14.3角的平分线 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

第14章 全等三角形 14.3 角的平分线 情境导入 定义 作法 性质 判定 OP平分∠AOB， PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别是D，E PD=PE 平行线的性质：两直线平行，同位角相等 平行线的判定：同位角相等，两直线平行 如果把角平分线的性质的题设与结论交换，是否能得到角平分线的判定方法呢？ 思 考 从利用平分角的仪器画角的平分线中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？ A B O M N C 4 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？ 如图，任意作一个角∠AOB，作出∠A 的平分线 OC，在 OC 上任取一点 P，过点 P 画出 OA，OB 的垂线，分别记垂足为 D，E，测量 PD，PE 并作比较，你得到什么结论？ 5 通过动手实验、观察比较，我们发现“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？ 已知：∠AOC = ∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为 D，E. 求证：PD = PE. 6 如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上的任意一点，M，N 分别是 OA，OB 上的点，我们研究 PM 与 PN 的关系. C A B O M N P 研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况. 图中当 OM 与 ON 满足什么关系时，PM = PN？ 探 究 C A B O M N P OP = OP，∠POM =∠PON， 在△OPM 和△OPN 中， 如果 OM = ON，那么△OPM≌△OPN(SAS)， 就有 PM = PN. 图1 反过来，如图，M，N 分别是∠AOB 的边 OA，OB 上的点，OM = ON，点 P 在∠AOB 的内部，PM = PN. 连接 OP. A B O M N OP = OP，OM = ON，PM = PN， 在△OPM 和△OPN 中， ∴△OPM ≌△OPN(SSS)，就有 ∠POM =∠PON. P 即点 P 在∠AOB 的平分线上. 图2 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，点 D，E 为垂足，PD＝PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 9 证明: ∵ PD⊥OA，PE⊥OB(已知)， 　 ∴ ∠PDO＝∠PEO＝ 90°(垂直的定义) . 在Rt△PDO 和Rt△PEO 中 　 PO＝PO(公共边)， PD=PE， ∴ Rt△PDO ≌ Rt△PEO(HL) . 　 ∴ ∠ POD＝∠POE. ∴点P在∠AOB 的平分线上. 10 1. 以“适当的长为半径”是为了方便画图，不能太长，也不能太短. 2. “以大于MN的长为半径画弧”是因为小于MN的长为半径画弧时两弧没有交点，等于MN的长为半径画弧时不容易操作. 3. 应该在角的内部找所作两弧的交点，因为所作的射 线为角的平分线，而角的平分线应该在角的内部. 4. “画射线OC”不能说成“连接OC”，因为连接 OC得到的是线段，而角的平分线是一条射线. 注意 例 1. 已知：∠AOB，如图所示. 求作：∠AOB的补角的平分线.（不写作法，保留作图痕迹） 解：如图所示，射线OD就是∠AOB的补角的平分线. A O B C E F D 1. 明确命题中的已知和求证； 2. 根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3. 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 定义与概念 角平分线上的点到角两边的距离相等 应用定理需具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等 如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，则OD与OE的大小关系是(　　) A. OD>OE B．OD＝OE C. OD<OE D．不能确定 B 巩固练习 例1已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC.垂足分别为E，F. 求证：EB=FC. A B C D E F 证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ DE=DF， ∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC. 探究新知 角平分线的性质的应用 素养考点 1 例2 如图14.3-5，OD 平分∠ EOF，在OE，OF 上分别取点A，B，使OA=OB，P 为OD 上一点，PM ⊥ BD，PN ⊥ AD，垂足分别为M，N. 求证：PM=PN. 证明：∵ OD 平分∠ EOF，∴∠ BOD= ∠ AOD. 在△ BOD 和△ AOD 中， ∴△ BOD ≌△ AOD(SAS). ∴∠ BDO= ∠ ADO，即DO 平分∠ BDA. 又∵ P为DO上一点，且PM⊥BD，PN⊥AD，∴ PM=PN. OB=OA， ∠ BOD= ∠ AOD， OD=OD， 总结归纳 解题秘方：在图中找出符合角的平分线的性质的模型，利用角的平分线的性质证明线段相等. D 　　1．如图，在直线 MN 上求作一点 P，使点 P 在∠AOB 的内部，且点 P 到射线 OA 和 OB 的距离相等． P 解：如图，作∠AOB 的平分线与 MN 交于点 P，点 P 即为所求. N B M O A 20 　　2．如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E．点 F，G 分别在 OA，OB 上，DF＝EG，连接 PF，PG．求证 PF＝PG． C A B O G F D E P 21 证明：(1)过点P作PK⊥AB于点K，PI⊥BC于点I，PH⊥AC于点H. ∵CP平分∠BCE， ∴PH=PI. 3.如图，已知△ABC,BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线，BF，CG相交于点P. 求证：(1)点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等； (2)点P在∠A的平分线上. K I H 证明：(1)同理，PI=PK. ∴PH=PI=PK. 即点P到三边AB，BC，CA 所在直线的距离相等. 3.如图，已知△ABC,BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线，BF，CG相交于点P. 求证：(1)点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等； (2)点P在∠A的平分线上. K I H 练习2如图，点 是 内一条射线 上的一点，且 于点 于点 ，若 ， 则 的度数是( ) A. B. C. D. 解析：∵ ， ， ， ∴ 平分 ， ∵ ， ∴ .故选D. $