2026-2027学年人教版九年级数学上册期中模拟卷2

2026-2027学年九年级数学上册期中模拟卷2 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：初三上第25-27章（人教版新版）。 一﹑单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：关于x的一元二次方程需满足：是整式方程，仅含未知数x，x的最高次数为2，且二次项系数不为0； 选项A中，当时，方程不是二次方程，故本选项不符合题意； 选项B中，方程未知数为y，不是关于x的方程，故本选项不符合题意； 选项C中，方程是整式方程，仅含未知数x，x的最高次数为2，二次项系数为，故本选项符合题意； 选项D中，方程分母含未知数，是分式方程，故本选项不符合题意； 2．方程的解为 （     ） A． B．， C． D．无解 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴，即，． 3．下列关系式中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：反比例函数的形式为（为常数，）， A选项为一次函数，C选项为正比例函数，D选项为二次函数，均不符合； B选项满足反比例函数形式，符合要求． 4．下列抛物线中，对称轴为直线的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、的对称轴为直线，故A选项符合题意； B、C中与的对称轴均为直线，故B、C选项不符合题意； D 的对称轴为直线，故D选项不符合题意； 故选：A． 5．若反比例函数的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， 解得． 6．电影《浪浪山小妖怪》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，全国第一天票房约0.5亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达2亿元，设增长率为，则方程可以列为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】表示出第二天和第三天票房，然后根据“三天后累计票房收入达2亿元”列方程． 【详解】解：∵第一天票房约0.5亿元，增长率为， ∴第二天票房为亿元，第三天票房为亿元， 根据题意得，． 7．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得 ， 即 ， 解得 8．关于二次函数 下列说法正确的是（    ） A．其图象的开口向上 B．当时，y随x的增大而增大 C．其最小值为5 D．其图象的对称轴为直线 【答案】B 【分析】该二次函数为顶点式，可直接确定开口方向、对称轴、最值，进而判断各选项． 【详解】解： ， ，图象开口向下，A错误． 对称轴为直线，D错误． 当时，有最大值5，C错误． 图象开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大，B正确． 9．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为的直线．则抛物线与x轴的另一个交点是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称，利用中点坐标公式求解即可． 【详解】解：设抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线，且经过点， ∴， ∴， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为． 10．已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，，三点均在抛物线上求出、、，再比较大小，即可得答案. 【详解】解：当时， ， 当时，， 当时，， .∵ ， ∴ . 11．如图，某种近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系．某同学的镜片焦距为0.2米，经过矫正治疗后调整到了0.5米，则近视眼镜的度数减少了（   ） A．400度 B．300度 C．200度 D．100度 【答案】B 【分析】根据反比例函数图象过求出反比例函数的解析式，代入求出矫正治疗后近视眼度数，作差即可求出减少的度数． 【详解】解：设， 将代入，得， 解得， ∴， 将代入，得， （度） ∴近视眼镜减少的度数为300度． 12．如图1，在中，，，分别是边，上的动点，且，是的中点，连接，，，设，的面积为，图2是关于的函数图象，则下列说法不正确的是（   ） A．是等腰直角三角形 B． C．的周长可以等于 D．四边形的面积为 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的判定和性质即可判断A选项，根据二次函数的性质即可判断选项B，根据三角形三边关系可得，进一步即可判断C选项，求出四边形的面积即可判定D选项． 【详解】解：A．连接， 为等腰直角三角形，是的中点，， ，， 而， ，， ，， ， 是等腰直角三角形，故A正确； B．设，， ， 当时，有最大值， 故，此时，故B正确； C．∵是等腰直角三角形，， ∴的周长， ∵， ∴， ∴的周长，故C错误； D．四边形的面积 ．故D正确． 二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．若函数的图象经过点，则的值为______． 【答案】 【分析】将点的坐标代入解析式求解即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点， ∴， ∴， 故答案为：． 14．将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为________． 【答案】 【分析】已知原抛物线解析式为，平移规则为先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，结合二次函数图象平移规律推导最终解析式． 【详解】解：∵二次函数图象平移遵循“左加右减，上加下减”的规律， ∴将抛物线向左平移2个单位，得到第一次平移后的解析式为， ∵沿y轴方向向下平移1个单位时，需在整个解析式后减去平移的单位长度， ∴对第一次平移得到的抛物线向下平移1个单位后，得到最终的抛物线解析式为． 15．已知a，b是方程的两个根，则__________． 【答案】 【分析】将所求分式通分转化为用两根之和与两根之积表示的形式，再利用根与系数的关系代入计算． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴． 16．反比例函数和的部分图象如图所示，点A在的图象上，过点A作轴交x轴于点C，交的图象于点B．若，则的值为______． 【答案】 【分析】根据轴可知点、横坐标相同，利用及图象位置确定纵坐标关系，代入反比例函数解析式求解． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵轴，交轴于点， ∴点的横坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵， ∴， 由图象可知，点、位于轴两侧， ∴与异号， ∴， ∵点在上，点在上， ∴，， ∴． 三、解答题（本题共7小题，第17-第18题每小题8分，第19-第21题每小题10分，第22-第23题每小题12分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： 或 解得，． 18．用一批纸装订同样大小的练习本，每本的页数和可以装订的本数如下表： 每本的页数 16 20 25 30 60 可以装订的本数 225 180 60 (1)将表格补充完整． (2)判断每本的页数和可以装订的本数是否成反比例，并说明理由． (3)如果现在需要用这批纸装订本同样大小的练习本，那么每本练习本有多少页？ 【答案】(1) 补充表格如下： 每本的页数 16 20 25 30 60 可以装订的本数 225 180 144 120 60 (2) 解：每本的页数和可以装订的本数成反比例；理由如下： 根据表中的数据可知，每本的页数随装订本数的变化而变化，总页数一定，即每本的页数和装订的本数的积一定，所以成反比例. (3) 页 【分析】本题考查了反比例函数，（1）先根据已知的每本页数和装订本数算出总页数，再用总页数除以对应页数得到装订本数；（2）根据反比例函数的定义判断即可；（3）用（1）中得到的总页数除以本，即可得到每本的页数. 【详解】（1）解：总页数为：（页）； 当页数为页时，本数为：（本）； 当页数为页时，本数为：（本）； （2）略 （3）解：（页）． 故每本练习本有页． 19．如图，已知抛物线经过点．    (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质． （1）把点代入得到关于m的方程，再解方程可确定抛物线解析式，再化为顶点式求顶点坐标； （2）分别确定时x对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解． 【详解】（1）把代入得： ， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）∵， ∴抛物线开口向下，有最大值4， ∵当时，或， ∴当时，x的取值范围是或． 20．我们定义：若关于的一元二次方程（）满足，则称该方程为友好方程．请根据此定义，回答下列问题： (1)请写出一个你认为正确的友好方程，并求出它的根； (2)若关于的一元二次方程是友好方程，求的值，并判断方程根的情况； (3)若友好方程有两个相等的实数根，求，的值． 【答案】(1)友好方程为，它的根为．（答案不唯一） (2)的值为或，方程有两个不相等的实数根． (3)，． 【分析】（1）根据友好方程定义，自主选取满足条件的构造一元二次方程，再解方程求出根． （2）利用友好方程的条件，把方程各项系数代入，列方程求出；再将代回原方程，计算判别式，根据判别式符号判断根的情况． （3）先由友好方程定义得到，列出第一个等式；再结合方程有两个相等实数根，得到判别式，列出第二个等式，联立两个等式求解，同时注意一元二次方程二次项系数不为0． 【详解】（1）解：取方程， ∵， ∴是友好方程， ， ， ∴． （2）解： ，， 当时，，此时方程有两个不相等的实数根； 当时，，此时方程有两个不相等的实数根； 综上，的值为1或2，方程有两个不相等的实数根． （3）解：∵友好方程有两个相等的实数根， ， 解得， ∴ 把代入上式得， ， ∴， ∴， 当时，，符合题意． 21．如图所示为某新款饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)求开机后第一个周期内，加热阶段和水温下降阶段的函数表达式； (2)生活委员到校打开电源，请通过计算说明：当第一节课下课时（），同学们能否喝到不高于的温水． 【答案】(1)加热阶段的函数表达式为，水温下降阶段的函数表达式为 (2)同学们能喝到不高于的温水 【分析】（1）根据题意，利用待定系数法求解即可； （2）判断出时，饮水机处于第4个周期的第10分钟，则此时处于水温下降阶段，将代入反比例函数表达式求出函数值，再与比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知，加热阶段与是一次函数关系． 设加热阶段的函数表达式为． 因为初始水温为， 所以． 因为每分钟上升， 所以． 所以加热阶段的函数表达式为． 当时，， 解得． 所以加热阶段的函数表达式为． 由题意可知，水温下降阶段与成反比例关系． 设水温下降阶段的函数表达式为． 因为图象经过点， 所以， 解得． 所以水温下降阶段的函数表达式为． 当时，， 解得． 所以水温下降阶段的函数表达式为． 综上：加热阶段的函数表达式为， 水温下降阶段的函数表达式为； （2）解：从到经过的时间为：1小时10分钟分钟． 由（1）可知，一个周期的时间为20分钟．． 所以时，饮水机处于第4个周期的第10分钟． 因为， 所以此时处于水温下降阶段． 将代入，得． 因为， 所以同学们能喝到不高于的温水． 答：同学们能喝到不高于的温水． 22．如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由顶点设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点B的坐标； （3）根据，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值和最小值，从而得出答案． 【详解】（1）解：由题意得顶点， 设， 又∵抛物线过点， ， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得，（舍去）， ∴喷出水的最大射程为； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴， ∴点B的坐标为； （3）解：， 点的纵坐标为0.5， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 当时，要使，则， 当时，随的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则， ，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 的最大值为， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， 的最小值为2， 综上所述，的取值范围是． 23．在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如：点在函数图象上，点A的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为________； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； (3)若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为7，求h的值． 【答案】(1) (2) (3) 的值为或 【分析】（1）根据纵横值的定义直接代入计算． （2）由二次函数顶点横坐标求出，再将最优纵横值转化为纵横值函数的最大值，列方程求解． （3）先写出纵横值关于的二次函数表达式，再根据对称轴与区间的位置关系分类讨论，结合最大值为列方程求解． 【详解】（1）根据“纵横值”定义，点的纵横值为． （2）∵二次函数的顶点在直线上， ∴对称轴为，解得，纵横值为， ∵该函数开口向下，最大值为最优纵横值， ∴当时，取得最大值， 代入得，解得． （3）纵横值为，整理得， 该函数开口向下，对称轴为， 分三种情况讨论：①当，即时，函数在上单调递减， ∴当时，取得最大值， 代入得，整理得， 解得，（不符合，舍去）， ②当，即时， 函数在处取得最大值，最大值为，不符合题意，舍去， ③当，即时，函数在上单调递增， ∴当时，取得最大值，代入得， 整理得，解得，（不符合，舍去）， 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上册期中模拟卷2 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：初三上第25-27章（人教版新版）。 一﹑单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．方程的解为 （     ） A． B．， C． D．无解 3．下列关系式中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 4．下列抛物线中，对称轴为直线的是（     ） A． B． C． D． 5．若反比例函数的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．电影《浪浪山小妖怪》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，全国第一天票房约0.5亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达2亿元，设增长率为，则方程可以列为（    ） A． B． C． D． 7．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(     ) A． B． C． D． 8．关于二次函数 下列说法正确的是（    ） A．其图象的开口向上 B．当时，y随x的增大而增大 C．其最小值为5 D．其图象的对称轴为直线 9．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为的直线．则抛物线与x轴的另一个交点是（     ） A． B． C． D． 10．已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 11．如图，某种近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系．某同学的镜片焦距为0.2米，经过矫正治疗后调整到了0.5米，则近视眼镜的度数减少了（   ） A．400度 B．300度 C．200度 D．100度 12．如图1，在中，，，分别是边，上的动点，且，是的中点，连接，，，设，的面积为，图2是关于的函数图象，则下列说法不正确的是（   ） A．是等腰直角三角形 B． C．的周长可以等于 D．四边形的面积为 二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．若函数的图象经过点，则的值为______． 14．将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为________． 15．已知a，b是方程的两个根，则__________． 16．反比例函数和的部分图象如图所示，点A在的图象上，过点A作轴交x轴于点C，交的图象于点B．若，则的值为______． 三、解答题（本题共7小题，第17-第18题每小题8分，第19-第21题每小题10分，第22-第23题每小题12分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解下列方程： (1) (2) 18．用一批纸装订同样大小的练习本，每本的页数和可以装订的本数如下表： 每本的页数 16 20 25 30 60 可以装订的本数 225 180 60 (1)将表格补充完整． (2)判断每本的页数和可以装订的本数是否成反比例，并说明理由． (3)如果现在需要用这批纸装订本同样大小的练习本，那么每本练习本有多少页？ 19．如图，已知抛物线经过点．    (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围． 20．我们定义：若关于的一元二次方程（）满足，则称该方程为友好方程．请根据此定义，回答下列问题： (1)请写出一个你认为正确的友好方程，并求出它的根； (2)若关于的一元二次方程是友好方程，求的值，并判断方程根的情况； (3)若友好方程有两个相等的实数根，求，的值． 21．如图所示为某新款饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)求开机后第一个周期内，加热阶段和水温下降阶段的函数表达式； (2)生活委员到校打开电源，请通过计算说明：当第一节课下课时（），同学们能否喝到不高于的温水． 22．如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 23．在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如：点在函数图象上，点A的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为________； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； (3)若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为7，求h的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $