2026-2027学年八年级数学上册期中自编模拟卷一（山东济南适用）

八年级数学期中模拟卷一 一．选择题（共10小题） 1．下列各点中，在第四象限的点是（　　） A．（5，3） B．（5，﹣3） C．（﹣5，﹣3） D．（﹣5，3） 2．已知方程2x+〇＝1是二元一次方程，则“〇”可能是（　　） A．x B．y C．xy D．x2 3．点A（x1，4），B（x2，7）在一次函数y＝3x+1的图象上，则x1，x2的大小关系是（　　） A．x1＞x2 B．x1＝x2 C．x1＜x2 D．无法确定 4．在下列图象中，直线上每个点的坐标都适合二元一次方程2x﹣y＝2的是（　　） A．B．C．D． 5．已知点A（m，n），B（m+1，n﹣8）在同一条直线上，则这条直线的关系式可能是（　　） A．y＝x+8 B．y＝﹣x﹣8 C．y＝8x+1 D．y＝﹣8x+1 6．小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她去学校共用了16分钟．假设小颖上坡路的平均速度是3千米/时，下坡路的平均速度是5千米/时．若设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 7．直线y＝kx+b经过第一、二、三象限，则直线y＝﹣bx+k的图象可能是图中的（　　） A．B． C． D． 8．一次函数y＝mx+m2（m≠0）的图象过点（0，4），且y随x的增大而减小，则m的值为（　　） A．﹣2 B．﹣2 或 2 C．1 D．2 9．一次函数y1＝kx+b与y2＝mx+n的图象如图所示，下列选项正确的是（　　） ①对于函数y1＝kx+b来说，y随x的增大而减小； ②函数y＝kx+n的图象不经过第一象限； ③2k﹣2m＝n﹣b． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 10．如图，一支激光笔在点P（3，0）处射出一束激光，激光的射出方向与水平方向夹角为45°，每当激光碰到长方形ABCD的边时就会发生反射．已知激光第1次碰到长方形边上的点为P1（4，1），激光第2次碰到长方形边上的点为P2（3，2），则激光第2027次碰到长方形边上的点P2027的坐标为（　　） A．（4，1） B．（3，2） C．（﹣4，1） D．（﹣3，2） 第9题 第10题 第11题 二．填空题（共5小题） 11．如图，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F，按照规定的目标表示法，目标A，B的位置表示为A（8，60°），B（5，120°），按照此方法在表示目标E的位置为 _____________ ． 12．下表列出了一项实验的统计数据（单位：cm）： x 50 80 100 150 … y 30 45 55 80 … 它表示皮球从一定高度落下时，弹跳高度y是下落高度x的一次函数，那么变量y与x之间的关系式为 ____________________ ． 13．在同一平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与y＝2x+m相交于点A（3，n），则关于x，y的方程组的解是 ____________________ ． 14．2025年，山东大学投入使用无人驾驶快递车．已知一辆快递车从服务中心先前往菜鸟驿站送件，卸完包裹立即前往主题邮局送件，再卸完包裹后按原路返回．已知服务中心、菜鸟驿站、主题邮局在同一条直线上，快递车速度恒定且两次卸包裹的时间相同，快递车离服务中心的路程s（m）与时间t（min）的关系如图所示，则快递车卸包裹的时间为_____ min． 15．如图，直线l1与x轴、y轴分别交于A（﹣2，0），B（0，6），直线l2经过点B且与x轴负半轴交于点C，∠ABC＝45°．若线段BC上存在一点P，使△ABP是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则P点坐标为 ___________ ． 三．解答题（共10小题） 16．解方程组： （1）； （2）． 17． 已知关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足x+2y＝﹣1，求k的值． 18．在平面直角坐标系中，△ABC各个顶点的坐标分别是A（1，2），B（4，1），C（3，4）． （1）画出△ABC，标出A，B，C三点； （2）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，其中A1的坐标为 ___________ ； （3）在x轴上是否存在一点P，使得△PAB的周长最小？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 19．如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与x轴、y轴交于A（﹣3，0），B（0，3）两点，与正比例函数y＝2x交于点C． （1）求一次函数的表达式； （2）求△AOC的面积． 20．某烘焙店需在超市采购5台烤箱和x盒（x≥20）烘焙油纸，已知该超市烤箱定价为每台600元，烘焙油纸定价为每盒30元．现超市给出两种促销方案： 方案一：买1台烤箱，赠送4盒烘焙油纸； 方案二：所有商品按定价的九折出售． 根据以上信息，解决下列问题： （1）方案一中实际付款金额y1（单位：元）与x之间的关系式为________________ ； （2）方案二中实际付款金额y2（单位：元）与x之间的关系式为________________ ； （3）当烘焙油纸数量为多少时，两种方案的实际付款金额相同？ 21．现有8个大小相同的长方形，可拼成图1、图2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 22．已知甲、乙两地相距120km，小宁、小波两人分别开车沿同一条公路从甲地出发到乙地，如图，线段DE，线段OC分别表示小宁、小波离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数关系的图象，根据图象解答下列问题： （1）小宁行驶的速度为_______ km/h； （2）求小波离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式； （3）当时间t（h）为何值时，都在行驶中的两人恰好相距20km． 23．问题的解决策略：逐步确定 【问题】中秋佳节灯笼俏，灯笼齐挂亮堂堂，三三数时能数尽，五五数时剩两盏，七七数时刚刚好．求最少有多少盏灯笼？ 【理解问题】 灯笼的数量为正整数且需要符合以下3个条件：①三三数时能数尽，则所求灯笼的数量能被3整除；②五五数时剩两盏，则所求灯笼的数量除以_____ ，余数是_____ ；③七七数时刚刚好，则所求灯笼的数量能被7整除． 【拟定计划】 设灯笼的数量为x（x为正整数），需满足的3个条件可表述为：①x＝3k（k为正整数）；②x＝5m+2（m为非负整数）；③x＝_______ （用含n的代数式表示，n为正整数）．由①和③可得x能被21整除，即x＝21p（p为正整数）．根据以上分析，得到，因此5m＝21p﹣2，且m为非负整数，所以“21p﹣2”一定能被5整除． 【实施计划】 （1）补全以上三个空格，并求最少有多少盏灯笼？ （2）若在原来问题的基础上加入1个新条件“八八数时还缺三”，请直接写出此时满足所有条件的灯笼数量的最小值为________ ． 24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点C（m，5）． （1）填空：m＝_____ ，b＝_____ ； （2）在线段AD上是否存在一点M，使得△ABM的面积与四边形BMDC的面积比为4：21？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）点P在线段AD上，连接CP，若△ACP是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P坐标． 25．综合与探究 【研究主题】一次函数图象成轴对称的问题探究． 【特例感知】 探究直线l1：关于x轴成轴对称的直线l2的关系式的过程如下： 步骤1：如图1，在平面直角坐标系中，画出直线l1：的图象； 步骤2：求出与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B（0，1）； 步骤3：点B（0，1）关于x轴对称的点C的坐标是___________ ； 步骤4：画出直线AC，并由A、C两点坐标可求得l2的关系式为____________________ ． 归纳：问题解决策略是将“直线的对称问题”转化为“_____ 的对称问题”． （1）补全上述探究过程中的空格； （2）直线l1：关于y轴成轴对称的直线的关系式是____________________ ； 【类比迁移】 （3）如图2，已知直线AB：的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．若直线AB关于直线l3的对称后的直线恰好与x轴重合，请求出对称轴l3的解析式． 【拓展提升】 （4）结合上述探究所得的结论和经验，尝试完成下列问题： 直线y＝kx（k≠0）关于直线y＝x成轴对称的直线解析式是____________________ ； 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期中模拟卷一 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列各点中，在第四象限的点是（　　） A．（5，3） B．（5，﹣3） C．（﹣5，﹣3） D．（﹣5，3） 【分析】根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A．（5，3）在第一象限，故本选项不合题意； B．（5，﹣3）在第四象限，故本选项符合题意； C．（﹣5，﹣3）在第三象限，故本选项不合题意； D．（﹣5，3）在第二象限，故本选项不合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 2．已知方程2x+〇＝1是二元一次方程，则“〇”可能是（　　） A．x B．y C．xy D．x2 【分析】根据二元一次方程的定义：两个未知数，含未知数的项的次数为1次的整式方程即可得出结果． 【解答】解：∵2x+〇＝1是二元一次方程， ∴“〇”表示的数是y． 故选：B． 【点评】本题考查二元一次方程的定义．熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 3．点A（x1，4），B（x2，7）在一次函数y＝3x+1的图象上，则x1，x2的大小关系是（　　） A．x1＞x2 B．x1＝x2 C．x1＜x2 D．无法确定 【分析】根据所给一次函数解析式，得出y随x的增大而增大，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， ∵一次函数的解析式为y＝3x+1，且3＞0， ∴y随x的增大而增大． 又∵点A（x1，4），B（x2，7）都在一次函数y＝3x+1的图象上，且4＜7， ∴x1＜x2． 故选：C． 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 4．在下列图象中，直线上每个点的坐标都适合二元一次方程2x﹣y＝2的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据两点确定一条直线，当x＝0，求出y的值，再利用y＝0，求出x的值，即可得出一次函数图象与坐标轴交点，即可得出图象． 【解答】解：∵2x﹣y＝2， ∴y＝2x﹣2， ∴当x＝0，y＝﹣2；当y＝0，x＝1， ∴一次函数y＝2x﹣2，与y轴交于点（0，﹣2），与x轴交于点（1，0）， 即可得出选项A符合要求， 故选：A． 【点评】此题主要考查了一次函数与二元一次方程的关系，一次函数的性质，将方程转化为函数关系进而得出与坐标轴交点坐标是解题关键． 5．已知点A（m，n），B（m+1，n﹣8）在同一条直线上，则这条直线的关系式可能是（　　） A．y＝x+8 B．y＝﹣x﹣8 C．y＝8x+1 D．y＝﹣8x+1 【分析】依据题意，设直线为y＝kx+b（k≠0），结合直线过A（m，n），B（m+1，n﹣8），则，可得k＝﹣8，从而可以判断得解． 【解答】解：由题意，设直线为y＝kx+b（k≠0）， 又∵直线过A（m，n），B（m+1，n﹣8）， ∴． ∴k＝﹣8． ∴ABC均不可能，D可能． 故选：D． 【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用待定系数法是关键． 6．小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她去学校共用了16分钟．假设小颖上坡路的平均速度是3千米/时，下坡路的平均速度是5千米/时．若设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】两个等量关系为：上坡用的时间+下坡用的时间＝16；上坡用的时间×上坡的速度+下坡用的时间×下坡速度＝1.2，把相关数值代入即可求解． 【解答】解：可根据所用时间和所走的路程和得到相应的方程组为： 故选：B． 【点评】考查用二元一次方程组解决行程问题；得到走不同路段所用时间及所走的路程之和的等量关系是解决本题的关键．解题的关键是统一单位． 7．直线y＝kx+b经过第一、二、三象限，则直线y＝﹣bx+k的图象可能是图中的（　　） A． B． C． D． 【分析】根据直线y＝kx+b经过第一、二、三象限，可以得到k、b的正负情况，然后即可得到直线y＝﹣bx+k的图象经过哪几个象限． 【解答】解：∵直线y＝kx+b经过第一、二、三象限， ∴k＞0，b＞0， ∴﹣b＜0， ∴直线y＝﹣bx+k的图象经过第一、二、四象限， 故选：B． 【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是求出k、b的正负情况． 8．一次函数y＝mx+m2（m≠0）的图象过点（0，4），且y随x的增大而减小，则m的值为（　　） A．﹣2 B．﹣2 或 2 C．1 D．2 【分析】由y随x的增大而减小，根据一次函数的性质得m＜0；再由一次函数y＝mx+m2（m≠0）的图象过点（0，4），则m2＝4，然后解方程，求出满足条件的m的值． 【解答】解：∵y随x的增大而减小， ∴m＜0， ∵一次函数y＝mx+m2（m≠0）的图象过点（0，4）， ∴m2＝4， 解得m＝﹣2． 故选：A． 【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点及一次函数的性质，解决本题的关键是掌握一次函数的增减性． 9．一次函数y1＝kx+b与y2＝mx+n的图象如图所示，下列选项正确的是（　　） ①对于函数y1＝kx+b来说，y随x的增大而减小； ②函数y＝kx+n的图象不经过第一象限； ③2k﹣2m＝n﹣b． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】①观察函数图象，可得出对于一次函数y1＝kx+b来说，y随x的增大而减小； ②由①的结论，利用一次函数的性质，可得出k＜0，由一次函数y2＝mx+n的图象经过第一、三、四象限，可得出m＞0，n＜0，再利用一次函数图象与系数的关系，可得出一次函数y＝kx+n的图象经过第二、三、四象限，即一次函数y＝kx+n的图象不经过第一象限； ③观察函数图象，可得出一次函数y1＝kx+b与y2＝mx+n的图象交点的横坐标为2，将x＝2代入kx+b＝mx+n中，整理后可得出2k﹣2m＝n﹣b． 【解答】解：①观察函数图象，可知：对于一次函数y1＝kx+b来说，y随x的增大而减小，结论①正确； ②∵对于一次函数y1＝kx+b来说，y随x的增大而减小， ∴k＜0； ∵一次函数y2＝mx+n的图象经过第一、三、四象限， ∴m＞0，n＜0， ∴一次函数y＝kx+n的图象经过第二、三、四象限， 即一次函数y＝kx+n的图象不经过第一象限，结论②正确； ③观察函数图象，可知：一次函数y1＝kx+b与y2＝mx+n的图象交点的横坐标为2， ∴2k+b＝2m+n， ∴2k﹣2m＝n﹣b，结论③正确． 综上所述，正确的结论有①②③． 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数的图象、一次函数的性质、一次函数图象与系数的关系以及一次函数图象上点的坐标特征，逐一分析三条结论的正误是解题的关键． 10．如图，一支激光笔在点P（3，0）处射出一束激光，激光的射出方向与水平方向夹角为45°，每当激光碰到长方形ABCD的边时就会发生反射．已知激光第1次碰到长方形边上的点为P1（4，1），激光第2次碰到长方形边上的点为P2（3，2），则激光第2026次碰到长方形边上的点P2026的坐标为（　　） A．（4，1） B．（3，2） C．（﹣4，1） D．（﹣3，2） 【分析】画出激光碰到长方形边后反射的路径，得到碰触点的变化规律，即可判断激光第2026次碰到长方形边上的点P2026的坐标． 【解答】解：激光碰到长方形边上的点如图， ∴2026÷6＝337...4， ∴激光落在点P4（﹣4，1）处， 故选：C． 【点评】本题考查点的规律．画出激光碰到长方形边后反射的路径是解决本题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．如图，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F，按照规定的目标表示法，目标A，B的位置表示为A（8，60°），B（5，120°），按照此方法在表示目标E的位置为 　（7，300°）　 ． 【分析】根据图上位置直接写出坐标即可． 【解答】解：由题意可知E（7，300°）， 故答案为：（7，300°）． 【点评】本题考查坐标表示点的位置，读懂题意，按照题中规定表达点的坐标是解决问题的关键． 12．下表列出了一项实验的统计数据（单位：cm）： x 50 80 100 150 … y 30 45 55 80 … 它表示皮球从一定高度落下时，弹跳高度y是下落高度x的一次函数，那么变量y与x之间的关系式为 yx+5　 ． 【分析】设变量y与x之间的关系式为y＝kx+b，根据表格中的数据，利用待定系数法，即可求出变量y与x之间的关系式． 【解答】解：设变量y与x之间的关系式为y＝kx+b， 将（50，30），（80，45）代入y＝kx+b， 得：， 解得：， ∴变量y与x之间的关系式为yx+5． 故答案为：yx+5． 【点评】本题考查了一次函数的应用，根据表格中的数据，利用待定系数法求出一次函数关系式是解题的关键． 13．在同一平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与y＝2x+m相交于点A（3，n），则关于x，y的方程组的解是 　　 ． 【分析】先将点P（3，n）代入y＝﹣x+4，求出n，即可确定方程组的解． 【解答】解：将点P（3，n）代入y＝﹣x+4， 得n＝﹣3+4＝1， ∴P（3，1）， ∴原方程组的解为． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，求出两直线的交点坐标是解题的关键． 14．2025年，山东大学投入使用无人驾驶快递车．已知一辆快递车从服务中心先前往菜鸟驿站送件，卸完包裹立即前往主题邮局送件，再卸完包裹后按原路返回．已知服务中心、菜鸟驿站、主题邮局在同一条直线上，快递车速度恒定且两次卸包裹的时间相同，快递车离服务中心的路程s（m）与时间t（min）的关系如图所示，则快递车卸包裹的时间为　8　 min． 【分析】根据题意和函数图象中的数据可以计算出快递车行驶的时间，然后即可计算出快递车在卸包裹的时间． 【解答】解：由图象可得， 快递车行驶3a米所需时间为：28﹣25＝3（min）， ∴往返行驶20am的总时间为：20min， ∴快递车在卸包裹的时间为：28﹣20＝8（min）， 故答案为：8． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 15．如图，直线l1与x轴、y轴分别交于A（﹣2，0），B（0，6），直线l2经过点B且与x轴负半轴交于点C，∠ABC＝45°．若线段BC上存在一点P，使△ABP是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则P点坐标为 　（﹣8，2）　 ． 【分析】过点P作PF⊥OC于点F，证明△AFP≌△BOA，根据全等三角形的性质得到AF＝OB＝6，PF＝OA＝2，进而求出P点坐标． 【解答】解：如图，过点P作PF⊥OC于点F， ∵A点的坐标为（﹣2，0），B点的坐标为（0，6）， ∴OA＝2，OB＝6， ∵∠AOB＝90°， ∴∠OAB+∠OBA＝90°， ∵∠PAB＝90°， ∴∠OAB+∠PAF＝90°， ∴∠ABO＝∠PAF， 在△AFP和△BOA中， ， ∴△AFP≌△BOA（AAS）， ∴AF＝OB＝6，PF＝OA＝2， ∴OF＝6+2＝8， ∴点P的坐标为（﹣8，2）， 故答案为：（﹣8，2）． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、点的坐标，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 三．解答题（共10小题） 16．解方程组： （1）； （2）． 【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：（1）， 把①代入②，得3x﹣2×（2x+1）＝2， 去括号，得3x﹣4x﹣2＝2， 解得：x＝﹣4， 把x＝﹣4代入①，得y＝2×（﹣4）+1＝﹣7， ∴方程组的解为； （2）， ②×2，得4x+2y＝20③， ③﹣①，得x＝14， 把x＝14代入②，得2×14+y＝10， 解得：y＝﹣18， ∴方程组的解为． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 17．已知关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足x+2y＝﹣1，求k的值． 【分析】直接让方程组中的两个方程相减即可求出x+2y的值，结合已知x+2y＝﹣1即可求出k的值． 【解答】解：， ①﹣②得：x+2y＝2k+4， ∵x+2y＝﹣1， ∴2k+4＝﹣1， 解得：k． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，理解题意，熟练掌握整体思想解方程组是解题的关键． 18．在平面直角坐标系中，△ABC各个顶点的坐标分别是A（1，2），B（4，1），C（3，4）． （1）画出△ABC，标出A，B，C三点； （2）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，其中A1的坐标为 　（﹣1，2）　 ； （3）在x轴上是否存在一点P，使得△PAB的周长最小？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）描点，连线即可； （2）根据轴对称的性质作出轴对称图形即可； （3）如图，作B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于点P，连接AP，此时，△PAB的周长最小，根据待定系数法求得直线AB′的解析式为y＝﹣x+3，当y＝0时，x＝3，于是得到结论． 【解答】解：（1）如图，△ABC即为所作； （2）由轴对称的性质作图，如图，△A1B1C1即为所作， ∴A1（﹣1，2）， 故答案为：（﹣1，2）； （3）存在， 如图，作B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于点P，连接AP， ∴B′P＝BP， ∴AP+BP＝B′P+AP， ∴此时，△PAB的周长最小 ∵点B（4，1）， ∴B′（4，﹣1）， 设直线AB′的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线AB′的解析式为y＝﹣x+3， 当y＝0时，x＝3， ∴P（3，0）． 【点评】本题是三角形的综合题，考查了点坐标，作轴对称图形，轴对称的性质等知识．熟练掌握点坐标，作轴对称图形，轴对称的性质是解题的关键． 19．如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与x轴、y轴交于A（﹣3，0），B（0，3）两点，与正比例函数y＝2x交于点C． （1）求一次函数的表达式； （2）求△AOC的面积． 【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）利用三角形面积公式代入数据计算即可． 【解答】解：（1）∵A（﹣3，0），B（0，3）两点在一次函数y＝kx+b的图象上， ，解得， ∴一次函数解析式为y＝x+3； （2）在函数y＝x+3中，当y＝0时，x＝﹣3， ∴A（﹣3，0）， 联立方程组，解得， ∴C（3，6）． ∴S△AOC9． 【点评】本题考查了两直线相交或平行问题、待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 20．某烘焙店需在超市采购5台烤箱和x盒（x≥20）烘焙油纸，已知该超市烤箱定价为每台600元，烘焙油纸定价为每盒30元．现超市给出两种促销方案： 方案一：买1台烤箱，赠送4盒烘焙油纸； 方案二：所有商品按定价的九折出售． 根据以上信息，解决下列问题： （1）方案一中实际付款金额y1（单位：元）与x之间的关系式为y1＝30x+2400　 ； （2）方案二中实际付款金额y2（单位：元）与x之间的关系式为y2＝27x+2700　 ； （3）当烘焙油纸数量为多少时，两种方案的实际付款金额相同？ 【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可； （2）根据题意列出函数关系式即可； （3）根据（1）（2）的函数关系式求出当两种方案付款总金额相等时，购买的烘焙油纸数量即可． 【解答】解：（1）方案一中实际付款金额y1（单位：元）与x之间的关系式为y1＝5×600+（x﹣20）×30＝30x+2400， 故答案为：y1＝30x+2400； （2）方案二中实际付款金额y2（单位：元）与x之间的关系式y2＝（5×600+30x）×0.9＝27x+2700， 故答案为：y2＝27x+2700； （3）30x+2400＝27x+2700， 解得：x＝100， 即当烘焙油纸数量为100时，两种方案的实际付款金额相同． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用，正确理解两个方案的收费方式是解题的关键． 21．现有8个大小相同的长方形，可拼成图1、图2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 【分析】设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式求解即可． 【解答】解：设每个小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得：， 解得：， ∴xy＝10×6＝60． 答：每个小长方形的面积为60． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 22．已知甲、乙两地相距120km，小宁、小波两人分别开车沿同一条公路从甲地出发到乙地，如图，线段DE，线段OC分别表示小宁、小波离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数关系的图象，根据图象解答下列问题： （1）小宁行驶的速度为　60　 km/h； （2）求小波离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式； （3）当时间t（h）为何值时，都在行驶中的两人恰好相距20km． 【分析】（1）依据题意，结合图象可得，小宁行驶的速度为：120÷（3﹣1）＝60（千米/时），从而可以得解； （2）依据题意，设OC为S＝kt，又过点（3，80），求出k后即可判断得解； （3）依据题意，设小明的路程为S'＝kt+b（k≠0，k，b为常数），把（1，0），（3，120）代入得则从而S＝60t﹣60，进而分相遇前和相遇后列式计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，结合图象可得，小宁行驶的速度为：120÷（3﹣1）＝60（千米/时）． 故答案为：60； （2）由题意，设OC为S＝kt，又过点（3，80）， ∴80＝3k． ∴． ∴； （3）由题意，设小波的路程为S'＝kt+b（k≠0，k，b为常数）， 把（1，0），（3，120）代入得 ∴ ∴S＝60t﹣60． ∴相遇前，． ∴； 相遇后，， ∴． ∴小红出发1.2h或2.4h后两人相距20km，即当t＝1.2或2.4h时，都在行驶中两人恰好相距20km． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 23．问题的解决策略：逐步确定 【问题】中秋佳节灯笼俏，灯笼齐挂亮堂堂，三三数时能数尽，五五数时剩两盏，七七数时刚刚好．求最少有多少盏灯笼？ 【理解问题】 灯笼的数量为正整数且需要符合以下3个条件：①三三数时能数尽，则所求灯笼的数量能被3整除；②五五数时剩两盏，则所求灯笼的数量除以　5　 ，余数是　2　 ；③七七数时刚刚好，则所求灯笼的数量能被7整除． 【拟定计划】 设灯笼的数量为x（x为正整数），需满足的3个条件可表述为：①x＝3k（k为正整数）；②x＝5m+2（m为非负整数）；③x＝　7n （用含n的代数式表示，n为正整数）．由①和③可得x能被21整除，即x＝21p（p为正整数）．根据以上分析，得到，因此5m＝21p﹣2，且m为非负整数，所以“21p﹣2”一定能被5整除． 【实施计划】 （1）补全以上三个空格，并求最少有多少盏灯笼？ （2）若在原来问题的基础上加入1个新条件“八八数时还缺三”，请直接写出此时满足所有条件的灯笼数量的最小值为　357　 ． 【分析】（1）根据题意填写各空，再根据21p﹣2一定能被5整除，可得21p的个位数是2和7，然后讨论得出答案； （2）先列出代数式，可知5m＝21p﹣2，8q＝21p+3，再讨论逐个判断即可． 【解答】解：（1）五五数时剩下两盏，则所求的灯笼的数量除以5，余数是2； 设灯笼的数量为x，（x为正整数），需要满足的3个条件可表述为： ①x＝3k（k为正整数）；②x＝5m+2（m为非负整数）；③x＝7n（n为正整数）， 由①和③可得x能被21整除，即x＝21p（p为正整数），可得5m＝21p﹣2（m为非负整数）， ∴21p﹣2一定能被5整除， ∴21p的个位数是2和7， 当p＝1时，不符合题意； 当p＝2时，21p﹣2＝40能被5整除，此时x＝21×2＝42； 即最少有42盏灯笼， 故答案为：5；2；7n；42； （2）根据题意得， 整理得5m＝21p﹣2，8q＝21p+3， ∵5m＝21p﹣2， ∴21p﹣2是5的倍数， 则21p的个位数是2或7， ∴p＝1，3，4，5，6不符合题意， 当p＝2时，21×2+3＝45不是8的倍数； 当p＝7时，21×7+3＝150不是8的倍数； 当p＝8，9，10，11不符合题意； 当p＝12时，21×12+3＝255不是8的倍数； 当p＝13，14，15，16不符合题意； 当p＝17时，21×17+3＝360是8的倍数，符合题意， 此时21p＝357，灯笼数量的最小值是357， 故答案为：357． 【点评】本题主要考查了用代数式表示，代数式求值，掌握以上知识点是解题的关键． 24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点C（m，5）． （1）填空：m＝　3　 ，b＝　6　 ； （2）求△ACD的面积； （3）在线段AD上是否存在一点M，使得△ABM的面积与四边形BMDC的面积比为4：21？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （4）点P在线段AD上，连接CP，若△ACP是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P坐标． 【分析】（1）由C（m，5）是一次函数y1＝x+2与y2x+b的图象的交点，即可解出； （2）由两个一次函数解析式分别求出它们与x轴的交点坐标，得到AD的长，从而算出△ACD的面积； （3）由已知条件可得△ABM的面积，进而得出AM的长，即可得点M的坐标； （4）由△ACP是直角三角形、∠CAP是锐角，分∠APC＝90°和∠ACP＝90°两种情况讨论，利用勾股定理即可求解． 【解答】解：（1）∵C（m，5）是一次函数y1＝x+2与y2x+b的图象的交点， ∴m+2＝5，解得m＝3， ∴3+b＝5，解得b＝6， 故答案为：3，6； （2）一次函数y1＝x+2中，当y1＝0时，x＝﹣2；当x＝0时，y1＝2， ∴A（﹣2，0），B（0，2）， 一次函数y2x+6中，当y2＝0时，x＝18， ∴D（18，0）， ∴AD＝18﹣（﹣2）＝20， ∴S△ACD20×5＝50， ∴△ACD的面积为50； （3）如图： 在线段AD上存在一点M，使得△ABM的面积与四边形BMDC的面积比为4：21， ∵△ABM的面积与四边形BMDC的面积比为4：21， ∴S△ABMS△ACD50＝8， ∴AM•OB＝8，即AM×2＝8， ∴AM＝8， ∵点M在线段AD上， ∴点M的坐标为（6，0）； （4）点P在线段AD上，∠CAP是锐角，若△ACP是直角三角形，则∠APC＝90°或∠ACP＝90°， 设点P（p，0）， ∵A（﹣2，0），C（3，5）， ∴AC2＝（3+2）2+52， AP2＝（p+2）2， PC2＝（p﹣3）2+52， 当∠APC＝90°时，AP2+PC2＝AC2， ∴（p+2）2+（p﹣3）2+52＝（3+2）2+52， 整理得，p2﹣p﹣6＝0， 解得p＝3或﹣2（舍去）， ∴点P坐标为（3，0）； 当∠ACP＝90°时，AC2+PC2＝AP2， ∴（p+2）2＝（3+2）2+52+（p﹣3）2+52， 解得p＝8， ∴点P坐标为（8，0）； 解法二：当∠APC＝90°时，CP⊥x轴． ∴P（3，0）． 当∠ACP＝90°时，△ACP是等腰直角三角形，可得P（8，0）． 综上所述，所有符合条件的点P坐标为（3，0）或（8，0）． 【点评】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答． 25．综合与探究 【研究主题】一次函数图象成轴对称的问题探究． 【特例感知】 探究直线l1：关于x轴成轴对称的直线l2的关系式的过程如下： 步骤1：如图1，在平面直角坐标系中，画出直线l1：的图象； 步骤2：求出与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B（0，1）； 步骤3：点B（0，1）关于x轴对称的点C的坐标是　（0，﹣1）　 ； 步骤4：画出直线AC，并由A、C两点坐标可求得l2的关系式为yx﹣1　 ． 归纳：问题解决策略是将“直线的对称问题”转化为“　点　 的对称问题”． （1）补全上述探究过程中的空格； （2）直线l1：关于y轴成轴对称的直线的关系式是yx+1　 ； 【类比迁移】 （3）如图2，已知直线AB：的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．若直线AB关于直线l3的对称后的直线恰好与x轴重合，请求出对称轴l3的解析式． 【拓展提升】 （4）结合上述探究所得的结论和经验，尝试完成下列问题： ①直线y＝kx（k≠0）关于直线y＝x成轴对称的直线解析式是yx ； ②直线y＝kx+b（k≠0）关于直线y＝x+1成轴对称的直线解析式是yx　 ． 【分析】（1）依据题意填空即可； （2）参考（1）中思路，先找点A关于y轴对称点的坐标，再求直线BC解析式； （3）分两种情况：①如图，直线AB与x轴交于AD对称，②如图，直线AB与x轴交于AE对称，参考折叠问题思路，建立勾股方程求解即可； （4）①先根据图象分析出关于直线y＝x对称的点的坐标规律，进而参考题干思路求解即可；②参考①思路，从特殊到一般，进而求解即可． 【解答】解：（1）点B（0，1）关于x轴对称的点C的坐标（0，﹣1）， 由A、C坐标可得直线AC解析式为yx﹣1， 问题解决策略是将“直线的对称问题”转化为点的对称问题； 故答案为：（0，﹣1），yx﹣1，点； （2）依据（1）中思路： 步骤1：如图，在平面直角坐标系中，画出直线l1：的图象； 步骤2：求出与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B（0，1）； 步骤3：点A（﹣2，0）关于y轴对称的点C的坐标是（2，0）； 步骤4：画出直线BC，并由B、C两点坐标可求得l2的关系式为yx+1． 故答案为：； （3）由直线AB；可得：A（6，0），B（0，8）， 在Rt△AOB中，， ①如图，直线AB与x轴交于AD对称， 则AB'＝AB＝10，OB'＝10﹣6＝4， 设OD为m， 在Rt△DOB'中，m2+42＝（8﹣m）2， 解得：m＝3，即D（0，3）， 由A（6，0），D（0，3）可得； ②如图，直线AB与x轴交于AE对称， 则AB'＝AB＝10，OB'＝10+6＝16， 设OE为n， 则在Rt△EOB'中，n2+162＝（8+n）2， 解得：n＝12，即E（0，﹣12）， 由A（6，0），E（0，﹣12）可得y＝2x﹣12． 综上，对称轴l3的解析式为或y＝2x﹣12； （4）①如图， 从图象中我们发现：点（2，1）关于直线y＝x对称点为（1，2）， 点（4，0）关于直线y＝x对称点为（0，4）， 点（1，﹣5）关于直线y＝x对称点为（﹣5，1）， 点（﹣2，﹣4）关于直线y＝x对称点为（﹣4，﹣2）， 所以设直线y＝kx（k≠0）关于直线y＝x成轴对称的直线上的点为（m，km）， 则其关于直线y＝x对称点为（km，m）， 则有m， ∴直线y＝kx（k≠0）关于直线y＝x成轴对称的直线解析式为yx； ②如图， 从图象中我们发现：点（1，4）关于直线y＝x+1对称点为（3，2）， 点（0，2）关于直线y＝x+1对称点为（1，1）， 点（﹣3，1）关于直线y＝x+1对称点为（0，﹣2）， 点（﹣6，1）关于直线y＝x+1对称点为（0，﹣5）， ∴所以设直线y＝kx+b（k≠0）上点（m，n）关于直线y＝x+1对称点为（n﹣1，m+1）， 则有m+1＝k（n﹣1）+b， 解得nm， ∴直线y＝kx+b（k≠0）关于直线y＝x+1成轴对称的直线解析式为yx． 【点评】本题主要考查了一次函数的几何变换、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/23 16:21:02；用户：王艳红；邮箱：15865262296；学号：20792829 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $