14.3 角的平分线（第2课时）课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

第14章　全等三角形 14.3 角的平分线（第2课时） 等距判定与三角形角平分线共点 数学新教材人教版　八年级上册 情境引入 把性质反过来是否成立 已知方向 点在角平分线上，可以推出它到角两边的距离相等。现在交换条件与结论：若内部一点到两边距离相等，它是否一定在角平分线上？ 研究目标 把两段距离画成垂线段，尝试用直角三角形全等证明两个角相等。这将给出识别角平分线的新方法。 O A B P D E 例题讲解 示例 P在角AOB内部，PD垂直OA、PE垂直OB，垂足为D、E，PD=PE。求证OP平分角AOB。 O A B P D E 答：比较直角三角形OPD与OPE。 两个垂直关系提供直角。 PD=PE是一组直角边，OP是公共斜边。 距离相等必须先化成对应垂线段相等。 例题讲解 示例 P在角AOB内部，PD垂直OA、PE垂直OB，PD=PE，证明OP平分角AOB。 O A B P D E 答：OP平分角AOB。 两直角三角形OPD与OPE中，OP=OP、PD=PE。 由HL全等，得。 P在角内部，所以OP是角AOB的平分线。 与性质的AAS证明相比，这里从等距离出发使用HL。 新知讲授 角平分线的判定 结论 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 条件 需要“角的内部”和“两段垂直距离相等”。得到点在平分线上以后，就可写出从顶点到该点的射线平分这个角。 O A B P D E 新知讲授 为什么要强调角的内部 观察与思考 若只说到角两边所在直线的距离相等，角外的点也可能满足，例如在两直线的另一条角平分线上。 理解与表达 因此本课判定限定点在所研究角的内部。实际应用中既要验证等距，也要核对交点所在的区域。 新知讲授 性质和判定的方向 观察与思考 性质从“在平分线上”推出“到两边距离相等”；判定从“内部点到两边距离相等”推出“在平分线上”。 理解与表达 证明复杂图形时，两者常连续使用：先由一个角的平分线得到等距，再转移等距，最后判定另一条角平分线。 例题讲解 示例 P在角AOB内部，到两边的距离相等，角AOB为76度。求角AOP。 O A B P D E 答：38度。 由等距离判定OP为角平分线。 。 先判定平分线，才有依据把角度除以2。 例题讲解 示例 OP平分角AOB，P到OA距离为3，求P到OB距离，并说明使用的是性质还是判定。 答：距离为3，使用性质。 已知在平分线上，推出距离相等。 按题目已知信息判断推理方向。 新知讲授 两条角平分线的交点 观察与思考 三角形中画出B、C两角的平分线，交于P。从P分别向三边作垂线。 理解与表达 P在B角平分线上，给出到AB、BC等距；P在C角平分线上，给出到BC、CA等距。公共的BC把三段距离连在一起。 例题讲解 例 如图，的角平分线BM、CN相交于P。求证：（1）点P到三边AB、BC、CA的距离相等；（2）的三条角平分线交于一点。 （1） 证明点P到三边的距离相等。 （2） 证明三条角平分线交于一点。 （1） 答：三段垂直距离相等。 作PD垂直AB、PE垂直BC、PF垂直CA。 由P在BM上，得PD=PE；由P在CN上，得PE=PF。 因此PD=PE=PF。 把到BC的距离作为两组等距关系的共同量。 例题讲解 例 如图，的角平分线BM、CN相交于P。求证：（1）点P到三边AB、BC、CA的距离相等；（2）的三条角平分线交于一点。 （1） 证明点P到三边的距离相等。 （2） 证明三条角平分线交于一点。 （2） 答：A角平分线也经过P。 由第一问PD=PF，P到AB、AC距离相等。 P在A角内部，所以P在A角平分线上。 因此三条角平分线交于P。 要证明共点，只需证明已有交点还在第三条线上。 例题讲解 示例 P在三角形内部，已知P到AB与BC距离相等，到BC与CA距离也相等。P在哪几条角平分线上？ 答：P在三条内角平分线上。 前两组等距分别判定P在B、C角平分线上。 等量传递得到P到AB与CA等距，再判定P在A角平分线上。 三组等距不必逐项测得，两组就能推出第三组。 例题讲解 示例 三角形两个角平分线交点P到AB距离为2.4厘米，求它到BC、CA的距离。 答：都为2.4厘米。 角平分线性质把距离从AB转移到BC，再转移到CA。 三条距离相等指的是垂直距离。 例题讲解 示例 三角形B、C内角平分线交于P。若角A为64度，求角BPC。 A B C P 答：122度。 在BPC中，B、C处的角和为原B、C角和的一半，即58度。 。 先由平分线把两个角各减半，再用小三角形内角和。 课堂练习 练习 如图，AB垂直CD、CE垂直AD，垂足分别为B、E，AB=CE，AB、CE相交于F，连接DF。求证FD平分角BFE。 答：FD平分角BFE。 ABD、CED为直角三角形，D处角相同，AB=CE，AAS得两三角形全等。 所以DB=DE；它们分别是D到FB、FE的距离。 D在角BFE内部，故FD平分角BFE。 等距的点是D，待判定角的顶点是F。 课堂练习 练习2 如图，已知，BF是外角CBD的平分线，CG是外角BCE的平分线，BF、CG相交于P。求证：（1）点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等；（2）点P在角A的平分线上。 （1） 证明到三边所在直线等距。 （2） 证明点P在角A平分线上。 （1） 答：三个距离相等。 由角平分线性质，P到AB与BC、BC与CA所在直线分别等距。 由等量传递，三个距离相等。 外角对应边的所在直线。 课堂练习 练习2 如图，已知，BF是外角CBD的平分线，CG是外角BCE的平分线，BF、CG相交于P。求证：（1）点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等；（2）点P在角A的平分线上。 （1） 证明到三边所在直线等距。 （2） 证明点P在角A平分线上。 （2） 答：P在角A的平分线上。 第一问给出P到AB、AC所在直线距离相等。 结合P在角A内部，用角平分线判定得到结论。 P虽在三角形外部，仍位于角A的内部。 新知讲授 三角形内部与一个角内部不同 观察与思考 一个点可以位于三角形外部，却仍在其中一个内角所张开的区域内部。判断角平分线时，需要看这个角的两条射线。 理解与表达 外角平分线交点题必须分别确认点相对于B、C外角和A内角的位置，不能只用“在三角形外”否定判定。 课堂练习 练习 如图，ABC中AB=AC，BD垂直AC、CE垂直AB，垂足为D、E，BD、CE相交于F。求证FA平分角DFE。 答：FA平分角DFE。 ABD与ACE为直角三角形，斜边AB=AC、A角公共，由AAS全等，得AD=AE。 AD、AE分别是A到FD、FE的垂线段。 A在角DFE内部，由等距判定得FA平分此角。 要判定F处平分线，比较的是点A到FD、FE的距离。 课堂练习 练习 如图，CD垂直AB、BE垂直AC，垂足D、E，BE、CD交于O，OB=OC。求证角1=角2。 答：角1=角2。 OBD与OCE为直角三角形，OB=OC且为对顶角，由AAS全等，得OD=OE。 OD、OE为O到AB、AC的距离。 O在角A内部，故AO平分角A。 先证明垂线段相等，再用等距离判定角平分线。 课堂练习 练习 如图，在中，。在边上求作点，使到和的距离相等。 答：作角ABC的平分线，与AC交于P。 两条需等距的边BC、BA交于B。 角B平分线上的点到这两边距离相等，再与AC求交。 要平分的角由两条目标直线决定，不是由点所在边决定。 例题讲解 示例 在中，。在上求作，使到、的距离相等。 A B C P 答：BP为角ABC平分线，P是它与AC的交点。 先作角B平分线，再取交点P。 P到两边距离相等，满足题意。 先作角B的平分线，再取与AC的交点。 课堂练习 练习 AD是ABC的角平分线，DE垂直AB、DF垂直AC，垂足E、F。连接EF，EF与AD交于G。AD与EF垂直吗？证明结论。 答：垂直。 由角平分线性质及AAS可得DE=DF、AE=AF。 AEG与AFG中，AE=AF、、AG公共，由SAS全等。 且两角互补，故AD垂直EF。 先证两垂足到A等距，再用全等得到相等邻补角。 课堂练习 练习 如图，，为中点，平分。求证平分。（提示：过作，垂足为。） 答：AE平分角DAB。 平分，与是到、的距离，所以。 E为BC中点，EC=EB，因此EF=EB。 EF、EB为E到AD、AB的距离，故AE平分角DAB。 关键链条是EF=EC=EB，最后在A角内部使用判定。 例题讲解 示例 已知PM=PN，M在OA上、N在OB上，P在角内部。能否立即认定OP平分角AOB？ 答：不能。 PM、PN未必垂直角的两边，因此未必是距离。 还需垂直条件，或其他足以证明全等的条件。 长度相等不自动意味着到两条直线的距离相等。 方法归纳 等距判定的证明路线 先确认点与角 ① 确定角顶点以及点是否在该角内部。 ② 画出从此点到角两边的两条垂线段。 建立等距链 ① 已有角平分线可先给一组距离相等。 ② 结合中点、全等或等量传递，再判定另一条平分线。 例题讲解 示例 P在角内部，到两边距离分别为3x-1、x+5。x取何值时P在角平分线上？ 答：。 需要，解得x=3。 此时两段距离都为8，大于0，条件有效。 最后检查所得距离非负，且点的位置符合要求。 例题讲解 示例 三角形内部点P到AB、BC、CA的距离依次为d1、d2、d3，已知d1=d2=d3。证明P在A角平分线上只需哪一组等式？ 答：d1=d3。 A角两边是AB和AC。 比较P到这两条边的距离即可。 先按目标角选出正确的两条边。 新知讲授 三条角平分线共点的逻辑 观察与思考 从两条线的交点出发，先建立到三边距离相等，再证明交点在第三条线上，就完成三线共点证明。 理解与表达 这一方法没有先假设第三条线已经通过P。把待证明的共点结论转成可以判定的等距条件，避免循环论证。 课堂总结 角平分线的判定与共点 判定 内部点到两边距离相等，则在平分线上。 证明 两直角三角形用HL。 性质配合 平分线→等距→新平分线。 共点 两内角平分线交点到三边等距。 位置限制 区分角内部、三角形内部与外部。 针对训练 训练 P到角两边距离相等，要判定P在该角平分线上，还应确认什么？ 答：P在该角内部。 判定定理包含位置条件。 到两条直线等距的点也可能位于角外。 针对训练 训练 在内部，到两边的距离相等，，则______。 O A B P D E 答：47度。 先判OP平分角AOB，再除以2。 等距用于判定，角度计算用于应用。 针对训练 训练 判断下列说法。 （1） 内部点到角两边距离相等，可判在平分线上。 正确 满足判定全部条件。 （2） 到两边上两点的连线相等，就一定在平分线上。 错误 连线未必是垂线段。 （3） 三角形两内角平分线交点到三边距离相等。 正确 两次性质加等量传递。 始终区分点到边的距离与点到点的线段。 针对训练 训练 内部点P到两边的距离为4x-3、2x+7，若P在平分线上，求x。 答：。 得x=5。 性质给出等距离方程。 针对训练 训练 三角形两角平分线交点到三边距离之和为12厘米，每段为多少？ 答：4厘米。 三段垂直距离相等，12÷3=4。 三条角平分线交点的三段距离相等。 针对训练 训练 在中，、的平分线交于，。求。 A B C P 答：115度。 ，两个半角之和为。 。 小三角形两个角是原三角形相应内角的一半。 针对训练 训练 P在角AOB内部，PD垂直OA、PE垂直OB，PD=PE。指出证明OP平分角所用的两组边。 答：公共斜边OP=OP，直角边PD=PE。 两直角三角形满足HL。 HL还包含两个直角这一前提。 针对训练 训练 点P在AC上，希望P到AB、BC的距离相等，应作哪个角的平分线与AC相交？ 答：角ABC的平分线。 目标两边AB、BC的交点是B。 要等距于哪两条边，就平分它们组成的角。 针对训练 训练 在三角形场地内部设置设备中心P，希望它到三面围墙的垂直距离相等。怎样确定P？ 答：作任意两个内角的平分线，取它们的交点。 交点到三边距离相等。 第三条内角平分线也通过该点。 应使用内角平分线，保证设备中心位于场地内部。 针对训练 训练 两条直路相交成角AOB。内部点P到两路中心线的垂直距离均为8米，角AOB为60度。OP与OA夹角是多少？ 答：30度。 等距离且P在角内部，故OP平分角AOB。 夹角为60÷2=30度。 测量必须沿垂直方向，不能比较任意斜线距离。 方法归纳 本课解题方法 从等距离判角平分线 ① 先验证两条垂线与角内部位置。 ② 用HL或已建立的判定，得出两角相等。 以等距链连接多个角 ① 先由已有平分线得到距离相等。 ② 以公共边距离或中点条件传递等量，再判新的平分线与共点。 $