湖南长沙市长郡中学2026-2027学年高三上学期月考(三)数学试卷

高三数学三 命题人、审题人：高三数学备课组 本试卷共6页。时量120分钟。满分150分。 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1.已知集合A={xx2-2x-3<0},B={一2，一1,0,1}，则A∩B= A.{0,1} B.{-1,0,1》 C.{-2,-1,0} D.{-2,-1,0,1}》 说 2若x一3y=2,则2+。的最小值为 圜 A.2 B.4 C.2√2 D.8 如 3已知mGR,则9<m<7”是“曲线二g十7产n=1表示椭圆的 A.充分不必要条件 B.充要条件 製 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 区 4.已知M为△ABC所在平面内的一点，A=号A店，C它-3E成，则A忘- 都 闻 茶 常 艇 A号Ai+号AG B.7AB+IAC C号A+Ad D.3AB+TAC 5.函数f()=ln2兰z十2x+(z-1)图象的对称中心为 A.(0,0) B.(1,0) C.(1,2) D.(0,1) 6.(★)已知函数f(x)=Asin(awx十p)的部分图象如图所示，其中A>0,w>0, 一受<<0.在已知受的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为 1 A.w B.9 C. D.Asin o 数学试题(27N)第1页（共6页） 7.(★)水平桌面上放置了4个半径为4的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相 切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为 A.8 B.12 C.4√2+4 D.43+4 8.设1≤a1≤a2≤…≤a7,其中a1,a3,a5,a7成公比为g的等比数列，a2,a4,a6成公差为1的等差数 列，则g的最小值是 A.√2 B.√3 C.3 D.4 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.(★)设正项数列{an}的前n项和是Sn,且a1=1,a3=20,下列选项中正确的有 A若{am}是等比数列，则a5=40 B.若{an}是等差数列，则S5=100 C.若{Sn}是等比数列，则S2=5 D.若{Sn}是等差数列，则a2=20 10.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A心=2BC.CA,且c=2√3，则 A.b=2acos C B.2b=c2-a2 C.角B的最大值为 D.当角B取最大值时，此时△ABC的面积为2√3 11.定义在(0，十o∞)上的函数f(x)的导函数为f(x),若对于任意正实数x,都有x2f(x)十x3f(x) =nx,且fe)=是，则 A.函数F(x)=xf(x)的极小值点为x=1 B.曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线方程为y=】 C.函数y=f(x)在x=e处取得极大值 D.函数y=f(x)在(0，十∞)上无极值 选择题答题卡 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分 答案 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.复数之=1+i,则z4= 13.(★)已知二面角a-AB-B的大小为于，OEAB,P∈a,且∠POA=否，Q为3内异于O的任意- 点，则sin∠POQ的最小值为 数学试题(27N)第2页（共6页） 14.已知等差数列{a}的公差为，若集合A={xx=cosa,n∈N}={a,,则m = 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,acos(A一B)=√3 bsin A-一acos C. (1)求角A; (2)点D是BC的中点，延长AD至点E,连接BE,CE,a=2√3，AD=2DE,求△BEC面积的取 值范围 数学试题(27N)第3页（共6页） 16.(本小题满分15分) 已知一个不透明盒子中有3个红球、7个白球，这些球除颜色不同外，其大小形状完全相同，每次 随机依次抽取出一球. (1)若有放回抽取，取到白球即停止，求取球次数为3次的概率； (2)若无放回抽取，记最后一个白球被取出时总共取出球的个数为X,求X的数学期望. 17.(★)（本小题满分15分） 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=√3. D>- (1)若AD⊥PB,证明：AD∥平面PBC; (2)若ADLDC,且二面角A-CP-D的正弦值为，求AD, 数学试题(27N)第4页（共6页） 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=ax-1,g(x)=lnx-1(a∈R). (1)设函数F(x)=f(x)一g(x),若在定义域内F(x)>0恒成立，求a的取值范围. (2)当a=1时，令h(x)=f(x)·g(x). (ⅰ)求h(x)在x=1处的切线方程； (1)方程k)=m0m1有两个实数根石且x<,证明：西五2。m十。一1 数学试题(27N)第5页（共6页） 19.(本小题满分17分) 已知数列{an},记集合T={S(i,j)|S(i,j)=a:十a+1+…十a;,1≤i<j,i,j∈N*}. (1)若数列{an}有四项，且an=n,写出集合T. (2)若an=2n,是否存在i,j∈N*,使得S(i,j)=2048?若存在，求出一组符合条件的i,j;若不 存在，说明理由。 (3)若an=n,把集合T中的元素从小到大排列，得到的新数列为b1,b2,b3,…,bm,…,若bm≤ 2026,求m的最大值， 数学试题(27N)第6页（共6页） 高三数学三参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B C B C B D C BCD BC ABD 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1.A【解析】因为A={x-1<x<3},则A∩B={0,1}. 2.B【解折J+0=2+≥2V公=2区=4，当且仅当2=87，即x=-3y=1时取等号 m-3>0, 3.C【解析】诺方程二3十产m1表示横国，则7-m心0， 解得3<m<7且m≠5，所以“3<m<7”是“曲 m一3≠7一m, 线子。十7产m=1表示满圆”的必要不充分条件。 4B【解析】由题得，A它-=Ai+M心-号A店-EM=子A店-}Cd =号A成-A应-AG=号A店-（号A店-AC)=号A+AC 5.C【解析】由题知，f(x)定义域为(0,2)， f(2-x)=1n2-x+2(2-x)+(1-x)°，f(2-x)+f(x)=1n1+4=4, 即函数f)=ln2产z十2x十（工-1）°图象的对称中心为1,2). 6.B【解析】根据图象可知，函数f(x)的图象是由y=Asin wx向右平移一2个单位长度得到的； w 由图可知f(x1)=f(x2)=0,利用整体代换可得wx1十p=0,x2十p=元， 所以2=π9，若为已知，则可求得”=元，故选B. ℃1 12 7.D【解析】要使半球形容器内壁的半径最小，只需保证小球与日球各面（含球面部分） 都相切，此时，如图所示，O为半球的球心，A为其中一个小球球心，则OA是棱长为4 的正方体的体对角线，且该小球与半球球面上的切，点与O,A共线，所以半球形容器内 壁的半径的最小值为小球半径与OA长度之和，即4√3十4. 8.C【解析】由题意，1=a1≤a2≤q≤a2十l≤q2≤a2十2≤q, .a2≤q≤a2+1,a2+1≤q≤a2+2,q>a2+2>3, a2≥1，a1=1,.a2,a2十1，a2+2的最小值分别为1,2,3，∴gm=3. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9.BCD【解析】对于A,若{a}是等比数列，则a,==400,A错误；对于B,若a,)是等差数列，则S= a十gs）X5-5a=100,B正确；对于C,若{Sn}是等比数列，由S=a1=1,S2=a十a,=1十a2,S,=a十a2十 a3=a2十21，由S1S3=S3,得a2十21=(1十a2)2,解得a2=4,S2=a1十a2=5,C正确；对于D,若{Sn}是等差数 列，则S1十S3=2S2,即a2十22=2a2十2，解得a2=20,D正确. l0.BC【解析】对于选项A,AC=2BC.CA→b=-2 abcos C->b=-2 acos C,故A项错误； 对于选项B,由b2=一2abc0sC→b2=一(a2+b2-c2)→2b2=c2-a2,故B项正确； 3a2+c2 对于选项C.2W=c-a→水-22osB=2+a-2 2ac 2ac≥5C-(c=3a取等号)，角B的最 数学参考答案(27N)-1 大值为晋，故C项正确； 对于选项D,角B取景大值，时c=5a=25,放a=2,S版=分ecsin B=-号×2X25X号=5，放D项 错误. 11.ABD【解析】对于A项，xf(x)十xf(x)=xlnx→f(x)十xf(x)=lnx, 函数F(x)=xf(x),F(x)=f(x)十xf(x=h工， x 当x∈(0,1)时，F(x)<0,F(x)单调递减；当x∈(1，十∞)时，F(x)>0,F(x)单调递增， 函数F(x)=xf(x)的极小值，点为x=1,故A正确. 对于B预，由通数Fx)=xf)得f)-2,fa)-F'》F@-n2@, 22 又e)=。,故了（⊙=血ee@=0,故南线y=f)在点(e,f©）处的切线方程为y=已，故B正确 对于C.D项，f)=F'(）-FD,令p)=lnx-F(),p()=1--h工， 故x∈(0，e)时，p(x)>0,p(x)单调递增；x∈(e,十∞)时，p(x)<0,p(x)单调递减， 所以p(x)≤p(e)=lne-F(e)=l-ef(e)=0,故f'(x)≤0，f(x)在(0，+o∞)上单调递减，f(x)无极值， 选项C错误，选项D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.一4【解析】z2=(1十i)2=2i,故z4=(2i)2=一4. 13.竖【解析】因为二面角a-AB-日的大小为子，0∈AB,P∈a,且∠P0A=吾，Q为B内异于0的任意-一点， 所以过P作PG⊥B,垂足为G,PM⊥AB于M,连接GM,如图， 则PG⊥AB,PM⊥AB,PG∩PM=P,PG,PMC平面PGM, 所以AB⊥平面PGM,GMC平面PGM,所以AB⊥MG, 所以∠PMG为二面角a-AB-B的平面角，故∠PMG=平， 由最小角定理知，当∠POQ为PO与B所成线面角时，∠POQ最小， 此时，G,Q重合，sin∠POQ取得最小值， 设PG=x,则PM=√2x,又∠POA=石，则PO=2W2x, 所以n<00器2229 14.-名【解标a.=a十(m-1d=a十学n-1D. 则osa.=os[a+(a-1D]=cos(停a十a一），共周期为2经=3， 2π 而n∈N*,即cos an最多3个不同取值， 由题可知集合A={x|x=cos an,n∈N*}有且仅有两个元素，A={x1,x2}, 则在c0san,cos an+1,cos an+2中，c0san=cos an+1≠c0sam+2或c0san≠c0San+1=c0sam+2, 或c0san=C0sam+2卡c0Sa+1, 若c0san=c0sa+2≠c0sa+1,又c0sam=c0sa+3,所以C0sa+3=C0sa+2≠c0sa+1, 数学参考答案(27N)一2 故一定会有相邻的两项相等， 设这两项分别为c0s0,c0s(0叶），于是有c0s0=os(0叶)， 即有0叶（叶）=2kx,∈Z,解得0=x一否，k∈乙，不相等的两项为c0s0,c0s(+）), 故x=cos(km-ξ)os[(kr一哥）+好]=-cos(km-5)oskm=-c0s2 xcos=一合 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.【解析】(1)因为acos(A-B)=√3 bsin A-acos C, 所以a[cos(A-B)+cosC]=√3 bsin A, 所以a[cos(A-B)-cos(A+B)]=√3 bsin A, 2 asin Asin B=√3 bsin A, 由正弦定理得2 sin2Asin B=√3 sin Bsin A, 又sin Asin B≠0，故s如A=号，因为△ABC为锐角三角形，放A=于 ……6分 (2)因为AD=2DE,即2AD=DE,因此Sa=2S, 在△ABC中，由正孩定理a=25=4,可得b=4sinB,c=4sinC, 里sin A sin号 △ABC的面款为Sc=2 esin A=43 inBin(停-B）, 化简可得Soe=4snB(sin子B等sinB）=6 sin Beos B+-23sfB, S-3sinsin2co 由辅助角公式可得，5ax=25(停sin2B-司cos2B)+V5=25sim(2B-看)十E, 又锐角△ABC中，0<B<受，0<-B<受，故晋<B<受， 所以2B-吾∈（答，），sim(2B-)∈（合，1]，故5x∈(23,33]， 故Sam=5a∈(E,3],所以△BBC面积的取值范周为(5,3] …13分 16.【解析】(1)将“取球次数为3次”记为事件A,若有放回抽取，每次取球相互独立， 事件A表示“前两次取到红球，第3次取到白球”，故P(A)=（ …5分 (2)由题意可知，随机变量X=7,8,9,10,对应概率如下： 分子表示从3个红球取出X一7个，把前X一1个球做全排，7个白球的其中1个作为最后1个取出，共有 Cx1A二1C种， 分母表示将取出的X个球做全排，有A种， 7分 A0-120P(X-8)=CA3C=7 P(X-7)=CAC_1 A。-120’ Aio30P(X=10)=CAC]7 P(X=9)=C3A8C7 A8-10 13分 所以EX0=7X高+8×品+9×易+10×品-装 …15分 17.【解析】(1)因为PA⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,所以PA⊥AD, 又因为AD⊥PB,PB∩PA=P,PB,PAC平面PAB,所以AD⊥平面PAB, 数学参考答案(27N)-3 又ABC平面PAB,所以AD⊥AB, 在△ABC中，AB2+BC=AC,所以AB⊥BC, 因为A,B,C,D四点共面，所以AD∥BC, 又因为BCC平面PBC,AD中平面PBC, 所以AD∥平面PBC ……6分 (2)以DA,DC为x,y轴，过，点D作平面ABCD垂直的线为之轴，建立如图所示空间直角坐标系D-xy之. 令AD=t,则A(t,0,0),P(t,0,2),D(0,0,0), DC=√4-，C(0,√4-，0)， 设平面ACP的法向量n1=(x1,y1,之)， ∫m1·AC=-ta+√4-'y=0, 所以 m1·AP=2x1=0, 取x1=√4-，则y1=t,之1=0， 所以n1=(√4-，t,0),…9分 n2·Dp=tx2+2x2=0, 取平面CPD的法向量为n2=(x2,y2,z2),所以 2·DC=√4-t%=0, 设之2=t,则x2=一2，y2=0,所以2=(-2,0，t),…12分 因为二面角A-CP-D的正孩值为巴，又二面角为锐角，则余孩位为号， 以9-oaa-贵贵1一 ,解得t=√3， 所以AD=√5. … …15分 18.【解析】(1)F(x)=f(x)-g(x)=ax-1-(lnx-1)=ax-lnx≥0恒成立，F(x)的定义域为(0，十o∞)， 所以≥在(0，十∞)上恒成主，令)1，xE(0,十∞)， 原问题转化为求函数(x)在(0，十∞)上的最大值，则f(x)=-ln卫， 令t'(x)>0,则0<x<e,所以函数t(x)在(0，e)上单调递增； 令t'(x)<0,则x>e,所以函数t(x)在(e,十o∞)上单调递减， 所以(x)=认e)=,所以a≥， 故a的取值范国为[日，十∞ .…5分 (2)(1)当a=1时，h(x)=f(x)·g(x)=(x-1)(lnx-1),x∈(0，十o∞)，则h(x)=lnx-1 所以h'(1)=一1，又h(1)=0,故函数h(x)在x=1处的切线方程为y=一x十1.… …8分 ()由(i)知N(x)=lnx-是，显然(x)在(0，+o∞)单调递增，W'(1)=-1<0,h(e)=1->0, e 所以存在xo∈(1，e),使h'(x)=0, 因此当x∈(0，xo)时，h'(x)<0,h(x)单调递减当x∈(x,十o∞)时，h'(x)>0,h(x)单调递增.…10分 令h(x)=0,解得x=1或x=e. 所以函数h(x)在x=1处的切线方程为y=一x十1， 由h(x)一(1-x)=(x-I)lnx≥0，故曲线h(x)在直线y=一x十1上方. 又h(x)在(c,0)处的切线方程为y=(1-是)x-e, 令p(x)=h(x)-(1-是)x-e)=(x-1DInx-1)-(1-&)x-e), 数学参考答案(27N)-4 则)=nx--(1-是)， 当x∈(0，e]时，p(x)≤p(e)=0,p(x)单调递减； 当x∈(e,十o∞)时，o(x)>p(e)=0,e(x)单调递增， 所以p(x)≥p(e)=0, h(x)=(x-1)Inx-1) 故曲线h()在直线y=(1-已）x-e)上方， 14分 设函数h(x)在两个零，点处的切线方程与直线y=m的交点的横坐标分别为 xx X-X x3和x4(如图)，则x1≥x3,x2x4, 令=m,得着=1一m令⅓=m,得x=十e=e(e十1 因为x1≥x3,x2≤x4, 故x4-1≤一=(%十1一1-m）-②m+e-10m=0时取等)今题得证.…17分 e-1 19.【解析】(1)由题意可得a1十a2=3,a2十a3=5,a3十a4=7,a1十a2十a3=6,a2十a3十a4=9, a1十a2十a3十a4=10,所以T={3,5,6,7,9,10}. …3分 (2)假设存在i,j∈N*,使得S(i,j)=2048, 则有2048=2i+2》-+1)-(+j)G-计1)， 2 由于i十j与j一i的奇偶性相同，i十j与j一i十1奇偶性不同， 又i+j≥3，j-i+1≥2， 所以2048中必有大于等于3的奇数因子，这与2048=212无1以外的奇数因子矛盾， 故不存在i,j∈N*,使得S(i,j)=2048.… 8分 (3)首先证明am=n时，对任意的m∈N*都有bm≠2(t∈N), 因为计（计1）十(i计2)+十j=i-+1)(计》 2 由于i十j与j一i十1均大于2且奇偶性不同， (0-i计1)(i+) 所以存在t∈N,使得 2 一为大于2的奇数，故对任意的m∈N*都有bm≠2，t∈N,…11分 其次证明除2(t∈N)形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和， 若正整数h=2(2k+1),其中t∈N,k∈N*, 则当2+1>2k十1时，由等差数列的性质可得： h=2(2k+1)=2+2+…+2=(2-)+(2-k+1)+…+(2-1)+2+(2+1)+…+(2+k-1)+(2 (2k+1)项 十)，此时结论成立， 当2+1<2k十1时，由等差数列的性质可得： h=(2k+1)+(2k+1)+…+(2k+1)=(-2+1)+…+(k-1)+k+(k+1)+(k+2)+…+(k+2), 2项 此时结论成立，… …15分 对于数列an=n,此问题等价于数列1,2,3,4，·，n其相应集合T中满足bm≤2026有多少项， 由前面证明可知正整数1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024不是T中的项， 所以m的最大值为2015.…17分 数学参考答案(27N)一5