福建厦门市2026-2027学年人教版数学九年级上册期中模拟卷（一）

2026-2027学年九年级上学期数学期中模拟卷（一） 考试范围：一元二次方程、二次函数、旋转、反比例函数（人教版九上第二十一、二十二、二十三、二十四章核心内容）；满分150分，建议用时120分钟 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用 2B 铅笔涂在答题卡相对应的位置上． 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A. ax²+bx+c=0　　　　B. x²+3x=x(x−3) C. +x=3　　　　D. (x+2)(x−2)=3−x² 【答案】D ∵ A 中二次项系数 a 可能为 0，不一定是一元二次方程； B 化简得 6x=0，是一元一次方程； C 是分式方程，不是整式方程； D 化简得 2x²−7=0，符合一元二次方程的定义； ∴ 选 D． 【知识点】一元二次方程的概念 2. 抛物线 y=(x+2)²−3 的顶点坐标是（　　） A. (2,−3)　　　　B. (−2,3) C. (−2,−3)　　　　D. (2,3) 【答案】C ∵ 抛物线 y=(x+2)²−3 是顶点式， ∴ 顶点坐标为 (−2,−3)； ∴ 选 C． 【知识点】二次函数 y=a(x−h)²+k 的图象与性质 3. 已知 △AOB 绕点 O 旋转得到 △COD，∠AOB=40°，∠B=90°，则下列说法正确的是（　　） A. OA=OC，OB=OD　　　　B. 旋转角一定等于 40° C. OC=OD　　　　D. 旋转前后的两个三角形不全等 【答案】A ∵ △AOB 绕点 O 旋转得到 △COD，A 与 C、B 与 D 是对应点； ∴ OA=OC，OB=OD，A 正确； 旋转角是对应点与旋转中心连线所成的角 ∠AOC（或 ∠BOD），其大小与 ∠AOB=40° 无必然联系，B 错误； OC 与 OD 不是对应边，仅当 OA=OB 时才有 OC=OD，C 错误； 旋转前后的图形全等，D 错误； ∴ 选 A． 【知识点】旋转的性质 4. 将抛物线 y=3x²−2 先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，所得抛物线的解析式为（　　） A. y=3(x+2)²−5　　　　B. y=3(x−2)²−5 C. y=3(x+2)²+1　　　　D. y=3(x−2)²+1 【答案】A ∵ y=3x²−2 向左平移 2 个单位得 y=3(x+2)²−2， 再向下平移 3 个单位得 y=3(x+2)²−5； ∴ 选 A． 【知识点】二次函数图象的平移 5. 下列说法正确的是（　　） A. 旋转中心一定在图形的内部　　　　B. 对应点与旋转中心连线的夹角不一定等于旋转角 C. 中心对称图形的对称点连线必经过对称中心且被对称中心平分　　　　D. 旋转角一定等于 60° 【答案】C ∵ 旋转中心可以在图形内部、外部或边上，A 错误； 对应点与旋转中心连线的夹角一定等于旋转角，B 错误； 中心对称图形上每一对对称点的连线都经过对称中心且被对称中心平分，C 正确； 旋转角由具体的旋转确定，不一定等于 60°，D 错误； ∴ 选 C． 【知识点】旋转与中心对称的性质 6. 如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=4，BC=3，将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 90° 得到 △AB′C′，连接 CC′，则 CC′ 的长为（　　） A. 5　　　　B. 5 C. 6　　　　D. 2 【答案】B ∵ ∠B=90°，AB=4，BC=3，∴ AC==5， ∵ 旋转，∴ AC=AC′=5，∠CAC′=旋转角=90°， ∴ △ACC′ 是等腰直角三角形， ∴ CC′===5， ∴ 选 B． 【知识点】旋转的性质；勾股定理 7. 某校排球赛中，一同学在发球线 O 处将排球竖直垫起后向对方场地击出，排球离手后的飞行路线可近似看作抛物线 y=−(x−6)²+5（单位：m，x 为水平距离，y 为高度）。已知球网 B 位于发球线正前方 9m 处，网高 3m，对方场地边界 N 距发球线 14m。下列判断正确的是（　　） A. 排球离手时高度为 3m　　　　B. 排球最高飞到 5m 处 C. 排球飞到球网正上方时高度为 4m　　　　D. 排球落在对方场地边界之外 【答案】B ∵ 当 x=0 时 y=−×36+5=2，即离手高度为 2m，A 错误； 顶点坐标为 (6,5)，排球最高飞到 5m 处，B 正确； 当 x=9 时，y=−×9+5==4.25≠4，C 错误； 令 y=0，得 (x−6)²=60，x=6+2≈13.75<14，排球落在边界之内，D 错误； ∴ 选 B． 【知识点】二次函数的实际应用 8. 如图，在四边形 ABEC 中，AB=AC=4，AD=AE=2，且 ∠BAC=∠DAE=90°，连接 BD、CE、BE、DC．下列结论：①BE=DC；②BE⊥DC；③线段 BE 长度的最小值为 2；④线段 BD 与 CE 的长度之和的最小值为 8．其中正确结论的序号是（　　） A. ①②③　　　　B. ①②④ C. ①③④　　　　D. ①②③④ 【答案】D ∵ ∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°+∠CAE，∠CAD=∠DAE+∠CAE=90°+∠CAE， ∴ ∠BAE=∠CAD，且 AB=AC、AE=AD， ∴ △ABE≌△ACD（SAS），∴ BE=DC，① 正确； ∵ △ACD 由 △ABE 绕点 A 旋转得到（B→C，E→D，旋转角为 90°）， ∴ 对应线段 BE 与 DC 的夹角等于旋转角 90°，即 BE⊥DC，② 正确； ∵ AE=2，∴ 点 E 在以 A 为圆心、2 为半径的圆上， ∵ AB=4，∴ BE 的最小值为 4−2=2，③ 正确； 将 CE 的两端同时绕点 A 旋转：C 旋转 −90° 得 B′（B′ 为 B 关于点 A 的对称点），E 旋转 −90° 得回 D， ∴ CE=B′D， ∴ BD+CE=BD+DB′≥BB′=8，当 D 落在线段 BB′ 上时取等号， ∴ BD+CE 的最小值为 8，④ 正确； ∴ 正确结论的序号是 ①②③④，选 D． 【知识点】旋转的全等模型（手拉手模型）、旋转的性质、圆的最值 二、填空题：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分．请把答案直接填写在答题卡相对应的位置上． 9. 若关于 x 的一元二次方程 (m−2)x²+4x−1=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是＿＿＿＿． 【答案】m>−2 且 m≠2 ∵ 方程 (m−2)x²+4x−1=0 有两个不相等的实数根， ∴ m−2≠0，且 Δ=4²−4(m−2)×(−1)>0， ∴ 16+4m−8>0，即 m>−2， ∴ m 的取值范围是 m>−2 且 m≠2． 【知识点】一元二次方程根的判别式 10. 已知抛物线 y=x²+bx+c 的部分图象如图所示（图象与 x 轴的一个交点为 (−2,0)，与 y 轴交于 (0,−2)，对称轴为直线 x=−），则方程 x²+bx+c=0 的解是＿＿＿＿． 【答案】x₁=−2，x₂=1 ∵ 图象与 x 轴的一个交点为 (−2,0)，对称轴为直线 x=−， ∴ 由对称性，另一交点为 (1,0)， ∴ 方程 x²+bx+c=0 的解为 x₁=−2，x₂=1． 【知识点】抛物线的对称性 11. 用配方法解方程 x²+4x=3 时，配方后得到的方程为＿＿＿＿． 【答案】(x+2)²=7 ∵ x²+4x=3， ∴ x²+4x+4=7， ∴ (x+2)²=7． 【知识点】配方法 12. 若点 A(−2,y₁)、B(,y₂)、C(3,y₃) 在抛物线 y=(x−1)²+k 上，则 y₁、y₂、y₃ 的大小关系为＿＿＿＿（用“>”连接）． 【答案】y₁>y₃>y₂ ∵ 抛物线 y=(x−1)²+k 的对称轴为直线 x=1，开口向上， 三个点的横坐标到对称轴的距离分别为 3、、2， ∵ 距对称轴越远函数值越大，3>2>， ∴ y₁>y₃>y₂． 【知识点】二次函数图象上点的坐标特征 13. 某四叶风车绕中心旋转，旋转一轮后恰与自身重合，则每次旋转的角度至少为＿＿＿＿度；钟面上 3:30 时，时针与分针的夹角为＿＿＿＿度． 【答案】90；75 ∵ 风车有 4 个叶片均匀分布，一周 360° 平分为 4 份，每份 90°，∴ 至少旋转 90° 与自身重合； 3:30 时，分针指向 6，时针从 3 转过 30×0.5°=15°， ∴ 夹角为 180°−90°−15°=75°． 【知识点】旋转角；钟面角 14. 如图，点 A 在反比例函数 y=（k≠0）第二象限的图象上，AB⊥x 轴，垂足为 B，且 △OAB 的面积为 2，则 k 的值为＿＿＿＿． 【答案】−4 ∵ S△OAB=|k|=2， ∴ |k|=4， ∵ 图象在第二象限，k<0， ∴ k=−4． 【知识点】反比例函数 k 的几何意义 15. 如图，已知二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与 x 轴交于点 A(−1,0)，与 y 轴的交点 B 在 (0,−2) 和 (0,−1) 之间（不包括这两点），对称轴为直线 x=1．下列结论：①abc>0；②4a+2b+c<0；③4ac−b²<−4a；④<a<．其中正确结论的序号是＿＿＿＿． 【答案】①②③④ ∵ 图象开口向上，∴ a>0；对称轴 x=−=1，∴ b=−2a<0； 交点 B 在 (0,−2) 与 (0,−1) 之间，∴ −2<c<−1<0，∴ abc>0，① 正确； ∵ 抛物线与 x 轴的一个交点为 A(−1,0)，对称轴为直线 x=1， ∵ 抛物线与 x 轴的另一交点为 (3,0)，且开口向上，x=2 时图象在 x 轴下方， ∴ y=4a+2b+c<0，② 正确； ∵ 顶点纵坐标 =c−a，且 c<−1、a>0，∴ c−a<−1， ∴ 4ac−b²<−4a，③ 正确； ∵ y=a(x+1)(x−3)，∴ c=−3a，由 −2<−3a<−1 得 <a<，④ 正确； ∴ 正确结论的序号是 ①②③④． 【知识点】二次函数图象与系数的关系 16. 已知二次函数 y=ax²+bx−6（a>0）的图象与 x 轴交于点 A(n,0)，顶点为 D(m,t)，且 m+n=0，则 t=＿＿＿＿． 【答案】−8 ∵ 顶点横坐标 m=−，点 A(n,0) 是图象与 x 轴的一个交点， 由对称性，另一交点的横坐标为 2m−n， ∴ n·(2m−n)=，n+(2m−n)=−； ∵ m+n=0，∴ n=−m，代入得另一根为 3m，−3m²=，即 am²=2； ∵ b=−2am，∴ 顶点纵坐标 t=am²+bm−6=am²−2am²−6=−am²−6=−8． 【知识点】二次函数的顶点、对称性与韦达定理 三、解答题：本大题共 11 小题，共 86 分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明．作图（包括添加辅助线）时请用 2B 铅笔或黑色墨水签字笔． 17. 解方程：（6分） （1）x²+4x−2=0；（2）(x−3)(x+2)=4x−12． （1） ∵ x²+4x−2=0， ∴ x²+4x+4=2+4，即 (x+2)²=6， ∴ x+2=±， ∴ x₁=−2+，x₂=−2−． （2） ∵ (x−3)(x+2)=4x−12， ∴ (x−3)(x+2)−4(x−3)=0， ∴ (x−3)(x+2−4)=0，即 (x−3)(x−2)=0， ∴ x₁=3，x₂=2． 18. 已知关于 x 的一元二次方程 x²+2mx+m²−1=0（6分） （1）求证：无论 m 取何值，这个方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为 3，求 m 的值． （1）证明： ∵ Δ=(2m)²−4×1×(m²−1)， ∴ Δ=4m²−4m²+4=4>0， ∴ 无论 m 取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2） ∵ x=3 是方程的根， ∴ 9+6m+m²−1=0，即 m²+6m+8=0， ∴ (m+2)(m+4)=0， ∴ m₁=−2，m₂=−4． 19. 已知关于 x 的一元二次方程 x²−2(m−1)x+m²=0 有实数根（6分） （1）求 m 的取值范围； （2）设方程的两个实数根为 x₁、x₂，若 x₁²+x₂²=8−3x₁x₂，求 m 的值． （1） ∵ 方程有实数根， ∴ Δ=4(m−1)²−4m²≥0， ∴ 4m²−8m+4−4m²≥0，即 m≤， ∴ m 的取值范围是 m≤． （2） ∵ x₁+x₂=2(m−1)，x₁x₂=m²， ∴ x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²−2x₁x₂， ∴ [2(m−1)]²−2m²=8−3m²， ∴ 4m²−8m+4−2m²=8−3m²， ∴ 5m²−8m−4=0， ∴ (5m+2)(m−2)=0， ∴ m₁=−，m₂=2， ∵ m≤，∴ m=2 舍去， ∴ m=−． 20. 一个两位数，十位数字与个位数字之和是 11，如果把十位数字与个位数字对调，所得新数比原数大 27，求这个两位数（6分）． 设十位数字为 a，个位数字为 b（a、b 为 0～9 的整数，a≠0）， ∵ a+b=11，且对调后新数比原数大 27， ∴ (10b+a)−(10a+b)=27， ∴ 9b−9a=27，即 b−a=3， ∴ a=4，b=7， ∴ 这个两位数是 47． 检验：4+7=11，74−47=27，符合题意． 21. 如图，一个摩天轮的半径为 20m，轮心 O 离地面的高度为 22m，吊舱 A 从最低点出发，沿逆时针方向匀速转动（8分） （1）当吊舱 A 转过 120° 到达 A′ 时，求此时吊舱离地面的高度； （2）当吊舱 A 转过多少度时，吊舱离地面的高度首次达到 12m？ （1） ∵ 连接 OA′（O 为轮心），∠AOA′=120°（A 为最低点，A′ 为转过 120° 后的位置）， 过点 O 作水平线 MN∥地面，过点 A′ 作 A′H⊥MN 于 H， ∵ 吊舱从最低点转过 120°，∴ OA′ 与水平线 MN 的夹角 ∠A′OH=120°−90°=30°， ∴ 在 Rt△OA′H 中，∠OA′H=60°，A′H（30° 角所对的直角边）=OA′=×20=10m， ∴ 吊舱 A′ 离地面的高度 = 22+10=32m． （2） 当吊舱离地 12m 时，吊舱在轮心 O 下方，到水平线 MN 的距离为 22−12=10m， 过该位置点 A″ 作 A″H′⊥MN 于 H′，则 A″H′=10m， ∵ OA″=20m，∴ A″H′=OA″， ∴ 在 Rt△OA″H′ 中，∠A″OH′=30°（30° 角所对的直角边是斜边的一半）， ∴ 从最低点转过 90°−30°=60° 时吊舱首次到达该位置， ∴ 吊舱转过 60° 时离地高度首次达到 12m． 22. 我们规定：若一个函数图象上存在横、纵坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“反点”．例如：点 (1,−1) 是函数 y=x−2 图象的反点（8分） （1）若二次函数 y=ax²−5x+a−3 的图象有且只有一个“反点”，求 a 的值； （2）若二次函数 y=(a−1)x²+bx+3 的图象对任意的实数 b 都有两个“反点”，直接写出 a 的取值范围． （1） “反点”的横、纵坐标互为相反数，设反点为 (t,−t)， ∴ −t=a t²−5t+a−3，即 a t²−4t+a−3=0， 若 a=0，则 −4t−3=0，只有一个解，但此时函数不是二次函数，舍去； ∵ 图象有且只有一个“反点”，∴ 关于 t 的方程 a t²−4t+a−3=0 有且只有一个实数根， ∴ Δ=16−4a(a−3)=0，即 a²−3a−4=0， ∴ (a−4)(a+1)=0， ∴ a=4 或 a=−1，且均满足 a≠0， ∴ a 的值为 4 或 −1． （2） “反点”(t,−t) 满足 (a−1)t²+(b+1)t+3=0， ∵ a−1≠0，对任意 b 有两个不相等的实数根， ∴ Δ(b)=(b+1)²−12(a−1)>0 对任意 b 恒成立， ∵ (b+1)²≥0，当 b=−1 时取最小值 0， ∴ Δ(b) 的最小值为 −12(a−1)， ∴ −12(a−1)>0，即 a<1， ∴ a 的取值范围是 a<1． 【知识点】新定义函数；一元二次方程判别式 23. 如图，反比例函数 y=（x>0）的图象与一次函数 y=−x+5 的图象交于 A、B 两点，其中点 A(1,4)（8分） （1）求反比例函数的解析式及点 B 的坐标； （2）求 △AOB 的面积． （1） ∵ 点 A(1,4) 在 y= 上， ∴ k=1×4=4， ∴ 反比例函数的解析式为 y=； ∵ 点 B 在 y= 与 y=−x+5 的图象上， ∴ =−x+5，即 x²−5x+4=0， ∴ x₁=1（舍），x₂=4， ∴ B(4,1)． （2） 设直线 AB：y=−x+5 交 y 轴于点 C(0,5)， ∵ A、B 两点在 y 轴同侧，∴ S△AOB=S△BOC−S△AOC， S△AOC=×OC×|x_A|=×5×1=， S△BOC=×OC×|x_B|=×5×4=10， ∴ S△AOB=10−=． 【知识点】反比例与一次函数综合 24. 如图，抛物线 y=x²−2x−3 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C（8分） （1）当 0≤x≤4 时，求 y 的取值范围； （2）点 M 是 BC 下方抛物线上一动点，连接 MA、MC，求四边形 ABCM 面积的最大值． （1） 令 y=0，得 x²−2x−3=0，∴ A(−1,0)、B(3,0)，C(0,−3)； ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线 x=1， ∴ 当 0≤x≤4 时，最小值 y(1)=1−2−3=−4， 最大值在离对称轴较远的端点 x=4 处：y(4)=16−8−3=5， ∴ y 的取值范围是 −4≤y≤5． （2） S四边形ABCM=S△ABC+S△BCM， S△ABC=×AB×|y_C|=×4×3=6， 直线 BC：y=x−3；设 M(t, t²−2t−3)（0<t<3），过 M 作 MN∥y 轴交 BC 于点 N， 则 N(t, t−3)，∴ MN=(t−3)−(t²−2t−3)=−t²+3t， ∴ S△BCM=·MN·OB=·MN·3=(−t²+3t)， ∵ −t²+3t=−(t−)²+≤，当 t= 时取等号，此时 MN 最长， ∴ S△BCM 最大 =×=， ∴ S四边形ABCM 最大 =6+=， 此时 M(, −)． 【知识点】铅垂法求面积最值 25. 某农户准备利用一段长 3m 的墙 AB 围建一个“日”字形农场（如图1、图2），农场由两个相邻的全等矩形组成，中间用一道隔栏隔开，水平栏与竖栏均用篱笆，篱笆总长 15m（8分） （1）如图 1，农场一侧 DB 恰好靠在墙 AB 上（不使用篱笆），三条水平篱笆 DE、隔栏、BF 与竖直篱笆 EF 构成矩形 DBEF：①设水平边 DE=x m，用含 x 的代数式表示竖直边 EF 的长；②若农场的面积为 12m²，求 DE 的长； （2）如图 2，农场改为点 D 在 BA 的延长线上，矩形 DBEF 的两条竖直边 AB、EF 均需用篱笆，墙 AB 只能代替竖直边 DB 中靠墙的 3m，当农场面积最大时，直接写出水平边 DE 的长与最大面积． （1）① ∵ 篱笆由三条水平边 DE、隔栏、BF 及一条竖直边 EF 组成，DE=BF=x， ∴ 3x+EF=15， ∴ EF=15−3x（0<x<5，且 EF≤3）． （1）② ∵ 农场面积 S=x(15−3x)=12， ∴ x²−5x+4=0， ∴ x₁=4，x₂=1， ∵ EF=15−3x≤3，∴ x≥4，∴ x=1 舍去， ∴ DE=4m（此时 EF=3m）． （2） ∵ 点 D 在 BA 的延长线上，墙 AB 恰好代替竖直边 DB 中靠下端的 3m，∴ 竖直边需用篱笆 (DB−3)+EF， 设竖直边 DB=EF=x m，则三条水平边之和为 15−2(x−3)−x=15−2x+3， ∴ DE=， ∴ S=x·=−x²+6x， ∵ 对称轴 x=，开口向下， ∴ 当 x= 时，S 最大，此时 DE==3m， ∴ 最大面积 S=m²． 【知识点】二次函数的实际应用 26. 某科技小组做“气体压强与体积”实验：在温度不变时，一定质量气体的压强 p（kPa）与体积 V（m³）满足反比例函数关系，实验数据如下表（10分）： V（m³） 0.5 1 1.5 2 p（kPa） 1200 600 400 300 （1）求 p 关于 V 的函数解析式，并画出它的图象； （2）为保证安全，气球内气体的压强不得超过 480kPa，求此时气球的体积 V 至少为多少； （3）若用打气筒从 V=0.5m³ 开始给气球充气，每打一次气，体积增加 0.5m³，要使压强首次低于 300kPa，至少需要打几次气？此时气球内气体的压强是多少？ （1） ∵ p 与 V 满足反比例函数关系，设 p=（k≠0）， 把 (1,600) 代入，得 k=600， ∴ p=（V>0）； 图象：描出点 (0.5,1200)、(1,600)、(1.5,400)、(2,300)，用平滑曲线连接双曲线在第一象限的一支． （2） ∵ 压强不得超过 480kPa， ∴ ≤480， ∴ V≥=， ∴ 气球的体积 V 至少为 m³（即 1.25m³）． （3） 设打 n 次气，则 V=(0.5+0.5n)m³， ∵ 要使压强首次低于 300kPa， ∴ <300，即 V>2， ∴ 0.5+0.5n>2，解得 n>3， ∵ n 为正整数，∴ n 最小为 4， 此时 V=2.5m³，p==240kPa， ∴ 至少需要打 4 次气，此时气球内气体的压强是 240kPa． 【知识点】反比例函数的实际应用 27. 如图，抛物线 y=ax²+bx+3（a<0）与 x 轴交于 A(1,0)、B(−3,0) 两点，与 y 轴交于点 C（12分） （1）求抛物线的解析式； （2）过点 C 作 x 轴的平行线交抛物线于点 D： ①点 E 在抛物线的对称轴上，且 ∠DEB=90°，求点 E 的坐标； ②点 P 是抛物线上一动点，直线 DP 与 y 轴交于点 E，若 ∠BDP=45°，求点 P 的坐标． （1） ∵ 抛物线过 A(1,0)、B(−3,0)， ∴ a+b+3=0，9a−3b+3=0， ∴ a=−1，b=−2， ∴ 抛物线的解析式为 y=−x²−2x+3； C(0,3)，对称轴为直线 x=−1，令 y=3：−x²−2x+3=3，解得 x=0 或 x=−2， ∴ D(−2,3)． （2）① 设 E(−1,e)， ∵ ∠DEB=90°，∴ ED⊥EB， ∴ (D−E)·(B−E)=0，即 (−1)×(−2)+(3−e)×(−e)=0， ∴ e²−3e+2=0， ∴ e₁=1，e₂=2， ∴ 点 E 的坐标为 (−1,1) 或 (−1,2)． （2）② ∵ P 在抛物线上且 P≠D，直线 DP 与 y 轴交于 E， 在直线 DP 上取点 M，连接 BM，使得 △BDM 为等腰直角三角形（∠BMD=90°，MD=MB），此时 ∠MDB=45°=∠BDP， 过 M 作 MH⊥x 轴于 H，过 D 作 DG⊥MH 于 G，得一线三垂直模型， ∵ △BDM 是等腰直角三角形，∴ ∠DMG=∠MBH，∠DGM=∠MHB=90°，MD=MB， ∴ △DGM≌△MHB（AAS），∴ DG=MH，GM=HB， 设 M(m,n)（m>−2，n<3），则 DG=m+2，GM=3−n，HB=m+3，MH=n， 由 m+2=n 且 3−n=m+3，解得 m=−1，n=1，∴ M(−1,1)， ∵ D(−2,3)、M(−1,1)，∴ 直线 DM 的斜率为 =−2， ∴ 直线 DP：y=−2x−1， 令 −2x−1=−x²−2x+3，解得 x=−2（即 D）或 x=2， ∴ P(2,−5)（此时 E(0,−1)）， ∴ 点 P 的坐标为 (2,−5)． 【知识点】二次函数与角度综合；一线三垂直模型 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建厦门2026-2027学年九年级上学期数学期中模拟卷（一） 考试范围：一元二次方程、二次函数、旋转、反比例函数（人教版九上第二十一、二十二、二十三、二十四章核心内容）；满分150分，建议用时120分钟 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用 2B 铅笔涂在答题卡相对应的位置上． 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A. ax²+bx+c=0　　　　B. x²+3x=x(x−3) C. +x=3　　　　D. (x+2)(x−2)=3−x² 2. 抛物线 y=(x+2)²−3 的顶点坐标是（　　） A. (2,−3)　　　　B. (−2,3) C. (−2,−3)　　　　D. (2,3) 3. 已知 △AOB 绕点 O 旋转得到 △COD，∠AOB=40°，∠B=90°，则下列说法正确的是（　　） A. OA=OC，OB=OD　　　　B. 旋转角一定等于 40° C. OC=OD　　　　D. 旋转前后的两个三角形不全等 4. 将抛物线 y=3x²−2 先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，所得抛物线的解析式为（　　） A. y=3(x+2)²−5　　　　B. y=3(x−2)²−5 C. y=3(x+2)²+1　　　　D. y=3(x−2)²+1 5. 下列说法正确的是（　　） A. 旋转中心一定在图形的内部　　　　B. 对应点与旋转中心连线的夹角不一定等于旋转角 C. 中心对称图形的对称点连线必经过对称中心且被对称中心平分　　　　D. 旋转角一定等于 60° 6. 如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=4，BC=3，将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 90° 得到 △AB′C′，连接 CC′，则 CC′ 的长为（　　） A. 5　　　　 B. 5 C. 6　　　 　D. 2 7. 某校排球赛中，一同学在发球线 O 处将排球竖直垫起后向对方场地击出，排球离手后的飞行路线可近似看作抛物线 y=−(x−6)²+5（单位：m，x 为水平距离，y 为高度）。已知球网 B 位于发球线正前方 9m 处，网高 3m，对方场地边界 N 距发球线 14m。下列判断正确的是（　　） A. 排球离手时高度为 3m　　　　B. 排球最高飞到 5m 处 C. 排球飞到球网正上方时高度为 4m　　　　D. 排球落在对方场地边界之外 8. 如图，在四边形 ABEC 中，AB=AC=4，AD=AE=2，且 ∠BAC=∠DAE=90°，连接 BD、CE、BE、DC．下列结论：①BE=DC；②BE⊥DC；③线段 BE 长度的最小值为 2；④线段 BD 与 CE 的长度之和的最小值为 8．其中正确结论的序号是（　　） A. ①②③　　　　B. ①②④ C. ①③④　　　　D. ①②③④ 二、填空题：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分．请把答案直接填写在答题卡相对应的位置上． 9. 若关于 x 的一元二次方程 (m−2)x²+4x−1=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是＿＿＿＿． 10. 已知抛物线 y=x²+bx+c 的部分图象如图所示（图象与 x 轴的一个交点为 (−2,0)，与 y 轴交于 (0,−2)，对称轴为直线 x=−），则方程 x²+bx+c=0 的解是＿＿＿＿． 11. 用配方法解方程 x²+4x=3 时，配方后得到的方程为＿＿＿＿． 12. 若点 A(−2,y₁)、B(,y₂)、C(3,y₃) 在抛物线 y=(x−1)²+k 上，则 y₁、y₂、y₃ 的大小关系为＿＿＿＿（用“>”连接）． 13. 某四叶风车绕中心旋转，旋转一轮后恰与自身重合，则每次旋转的角度至少为＿＿＿＿度；钟面上 3:30 时，时针与分针的夹角为＿＿＿＿度． 14. 如图，点 A 在反比例函数 y=（k≠0）第二象限的图象上，AB⊥x 轴，垂足为 B，且 △OAB 的面积为 2，则 k 的值为＿＿＿＿． 15. 如图，已知二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与 x 轴交于点 A(−1,0)，与 y 轴的交点 B 在 (0,−2) 和 (0,−1) 之间（不包括这两点），对称轴为直线 x=1．下列结论：①abc>0；②4a+2b+c<0；③4ac−b²<−4a；④<a<．其中正确结论的序号是＿＿＿＿． 16. 已知二次函数 y=ax²+bx−6（a>0）的图象与 x 轴交于点 A(n,0)，顶点为 D(m,t)，且 m+n=0，则 t=＿＿＿＿． 三、解答题：本大题共 11 小题，共 86 分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明．作图（包括添加辅助线）时请用 2B 铅笔或黑色墨水签字笔． 17. 解方程：（6分） （1）x²+4x−2=0； （2）(x−3)(x+2)=4x−12． 18. 已知关于 x 的一元二次方程 x²+2mx+m²−1=0（6分） （1）求证：无论 m 取何值，这个方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为 3，求 m 的值． 19. 已知关于 x 的一元二次方程 x²−2(m−1)x+m²=0 有实数根（6分） （1）求 m 的取值范围； （2）设方程的两个实数根为 x₁、x₂，若 x₁²+x₂²=8−3x₁x₂，求 m 的值． 20. 一个两位数，十位数字与个位数字之和是 11，如果把十位数字与个位数字对调，所得新数比原数大 27，求这个两位数（6分）． 21. 如图，一个摩天轮的半径为 20m，轮心 O 离地面的高度为 22m，吊舱 A 从最低点出发，沿逆时针方向匀速转动（8分） （1）当吊舱 A 转过 120° 到达 A′ 时，求此时吊舱离地面的高度； （2）当吊舱 A 转过多少度时，吊舱离地面的高度首次达到 12m？ 22. 我们规定：若一个函数图象上存在横、纵坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“反点”．例如：点 (1,−1) 是函数 y=x−2 图象的反点（8分） （1）若二次函数 y=ax²−5x+a−3 的图象有且只有一个“反点”，求 a 的值； （2）若二次函数 y=(a−1)x²+bx+3 的图象对任意的实数 b 都有两个“反点”，直接写出 a 的取值范围． 23. 如图，反比例函数 y=（x>0）的图象与一次函数 y=−x+5 的图象交于 A、B 两点，其中点 A(1,4)（8分） （1）求反比例函数的解析式及点 B 的坐标； （2）求 △AOB 的面积． 24. 如图，抛物线 y=x²−2x−3 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C（8分） （1）当 0≤x≤4 时，求 y 的取值范围； （2）点 M 是 BC 下方抛物线上一动点，连接 MA、MC，求四边形 ABCM 面积的最大值． 25. 某农户准备利用一段长 3m 的墙 AB 围建一个“日”字形农场（如图1、图2），农场由两个相邻的全等矩形组成，中间用一道隔栏隔开，水平栏与竖栏均用篱笆，篱笆总长 15m（8分） （1）如图 1，农场一侧 DB 恰好靠在墙 AB 上（不使用篱笆），三条水平篱笆 DE、隔栏、BF 与竖直篱笆 EF 构成矩形 DBEF：①设水平边 DE=x m，用含 x 的代数式表示竖直边 EF 的长；②若农场的面积为 12m²，求 DE 的长； （2）如图 2，农场改为点 D 在 BA 的延长线上，矩形 DBEF 的两条竖直边 DB、EF 均需用篱笆，墙 AB 只能代替竖直边 DB 中靠墙的 3m，当农场面积最大时，直接写出水平边 DE 的长与最大面积． 26. 某科技小组做“气体压强与体积”实验：在温度不变时，一定质量气体的压强 p（kPa）与体积 V（m³）满足反比例函数关系，实验数据如下表（10分）： V（m³） 0.5 1 1.5 2 p（kPa） 1200 600 400 300 （1）求 p 关于 V 的函数解析式，并画出它的图象； （2）为保证安全，气球内气体的压强不得超过 480kPa，求此时气球的体积 V 至少为多少； （3）若用打气筒从 V=0.5m³ 开始给气球充气，每打一次气，体积增加 0.5m³，要使压强首次低于 300kPa，至少需要打几次气？此时气球内气体的压强是多少？ 27. 如图，抛物线 y=ax²+bx+3（a<0）与 x 轴交于 A(1,0)、B(−3,0) 两点，与 y 轴交于点 C（12分） （1）求抛物线的解析式； （2）过点 C 作 x 轴的平行线交抛物线于点 D： ①点 E 在抛物线的对称轴上，且 ∠DEB=90°，求点 E 的坐标； ②点 P 是抛物线上一动点，直线 DP 与 y 轴交于点 E，若 ∠BDP=45°，求点 P 的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $