是△ABE的一个外角，.∠BED= 在Rt△DMC中，根据勾股定理，得DMP=CD+CMP,. ∠ABE+∠BAE,'∠DBE=∠DBC+∠CBE,.∠DBE= 3+w广-(3-w4,M:号，DM=3+号-号 ∠DEB,.DE=DB. 33 10.50° 11.(1)证明：PA与⊙0相切于点A,.0A⊥ PA.PO平分∠APD,OB⊥PD,.OA=OB,.PB是 ⊙0的切线. (2)解：⊙0的半径为4，.0A=0B=4.0B1 PD,OC=5,.根据勾股定理，得BC=VOC-OB=3, AC=0A+0C=4+5=9,由(1)可知，PB是⊙0的切线， D D :PA与⊙0相切于点A,PA=PB,.设PA=PB=x,则 图1 图2 PC=x+3.在Rt△PAC中，∠A=90°，由勾股定理，得 第7题答图 PA+AC=PC,即x2+92=(x+3)2,解得=12.AP-12. (2)解：如图2，∠CBD=32°，连接BE,CE.由 30.2三角形的内切圆 (1)知∠DAC=∠CBD=32°，∴.∠BAC=2∠CAD=2×32°= 【知识点1】如图所示，点0即为所求 64°，在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-64°=116°，： 点E是△ABC的内心，.CE平分∠ACB,BE平分 ∠ABC,LBCE=LACE=LACB,∠CBE=LABB= ∠ABC,在△BCE中，∠BEC-I80P-∠CBE-∠BCE- 知识点1答图 I80P-7∠ABC2∠ACB=I80-7(LABC+LACB)= 【知识点2】相切三角形三条角平分线 180°-2×1162=12 圆的外切三角形 8.29.4 【例】解：(1)'△ABG的内切圆⊙0与 10.(1)证明：AB为直径，∠ACB=90°，：点 BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,∴点O是 P是△ABC的内心，.∠ACD=∠BCP=45°，∠CBP= △ABC的内心.故答案为内. ∠EBP,.∠ABD=∠ACD=45°，.·∠DPB=∠BCP+ (2)△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB ∠CBP=45°+∠CBP.∠DBP=∠ABD+∠EBP=45°+ 分别相切于点D,E,F,AB=9,BC=14,CA= ∠EBP,.∠DPB=∠DBP,.BD=DP 13,AE=AF,BF=BD,CE=CD,设AF=x,则 (2)解：连接AD,过点B AE=AF=x,..BD=BF=AB-AF=9-x,CD=CE=AC- 作BH⊥CD于点H,如图所示. AE=13-x,.BC=BD+CD=9-x+13-x=14,解得x= AB是直径，∠ABD=45°， 4,.BF=9-x=5 .AB=6V2,△ABD是等腰直 B (3)如图，△ABC的 角三角形，：BD=2AB= 内切圆⊙O与BC,CA,AB 2 分别相切于点D,E,F连 V2x6V2=6.LBCD=45, 接OD,OE,OF,4E 2 第10题答图 AF,BF =BD,CE =CD. BH⊥CD,∴.∠BCH=∠CBH=45°，∴.BH=CH,BC= ∠OFB=∠ODB=90°.设⊙O 例题答图 V2 BH,.BD2=DH2+BH2,:36=(8-BH)2+BIP,.BH= 半径为r,则OD=OF=r,'∠B=∠OFB=∠ODB= 4+V2,.BC>AC,..BC=4V2+2. 90°，∴.四边形ODBF为矩形，又OD=OF,∴.四 11.48 边形ODBF为正方形，BD=BF=T,AE=AF=a 30.3正多边形与圆 r,CE=CD=b-r,.∴AC=AE+CE=a-r+b-r=c,.∴a+ 【知识点1】圆心半径圆心角距离 68直线与圆的位置关系 第三十章 30.2 三角形的内切圆 知识梳理©形成联系 【知识点1】三角形的内切圆的尺规作图 ©尺规作图：在图中找出三角形ABC内切圆的圆心点O.(要 求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法) 【知识点2】三角形的内切圆与内心 ◎与三角形各边都 的圆叫作三角形的内切圆，内切圆 图30.2-1 的圆心是 的交点，叫作三角形的内心，这个三角形叫作 例题点拔Q素养导向 【例】如图，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F. (1)点O是△ABC的 心 (2)如图1，若AB=9,BC=14,CA=13.设AF=x,求BF的值 (3)如图2，若∠B=90°，AB,BC,CA的长分别是a,b,c,则⊙0的半径是 (用含a,b,c的式子表示) 【点拨】(2)根据切线长定理，可得AE=AF,BF=BD,CE=CD,设AF=x,则可表示出 BD和CD的长，根据BC的长为14列出方程，进而计算BF的值；(3)连接OD,OE,OF, 设⊙O的半径为r,需证明四边形ODBF为正方形，进而得到BD=BF=r,可得AE=AF=a-T, CE=CD=b-r,结合AC=AE+CE=c,即可求解. 图2 图30.2-2 149 口数学 九年级上册（人教版） 夯实四基LU达标闯关 -。多 1.如图，点I为△ABC的内心，AB=6,AC=5,BC=4,将∠ACB平移使其顶点与I重 合，则图中阴影部分的周长为() A.3 B.4 C.5 D.6 2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，⊙D是△ABC的内切圆，连接AD,BD, 则∠ADB的度数为() A.120° B.135 C.145° D.150° 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=4,AC=3,则它的内切圆⊙0的半径是() A.1 B.2 C.2.5 D.5 4.如图，⊙O是△ABC的内切圆，分别切AB,BC,AC于点D,E, F,∠B=42°，P是⊙0上一点，则∠DPE的度数是 5.若等边三角形的边长为2，则其内切圆半径为 6.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E, D 第6题图 F,且AB=18,BC=28,CA=26,则AF的长为 7.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D. (1)求证：DE=DB. (2)连接BE,CE.若∠CBD=32°，求∠BEC的度数. 第7题图 @ 直线与圆的位置关系 第三十章 能力提升坤综合拓展 。多 8.如图，⊙O是△ABC的内切圆，分别切BC,AB,AC于点D,E,F,△ABC的周长 为24cm,BC=10cm,则AE= cm. ●0 D 第8题图 第9题图 9.如图，⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，BE的 延长线交⊙O于点F,连接CF若BC=5,CE=VI0,则AC的长为 10.如图，AB为⊙O的直径，△ABC内接于⊙O,BC>AC,点P是△ABC的内心，延长 CP交⊙O于点D,连接BP. (1)求证：BD=PD (2)已知⊙O的半径是3V2,CD=8,求BC的长. D 第10题图 中考链接©真题演练 11.(2025·西宁)如图，四边形ABCD是⊙0的外切四边形，且 AB=9,CD=15,则四边形ABCD的周长为 第11题图