浙江绍兴市2026-2027学年高三上学期11月高考科目诊断性考试数学试题

2026年11月绍兴市高考科目诊断性考试 数学试题 本科试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共6页，选择题部分1至3页，非选择题 部分3至6页，满分150分，考试时间120分钟。 考生注意： 1.答题前，请务必将自己的学校、班级、姓名、座位号用黑色字迹的签字笔或钢笔分 别填写答题卡规定的位置上。 2.答题时，请按照答题卡上“注意事项”的要求，在答题卡相应的位置上规范作答， 在本试题卷上的作答一律无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合A=ina叫，B=N5,-5, 22,-,若A∩B≠☑，则a可以为 A君 B.T C. 4 6 D.牙 2.已知向量a,6满足1a2,1b上1，且a与6的夹角为号，则la-2b A.1 B.2 C.25 D.4 3.已知函数g刘，若a=f孕，b=f孕，c=f2),则 A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a 4.样本数据7,9,5,6,12的上四分位数为 A.5 B.6 C.7 D.9 数学试题卷 第1页（共6页） 5.已知抛物线C:y2=2π(p>0)的焦点为F00),准线与x轴交于点T,若点A在C上且 |AF卡4，则△MFT的面积为 A.5 B. 万 D.35 2 C.25 6.记8为数列a,}的前n项和，已知8=4，+-m,则数列（令}的前10项和为 10 B. 11 C. D. 12 7.若函数了因-G-:-0有极小值点号，则f的极小值为 A. B.0 C. 27 2-9 D.1 8.甲乙两人各抛捣一枚质地均匀的骰子，进行两轮试验.第1轮甲乙得到点数分别为？乃， 第2轮甲乙得到点数分别为2y2·定义随机变量5，-y|+|2-y2，已知：2>y2, 则E(月= 35 A. B. 73 77 C. D 9 18 18 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数z满足(z一i=-1,则 A.z为纯虚数 B.z对应的点在第四象限 C.z.Z=2 D.z和z是方程x2+2x+2=0的两个根 10.若，4是两条互相垂直的异面直线，A,B,C,D是四个不同的点，满足A,C∈11， B,D∈k且CD⊥4，CD⊥h,CD=2,则 A.AC⊥平面BCD B.若BD=AC=2,则AB=√6 C.直线AD与BC是异面直线 D.∠ABC<∠ABD 11.记Sn为无穷数列{an}的前n项和，已知aneN,且12a1-an=1,则下列说法正确的是 A.若41=7，则4=1 B.Sn≤2a1-2+n C.存在k∈N,使得a:,ak1,a4+2成公比不为1的等比数列 D.若存在t∈N且t<2026,使得ams4,a2m6,am6,成等差数列，则a2m6的最大值为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 已知双曲线C:=1@>0,b>0)的一条渐近线的方程为y=2x,则C的离 13.已知函数f)=sm(ax+)(@>0,0<p<2,在写设上单调递增且/9-0，则 o的最大值为△，此时p=△一 14.已知圆C:x2+y2+rx-(m+y+4=0,与圆C,关于直线ky=x对称，过原点0分别 作C和C,的切线，切点分别为P，2(P,2在直线1的两侧)，则当△OPQ的面积最 大时，m的一个可取值为△一， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 如图，在直三棱柱ABC-ABC中，AB=AC,D为A4的中点，E为BC的中点. (1)证明：DE∥平面ABC; C (2)若BB=V3AB=3,∠BAC=90°，求点C到 B 平面BCD的距离. D E (第15题图) 16.(15分) 在△MBC中，内角4，B,C所对的边分别为a,bc.已知sin4=asin(B+了. (1)求角B: (2)设a=2,b=√7，求c和cos2A的值. 数学试题卷 第4页（共6页） 17.(15分) 现有2个红球，3个白球，另有2个红盒子，3个白盒子，这5个盒子排成一列，现将这 5个球随机放入这5个盒子中，每个盒子放入1个球 (1)求2个红球放入不相邻盒子的概率； (2)设随机变量X表示落入红盒子中的红球个数， (①求X的分布列： ()在事件Xs1发生的条件下，求5个球中恰有1个球颜色和盒子颜色匹配的概率（球 的颜色与盒子颜色相同称为匹配). 18.(17分) 已知椭圆c:号+y 立+京=1(>b>0)的左右顶点为A,B,IMB4,离心率为，P为C 上一动点（与A,B不重合），直线AP与直线x=4交于点M. (1)求椭圆C的方程； (2) 过点M作BP的垂线交BP于点G,记△AGM,△BGM的面积为S1,S2· 0判断是是否为定值，若是，求出该定值：若不是，请说明理由： GM (求 的最小值。 BM 19.(17分) 设函数∫(x)的定义域为R,其导函数'(x)存在.若函数f(x)同时满足以下两个条件， 则称(x)为“陡增”函数： ①对任意xeR,都有f'(x)>f(x): @对任意为<五<名且2x<+为，恒有f':)<)-2 为一为 对于任意给定的实数，定义集合M()=t∈Rf'(+)≥f()》. (1)若f(x)=e2,求M(O),并判断f(x)是否为“陡增”函数，请说明理由； (2)若∫(x)为“陡增”函数， (①证明：对任意的x,若f()>0,则[0，+o)SM(x): (田)若f(x)>0且f'(x)在R上单调递增，证明：若负实数满足eM(x),则。>-1. 2026年11月绍兴市高考科目诊断性考试 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.C2.B3.D 4.D5.C 6.B7.A8.C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9.BC 10.ACD 11.ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.√5 8.2智 14.m=-2,-10,±4（写其中一个都给分） 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15.（13分)解： (1)取BC中点M,连接AM,EM 因为E是BC中点，所以MIICC,且EM=-二CC, 又因为D是4中点，所以4DM℃，且4D-CG, …2分 所以EM/IAD,且EM=AD,所以四边形ADEM是平行四边形，所以DE//AM…4分 又DE4平面ABC,AMc平面ABC,所以DE∥平面ABC …6分 （2)法一： 由题意平面BCCB,⊥平面ABC,平面BCCB1∩平面ABC=BC,AM⊥BC 又AMC平面ABC,所以AM⊥平面BCCB, 由(1)得DE //AM,所以DE⊥平面BCCB. …8分 作CH⊥BC交BC1于点H,则CH⊥DE,因为DE∩BC=E, 所以CH⊥平面BCD,故CH即为所求点C到平面BCD的距离， …10分 在△BCC中，BC=√2AB=V6,CC=3,BC=√VBC2+CC=5 利用等面积法，CH.BCCC-6x3-?M0 BC15 5 即点C到平面BCD的距离为3N0 …13分 5 数学答案 第1页（共6页） (2)法二： 建立以AB为x轴，AC为y轴，A4为：轴的空间直角坐标系则 5.ao,pa.a》ca5.o吵.co3) …8分 所以D-（5.0引G-(5v5.) n.BD=0 设平面BCD的一个法向量是n=(化，y,),则 n.BC=0' 6c3-0 7 即 ,取x=5,则y=5=2, -V3x+3y+3:=0 所以n=(3,V5,2 …10分 D 又因为c0-(05》 .c可 所以d= 6310 网 v10 5, 即点C到平面BCD的距离为30 …13分 16.(15分)解： (1)白数意可得血sn4=血4n8+》】 …2分 因为A∈(0，π)，所以sin4>0, 所以血8=如8+哥引血B+5a,化简符m8- -cosB, …4分 32 即tanB=V3,又B∈(O,),所以B=T …6分 3 （2)由csB-+c-公可得cos5-d+C-B c 3 2ac 即1=4+c2-7 ,所以c2-2c-3=0,因为c>0,解得c=3. …9分 22x2c 2x V3 因为 a 所以sinA=asmB 2V21 …12分 sin B sinA b /7 所以cos2A=1-2sin2A=1-2X …15分 数学答案 第2页（共6页） 17.（15分)解： (1)法一：只需考虑2个红球的位置，P= C63 …4分 C105 法二：考虑5个球的排列，P-雪4_6x123 …4分 A1205 (2)(i)X的可能取值为0,1,2 P(X=0)= C10 …6分 P(X=1)= cc3 ，PX=2)=1 …8分 10 X 0 1 2 p 3 1 1 5 …10分 (ii)设事件A:X≤1，事件B:恰有1个球颜色与盒子颜色匹配. X=1,两个红盒中的球为一红一白，剩余1红2白放入3个白盒，总匹配数为3，不合 题意； X=0,两个红盒中的球为两白，剩余2红1白放入3个白盒，总匹配数为1，符合题意： …12分 3 P团高+品最=x0言所以ra00-9-号 P(A)93 10 …15分 18.（17分)解： (1)AB=2a=4,即a=2, …2分 a2解得c=1,可求b=5,所以椭圆方程为：父+上 因为e=C=1、 431. …4分 (2)(i)法一：设P(飞，)，A(2,0),直线AP:y=为(x+2),令x=4, +2 解得= ,M46%） …5分 +2 (”+2 因为kP= 所以如=2五，直线MG:y-6%,=2-(K-4, …7分 x0-2 o x0+2% -6(2-x)+6 -2(2-+6% x+2 点A到直线MG的距离4 点B到直线MG的距离4， x0+2 2- （2-0 …9分 数学答案 第3页（共6页） -6(2-0） 6y0 所以4 0+2 -64-号)+6 -2 -3,可得S=4-3 …11分 d -2(2-x） 6y0 -2(4-x号)+6 S d 5 g x,+2 G B 法二：设P(6,6),4(2,0),直线4P:y=+2),令x=4, +2 解得y4=66,M4% …5分 +2 +2 因为=2，所以如-2五，直线MG:-6%2玉K-4. …7分 0-2 +2% 直线MG与x轴交点H,令y=0,XH4-名 6+4=65+4-1 …9分 4. 36 21 3 可得至=AH_2_3】 …11分 S BH 55 2 法三：kAP'ksp= 3 …5分 x0-44 又因为e和=-1，可得知子w …7分 竖直线MG与X交点为Hm0,飞p=k=兴，。，即m9分 6 3 可得S-AH 23 …11分 S,BH =5 2 (i)由于lS4 cos∠GB,k8=kH=g 2,ko=当：即owe …13分 BM 1 2 4 4- -2 设kucl=t即tamn∠GMB= KMB-kMG 4 5 5三，当且仅当t=2时取等号…15分 1+kMB·kMG +92 3 1 +9t12 4 GM 比时B =cos∠GMB= 所以 最小值号 …17分 数学答案 第4页（共6页） 19.(17分)解： (1)因为f'(x)=2e2x, …2分 f0+02f0→2e≥1→e22→21≥时f2-h2, 所以o-[2o】 …4分 f'(x)-f(x)=2e2x-e2=e2>0→f（c)>fx),所以f(x)满足条件① 要证明②，只要证2e8<e-e2 X3-X1 因为2e2<2es,所以只要证2e+5<c29-e es1-e- ->2 X3-x1 X3-1 令t=x3-x1>0,所以只要证： e-e ->2(t>0)台e-et>2t(t>0) 记8()=e-e-2t,所以g(d)=e+e-2≥2We,e-2=0,则g()在(0，+∞)上单调递 增，所以8(t)>g(0)=0.所以f(x)满足条件② 所以f(x)=e2x是“陡增”函数 …8分 (2)(i)任取t≥0 记h(x)=ef(x),所以h(x)=[f'(w)-f(x]e>0 …10分 所以h(x)在R上单调递增，因为+t≥x,所以h(+t)之h(x), 则e(of(+t)≥e0f(),即f(+t)≥ef) 结合条件①：f'(x+t)>f(+t),于是f'(x+t)>f(x+t)≥ef), 因为t≥0，所以e≥1，又f()>0,所以ef)≥f(),即f'(+)>f(), 所以对任意的t≥0，都有t∈M(x),即得[O,+o)二M() …12分 (ii)任取<0，对给定的x 3 取=名+6，名=+4，考=而 3 因为2x,=2%+<2+。=名+￥ ……14分 根据条件② *小.1-+2 x-(+t) -to 数学答案 第5页（共6页） 因为f()单调递增，所以了6+)了飞+子 所以-f'(+)<f)-f(+t) 因为t,∈M(x),所以f'(x+t)≥f(),所以-f'(x+)<f'(+t)-f(+t) 即(1+)f'(+)>f(+),因为f'(x)>f(x)>0,所以f"(+t)>f(+)>0, 所以>1. …17分 数学答案第6页（共6页）