福建南平市2026-2027学年人教版数学九年级上册期中质量监测试题（模拟卷三）

南平市2026—2027学年九年级（上）期中质量监测 数 学 试 题（模拟卷三） （满分：150分　考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．平行四边形 B．正三角形 C．正六边形 D．等腰直角三角形 [答案] C [详解] 平行四边形只是中心对称图形，正三角形、等腰直角三角形只是轴对称图形；正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形．故选 C． 2、一元二次方程 的解是（　　） A．， B．， C． D． [答案] A [详解] 移项得 ，因式分解得 ，所以 ，．注意不能两边同时除以 ，否则会漏掉根 ．故选 A． 3、将抛物线 先向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． [答案] B [详解] 抛物线平移遵循“左加右减、上加下减”，向右平移 个单位得 ，再向下平移 个单位得 ．故选 B． 4、如图，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，点 落在 的延长线上．若 ，则 的度数为（　　） A． B． C． D． [答案] D [详解] 由旋转得 ，，所以 ． 因为点 在 的延长线上，所以 ．故选 D． 5、若反比例函数 的图象位于第二、四象限，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． [答案] B [详解] 反比例函数 的图象位于第二、四象限时 ，所以 ，即 ．故选 B． 6、某同学站在一块面积为 的木板上，木板受到的压强 （单位：）满足 ．当木板面积由 减小到 时，压强（　　） A．由 变为 B．由 变为 C．保持不变 D．由 变为 [答案] A [详解] 当 时 ；当 时 ．所以压强由 变为 ．故选 A． 7、有 人患了流感，经过两轮传染后共有 人患流感．若每轮传染中平均一个人传染 个人，则 的值为（　　） A． B． C． D． [答案] B [详解] 第一轮后共有 人，第二轮后共有 人，所以 ，解得 或 （舍去），．故选 B． 8、如图，点 是反比例函数 图象上一点，过点 作 轴，交 轴于点 ，连接 ．若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． [答案] D [详解] 设 ，则 ，所以 ，． 于是 ，故 ．故选 D． 9、在平面直角坐标系中，点 关于点 对称的点 的坐标是（　　） A． B． C． D． [答案] A [详解] 由对称性知 是线段 的中点，设 ，则 ，，解得 ，，所以 ．故选 A． 10、已知二次函数 ，当 时，函数的最大值为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． [答案] C [详解] 抛物线开口向上，对称轴为直线 ，在区间 上，最大值在离对称轴较远的端点处取得． 因为 ，所以最大值在 处取得，即 ．故选 C． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11、方程 的解是 ________． [答案] ， [详解] 因式分解得 ，所以 ，． 12、已知点 与点 关于原点对称，则 ________． [答案] [详解] 由关于原点对称得 ，，所以 ，，故 ． 13、抛物线 的对称轴是 ________． [答案] 直线 [详解] 对称轴为直线 ． 14、如图，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，若 ，则 的长为 ________． [答案] [详解] 由旋转得 ，，所以 ． 15、如图，点 、 都在反比例函数 的图象上，则 的面积为 ________． [答案] [详解] 把 代入得 ，所以 ；把 代入得 ，即 ． 过 、 分别作 轴的垂线，用割补法可得 ． 16、若抛物线 与 轴有公共点，则 的取值范围是 ________． [答案] [详解] 令 ，由 得 ． 三、计算题：本题共2小题，共16分． 17、解下列方程： （1）；（4分） （2）．（4分） [答案] （1），；（2）， [详解] （1）两边开平方得 ．当 时 ；当 时 ．所以 ，． （2）移项得 ，两边加上 得 ，所以 ，即 ，． 18、先化简，再求值：，其中 是方程 的根，且 ． [答案] [详解] 原式 ． 解方程 得 ，．因为 且 、，所以 ． 当 时，原式 ． 四、解答题：本题共7小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19、如图，在正方形 中，点 在边 上，将 绕点 顺时针旋转 得到 ． （1）求证：；（5分） （2）若 ，，求 的长．（5分） [答案] （1）见解析；（2） [详解] （1）由旋转的性质得 ，且旋转角为 ，所以线段 绕点 顺时针旋转 后与 重合，故 ． 也可这样说明：由全等得 ．设 与 交于点 ，在 中 ，而 （对顶角），所以 ，从而 ，即 ． （2）由旋转得 ．在 中，，所以 ． 20、如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 ， 的顶点 、、． （1）将 向右平移 个单位长度得到 ，画出 ；（4分） （2）将 绕点 顺时针旋转 得到 ，画出 ，并直接写出点 、 的坐标及 的面积．（6分） [答案] （1）如图；（2），，面积为 [详解] （1），，，顺次连接即得 ． （2） 相对 的坐标为 ，顺时针旋转 后为 ，所以 ； 相对 的坐标为 ，旋转后为 ，所以 ． 与 全等， 且 边上的高为 ，所以面积为 ． 21、某果园现有果树 棵，平均每棵产果 ．为提高总产量，果园准备增种一批果树．经测算，每增种 棵果树，平均每棵果树的产量就减少 ．设增种果树 棵（ 为非负整数）． （1）若果园的总产量为 ，求增种的棵数；（5分） （2）增种多少棵时，果园的总产量最大？最大总产量是多少千克？（5分） [答案] （1） 棵或 棵；（2）增种 棵，最大总产量 [详解] （1）增种 棵后，果树总数为 棵，平均每棵产果 ． 依题意得 ，整理得 ，解得 ，． 两个值都符合题意，所以增种 棵或 棵． （2）设总产量为 ，则 ． 因为 ，所以当 时， 取得最大值 ．即增种 棵时总产量最大，最大总产量为 ． 22、如图，某隧道的横截面是抛物线形，隧道宽 ，最高点 离地面 ．以地面 所在直线为 轴、 的中点为原点建立平面直角坐标系． （1）求这条抛物线的函数解析式；（4分） （2）一辆宽 、高 的货车能否从隧道中间通过？请说明理由；（3分） （3）若该隧道要改为双向通行（车宽共需 ），上述货车能否通过？请说明理由．（3分） [答案] （1）；（2）能通过；（3）不能通过 [详解] （1）由题意得抛物线顶点为 ，且经过 、．设 ，把 代入得 ，，所以 ． （2）能通过．理由：货车从中间通过时，车两侧对应 ，此时隧道高 ，故能通过． （3）不能通过．理由：双向通行需车宽共 ，车两侧对应 ，此时隧道高 ，故不能通过． 23、如图，在正方形 中，点 、 分别在边 、 上，且 是等边三角形． （1）求证：；（4分） （2）若正方形 的边长为 ，求 的长；（4分） （3）求 的长．（2分） [答案] （1）见解析；（2）；（3） [详解] （1）因为 是等边三角形，所以 ．又 ，，所以 （HL），故 ． （2）设 ，则 ，． 由 ，，且 ，得 ． 整理得 ，解得 ．因为 ，所以 ． （3）． 24、如图，抛物线 与 轴交于点 、，与 轴交于点 ． （1）求该抛物线的解析式及顶点 的坐标；（3分） （2）求 的面积；（3分） （3）点 是抛物线上一点，若 ，求点 的坐标．（4分） [答案] （1），；（2）；（3） 或 [详解] （1）把 、 代入得 ，解得 ，，所以 ，配方得 ，顶点 ． （2）令 得 ，所以 ．，点 到 的距离为 ，所以 ． （3）设 ，由 得 ，即 ． 当 时，，；当 时，，，无解． 故 或 ． 25、【教材习题呈现】人教版九年级上册第 23 章复习题中有这样一道题：如图 1，点 是等边三角形 内一点，，，．教材提示可以把 绕点 旋转，把分散的线段集中到一个三角形中． （1）【习题解决】将 绕点 逆时针旋转 得到 ，求证： 是等边三角形；（3分） （2）【习题延伸】求 的度数；（4分） （3）【习题拓展】求 的度数．（3分） [答案] （1）见解析；（2）；（3） [详解] （1）由旋转的性质得 ，，所以 是等边三角形． （2）由（1）得 ．由旋转得 ．在 中，，，，满足 ，所以 是直角三角形，． 又 ，所以 ． （3）由旋转得 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 南平市2026—2027学年九年级（上）期中质量监测 数 学 试 题（模拟卷三） （满分：150分　考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．平行四边形 B．正三角形 C．正六边形 D．等腰直角三角形 2、一元二次方程 的解是（　　） A．， B．， C． D． 3、将抛物线 先向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 4、如图，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，点 落在 的延长线上．若 ，则 的度数为（　　） A． B． C． D． 5、若反比例函数 的图象位于第二、四象限，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6、某同学站在一块面积为 的木板上，木板受到的压强 （单位：）满足 ．当木板面积由 减小到 时，压强（　　） A．由 变为 B．由 变为 C．保持不变 D．由 变为 7、有 人患了流感，经过两轮传染后共有 人患流感．若每轮传染中平均一个人传染 个人，则 的值为（　　） A． B． C． D． 8、如图，点 是反比例函数 图象上一点，过点 作 轴，交 轴于点 ，连接 ．若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 9、在平面直角坐标系中，点 关于点 对称的点 的坐标是（　　） A． B． C． D． 10、已知二次函数 ，当 时，函数的最大值为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11、方程 的解是 ________． 12、已知点 与点 关于原点对称，则 ________． 13、抛物线 的对称轴是 ________． 14、如图，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，若 ，则 的长为 ________． 15、如图，点 、 都在反比例函数 的图象上，则 的面积为 ________． 16、若抛物线 与 轴有公共点，则 的取值范围是 ________． 三、计算题：本题共2小题，共16分． 17、解下列方程： （1）；（4分） （2）．（4分） 18、先化简，再求值：，其中 是方程 的根，且 ． 四、解答题：本题共7小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19、如图，在正方形 中，点 在边 上，将 绕点 顺时针旋转 得到 ． （1）求证：；（5分） （2）若 ，，求 的长．（5分） 20、如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 ， 的顶点 、、． （1）将 向右平移 个单位长度得到 ，画出 ；（4分） （2）将 绕点 顺时针旋转 得到 ，画出 ，并直接写出点 、 的坐标及 的面积．（6分） 21、某果园现有果树 棵，平均每棵产果 ．为提高总产量，果园准备增种一批果树．经测算，每增种 棵果树，平均每棵果树的产量就减少 ．设增种果树 棵（ 为非负整数）． （1）若果园的总产量为 ，求增种的棵数；（5分） （2）增种多少棵时，果园的总产量最大？最大总产量是多少千克？（5分） 22、如图，某隧道的横截面是抛物线形，隧道宽 ，最高点 离地面 ．以地面 所在直线为 轴、 的中点为原点建立平面直角坐标系． （1）求这条抛物线的函数解析式；（4分） （2）一辆宽 、高 的货车能否从隧道中间通过？请说明理由；（3分） （3）若该隧道要改为双向通行（车宽共需 ），上述货车能否通过？请说明理由．（3分） 23、如图，在正方形 中，点 、 分别在边 、 上，且 是等边三角形． （1）求证：；（4分） （2）若正方形 的边长为 ，求 的长；（4分） （3）求 的长．（2分） 24、如图，抛物线 与 轴交于点 、，与 轴交于点 ． （1）求该抛物线的解析式及顶点 的坐标；（3分） （2）求 的面积；（3分） （3）点 是抛物线上一点，若 ，求点 的坐标．（4分） 25、【教材习题呈现】人教版九年级上册第 23 章复习题中有这样一道题：如图 1，点 是等边三角形 内一点，，，．教材提示可以把 绕点 旋转，把分散的线段集中到一个三角形中． （1）【习题解决】将 绕点 逆时针旋转 得到 ，求证： 是等边三角形；（3分） （2）【习题延伸】求 的度数；（4分） （3）【习题拓展】求 的度数．（3分） 学科网（北京）股份有限公司 $